Todennäköisyyden klassiset, tilastolliset ja geometriset määritelmät. Tiivistelmä: Tilastollinen todennäköisyyden määritys

varten käytännön toimintaa On välttämätöntä pystyä vertailemaan tapahtumia niiden esiintymismahdollisuuden mukaan. Tarkastellaanpa klassista tapausta. Urnassa on 10 palloa, niistä 8 valkoinen, 2 mustaa. On selvää, että tapahtumalla "uurnasta vedetään valkoinen pallo" ja tapahtumalla "uurnasta vedetään musta pallo" on eriasteinen todennäköisyys. Siksi tapahtumien vertailuun tarvitaan tietty määrällinen mitta.

Tapahtuman mahdollisuuden määrällinen mitta on todennäköisyys . Yleisimmin käytetyt tapahtuman todennäköisyyden määritelmät ovat klassisia ja tilastollisia.

Klassinen määritelmä todennäköisyys liittyy suotuisan tuloksen käsitteeseen. Katsotaanpa tätä tarkemmin.

Muodostakoon jonkin testin tulokset kokonaiseksi tapahtumaryhmäksi ja ovat yhtä mahdollisia, ts. ainutlaatuisen mahdollista, yhteensopimatonta ja yhtä mahdollista. Tällaisia ​​tuloksia kutsutaan alkeellisia tuloksia, tai tapauksia. Sanotaan, että testi tiivistyy tapauskaavio tai " uurnasuunnitelma", koska Mikä tahansa tällaisen testin todennäköisyysongelma voidaan korvata vastaavalla ongelmalla eriväristen uurnojen ja pallojen kanssa.

Tulos on ns suotuisa tapahtuma A, jos tämän tapauksen esiintyminen edellyttää tapahtuman esiintymistä A.

Klassisen määritelmän mukaan tapahtuman todennäköisyys A on yhtä suuri kuin tälle tapahtumalle suotuisten tulosten lukumäärän suhde tulosten kokonaismäärään, eli

Missä P(A)- tapahtuman todennäköisyys A; m– tapahtumalle suotuisten tapausten määrä A; n– tapausten kokonaismäärä.

Esimerkki 1.1. Noppia heittäessä on kuusi mahdollista lopputulosta: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pistettä. Mikä on todennäköisyys saada parillinen määrä pisteitä?

Ratkaisu. Kaikki n= 6 lopputulosta muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän ja ovat yhtä mahdollisia, ts. ainutlaatuisen mahdollista, yhteensopimatonta ja yhtä mahdollista. Tapahtumaa A - "parillisen pistemäärän ilmestyminen" - suosii 3 lopputulosta (tapausta) - 2, 4 tai 6 pisteen menetys. Käyttämällä klassista kaavaa tapahtuman todennäköisyydelle saamme

P(A) = = . ◄

Tapahtuman todennäköisyyden klassisen määritelmän perusteella huomioimme sen ominaisuudet:

1. Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä, ts.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Luotettavan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

3. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Kuten aiemmin todettiin, klassista todennäköisyyden määritelmää voidaan soveltaa vain niihin tapahtumiin, jotka voivat syntyä sellaisten testien seurauksena, joilla on symmetria mahdollisten tulosten välillä, ts. pelkistävissä tapausmalliin. On kuitenkin olemassa suuri joukko tapahtumia, joiden todennäköisyyksiä ei voida laskea klassisen määritelmän avulla.

Jos esimerkiksi oletetaan, että kolikko on litistetty, niin on selvää, ettei tapahtumia "vaakunan ulkonäkö" ja "päiden ulkonäkö" voida pitää yhtä mahdollisina. Siksi kaava todennäköisyyden määrittämiseksi klassisen kaavion mukaan ei sovellu tässä tapauksessa.

On kuitenkin olemassa toinen tapa arvioida tapahtumien todennäköisyyttä, joka perustuu siihen, kuinka usein tietty tapahtuma esiintyy suoritetuissa kokeissa. Tässä tapauksessa käytetään tilastollista todennäköisyyden määritelmää.

Tilastollinen todennäköisyystapahtuma A on tämän tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys (taajuus) n suoritetussa tutkimuksessa, ts.

,

(1.2)

Missä P*(A)– tapahtuman tilastollinen todennäköisyys A; w(A)– tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys A; m– niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma tapahtui A; n– testien kokonaismäärä.

Toisin kuin matemaattinen todennäköisyys P(A), jota pidetään klassisessa määritelmässä, tilastollinen todennäköisyys P*(A) on ominaisuus kokenut, kokeellinen. Toisin sanoen tapahtuman tilastollinen todennäköisyys A on luku, jonka ympärille suhteellinen taajuus on vakiintunut (asetettu) w(A) samoissa olosuhteissa suoritettavien testien määrän rajoittamattomalla lisäyksellä.

