Esimerkki 1 matemaattisen induktion menetelmä. Matemaattisen induktion periaate

Luento 6. Matemaattisen induktion menetelmä.

Tieteessä ja elämässä uutta tietoa saadaan eri tavoin, mutta ne kaikki (jos et mene yksityiskohtiin) on jaettu kahteen tyyppiin - siirtyminen yleisestä erityiseen ja erityisestä yleiseen. Ensimmäinen on deduktio, toinen on induktio. Deduktiivista päättelyä kutsutaan matematiikassa yleisesti. looginen päättely, ja sisään matemaattinen tiede vähennys on ainoa laillinen tapa tutkia. Loogisen päättelyn säännöt muotoili kaksi ja puoli tuhatta vuotta sitten antiikin kreikkalainen tiedemies Aristoteles. Hän loi täydellisen luettelon yksinkertaisimmista oikeista päätelmistä, syllogismit– logiikan "rakennuspalikoita", samalla osoittaen tyypillistä päättelyä, joka on hyvin samankaltainen kuin oikea, mutta virheellinen (tällaista "pseudologista" päättelyä kohtaamme usein mediassa).

Induktio (induktio - latinaksi opastusta) havainnollistaa selvästi kuuluisa legenda siitä, kuinka Isaac Newton muotoili yleisen gravitaatiolain sen jälkeen, kun omena putosi hänen päähänsä. Toinen esimerkki fysiikasta: sähkömagneettisen induktion kaltaisessa ilmiössä sähkökenttä luo, "indusoi" magneettikentän. "Newtonin omena" on tyypillinen esimerkki tilanteesta, jossa yksi tai useampi erikoistapaus, eli havainnot, "ehdottaa" yleistä lausuntoa; yleinen johtopäätös tehdään yksittäisten tapausten perusteella. Induktiivinen menetelmä on tärkein yleisten mallien saamiseksi sekä luonnontieteissä että humanistisissa tieteissä. Mutta sillä on erittäin merkittävä haittapuoli: tiettyjen esimerkkien perusteella voidaan tehdä väärä johtopäätös. Yksityisistä havainnoista johtuvat hypoteesit eivät aina pidä paikkaansa. Tarkastellaanpa esimerkkiä Eulerin johdosta.

Laskemme trinomin arvon joillekin ensimmäisille arvoille n:

Huomaa, että laskelmien tuloksena saadut luvut ovat alkulukuja. Ja se voidaan suoraan tarkistaa jokaisen kohdalla n 1-39 polynomiarvo
On alkuluku. Kuitenkin milloin n=40 saadaan luku 1681=41 2, joka ei ole alkuluku. Siten hypoteesi, joka voisi syntyä tässä, eli hypoteesi, että jokaiselle n määrä
on yksinkertainen, osoittautuu vääräksi.

Leibniz osoitti 1600-luvulla sen jokaiselle positiiviselle kokonaisuudelle n määrä
jaollinen 3:lla, luku
jaollinen 5:llä jne. Tämän perusteella hän oletti, että mikä tahansa outo k ja mikä tahansa luonnollinen n määrä
jaettuna k, mutta huomasin sen pian
ei ole jaollinen 9:llä.

Tarkastettujen esimerkkien avulla voimme tehdä tärkeän johtopäätöksen: lausunto voi olla oikeudenmukainen useissa erikoistapauksissa ja samalla epäreilu yleisesti. Kysymys lausunnon pätevyydestä yleisessä tapauksessa voidaan ratkaista käyttämällä erityistä päättelymenetelmää, jota kutsutaan matemaattisen induktion avulla(täydellinen induktio, täydellinen induktio).

6.1. Matemaattisen induktion periaate.

♦ Matemaattisen induktion menetelmä perustuu matemaattisen induktion periaate , joka on seuraava:

1) tämän lausunnon oikeellisuus tarkistetaann=1 (induktioperusteisesti) ,

2) tämän lausunnon pätevyyden oletetaann= k, Missäk– mielivaltainen luonnollinen luku 1(induktio-oletus) , ja tämä oletus huomioon ottaen sen pätevyys vahvistetaann= k+1.

Todiste. Oletetaan päinvastoin, eli oletetaan, että väite ei ole totta kaikille luonnollisille n. Sitten on sellainen luonnollinen m, Mitä:

1) lausunto puolesta n=m epäreilua,

2) kaikille n, pienempi m, väite on totta (toisin sanoen m on ensimmäinen luonnollinen luku, jolle väite ei pidä paikkaansa).

