Satunnaismuuttujan funktion matemaattinen odotus. Odotettu arvo

Diskreetin matemaattinen odotus Satunnaismuuttuja on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa.

Olkoon satunnaismuuttuja vain todennäköisyysarvot, jotka vastaavat yhtä suuria sitten odotettu arvo satunnaismuuttuja määräytyy yhtälön perusteella

Jos diskreetti satunnaismuuttuja ottaa laskettavan joukon mahdollisia arvoja, niin

Lisäksi matemaattinen odotus on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella olevat sarjat konvergoivat absoluuttisesti.

Kommentti. Määritelmästä seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) suure.

Matemaattisen odotuksen määritelmä yleisessä tapauksessa

Määritetään matemaattinen odotus satunnaismuuttujalle, jonka jakauma ei välttämättä ole diskreetti. Aloitetaan ei-negatiivisten satunnaismuuttujien tapauksesta. Ajatuksena on approksimoida sellaiset satunnaismuuttujat diskreeteillä, joille matemaattinen odotus on jo määritetty, ja asettaa matemaattinen odotus yhtä suureksi kuin sitä approksimoivien diskreettien satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten raja. Muuten, tämä on erittäin hyödyllinen yleinen idea, joka on, että jokin ominaisuus määritetään ensin yksinkertaisille objekteille, ja sitten monimutkaisemmille objekteille se määritetään approksimoimalla niitä yksinkertaisemmilla.

Lemma 1. Olkoon mielivaltainen ei-negatiivinen satunnaismuuttuja. Sitten on diskreettien satunnaismuuttujien sarja sellainen, että

Todiste. Jaetaan puoliakseli yhtäpituisiin segmentteihin ja määritetään

Silloin ominaisuudet 1 ja 2 seuraavat helposti satunnaismuuttujan määritelmästä, ja

Lemma 2. Olkoon ei-negatiivinen satunnaismuuttuja ja kaksi diskreettien satunnaismuuttujien sarjaa, joilla on ominaisuudet 1-3 lemasta 1. Sitten

Todiste. Huomaa, että sallimme ei-negatiiviset satunnaismuuttujat

Ominaisuuden 3 perusteella on helppo nähdä, että on olemassa positiivisten lukujen sarja sellainen, että

Seuraa, että

Käyttämällä matemaattisten odotusten ominaisuuksia diskreeteille satunnaismuuttujille saamme

Ylittämällä rajan kohdassa saamme lauseen Lemma 2.

Määritelmä 1. Olkoon ei-negatiivinen satunnaismuuttuja, - diskreettien satunnaismuuttujien sarja, joilla on ominaisuudet 1-3 lemasta 1. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on luku

Lemma 2 takaa, että se ei riipu approksimoivan sekvenssin valinnasta.

Olkoon nyt mielivaltainen satunnaismuuttuja. Määritellään

Määritelmästä ja siitä seuraa helposti

Määritelmä 2. Mielivaltaisen satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on luku

Jos ainakin yksi tämän yhtälön oikealla puolella olevista luvuista on äärellinen.

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet

Ominaisuus 1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

Todiste. Tarkastellaan vakiota diskreettinä satunnaismuuttujana, jolla on yksi mahdollinen arvo ja joka ottaa sen todennäköisyydellä, joten

Huomautus 1. Määritellään vakiomuuttujan tulo diskreetillä satunnaismuuttujalla diskreetiksi satunnaiseksi, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin vakion tulot mahdollisilla arvoilla; mahdollisten arvojen todennäköisyydet ovat yhtä suuret kuin vastaavien mahdollisten arvojen todennäköisyys. Esimerkiksi jos mahdollisen arvon todennäköisyys on yhtä suuri, on myös todennäköisyys, että arvo saa arvon

Ominaisuus 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois matemaattisen odotuksen merkistä:

Todiste. Olkoon satunnaismuuttuja annettu todennäköisyysjakauman lailla:

Huomautuksen 1 huomioiden kirjoitetaan satunnaismuuttujan jakautumislaki

Huomautus 2. Ennen kuin siirrymme seuraavaan ominaisuuteen, huomautamme, että kahta satunnaismuuttujaa kutsutaan itsenäisiksi, jos toisen jakaumalaki ei riipu siitä, mitkä mahdolliset arvot toinen muuttuja sai. Muuten satunnaismuuttujat ovat riippuvaisia. Useita satunnaismuuttujia kutsutaan toisistaan ​​riippumattomiksi, jos minkä tahansa määrän jakautumislait eivät riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja muut muuttujat saivat.

