Etsi geometrisen progression neljän ensimmäisen luvun summa. Aritmeettinen ja geometrinen progressio

>>Matematiikka: Geometrinen eteneminen

Lukijan mukavuuden vuoksi tämä kappale on rakennettu täsmälleen saman suunnitelman mukaan, jota noudatimme edellisessä kappaleessa.

1. Peruskäsitteet.

Määritelmä. Numeerista sarjaa, jonka kaikki jäsenet ovat erilaisia ​​kuin 0 ja jonka jokainen jäsen toisesta alkaen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla se samalla luvulla, kutsutaan geometriseksi progressioksi. Tässä tapauksessa numeroa 5 kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

Geometrinen progressio on siis numeerinen sarja (b n), jonka relaatiot määrittelevät toistuvasti

Onko mahdollista tarkastella numerosarjaa ja määrittää, onko se geometrinen progressio? Voi. Jos olet varma, että minkä tahansa sekvenssin jäsenen suhde edelliseen jäseneen on vakio, sinulla on geometrinen eteneminen.
Esimerkki 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Esimerkki 2.

Tämä on geometrinen eteneminen
Esimerkki 3.

Tämä on geometrinen eteneminen
Esimerkki 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 - 8, q = 1.

Huomaa, että tämä sarja on myös aritmeettinen progressio (katso esimerkki 3 kohdasta 15).

Esimerkki 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 = 2, q = -1.

Geometrinen progressio on luonnollisesti kasvava sarja, jos b 1 > 0, q > 1 (katso esimerkki 1), ja laskeva sarja, jos b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Seuraava merkintä on joskus kätevä osoittaa, että sekvenssi (b n) on geometrinen progressio:

Kuvake korvaa ilmauksen "geometrinen eteneminen".
Huomioikaa yksi utelias ja samalla melko ilmeinen geometrisen etenemisen ominaisuus:
Jos sekvenssi on geometrinen progressio, sitten neliöiden sarja, ts. on geometrinen progressio.
Toisessa geometrisessa progressiossa ensimmäinen termi on yhtä suuri ja yhtä suuri kuin q 2.
Jos geometrisessa progressiossa hylkäämme kaikki termit b n :n jälkeen, saadaan äärellinen geometrinen progressio
Tämän osan muissa kappaleissa tarkastellaan geometrisen etenemisen tärkeimpiä ominaisuuksia.

2. Geometrisen progression n:nnen termin kaava.

Harkitse geometrista etenemistä nimittäjä q. Meillä on:

Ei ole vaikea arvata, että minkä tahansa luvun n yhtäläisyys on totta

Tämä on geometrisen progression n:nnen termin kaava.

Kommentti.

Jos olet lukenut tärkeän huomautuksen edellisestä kappaleesta ja ymmärtänyt sen, yritä todistaa kaava (1) menetelmällä matemaattinen induktio samalla tavalla kuin tehtiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaavalle.

Kirjoitetaan geometrisen progression n:nnen termin kaava uudelleen

ja esittele merkintä: Saamme y = mq 2, tai tarkemmin,
Argumentti x sisältyy eksponenttiin, joten tätä funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi funktioksi. Tämä tarkoittaa, että geometrista progressiota voidaan pitää eksponentiaalisena funktiona, joka on määritelty luonnollisten lukujen joukossa N. Kuvassa Kuva 96a esittää funktion kaaviota. 966 - funktiokaavio Molemmissa tapauksissa meillä on eristettyjä pisteitä(abskissat x = 1, x = 2, x = 3 jne.) makaavat tietyllä käyrällä (molemmat kuviot esittävät samaa käyrää, vain eri paikoillaan ja kuvattuna eri mittakaavassa). Tätä käyrää kutsutaan eksponentiaaliseksi käyräksi. Lisätietoja eksponentiaalisesta funktiosta ja sen kaaviosta käsitellään 11. luokan algebran kurssilla.

Palataan edellisen kappaleen esimerkkeihin 1-5.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Tämä on geometrinen progressio, jolle b 1 = 1, q = 3. Luodaan kaava n:nnelle termille
2) Tämä on geometrinen progressio, jolle luodaan kaava n:nnelle termille

Tämä on geometrinen eteneminen Luodaan kaava n:nnelle termille
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Tämä on geometrinen progressio, jolle b 1 = 8, q = 1. Luodaan kaava n:nnelle termille
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,... Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 = 2, q = -1. Luodaan kaava n:nnelle termille

Esimerkki 6.

