Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Kuinka löytää lukujen pienin yhteinen kerrannainen

Jatketaan keskustelua pienimmästä yhteisestä kerrannaisesta, jonka aloitimme LCM - Pienin yhteinen monikerta, Määritelmä, Esimerkit -osiossa. Tässä aiheessa tarkastelemme tapoja löytää LCM kolmelle tai useammalle numerolle, analysoimme kysymystä negatiivisen luvun LCM:n löytämisestä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Olemme jo määrittäneet suhteen pienimmän yhteiskerran ja suurimman yhteisen jakajan välille. Nyt opitaan määrittelemään LCM GCD:n kautta. Ensin selvitetään, kuinka tämä tehdään positiivisille luvuille.

Määritelmä 1

Etsi pienin yhteinen monikerta suurimman kautta yhteinen jakaja voit käyttää kaavaa LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) .

Esimerkki 1

On tarpeen löytää numeroiden 126 ja 70 LCM.

Ratkaisu

Otetaan a = 126 , b = 70 . Korvaa arvot kaavassa, jolla lasketaan pienin yhteinen kerrannainen suurimman yhteisen jakajan kautta LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Löytää lukujen 70 ja 126 GCD:n. Tätä varten tarvitsemme Euklides-algoritmin: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , joten gcd (126 , 70) = 14 .

Lasketaan LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastaus: LCM (126, 70) = 630.

Esimerkki 2

Etsi numeroiden 68 ja 34 nok.

Ratkaisu

GCD on tässä tapauksessa helppo löytää, koska 68 on jaollinen luvulla 34. Laske pienin yhteinen kerrannainen käyttämällä kaavaa: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastaus: LCM(68; 34) = 68.

Tässä esimerkissä käytimme sääntöä positiivisten kokonaislukujen a ja b pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi: jos ensimmäinen luku on jaollinen toisella, niin näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin ensimmäinen luku.

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöihin

Tarkastellaan nyt tapaa löytää LCM, joka perustuu lukujen hajottamiseen alkutekijöiksi.

Määritelmä 2

Löytääksemme pienimmän yhteisen kerrannaisen meidän on suoritettava useita yksinkertaisia vaiheita:

muodostamme kaikkien lukujen alkutekijöiden tulon, joille meidän on löydettävä LCM;
jätämme pois kaikki tärkeimmät tekijät heidän hankituista tuotteistaan;
yhteisten alkutekijöiden eliminoinnin jälkeen saatu tulo on yhtä suuri kuin annettujen lukujen LCM.

Tämä tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu yhtälöön LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jos katsot kaavaa, se käy selväksi: lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun laajenemiseen osallistuvien tekijöiden tulo. Tässä tapauksessa kahden luvun GCD on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun kertoimissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo.

Esimerkki 3

Meillä on kaksi numeroa 75 ja 210. Voimme erottaa ne seuraavasti: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Jos teet kahden alkuperäisen luvun kaikkien tekijöiden tulon, saat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jos jätetään pois sekä luvuille 3 että 5 yhteiset tekijät, saadaan seuraavan muotoinen tulo: 2 3 5 5 7 = 1050. Tämä tuote on meidän LCM numeroille 75 ja 210.

Esimerkki 4

Etsi numeroiden LCM 441 ja 700 , jakaa molemmat luvut alkutekijöiksi.

Ratkaisu

Etsitään kaikki ehdossa annettujen lukujen alkutekijät:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saamme kaksi lukuketjua: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7 .

Kaikkien näiden lukujen laajentamiseen osallistuneiden tekijöiden tulo näyttää tältä: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Etsitään yhteiset tekijät. Tämä luku on 7. Jätämme sen pois yleistuotteesta: 2 2 3 3 5 5 7 7. Osoittautuu, että NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastaus: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Esitetään vielä yksi muotoilu menetelmästä LCM:n löytämiseksi hajottamalla luvut alkutekijöiksi.

Määritelmä 3

Aiemmin poistimme molemmille luvuille yhteisten tekijöiden kokonaismäärästä. Nyt teemme sen toisin:

Jaetaan molemmat luvut alkutekijöiksi:
lisää ensimmäisen luvun alkutekijöiden tuloon toisen luvun puuttuvat tekijät;
saamme tuotteen, joka on haluttu kahden luvun LCM.