Se on selvää m>1, koska varten n=1 väite on tosi (ehto 1). Siten,
- luonnollinen luku. Se käy ilmi luonnolliselle luvulle
lause on tosi, ja seuraavalle luonnolliselle luvulle m se on epäreilua. Tämä on ristiriidassa ehdon 2 kanssa. ■

Huomaa, että todistuksessa käytettiin aksioomaa, että mikä tahansa luonnollisten lukujen joukko sisältää pienimmän luvun.

Matemaattisen induktion periaatteeseen perustuvaa todistusta kutsutaan täydellisen matemaattisen induktion menetelmällä .

 Esimerkki6.1. Todista se kaikille luonnollisille n määrä
jaollinen 3:lla.

Ratkaisu.

1) Milloin n=1, niin a 1 on jaollinen kolmella ja lause on tosi kun n=1.

2) Oletetaan, että väite pitää paikkansa n=k,
, eli tuo numero
on jaollinen kolmella, ja määritetään, että milloin n=k+1 luku on jaollinen kolmella.

Todellakin,

Koska Jokainen termi on jaollinen 3:lla, niin niiden summa on myös jaollinen 3:lla. ■ 

 Esimerkki6.2. Todista, että ensimmäisen summa n luonnolliset parittomat luvut on yhtä suuri kuin niiden lukumäärän neliö, eli.

Ratkaisu. Käytetään täydellisen matemaattisen induktion menetelmää.

1) Tarkistamme tämän lausunnon oikeellisuuden milloin n=1: 1=1 2 – tämä on totta.

2) Oletetaan, että ensimmäisen summa k (
) parittomien lukujen lukumäärä on yhtä suuri kuin näiden lukujen lukumäärän neliö, eli. Tämän yhtäläisyyden perusteella määritämme, että ensimmäisen summa k+1 parittomat luvut on yhtä suuri kuin
, tuo on .

Käytämme oletustamme ja saamme

. ■ 

Täydellisen matemaattisen induktion menetelmää käytetään joidenkin epäyhtälöiden todistamiseen. Todistakaamme Bernoullin epätasa-arvo.

 Esimerkki6.3. Todista, että milloin
ja mikä tahansa luonnollinen n eriarvoisuus on totta
(Bernoullin epätasa-arvo).

Ratkaisu. 1) Milloin n=1 saamme
, mikä on totta.

2) Oletetaan, että milloin n=k on eriarvoisuutta
(*). Tätä olettamusta käyttämällä todistamme sen
. Huomaa, että milloin
tämä epätasa-arvo pätee, ja siksi tapauksen tarkastelu riittää
.

Kerrotaan epäyhtälön (*) molemmat puolet luvulla
ja saamme:

Eli (1+
.■ 

Todistus menetelmällä epätäydellinen matemaattinen induktio jokin lausunto riippuen n, Missä
suoritetaan samalla tavalla, mutta alussa perustellaan oikeudenmukaisuus pienimmälle arvolle n.

Jotkut ongelmat eivät nimenomaisesti esitä väitettä, joka voidaan todistaa matemaattisella induktiolla. Tällaisissa tapauksissa sinun on määritettävä malli itse ja tehtävä hypoteesi tämän mallin pätevyydestä ja sitten testattava ehdotettu hypoteesi matemaattisen induktion menetelmällä.

 Esimerkki6.4. Etsi summa
.

Ratkaisu. Etsitään summat S 1 , S 2 , S 3. Meillä on
,
,
. Oletamme, että kaikki luonnolliset n kaava on voimassa
. Tämän hypoteesin testaamiseksi käytämme täydellisen matemaattisen induktion menetelmää.

1) Milloin n=1 hypoteesi on oikea, koska
.

2) Oletetaan, että hypoteesi pitää paikkansa n=k,
, tuo on
. Käyttämällä tätä kaavaa vahvistamme, että hypoteesi on totta, vaikka n=k+1, eli

Todellakin,

Perustuu siis oletukseen, että hypoteesi on totta milloin n=k,
, on todistettu, että se pätee myös n=k+1, ja matemaattisen induktion periaatteen perusteella päätämme, että kaava pätee mille tahansa luonnolliselle luvulle n. ■ 

 Esimerkki6.5. Matematiikassa on todistettu, että kahden tasaisesti jatkuvan funktion summa on tasaisesti jatkuva funktio. Tämän väitteen perusteella sinun on todistettava, että minkä tahansa luvun summa
tasaisesti jatkuvat funktiot on tasaisesti jatkuva toiminto. Mutta koska emme ole vielä ottaneet käyttöön "tasaisesti jatkuvan funktion" käsitettä, esitämme ongelman abstraktimmin: olkoon tiedossa, että kahden funktion summa, joilla on jokin ominaisuus S, itsellään on omaisuutta S. Osoittakaamme, että minkä tahansa määrän funktioiden summalla on ominaisuus S.