Huomautus 3. Määritellään riippumattomien satunnaismuuttujien tulo ja satunnaismuuttujana, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin kunkin mahdollisen arvon tulot kullakin mahdollisella arvolla, tuotteen mahdollisten arvojen todennäköisyydet ovat tekijöiden mahdollisten arvojen todennäköisyyksien tulot. Esimerkiksi jos mahdollisen arvon todennäköisyys on, mahdollisen arvon todennäköisyys on silloin mahdollisen arvon todennäköisyys on

Ominaisuus 3. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:

Todiste. Määritetään riippumattomat satunnaismuuttujat omilla todennäköisyysjakaumalailla:

Kootaan kaikki arvot, jotka satunnaismuuttuja voi saada. Tätä varten kerrotaan kaikki mahdolliset arvot kullakin mahdollisella arvolla; Tuloksena saamme ja kirjoitamme huomautuksen 3 huomioon ottaen jakelulain olettaen yksinkertaisuuden vuoksi, että tuotteen kaikki mahdolliset arvot ovat erilaisia ​​(jos näin ei ole, niin todistus suoritetaan samalla tavalla):

Matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa:

Seuraus. Useiden toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo.

Ominaisuus 4. Kahden satunnaismuuttujan summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

Todiste. Olkoon satunnaismuuttujat ja määriteltävä seuraavilla jakautumislailla:

Kootaan kaikki mahdolliset suuren arvot. Tätä varten lisäämme kaikki mahdolliset arvot jokaiseen mahdolliseen arvoon; Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että nämä mahdolliset arvot ovat erilaisia ​​(jos näin ei ole, niin todistus suoritetaan samalla tavalla), ja merkitsemme niiden todennäköisyydet vastaavasti ja

Arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa:

Osoitetaan, että tapahtuma, joka saa arvon (tämän tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri), sisältää tapahtuman, joka saa arvon tai (tämän tapahtuman todennäköisyys summauslauseen mukaan on yhtä suuri) ja päinvastoin. Tästä seuraa, että yhtäläisyydet todistetaan samalla tavalla

Korvaamalla näiden yhtälöiden oikeat puolet suhteeksi (*), saadaan

tai lopulta

Varianssi ja keskihajonta

Käytännössä on usein tarpeen arvioida satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen hajonta sen keskiarvon ympärillä. Esimerkiksi tykistössä on tärkeää tietää, kuinka lähelle ammukset putoavat osuttavan kohteen lähelle.

Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että helpoin tapa arvioida hajonta on laskea kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan poikkeamat ja sitten löytää niiden keskiarvo. Tämä polku ei kuitenkaan anna mitään, koska poikkeaman keskiarvo, ts. mikä tahansa satunnaismuuttuja on yhtä suuri kuin nolla. Tämä ominaisuus selittyy sillä, että jotkut mahdolliset poikkeamat ovat positiivisia, kun taas toiset ovat negatiivisia; niiden keskinäisen kumoamisen seurauksena keskimääräinen poikkeamaarvo on nolla. Nämä huomiot osoittavat, että mahdolliset poikkeamat on syytä korvata niiden absoluuttisilla arvoilla tai neliöillä. Näin he tekevät käytännössä. Totta, siinä tapauksessa, että mahdolliset poikkeamat korvataan absoluuttisilla arvoilla, on toimittava absoluuttisilla arvoilla, mikä joskus johtaa vakaviin vaikeuksiin. Siksi useimmiten he valitsevat toisen polun, ts. laskea poikkeaman, jota kutsutaan dispersioksi, keskiarvo.

Dispersio Jatkuva satunnaismuuttuja X, jonka mahdolliset arvot kuuluvat koko Ox-akselille, määräytyy yhtälöllä:

Palvelun tarkoitus. Online-laskin suunniteltu ratkaisemaan ongelmia, joissa jompikumpi jakautumistiheys f(x) tai jakaumafunktio F(x) (katso esimerkki). Yleensä tällaisissa tehtävissä sinun on löydettävä matemaattinen odotus, keskihajonta, kuvaajafunktiot f(x) ja F(x).

