Matriisien perusmääritykset matriisityypit. Matriisien tyypit

Matrixin määritelmä– kutsutaan numerotaulukoksi, joka sisältää tietyn määrän rivejä ja sarakkeita

Matriisin alkiot ovat numeroita muotoa a ij, missä i on rivin numero j on sarakkeen numero

Esimerkki 1 i = 2 j = 3

Nimitys: A=

Matriisityypit:

1. Jos rivien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, matriisi kutsutaan suorakulmainen:

2. Jos rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, matriisi kutsutaan neliö:

Rivien tai sarakkeiden lukumäärä neliömatriisi soitti hänelle järjestyksessä. Esimerkissä n = 2

Tarkastellaan kertaluvun n neliömatriisia:

Kutsutaan diagonaalia, joka sisältää alkiot a 11, a 22......., a nn pää , ja diagonaali, joka sisältää alkiot a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – apu.

Kutsutaan matriisia, jossa vain päädiagonaalin alkiot ovat nollasta poikkeavia diagonaalinen:

Esimerkki 4 n = 3

3. Jos diagonaalimatriisin alkiot ovat yhtä kuin 1, niin matriisia kutsutaan yksittäinen ja se on merkitty kirjaimella E:

Esimerkki 6 n = 3

4. Kutsutaan matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nolla tyhjä matriisi ja se on merkitty kirjaimella O

Esimerkki 7

5. Kolmiomainen N:nnen kertaluvun matriisi on neliömatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla:

Esimerkki 8 n = 3

Toimet matriiseilla:

Matriisin A ja B summa on matriisi C, jonka alkiot ovat yhtä suuret kuin matriisien A ja B vastaavien alkioiden summa.

Vain matriiseja, joissa on sama määrä rivejä ja sarakkeita, voidaan lisätä.

Matriisin A ja luvun k tulo kutsutaan sellaista matriisia kA, jonka jokainen alkio on yhtä suuri ka ij

Esimerkki10

Matriisin kertominen luvulla pelkistetään kertomalla kaikki matriisin elementit tällä luvulla.

Matriisien tulo Jos haluat kertoa matriisin matriisilla, sinun on valittava ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi ja kerrottava toisen matriisin ensimmäisen sarakkeen vastaavilla elementeillä ja lisättävä tulos. Sijoita tämä tulos tulosmatriisiin 1. riville ja 10. sarakkeelle. Suoritamme samat toiminnot kaikille muille elementeille: 1. rivi toiseen sarakkeeseen, 3. jne., sitten seuraavilla riveillä.

Esimerkki 11

Matriisin A kertominen matriisilla B on mahdollista vain, jos ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen matriisin sarakkeiden lukumäärä.

- työ on olemassa;

- teosta ei ole olemassa

Esimerkit 12 ei ole mitään kerrottavaa matriisin II viimeistä riviä, ts. teosta ei ole olemassa

Matriisi Transponoi Toimintoa rivielementtien korvaamiseksi sarakeelementeillä kutsutaan:

Esimerkki 13

Valtaan nostamalla kutsutaan matriisin peräkkäiseksi kertolaskuksi itsestään.

MATRIISIN MÄÄRITELMÄ. MATRIISIT TYYPIT

Matriisi, jonka koko on m× n kutsutaan setiksi m·n numerot on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon m linjat ja n sarakkeita. Tämä taulukko on yleensä sulkeissa. Esimerkiksi matriisi voi näyttää tältä:

Lyhytyyden vuoksi matriisi voidaan merkitä yhdellä isolla kirjaimella, esim. A tai SISÄÄN.

SISÄÄN yleisnäkymä matriisin koko m× n kirjoita se näin

Matriisin muodostavia lukuja kutsutaan matriisielementtejä. On kätevää varustaa matriisielementit kahdella indeksillä a ij: Ensimmäinen osoittaa rivin numeron ja toinen osoittaa sarakkeen numeron. Esimerkiksi, a 23– elementti on 2. rivillä, 3. sarakkeella.

Jos matriisissa on sama määrä rivejä kuin sarakkeiden lukumäärä, matriisia kutsutaan neliö, ja sen rivien tai sarakkeiden lukumäärää kutsutaan järjestyksessä matriiseja. Yllä olevissa esimerkeissä toinen matriisi on neliö - sen järjestys on 3 ja neljäs matriisi on sen järjestys 1.