Ratkaisu. Induktion perusta tässä sisältyy itse ongelman muotoiluun. Kun olet tehnyt induktio-oletuksen, harkitse
toimintoja f 1 , f 2 , …, f n , f n+1, joilla on omaisuus S. Sitten . Oikealla puolella ensimmäisellä termillä on omaisuus S induktiohypoteesin mukaan toisella termillä on ominaisuus S ehdon mukaan. Näin ollen heidän summalla on omaisuus S– kahdella termillä induktioperuste "toimii".

Tämä todistaa väitteen ja käytämme sitä jatkossakin. ■ 

 Esimerkki6.6. Löydä kaikki luonnolliset n, jolle epätasa-arvo on totta

Ratkaisu. Harkitsemme n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Meillä on: 2 1 > 1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 > 6 2. Siten voimme tehdä hypoteesin: epätasa-arvo
on paikka kaikille
. Tämän hypoteesin totuuden todistamiseksi käytämme epätäydellisen matemaattisen induktion periaatetta.

1) Kuten edellä todettiin, tämä hypoteesi on totta, kun n=5.

2) Oletetaan, että se pitää paikkansa n=k,
, eli epätasa-arvo on totta
. Tätä olettamusta käyttämällä todistamme, että epätasa-arvo
.

Koska
ja klo
on eriarvoisuutta

klo
,

sitten saamme sen
. Joten, hypoteesin totuus klo n=k+1 seuraa olettamuksesta, että se on totta milloin n=k,
.

Kappaleista. 1 ja 2 epätäydellisen matemaattisen induktion periaatteeseen perustuen seuraa, että epäyhtälö
totta kaikille luonnollisille
. ■ 

 Esimerkki6.7. Todista se mille tahansa luonnolliselle luvulle n erotuskaava on pätevä
.

Ratkaisu. klo n=1 tämä kaava näyttää
, tai 1=1, eli se on oikein. Tekemällä induktio-oletuksen meillä on:

Q.E.D. ■ 

 Esimerkki6.8. Todista, että joukko koostuu n elementtejä, on osajoukkoja

Ratkaisu. Sarja, joka koostuu yhdestä elementistä A, sisältää kaksi alajoukkoa. Tämä on totta, koska kaikki sen osajoukot ovat tyhjä joukko ja itse tyhjä joukko, ja 2 1 =2.

Oletetaan, että jokainen joukko n elementtejä on osajoukkoja Jos joukko A koostuu n+1 elementtejä, sitten kiinnitämme siihen yhden elementin - merkitsemme sitä d, ja jaa kaikki osajoukot kahteen luokkaan - niihin, jotka eivät sisällä d ja sisältävät d. Kaikki ensimmäisen luokan osajoukot ovat joukon B osajoukkoja, jotka saadaan A:sta poistamalla elementti d.

Sarja B koostuu n elementtejä, ja siksi hänellä on induktion avulla osajoukkoja, joten ensimmäisessä luokassa osajoukkoja

Mutta toisessa luokassa on sama määrä osajoukkoja: jokainen niistä saadaan täsmälleen yhdestä ensimmäisen luokan osajoukosta lisäämällä elementti d. Siksi yhteensä sarja A
osajoukkoja

Näin väite on todistettu. Huomaa, että se pätee myös joukolle, joka koostuu 0 elementistä - tyhjästä joukosta: sillä on yksi osajoukko - itse ja 2 0 = 1. ■ 

Peanon aksioomaan 4 perustuvaa todistusmenetelmää käytetään monien matemaattisten ominaisuuksien ja eri väitteiden todistamiseen. Tämän perustana on seuraava lause.

Lause. Jos lausunto A(n) luonnollisella muuttujalla n totta n= 1 ja siitä, että se pitää paikkansa n = k, tästä seuraa, että se on totta seuraavalle numerolle n=k, sitten lausunto A(n) n.

Todiste. Merkitään M monet niistä ja vain ne luonnolliset luvut, jolle lausunto A(n) totta. Sitten lauseen ehdoista saamme: 1) 1 M; 2) k MkM. Tästä päättelemme aksiooman 4 perusteella, että M =N, eli lausunto A(n) totta kaikille luonnollisille n.

