Monimutkaisten funktioiden esimerkkien integrointi. Kompleksisen muuttujan funktioiden integrointi

Tarkastellaan tasaista käyrää Γ parametristen yhtälöiden määrittelemällä kompleksitasolla

(tasaisen käyrän määritelmä on §8 alussa). Kuten § 8:ssa todetaan, nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa kompaktissa muodossa:

Kun muutat parametria t alkaen A/3 vastaavaan kohtaan z(t) Yhtälöt (15.1) ja (15.2) eivät ainoastaan ​​määritä käyrän pisteitä, vaan myös määrittävät tämän käyrän kulkusuunnan. Kutsutaan käyrää Г, jolla on tietty kulkusuunta suuntautunut käyrä.

Päästä alueelle D C C:lle annetaan jatkuva funktio /(r) = = u(x, y) + iv(x. y), ja anna käyrän G asettua sisään D. Esitellä integraalin käsite [f(z)dz toiminnosta f(z) käyrää Г pitkin määritetään r

ero dz tasa-arvo dz = dx + idy. Integrandilauseke muunnetaan muotoon

Siten integraali monimutkainen toiminto f(z) käyrää Г pitkin on luonnollista määritellä tasa-arvolla

jonka oikealla puolella on kaksi toisen tyyppisten reaalifunktioiden todellista käyräviivaista integraalia Ja Ja Ja. Laske nämä integraalit sen sijaan X Ja klo korvaavat toiminnot x(t) ja t/(/), ja sen sijaan dx Ja dy- näiden toimintojen erot dx = x"(t)dt Ja dy = y"(t)dt. Tällöin (15.3):n oikealla puolella olevat integraalit pelkistetään kahdeksi reaalimuuttujan funktioiden integraaliksi t

Olemme nyt valmiita antamaan seuraavan määritelmän.

Integraali käyrää pitkin G kompleksisen muuttujan f(z) funktiosta on numero, jota tarkoittaa J" f(z)dz ja laskenut

Missä z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - käyrän yhtälö Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Esimerkki 15.1. Laske funktion integraali f(z) = (g - a) s pitkin ympyrää, jonka säde on r ja jonka keskipiste on a ja jonka suunta on vastapäivään.

Ratkaisu: Ympyrän yhtälö z - a= r tulee olemaan z - a = ge a, tai

Kun se muuttuu t. 0 - 2tg piste z(t.) liikkuu ympyrää G pitkin vastapäivään. Sitten

Soveltamalla yhtäläisyyttä (15.5) ja Moivren kaavaa (2.10) saadaan

Olemme saaneet jatkokeskustelun kannalta tärkeän tuloksen:

Huomaa, että integraalin arvo ei riipu säteestä G ympyrät.

Esimerkki 15.2. Laske funktion integraali f(z) = 1, mutta tasainen käyrä Г, jonka alku on pisteessä A ja päättyy johonkin pisteeseen b.

Ratkaisu: Olkoon yhtälöllä käyrä Г z(t.) = x(t) + + iy(t), ja ^ t^ /3, ja A= -g(a), b = z((3). Käyttämällä kaavaa (15.5) sekä Newtonin Leibnizin kaavaa todellisten funktioiden integraalien laskemiseen saadaan

Näemme, että integraali f 1 dz ei riipu yhdistävän polun G tyypistä

yhteiset pisteet a ja 6, a riippuu vain päätepisteistä.

Esittelemme lyhyesti toista lähestymistapaa kompleksisen funktion integraalin määrittämiseen f(z) käyrää pitkin, joka on samanlainen kuin segmentin reaalifunktion integraalin määritelmä.

Jaetaan käyrä Г mielivaltaisesti P piirroksia pisteillä zq = a, z 1, ..., z n -ь z n = b, numeroitu liikkeen suunnassa alkupisteestä päätepisteeseen (kuva 31). Merkitään z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = Azn.(Määrä Azk edustaa pisteestä tuleva vektori zi L_i sisään Zk-) Jokaisella sivustolla (zk-i,Zk) valitse mielivaltainen piste (d-) käyrästä ja muodosta summa

Tätä määrää kutsutaan kokonaissumma. Merkitään A:lla suurimman osion pituus, johon käyrä G on jaettu. Tarkastellaan osioiden sarjaa, jolle A -? 0 (samaan aikaan P-* oo).