Kutsutaan matriisi, jossa rivien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä suorakulmainen. Esimerkeissä tämä on ensimmäinen matriisi ja kolmas.

On myös matriiseja, joissa on vain yksi rivi tai yksi sarake.

Kutsutaan matriisia, jossa on vain yksi rivi matriisi - rivi(tai merkkijono) ja matriisi, jossa on vain yksi sarake matriisi - sarake.

Kutsutaan matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia tyhjä ja sitä merkitään (0) tai yksinkertaisesti 0:lla.

Päädiagonaali neliömatriisista kutsutaan diagonaaliksi, joka kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.

Kutsutaan neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat nolla kolmion muotoinen matriisi.

Neliömatriisia, jossa kaikki alkiot, paitsi ehkä päälävistäjän alkiot ovat nolla, kutsutaan nimellä diagonaalinen matriisi. Esimerkiksi tai.

Kutsutaan diagonaalimatriisi, jossa kaikki diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin yksi yksittäinen matriisi ja sitä merkitään kirjaimella E. Esimerkiksi 3. asteen identiteettimatriisilla on muoto .

TOIMENPITEET MATRIISISSA

Matriisin tasa-arvo. Kaksi matriisia A Ja B sanotaan olevan yhtä suuria, jos niillä on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret a ij = b ij. Niin jos Ja , Tuo A=B, Jos a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ja a 22 = b 22.

Transponoi. Harkitse mielivaltaista matriisia A alkaen m linjat ja n sarakkeita. Se voidaan liittää seuraavaan matriisiin B alkaen n linjat ja m sarakkeita, joissa jokainen rivi on matriisisarake A samalla numerolla (josta jokainen sarake on matriisin rivi A samalla numerolla). Niin jos , Tuo .

Tämä matriisi B nimeltään siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä matriisi A, ja siirtyminen A Vastaanottaja B transponointi.

Siten transponointi on matriisin rivien ja sarakkeiden roolien vaihtoa. Matriisi transponoitu matriisiin A, yleensä merkitty A T.

Viestintä matriisin välillä A ja sen transponointi voidaan kirjoittaa muotoon .

Esimerkiksi. Etsi matriisi, joka on transponoitu annetusta matriisista.

Matriisin lisäys. Anna matriisien A Ja B koostuvat samasta määrästä rivejä ja samasta määrästä sarakkeita, ts. omistaa samat koot. Sitten matriisien lisäämiseksi A Ja B tarvitaan matriisielementeille A lisää matriisielementtejä B seisovat samoissa paikoissa. Siis kahden matriisin summa A Ja B kutsutaan matriisiksi C, joka määräytyy säännön mukaan, esim.

Esimerkkejä. Etsi matriisien summa:

On helppo varmistaa, että matriisilisäys noudattaa seuraavia lakeja: kommutatiivinen A+B=B+A ja assosiatiivinen ( A+B)+C=A+(B+C).

Matriisin kertominen luvulla. Matriisin kertominen A numeroa kohti k matriisin jokaista elementtiä tarvitaan A kerrotaan tällä luvulla. Näin ollen matriisitulo A numeroa kohti k on uusi matriisi, joka määräytyy säännön mukaan tai .

Kaikille numeroille a Ja b ja matriiseja A Ja B seuraavat yhtäläisyydet pätevät:

Esimerkkejä.

Matriisin kertolasku. Tämä toimenpide suoritetaan erityisen lain mukaan. Ensinnäkin huomaamme, että tekijämatriisien kokojen on oltava yhdenmukaisia. Voit kertoa vain ne matriisit, joissa ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä (eli ensimmäisen rivin pituus on yhtä suuri kuin toisen sarakkeen korkeus). Työ matriiseja A ei matriisi B nimeltään uusi matriisi C=AB, jonka osat koostuvat seuraavasti:

Siten esimerkiksi tuotteen saamiseksi (eli matriisissa C) -elementti, joka sijaitsee 1. rivillä ja 3. sarakkeessa alkaen 13, sinun on otettava 1. rivi 1. matriisista, 3. sarake toisesta ja kerrotaan sitten rivielementit vastaavilla sarakeelementeillä ja lisätään tuloksena saadut tuotteet. Ja muut tulomatriisin elementit saadaan käyttämällä samanlaista ensimmäisen matriisin rivien ja toisen matriisin sarakkeiden tuloa.

