Korkeampien tilausten differentiaaliyhtälö, joka mahdollistaa tilauksen pienenemisen. Menetelmiä yhtälön järjestyksen vähentämiseksi
Yksi menetelmistä korkeamman asteen DE:iden integroimiseksi on tilauksen vähennysmenetelmä. Menetelmän ydin on, että korvaamalla muuttuja (substituutio), tämä DE pelkistetään alemman kertaluvun yhtälöksi.
Tarkastellaan kolmea yhtälötyyppiä, jotka mahdollistavat pelkistyksen järjestyksessä.
I. Olkoon yhtälö annettu
Järjestystä voidaan alentaa ottamalla käyttöön uusi funktio p(x), asettamalla y " =p(x). Sitten y "" =p " (x) ja saadaan ensimmäinen kertaluku DE: p " =ƒ(x). Kun se on ratkaistu, eli löydetty funktio p = p (x), ratkaisemme yhtälön y " = p (x). Saamme yhteinen päätös annettu yhtälö (3.6).
Käytännössä ne toimivat eri tavalla: järjestystä pienennetään suoraan yhtälön peräkkäisellä integroinnilla.
Koska 
yhtälö (3.6) voidaan kirjoittaa muodossa dy " =ƒ(x) dx. Sitten integroimalla yhtälö y "" =ƒ(x) saadaan: y " = tai y " =j1 (x) + с 1 Lisäksi integroimalla saatu yhtälö x:ään saadaan: - tämän yhtälön yleinen ratkaisu Jos yhtälö on annettu 
sitten, kun se on integroitu peräkkäin n kertaa, löydämme yhtälön yleisen ratkaisun:
Esimerkki 3.1. Ratkaise yhtälö 
Ratkaisu: Integroimalla tämä yhtälö neljä kertaa johdonmukaisesti saadaan
Olkoon yhtälö annettu
Merkitään y " =р, missä р=р(х) on uusi tuntematon funktio. Silloin y "" =p " ja yhtälö (3.7) saa muotoa p " =ƒ(х;р). Olkoon р=j (х;с 1) on tuloksena olevan ensimmäisen kertaluvun DE yleinen ratkaisu. Korvaamalla funktion p funktiolla y ", saadaan DE: y " = j(x;c 1). Sen muoto on (3.6). Y:n löytämiseksi riittää integroida viimeinen yhtälö.Yhtälön ( 3.7) yleinen ratkaisu on muotoa
Yhtälön (3.7) erikoistapaus on yhtälö
joka ei myöskään eksplisiittisesti sisällä haluttua funktiota, niin sen järjestystä voidaan alentaa k yksiköllä asettamalla y (k) = p (x). Silloin y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) ja yhtälö (3.9) saa muotoa F(x;p;p " ;... ;p (n-κ) ) )=0. Yhtälön (3.9) erikoistapaus on yhtälö
Käyttämällä korvausta y (n-1) =p(x), y (n) =p " tämä yhtälö pelkistetään ensimmäisen asteen DE:ksi.
Esimerkki 3.2. Ratkaise yhtälö 
Ratkaisu: Oletetaan y"=p, missä 
Sitten 
Tämä on erotettava yhtälö: 
Integroimalla saamme Palattuaan alkuperäiseen muuttujaan, saamme y"=c 1 x,
- yhtälön yleinen ratkaisu.
III. Harkitse yhtälöä
joka ei eksplisiittisesti sisällä riippumatonta muuttujaa x.
Yhtälön järjestyksen pienentämiseksi otamme käyttöön uuden funktion p=p(y), muuttujasta y riippuen asettamalla y"=p. Erotamme tämän yhtälön x:n suhteen ottaen huomioon, että p =p(y (x)):
eli 
Nyt yhtälö (3.10) kirjoitetaan muotoon 
Olkoon p=j(y;c 1) tämän ensimmäisen asteen DE:n yleinen ratkaisu. Korvaamalla funktion p(y) y:llä, saadaan y"=j(y;c 1) - DE erotettavilla muuttujilla. Integroimalla sen löydämme yhtälön (3.10) yleisen integraalin: 
Yhtälön (3.10) erikoistapaus on differentiaaliyhtälö
Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä samanlaista substituutiota: y " =p(y),
Teemme samoin, kun ratkaisemme yhtälön F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Sen järjestystä voidaan pienentää yhdellä asettamalla y"=p, missä p=p(y ). Erottelusäännön mukaan monimutkainen toiminto löydämme Sitten löydämme
p=uv=((-1+y)e-y +e-y +c 1) e+y tai p=c 1 ey+y. Korvaamalla p:llä y ", saadaan: y"=c 1 -e y +y. Korvaamalla y"=2 ja y=2 tähän yhtäläisyyteen, löydämme 1:llä:
2 = c 1 e 2 +2, c 1 = 0.