Esimerkiksi, kun he sanovat ampujasta, että hän osuu maaliin todennäköisyydellä 0,95, tämä tarkoittaa, että sadoista laukauksista, jotka hän on ampunut tietyissä olosuhteissa (sama maali samalla etäisyydellä, sama kivääri jne. . ), onnistuneita on keskimäärin noin 95. Tietenkään joka sadalla ei ole 95 onnistunutta laukausta, joskus niitä on vähemmän, joskus enemmän, mutta keskimäärin, kun ammunta toistetaan monta kertaa samoissa olosuhteissa, tämä osumaprosentti pysyy ennallaan. Ampujan taidon indikaattorina toimiva luku 0,95 on yleensä hyvin vakaa, eli osumien prosenttiosuus useimmissa laukauksissa on lähes sama tietylle ampujalle, mutta vain harvoissa tapauksissa se poikkeaa merkittävästi sen keskiarvosta.

Toinen klassisen todennäköisyyden määritelmän haittapuoli ( 1.1 ) käyttöä rajoittaa se, että se olettaa rajallisen määrän mahdollisia testituloksia. Joissakin tapauksissa tämä haitta voidaan voittaa käyttämällä geometrinen määritelmä todennäköisyydet, ts. pisteen putoamisen todennäköisyys tietylle alueelle (segmentti, tason osa jne.).

Anna litteän hahmon g muodostaa osan litteä figuuri G(Kuva 1.1). Sopiva G piste heitetään satunnaisesti. Tämä tarkoittaa, että kaikki kohdat alueella G"yhtä-arvoiset oikeudet" sen suhteen, osuuko heitetty satunnainen piste siihen. Olettaen, että tapahtuman todennäköisyys A– heitetty piste osuu kuvioon g– on verrannollinen tämän luvun pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista suhteessa G, ei lomakkeesta g, löydämme

Riisi. 1.1 Kuva 1.2

Esimerkki 1.2. Kaksi opiskelijaa sopivat tapaavansa tietyssä paikassa klo 10-11 iltapäivällä. Ensimmäinen saapuva henkilö odottaa toista henkilöä 15 minuuttia ja lähtee sitten. Laske tapaamisen todennäköisyys, jos jokainen opiskelija valitsee saapumisaikansa sattumanvaraisesti kello 10 ja 11 välillä.

Ratkaisu. Merkitään ensimmäisen ja toisen opiskelijan saapumishetkiä tiettyyn paikkaan, vastaavasti x Ja y. Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy Otetaan lähtöpisteeksi 10 tuntia ja mittayksiköksi 1 tunti. Ehdolla 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y≤ 1. Minkä tahansa neliöön kuuluvan pisteen koordinaatit tyydyttävät nämä epäyhtälöt OKLM jonka sivu on 1 (kuva 1.2). Tapahtuma A– kahden opiskelijan tapaaminen – tapahtuu, jos ero x ja ei y ylittää 1/4 tuntia (absoluuttisesti mitattuna), ts. | y – x| ≤ 0,25.

Ratkaisu tähän epätasa-arvoon on nauha x – 0,25 ≤ y ≤ x+ 0,25, joka on neliön sisällä G edustaa varjostettua aluetta g. Kaavan (1.3) mukaan

Klassinen todennäköisyyden määritelmä.

Erilaisia ​​todennäköisyyden määritelmiä.

Tapahtumien algebra.

Tapahtumien kvantitatiiviseksi vertaamiseksi keskenään niiden mahdollisuuden asteen mukaan, on selvää, että jokaiseen tapahtumaan on liitettävä tietty luku, mitä mahdollisempi tapahtuma, sitä suurempi luku. Kutsumme tätä numeroa tapahtuman todennäköisyydeksi. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, tapahtuman todennäköisyys on tämän tapahtuman objektiivisen mahdollisuuden numeerinen mitta.

Ensimmäistä todennäköisyyden määritelmää tulisi pitää klassisena, joka syntyi uhkapelianalyysistä ja jota alun perin sovellettiin intuitiivisesti.

Klassinen todennäköisyyden määritysmenetelmä perustuu käsitteeseen yhtä mahdollisista ja yhteensopimattomista tapahtumista, jotka ovat tietyn kokemuksen tuloksia ja muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia tapahtumia.

Suurin osa yksinkertainen esimerkki Yhtä mahdolliset ja yhteensopimattomat tapahtumat, jotka muodostavat täydellisen ryhmän, on yhden tai toisen pallon ilmestyminen uurnasta, joka sisältää useita samankokoisia, painoisia ja muita konkreettisia, vain väriltään erilaisia ​​palloja, jotka on sekoitettu huolellisesti ennen poistamista.

Tästä syystä testin, jonka tulokset muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia ja yhtä mahdollisia tapahtumia, sanotaan pelkistyvän uurnamalliksi, tai tapauskaavio, tai sopii klassiseen malliin.

Kutsumme yksinkertaisesti yhtä mahdollisia ja yhteensopimattomia tapahtumia, jotka muodostavat koko ryhmän tapauksia tai mahdollisuuksia. Lisäksi jokaisessa kokeessa, tapausten ohella, voi tapahtua monimutkaisempia tapahtumia.

Esimerkki: Kun heitetään noppaa, yhdessä tapausten A i kanssa - yläpuolen i-pisteiden menetys, voimme harkita sellaisia ​​tapahtumia kuin B - parillisen pistemäärän menetys, C - pistemäärän menetys. jotka ovat kolmen kerrannainen...