Tähän lauseeseen perustuvaa todistusmenetelmää kutsutaan matemaattisen induktion menetelmällä, ja aksiooma on induktion aksiooma. Tämä todiste koostuu kahdesta osasta:

1) todistaa, että väite A(n) totta n= A(1);

2) oletetaan, että väite A(n) totta n = k, ja tämän oletuksen perusteella todistaa, että väite A(n) totta n = k + 1, eli että väite on totta A(k) A(k + 1).

Jos A( 1) A(k) A(k + 1) - tosi väite, sitten he päättelevät, että väite A(n) totta mille tahansa luonnolliselle luvulle n.

Todistaminen matemaattisen induktion menetelmällä voi alkaa paitsi väitteen totuuden vahvistamisella n= 1, mutta myös mistä tahansa luonnollisesta luvusta m. Tässä tapauksessa lausunto A(n) todistetaan kaikille luonnollisille luvuille nm.

Tehtävä: Osoitetaan, että mille tahansa luonnolliselle luvulle yhtälö 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n.

Ratkaisu. Yhtälö 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n on kaava, jonka avulla voidaan löytää ensimmäisten peräkkäisten parittomien luonnollisten lukujen summa. Esimerkiksi 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (summa sisältää 4 termiä), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (summa sisältää 6 termiä); jos tämä summa sisältää 20 mainitun tyyppistä termiä, se on yhtä suuri kuin 20 = 400 jne. Todistettuamme tämän yhtäläisyyden totuuden, voimme löytää minkä tahansa määrän määritetyn tyyppisten termien summan kaavan avulla.

1) Varmistetaan tämän tasa-arvon totuus for n= 1. Milloin n= 1 yhtälön vasen puoli koostuu yhdestä termistä, joka on yhtä suuri, oikea puoli on 1= 1. Koska 1 = 1, niin n= 1 tämä tasa-arvo on totta.

2) Oletetaan, että tämä yhtäläisyys on totta n = k, eli että 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Tämän oletuksen perusteella todistamme, että se pitää paikkansa n = k + 1, eli 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Katsotaanpa viimeisen yhtälön vasenta puolta.

Oletuksena ensimmäisen summa k termit on yhtä suuri kuin k ja siksi 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Ilmaisu k+ 2k + 1 on yhtä suuri kuin lauseke ( k + 1).

Siksi totuus tämän tasa-arvon n = k + 1 on todistettu.

Näin ollen tämä tasa-arvo on totta n= 1 ja sen totuudesta n = k täytyy olla totta n = k + 1.

Tämä osoittaa, että tämä yhtäläisyys pätee mille tahansa luonnolliselle luvulle.

Matemaattisen induktion menetelmän avulla voit todistaa yhtäläisyyden lisäksi myös eriarvoisuuksien totuuden.

Tehtävä. Todista, että missä nN.

Ratkaisu. Tarkastakaamme epätasa-arvon totuus osoitteessa n= 1. Meillä on - todellinen epätasa-arvo.

Oletetaan, että eriarvoisuus on totta n = k, nuo. - todellinen eriarvoisuus. Osoittakaamme oletuksen perusteella, että se pitää paikkansa myös n = k + 1, eli (*).

Muunnetaan epäyhtälön (*) vasen puoli ottaen huomioon, että: .

Mutta , joka tarkoittaa .

Tämä eriarvoisuus on siis totta n= 1, ja siitä tosiasiasta, että epätasa-arvo on totta joillekin n= k, huomasimme, että se pitää paikkansa myös n= k + 1.

Näin ollen aksiooman 4 avulla todistimme, että tämä epäyhtälö on totta mille tahansa luonnolliselle luvulle.

Muut väitteet voidaan todistaa matemaattisen induktion menetelmällä.

Tehtävä. Todista, että minkä tahansa luonnollisen luvun väite on tosi.

Ratkaisu. Tarkastetaan väitteen totuus milloin n= 1: -tosi väite.

Oletetaan, että tämä väite pitää paikkansa n = k: . Osoittakaamme tätä käyttäen lauseen totuus milloin n = k + 1: .

Muunnetaan lauseke: . Etsitään ero k Ja k+ 1 jäsentä. Jos käy ilmi, että tuloksena saatu ero on 7:n kerrannainen ja oletetaan, että aliosa on jaollinen 7:llä, niin minuutti on myös 7:n kerrannainen:

Tulo on siis 7:n kerrannainen ja .