Integraalisummien yksikkö, joka lasketaan sillä ehdolla, että osion suurimman osan pituus pyrkii nollaan, on ns. funktion integraali/(G) käyrää pitkin G ja merkitty G:llä f(z)dz:

Voidaan osoittaa, että tämä määritelmä johtaa meidät myös kaavaan (15.3) ja on siten yhtä suuri kuin edellä annettu määritelmä (15.5).

Selvitetään integraalin / perusominaisuudet f(z)dz.

1°. Lineaarisuus. Kaikille kompleksisille vakioille a ja b

Tämä ominaisuus seuraa yhtälöstä (15.5) ja integraalin vastaavista ominaisuuksista segmentin yli.

2°. Additiivisuus. Jos käyrä G jaettu osiin Ti m G2, Että

Todiste. Olkoon käyrä Г, jonka päät a, b jaettuna pisteellä c kahteen osaan: käyrä Gi, jonka päät a, Kanssa ja käyrä GG, jonka päät ovat c, b. Olkoon Γ yhtälöllä z = z(t), A ^ t ^ V. ja A= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Silloin käyrien Г1 ja Гг yhtälöt ovat z = z(t), Missä A ^ t^7 Ti:lle ja 7^lle t^/? joukkueelle Gg. Soveltamalla määritelmää (15.5) ja integraalin vastaavia ominaisuuksia segmentin päälle saadaan

Q.E.D.

Ominaisuus 2° mahdollistaa integraalien laskemisen paitsi tasaisten käyrien lisäksi myös yli paloittain sileä, eli käyrät, jotka voidaan jakaa rajalliseen määrään sileitä osia.

3°. Kun käyrän suuntaa muutetaan, integraali muuttaa etumerkkiä.

Todiste l s t v o. Olkoon käyrä Г päillä A Ja b saadaan yhtälöllä r = r(?), o ^ t ^ $. Käyrä, joka koostuu samoista pisteistä kuin Γ, mutta poikkeaa Γ:stä kulkusuunnassa (orientaatiossa), merkitään Γ:llä. Sitten Г - saadaan yhtälöstä z= 2i(J)> missä z(t)= 2(0 -I -fi - t), Todellakin, otetaan käyttöön uusi muuttuja r = a + - t. Kun se muuttuu t kohdasta a paikkaan (d muuttuja g vaihtelee (5 a. Näin ollen piste r(t) kulkee käyrää Γ".

3° ominaisuus on todistettu. (Huomaa, että integraalin (15.8) määritelmästä tämä ominaisuus seuraa suoraan: kun käyrän suunta muuttuu, kaikki inkrementit AZk vaihda merkki.)

4°. Integraalin f f(z)dz moduuli ei ylitä käyräviivan arvoa G

funktion moduulin lineaarinen integraali käyrän s pituudella (ensimmäisen tyyppinen f(z):n kaareva integraali):

Se on helppo nähdä z[(t) = g" g (t)(a + - t)J = -z" t (t), dt = -dr. Käyttämällä määritelmää (15.5) ja siirtymällä muuttujaan r saadaan

Todiste. Käyttäkäämme sitä tosiasiaa integraalille segmentin yli

(tämä epäyhtälö seuraa välittömästi segmentin yli olevan integraalin määritelmästä integraalisummien rajana). Täältä ja (15.5) alkaen meillä

1. Peruskäsitteet

2. Kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskenta

3. Esimerkkejä kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemisesta

4. Cauchyn päälause yksinkertaiselle ääriviivalle

5. Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle

6. Cauchyn integraalikaava

7. Integraalien laskenta suljetun silmukan yli

8. Esimerkkejä integraalien laskemisesta suljetun silmukan kautta

Peruskonseptit

1. Kompleksimuuttujan funktion integraalin käsite otetaan käyttöön (samalla tavalla kuin reaalialueella) integraalisummien sarjan rajana; funktio on määritelty jollekin käyrälle l, käyrän oletetaan olevan tasainen tai palasittain tasainen:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2,43)

missä x_k on käyräosion kaarelta \Delta l_k valittu piste; \Delta z_k - funktion argumentin lisäys tässä osioosassa, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- osiovaihe, |\Delta z_k| - kaaren päät yhdistävän jänteen pituus \Delta l_k ; käyrä l jaetaan mielivaltaisesti n osaan \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Käyrälle valittu suunta, ts. aloitus- ja loppupisteet on merkitty. Suljetun käyrän tapauksessa \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integraatio tapahtuu positiiviseen suuntaan, ts. suuntaan, joka jättää vasemmalle rajallisen alueen, jota rajoittaa ääriviiva.