Jokaisen kokeen aikana mahdollisesti tapahtuvan tapahtuman osalta tapaukset jaetaan suotuisa, jossa tämä tapahtuma tapahtuu, ja epäsuotuisa, jossa tapahtumaa ei tapahdu. Edellisessä esimerkissä tapaukset A 2, A 4, A 6 suosivat tapahtumaa B; tapahtuma C – tapaukset A 3, A 6.

Klassinen todennäköisyys tietyn tapahtuman esiintymistä kutsutaan yleensä tämän tapahtuman toteutumiselle suotuisten tapausten lukumäärän suhteeksi yhtä mahdollisten, yhteensopimattomien tapausten kokonaismäärään, jotka muodostavat tietyn kokeen täydellisen ryhmän:

Missä P(A)– tapahtuman A todennäköisyys; m- tapahtumalle A suotuisten tapausten lukumäärä; n- tapausten kokonaismäärä.

Esimerkkejä:

1) (katso esimerkki yllä) P(B)=, P(C)=.

2) Uurna sisältää 9 punaista ja 6 sinistä palloa. Laske todennäköisyys, että yksi tai kaksi satunnaisesti vedettyä palloa muuttuu punaisiksi.

A- satunnaisesti piirretty punainen pallo:

m=9, n=9+6=15, P(A)=

B- kaksi satunnaisesti arvottua punaista palloa:

Klassisesta todennäköisyyden määritelmästä seuraa seuraavaa: ominaisuuksia(näytä itsesi):

1) mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on 0;

2) Luotettavan tapahtuman todennäköisyys on 1;

3) Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on välillä 0 ja 1;

4) Tapahtuman A vastaisen tapahtuman todennäköisyys,

Klassinen todennäköisyyden määritelmä olettaa, että kokeen tulosten määrä on äärellinen. Käytännössä hyvin usein on testejä, joiden mahdollisten tapausten määrä on ääretön. Samaan aikaan, heikko puoli Klassinen määritelmä on, että hyvin usein on mahdotonta esittää testin tulosta alkeistapahtumien joukon muodossa. Vielä vaikeampaa on osoittaa syitä siihen, miksi kokeen alkeistulosten katsotaan olevan yhtä mahdollisia. Yleensä alkeellisten testitulosten vastaavuus päätetään symmetrianäkökohdista. Tällaiset tehtävät ovat kuitenkin käytännössä erittäin harvinaisia. Näistä syistä klassisen todennäköisyyden määritelmän ohella käytetään muita todennäköisyyden määritelmiä.

Tilastollinen todennäköisyys Tapahtumaa A kutsutaan yleensä tämän tapahtuman suhteelliseksi esiintymistiheydeksi suoritetuissa testeissä:

missä on tapahtuman A todennäköisyys;

– tapahtuman A suhteellinen esiintymistiheys;

Niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma A esiintyi;

Kokeilujen kokonaismäärä.

Toisin kuin klassinen todennäköisyys, tilastollinen todennäköisyys on kokeellinen ominaisuus.

Esimerkki: Erän tuotteiden laadun valvomiseksi valittiin satunnaisesti 100 tuotetta, joista 3 tuotetta osoittautui vialliseksi. Määritä avioliiton todennäköisyys.

.

Tilastollista todennäköisyyden määritysmenetelmää voidaan soveltaa vain niihin tapahtumiin, joilla on seuraavat ominaisuudet:

· Tarkasteltavana olevien tapahtumien tulisi olla vain niiden testien tuloksia, jotka voidaan toistaa rajoittamattoman määrän kertoja samoissa olosuhteissa.

· Tapahtumilla on oltava tilastollinen stabiilisuus (tai suhteellisten taajuuksien stabiilisuus). Tämä tarkoittaa, että sisään erilaisia ​​sarjoja testeissä, tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys muuttuu hieman.

· Tapahtumaan A johtavien kokeiden määrän on oltava riittävän suuri.

On helppo varmistaa, että klassisesta määritelmästä johtuvat todennäköisyyden ominaisuudet säilyvät myös tilastollisessa todennäköisyyden määritelmässä.

Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä. - käsite ja tyypit. Luokan "Todennäköisyyden tilastollinen määritys" luokittelu ja ominaisuudet. 2017, 2018.

Harkitse satunnaista koetta, jossa heitetään heterogeenisestä materiaalista valmistettua muottia. Sen painopiste ei ole geometrisessa keskustassa. Tässä tapauksessa emme voi pitää tuloksia (yksi, kaksi jne. häviäminen) yhtä todennäköisinä. Fysiikasta tiedetään, että luu putoaa useammin niille kasvoille, jotka ovat lähempänä painopistettä. Kuinka määrittää todennäköisyys saada esimerkiksi kolme pistettä? Ainoa mitä voit tehdä, on heittää tätä noppaa n kertaa (jossa n on melko suuri luku, vaikka n=1000 tai n=5000), laskea kolmen heitetyn pisteen määrä n 3 ja harkita kolmen heittämisen tuloksen todennäköisyyttä. pisteiden on oltava n 3 /n – kolmen pisteen suhteellinen taajuus. Samalla tavalla voit määrittää muiden perustulosten todennäköisyydet - yksi, kaksi, neljä jne. Teoriassa tämä toimintatapa voidaan perustella ottamalla käyttöön tilastollinen todennäköisyyden määritelmä.