Näin ollen tämä väite pitää paikkansa n= 1 ja sen totuudesta n = k täytyy olla totta n = k + 1.

Tämä todistaa, että tämä väite pätee mille tahansa luonnolliselle luvulle.

Tehtävä. Todista se mille tahansa luonnolliselle luvulle n 2 väite (7-1)24 on totta.

Ratkaisu. 1) Tarkistetaan väitteen totuus milloin n= 2: - tosi väite.

Matemaattinen induktio on perusta yhdelle yleisimmistä matemaattisten todisteiden menetelmistä. Sitä voidaan käyttää todistamiseen suurin osa kaavat, joissa on luonnollisia lukuja n, esimerkiksi kaava progression S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n ensimmäisten termien summan löytämiseksi, Newtonin binomikaava a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .

Ensimmäisessä kappaleessa analysoimme peruskäsitteitä, pohdimme sitten itse menetelmän perusteita ja kerromme sitten, kuinka sitä käytetään yhtäläisyyksien ja eriarvoisuuksien todistamiseen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Induktion ja deduktion käsitteet

Katsotaanpa ensin, mitä induktio ja deduktio ovat yleensä.

Määritelmä 1

Induktio on siirtymä erityisestä yleiseen, ja vähennys päinvastoin – yleisestä erityiseen.

Meillä on esimerkiksi lauseke: 254 voidaan jakaa kahdella. Siitä voimme tehdä monia johtopäätöksiä, mukaan lukien sekä oikeita että vääriä. Esimerkiksi väite, että kaikki kokonaisluvut, jotka päättyvät numeroon 4, voidaan jakaa kahdella ilman jäännöstä, on tosi, mutta väite, että mikä tahansa kolmen numeron määrä on jaollinen kahdella, on epätosi.

Yleisesti ottaen voidaan sanoa, että induktiivisen päättelyn avulla voidaan tehdä monia johtopäätöksiä yhdestä tunnetusta tai ilmeisestä päättelystä. Matemaattinen induktio antaa meille mahdollisuuden määrittää, kuinka päteviä nämä johtopäätökset ovat.

Oletetaan, että meillä on lukujono, kuten 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, . . . , 1 n (n + 1) , missä n on luonnollinen luku. Tässä tapauksessa, kun lisäät sarjan ensimmäiset elementit, saamme seuraavan:

S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5, . . .

Induktiota käyttämällä voimme päätellä, että S n = n n + 1 . Kolmannessa osassa todistamme tämän kaavan.

Mikä on matemaattisen induktion menetelmä?

Tämä menetelmä perustuu samannimiseen periaatteeseen. Se on muotoiltu näin:

Määritelmä 2

Tietty väite on totta luonnolliselle arvolle n, kun 1) se on totta arvolle n = 1 ja 2) siitä tosiasiasta, että tämä lauseke pätee mielivaltaiselle luonnonarvolle n = k, siitä seuraa, että se on totta n = k + 1.

Matemaattisen induktion menetelmän soveltaminen suoritetaan 3 vaiheessa:

Ensin tarkistetaan alkuperäisen lauseen pätevyys mielivaltaisen n:n luonnollisen arvon tapauksessa (yleensä tarkistus tehdään ykseydelle).
Tämän jälkeen tarkistetaan kelpoisuus, kun n = k.
Ja sitten todistetaan lauseen pätevyys, jos n = k + 1.

Kuinka käyttää matemaattisen induktion menetelmää epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisemiseen

Otetaan esimerkki, josta puhuimme aiemmin.

Esimerkki 1

Todista kaava S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . . . + 1 n (n + 1) = n n + 1.

Ratkaisu

Kuten jo tiedämme, matemaattisen induktion menetelmän soveltamiseksi on suoritettava kolme peräkkäistä toimenpidettä.

Ensin tarkistetaan, onko tämä yhtälö voimassa n:lle yhtä kuin yksi. Saamme S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 . Täällä kaikki on oikein.
Seuraavaksi oletetaan, että kaava S k = k k + 1 on oikea.
Kolmannessa vaiheessa meidän on todistettava, että S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 , edellisen yhtälön pätevyyden perusteella.

Voimme esittää k + 1 alkuperäisen sekvenssin ensimmäisten termien ja k + 1:n summana:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Koska toisessa toiminnossa saimme, että S k = k k + 1, voimme kirjoittaa seuraavan:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2).