Kaava (2.43) määrää kompleksisen muuttujan funktion riviintegraali. Jos erotamme funktion f(z) reaali- ja imaginaariosat, ts. kirjoita se lomakkeeseen

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operaattorinimi(Re)f(z),\quad v=\operaattorinimi(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

niin integraalisumma voidaan kirjoittaa kahden termin muodossa, jotka ovat kahden reaalimuuttujan toisen tyyppisten funktioiden kaarevien integraalien integraalisummat. Jos f(z):n oletetaan olevan jatkuva l:llä, niin u(x,y),~ v(x,y) on myös jatkuva l:llä, ja siten vastaavilla integraalisummilla on rajat. Siksi, jos funktio f(z) on jatkuva l:llä, yhtälön (2.43) raja on olemassa, ts. käyrällä l on funktion f(z) käyräviivainen integraali ja kaava pätee

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Integraalin tai kaavan (2.44) määritelmän ja toisen tyyppisten kaarevien integraalien ominaisuuksien avulla on helppo varmistaa kompleksisen muuttujan funktioiden kaarevan integraalin seuraavien ominaisuuksien oikeellisuus (todellisesta analyysistä tunnetut ominaisuudet) .

\begin(tasattu)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z) )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(tasattu)

erityisesti, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), jos funktion suuruus on rajoitettu käyrällä AB, eli |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Tätä ominaisuutta kutsutaan integraalin moduulin estimointiominaisuudeksi.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Kaavaa (2.44) voidaan pitää sekä kompleksisen muuttujan funktion kaarevan integraalin määritelmänä että kaavana sen laskemiseksi kahden reaalimuuttujan toisen tyyppisten funktioiden kaarevien integraalien kautta.

Laskentakaavan käyttämiseksi ja muistamiseksi huomaamme, että yhtälö (2.44) vastaa funktion f(z) reaali- ja imaginaariosien erottamistoimintojen integraalimerkin vasemmalla puolella olevaa muodollista suoritusta kertomalla dz= dx+i\,dy ja tuloksena olevan tulon kirjoittaminen algebralliseen muotoon:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Esimerkki 2.79. Laske integraalit ja \int\limits_(OA)z\,dz, jossa rivi OA

a) suora, joka yhdistää pisteet z_1=0 ja z_2=1+i,
b) katkoviiva OBA, missä O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Ratkaisu

1. Laske integraali \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Tässä f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Kirjoitamme integraalin toisen tyyppisillä kaarevilla integraaleilla:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

joka vastaa kaavaa (2.44). Laskemme integraalit:

a) integrointipolku on siis suora jana \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) integrointipolku on katkoviiva, joka koostuu kahdesta segmentistä OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) Ja BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Siksi jakamalla integraali kahteen ja suorittamalla laskelmia saamme

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ rajat_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Funktion f(z)=\overline(z) integraali riippuu pisteiden O ja A yhdistävän integrointipolun valinnasta.

2. Laske integraali \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) tässä f(z)=z=x+iy. Kirjoitamme integraalin toisen tyyppisillä kaarevilla integraaleilla

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Saatujen toisen tyyppisten integraalien integraalit ovat täydellisiä differentiaaleja (katso ehto (2.30)), joten riittää, että tarkastellaan yhtä integrointipolun tapausta. Joten tapauksessa "a", jossa segmentin yhtälö y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, saamme vastauksen

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Koska integraali on riippumaton integrointipolun muodosta, tehtävä voidaan tässä tapauksessa muotoilla enemmän yleisnäkymä: laske integraali

\int\limits_(l)z\,dz pisteestä z_1=0 pisteeseen z_2=1+i.

Seuraavassa kappaleessa tarkastelemme tällaisia ​​integrointitapauksia yksityiskohtaisemmin.

2. Älköön jatkuvan funktion integraali tietyllä alueella riippuvainen käyrän tyypistä, joka yhdistää kaksi pistettä tällä alueella. Korjataan aloituspiste, joka tarkoittaa z_0. loppupiste on muuttuja, merkitään se z:llä. Tällöin integraalin arvo riippuu vain pisteestä z, eli se määrittää jonkin funktion määritetyllä alueella.