Todennäköisyys P(wi) määritellään rajana tuloksen w i suhteelliselle esiintymistiheydelle satunnaiskokeiden n määrän rajoittamattoman lisääntymisen prosessissa, eli

missä m n (w i) on satunnaisten kokeiden lukumäärä (alkaen kokonaismäärä n suoritettua satunnaista koetta), joissa perustuloksen w i esiintyminen kirjattiin.

Koska tässä ei ole esitetty todisteita, voimme vain toivoa, että viimeisessä kaavassa oleva raja on olemassa, mikä oikeuttaa toivon elämänkokemusta ja intuitioon.

Käytännössä syntyy hyvin usein ongelmia, joissa on mahdotonta tai erittäin vaikeaa löytää muuta tapaa määrittää tapahtuman todennäköisyys, kuin tilastollinen määritys.

Jatkuva todennäköisyysavaruus.

Kuten aiemmin mainittiin, perustulosten joukko voi olla enemmän kuin laskettavissa (eli laskematon). Näin ollen kokeella, jossa piste heitetään satunnaisesti segmenttiin, on lukemattomia tuloksia. Voidaan kuvitella, että koe, johon liittyy lämpötilan mittaaminen annettu hetki V annettu piste sillä on myös lukematon määrä tuloksia (tosinkin lämpötila voi ottaa minkä tahansa arvon tietystä intervallista, vaikka todellisuudessa voimme mitata sen vain tietyllä tarkkuudella, ja tällaisen kokeen käytännön toteutus antaa rajallisen määrän tuloksia). Kun kyseessä on kokeilu, jossa on lukematon joukko W alkeellisia tuloksia, mitään joukon W osajoukkoa ei voida pitää tapahtumana. On huomattava, että W:n osajoukot, jotka eivät ole tapahtumia, ovat matemaattisia abstraktioita eivätkä esiinny käytännön ongelmissa. Siksi tämä kappale on meidän kurssillamme valinnainen.

Esitelläksesi satunnaisen tapahtuman määritelmän, harkitse (äärellistä tai laskettavaa) alkeistulosten avaruuden W osajoukkojen järjestelmää.

Jos kaksi ehtoa täyttyy:

1) A:n jäsenyydestä tässä järjestelmässä seuraa, että A kuuluu tähän järjestelmään;

2) tähän järjestelmään kuulumisesta seuraa, että A i A j kuuluu tähän järjestelmään

tällaista osajoukkojen järjestelmää kutsutaan algebraksi.

Olkoon W jokin alkeistulosten avaruus. Varmista, että kaksi alijoukkojärjestelmää ovat:

1) W, Æ; 2) W, A, , Æ (tässä A on W:n osajoukko) ovat algebroita.

Kuuluvat A 1 ja A 2 johonkin algebraan. Osoita, että A 1 \ A 2 kuuluvat tähän algebraan.

Kutsutaan s-algebraksi joukon W osajoukkojen järjestelmä I, joka täyttää ehdon 1) ja ehdon 2)¢:

2)¢ jos osajoukot A 1, A 2,¼, A n, ¼ kuuluvat I:lle, niin niiden laskettava liitto (analogisesti summauksen kanssa tämä laskettava liitto kirjoitetaan lyhyesti kaavalla) kuuluu myös I:lle.

Alkeistulosjoukon W osajoukko A on tapahtuma, jos se kuuluu johonkin s-algebraan.

Voidaan todistaa, että jos valitsemme minkä tahansa laskettavan tapahtumajärjestelmän johonkin s-algebraan ja suoritamme näillä tapahtumilla mitä tahansa joukkoteoriassa hyväksyttyjä operaatioita (liitto, leikkaus, ero ja yhteenlasku), niin tuloksena on joukko tai tapahtuma jotka kuuluvat samaan s-algebra-algebraan.

Muotoilkaamme aksiooma, jota kutsutaan A.N:n aksioomaksi. Kolmogorov.

Jokainen tapahtuma vastaa ei-negatiivista lukua P(A), joka ei ylitä yhtä, jota kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi, ja funktiolla P(A) on seuraavat ominaisuudet:

2) jos tapahtumat A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ ovat epäjohdonmukaisia, niin

Jos annetaan alkeistulosten avaruus W, tapahtumien algebra ja sille määritelty funktio P, joka täyttää yllä olevan aksiooman ehdot, niin sanotaan, että todennäköisyysavaruus on annettu.

Tämä todennäköisyysavaruuden määritelmä voidaan laajentaa tapaukseen, jossa alkeistulosten W äärellinen avaruus on. Tällöin joukon W kaikkien osajoukkojen järjestelmä voidaan ottaa algebraksi.

Geometrinen todennäköisyys

Yhdessä erikoistapauksessa annamme säännön tapahtuman todennäköisyyden laskemiseksi satunnaiselle kokeelle, jossa on lukematon joukko tuloksia.

Jos satunnaisen kokeen alkeistulosten joukon W ja jonkin litteän hahmon S (suuri sigma) pistejoukon välille voidaan muodostaa yksi-yhteen-vastaavuus, voidaan myös muodostaa yksi yhteen vastaavuus tapahtumalle A suotuisten alkeistulosten joukko ja litteän hahmon s pisteiden joukko (sigma pieni), joka on osa kuviota S, niin

missä s on kuvion s pinta-ala, S on kuvion S pinta-ala. Tässä luonnollisesti oletetaan, että kuvioilla S ja s on pinta-alat. Erityisesti esimerkiksi kuvio s voi olla suora jana, jonka pinta-ala on nolla.