Annettu geometrinen progressio

Kaikissa tapauksissa ratkaisu perustuu geometrisen progression n:nnen termin kaavaan

a) Laittamalla n = 6 geometrisen progression n:nnen termin kaavaan, saadaan

b) Meillä on

Koska 512 = 2 9, saamme n - 1 = 9, n = 10.

d) Meillä on

Esimerkki 7.

Geometrisen progression seitsemännen ja viidennen jäsenen ero on 48, jakson viidennen ja kuudennen jäsenen summa on myös 48. Etsi tämän etenemisen kahdestoista termi.

Ensimmäinen taso. Matemaattisen mallin laatiminen.

Ongelman ehdot voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Käyttämällä kaavaa geometrisen progression n:nnelle termille, saamme:
Sitten tehtävän toinen ehto (b 7 - b 5 = 48) voidaan kirjoittaa muodossa

Tehtävän kolmas ehto (b 5 + b 6 = 48) voidaan kirjoittaa muodossa

Tuloksena saadaan kahden yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla b 1 ja q:

joka yhdessä yllä kirjoitetun ehdon 1) kanssa on matemaattinen malli tehtäviä.

Toinen vaihe.

Työskentely kootun mallin kanssa. Yhtälöimällä järjestelmän molempien yhtälöiden vasemmat puolet, saamme:

(jakoimme yhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla lausekkeella b 1 q 4).

Yhtälöstä q 2 - q - 2 = 0 saadaan q 1 = 2, q 2 = -1. Korvaamalla arvon q = 2 järjestelmän toiseen yhtälöön, saamme
Korvaamalla arvon q = -1 järjestelmän toiseen yhtälöön saadaan b 1 1 0 = 48; tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Joten, b 1 =1, q = 2 - tämä pari on ratkaisu käännetylle yhtälöjärjestelmälle.

Nyt voidaan kirjoittaa tehtävässä käsitelty geometrinen eteneminen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Kolmas vaihe.

Vastaus ongelmakysymykseen. Sinun on laskettava b 12. Meillä on

Vastaus: b 12 = 2048.

3. Kaava äärellisen geometrisen progression termien summalle.

Olkoon äärellinen geometrinen progressio

Merkitään S n:llä sen termien summa, ts.

Johdetaan kaava tämän määrän löytämiseksi.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta, kun q = 1. Tällöin geometrinen progressio b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn koostuu n numerosta, jotka ovat yhtä suuret kuin b 1 , ts. eteneminen näyttää tältä b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Näiden lukujen summa on nb 1.

Olkoon nyt q = 1 Löytääksemme S n:n, käytämme keinotekoista tekniikkaa: suoritamme joitain muunnoksia lausekkeesta S n q. Meillä on:

Muunnoksia tehdessämme käytimme ensinnäkin geometrisen progression määritelmää, jonka mukaan (katso kolmas päättelylinja); toiseksi he lisäsivät ja vähensivät, minkä vuoksi ilmaisun merkitys ei tietenkään muuttunut (katso neljäs päättelylinja); Kolmanneksi käytimme geometrisen progression n:nnelle termille kaavaa:

Kaavasta (1) löydämme:

Tämä on kaava geometrisen progression n termien summalle (tapaukselle, kun q = 1).

Esimerkki 8.

Annettu äärellinen geometrinen progressio

a) etenemisen ehtojen summa; b) sen ehtojen neliöiden summa.

b) Edellä (ks. s. 132) olemme jo todenneet, että jos geometrisen etenemisen kaikki termit neliöidään, niin saadaan geometrinen eteneminen, jonka ensimmäinen termi on b 2 ja nimittäjä q 2. Sitten uuden etenemisen kuuden ehdon summa lasketaan

Esimerkki 9.

Etsi geometrisen progression 8. termi, jolle

Itse asiassa olemme todistaneet seuraavan lauseen.

Numeerinen sarja on geometrinen progressio, jos ja vain jos sen jokaisen termin neliö, paitsi ensimmäinen lause (ja viimeinen, jos kyseessä on äärellinen sekvenssi), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien termien tulo (a geometrisen progression ominaisuus).

Tarkastellaanpa tiettyä sarjaa.

7 28 112 448 1792...

On täysin selvää, että minkä tahansa sen elementin arvo on täsmälleen neljä kertaa suurempi kuin edellinen. Tämä tarkoittaa, että tämä sarja on edistystä.