Alla perustellaan väite, että yksinkertaisesti yhdistetyn toimialueen tapauksessa integraali määrittelee yksiarvoisen funktion tässä toimialueessa. Otetaan käyttöön merkintä

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funktio F(z) on integraali, jolla on muuttuva yläraja.

Käyttäen derivaatan määritelmää, ts. ottaen huomioon \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), on helppo varmistaa, että F(z):llä on derivaatta missä tahansa määrittelyalueen kohdassa ja siksi se on siinä analyyttinen. Tässä tapauksessa derivaatalle saadaan kaava

F"(z)=f(z).

Muuttuvan ylärajan integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandin arvo ylärajalla.

Erityisesti yhtälöstä (2.46) seuraa, että integrandifunktio f(z) kohdassa (2.45) on analyyttinen funktio, koska analyyttisen funktion F(z) derivaatta F"(z) tällaisten funktioiden ominaisuudella (katso Lauseke 2.28) - analyyttinen toiminto.

3. Funktiota F(z), jolle yhtälö (2.46) pätee, kutsutaan antiderivaataksi funktiolle f(z) yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa, ja antiderivaatojen kokoelmaa \Phi(z)=F(z)+c, missä c=\text( const) , - epämääräinen integraali funktiosta f(z) .

Kohdista 2 ja 3 saamme seuraavan väitteen.

Lausunto 2.25

1. Integraali säädettävällä ylärajalla \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) funktioanalyytikosta yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa on funktioanalytiikka tässä toimialueessa; tämä funktio on integrandin antijohdannainen.

2. Mikä tahansa analyyttinen funktio yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa sisältää antiderivaalin (antiderivaatin olemassaolo).

Analyyttisten funktioiden antiderivaatat yksinkertaisesti yhdistetyiltä alueilta löytyy, kuten todellisen analyysin tapauksessa: käytetään integraalien ominaisuuksia, integraalitaulukkoa ja integrointisääntöjä.

Esimerkiksi, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Analyyttisen funktion kaarevan integraalin ja sen antiderivaatan välillä yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa on kaava, joka on samanlainen kuin todellisen analyysin Newton-Leibnizin kaava:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Kuten todellisessa analyysissä, tarkastellaan kompleksialueella integraalin rajoissa parametrin sisältävien integraalien lisäksi (kaava (2.45) antaa yksinkertaisin esimerkki sellaiset integraalit), integraalit, jotka riippuvat integrandin sisältämästä parametrista: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Tällaisten integraalien joukossa tärkeä paikka teoriassa ja käytännössä monimutkainen integraatio ja sovellukset se ottaa muodon integraalin \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Jos oletetaan, että f(z) on jatkuva suoralla l, saadaan, että missä tahansa pisteessä z, joka ei kuulu l:ään, integraali on olemassa ja määrittää tietyn funktion missä tahansa toimialueella, joka ei sisällä l:ää.

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integraalia (2.48) kutsutaan Cauchyn tyyppiseksi integraaliksi; tekijä \frac(1)(2\pi\,i) otetaan käyttöön rakennetun funktion käytön helpottamiseksi.

Tälle funktiolle, kuten yhtäläisyyden (2.45) määrittämälle funktiolle, on osoitettu, että se on analyyttinen kaikkialla määrittelyalueella. Lisäksi, toisin kuin integraali (2.45), tässä ei vaadita generoivan funktion f(z) olevan analyyttinen, ts. luokan kaavan (2.48) mukaan jatkuvat toiminnot monimutkainen muuttuja, analyyttisten funktioiden luokka rakennetaan. Integraalin (2.48) derivaatta määritetään kaavalla

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Kaavan (2.49) ja siten väitteen Cauchyn tyyppisen integraalin analyyttisuudesta todistamiseksi riittää derivaatan määritelmän mukaan todeta epäyhtälön pätevyys

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\oikea|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

mille tahansa \varepsilon>0:lle ja mille tahansa z:lle funktion F(z) määritelmäalueesta.