Yleensä, jos kerromme matriisin A = (a ij) koko m× n matriisiin B = (b ij) koko n× s, niin saamme matriisin C koko m× s, jonka alkiot lasketaan seuraavasti: elementti c ij saadaan alkuaineiden tulon tuloksena i matriisin rivi A vastaaviin elementteihin j matriisisarakkeessa B ja niiden lisäykset.

Tästä säännöstä seuraa, että voit aina kertoa kaksi samaa kertalukua olevaa neliömatriisia, ja tuloksena saadaan samaa kertalukua oleva neliömatriisi. Erityisesti neliömatriisi voidaan aina kertoa itsestään, ts. neliöi sen.

Toinen tärkeä tapaus on rivimatriisin kertominen sarakematriisilla, ja ensimmäisen leveyden tulee olla yhtä suuri kuin toisen korkeus, jolloin tuloksena on ensimmäisen asteen matriisi (eli yksi elementti). Todella,

Esimerkkejä.

Nämä siis yksinkertaisia esimerkkejä osoittavat, että matriisit eivät yleisesti ottaen liiku keskenään, ts. A∙B ≠ B∙A . Siksi, kun kerrot matriiseja, sinun on seurattava huolellisesti tekijöiden järjestystä.

Voidaan todentaa, että matriisikertominen noudattaa assosiatiivisia ja distributiivisia lakeja, ts. (AB)C=A(BC) Ja (A+B)C=AC+BC.

Se on myös helppo tarkistaa neliömatriisia kertomalla A identiteettimatriisiin E samassa järjestyksessä saamme jälleen matriisin A, ja AE=EA=A.

Seuraava mielenkiintoinen tosiasia voidaan panna merkille. Kuten tiedät, kahden nollasta poikkeavan luvun tulo ei ole yhtä suuri kuin 0. Matriiseille tämä ei välttämättä ole niin, ts. kahden nollasta poikkeavan matriisin tulo voi osoittautua yhtä suureksi kuin nollamatriisi.

Esimerkiksi, Jos , Tuo

MÄÄRITTÄJIEN KÄSITE

Olkoon annettu toisen asteen matriisi - kahdesta rivistä ja kahdesta sarakkeesta koostuva neliömatriisi .

Toisen asteen determinantti annettua matriisia vastaava luku on saatu seuraavasti: klo 11-22-12-21.

Determinantti on merkitty symbolilla .

Joten toisen asteen determinantin löytämiseksi sinun on vähennettävä toisen lävistäjän elementtien tulo päädiagonaalin elementtien tulosta.

Esimerkkejä. Laske toisen asteen determinantit.

Samoin voimme tarkastella kolmannen kertaluvun matriisia ja sitä vastaavaa determinanttia.

Kolmannen asteen determinantti, joka vastaa annettua kolmannen asteen neliömatriisia, on numero, joka merkitään ja saadaan seuraavasti:

Siten tämä kaava antaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennuksen ensimmäisen rivin elementtien suhteen 11, 12, 13 ja vähentää kolmannen kertaluvun determinantin laskennan toisen kertaluvun determinanttien laskemiseen.

Esimerkkejä. Laske kolmannen asteen determinantti.

Samalla tavalla voidaan ottaa käyttöön neljännen, viidennen jne. determinanttien käsitteet. tilauksia, alentamalla niiden järjestystä laajentamalla 1. rivin elementteihin termien "+" ja "–" merkit vuorotellen.

Joten toisin kuin matriisi, joka on lukutaulukko, determinantti on luku, joka on määrätty matriisille tietyllä tavalla.

Matriisi koko m ? n on suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka sisältää m riviä ja n saraketta. Matriisin muodostavia lukuja kutsutaan elementtejä matriiseja.

Matriisit on merkitty isoilla kirjaimilla Latinalainen aakkoset (A, B, C...), ja matriisielementtien osoittamiseen käytetään pieniä kirjaimia kaksoisindeksillä:

Missä i- rivin numero, j- sarakkeen numero.

Esimerkiksi matriisi

Tai lyhennettynä A=(); i=1,2…, m; j = 1,2, …, n.

Muita matriisimerkintöjä käytetään, esimerkiksi: , ? ?.

Kaksi matriisia A Ja SISÄÄN samaa kokoa kutsutaan yhtä suuri, jos ne kohtaavat elementti kerrallaan, ts. = , missä i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Katsotaanpa matriisien päätyyppejä:

1. Olkoon m = n, jolloin matriisi A on neliömatriisi, jonka kertaluku on n:

Elementit muodostavat päädiagonaalin, elementit toissijaisen diagonaalin.