Huomaa, että tässä määritelmässä tasaisen kuvion S sijasta voidaan tarkastella väliä S ja sen osan s sijasta intervallia s, joka kuuluu kokonaan väliin s ja todennäköisyys voidaan esittää vastaavien intervallien pituuksien suhde.

Esimerkki. Kaksi henkilöä syö lounasta ruokasalissa, joka on avoinna klo 12-13. Jokainen heistä tulee satunnaiseen aikaan ja syö lounaan 10 minuutin sisällä. Mikä on heidän tapaamisensa todennäköisyys?

Olkoon x aika, jolloin ensimmäinen saapuu ruokasaliin, ja y aika, jolloin toinen saapuu.

Voidaan muodostaa yksi yhteen vastaavuus kaikkien lukuparien (x;y) (tai tulosjoukon) ja neliön pisteiden joukon välille, jonka sivu on 1 koordinaattitasolla, jossa origo vastaa numero 12 X-akselilla ja Y-akselilla, kuten kuvassa 6. Tässä esimerkiksi piste A vastaa tulosta, että ensimmäinen saapui klo 12.30 ja toinen klo 13.00. Tässä tapauksessa kokousta ei ilmeisestikään pidetty.

Jos ensimmäinen saapui viimeistään toinen (y ³ x), niin kokous pidetään ehdolla 0 £ y - x £ 1/6 (10 minuuttia on 1/6 tuntia).

Jos toinen saapui viimeistään ensimmäisenä (x³y), niin tapaaminen tapahtuu ehdolla 0 £ x – y £ 1/6..

Kokouksen kannalta suotuisten tulosten joukon ja kuvan 7 varjostetussa muodossa olevan alueen s pistejoukon välillä voidaan muodostaa yksi-yhteen vastaavuus.

Vaadittu todennäköisyys p on yhtä suuri kuin alueen s alueen suhde koko neliön pinta-alaan. Neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin yksikkö, ja alueen s pinta-ala voidaan määritellä yksikön ja kuvassa 7 esitetyn kahden kolmion kokonaispinta-alan väliseksi eroksi. Tämä tarkoittaa:

Ongelmia ratkaisujen kanssa.

Kolikko, jonka säde on 1,5 cm, heitetään shakkilaudalle, jonka neliö on 5 cm leveä. Määritä todennäköisyys, että kolikko ei laskeudu millekään solun rajalle.

Tehtävä II.

100 metriä leveän joen yli kulkee silta. Jossain vaiheessa, kun sillalla on kaksi ihmistä, silta romahtaa ja molemmat putoavat jokeen. Ensimmäinen osaa uida ja pelastuu. Toinen ei osaa uida ja pelastuu vain, jos se putoaa enintään 10 metrin päähän rannasta tai enintään 10 metrin päähän ensimmäisestä. Millä todennäköisyydellä toinen henkilö pelastuu?

Tehtävä III.

Panssarimiinat sijoitetaan suoralle viivalle 15 m etäisyydelle toisistaan, ja 2 m leveä panssari ajaa kohtisuoraan tätä suoraa vastaan. Millä todennäköisyydellä häntä ei räjäytä miinalla?

Tehtävä VI.

Välissä (0; 2) valitaan satunnaisesti kaksi numeroa. Etsi todennäköisyys, että neliö lisää pienempi kuin pienempi luku

Kaksi pistettä heitetään satunnaisesti segmenttiin. Ne jakavat segmentin kolmeen osaan. Millä todennäköisyydellä tuloksena olevista osista voidaan muodostaa kolmio?

Tehtävä VI.

Kolme pistettä heitetään satunnaisesti segmenttiin peräkkäin. Mikä on todennäköisyys, että kolmas piste putoaa kahden ensimmäisen väliin?

Tehtävä I. Kolikon sijainti shakkilaudalla määräytyy täysin sen geometrisen keskipisteen sijainnin mukaan. Koko tulossarja voidaan kuvata neliönä S, jonka sivu on 5. Koko joukko suotuisia tuloksia kuvataan sitten neliönä s, joka sijaitsee neliön S sisällä, kuten kuvassa 1.

Haluttu todennäköisyys on tällöin yhtä suuri kuin pienen neliön pinta-alan suhde suuren neliön pinta-alaan, eli 4/25

Tehtävä II. Merkitään x:llä etäisyys joen vasemmasta rannasta ensimmäisen henkilön putoamiskohtaan ja y:llä etäisyys vasemmasta rannasta toisen henkilön putoamiskohtaan. Ilmeisesti sekä x että y kuuluvat väliin (0;100). Siten voidaan päätellä, että koko tulosjoukko voidaan kuvata neliöön, jonka vasen alakulma on koordinaattien origossa ja oikea yläkulma koordinaattipisteessä (100;100). Kaksi kaistaa: 0 x, eli toinen putosi lähemmäs oikeaa rantaa kuin ensimmäinen, niin että se pelastuisi, ehdon y tulee täyttyä<х+10. Если уx-10. Yllä olevasta seuraa, että kaikki toiselle henkilölle edulliset tulokset näkyvät varjostetulla alueella kuvassa 2. Tämän alueen pinta-ala on helpoimmin laskettu vähentämällä kahden varjostamattoman kolmion pinta-ala koko neliö, joka antaa tulokseksi 10000–6400=3600. Vaadittu todennäköisyys on 0,36.