Samalla menetelmällä voidaan osoittaa, että yhtälön (2.49) määrittelemästä funktiosta on olemassa derivaatta, ts. F""(z) , ja kaava on kelvollinen

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Proseduuria voidaan jatkaa ja todistaa induktiolla funktion F(z)\colon derivaatan kaava missä tahansa järjestyksessä

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analysoimalla kaavoja (2.48) ja (2.49) on helppo varmistaa, että derivaatta F(z) voidaan saada muodollisesti differentoimalla integraalimerkin alla olevaan parametriin (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\oikea)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! \left(\frac(f) (\xi))(\xi-z)\oikea)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Soveltamalla muodollisesti sääntöä integraalin erottamisesta parametrista n kertaa, saadaan kaava (2.50).

Kirjoitamme tähän osioon saadut tulokset lausuman muodossa.

Lausunto 2.26. Integraali \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi funktion f(z) jatkuva käyrällä l on funktio, joka on analyyttinen millä tahansa alueella D, joka ei sisällä l:ää; tämän funktion derivaatat voidaan saada differentiaatiolla integraalimerkin alla olevan parametrin suhteen.

Kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskenta

Yllä saimme kaavat kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemiseen - kaavat (2.44) ja (2.47).

Jos käyrä l kaavassa (2.44) on määritelty parametrisesti: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta tai joka vastaa todellista muotoa: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, sitten käyttämällä toisen tyyppisten integraalien laskentasääntöjä käyrän parametrimääritelmän tapauksessa, voimme muuntaa kaavan (2.44) muotoon

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Kirjaamme ylös saadun tuloksen ja edellisellä luennolla saadut tulokset toimintosarjana.

Integraalien laskentamenetelmät \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Ensimmäinen tapa. Integraalien laskeminen \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) jatkuvasta funktiosta pelkistämällä reaalimuuttujien funktioiden kaareviin integraaleihin - kaavan (2.44) soveltaminen.

1. Etsi \operaattorinimi(Re)f(z)=u,~ \operaattorinimi(Im)f(z)=v.

2. Kirjoita integrandi f(z)dz tulona (u+iv)(dx+i\,dy) tai kertomalla u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Laske muodon kaarevat integraalit \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Missä P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) toisen tyyppisten kaarevien integraalien laskentasääntöjen mukaan.

Toinen tapa. Integraalien laskeminen \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) jatkuvasta funktiosta pelkistämällä määrättyyn integraaliin integrointipolun parametrisen määritelmän tapauksessa - kaavan (2.51) soveltaminen.

1. Kirjoita muistiin käyrän z=z(t) parametrinen yhtälö ja määritä siitä integroinnin rajat: t=\alpha vastaa integrointipolun alkupistettä, t=\beta - loppupiste.

2. Etsi kompleksiarvoisen funktion differentiaali z(t)\kaksoispiste\, dz=z"(t)dt.
3. Korvaa z(t) integrandiksi ja muunna integraali

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Laske vaiheessa 3 saadun reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion määrätty integraali.

Huomaa, että todellisen muuttujan kompleksiarvoisen funktion integrointi ei eroa reaaliarvoisen funktion integroimisesta; ainoa ero on tekijän i läsnäolo ensimmäisessä tapauksessa, toiminnot, joiden kanssa luonnollisesti katsotaan olevan vakion kanssa. Esimerkiksi,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Kolmas tapa. Analyyttisten funktioiden integraalien laskenta yksinkertaisesti yhdistetyissä verkkotunnuksissa - kaavan (2.47) soveltaminen.

1. Etsi antiderivaata F(z) integraalien, taulukkointegraalien ja reaalianalyysistä tunnettujen menetelmien ominaisuuksien avulla.

2. Käytä kaavaa (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Huomautuksia 2.10

1. Moninkertaisesti yhdistetyn alueen tapauksessa tehdään leikkauksia, jotta voidaan saada yksiarvoinen funktio F(z).

2. Integroitaessa moniarvoisten funktioiden yksiarvoisia haaroja, haara erotetaan määrittämällä funktion arvo tietyssä integrointikäyrän kohdassa. Jos käyrä on suljettu, niin integrointipolun aloituspisteeksi katsotaan piste, jossa integrandin arvo annetaan. Integraalin arvo voi riippua tämän pisteen valinnasta.