Nyt suoritamme tarvittavat muutokset. Meidän on vähennettävä murto-osa yhteiseksi nimittäjäksi, vähennettävä samankaltaisia termejä, sovellettava lyhennettyä kertolaskukaavaa ja vähennettävä saatavamme:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Näin ollen olemme todistaneet tasa-arvon kolmannessa kohdassa suorittamalla kaikki matemaattisen induktion menetelmän kolme vaihetta.

Vastaus: oletus kaavasta S n = n n + 1 on oikea.

Otetaan monimutkaisempi ongelma trigonometristen funktioiden kanssa.

Esimerkki 2

Todista identiteetti cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 n α = sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α .

Ratkaisu

Kuten muistamme, ensimmäinen askel on tarkistaa yhtälön pätevyys, kun n on yksi. Selvittääksemme meidän on muistettava trigonometriset peruskaavat.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Siksi, jos n on yksi, identiteetti on tosi.

Oletetaan nyt, että sen pätevyys pysyy totta kun n = k, ts. on totta, että cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α .

Todistetaan yhtälö cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α tapauksessa, jossa n = k + 1, kun edellinen oletus perustuu.

Trigonometrisen kaavan mukaan

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Siten,

cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Annoimme menetelmää käsittelevässä artikkelissa esimerkin ongelman ratkaisemisesta epätasa-arvon todistamiseksi tällä menetelmällä pienimmän neliösumman. Lue kappale, jossa johdetaan kaavat approksimaatiokertoimien löytämiseksi.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Bibliografinen kuvaus: Badanin A. S., Sizova M. Yu. Matemaattisen induktion menetelmän soveltaminen luonnollisten lukujen jaollisuusongelmien ratkaisemiseen // Nuori tiedemies. 2015. Nro 2. s. 84-86..02.2019).

Matematiikan olympialaisissa on usein melko vaikeita tehtäviä todistaa luonnollisten lukujen jaollisuus. Koululaiset kohtaavat ongelman: kuinka löytää universaali matemaattinen menetelmä jonka avulla voit ratkaista tällaiset ongelmat?

Osoittautuu, että useimmat jaollisuuden todistamiseen liittyvät ongelmat voidaan ratkaista matemaattisen induktion menetelmällä, mutta koulukirjoissa kiinnitetään tähän menetelmään hyvin vähän huomiota, useimmiten annetaan lyhyt teoreettinen kuvaus ja analysoidaan useita ongelmia.

Löydämme matemaattisen induktion menetelmän lukuteoriasta. Lukuteorian kynnyksellä matemaatikot löysivät monia tosiasioita induktiivisesti: L. Euler ja K. Gauss pohdiskelivat joskus tuhansia esimerkkejä ennen kuin huomasivat numeerisen kuvion ja uskoivat siihen. Mutta samalla he ymmärsivät, kuinka petollisia hypoteesit, jotka ovat läpäisseet "lopullisen" testin, voivat olla. Jotta induktiivisesti voidaan siirtyä äärelliselle osajoukolle varmennetusta lauseesta samanlaiseen lauseeseen koko äärettömälle joukolle, tarvitaan todiste. Tätä menetelmää ehdotti Blaise Pascal, joka löysi yleinen algoritmi löytää merkkejä minkä tahansa kokonaisluvun jaollisuudesta millä tahansa muulla kokonaisluvulla (käsitelmä "Lukujen jaollisuuden luonteesta").

Matemaattisen induktion menetelmällä todistetaan perustelemalla tietyn väitteen totuus kaikille luonnollisille luvuille tai tietystä luvusta n alkavan väitteen totuus.

Tehtävien ratkaiseminen tietyn väitteen totuuden todistamiseksi matemaattisen induktion menetelmällä koostuu neljästä vaiheesta (kuva 1):

Riisi. 1. Kaava ongelman ratkaisemiseksi

1. Induktioperuste . He tarkistavat väitteen pätevyyden pienimmälle luonnolliselle luvulle, jolle väite on järkevä.

2. Induktiivinen hypoteesi . Oletetaan, että väite on tosi jollekin k:n arvolle.

3. Induktio siirtymä . Osoitamme, että väite on totta k+1:lle.

4. Johtopäätös . Jos tällainen todistus valmistui, niin matemaattisen induktion periaatteen perusteella voidaan väittää, että väite on totta mille tahansa luonnolliselle luvulle n.

Tarkastellaan matemaattisen induktion menetelmän soveltamista luonnollisten lukujen jaollisuuden todistamisongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Osoita, että luku 5 on luvun 19 kerrannainen, missä n on luonnollinen luku.

Todiste:

1) Tarkistetaan, että tämä kaava on oikein n = 1: luku =19 on luvun 19 kerrannainen.