Neliömatriisia kutsutaan diagonaalinen, jos kaikki sen elementit, paitsi ehkä päälävistäjän elementit, ovat yhtä suuret kuin nolla:

Kutsutaan diagonaalista ja siten neliömatriisia yksittäinen, jos kaikki päädiagonaalin elementit ovat yhtä suuria kuin 1:

Huomaa, että identiteettimatriisi on reaalilukujoukon yhden matriisin analogi, ja korostamme myös, että identiteettimatriisi on määritelty vain neliömatriiseille.

Tässä on esimerkkejä identiteettimatriiseista:

Neliömatriisit

kutsutaan ylemmäksi ja alemmaksi kolmioksi.

2. Anna m= 1, sitten matriisi A- rivimatriisi, joka näyttää tältä:
3. Anna n=1, sitten matriisi A- sarakematriisi, joka näyttää tältä:

4. Nollamatriisi on kertalukua mn matriisi, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin 0:

Huomaa, että nollamatriisi voi olla neliömatriisi, rivimatriisi tai sarakematriisi. Nollamatriisi on nollan matriisin analogi reaalilukujen joukossa.

5. Matriisia kutsutaan transponoiduksi matriisiin ja merkitään, jos sen sarakkeet ovat matriisin rivejä, jotka vastaavat numeroita.

Esimerkki. Antaa

Huomaa, että jos matriisi A on järjestys mn, silloin transponoidulla matriisilla on järjestys nm.

6. Matriisia A kutsutaan symmetriseksi, jos A =, ja vinosymmetriseksi, jos A =.

Esimerkki. Tutki matriisisymmetriaa A Ja SISÄÄN.

siis matriisi A- symmetrinen, koska A =.

siis matriisi SISÄÄN- vinossa-symmetrinen, koska B = -.

Huomaa, että symmetriset ja vinosymmetriset matriisit ovat aina neliömäisiä. Mikä tahansa elementti voi olla symmetrisen matriisin päälävistäjällä, ja identtiset elementit on sijoitettava symmetrisesti suhteessa päädiagonaaliin, toisin sanoen vinosymmetrisen matriisin päädiagonaali sisältää aina nollia ja symmetrisesti suhteessa päädiagonaaliin.

matriisin neliön Laplace peruutus

Annettu Toolkit auttaa sinua oppimaan suorittamaan operaatiot matriiseilla: matriisin yhteenlasku (vähennys), matriisin transponointi, matriisin kertolasku, etsiminen käänteinen matriisi. Kaikki materiaali on esitetty yksinkertaisessa ja helposti saatavilla olevassa muodossa, asiaankuuluvia esimerkkejä annetaan, joten valmistautumatonkin voi oppia suorittamaan toimintoja matriiseilla. Itsevalvontaa ja itsetestausta varten voit ladata matriisilaskimen ilmaiseksi >>>.

Yritän minimoida teoreettiset laskelmat joissain paikoissa selitykset "sormissa" ja ei-tieteellisten termien käyttö. Kiinteän teorian ystävät, älkää antako kritiikkiä, meidän tehtävämme on oppia suorittamaan operaatioita matriiseilla.

SUPERNOPEAAN valmistautumiseen aiheesta (kuka on "tulessa") on intensiivinen pdf-kurssi Matriisi, determinantti ja testi!

Matriisi on joidenkin suorakaiteen muotoinen taulukko elementtejä. Kuten elementtejä tarkastelemme lukuja, eli numeerisia matriiseja. ELEMENTTI on termi. On suositeltavaa muistaa termi, se esiintyy usein, ei ole sattumaa, että käytin lihavointia korostaessani sitä.

Nimitys: matriisit merkitään yleensä isoilla latinalaisilla kirjaimilla

Esimerkki: Harkitse kaksi kertaa kolme matriisia:

Tämä matriisi koostuu kuudesta elementtejä:

Kaikki matriisin sisällä olevat luvut (alkiot) ovat olemassa itsestään, eli mistään vähennyksestä ei ole kysymys:

Se on vain numerotaulukko (joukko)!

Olemme myös samaa mieltä älä järjestä uudelleen numerot, ellei selityksissä toisin mainita. Jokaisella numerolla on oma sijaintinsa, eikä sitä voi sekoittaa!