Meillä on y"=y. Tästä syystä y=c 2 e x. Löydämme c 2 alkuehdoista: 2=c 2 e°, c 2 =2. Siten y=2e x on erityinen ratkaisu tähän
Siksi on luonnollinen halu pelkistää ensimmäistä korkeamman kertaluokan yhtälö alemman kertaluvun yhtälöksi. Joissakin tapauksissa tämä voidaan tehdä. Katsotaanpa niitä.
1. Yhtälöt muotoa y (n) =f(x) ratkaistaan peräkkäisellä integroinnilla n kertaa
, 
,… .
Esimerkki. Ratkaise yhtälö xy""=1. Voimme siis kirjoittaa y"=ln|x| + C 1 ja uudelleen integroimalla saamme lopulta y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. Yhtälöissä muotoa F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (eli jotka eivät eksplisiittisesti sisällä tuntematonta funktiota ja joitain sen derivaattoja), järjestystä pienennetään muuttamalla muuttujaa y (k) = z(x). Sitten y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) ja saadaan yhtälö F(x,z,z",..,z (n - k)) tilaus n-k. Sen ratkaisu on funktio z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) tai, muistaen mikä z on, saadaan yhtälö y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) otetaan huomioon tyypin 1 tapauksessa.
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö x 2 y"" = (y") 2. Korvaa y"=z(x) . Sitten y""=z"(x). Korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön, saadaan x 2 z"=z 2. Erottelemalla muuttujat, saamme . Integrointi, meillä on 
, tai, joka on sama, . Viimeinen relaatio kirjoitetaan muodossa , mistä . Integroimalla saamme vihdoin 
Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö x 3 y"" +x 2 y"=1. Teemme muuttujien muutoksen: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Muutamme muuttujia: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 tai u"x 2 -xu+xu=1 tai u"x^2=1. Alkaen: u"=1/x 2 tai du/ dx=1/x2 tai u = int(dx/x2) = -1/x+c 1
Koska z=u/x, niin z = -1/x2 +c 1 /x. Koska y"=z, niin dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Vastaus: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Seuraava yhtälö, joka järjestyksessä voidaan pelkistää, on yhtälö muotoa F(y,y,y",",…,y (n))=0, joka ei eksplisiittisesti sisällä riippumatonta muuttujaa. yhtälöä pienennetään korvaamalla muuttuja y" =p(y) , missä p on uusi haluttu funktio y:stä riippuen. Sitten 
= ja niin edelleen. Induktion avulla saamme y (n) =φ(p,p",...,p (n-1)) Korvautumalla alkuperäiseen yhtälöön alennetaan sen järjestystä yhdellä.
Esimerkki. Ratkaise yhtälö (y") 2 +2yy""=0. Teemme standardikorvauksen y"=p(y), sitten y″=p′·p. Korvaamalla yhtälön, saamme 
Erottelemalla muuttujat p≠0:lle, saamme integroinnin 
tai mikä on sama asia, . Sitten tai. Integroimalla viimeinen tasa-arvo, saamme lopulta 
Muuttujia erotettaessa voisimme menettää ratkaisun y=C, joka saadaan kun p=0, tai mikä on sama, y"=0, mutta se sisältyy yllä saatuun.
4. Joskus on mahdollista havaita ominaisuus, jonka avulla voit alentaa yhtälön järjestystä eri tavoilla kuin edellä on käsitelty. Osoitetaan tämä esimerkein.
Esimerkkejä.
1. Jos yhtälön yy"""=y′y″ molemmat puolet jaetaan yy:llä, saadaan yhtälö, joka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon (lny″)′=(lny)′. Viimeisestä suhteesta seuraa, että lny″=lny +lnC, tai mikä on sama, y″=Cy... Tuloksena on yhtälö, joka on suuruusluokkaa pienempi ja aiemmin käsiteltyä tyyppiä.