2) Olkoon tämä kaava tosi, kun n = k, eli luku on luvun 19 kerrannainen.

Se on luvun 19 kerrannainen. Itse asiassa ensimmäinen termi on jaollinen 19:llä johtuen oletuksesta (2); Toinen termi on myös jaollinen luvulla 19, koska se sisältää kertoimen 19.

Esimerkki 2. Osoita, että kolmen peräkkäisen luonnollisen luvun kuutioiden summa on jaollinen 9:llä.

Todiste:

Todistakaamme väite: ”Millä tahansa luonnollisella luvulla n lauseke n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 on luvun 9 kerrannainen.

1) Tarkistetaan, että tämä kaava on oikea arvolle n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 luvun 9 kerrannaista.

2) Olkoon tämä kaava tosi, kun n = k, eli k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 on luvun 9 kerrannainen.

3) Osoitetaan, että kaava pätee myös n = k + 1:lle, eli (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 on luvun 9 kerrannainen. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3 k+ 3).

Tuloksena oleva lauseke sisältää kaksi termiä, joista jokainen on jaollinen 9:llä, joten summa on jaollinen 9:llä.

4) Molemmat matemaattisen induktion periaatteen ehdot täyttyvät, joten lause on totta kaikille n:n arvoille.

Esimerkki 3. Osoita, että minkä tahansa luonnollisen luvun n kohdalla luku 3 2n+1 +2 n+2 on jaollinen 7:llä.

Todiste:

1) Tarkistetaan, että tämä kaava on oikein n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 on 7:n kerrannainen.

2) Olkoon tämä kaava tosi, kun n = k, eli 3 2 k +1 +2 k +2 jaetaan luvulla 7.

3) Osoitetaan, että kaava pätee myös n = k + 1:lle, ts.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7,2 k +2 .T. k. (3 2 k +1 +2 k +2) 9 jaetaan 7:llä ja 7 2 k +2 jaetaan 7:llä, jolloin niiden erotus jaetaan 7:llä.

4) Molemmat matemaattisen induktion periaatteen ehdot täyttyvät, joten lause on totta kaikille n:n arvoille.

Monet luonnollisten lukujen jakoteorian todistusongelmat voidaan ratkaista kätevästi matemaattisen induktion menetelmällä; voidaan jopa sanoa, että ongelmien ratkaiseminen tällä menetelmällä on täysin algoritmista; riittää, että suoritetaan 4 perusvaihetta. Mutta tätä menetelmää ei voida kutsua universaaliksi, koska siinä on myös haittoja: ensinnäkin se voidaan todistaa vain luonnollisten lukujen joukolla ja toiseksi se voidaan todistaa vain yhdelle muuttujalle.

Kehitystä varten looginen ajattelu, matemaattinen kulttuuri tämä menetelmä on tarvittava työkalu Loppujen lopuksi suuri venäläinen matemaatikko A. N. Kolmogorov sanoi: "Ymmärrys ja kyky soveltaa oikein matemaattisen induktion periaatetta on hyvä loogisen kypsyyden kriteeri, mikä on matemaatikolle ehdottoman välttämätöntä."

Kirjallisuus:

1. Vilenkin N. Ya. Induktio. Kombinatoriikka. - M.: Koulutus, 1976. - 48 s.

2. Genkin L. Matemaattisesta induktiosta. - M., 1962. - 36 s.

3. Solominsky I. S. Matemaattisen induktion menetelmä. - M.: Nauka, 1974. - 63 s.

4. Sharygin I.F. Valinnainen matematiikan kurssi: Ongelmanratkaisu: Oppikirja 10. luokalle. koulun keskiarvo - M.: Koulutus, 1989. - 252 s.

5. Shen A. Matemaattinen induktio. - M.: MTsNMO, 2007. - 32 s.

Tätä varten tarkista ensin lauseen numero 1 totuus - induktiopohja, ja sitten todistetaan, että jos lause numerolla on tosi n, niin myös seuraava lause numerolla on totta n + 1 - induktiovaihe, tai induktio siirtymä.

Induktiotodistus voidaan esittää selkeästi ns domino periaate. Asetetaan mikä tahansa määrä dominolaattoja peräkkäin siten, että kukin dominolaatta kaatuu putoaessaan välttämättä sitä seuraavan dominokiven (tämä on induktiivinen siirtymä). Sitten, jos työnnämme ensimmäistä luuta (tämä on induktion perusta), kaikki rivin luut putoavat.

