Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä ja sen ratkaisut. Etsi järjestelmän ja fsr:n yleinen ratkaisu

Matriisitiedot

Etsi: 1) aA - bB,

Ratkaisu: 1) Löydämme peräkkäin käyttämällä sääntöjä matriisin kertomisesta luvulla ja matriisien lisäämisestä ..

2. Etsi A*B jos

Ratkaisu: Käytä matriisin kertolaskua

Vastaus:

3. varten annettu matriisi etsi molli M 31 ja laske determinantti.

Ratkaisu: Pieni M 31 on A:sta saadun matriisin determinantti

rivin 3 ja sarakkeen 1 poistamisen jälkeen. Etsi

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Muunnetaan matriisi A muuttamatta sen determinanttia (tehdään nollia riville 1)

Nyt lasketaan matriisin A determinantti laajentamalla riviä 1 pitkin

Vastaus: M 31 = 0, detA = 0

Ratkaise Gaussin menetelmällä ja Cramerin menetelmällä.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Ratkaisu: Tarkistetaan

Voit käyttää Cramerin menetelmää

Järjestelmäratkaisu: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Käytämme Gaussin menetelmää.

Pelistämme järjestelmän laajennetun matriisin kolmion muotoon.

Laskelmien helpottamiseksi vaihdamme rivit:

Kerro 2. rivi: (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisää kolmanteen:

Kerro 1. rivi luvulla (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisää toiseen:

Nyt alkuperäinen järjestelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Toiselta riviltä ilmaisemme

1. riviltä ilmaisemme

Ratkaisu on sama.

Vastaus: (2; -5; 3)

löytö yhteinen päätös järjestelmät ja FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Ratkaisu: Käytä Gaussin menetelmää. Pelistämme järjestelmän laajennetun matriisin kolmion muotoon.

Kerro 1. rivi arvolla (-11). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Kerro 2. rivi arvolla (-5). Kerro 3. rivi arvolla (11). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro 3. rivi arvolla (-7). Kerro 4. rivi arvolla (5). Lisätään neljäs rivi kolmanteen:

Toinen yhtälö on lineaarinen yhdistelmä lopuista

Etsi matriisin sijoitus.

Korostettu molli on korkein (mahdollisista alaväreistä) ja ei ole nolla (se on yhtä suuri kuin käänteislävistäjän elementtien tulo), joten rang(A) = 2.

Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1, x 2, mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1, x 2 ovat riippuvaisia ​​(perus) ja x 3, x 4, x 5 ovat vapaita.

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Tuntemattomien eliminointimenetelmällä löydämme yhteinen päätös:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Löydämme ratkaisujen perusjärjestelmän (FSR), joka koostuu (n-r) ratkaisuista. Meidän tapauksessamme n = 5, r = 2, joten perusjärjestelmä ratkaisut koostuu 3 ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen on oltava lineaarisesti riippumattomia.

Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivien alkioista koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 3.

Riittää, kun annetaan vapaille tuntemattomille x 3 ,x 4 ,x 5 arvot 3. kertaluvun nollasta poikkeavan determinantin riveistä ja lasketaan x 1 ,x 2 .

Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on identiteettimatriisi.

Mutta täällä se on kätevämpi ottaa

Löydämme käyttämällä yleistä ratkaisua:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR-päätös: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR-päätös: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR-päätös: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)

6. Annettu: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Etsi: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Ratkaisu: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastaus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Lineaarista yhtälöä kutsutaan homogeeninen jos sen leikkauspiste on nolla ja muuten epähomogeeninen. Järjestelmä, joka koostuu homogeeniset yhtälöt, kutsutaan homogeeniseksi ja sillä on yleinen muoto:

Ilmeisesti mikä tahansa homogeeninen järjestelmä on johdonmukainen ja sillä on nolla (triviaali) ratkaisu. Siksi homogeenisille järjestelmille lineaariset yhtälöt usein joutuu etsimään vastausta kysymykseen nollasta poikkeavien ratkaisujen olemassaolosta. Vastaus tähän kysymykseen voidaan muotoilla seuraavalla lauseella.

Lause . Homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen järjestys on pienempi kuin numero tuntematon .

Todiste: Oletetaan, että järjestelmällä, jonka arvo on yhtä suuri, on nollasta poikkeava ratkaisu. Ilmeisesti ei ylitä . Siinä tapauksessa, että järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Koska homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmässä on aina nollaratkaisu, juuri nollaratkaisu on tämä ainutlaatuinen ratkaisu. Siten nollasta poikkeavat ratkaisut ovat mahdollisia vain .