Esimerkki 5

Palataanpa numeroihin 75 ja 210 , joille etsimme jo LCM:ää yhdessä edellisistä esimerkeistä. Jaetaan ne yksinkertaisiin tekijöihin: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Kertoimien 3, 5 ja tuloon 5 numero 75 lisää puuttuvat tekijät 2 ja 7 numerot 210. Saamme: 2 3 5 5 7 . Tämä on numeroiden 75 ja 210 LCM.

Esimerkki 6

On tarpeen laskea numeroiden 84 ja 648 LCM.

Ratkaisu

Jaetaan ehdon luvut alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisää kertoimien tuloon 2 , 2 , 3 ja 7 numerot 84 puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja
3 numerot 648. Saamme tuotteen 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Tämä on lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaus: LCM (84 648) = 4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Riippumatta siitä, kuinka monen luvun kanssa olemme tekemisissä, toimintamme algoritmi on aina sama: löydämme johdonmukaisesti kahden luvun LCM:n. Tälle tapaukselle on olemassa teoreema.

Lause 1

Oletetaan, että meillä on kokonaislukuja a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k näistä luvuista löytyy peräkkäislaskennassa m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k = LCM (m k − 1, a k) .

Katsotaan nyt, kuinka lausetta voidaan soveltaa tiettyihin ongelmiin.

Esimerkki 7

Sinun on laskettava pienin yhteinen kerrannainen neljästä luvusta 140 , 9 , 54 ja 250 .

Ratkaisu

Esitellään merkintä: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Aloitetaan laskemalla m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Lasketaan euklidisen algoritmin avulla lukujen 140 ja 9 GCD: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Saamme: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Siksi m 2 = 1 260 .

Lasketaan nyt saman algoritmin mukaan m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Laskelmien aikana saadaan m 3 = 3 780.

Meidän on vielä laskettava m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Toimimme saman algoritmin mukaan. Saamme m 4 \u003d 94 500.

Esimerkkiehdon neljän luvun LCM on 94500 .

Vastaus: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Kuten näette, laskelmat ovat yksinkertaisia, mutta melko työläitä. Ajan säästämiseksi voit siirtyä toiseen suuntaan.

Määritelmä 4

Tarjoamme sinulle seuraavan toiminta-algoritmin:

hajottaa kaikki luvut alkutekijöiksi;
ensimmäisen luvun tekijöiden tuloon lisätään puuttuvat tekijät toisen luvun tulosta;
lisää kolmannen luvun puuttuvat tekijät edellisessä vaiheessa saatuun tuloon jne.;
tuloksena saatava tulo on ehdon kaikkien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkki 8

On tarpeen löytää viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 LCM.

Ratkaisu

Jaetaan kaikki viisi lukua alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Alkulukuja, joka on luku 7, ei voida ottaa huomioon alkutekijöissä. Tällaiset luvut osuvat yhteen niiden hajoamisen kanssa alkutekijöiksi.

Otetaan nyt luvun 84 alkutekijöiden 2, 2, 3 ja 7 tulo ja lisätään niihin toisen luvun puuttuvat tekijät. Olemme jakaneet luvun 6 2:ksi ja 3:ksi. Nämä tekijät ovat jo ensimmäisen luvun tulossa. Siksi jätämme ne pois.

Jatkamme puuttuvien kertoimien lisäämistä. Siirrymme numeroon 48, jonka alkutekijöiden tulosta otamme 2 ja 2. Sitten lisätään yksinkertainen kerroin 7 neljännestä numerosta ja kertoimet 11 ja 13 viidennestä. Saamme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tämä on viiden alkuperäisen luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Vähiten yhteisen negatiivisten lukujen löytäminen

Löytääksesi pienimmän yhteisen kerrannaisen negatiivisia lukuja, nämä luvut on ensin korvattava numeroilla, joilla on vastakkainen etumerkki, ja sitten laskelmat tulee suorittaa yllä olevien algoritmien mukaisesti.

Esimerkki 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ja LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tällaiset toimet ovat sallittuja, koska jos se hyväksytään a ja − a- vastakkaiset numerot
sitten monikertojen joukko a osuu yhteen luvun kerrannaisten joukon kanssa − a.

Esimerkki 10

On tarpeen laskea negatiivisten lukujen LCM − 145 ja − 45 .