Kyseisessä matriisissa on kaksi riviä:

ja kolme saraketta:

STANDARDI: kun puhutaan matriisin koosta, niin ensiksi ilmoittaa rivien lukumäärä ja vasta sitten sarakkeiden lukumäärä. Olemme juuri hajottaneet kaksi kertaa kolme -matriisin.

Jos matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama, matriisia kutsutaan neliö, Esimerkiksi: – kolme kertaa kolme matriisi.

Jos matriisissa on yksi sarake tai yksi rivi, niin tällaisia matriiseja kutsutaan myös vektorit.

Itse asiassa olemme tunteneet matriisin käsitteen koulusta lähtien. Tarkastellaan esimerkiksi pistettä, jonka koordinaatit ovat "x" ja "y": . Pohjimmiltaan pisteen koordinaatit kirjoitetaan yksi kerrallaan matriisiin. Muuten, tässä on esimerkki siitä, miksi numeroiden järjestyksellä on merkitystä: ja ovat kaksi kokonaan eri pisteet kone.

Nyt siirrytään opiskelemaan operaatiot matriiseilla:

1) Toimi yksi. Miinuksen poistaminen matriisista (miinuksen lisääminen matriisiin).

Palataan matriisiin . Kuten luultavasti huomasit, tässä matriisissa on liian monta negatiivista lukua. Tämä on erittäin hankalaa erilaisten toimintojen suorittamisen kannalta matriisin kanssa, on hankalaa kirjoittaa niin monia miinuksia, ja se näyttää yksinkertaisesti rumalta.

Siirretään miinus matriisin ulkopuolelle muuttamalla matriisin JOKAisen elementin etumerkkiä:

Nollassa, kuten ymmärrät, nolla on myös nolla Afrikassa.

Käänteinen esimerkki: . Se näyttää rumalta.

Lisätään matriisiin miinus muuttamalla matriisin JOKAisen elementin etumerkkiä:

No, siitä tuli paljon mukavampi. Ja mikä tärkeintä, matriisin avulla on HELPPOA suorittaa kaikki toimet. Koska on olemassa sellainen matemaattinen kansan merkki: Miten lisää haittoja– sitä enemmän hämmennystä ja virheitä.

2) Toimi kaksi. Matriisin kertominen luvulla.

Esimerkki:

Se on yksinkertaista, jotta voit kertoa matriisin numerolla, tarvitset joka matriisielementti kerrottuna annetulla luvulla. Tässä tapauksessa - kolme.

Toinen hyödyllinen esimerkki:

– matriisin kertominen murtoluvulla

Katsotaan ensin mitä tehdä EI TARVETTA:

Matriisiin EI tarvitse syöttää murto-osaa, se vain vaikeuttaa jatkotoimenpiteitä matriisin kanssa, ja toiseksi se vaikeuttaa opettajan ratkaisun tarkistamista (varsinkin jos; – tehtävän lopullinen vastaus).

Ja erityisesti, EI TARVETTA jaa jokainen matriisin elementti miinus seitsemällä:

Artikkelista Matematiikka nukkeille tai mistä aloittaa, muistamme sen desimaalit korkeammassa matematiikassa he yrittävät välttää niitä kaikin mahdollisin tavoin.

Ainoa asia on mieluiten Mitä tehdä tässä esimerkissä, on lisätä miinus matriisiin:

Mutta jos vain KAIKKI matriisielementit jaettiin seitsemällä jälkeä jättämättä, silloin olisi mahdollista (ja tarpeellista!) jakaa.

Esimerkki:

Tässä tapauksessa voit TARVITSEE kerro kaikki matriisin elementit luvulla, koska kaikki matriisin luvut ovat jaollisia kahdella jälkeä jättämättä.

Huomaa: korkeakoulumatematiikan teoriassa ei ole "jaon" käsitettä. Sen sijaan, että sanoisit "tämä jaettuna sillä", voit aina sanoa "tämä kerrottuna murto-osalla". Eli jako on erikoistapaus kertolasku.

3) Toimi kolme. Matriisitransponointi.

Transponoidaksesi matriisin, sinun on kirjoitettava sen rivit transponoidun matriisin sarakkeisiin.

Esimerkki:

Transponoi matriisi

Tässä on vain yksi rivi, ja säännön mukaan se on kirjoitettava sarakkeeseen:

– transponoitu matriisi.

Transponoitu matriisi osoitetaan yleensä yläindeksillä tai alkuluvulla oikeassa yläkulmassa.