Seuraus 1 : Homogeenisella yhtälöjärjestelmällä, jossa yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, on aina nollasta poikkeava ratkaisu.

Todiste: Jos yhtälöjärjestelmällä on , niin järjestelmän järjestys ei ylitä yhtälöiden määrää, ts. . Siten ehto täyttyy ja siksi järjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu.

Seuraus 2 : Homogeenisella yhtälöjärjestelmällä, jossa on tuntemattomia, on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla.

Todiste: Oletetaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä, jonka matriisilla determinantilla on nollasta poikkeava ratkaisu. Sitten todistetun lauseen mukaan , mikä tarkoittaa, että matriisi on degeneroitunut, ts. .

Homogeeninen lineaarinen järjestelmä algebralliset yhtälöt .

M lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa on n muuttujaa kutsutaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmäksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin 0. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä on aina yhteensopiva, koska siinä on aina vähintään nollaratkaisu. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen kerroinmatriisin arvo muuttujien kohdalla on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, ts. arvolle A (n. Mikä tahansa lineaarinen yhdistelmä

linjajärjestelmän ratkaisut. homogeeninen ur-ii on myös ratkaisu tähän järjestelmään.

Lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmää e1, e2,…,ek kutsutaan perusperiaatteeksi, jos jokainen järjestelmän ratkaisu on ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Lause: jos lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän muuttujien kerroinmatriisin arvo r on pienempi kuin muuttujien lukumäärä n, niin mikä tahansa järjestelmän perusratkaisujärjestelmä koostuu n-r ratkaisuja. Siksi linjajärjestelmän yleinen ratkaisu. yksittäinen ur-th on muotoa: c1e1+c2e2+…+ckek, missä e1, e2,…, ek on mikä tahansa perusratkaisujärjestelmä, c1, c2,…,ck ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja k=n-r. M lineaarisen yhtälöjärjestelmän, jossa on n muuttujaa, yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin summa

sitä vastaavan järjestelmän yleinen ratkaisu on homogeeninen. lineaariset yhtälöt ja tämän järjestelmän mielivaltainen tietty ratkaisu.

7. Lineaariset välilyönnit. Alitilat. Pohja, ulottuvuus. Lineaarinen kuori. Lineaarista avaruutta kutsutaan n-ulotteinen, jos se sisältää lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestelmän ja mikä tahansa järjestelmä, jossa on enemmän vektoreita, on lineaarisesti riippuvainen. Numeroon soitetaan mitta (mittojen lukumäärä) lineaarista avaruutta ja sitä merkitään . Toisin sanoen avaruuden ulottuvuus on siinä avaruudessa olevien lineaarisesti riippumattomien vektoreiden enimmäismäärä. Jos tällainen luku on olemassa, avaruuden sanotaan olevan äärellisulotteinen. Jos jollekin luonnollinen luku n avaruudessa on lineaarisesti riippumattomista vektoreista koostuva järjestelmä, jolloin sellaista avaruutta kutsutaan äärettömäksi (kirjoita: ). Ellei toisin mainita, seuraavassa tarkastellaan äärellisulotteisia avaruuksia.

N-ulotteisen lineaariavaruuden perusta on lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestynyt joukko ( kantavektorit).

Lause 8.1 vektorin laajennuksesta kantaan. Jos on n-ulotteisen lineaariavaruuden kanta, niin mikä tahansa vektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla, ts. kertoimet määritetään yksiselitteisesti. Toisin sanoen mitä tahansa avaruusvektoria voidaan laajentaa perusteellisesti ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla.

Itse asiassa tilan ulottuvuus on . Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton (tämä on perusta). Kun mikä tahansa vektori on liitetty kantaan, saadaan lineaarisesti riippuvainen järjestelmä (koska tämä järjestelmä koostuu vektoreista n-ulotteisessa avaruudessa). 7 lineaarisesti riippuvan ja lineaarisesti riippumattoman vektorin ominaisuudella saadaan lauseen johtopäätös.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien ratkaiseminen on epäilemättä lineaarialgebran kurssin tärkein aihe. Suuri määrä Kaikkien matematiikan alojen ongelmat rajoittuvat lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Nämä tekijät selittävät syyn tämän artikkelin luomiseen. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkittuaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ja ongelmien ratkaisuja.