Ratkaisu

Vaihdetaan numeroita − 145 ja − 45 vastakkaisiin numeroihinsa 145 ja 45 . Nyt laskemme algoritmia käyttäen LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, kun olemme aiemmin määrittäneet GCD:n Euklidin algoritmilla.

Saamme, että lukujen LCM − 145 ja − 45 on yhtä suuri 1 305 .

Vastaus: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

Esimerkiksi:

Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

Numerot, joilla luku on jaollinen (12:lla se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan numeron jakajat. Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun a jälkeä jättämättä. Kutsutaan luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi tekijää komposiitti .

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat luvut: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12. Näiden kahden luvun yhteinen jakaja a ja b on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b.

yhteinen moninkertainen useita lukuja kutsutaan luvuksi, joka on jaollinen kullakin näistä luvuista. Esimerkiksi, luvuilla 9, 18 ja 45 on 180:n yhteinen kerrannainen. Mutta 90 ja 360 ovat myös niiden yhteiset kerrannaiset. Kaikista jcommon kerrannaisista löytyy aina pienin, tässä tapauksessa se on 90. Tämä luku on ns. vähitenyhteinen moninkertainen (LCM).

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritelty.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Ominaisuudet.

Kommutatiivisuus:

Assosiatiivisuus:

Erityisesti, jos ja ovat koprime-lukuja , niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n. Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m,n osuu yhteen LCM( m,n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-funktio. Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g(n).

Mitä jakautumislaista seuraa alkuluvut.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen.

NOC( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1 ,..., p k ovat erilaisia alkulukuja ja d 1,...,dk ja e 1,...,ek ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole laajennuksessa).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-hajotelma sisältää kaikki alkutekijät, jotka esiintyvät ainakin yhdessä lukujen hajotelmista a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteiskerran laskenta voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- siirrä suurin laajennus halutun tuotteen tekijöihin (annettujen suurimman joukon tekijöiden tulo) ja lisää sitten kertoimet muiden lukujen laajennuksesta, jotka eivät esiinny ensimmäisessä numerossa tai ovat siinä pienempi määrä kertoja;

- alkutekijöiden tuloksena saatava tulo on annettujen lukujen LCM.

Mikä tahansa kaksi tai useampi luonnolliset luvut heillä on oma NOC. Jos luvut eivät ole toistensa kerrannaisia tai niillä ei ole samoja kertoimia laajennuksessa, niin niiden LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Luvun 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), jolloin tulokseksi saadaan pienin luku, joka on jaollinen 21:llä ja 28:lla.

Suurimman luvun 30 alkutekijöitä täydennettiin kertoimella 5 luvusta 25, tuloksena saatu tulo 150 on suurempi kuin suurin luku 30 ja on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä. Tämä on pienin mahdollinen tuote (150, 250, 300...), jonka kaikki annetut luvut ovat kerrannaisia.

Luvut 2,3,11,37 ovat alkulukuja, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

sääntö. Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut yhdessä.

Toinen vaihtoehto:

Tarvitset useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämiseen:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, esimerkiksi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita muistiin jokaisen näiden luvun alkujakajat (kertoimet);

4) valitse kustakin niistä suurin aste, joka löytyy näiden lukujen kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä tehot.

Esimerkki. Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Ratkaisu. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjoitamme kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Määritelmä. Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja (gcd) nämä numerot.

Etsitään lukujen 24 ja 35 suurin yhteinen jakaja.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia lukuja kutsutaan koprime.

Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan koprime jos niiden suurin yhteinen jakaja (gcd) on 1.

Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.

Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen (eli kaksi kakkosta).
Jäljelle jää kertoimet 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.

Löytää suurin yhteinen jakaja

2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;
3) etsi jäljellä olevien tekijöiden tulo.

Jos kaikki annetut luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen jakaja annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska se jakaa kaikki muut luvut: 45, 75 ja 180.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)

Määritelmä. Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM) luonnolliset luvut a ja b ovat pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 yksinkertaisiksi tekijöiksi: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitetaan nämä tekijät, jotka sisältyvät ensimmäisen näistä luvuista, ja lisätään niihin puuttuvat tekijät 2 ja 2 toisen luvun laajennuksesta (eli yhdistämme tekijät).
Saadaan viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi myös kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaanottaja löytää pienin yhteinen kerrannainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Huomaa, että jos jokin näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen olisi 60, koska se on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