Esimerkki askel askeleelta:

Transponoi matriisi

Ensin kirjoitetaan ensimmäinen rivi uudelleen ensimmäiseksi sarakkeeksi:

Sitten kirjoitamme toisen rivin toiseen sarakkeeseen:

Ja lopuksi kirjoitamme kolmannen rivin uudelleen kolmanteen sarakkeeseen:

Valmis. Karkeasti sanottuna transponointi tarkoittaa matriisin kääntämistä kyljelleen.

4) Neljäs näytös. Matriisien summa (erotus)..

Matriisien summa on yksinkertainen operaatio.
KAIKKI MATRIISIT EI VOI TAITTAA. Matriisien yhteenlasku (vähennys) suorittamiseksi on välttämätöntä, että ne ovat SAMAKOKOJA.

Esimerkiksi, jos annetaan kaksi kertaa kaksi matriisi, se voidaan lisätä vain kaksi kertaa kahdella matriisilla, ei muulla!

Esimerkki:

Lisää matriiseja Ja

Jotta voit lisätä matriiseja, sinun on lisättävä niitä vastaavat elementit:

Matriisien erolle sääntö on samanlainen, on tarpeen löytää vastaavien elementtien ero.

Esimerkki:

Etsi matriisiero ,

Kuinka voit ratkaista tämän esimerkin helpommin, jotta et joudu hämmennyksiin? On suositeltavaa päästä eroon tarpeettomista miinuksista lisäämällä miinus matriisiin:

Huomaa: korkeakoulumatematiikan teoriassa ei ole käsitettä "vähennys". Sen sijaan, että sanoisit "vähennä tämä tästä", voit aina sanoa "lisää tämä tähän". negatiivinen luku" Eli vähennys on erityinen yhteenlaskutapaus.

5) Lakia viisi. Matriisin kertolasku.

Mitä matriiseja voidaan kertoa?

Jotta matriisi kerrottaisiin matriisilla, se on välttämätöntä niin, että matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin rivien lukumäärä.

Esimerkki:
Onko mahdollista kertoa matriisi matriisilla?

Tämä tarkoittaa, että matriisidataa voidaan kertoa.

Mutta jos matriisit järjestetään uudelleen, tässä tapauksessa kertominen ei ole enää mahdollista!

Siksi kertominen ei ole mahdollista:

Ei ole kovin harvinaista kohdata tehtäviä tempun kanssa, kun opiskelijaa pyydetään kertomaan matriiseja, joiden kertominen on ilmeisen mahdotonta.

On huomattava, että joissakin tapauksissa on mahdollista kertoa matriiseja molemmilla tavoilla.
Esimerkiksi matriiseille sekä kerto- ja kertolasku ovat mahdollisia

Tässä aiheessa tarkastellaan matriisin käsitettä sekä matriisityyppejä. Koska tässä aiheessa on paljon termejä, lisään yhteenveto materiaalissa liikkumisen helpottamiseksi.

Matriisin ja sen elementin määritelmä. Merkintä.

Matriisi on $m$ rivin ja $n$ sarakkeen taulukko. Matriisin elementit voivat olla luonteeltaan täysin erilaisia objekteja: lukuja, muuttujia tai esimerkiksi muita matriiseja. Esimerkiksi matriisi $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ sisältää 3 riviä ja 2 saraketta; sen elementit ovat kokonaislukuja. Matriisi $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sisältää 2 riviä ja 4 saraketta.

Eri tapoja kirjoittaa matriiseja: näytä\piilota

Matriisi voidaan kirjoittaa ei vain pyöreisiin, vaan myös neliö- tai kaksoissuorien hakasulkeisiin. Eli alla olevat merkinnät tarkoittavat samaa matriisia:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Tuote $m\times n$ kutsutaan matriisin koko. Esimerkiksi jos matriisi sisältää 5 riviä ja 3 saraketta, puhumme matriisista, jonka koko on $5\kertaa 3$. Matriisin $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ on koko $3 \kertaa 2$.

Tyypillisesti matriisit merkitään latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: $A$, $B$, $C$ ja niin edelleen. Esimerkiksi $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Rivien numerointi etenee ylhäältä alas; sarakkeet - vasemmalta oikealle. Esimerkiksi matriisin $B$ ensimmäinen rivi sisältää elementit 5 ja 3 ja toinen sarake elementit 3, -87, 0.