▼ Esimerkit 2.80-2.86 kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemisesta

Esimerkki 2.80. Laskea \int\limits_(l)\operaattorinimi(Re)z\,dz, jossa l on viiva, joka yhdistää pisteen z_1=0 pisteeseen z_2=1+i\kaksoispiste

a) l - suora; b) l - katkoviiva OBA, missä O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Ratkaisu

a) Käytämme ensimmäistä menetelmää - (kaava (2.44)).

1.2. Integrandilla on muoto \operaattorinimi(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Siksi

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Laske integraalit kohdassa y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(pisteitä z_1 ja z_2 yhdistävän segmentin OA yhtälö). Saamme

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Koska integrointipolku koostuu kahdesta segmentistä, kirjoitamme integraalin kahden integraalin summaksi:

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operaattorinimi(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operaattorinimi(Re)z\,dz

ja laskemme jokaisen kuten edellisessä kappaleessa. Lisäksi meillä on segmentille OB

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) ja segmentille BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Teemme laskelmia:

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Huomaa, että tämän esimerkin integrandi ei ole analyyttinen funktio, joten kahta annettua pistettä yhdistävien kahden eri käyrän integraaleilla voi olla eri arvot, kuten tässä esimerkissä on kuvattu.

Esimerkki 2.81. Laskea \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, jossa l on ylempi puoliympyrä |z|=1, joka kulkee käyrän l läpi vastapäivään.

▼ Ratkaisu

Käyrällä on yksinkertainen parametrinen yhtälö z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, siksi on tarkoituksenmukaista käyttää toista menetelmää (kaava (2.51)). Integrandi on tässä jatkuva funktio, eikä se ole analyyttinen.

1.2. z=e^(it):lle löydämme \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Korvaa integrandiin. Laske integraali

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Esimerkki 2.82. Laske analyyttisten funktioiden integraalit:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), integrointipolku ei kulje pisteen i kautta.

▼ Ratkaisu

a) Käytä kaavaa (2.47) (kolmas sääntö); Löydämme antiderivaatin käyttämällä todellisen analyysin integrointimenetelmiä:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operaattorinimi(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operaattorinimi(sh)2).

b) Integrandi on analyyttinen kaikkialla paitsi pisteessä i. Leikkaamalla säteen taso pisteestä i kohtaan \infty , saadaan yksinkertaisesti yhdistetty alue, jossa funktio on analyyttinen ja integraali voidaan laskea kaavan (2.47) avulla. Siksi jokaiselle käyrälle, joka ei kulje pisteen i kautta, voit laskea integraalin kaavan (2.47) avulla, ja kahdelle tietylle pisteelle sillä on sama arvo.

Kuvassa Kuva 2.44 esittää kaksi tapausta leikkauksista. Yksinkertaisesti yhdistettyjen alueiden, joissa integrandi on analyyttinen, rajan ylityssuunta on osoitettu nuolilla. Laskemme integraalin:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Esimerkki 2.83. Laske integraali \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Ratkaisu

Integrandi on analyyttinen kaikkialla \mathbb(C):ssä. Käytämme kolmatta menetelmää, kaavaa (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Tämä tulos saatiin esimerkissä 2.78 ensimmäisen menetelmän mukaisesti.

Esimerkki 2.84. Laske integraali \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), jossa C on ympyrä |z-a|=R.

▼ Ratkaisu

Käytetään toista menetelmää.

1. Kirjoitamme ympyrän yhtälön parametrimuodossa: z-a=R\,e^(it) , tai z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Etsi ero dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Korvaa integrandiin z=a+R\,e^(it) ja dz:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Laskemme tuloksena olevan kiinteän integraalin. Saat n\ne1

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(se(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \iso).

Koska e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Siksi \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 osoitteessa n\ne1 . Saat n=1:lle \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Kirjoitetaan tulos kaavaksi:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Erityisesti, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Huomaa, että jos ympyrä C\colon |z-a|=R kulkee pisteellä k kertaa, niin argumentti (parametri) muuttuu 0:sta 2\pi k ( k>0, jos läpikulku on positiivisessa suunnassa, eli vastapäivään , ja k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Esimerkki 2.85. Laske kompleksisen muuttujan funktion integraali \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) integrointipolku ei kulje pisteen z=0 läpi eikä kierrä sitä, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) integrointipolku ei kulje pisteen z=0 läpi, vaan kiertää sen n kertaa ympyrän ympäri vastapäivään.