Geometrinen progressio on ääretön numerosarja. pääominaisuus eli seuraava luku saadaan edellisestä kertomalla jollakin tietyllä luvulla. Tämä ilmaistaan ​​seuraavalla kaavalla.

a z +1 =a z ·q, jossa z on valitun elementin numero.

Vastaavasti z ∈ N.

Geometristä progressiota opiskellaan koulussa 9. luokalla. Esimerkit auttavat sinua ymmärtämään käsitteen:

0.25 0.125 0.0625...

Tämän kaavan perusteella etenemisen nimittäjä löytyy seuraavasti:

q tai b z eivät voi olla nolla. Myöskään etenemisen jokaisen elementin ei tulisi olla yhtä suuri kuin nolla.

Näin ollen sarjan seuraavan luvun selvittämiseksi sinun on kerrottava viimeinen q:lla.

Tämän etenemisen määrittämiseksi sinun on määritettävä sen ensimmäinen elementti ja nimittäjä. Tämän jälkeen on mahdollista löytää mikä tahansa myöhemmistä ehdoista ja niiden summa.

Lajikkeet

Riippuen q:stä ja a 1:stä, tämä eteneminen on jaettu useisiin tyyppeihin:

• Jos sekä a 1 että q ovat suurempia kuin yksi, niin tällainen sarja on geometrinen progressio, joka kasvaa jokaisella seuraavalla elementillä. Esimerkki tästä on esitetty alla.

Esimerkki: a 1 =3, q=2 - molemmat parametrit ovat suurempia kuin yksi.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa näin:

3 6 12 24 48 ...

• Jos |q| on pienempi kuin yksi, eli kertominen sillä vastaa jakoa, niin samanlaisilla ehdoilla oleva progressio on laskeva geometrinen progressio. Esimerkki tästä on esitetty alla.

Esimerkki: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 on suurempi kuin yksi, q on pienempi.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

6 2 2/3 ... - mikä tahansa elementti on 3 kertaa suurempi kuin sitä seuraava elementti.

• Vaihteleva merkki. Jos q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esimerkki: a 1 = -3, q = -2 - molemmat parametrit ovat pienempiä kuin nolla.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa näin:

3, 6, -12, 24,...

Kaavat

Geometristen progressioiden kätevää käyttöä varten on monia kaavoja:

• Z-termi kaava. Voit laskea elementin tietyn luvun alla laskematta aiempia lukuja.

Esimerkki:q = 3, a 1 = 4. Progression neljäs alkio on laskettava.

Ratkaisu:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Niiden ensimmäisten alkioiden summa, joiden määrä on yhtä suuri z. Voit laskea sarjan kaikkien elementtien summan ainaa zmukaan lukien.

Koska (1-q) on nimittäjässä, sitten (1 - q)≠ 0, joten q ei ole yhtä suuri kuin 1.

Huomaa: jos q=1, niin eteneminen olisi sarja äärettömästi toistuvia lukuja.

Geometrisen progression summa, esimerkkejä:a 1 = 2, q= -2. Laske S5.

Ratkaisu:S 5 = 22 - laskenta kaavalla.

• Määrä, jos |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esimerkki:a 1 = 2 , q= 0,5. Etsi summa.

Ratkaisu:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Jotkut ominaisuudet:

• Ominainen ominaisuus. Jos seuraava ehto toimii mille tahansaz, niin annettu numerosarja on geometrinen progressio:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Myös minkä tahansa luvun neliö geometrisessa progressiossa saadaan laskemalla yhteen minkä tahansa kahden muun luvun neliöt tietyssä sarjassa, jos ne ovat yhtä kaukana tästä elementistä.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Missät- näiden numeroiden välinen etäisyys.

• Elementiteroavat qkerran.
• Progression alkioiden logaritmit muodostavat myös progression, mutta aritmeettisen, eli jokainen niistä on tietyn luvun verran suurempi kuin edellinen.

Esimerkkejä klassisista ongelmista

Jotta ymmärrät paremmin, mitä geometrinen progressio on, luokan 9 ratkaisuesimerkit voivat auttaa.

• Ehdot:a 1 = 3, a 3 = 48. Etsiq.

Ratkaisu: jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinenq kerran.On välttämätöntä ilmaista jotkin elementit toisilla nimittäjällä.

Siten,a 3 = q 2 · a 1

Vaihdossaq= 4

• Ehdot:a 2 = 6, a 3 = 12. Laske S 6.