Pythagoras (VI vuosisadalla eKr.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Lukua, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen jakajien summa (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydelliseksi luvuksi. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää alkulukujen tulona, eli alkuluvut ovat kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että luonnollisten lukujen sarjan alkuluvut esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjassa, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Herää kysymys: onko viimeinen (suurin) alkuluku olemassa? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (3. vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli kaksituhatta vuotta matematiikan pääoppikirja, että alkulukuja on äärettömän monta, eli jokaisen alkuluvun takana on parillinen. suurempi alkuluku.
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku, ja sitten ylitti yhden kautta kaikki luvun 2 jälkeen (luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli 4, 6, 8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki numerot 3:n jälkeen yliviivattiin (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.). lopulta vain alkuluvut jäivät yliviivaamatta.

Online-laskimen avulla voit nopeasti löytää kahden tai minkä tahansa muun luvun suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteisen kerrannaisen.

Laskin GCD:n ja NOC:n löytämiseksi

Etsi GCD ja NOC

GCD ja NOC löydetty: 5806

Kuinka käyttää laskinta

Syötä numerot syöttökenttään
Jos syötät vääriä merkkejä, syöttökenttä korostetaan punaisella
paina painiketta "Etsi GCD ja NOC"

Kuinka syöttää numeroita

Numerot syötetään välilyönnillä, pisteillä tai pilkuilla erotettuina
Syötettyjen numeroiden pituutta ei ole rajoitettu, joten pitkien lukujen gcd:n ja lcm:n löytäminen ei ole vaikeaa

Mikä on NOD ja NOK?

Suurin yhteinen jakaja useista luvuista on suurin luonnollinen kokonaisluku, jolla kaikki alkuperäiset luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä. Suurin yhteinen jakaja on lyhennetty GCD.
Vähiten yhteinen monikerta useita lukuja on pienin luku, joka on jaollinen kullakin alkuperäisellä luvulla ilman jäännöstä. Pienin yhteinen kerrannainen on lyhennetty NOC.

Kuinka tarkistaa, onko luku jaollinen toisella luvulla ilman jäännöstä?

Jos haluat selvittää, onko yksi luku jaollinen toisella ilman jäännöstä, voit käyttää joitain numeroiden jaollisuuden ominaisuuksia. Sitten niitä yhdistämällä voidaan tarkistaa joidenkin niistä ja niiden yhdistelmistä jaollisuus.

Joitakin numeroiden jaollisuuden merkkejä

1. Luvun jaollisuusmerkki kahdella
Sen määrittämiseksi, onko luku jaollinen kahdella (onko se parillinen), riittää, kun katsot tämän luvun viimeistä numeroa: jos se on 0, 2, 4, 6 tai 8, niin luku on parillinen, eli se on jaollinen kahdella.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kahdella.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku on jaollinen kahdella.

2. Luvun jaollisuuden merkki kolmella
Luku on jaollinen kolmella, kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Jotta voit määrittää, onko luku jaollinen kolmella, sinun on laskettava numeroiden summa ja tarkistettava, onko se jaollinen kolmella. Vaikka numeroiden summa osoittautuisi erittäin suureksi, voit toistaa saman prosessin uudelleen.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kolmella.
Ratkaisu: lasketaan numeroiden summa: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen kolmella, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen kolmella.

3. Luvun jaollisuuden merkki 5:llä
Luku on jaollinen viidellä, kun sen viimeinen numero on nolla tai viisi.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen viidellä.
Ratkaisu: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku EI ole jaollinen viidellä.

4. Luvun jaollinen merkki 9:llä
Tämä merkki on hyvin samanlainen kuin kolmella jaollinen merkki: luku on jaollinen 9:llä, kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.
Esimerkki: määrittää, onko luku 34938 jaollinen 9:llä.
Ratkaisu: laskemme numeroiden summan: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen 9:llä, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä.

Kuinka löytää kahden luvun GCD ja LCM

Kuinka löytää kahden luvun GCD

Suurin osa yksinkertaisella tavalla kahden luvun suurimman yhteisen jakajan laskeminen on löytää näiden lukujen kaikki mahdolliset jakajat ja valita niistä suurin.

Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä GCD(28, 36) etsimisestä:

Jaamme molemmat luvut tekijöihin: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
Löydämme yhteiset tekijät, eli ne, jotka molemmilla luvuilla ovat: 1, 2 ja 2.
Laskemme näiden tekijöiden tulon: 1 2 2 \u003d 4 - tämä on lukujen 28 ja 36 suurin yhteinen jakaja.