Tehtävä III.

Ongelman olosuhteiden mukaan säiliön sijainti kahden vierekkäisen miinan välisessä raossa määräytyy täysin säiliön sivuista tasaetäisyydellä olevan suoran sijainnin perusteella. Tämä viiva on kohtisuorassa linjaan, jota pitkin miinat lasketaan, ja säiliö räjäytetään miinalla, jos tämä viiva sijaitsee lähempänä kuin 1 metri raon reunasta. Siten koko tulosjoukko kartoitetaan pituudeksi 15 ja suotuisten tulosten joukko väliin, jonka pituus on 13, kuten kuvassa 3 esitetään. Haluttu todennäköisyys on 13/15.

Tehtävä IV.

Merkitään toinen luvuista x:ksi ja toinen y:ksi. Koko joukko mahdollisia tuloksia kartoitetaan neliön muotoiseksi OBCD:ksi, jonka kaksi sivua osuvat yhteen koordinaattiakseleiden kanssa ja joiden pituus on 2, kuten kuvassa 4 esitetään. Oletetaan, että y on pienempi luku. Sitten tulosjoukko kartoitetaan kolmioon OCD, jonka pinta-ala on 2. Valittujen lukujen on täytettävä kaksi epäyhtälöä:

klo<х, у>x 2

Nämä epäyhtälöt täyttävä lukujoukko näkyy varjostetulla alueella kuvassa 4. Tämän alueen pinta-ala määritetään kolmion OEG-alueen, joka on yhtä suuri kuin 1/2, ja kolmion alueen erotuksena. kaareva kolmio OFEG. Tämän kaarevan kolmion pinta-ala s saadaan kaavalla

ja on yhtä suuri kuin 1/3. Tästä huomaamme, että varjostetun kuvan OEF pinta-ala on 1/6. Siten toivottu todennäköisyys on 1/12.

Olkoon janan pituus l. Jos otetaan x ja y etäisyydet janan vasemmasta päästä tehtävässä mainittuihin pisteisiin, niin kaikkien tulosten joukko voidaan kuvata neliöön, jonka sivu on l, jonka yksi sivuista on x-koordinaattiakselilla ja toinen y-koordinaattiakselilla . Jos hyväksymme ehdon y>x, tulosjoukko kartoitetaan kuvassa 5 esitettyyn kolmioon OBC. Tämän kolmion pinta-ala on l 2 /2. Tuloksena olevien segmenttien pituudet ovat: x, y–x ja l-y. Nyt muistetaan geometria. Kolmio voidaan muodostaa kolmesta osasta, jos ja vain, jos kunkin janan pituus on pienempi kuin kahden muun janan pituuksien summa. Tämä ehto meidän tapauksessamme johtaa kolmen epätasa-arvon järjestelmään

Ensimmäinen epäyhtälö muunnetaan muotoon x l/2, ja kolmas epäyhtälö saa muotoa y<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Otetaan janan pituudeksi l. Olkoon etäisyys janan vasemmasta päästä ensimmäiseen pisteeseen x, toiseen pisteeseen – y ja kolmanteen pisteeseen – z. Sitten koko tulosjoukko kartoitetaan kuutioon, jonka kolme reunaa on suorakaiteen muotoisen koordinaatiston x-, y- ja z-akseleilla ja jonka reuna on l. Oletetaan, että y>x. Sitten tulosjoukko kartoitetaan kuvan 6 mukaiseen suoraprismaan ABCA 1 B 1 C 1. Ehto z>x tarkoittaa, että kaikki tulokset kartoitetaan alueelle, joka on kuvan AD 1 C 1 B -tason yläpuolella. 7. Tämä taso on nyt kaikki kelvolliset tulokset kartoitetaan pyramidiksi, jonka pohjassa on neliö AA 1 B 1 B ja jonka korkeus on B 1 C 1 . Kaikki tulokset täyttävät ehdon z

Ongelmia itsenäiseen ratkaisuun.

1. Kahden laivan on lähestyttävä samaa laituria. Molempien alusten saapumisajat ovat riippumattomia ja yhtä mahdollisia tiettynä päivänä. Määritä todennäköisyys, että toinen höyrylaivoista joutuu odottamaan laituripaikan tyhjenemistä, jos ensimmäisen höyrylaivan viipymäaika on yksi tunti ja toisen kaksi tuntia. Vastaus: 139/1152.

2. Risteykseen asennetaan automaattinen liikennevalo, jossa valo palaa minuutin ajan vihreänä ja puoli minuuttia punaisena, sitten taas minuutin ajan vihreänä ja puoli minuuttia punaisena jne. Satunnaisella hetkellä auto lähestyy risteystä. Millä todennäköisyydellä hän ylittää risteyksen pysähtymättä? Vastaus: 2/3

3. Kolikko, jonka säde on 1,5 cm, heitetään äärettömälle shakkilaudalle, jonka neliö on 5 cm leveä. Laske todennäköisyys, että kolikko sijaitsee enintään kahdessa shakkilaudan ruudussa. Vastaus: 16/25.