Ratkaisu:Tee tämä etsimällä q, ensimmäinen alkio, ja korvaamalla se kaavassa.

a 3 = q· a 2 , siis,q= 2

a 2 = q · a 1,Siksi a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Etsi etenemisen neljäs elementti.

Ratkaisu: tätä varten riittää, että ilmaistaan ​​neljäs elementti ensimmäisen ja nimittäjän kautta.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Sovellusesimerkki:

• Pankkiasiakas teki 10 000 ruplan talletuksen, jonka ehdoilla asiakas saa joka vuosi siitä 6% lisäyksen pääomaan. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4 vuoden kuluttua?

Ratkaisu: Alkuperäinen määrä on 10 tuhatta ruplaa. Tämä tarkoittaa, että vuoden kuluttua sijoituksesta tilillä on 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Näin ollen tilillä oleva summa toisen vuoden jälkeen ilmaistaan ​​seuraavasti:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Eli joka vuosi määrä kasvaa 1,06-kertaiseksi. Tämä tarkoittaa, että tilin varojen määrän selvittämiseksi 4 vuoden kuluttua riittää, kun etsitään progression neljäs elementti, jonka antaa ensimmäinen elementti, joka on 10 tuhatta ja nimittäjä 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esimerkkejä summalaskentaongelmista:

Geometristä progressiota käytetään erilaisissa ongelmissa. Esimerkki summan löytämisestä voidaan antaa seuraavasti:

a 1 = 4, q= 2, laskeS 5.

Ratkaisu: kaikki laskennassa tarvittavat tiedot ovat tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata ne kaavassa.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Laske kuuden ensimmäisen alkion summa.

Ratkaisu:

Geom. progressio, jokainen seuraava alkio on q kertaa suurempi kuin edellinen, eli summan laskemiseksi sinun on tiedettävä elementtia 1 ja nimittäjäq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samoin sinun on löydettäväa 1 , tietäena 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Numerosekvenssit. Geometrinen eteneminen"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusapuvälineet ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa 9. luokalle
Potenssit ja juuret Funktiot ja graafit

Kaverit, tänään tutustumme toisenlaiseen etenemiseen.
Tämän päivän oppitunnin aiheena on geometrinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen

Esimerkki. 1,2,4,8,16... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin yksi ja $q=2$.

Esimerkki. 8,8,8,8... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin kahdeksan,
ja $q=1$.

Esimerkki. 3,-3,3,-3,3... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kolme,
ja $q=-1$.

Geometrisellä progressiolla on monotonisuuden ominaisuuksia.
Jos $b_(1)>0$, $q>1$,
sitten järjestys kasvaa.
Jos $b_(1)>0 $, $0 Sarja merkitään yleensä muodossa: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kuten aritmeettisessa etenemisessä, jos geometrisessa progressiossa alkioiden lukumäärä on äärellinen, niin progressiota kutsutaan äärelliseksi geometriseksi etenemiseksi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Huomaa, että jos jono on geometrinen progressio, myös termien neliöiden sarja on geometrinen progressio. Toisessa sekvenssissä ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin $b_(1)^2$ ja nimittäjä on yhtä suuri kuin $q^2$.

Kaava geometrisen progression n:nnelle termille

Palataan esimerkkeihimme.

Esimerkki. 1,2,4,8,16... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin yksi,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Esimerkki. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kuusitoista ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Esimerkki. 8,8,8,8... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Esimerkki. 3,-3,3,-3,3... Geometrinen progressio, jossa ensimmäinen termi on kolme ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Esimerkki. Annettu geometrinen progressio $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Tiedetään, että $b_(1)=6, q=3$. Etsi $b_(5)$.
b) Tiedetään, että $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Etsi n.
c) Tiedetään, että $q=-2, b_(6)=96$. Etsi $b_(1)$.
d) Tiedetään, että $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Etsi q.

Ratkaisu.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, koska $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Esimerkki. Geometrisen progression seitsemännen ja viidennen jäsenen ero on 192, jakson viidennen ja kuudennen jäsenen summa on 192. Etsi tämän etenemisen kymmenes termi.