▼ Ratkaisu

a) Tämä integraali - integraali, jolla on muuttuva yläraja - määrittää yksiarvoisen analyyttisen funktion missä tahansa yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa (katso 2.45)). Etsitään tälle funktiolle analyyttinen lauseke - antiderivaata f(z)=\frac(1)(z) . Integraalin todellisen ja imaginaarisen osan erottaminen \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(käyttämällä kaavaa (2.44)) on helppo varmistaa, että toisen tyyppisten integraalien integraati ovat täydellisiä differentiaaleja ja siksi integraali \frac(d\xi)(\xi) ei riipu käyrän tyypistä yhdistämällä pisteet z_1=1 ja z. Valitaan polku, joka koostuu Ox-akselin segmentistä pisteestä z_1=1 pisteeseen z_2=r, missä r=|z| , ja ympyrän kaaret l. z_2:n yhdistäminen z:hen (kuva 2.45, a).

Kirjoitamme integraalin summana: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Integraalin laskemiseksi ympyräkaaren yli käytämme kaavaa (2.51), kaarella on yhtälö \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Saamme \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; tuloksena

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Yhtälön oikea puoli määrittelee yksiarvoisen funktion \ln z - logaritmin pääarvon. Vastauksen saamme lomakkeella

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Huomaa, että tuloksena oleva yhtälö voidaan pitää yksiarvoisen funktion \ln z määritelmänä yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa - tasossa, jossa on leikkaus negatiivista todellista puoliakselia (-\infty;0] pitkin).

b) Integraali voidaan kirjoittaa summana: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d) \xi)(\xi), jossa c on ympyrä |z|=1, joka kulkee n kertaa vastapäivään, ja l on pisteet z_1 ja z yhdistävä käyrä, joka ei kata pistettä z=0 (kuva 2.45, b).

Ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin 2n\pi i (katso esimerkki 2.84), toinen on \ln(z) - kaava (2.53). Saamme tuloksen \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Esimerkki 2.86. Laske integraali \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) ympyrän yläkaarta pitkin |z|=1 edellyttäen: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Ratkaisu

Asettamalla funktion \sqrt(z) arvot integrointiääriviivan pisteeseen, voit valita lausekkeen yksiselitteisiä haaroja \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(katso esimerkki 2.6). Leikkaus voidaan tehdä esimerkiksi kuvitteellista negatiivista puoliakselia pitkin. Koska arvolla z=1 meillä on \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, niin ensimmäisessä tapauksessa valitaan haara, jossa k=0, toisessa - k=1. Integrandi ääriviivalla on jatkuva. Ratkaisussa käytämme kaavaa (2.51), määritä käyrä yhtälön avulla z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Haara määritetään kohdassa k=0, ts. z=e^(it) integrandille, jonka saamme \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Laskemme integraalin:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2) \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) Haara määritetään kohdassa k=1, ts. z=e^(it) integrandille, joka meillä on \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\oikea))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Laskemme integraalin:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

Teoriassa ja käytännössä kompleksisen muuttujan funktioiden integraalilaskennan sovelluksissa, kun tutkitaan funktioiden käyttäytymistä rajatuilla alueilla tai yksittäisten pisteiden läheisyydessä, integraalit otetaan huomioon suljetuilla käyrillä - alueiden rajoilla, erityisesti naapuruston. pisteitä. Otamme huomioon integraalit \oint\limits_(C)f(z)dz, jossa f(z) on analyyttinen jollain c-alueella, yksittäisiä pisteitä lukuun ottamatta, C on alueen raja tai sisäinen ääriviiva tällä alueella.

Cauchyn peruslause yksinkertaiselle ääriviivalle

Lause 2.1 (Cauchyn lause yksinkertaiselle ääriviivalle). Jos f(z) on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella, niin mille tahansa tähän alueeseen kuuluvalle ääriviivalle C pätee seuraava yhtälö:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Lauseen todistus on helppo saada analyyttisten funktioiden ominaisuuden perusteella, jonka mukaan analyyttisellä funktiolla on minkä tahansa kertaisia ​​derivaattoja (katso lause 2.28). Tämä ominaisuus varmistaa osittaisten johdannaisten jatkuvuuden \operaattorinimi(Re)f(z) Ja \operaattorinimi(Im)f(z), joten jos käytämme kaavaa (2.44), on helppo nähdä, että toisen tyyppisten kaarevien integraalien jokaiselle integrandille kokonaisdifferentiaalin ehdot täyttyvät, kuten analyyttisten funktioiden Cauchy-Riemannin ehdot. Ja kokonaisdifferentiaalien suljettujen käyrien integraalit ovat nolla.