Kuinka löytää kahden luvun LCM

On kaksi yleisintä tapaa löytää kahden luvun pienin kerrannainen. Ensimmäinen tapa on kirjoittaa kahden luvun ensimmäiset kerrannaiset ja sitten valita niistä sellainen luku, joka on yhteinen molemmille luvuille ja samalla pienin. Ja toinen on löytää näiden numeroiden GCD. Mietitäänpä sitä.

LCM:n laskemiseksi sinun on laskettava alkuperäisten lukujen tulo ja jaettava se sitten aiemmin löydetyllä GCD:llä. Etsitään LCM samoille numeroille 28 ja 36:

Etsi lukujen 28 ja 36 tulo: 28 36 = 1008
gcd(28, 36) tiedetään jo olevan 4
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

GCD:n ja LCM:n etsiminen useille numeroille

Suurin yhteinen jakaja löytyy useille luvuille, ei vain kahdelle. Tätä varten suurimman yhteisen jakajan etsittävät luvut jaetaan alkutekijöiksi, jolloin löydetään näiden lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo. Voit myös löytää useiden numeroiden GCD:n käyttämällä seuraavaa suhdetta: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Samanlainen suhde pätee myös lukujen pienimpään yhteiseen kerrannaiseen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esimerkki: etsi GCD ja LCM numeroille 12, 32 ja 36.

Ensin kerrotaan luvut: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
Etsitään yhteiset tekijät: 1, 2 ja 2 .
Heidän tuotteensa antaa gcd:n: 1 2 2 = 4
Etsitään nyt LCM: tätä varten löydämme ensin LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
Löytää kaikkien NOC kolme numeroa, sinun on löydettävä gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, gcd = 1 2 2 3 = 12 .
LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Matemaattiset lausekkeet ja tehtävät vaativat paljon lisätietoa. NOC on yksi tärkeimmistä, erityisen usein aiheessa käytetty aihe.Aihetta opiskellaan lukiossa, vaikka materiaalin ymmärtäminen ei ole erityisen vaikeaa, ei valtuuksia ja kertotaulua tuntevan ihmisen ole vaikea valita tarvittavat numerot ja etsi tulos.

Määritelmä

Yhteinen kerrannainen on luku, joka voidaan jakaa kokonaan kahdeksi luvuksi samanaikaisesti (a ja b). Useimmiten tämä luku saadaan kertomalla alkuperäiset luvut a ja b. Numeron on oltava jaollinen molemmilla luvuilla kerralla ilman poikkeamia.

NOC on hyväksytty termi lyhyt otsikko, koottu ensimmäisistä kirjaimista.

Tapoja saada numero

LCM:n löytämiseksi lukujen kertomismenetelmä ei aina sovellu, se sopii paljon paremmin yksinkertaisille yksi- tai kaksinumeroisille numeroille. On tapana jakaa tekijöihin, mitä suurempi luku, sitä enemmän tekijöitä on.

Esimerkki #1

Yksinkertaisimmassa esimerkissä koulut käyttävät yleensä yksinkertaisia, yksi- tai kaksinumeroisia lukuja. Esimerkiksi sinun on ratkaistava seuraava tehtävä, löydettävä lukujen 7 ja 3 pienin yhteinen kerrannainen, ratkaisu on melko yksinkertainen, kerro ne. Tuloksena on numero 21, pienempää numeroa ei yksinkertaisesti ole.

Esimerkki #2

Toinen vaihtoehto on paljon vaikeampi. Numerot 300 ja 1260 on annettu, LCM:n löytäminen on pakollista. Tehtävän ratkaisemiseksi oletetaan seuraavat toimet:

Ensimmäisen ja toisen luvun hajottaminen yksinkertaisimpiin tekijöihin. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Ensimmäinen vaihe on saatu päätökseen.

Toisessa vaiheessa työskennellään jo saatujen tietojen kanssa. Jokaisen vastaanotetun numeron on osallistuttava lopputuloksen laskemiseen. Kullekin tekijälle suurin määrä esiintymiä otetaan alkuperäisistä luvuista. LCM on yleinen luku, joten numeroiden tekijät on toistettava siinä viimeiseen, jopa ne, jotka ovat läsnä yhdessä esiintymässä. Molempien alkulukujen koostumuksessa on luvut 2, 3 ja 5, eri asteilla, 7 on vain yhdessä tapauksessa.