Lyhyt kuvaus artikkelin materiaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja otamme käyttöön joitain merkintöjä.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitymme Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (menetelmä peräkkäinen poissulkeminen tuntemattomat muuttujat). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Sen jälkeen siirrytään ratkaisemaan yleismuotoisia lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on degeneroitunut. Muotoilemme Kronecker-Capelli-lauseen, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (niiden yhteensopivuuden tapauksessa) konseptin avulla sivuaine perus matriiseja. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Muista keskittyä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan, kuinka SLAE:n yleinen ratkaisu kirjoitetaan käyttämällä perusratkaisujärjestelmän vektoreita. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka pelkistyvät lineaarisiin, sekä erilaisia ​​tehtäviä, jonka ratkaisu aiheuttaa SLAE:ita.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n ) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat jäsenet (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-muotoa kutsutaan koordinoida.

AT matriisimuoto tällä yhtälöjärjestelmällä on muoto,
missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien matriisisarake, - vapaiden jäsenten matriisisarake.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Ratkaisemalla lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, joka muuttaa kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Myös matriisiyhtälö tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille muuttuu identiteetiksi.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin - epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisu.

Jos järjestelmäyhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, kutsumme tällaisia ​​SLAE:itä perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja homogeenisen järjestelmän tapauksessa kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme tutkia tällaisia ​​SLAE:ita vuonna lukio. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, sitten otimme seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Meidän on ratkaistava lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja ovat determinantteja matriisien, jotka saadaan A:sta korvaamalla 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällaisella merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan Cramerin menetelmän kaavoilla as . Näin Cramer-menetelmällä löydetään lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Esimerkki.

Cramer menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Laske sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Laadi ja laske tarvittavat determinantit (determinantti saadaan korvaamalla matriisin A ensimmäinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, determinantti - korvaamalla toinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, - korvaamalla matriisin A kolmas sarake vapaiden jäsenten sarakkeella ):

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haitta (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun järjestelmäyhtälöitä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).

Olkoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa , jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , niin matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi . Jos kerromme yhtälön molemmat osat vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien sarakematriisin löytämiseksi. Joten saimme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

silloin SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käyttämällä käänteinen matriisi ratkaisu tähän järjestelmään löytyy mm .

Rakennetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisin A elementtien algebrallisten komplementtien matriisia (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea - tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteinen matriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeessa (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma ratkaisujen löytämisessä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriiseja järjestys korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 suljetaan pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 suljetaan pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tällaista prosessia järjestelmän yhtälöiden muuntamiseksi tuntemattomien muuttujien peräkkäiseksi eliminoimiseksi kutsutaan ns. suora Gaussin menetelmä. Kun Gaussin menetelmän eteenpäinajo on suoritettu loppuun, x n löydetään viimeisestä yhtälöstä, x n-1 lasketaan toiseksi viimeisestä yhtälöstä tätä arvoa käyttäen ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. käänteinen Gaussin menetelmä.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä toisesta alkaen. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisäämällä ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja vaihtaisimme tuloksena olevan lausekkeen kaikkiin muihin yhtälöihin. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen yhtälö kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi edetään tuntemattoman x 3:n eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua x n:n arvoa löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1, ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäinen yhtälö.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molempiin osiin ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt jätetään x 2 pois kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasempaan ja oikeaan osaan toisen yhtälön vasen ja oikea osa kerrottuna:

Tällä Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuva kurssi on valmis, aloitamme käänteisen kurssin.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja tämä täydentää Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Vastaus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Yleisessä tapauksessa järjestelmän p yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliömäinen ja degeneroitunut.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastaus kysymykseen, milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se ei ole yhteensopiva, antaa Kronecker-Capellin lause:
jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n ), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, eli Rank( A) = Sijoitus(T) .

Tarkastellaan esimerkkinä Kronecker-Cappelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Käydään läpi sitä ympäröivät kolmannen asteen alaikäiset:

Koska kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin arvo on kaksi.

Puolestaan ​​lisätyn matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kolme, koska kolmannen asteen molli

eroaa nollasta.

Tällä tavalla, Alue(A) , joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Ratkaisujärjestelmää ei ole.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla.

Mutta kuinka löytää SLAE:n ratkaisu, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kanta-mollin käsitteen ja matriisin asteen lauseen.