Matriisien elementit merkitään yleensä pienillä kirjaimilla. Esimerkiksi matriisin $A$ elementtejä merkitään $a_(ij)$. Kaksoisindeksi $ij$ sisältää tietoa elementin sijainnista matriisissa. Luku $i$ on rivin numero ja luku $j$ on sarakkeen numero, jonka leikkauskohdassa on elementti $a_(ij)$. Esimerkiksi matriisin toisen rivin ja viidennen sarakkeen leikkauskohdassa $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$-elementti $a_(25) = 59 $:

Samalla tavalla ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen leikkauskohdassa on elementti $a_(11)=51$; kolmannen rivin ja toisen sarakkeen leikkauskohdassa - elementti $a_(32)=-15$ ja niin edelleen. Huomaa, että merkintä $a_(32)$ lukee "kolme kaksi", mutta ei "kolmekymmentäkaksi".

Matriisin $A$ lyhentämiseksi, jonka koko on $m\times n$, käytetään merkintää $A_(m\times n)$. Voit kirjoittaa sen hieman tarkemmin:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

jossa merkintä $(a_(ij))$ tarkoittaa matriisin $A$ alkioita. Täysin laajennetussa muodossaan matriisi $A_(m\times n)=(a_(ij))$ voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \lpisteet & a_(2n) \\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Otetaan käyttöön toinen termi - yhtä suuret matriisit.

Kaksi samankokoista matriisia $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ja $B_(m\times n)=(b_(ij))$ kutsutaan yhtä suuri, jos niitä vastaavat alkiot ovat yhtä suuret, ts. $a_(ij)=b_(ij)$ kaikille $i=\overline(1,m)$ ja $j=\overline(1,n)$.

Selitys merkinnälle $i=\overline(1,m)$: näytä\piilota

Merkintä "$i=\overline(1,m)$" tarkoittaa, että parametri $i$ vaihtelee 1:stä m:ään. Esimerkiksi merkintä $i=\overline(1,5)$ osoittaa, että parametri $i$ saa arvot 1, 2, 3, 4, 5.

Joten, jotta matriisit olisivat tasa-arvoisia, kahden ehdon on täytyttävä: kokojen yhteensopivuus ja vastaavien elementtien yhtäläisyys. Esimerkiksi matriisi $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ei ole yhtä suuri kuin matriisi $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ koska matriisin $A$ koko on $3\kertaa 2$ ja matriisin $B$ on kokoa $2\kertaa $2. Myös matriisi $A$ ei ole sama kuin matriisi $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , koska $a_(21)\neq c_(21)$ (eli $0\neq 98$). Mutta matriisille $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ voimme turvallisesti kirjoittaa $A= F$, koska sekä matriisien $A$ ja $F$ koot että vastaavat elementit ovat samat.

Esimerkki nro 1

Määritä matriisin koko $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Osoita, mitä alkiot $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ ovat yhtä suuria.

Tämä matriisi sisältää 5 riviä ja 3 saraketta, joten sen koko on $5\kertaa 3$. Voit myös käyttää merkintää $A_(5\kertaa 3)$ tälle matriisille.

Elementti $a_(12)$ on ensimmäisen rivin ja toisen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(12)=-2$. Elementti $a_(33)$ on kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(33)=23$. Elementti $a_(43)$ on neljännen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa, joten $a_(43)=-5$.

Vastaus: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Matriisityypit niiden koosta riippuen. Pää- ja toissijaiset diagonaalit. Matriisijälki.

Olkoon tietty matriisi $A_(m\times n)$. Jos $m=1$ (matriisi koostuu yhdestä rivistä), niin annettu matriisi nimeltään matriisirivi. Jos $n = 1$ (matriisi koostuu yhdestä sarakkeesta), sellainen matriisi kutsutaan matriisi-sarake. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ on rivimatriisi ja $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ on sarakematriisi.

Jos matriisi $A_(m\times n)$ täyttää ehdon $m\neq n$ (eli rivien määrä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä), niin usein sanotaan, että $A$ on suorakaiteen muotoinen matriisi. Esimerkiksi matriisin $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ on koko $2\kertaa 4 $, ne. sisältää 2 riviä ja 4 saraketta. Koska rivien määrä ei ole yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä, tämä matriisi on suorakaiteen muotoinen.