Ohjeet. Valitse lähdetiedon tyyppi: jakauman tiheys f(x) tai jakautumistiheys F(x).

Jakauman tiheys f(x) on annettu:

Jakaumafunktio F(x) on annettu:

Jatkuva satunnaismuuttuja määritellään todennäköisyystiheydellä
(Rayleigh'n jakelulaki - käytetään radiotekniikassa). Etsi M(x) , D(x) .

Satunnaismuuttujaa X kutsutaan jatkuva , jos sen jakaumafunktio F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla lasketaan todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa tiettyyn väliin:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Lisäksi jatkuvalle satunnaismuuttujalle ei ole väliä, sisällytetäänkö sen rajat tähän väliin vai eivät:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Jakauman tiheys jatkuvaa satunnaismuuttujaa kutsutaan funktioksi
f(x)=F’(x) , jakaumafunktion derivaatta.

Jakaantumistiheyden ominaisuudet

Tämän todistamiseksi tarkastellaan ensin satunnaismuuttujaa, joka on vakio, ts. funktio kartoittaa alkeistapahtumien tilan yhteen pisteeseen A. Koska vakiokerroin voidaan viedä summan etumerkin ulkopuolelle, niin

Jos summan jokainen jäsen jaetaan kahteen termiin, niin koko summa jaetaan kahteen summaan, joista ensimmäinen koostuu ensimmäisistä termeistä ja toinen koostuu toisista. Siksi kahden satunnaismuuttujan summan matemaattinen odotus X+Y, joka määritellään samalla alkeistapahtumien avaruudella, on yhtä suuri kuin matemaattisten odotusten summa M(X) Ja M(U) nämä satunnaismuuttujat:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Ja siksi M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kuten yllä näkyy, M(M(X)) = M(X). Siten, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Koska (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Tuo M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Yksinkertaistetaan viimeinen yhtäläisyys. Kuten lauseen 3 todistuksen alussa näkyy, vakion matemaattinen odotus on itse vakio, ja siksi M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Koska vakiokerroin voidaan viedä summan etumerkin ulkopuolelle, niin M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Viimeisen yhtälön oikea puoli on 0, koska kuten yllä näkyy, M(X-M(X)) = 0. Siten, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , mikä oli todistettava.

Yllä olevasta seuraa, että M[(X- a) 2 ] saavuttaa minimin A, yhtä suuri M[(X- M(X)) 2 ], klo a = M(X), koska yhtälön 3) toinen termi on aina ei-negatiivinen ja on 0 vain määritetylle arvolle A.

Lausunto 4. Olkoon satunnaismuuttuja X ottaa arvoja x 1, x 2,…, xm, ja f on jokin numeerisen argumentin funktio. Sitten

Tämän todistamiseksi ryhmitellään matemaattisen odotuksen määrittävän tasa-arvon (4) oikealle puolelle termit, joilla on samat arvot:

Käyttämällä sitä tosiasiaa, että vakiotekijä voidaan ottaa pois summan etumerkistä ja satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden määritelmää (2), saadaan

Q.E.D.

Lausunto 5. Antaa X Ja U- satunnaismuuttujat, jotka on määritelty samalle elementaaristen tapahtumien avaruudelle, A Ja b- joitain numeroita. Sitten M(kirves+ byY)= olen(X)+ bM(Y).

Käyttämällä matemaattisen odotuksen määritelmää ja summaussymbolin ominaisuuksia saadaan yhtälöketju:

Vaadittu on todistettu.

Yllä oleva osoittaa, kuinka matemaattinen odotus riippuu siirtymisestä toiseen vertailupisteeseen ja toiseen mittayksikköön (siirtymä Y=kirves+b), sekä satunnaismuuttujien funktioihin. Saatuja tuloksia käytetään jatkuvasti teknisessä ja taloudellisessa analyysissä, arvioitaessa yrityksen taloudellista ja taloudellista toimintaa, siirryttäessä valuutasta toiseen ulkomaantaloudellisissa laskelmissa, viranomais- ja teknisessä dokumentaatiossa jne. Tarkasteltavat tulokset mahdollistavat samojen laskentakaavojen käyttö eri parametrien mittakaavassa ja siirtymässä.