Pieni korkein järjestys kutsutaan matriisia A, joka on nollasta poikkeava perus.

Perusmollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavassa matriisissa A voi olla useita perusmolleja, aina yksi perusmolli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alamerkit ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisirank-lause.

Jos matriisin, jonka kertaluku on p:llä n, on r, niin kaikki matriisin rivien (ja sarakkeiden) alkiot, jotka eivät muodosta valittua kanta-mollia, ilmaistaan ​​lineaarisesti rivien (ja sarakkeiden) vastaavina elementteinä. ), jotka muodostavat perustan molli.

Mitä matriisiarvolause antaa meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseella todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme minkä tahansa järjestelmän päämatriisin perusmollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodostavat valitun sivuaineen. Tällä tavalla saatu SLAE vastaa alkuperäistä, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän liiallisten yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska toisen asteen molli eroaa nollasta. Laajennettu matriisiarvo on myös yhtä kuin kaksi, koska kolmannen asteen ainoa molli on yhtä suuri kuin nolla

ja edellä tarkasteltu toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker-Capelli-lauseen perusteella voidaan väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuus, koska Rank(A)=Rank(T)=2 .

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten jätämme sen pois järjestelmästä matriisirankalauseen perusteella:


Siten olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jos yhtälöiden r määrä tuloksena olevassa SLAE:ssä on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä n, jätämme perusmollin muodostavat termit yhtälöiden vasempaan osiin ja siirremme loput termit yhtälöiden oikeaan osiin. järjestelmä päinvastaisella merkillä.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niitä on r) kutsutaan ns. pää.

Tuntemattomia muuttujia (niitä on n - r), jotka päätyivät oikealle puolelle kutsutaan vapaa.

Nyt oletetaan, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapailla tuntemattomilla muuttujilla ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmentyminen voidaan löytää ratkaisemalla saatu SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Ratkaise lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä .

Ratkaisu.

Etsi järjestelmän päämatriisin sijoitus rajaavien alaikäisten menetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 nollasta poikkeava ensimmäisen asteen molli. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toisen asteen mollia, joka ympäröi tätä mollia:


Joten löysimme nollasta poikkeavan toisen asteen mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Lisätyn matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Kolmannen kertaluvun löydetty nollasta poikkeava molli otetaan perusyksiköksi.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme perusmolliin osallistuvat termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annamme vapaat tuntemattomat muuttujat x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli otamme , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaisemme saadun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän Cramer-menetelmällä:


Tämän seurauksena,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessa ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisen muodon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi selvitetään ensin sen yhteensopivuus Kronecker-Capelli-lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Jos päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, valitsemme perusmollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun perusmollin muodostukseen.

Jos kanta-mollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa, siirretään loput termit oikealle puolelle ja annetaan mielivaltaisia ​​arvoja ​ilmaisiin tuntemattomiin muuttujiin. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista kaikenlaisia ​​lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä ilman niiden yhteensopivuuden alustavaa tutkimusta. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen poissulkeminen mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että epäjohdonmukaisuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisen työn kannalta Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sitä Yksityiskohtainen kuvaus ja analysoinut esimerkkejä artikkelissa Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen algebrallisten järjestelmien yleisratkaisun kirjaaminen perusratkaisujärjestelmän vektoreilla.

Tässä osiossa keskitymme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhteisiin järjestelmiin, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Peruspäätösjärjestelmä P lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on joukko (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat matriisisarakkeita, joiden dimensio on n 1 ) , niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään lineaarisena yhdistelmänä perusratkaisujärjestelmän vektoreista mielivaltaisilla vakiokertoimetС 1 , С 2 , …, С (n-r) , eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava asettaa kaiken mahdolliset ratkaisut alkuperäinen SLAE, toisin sanoen ottamalla mikä tahansa mielivaltaisten vakioiden С 1 , С 2 , …, С (n-r) arvot, kaavan mukaan saadaan yksi alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme asettaa tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muotoon .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän perusmolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle vastakkaisilla etumerkeillä kaikki termit, jotka sisältävät vapaita tuntemattomia muuttujia. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,…,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälön alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Siten saadaan X (1) - perusjärjestelmän ensimmäinen ratkaisu. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin rakennetaan homogeenisen SLAE:n perusratkaisujärjestelmä ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten fringing-menetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsi toisen kertaluvun reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka eroaa nollasta, löytyy. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin arvo on kaksi. Otetaan perus-molli. Selvyyden vuoksi panemme merkille sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätämme tärkeimmät tuntemattomat käsittävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirrämme termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen perusmollin järjestys on kaksi. Löytääksemme X (1) annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sitten löydämme tärkeimmät tuntemattomat yhtälöjärjestelmästä
.

Jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden mukaan materiaali saattaa tuntua tylsältä ja tavalliselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen edelleen kehittämisen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmäyhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on aivan selvää Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea ns triviaali ratkaisu . Triviaali niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa bespontovoe. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ... Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se porrastettuun muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että vapaan jäsenen pystypalkkia ja nollasaraketta ei tarvitse kirjoittaa tänne - loppujen lopuksi, mitä tahansa teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainoa triviaali ratkaisu, jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa 3 kpl).

Lämmitämme ja viritämme radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Algoritmin korjaamiseksi lopulta analysoidaan lopullinen tehtävä:

Esimerkki 7

Ratkaise homogeeninen järjestelmä, kirjoita vastaus vektorimuodossa.

Ratkaisu: kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon:

(1) Ensimmäisen rivin merkki on muutettu. Jälleen kerran kiinnitän huomion toistuvasti käytettyyn tekniikkaan, jonka avulla voit yksinkertaistaa huomattavasti seuraavaa toimintaa.

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin 2. ja 3. riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla lisättiin 4. riville.

(3) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä on poistettu.

Tuloksena saadaan standardi askelmatriisi, ja ratkaisu jatkuu uurrettua rataa pitkin:

– perusmuuttujat;
ovat vapaita muuttujia.

Ilmaisemme perusmuuttujat vapaina muuttujina. Toisesta yhtälöstä:

- korvaa 1. yhtälö:

Joten yleinen ratkaisu on:

Koska tarkasteltavassa esimerkissä on kolme vapaata muuttujaa, perusjärjestelmä sisältää kolme vektoria.

Korvataan kolminkertaiset arvot yleisratkaisuun ja saada vektori, jonka koordinaatit täyttävät jokaisen homogeenisen järjestelmän yhtälön. Ja vielä kerran, toistan, että on erittäin toivottavaa tarkistaa jokainen vastaanotettu vektori - se ei vie niin paljon aikaa, mutta se säästää sata prosenttia virheistä.

Kolminkertaiselle arvolle etsi vektori

Ja lopuksi kolminkertaiseksi saamme kolmannen vektorin:

Vastaus: , missä

Ne, jotka haluavat välttää murto-osia, voivat harkita kolmosia ja saat vastauksen vastaavassa muodossa:

Murtoluvuista puheen ollen. Katsotaan tehtävässä saatua matriisia ja kysy kysymys - onko mahdollista yksinkertaistaa lisäratkaisua? Loppujen lopuksi täällä ilmaistiin ensin perusmuuttuja murtolukuina, sitten perusmuuttuja murtolukuina, ja minun on sanottava, että tämä prosessi ei ollut helpoin eikä miellyttävin.

Toinen ratkaisu:

Ideana on kokeilla valitse muut perusmuuttujat. Katsotaanpa matriisia ja huomataan kaksi matriisia kolmannessa sarakkeessa. Joten miksi ei saada nollaa huipulle? Tehdään vielä yksi perusmuunnos:

Päästää M 0 on lineaarisen yhtälöjärjestelmän (4) ratkaisujen joukko.

Määritelmä 6.12. Vektorit Kanssa 1 ,Kanssa 2 , …, kanssa p, jotka ovat homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuja, kutsutaan perusratkaisuja(lyhennetty FNR) jos

1) vektorit Kanssa 1 ,Kanssa 2 , …, kanssa p lineaarisesti riippumaton (eli yhtäkään niistä ei voida ilmaista muiden termein);

2) mikä tahansa muu homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu voidaan ilmaista ratkaisuina Kanssa 1 ,Kanssa 2 , …, kanssa p.

Huomaa, että jos Kanssa 1 ,Kanssa 2 , …, kanssa p on jokin f.n.r., sitten ilmaisulla k 1× Kanssa 1 + k 2× Kanssa 2 + … + kp× kanssa p voi kuvata koko sarjaa M 0 ratkaisua järjestelmään (4), joten sitä kutsutaan yleiskuva järjestelmäratkaisusta (4).