4. Kolmio sovitetaan satunnaisesti ympyrään. Mikä on todennäköisyys, että se on akuutti? Vastaus: 1/4.

5. Kolmio sovitetaan satunnaisesti ympyrään. Millä todennäköisyydellä se on suorakaiteen muotoinen? Vastaus: 0.

6. A-pituinen sauva jaetaan sattumanvaraisesti kolmeen osaan. Laske todennäköisyys, että kunkin osan pituus on suurempi kuin a/4. Vastaus: 1/16.

Klassinen todennäköisyyden määritelmä olettaa, että kaikki alkeistulokset yhtä mahdollista. Kokeen tulosten yhtäläisyys päätetään symmetrianäkökohtien perusteella (kuten kolikon tai nopan tapauksessa). Ongelmat, joissa symmetrianäkökohtia voidaan käyttää, ovat käytännössä harvinaisia. Monissa tapauksissa on vaikea antaa syitä uskoa, että kaikki perustulokset ovat yhtä mahdollisia. Tältä osin tuli tarpeelliseksi ottaa käyttöön toinen todennäköisyyden määritelmä, ns tilastollinen. Tämän määritelmän antamiseksi otetaan ensin käyttöön tapahtuman suhteellisen tiheyden käsite.

Tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys, tai taajuus, on niiden kokeiden lukumäärän suhde, joissa tämä tapahtuma tapahtui, kaikkien suoritettujen kokeiden lukumäärään. Merkitään tapahtuman taajuutta , siis määritelmän mukaan

(1.4.1)
missä on niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma tapahtui, ja on kaikkien suoritettujen kokeiden lukumäärä.

Tapahtumataajuudella on seuraavat ominaisuudet.

Havainnot mahdollistivat sen, että suhteellisella taajuudella on tilastollisen stabiilisuuden ominaisuuksia: useissa polynomitestisarjoissa (joissa jokaisessa tämä tapahtuma voi esiintyä tai ei), se ottaa arvoja melko lähellä jotakin vakiota. Tätä vakiota, joka on ilmiön objektiivinen numeerinen ominaisuus, pidetään tietyn tapahtuman todennäköisyytenä.

Todennäköisyys tapahtuma on numero, jonka ympärille tietyn tapahtuman taajuuden arvot ryhmitellään useiden testien eri sarjoihin.

Tätä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan tilastollinen.

Tilastollisen määritelmän tapauksessa todennäköisyydellä on seuraavat ominaisuudet:
1) luotettavan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi;
2) mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla;
3) satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä;
4) kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa.

Esimerkki 1. Satunnaisesti otetusta 500 osasta 8 oli viallisia. Selvitä viallisten osien esiintymistiheys.

Ratkaisu. Koska tässä tapauksessa = 8, = 500, niin saadaan kaavan (1.4.1) mukaan

Esimerkki 2. Noppia heitetään 60 kertaa samalla kuusi esiintynyt 10 kertaa. Mikä on esiintymistiheys kuutokset?

Ratkaisu. Tehtävän ehdoista seuraa, että = 60, = 10, siis

Esimerkki 3. 1000 vastasyntyneen joukossa poikia oli 515. Mikä on poikien syntyvyys?
Ratkaisu. Koska tässä tapauksessa , sitten .

Esimerkki 4. 20 laukauksen tuloksena maaliin saatiin 15 osumaa. Mikä on osumaprosentti?

Ratkaisu. Koska = 20, = 15, niin

Esimerkki 5. Kun ammutaan maaliin, osumaprosentti = 0,75. Etsi osumien määrä 40 laukauksella.

Ratkaisu. Kaavasta (1.4.1) seuraa, että . Koska = 0,75, = 40, niin . Näin saatiin 30 osumaa.

Esimerkki 6. www.. Kylvetyistä siemenistä itäneitä 970. Kuinka monta siementä kylvettiin?

Ratkaisu. Kaavasta (1.4.1) seuraa, että . Siitä lähtien . Joten kylvettiin 1000 siementä.

Esimerkki 7. Etsi alkulukujen taajuus luonnollisen sarjan segmentistä 1–20.

Ratkaisu. Luonnollisen lukusarjan ilmoitetulla segmentillä on seuraavat alkuluvut: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; niitä on yhteensä 8. Koska = 20, = 8, sitten haluttu taajuus

.

Esimerkki 8. Symmetrisen kolikon usean heiton sarjassa suoritettiin kolme sarjaa, vaakunan esiintymisten lukumäärä laskettiin: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Selvitä vaakunan esiintymistiheys kussakin testisarjassa.

Ratkaisu. Kaavan (1.4.1) mukaisesti löydämme:

Kommentti. Nämä esimerkit osoittavat, että toistuvissa kokeissa tapahtuman esiintymistiheys poikkeaa vain vähän sen todennäköisyydestä. Todennäköisyys, että vaakuna ilmaantuu kolikkoa heitettäessä, on p = 1/2 = 0,5, koska tässä tapauksessa n = 2, m = 1.