Laskeaksesi lopullisen tuloksen, sinun on otettava yhtälöön kukin luku niiden edustamien potenssien suurimmassa muodossa. Jää vain kertoa ja saada vastaus oikea täyttö Tehtävä jakautuu kahteen vaiheeseen ilman selitystä:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Se on koko ongelma, jos yrität laskea oikea numero kertolaskulla, vastaus ei varmasti ole oikea, koska 300 * 1260 = 378 000.

Tutkimus:

6300 / 300 = 21 - totta;

6300 / 1260 = 5 on oikein.

Tuloksen oikeellisuus määritetään tarkistamalla - jakamalla LCM molemmilla alkuperäisillä luvuilla, jos luku on molemmissa tapauksissa kokonaisluku, niin vastaus on oikea.

Mitä NOC tarkoittaa matematiikassa

Kuten tiedät, matematiikassa ei ole yhtä hyödytöntä funktiota, tämä ei ole poikkeus. Tämän luvun yleisin tarkoitus on tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Mitä yleensä opiskellaan luokilla 5-6 lukio. Se on myös yhteinen jakaja kaikille kerrannaisille, jos tällaiset ehdot ovat ongelmassa. Tällainen lauseke voi löytää paitsi kahden luvun, myös paljon suuremman luvun jakson - kolme, viisi ja niin edelleen. Miten lisää numeroita- mitä enemmän toimintoja tehtävässä, mutta tämän monimutkaisuus ei kasva.

Kun esimerkiksi otetaan huomioon luvut 250, 600 ja 1500, sinun on löydettävä niiden kokonais-LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - tämä esimerkki kuvaa tekijöiden jakamisen yksityiskohtaisesti ilman vähennyksiä.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Lausekkeen muodostamiseksi on mainittava kaikki tekijät, tässä tapauksessa annetaan 2, 5, 3 - kaikille näille luvuille on määritettävä enimmäisaste.

Huomio: kaikki kertoimet on yksinkertaistettava täysin, jos mahdollista, hajottamalla yksinumerotasolle.

Tutkimus:

1) 3000 / 250 = 12 - totta;

2) 3000 / 600 = 5 - tosi;

3) 3000 / 1500 = 2 on oikein.

Tämä menetelmä ei vaadi temppuja tai nerotason kykyjä, kaikki on yksinkertaista ja selkeää.

Toinen tapa

Matematiikassa paljon liittyy toisiinsa, paljon voidaan ratkaista kahdella tai useammalla tavalla, sama pätee pienimmän yhteisen kerrannaisen, LCM:n löytämiseen. Seuraavaa menetelmää voidaan käyttää yksinkertaisten kaksinumeroisten ja yksinumeroisten lukujen tapauksessa. Kootaan taulukko, johon kerroin syötetään pystysuunnassa, kerroin vaakasuunnassa ja tulo merkitään sarakkeen leikkaaviin soluihin. Voit heijastaa taulukkoa viivan avulla, numero otetaan ja tulokset kertomalla tämä luku kokonaisluvuilla kirjoitetaan riville 1:stä äärettömään, joskus 3-5 pistettä riittää, toinen ja sitä seuraavat luvut alistetaan samaan laskentaprosessiin. Kaikkea tapahtuu, kunnes yhteinen moninkertainen löytyy.

Kun otetaan huomioon luvut 30, 35, 42, sinun on löydettävä LCM, joka yhdistää kaikki luvut:

1) 30:n kertoimet: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 jne.

2) 35:n kertoimet: 70, 105, 140, 175, 210, 245 jne.

3) 42:n kertoimet: 84, 126, 168, 210, 252 jne.

On huomattava, että kaikki luvut ovat melko erilaisia, ainoa yhteinen luku niiden joukossa on 210, joten se on LCM. Tähän laskelmaan liittyvien prosessien joukossa on myös suurin yhteinen jakaja, joka lasketaan vastaavien periaatteiden mukaan ja jota usein kohdataan viereisissä ongelmissa. Ero on pieni, mutta riittävän merkittävä, LCM sisältää luvun, joka on jaollinen kaikilla annetuilla alkuarvoilla, ja GCM sisältää laskennan suurin arvo jolla alkuperäiset luvut ovat jaollisia.