Tämän todistusmenetelmän looginen perusta on ns induktion aksiooma, viides Peanon aksioomista, joka määrittelee luonnolliset luvut. Induktiomenetelmän oikeellisuus vastaa sitä tosiasiaa, että missä tahansa luonnollisten lukujen osajoukossa on minimielementti.

On myös muunnelma, niin kutsuttu täydellisen matemaattisen induktion periaate. Tässä on sen tiukka muotoilu:

Täydellisen matemaattisen induktion periaate vastaa myös Peanon aksioomien induktioaksioomia.

Esimerkkejä

Tehtävä. Sen todistamiseksi, oli se mikä tahansa luonnollinen n ja todellinen q≠ 1, yhtäläisyys pätee

Todiste. Induktio päällä n.

Pohja, n = 1:

Siirtyminen: Kuvitellaanpa sitä

Q.E.D.

Kommentti: lausunnon oikeellisuus P n tässä todistuksessa - sama kuin tasa-arvon totuus

Katso myös

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kirjallisuus

N. Ya. Vilenkin Induktio. Kombinatoriikka. Käsikirja opettajille. M., Education, 1976.-48 s.
L. I. Golovina, I. M. Yaglom Geometrian induktio, "Suosittuja matematiikan luentoja", numero 21, Fizmatgiz 1961.-100 s.
R. Courant, G. Robbins"Mitä on matematiikka?" I luku, 2 §.
I.S. Sominsky Matemaattisen induktion menetelmä. “Suosittuja matematiikan luentoja”, Numero 3, Kustantaja “Nauka” 1965.-58 s.

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mitä "matemaattisen induktion menetelmä" on muissa sanakirjoissa:

Matemaattinen induktio matematiikassa on yksi todistusmenetelmistä. Käytetään todistamaan tietyn väitteen totuus kaikille luonnollisille luvuille. Tätä varten tarkistetaan ensin lauseen totuus numerolla 1 induktion perusteella ja sitten... ... Wikipedia

Menetelmä teorian rakentamiseksi, jossa se perustuu tiettyihin sen ehtoihin - aksioomeihin tai postulaatteihin - joista kaikki muut teorian määräykset (teoreemit) johdetaan päättelyn avulla, joita kutsutaan todisteiksi m i. Krimin mukaiset säännöt...... Filosofinen tietosanakirja

Induktio (lat. inductio guidance) on loogisen päättelyn prosessi, joka perustuu siirtymiseen tietystä tilanteesta yleiseen. Induktiivinen päättely yhdistää tietyt premissit johtopäätökseen ei niinkään logiikan lakien, vaan pikemminkin joidenkin ... ... Wikipedia

GENEETTINEN MENETELMÄ- tapa määritellä tutkittavan kohteen sisältö ja olemus ei sopimuksen, idealisoinnin tai loogisen päätelmän avulla, vaan tutkimalla sen alkuperää (perustuu sen syntymiseen johtaneiden syiden tutkimukseen, muodostumismekanismiin). Leveä...... Tieteen filosofia: Perustermien sanasto

Menetelmä tieteellisen teorian rakentamiseksi, jossa se perustuu joihinkin aksiooman (katso aksiooma) tai postulaatteihin, joista kaikki muut tämän tieteen lausunnot (lauseet (katso lause)) on johdettava. ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

aksiomaattinen menetelmä- AKSIOMAATTINEN MENETELMÄ (kreikan sanasta aksiooma) on hyväksytty kanta - menetelmä tieteellisen teorian rakentamiseksi, jossa todisteissa käytetään vain aksioomia, postulaatteja ja niistä aiemmin johdettuja väitteitä. Ensimmäistä kertaa selvästi osoitettu ... ... Epistemologian ja tiedefilosofian tietosanakirja

Yksi teoriavirhemenetelmistä tuntemattomien suureiden estimoimiseksi mittaustuloksista, jotka sisältävät satunnaisia virheitä. N.K.M.:tä käytetään myös likimääräiseen esitykseen annettu toiminto muita (yksinkertaisempia) toimintoja ja usein osoittautuu... Matemaattinen tietosanakirja

Matemaattinen induktio on yksi matemaattisten todisteiden menetelmistä, jota käytetään todistamaan tietyn väitteen totuus kaikille luonnollisille luvuille. Tarkista ensin ... Wikipedia

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Induktio. Induktio (lat. inductio guidance) on loogisen päättelyn prosessi, joka perustuu siirtymiseen tietystä tilanteesta yleiseen. Induktiivinen päättely yhdistää tietyt tilat... ... Wikipedia