2. Vastaavasti yhtälölle yy″=y′(y′+1) on, tai (ln(y"+1)" = (lny)". Viimeisestä suhteesta seuraa, että ln(y"+ 1) = lny + lnC 1 tai y"=C 1 y-1. Erottelemalla muuttujat ja integroimalla saadaan ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Päättää yhtälöt, jotka voidaan pienentää järjestyksessä mahdollista käyttämällä erikoispalvelua
Toisen asteen differentiaaliyhtälön muoto on:
Yhtälön yleinen ratkaisu on funktioperhe, joka riippuu kahdesta mielivaltaisesta vakiosta ja: (tai - yleisestä integraalista differentiaaliyhtälö 2. järjestys). Cauchyn ongelma 2. kertaluvun differentiaaliyhtälölle (1.1) koostuu tietyn ratkaisun löytämisestä yhtälölle, joka täyttää alkuehdot: for: , . On huomattava, että 2. kertaluvun yhtälön ratkaisujen kuvaajat voivat leikata toisiaan, toisin kuin ensimmäisen kertaluvun yhtälön ratkaisujen kuvaajat. Cauchyn ongelman ratkaisu toisen kertaluvun yhtälöille (1.1) yhtälöön sisältyville funktioille melko laajoilla olettamuksilla on kuitenkin ainutlaatuinen, ts. mitkä tahansa kaksi ratkaisua, joilla on yhteinen alkuehto, osuvat määritysvälien leikkauspisteeseen.
Aina ei ole mahdollista saada yleistä ratkaisua tai ratkaista Cauchyn ongelmaa 2. kertaluvun differentiaaliyhtälölle analyyttisesti. Joissakin tapauksissa yhtälön järjestystä on kuitenkin mahdollista alentaa ottamalla käyttöön erilaisia substituutioita. Katsotaanpa näitä tapauksia.
1. Yhtälöt, jotka eivät eksplisiittisesti sisällä riippumatonta muuttujaa.
Olkoon 2. asteen differentiaaliyhtälön muoto: , so. yhtälössä (1.1) ei selvästikään ole riippumatonta muuttujaa. Tämä antaa meille mahdollisuuden ottaa se uutena argumenttina ja ottaa ensimmäisen asteen derivaatan uutena funktiona. Sitten.
Siten 2. kertaluvun yhtälö funktiolle, jota ei ole eksplisiittisesti sisällytetty, on pelkistetty funktion ensimmäisen asteen yhtälöksi. Integroimalla tämä yhtälö saadaan yleinen integraali tai, ja tämä on funktion ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö. Ratkaisemalla sen saadaan alkuperäisen differentiaaliyhtälön yleinen integraali, joka riippuu kahdesta mielivaltaisesta vakiosta: .
Esimerkki 1. Ratkaise differentiaaliyhtälö annetuille alkuolosuhteille: , .
Koska alkuperäisessä yhtälössä ei ole eksplisiittistä argumenttia, otamme a uudeksi riippumattomaksi muuttujaksi ja - as. Sitten yhtälö saa seuraavan muodon funktiolle: .
Tämä on differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia: . Mistä se seuraa, ts. .
Koska ja korvaamalla alkuehdot viimeiseen yhtälöön, saamme sen ja, joka on ekvivalentti. Seurauksena on, että funktiolle on yhtälö erotettavissa olevilla muuttujilla, jonka ratkaisemalla saamme. Alkuehtoja käyttämällä saamme sen. Näin ollen yhtälön osittaisintegraali, joka täyttää alkuehdot, on muotoa: .
2. Yhtälöt, jotka eivät eksplisiittisesti sisällä haluttua funktiota.
Olkoon 2. asteen differentiaaliyhtälön muoto: , so. yhtälö ei selvästikään sisällä haluttua funktiota. Tässä tapauksessa esitetään lausunto. Sitten funktion 2. kertaluvun yhtälö muuttuu funktion 1. kertaluvun yhtälöksi. Kun se on integroitu, saamme funktiolle ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön: . Ratkaisemalla viimeisen yhtälön saadaan annetun differentiaaliyhtälön yleinen integraali, joka riippuu kahdesta mielivaltaisesta vakiosta: .
Ladataan...