Ratkaisu.
Tiedämme, että $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiedämme myös: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sitten:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saimme yhtälöjärjestelmän:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Yhtälöimällä yhtälömme saamme:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saimme kaksi ratkaisua q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Korvaa peräkkäin toinen yhtälö:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ei ratkaisuja.
Saimme sen: $b_(1)=4, q=2$.
Etsitään kymmenes termi: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Äärellisen geometrisen progression summa

Olkoon äärellinen geometrinen progressio: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Otetaan käyttöön nimitys sen termien summalle: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Siinä tapauksessa, kun $q=1$. Kaikki geometrisen progression termit ovat yhtä suuria kuin ensimmäinen termi, jolloin on selvää, että $S_(n)=n*b_(1)$.
Tarkastellaan nyt tapausta $q≠1$.
Kerrotaan yllä oleva summa q:lla.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Huomautus:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Olemme saaneet äärellisen geometrisen progression summan kaavan.

Ratkaisu.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Esimerkki.
Etsi geometrisen etenemisen viides termi, joka tunnetaan: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Ratkaisu.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1) = 1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrisen etenemisen tunnusomainen ominaisuus

Numerosarja on geometrinen progressio vain, kun kunkin jäsenen neliö on yhtä suuri kuin progression kahden vierekkäisen jäsenen tulo. Älä unohda, että äärelliselle etenemiselle tämä ehto ei täyty ensimmäisellä ja viimeisellä termillä.

Geometrisen etenemisen minkä tahansa termin moduuli on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen termin geometrinen keskiarvo.

Ratkaisu.
Käytetään ominaisuutta:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Korvataan ratkaisumme peräkkäin alkuperäiseen lausekkeeseen:
Kun $x=2$, saimme sekvenssin: 4;6;9 – geometrinen progressio, jossa $q=1.5$.
Jos $x=-1$, saamme sekvenssin: 1;0;0.
Vastaus: $x=2.$

Ongelmia ratkaista itsenäisesti

Jos jokaiselle luonnolliselle luvulle n vastaa oikeaa lukua a n , sitten he sanovat, että se on annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numerosarja on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen termi , numero a 2 — sekvenssin toinen termi , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään n. termi sekvenssejä , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

Kahdesta vierekkäisestä jäsenestä a n Ja a n +1 sekvenssin jäsen a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), A a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein järjestys määritetään käyttämällä n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 Ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numeerisen sekvenssin seitsemän ensimmäistä termiä muodostetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen Ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen , jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon , jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkulukujen järjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan kasvaa , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan vähenee , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — kasvava järjestys;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - laskeva järjestys. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene luvun kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio, jos jollekin luonnollinen luku n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

Missä d - tietty numero.

Siten ero tietyn aritmeettisen etenemisen seuraavien ja edellisten termien välillä on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen etenemisen ero.

Aritmeettisen progression määrittelemiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja ero.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 3, d = 4 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression th termi löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa ylös

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen jakson tasavälein olevien jäsenten summasta.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle pätee seuraava yhtäläisyys:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n Aritmeettisen progression termit on yhtä suuri kuin puolen ääritermin ja termien määrän tulo:

Tästä seuraa erityisesti, että jos sinun on summattava ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos annetaan aritmeettinen progressio, sitten määrät a 1 , a n, d, n JaS n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos kolmen näistä suureista annetaan arvot, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• Jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• Jos d < 0 , silloin se pienenee;
• Jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

Missä q ≠ 0 - tietty numero.

Siten tietyn geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression määrittämiseksi riittää, kun ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

Jos b 1 = 1, q = -3 , niin löydämme sekvenssin viisi ensimmäistä termiä seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n Termi löytyy kaavalla:

b n = b 1 · qn -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen etenemisen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä termejä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Osoittakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa halutun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression th termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös kaikki aiemmat jäsenet b k , johon riittää kaavan käyttäminen

b n = b k · qn - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa ylös

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

geometrisen progression minkä tahansa termin neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen termien tulo, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäsenet nimittäjän kanssa q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom 1

Huomaa, että jos sinun on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

Esimerkiksi,

geometrisessa progressiossa 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio on annettu, niin suuret b 1 , b n, q, n Ja S n yhdistetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista, jotka yhdistetään kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuuden ominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen progressio on vuorotteleva: sen parittomien lukujen termeillä on sama etumerkki kuin sen ensimmäisellä termillä ja parillisten lukujen termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Se sopii tilaisuuteen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä luku, johon ensimmäisten summa lähestyy rajattomasti n etenemisen jäseniä, joiden lukumäärä kasvaa rajattomasti n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Katsotaanpa vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tuo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä q , Tuo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lg 6 . ◄