Huomaa, että kaikki alla esitetyt teoreettiset kannat perustuvat viime kädessä tähän tärkeään lauseeseen, mukaan lukien edellä mainittu analyyttisten funktioiden ominaisuus. Jotta esityksen oikeellisuudesta ei olisi epäilystäkään, toteamme, että lause voidaan todistaa ilman viittausta sen johdannaisten olemassaoloon vain analyyttisen funktion määritelmän perusteella.

Lauseen 2.1 seuraukset

1. Lause pätee myös, jos C on alueen D raja ja funktio f(z) on analyyttinen alueella ja rajalla, ts. \overline(D):ssä, koska määritelmän mukaan \overline(D):n analyyttisyys tarkoittaa funktion analyyttisuutta jossain toimialueella B, joka sisältää D~(B\supset\overline(D)), ja C on B:n sisäääriviiva.

2. Integraalit eri käyrien yli, jotka sijaitsevat funktion yksinkertaisesti yhdistetyssä analyyttisyysalueella ja yhdistävät kaksi tämän alueen pistettä, ovat keskenään yhtä suuret, ts. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, jossa l_1 ja l_2 ovat mielivaltaisia ​​käyriä, jotka yhdistävät pisteet z_1 ja z_2 (kuva 2.46).

Sen todistamiseksi riittää, kun tarkastellaan ääriviivaa C, joka koostuu käyrästä l_1 (pisteestä z_1 pisteeseen z_2) ja käyrästä l_2 (pisteestä z_2 pisteeseen z_1). Omaisuus voidaan muotoilla seuraavasti. Analyyttisen funktion integraali ei riipu integrointikäyrän tyypistä, joka yhdistää kaksi pistettä funktion analyyttisyysalueella eikä poistu tästä alueesta.

Tämä perustelee edellä esitettyä lausetta 2.25 integraalin ominaisuuksista \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi ja primitiivisen analyyttisen funktion olemassaolosta.

Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle

Lause 2.2 (Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle). Jos funktio f(z) on analyyttinen moninkertaisesti yhdistetyssä alueella, jota rajoittaa monimutkainen ääriviiva, ja tällä ääriviivalla, niin funktion integraali alueen rajan yli on yhtä suuri kuin nolla, eli jos C on kompleksinen ääriviiva - toimialueen raja, niin kaava (2.54) on voimassa ).

Monimutkainen ääriviiva C (n+1) - yhdistetylle alueelle koostuu ulkomuodosta \Gamma ja sisäisestä - C_i,~i=1,2,\ldots,n; ääriviivat eivät leikkaa pareittain, rajan kiertotie on positiivinen (kuvassa 2.47, n=3).

Lauseen 2.2 todistamiseksi riittää, että alueelle tehdään leikkaukset (katkoviiva kuvassa 2.47) niin, että saadaan kaksi yksinkertaisesti yhdistettyä aluetta ja käytetään Lause 2.1.

Lauseen 2.2 seuraukset

1. Kun Lauseen 2.2 ehdot täyttyvät, ulomman ääriviivan integraali on yhtä suuri kuin sisäääriviivojen integraalien summa; ohitus kaikkiin piireihin yhteen suuntaan (kuvassa 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Jos f(z) on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa D ja alueen rajalla, lukuun ottamatta mahdollisesti tämän alueen pistettä a, niin integraalit useiden suljettujen käyrien yli, jotka sijaitsevat alueella D ja rajoittavat pisteen a sisältävät alueet ovat keskenään yhtä suuret (kuva 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Todistus on ilmeinen, koska jokaista tällaista ääriviivaa voidaan pitää kaksinkertaisesti kytketyn alueen sisärajana, jonka ulkoraja on alueen D raja. Kaavan (2.55) mukaan kun n = 1, mikä tahansa tällainen integraali on yhtä suuri kuin rajan D ylittävä integraali.

Lauseen 2.2 ja Lauseen 2.1 johtopäätöksen 1 formulaatioiden vertaaminen antaa meille mahdollisuuden tehdä yleistyksen, jonka kirjoitamme seuraavan lauseen muodossa.