Lause 6.6. Jokaisella määrittelemättömällä homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on perusratkaisuja.

Tapa löytää perusratkaisut seuraavasti:

Etsi homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu;

Rakenna ( n – r) tämän järjestelmän osaratkaisut, kun taas vapaiden tuntemattomien arvojen on muodostettava identiteettimatriisi;

Kirjoita mukana olevan ratkaisun yleinen muoto M 0 .

Esimerkki 6.5. Etsi seuraavan järjestelmän perusratkaisut:

Ratkaisu. Etsitään tämän järjestelmän yleinen ratkaisu.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Tässä järjestelmässä on viisi tuntematonta ( n= 5), joista on kaksi tärkeintä tuntematonta ( r= 2), kolme vapaata tuntematonta ( n – r), eli perusratkaisujen joukko sisältää kolme ratkaisuvektoria. Rakennetaan niitä. Meillä on x 1 ja x 3 - tärkeimmät tuntemattomat, x 2 , x 4 , x 5 - ilmaiset tuntemattomat

Vapaan tuntemattoman arvot x 2 , x 4 , x 5 muodostavat identiteettimatriisin E kolmas tilaus. Sain ne vektorit Kanssa 1 ,Kanssa 2 , Kanssa 3 muoto f.n.r. tämä järjestelmä. Sitten tämän homogeenisen järjestelmän ratkaisujen joukko on M 0 = {k 1× Kanssa 1 + k 2× Kanssa 2 + k 3× Kanssa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Selvitetään nyt homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän nollasta poikkeavien ratkaisujen olemassaolon ehdot, toisin sanoen ehdot perusratkaisujoukon olemassaololle.

Homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on nollasta poikkeavat ratkaisut, eli se on epämääräinen, jos

1) järjestelmän päämatriisin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä;

2) homogeenisessa lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä;

3) jos homogeenisessa lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja päämatriisin determinantti on nolla (ts. | A| = 0).

Esimerkki 6.6. Millä parametrin arvolla a homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä onko nollasta poikkeavia ratkaisuja?

Ratkaisu. Muodostetaan tämän järjestelmän päämatriisi ja etsitään sen determinantti: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Tämän matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, kun a = –4.

Vastaus: –4.

7. Aritmetiikka n-ulotteinen vektoriavaruus

Peruskonseptit

Aiemmissa osissa kohtasimme jo käsitteen reaalilukujen joukosta, jotka on järjestetty tiettyyn järjestykseen. Tämä on rivimatriisi (tai sarakematriisi) ja ratkaisu lineaariseen yhtälöjärjestelmään n tuntematon. Nämä tiedot voidaan tiivistää.

Määritelmä 7.1. n-dimensiaalinen aritmeettinen vektori kutsutaan järjestetyksi joukoksi n todellisia lukuja.

Keinot a= (a 1 , a 2 , …, a n), missä iО R, i = 1, 2, …, n on vektorin yleinen näkymä. Määrä n nimeltään ulottuvuus vektori ja numerot a i soitti hänelle koordinaatit.

Esimerkiksi: a= (1, –8, 7, 4, ) on viisiulotteinen vektori.

Valmis n-ulotteisia vektoreita merkitään yleensä nimellä R n.

Määritelmä 7.2. Kaksi vektoria a= (a 1 , a 2 , …, a n) ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) samankokoinen yhtä suuri jos ja vain jos niiden vastaavat koordinaatit ovat samat, eli a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Määritelmä 7.3.summa kaksi n-ulotteiset vektorit a= (a 1 , a 2 , …, a n) ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) kutsutaan vektoriksi a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Määritelmä 7.4. työ oikea numero k vektoria kohti a= (a 1 , a 2 , …, a n) kutsutaan vektoriksi k× a = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Määritelmä 7.5. Vektori noin= (0, 0, …, 0) kutsutaan nolla(tai nolla-vektori).

On helppo tarkistaa, että vektorien yhteenlaskemisen ja reaaliluvulla kertomisen toimilla (operaatioilla) on seuraavat ominaisuudet: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + noin = a;

4) a+ (–a) = noin;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Määritelmä 7.6. Paljon R n kutsutaan operaatioita, joissa lisätään vektoreita ja kerrotaan ne sille annetulla reaaliluvulla aritmeettinen n-ulotteinen vektoriavaruus.