Jos matriisi $A_(m\times n)$ täyttää ehdon $m=n$ (eli rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä), niin $A$ sanotaan olevan neliömatriisi, jonka suuruus on $ n$. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ on toisen kertaluvun neliömatriisi; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ on kolmannen asteen neliömatriisi. Yleensä neliömatriisi $A_(n\times n)$ voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \lpisteet & a_(2n) \\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet \\ a_(n1) & a_(n2) & \lpisteet & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementtien $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sanotaan olevan päällä päädiagonaali matriisit $A_(n\times n)$. Näitä elementtejä kutsutaan diagonaaliset pääelementit(tai vain diagonaaliset elementit). Elementit $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ovat päällä sivu (pieni) diagonaali; niitä kutsutaan sivusta diagonaaliset elementit. Esimerkiksi matriisille $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ meillä on:

Alkiot $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ovat tärkeimpiä diagonaalielementtejä; elementit $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ovat sivudiagonaalisia elementtejä.

Diagonaalien pääelementtien summaa kutsutaan jota seuraa matriisi ja sitä merkitään $\Tr A$ (tai $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Esimerkiksi matriisille $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ meillä on:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diagonaalielementtien käsitettä käytetään myös ei-neliömatriiseissa. Esimerkiksi matriisille $B=\left(\begin(array) (cccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ diagonaaliset pääelementit ovat $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Matriisityypit riippuen niiden elementtien arvoista.

Jos kaikki matriisin $A_(m\kertaa n)$ alkiot ovat nolla, niin tällainen matriisi on ns. tyhjä ja se merkitään yleensä kirjaimella $O$. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - nollamatriisit.

Olkoon matriisilla $A_(m\times n)$ seuraava muoto:

Sitten tätä matriisia kutsutaan puolisuunnikkaan muotoinen. Se ei välttämättä sisällä nollariviä, mutta jos niitä on, ne sijaitsevat matriisin alaosassa. Yleisemmässä muodossa puolisuunnikkaan muotoinen matriisi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Jälleen, lopussa olevia nollarivejä ei vaadita. Nuo. Muodollisesti voimme erottaa seuraavat ehdot puolisuunnikkaan matriisille:

Kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat elementit ovat nollia.
Kaikki alkiot $a_(11)$ - $a_(rr)$, jotka sijaitsevat päälävistäjällä, eivät ole yhtä suuria kuin nolla: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Joko kaikki viimeisten $m-r$ rivien elementit ovat nollia tai $m=r$ (eli nollarivejä ei ole ollenkaan).

Esimerkkejä puolisuunnikkaan muotoisista matriiseista:

Siirrytään seuraavaan määritelmään. Matriisia $A_(m\times n)$ kutsutaan astui, jos se täyttää seuraavat ehdot:

Esimerkiksi askelmatriisit olisivat:

Vertailun vuoksi matriisi $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ei ole echelon, koska kolmannella rivillä on sama nolla-osa kuin toisella rivillä. Eli periaatetta "mitä alempi viiva, sitä suurempi nollaosa" rikotaan. Lisään, että puolisuunnikkaan muotoinen matriisi on porrastetun matriisin erikoistapaus.

Siirrytään seuraavaan määritelmään. Jos kaikki neliömatriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin alla, ovat yhtä suuria kuin nolla, tällainen matriisi on ns. ylempi kolmiomatriisi. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ on ylempi kolmiomatriisi. Huomaa, että ylemmän kolmion matriisin määritelmä ei kerro mitään päälävistäjän yläpuolella tai päälävistäjällä olevien elementtien arvoista. Ne voivat olla nolla tai ei - sillä ei ole väliä. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ on myös ylempi kolmiomatriisi.

Jos kaikki neliömatriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin yläpuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla, tällainen matriisi on ns. alempi kolmiomatriisi. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alempi kolmiomatriisi. Huomaa, että alemman kolmion matriisin määritelmä ei kerro mitään päädiagonaalin alla tai päällä olevien elementtien arvoista. Ne voivat olla nolla tai ei - sillä ei ole väliä. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ ja $\left(\ aloita (taulukko) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ovat myös alempia kolmimatriiseja.

Neliömatriisia kutsutaan diagonaalinen, jos kaikki tämän matriisin elementit, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat nollia. Esimerkki: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Päädiagonaalin elementit voivat olla mitä tahansa (nolla tai ei) - sillä ei ole väliä.

Diagonaalimatriisia kutsutaan yksittäinen, jos kaikki tämän matriisin päälävistäjällä olevat elementit ovat yhtä suuret kuin 1. Esimerkiksi $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - neljännen kertaluvun identiteettimatriisi; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ on toisen kertaluvun identiteettimatriisi.