Diskreetissä todennäköisyysavaruudessa annetun satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus (keskiarvo) on luku m =M[X]=∑x i p i, jos sarja konvergoi absoluuttisesti.

Palvelun tarkoitus. Palvelun käyttö sisään online-tilassa lasketaan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta(katso esimerkki). Lisäksi piirretään jakaumafunktion F(X) kuvaaja.

Satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ominaisuudet

1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itsensä: M[C]=C, C – vakio;
2. M=C M[X]
3. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: M=M[X]+M[Y]
4. Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: M=M[X] M[Y] , jos X ja Y ovat riippumattomia.

Dispersioominaisuudet

1. Vakion arvon varianssi on nolla: D(c)=0.
2. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkin alta neliöimällä se: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippuvaisia: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Seuraava laskennallinen kaava pätee dispersiolle:
   D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2

Esimerkki. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan X ja Y matemaattiset odotukset ja varianssit tunnetaan: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Laske satunnaismuuttujan Z=9X-8Y+7 matemaattinen odotus ja varianssi.
Ratkaisu. Matemaattisen odotuksen ominaisuuksien perusteella: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersion ominaisuuksien perusteella: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmi matemaattisen odotuksen laskemiseen

1. Kerrotaan parit yksitellen: x i luvulla p i .
2. Lisää kunkin parin x i p i tulo.
   Esimerkiksi n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Esimerkki nro 1.

Esimerkki nro 2. Diskreetillä satunnaismuuttujalla on seuraava jakaumasarja:

Ratkaisu. A:n arvo saadaan suhteesta: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 tai 0,24 = 3 a , josta a = 0,08

Esimerkki nro 3. Määritä diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki, jos sen varianssi tunnetaan, ja x 1 x 1 = 6; x2 = 9; x3 =x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x) = 12,96

Ratkaisu.
Täällä sinun on luotava kaava varianssin d(x) löytämiseksi:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
missä odotus m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Tietojemme vuoksi
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
tai -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Näin ollen meidän on löydettävä yhtälön juuret, ja niitä on kaksi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Valitse se, joka täyttää ehdon x 1 x 3 = 12

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki
x 1 = 6; x2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3

Satunnaismuuttuja Muuttujaa kutsutaan muuttujaksi, joka jokaisen testin tuloksena saa yhden aiemmin tuntemattoman arvon, riippuen satunnaisista syistä. Satunnaismuuttujat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Satunnaismuuttujat voivat olla tyypin mukaan diskreetti Ja jatkuva.

Diskreetti satunnaismuuttuja- tämä on satunnaismuuttuja, jonka arvot eivät voi olla enempää kuin laskettavia, eli joko äärellisiä tai laskettavia. Lasketavuudella tarkoitetaan sitä, että satunnaismuuttujan arvot voidaan numeroida.

Esimerkki 1 . Tässä on esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista:

a) osumien määrä maaliin $n$ laukauksella, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) kolikkoa heitettäessä pudonneiden tunnusten määrä, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) alukselle saapuvien alusten lukumäärä (laskettavissa oleva arvosarja).

d) PBX:ään saapuvien puheluiden määrä (laskettavissa oleva arvosarja).

1. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman laki.

Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ voi saada arvot $x_1,\pisteet ,\ x_n$ todennäköisyyksillä $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Näiden arvojen ja niiden todennäköisyyksien välistä vastaavuutta kutsutaan Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tämä vastaavuus määritetään pääsääntöisesti taulukolla, jonka ensimmäisellä rivillä on arvot $x_1,\pisteet ,\ x_n$ ja toisella rivillä on todennäköisyydet $p_1,\pisteet ,\ p_n$, jotka vastaavat näitä arvoja.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pisteet & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pisteet & p_n \\
\hline
\end(array)$

Esimerkki 2 . Olkoon satunnaismuuttuja $X$ heiton aikana pudonneiden pisteiden määrä noppaa. Tällainen satunnaismuuttuja $X$ voi saada seuraavat arvot: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Kaikkien näiden arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin $1/6$. Sitten satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakauman laki:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentti. Koska diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakaumalaissa tapahtumat $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, niin todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi, eli $ \sum(p_i)=1$.

2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.

Satunnaismuuttujan odotus asettaa sen "keskeisen" merkityksen. Diskreetille satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus lasketaan arvojen $x_1,\pisteet ,\ x_n$ ja näitä arvoja vastaavien todennäköisyyksien $p_1,\pisteet ,\ p_n$ tulojen summana, eli : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään toista merkintää $E\left(X\right)$.