Esimerkki 9. Automaattikoneella valmistetun 300 osan joukossa oli 15, jotka eivät vastanneet standardia. Selvitä epästandardien osien esiintymistiheys.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa n = 300, m = 15, joten

Esimerkki 10. Tarkastaja tarkastaessaan 400 tuotteen laadun havaitsi, että 20 niistä kuului toiseen luokkaan ja loput ensimmäiseen. Etsi ensimmäisen luokan tuotteiden tiheys, toisen luokan tuotteiden tiheys.

Ratkaisu. Ensinnäkin selvitetään ensimmäisen luokan tuotteiden lukumäärä: 400 - 20 = 380. Koska n = 400, = 380, niin ensimmäisen luokan tuotteiden esiintymistiheys

Samalla tavalla löydämme toisen luokan tuotteiden tiheyden:

Tehtävät

1. Tekninen valvontaosasto löysi 10 epätyypillistä tuotetta 1000 tuotteen erästä. Selvitä viallisten tuotteiden valmistustiheys.
2. Siementen laadun määrittämiseksi valittiin 100 siementä ja kylvettiin laboratorio-olosuhteissa. 95 siementä itänyt normaalisti. Mikä on normaalin siementen itämistaajuus?
3. Laske alkulukujen esiintymistiheys seuraavissa luonnollisen sarjan segmenteissä: a) 21:stä 40:een; b) 41 - 50; c) 51 - 70.
4. Selvitä numeron esiintymistiheys symmetrisen kolikon 100 heitossa. (Suorita koe itse).
5. Etsi kuuden taajuus 90:ssä nopanheitossa.
6. Tutkimalla kaikkia kurssisi opiskelijoita, määritä syntymäpäivien tiheys vuoden jokaiseen kuukauteen.
7. Etsi viisikirjaimien sanojen tiheys mistä tahansa sanomalehtitekstistä.

Vastaukset

1. 0,01. 2, 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.

Kysymyksiä

1. Mikä on tapahtumatiheys?
2. Mikä on luotettavan tapahtuman tiheys?
3. Kuinka usein tapahtuu mahdoton tapahtuma?
4. Mitkä ovat satunnaisen tapahtuman taajuuden rajat?
5. Mikä on kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan tiheys?
6. Mitä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan tilastolliseksi?
7. Mitä ominaisuuksia tilastollisella todennäköisyydellä on?

Tunnisteet. Katso .

Tapahtumien esiintymisen satunnaisuus liittyy mahdottomuuteen ennustaa etukäteen tietyn testin tulosta. Jos kuitenkin tarkastellaan esimerkiksi testiä: toistuva kolikonheitto, ω 1, ω 2, ..., ω n, niin käy ilmi, että noin puolessa tuloksista ( n / 2) löydetään tietty kaava, joka vastaa todennäköisyyden käsitettä.

Alla todennäköisyys Tapahtumat A Ymmärretään tapahtuman mahdollisuuden tiettynä numeerisena ominaisuutena A. Merkitään tämä numeerinen ominaisuus R(A). Todennäköisyyden määrittämiseen on useita tapoja. Tärkeimmät ovat tilastollinen, klassinen ja geometrinen.

Anna sen tuottaa n testit ja samalla jokin tapahtuma A se on saapunut n A kertaa. Määrä n A kutsutaan absoluuttinen taajuus(tai yksinkertaisesti tapahtuman tiheys). A, ja suhdetta kutsutaan tapahtuman A suhteellinen esiintymistiheys. Minkä tahansa tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys jolle on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet:

Todennäköisyysteorian menetelmien soveltamisen perusta todellisten prosessien tutkimukseen on taajuuden stabiilisuuden ominaisuuden omaavien satunnaisten tapahtumien objektiivinen olemassaolo. Tutkittavana olevan tapahtuman useita kokeita A näytä se laajasti n suhteellinen taajuus ( A) pysyy suunnilleen vakiona.

Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä on, että tapahtuman A todennäköisyydeksi otetaan vakioarvo p(A), jonka ympärillä suhteellisten taajuuksien arvot vaihtelevat. (A) testien määrän rajoittamattomalla lisäyksellän.

Huomautus 1. Huomaa, että B. Pascal valitsi satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden muutosrajat nollasta yhteen sen laskennan ja soveltamisen helpottamiseksi. Kirjeenvaihdossa P. Fermat'n kanssa Pascal ilmoitti, että mikä tahansa aikaväli voidaan valita osoitetuksi intervalliksi, esimerkiksi nollasta sataan ja muita intervalleja. Tämän käsikirjan alla olevissa tehtävissä todennäköisyydet ilmaistaan ​​joskus prosentteina, ts. nollasta sataan. Tällöin tehtävissä annetut prosenttiosuudet on muunnettava osakkeiksi, ts. jaa 100:lla.

Esimerkki 1. Suoritettiin 10 kolikonheittosarjaa, jokaisessa 1000 heittoa. Suuruus ( A) jokaisessa sarjassa on 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Nämä taajuudet on ryhmitelty ympäri R(A) = 0,5.

Tämä esimerkki vahvistaa, että suhteellinen taajuus ( A) on suunnilleen yhtä suuri R(A), eli