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet$M\vasen(X\oikea)$:

1. $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ja suurimman arvon välissä.
2. Vakion matemaattinen odotus on sama kuin itse vakio, ts. $M\left(C\oikea)=C$.
3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois matemaattisen odotuksen etumerkistä: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Esimerkki 3 . Etsitään satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus esimerkistä $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cpiste ((1)\yli (6))+4\cpiste ((1)\yli (6))+5\cpiste ((1)\yli (6))+6\cpiste ((1) )\over (6))=3,5.$$

Voimme huomata, että $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ($1$) ja suurimman ($6$) arvojen välissä.

Esimerkki 4 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $3X+5$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 dollaria.

Esimerkki 5 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=4$. Etsi satunnaismuuttujan $2X-9$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio.

Satunnaismuuttujien mahdolliset arvot, joilla on samat matemaattiset odotukset, voivat hajaantua eri tavoin keskiarvoihinsa. Esimerkiksi kahdessa opiskelijaryhmässä todennäköisyysteorian tentin keskiarvoksi muodostui 4, mutta yhdessä ryhmässä kaikki osoittautuivat hyviksi opiskelijoiksi ja toisessa ryhmässä oli vain C-opiskelijoita ja erinomaisia ​​opiskelijoita. Siksi tarvitaan satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus, joka näyttäisi satunnaismuuttujan arvojen leviämisen sen matemaattisen odotuksen ympärille. Tämä ominaisuus on dispersio.

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi$X$ on yhtä suuri kuin:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään merkintää $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Hyvin usein varianssi $D\left(X\right)$ lasketaan kaavalla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) vasen(X \oikea)\oikea))^2$.

Dispersioominaisuudet$D\vasen(X\oikea)$:

1. Varianssi on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Vakion varianssi on nolla, ts. $D\left(C\oikea)=0$.
3. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersion etumerkistä edellyttäen, että se on neliöity, ts. $D\left(CX\oikea)=C^2D\left(X\oikea)$.
4. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien välisen eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Esimerkki 6 . Lasketaan satunnaismuuttujan $X$ varianssi esimerkistä $2$.

$$D\left(X\oikea)=\summa^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\vasen(1-3.5\oikea))^2+((1)\yli (6))\cdot (\vasen(2-3.5\oikea))^2+ \pisteet +( (1)\yli (6))\cdot (\vasen(6-3.5\oikea))^2=((35)\yli (12))\noin 2.92.$$

Esimerkki 7 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $4X+1$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\vasen(X\oikea)=16\cdot 2=32$.

Esimerkki 8 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=3$. Etsi satunnaismuuttujan $3-2X$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\vasen(X\oikea)=4\cdot 3=12$.

4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Diskreetin satunnaismuuttujan esittämismenetelmä jakaumasarjan muodossa ei ole ainoa, ja mikä tärkeintä, se ei ole universaali, koska jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määrittää jakaumasarjan avulla. On toinenkin tapa esittää satunnaismuuttuja - jakaumafunktio.

Jakelutoiminto satunnaismuuttujaa $X$ kutsutaan funktioksi $F\left(x\right)$, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon, joka on pienempi kuin jokin kiinteä arvo $x$, eli $F\ vasen(x\oikea )=P\vasen(X< x\right)$

Jakaumafunktion ominaisuudet:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $X$ ottaa arvoja väliltä $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on yhtä suuri kuin jakaumafunktion päissä olevien arvojen erotus. intervalli: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\vasen(x\oikea)$ - ei-laskeva.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Esimerkki 9 . Etsitään jakaumafunktio $F\left(x\right)$ diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumissääntöä varten esimerkistä $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Jos $x\le 1$, niin tietysti $F\left(x\right)=0$ (mukaan lukien $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Jos 1 dollari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jos 2 dollaria< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jos 3 dollaria< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jos 4 dollaria< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jos 5 dollaria< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jos $x > 6 $, niin $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\vasen(X=4\oikea)+P\vasen(X=5\oikea)+P\vasen(X=6\oikea)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Joten $F(x)=\left\(\begin(matriisi)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, klo 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, klo 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matriisi)\oikea.$