Ensimmäisen asteen derivaatta parametrisesti määritellystä funktiosta. Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta

Logaritminen differentiaatio

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Erottamisen perussäännöt

Toimintoero

Funktioinkrementin lineaarinen pääosa A D x funktion differentiatiivisuuden määrittämisessä

D f=f(x)-f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

kutsutaan funktion differentiaaliksi f(x) pisteessä x 0 ja on merkitty

df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.

Ero riippuu pisteestä x 0 ja lisäyksestä D x. D:llä x samalla he katsovat sitä itsenäisenä muuttujana, joten jokaisessa pisteessä ero on lineaarinen funktio lisäyksestä D x.

Jos ajatellaan funktiona f(x)=x, sitten saamme dx= D x,dy=Adx. Tämä on yhdenmukainen Leibnizin merkinnän kanssa

Differentiaalin geometrinen tulkinta tangentin ordinaatin inkrementtinä.

Riisi. 4.3

1) f= konst , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Seuraus. (vrt(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f = u/v, v(x 0)¹0 ja derivaatta on siis olemassa f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Merkitsemme lyhyyden vuoksi u=u(x), u 0 =u(x 0), sitten

Ylitys rajalle kohdasta D x® 0 saamme vaaditun tasa-arvon.

5) Johdannainen monimutkainen toiminto.

Lause. Jos on f¢(x 0), g¢(x 0)ja x 0 =g(t 0), sitten jossain naapurustossa t 0 kompleksifunktio f on määritelty(g(t)), se on differentioituva pisteessä t 0 Ja

Todiste.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Jaetaan tämän tasa-arvon molemmat puolet ( t - t 0) ja mennään rajaan klo t®t 0 .

6) Käänteisfunktion derivaatan laskenta.

Lause. Olkoon f jatkuva ja tiukasti monotoninen päällä[a,b]. Olkoon pisteessä x 0 Î( a,b)siellä on f¢(x 0)¹ 0 , sitten käänteisfunktio x=f -1 (y)on kohdassa y 0 johdannainen yhtä suuri kuin

Todiste. Me laskemme f tiukasti monotonisesti kasvaa siis f -1 (y) on jatkuva, kasvaa monotonisesti [ f(a),f(b)]. Laitetaan y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,

y - y 0 =D y. Käänteisfunktion D jatkuvuuden vuoksi y®0 Þ D x®0, meillä on

Ylittämällä rajan saamme vaaditun tasa-arvon.

7) Johdannainen tasainen toiminto on pariton, parittoman funktion derivaatta on parillinen.

Todellakin, jos x® - x 0 , Tuo- x® x 0 , Siksi

Parilliseen funktioon parittomaan funktioon

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x,f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(x)¢ = kirves ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x,

Seuraus. (parillisen funktion derivaatta on pariton)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (synti x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- synti x,(cos x)¢= (synti( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/sin 2 x.

16)sh x, ch x.

f(x),, josta se seuraa f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Sama kaava voidaan saada eri tavalla f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Esimerkki. Laske funktion derivaatta f=x x.

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Pisteiden geometrinen sijainti tasossa

kutsumme sitä funktion kuvaajaksi, annetaan parametrisesti. He puhuvat myös funktion parametrisesta määrittelystä.

Huomautus 1. Jos x, y jatkuvaa varten [a,b] Ja x(t) tiukasti monotoninen segmentillä (esimerkiksi tiukasti monotonisesti kasvaa), sitten [ a,b], a=x(a) , b=x(b) funktio määritetty f(x)=y(t(x)), missä t(x) – funktio käänteinen x(t:lle). Tämän funktion kuvaaja on sama kuin funktion kaavio

Jos määrittelyalue parametrisesti annettu toiminto voidaan jakaa äärelliseen määrään segmenttejä ,k= 1,2,...,n, jokaisessa on toiminto x(t) on tiukasti monotoninen, parametrisesti määritelty funktio hajoaa äärelliseksi määräksi tavallisia funktioita fk(x)=y(t -1 (x)) verkkotunnuksilla [ x(a k), x(b k)] osien lisäämiseksi x(t) ja verkkotunnuksilla [ x(b k), x(a k)] alueille, joissa toiminta heikkenee x(t). Tällä tavalla saatuja funktioita kutsutaan parametrisesti määritellyn funktion yksiarvoisiksi haaroiksi.

Kuvassa on kaavio parametrisesti määritellystä funktiosta

Valitulla parametroinnilla määrittelyalue on jaettu viiteen funktion sin(2 t), tarkalleen: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ja vastaavasti kaavio jakautuu viiteen yksiselitteiseen haaraan, jotka vastaavat näitä osia.

Riisi. 4.4

Riisi. 4.5

Voit valita eri parametroinnin samalle pisteiden geometriselle sijainnille

Tässä tapauksessa on vain neljä tällaista haaraa. Ne vastaavat tiukan yksitoikkoisuuden alueita tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ toimintoja synti (2 t).

Riisi. 4.6

Neljä funktion sin(2 t) pitkällä osuudella.

Riisi. 4.7

Kummankin kaavion esittäminen yhdessä kuvassa mahdollistaa parametrisesti määritellyn funktion kuvaajan likimääräisen kuvaamisen käyttämällä molempien funktioiden monotonisuusalueita.

Esimerkkinä tarkastellaan ensimmäistä segmenttiä vastaavaa haaraa tÎ . Tämän osan lopussa toiminto x= synti (2 t) ottaa arvot -1 ja 1 , joten tämä haara määritellään [-1,1] . Tämän jälkeen sinun on tarkasteltava toisen toiminnon yksitoikkoisuusalueita y= cos( t), hänellä on päällä kaksi osaa yksitoikkoisuutta . Tämä antaa meille mahdollisuuden sanoa, että ensimmäisessä haarassa on kaksi monotonisuuden osaa. Kun olet löytänyt kaavion päätepisteet, voit yhdistää ne suorilla viivoilla osoittaaksesi kaavion monotonian luonteen. Kun tämä on tehty jokaisella haaralla, saadaan kaavion yksiselitteisten haarojen monotonisuusalueet (ne on korostettu punaisella kuvassa)

Riisi. 4.8

Ensimmäinen yksiarvoinen haara f 1 (x)=y(t(x)) , joka vastaa sivustoa määräytyy xО[-1,1] . Ensimmäinen yksiarvoinen haara tÎ , xО[-1,1].

Kaikilla kolmella muulla haaralla on myös määritelmäalue [-1,1] .

Riisi. 4.9

Toinen haara tÎ xО[-1,1].

Riisi. 4.10

Kolmas haara tÎ xО[-1,1]

Riisi. 4.11

Neljäs haara tÎ xО[-1,1]

Riisi. 4.12

Kommentti 2. Samalla toiminnolla voi olla erilaisia ​​parametriasetuksia. Erot voivat koskea itse molempia toimintoja x(t), y(t) , ja määritelmäalue näitä toimintoja.

Esimerkki eri parametrimäärityksistä samalle toiminnolle

Ja tО[-1, 1] .

Huomautus 3. Jos x,y ovat jatkuvia , x(t)- tiukasti monotoninen segmentillä ja on olemassa johdannaisia y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, niin siellä on f¢(x 0)= .

Todella, .

Viimeinen lause koskee myös parametrisesti määritellyn funktion yksiarvoisia haaroja.

4.2 Korkeampien arvopapereiden johdannaiset ja erotukset

Korkeammat derivaatat ja differentiaalit. Parametrisesti määritettyjen toimintojen erottelu. Leibnizin kaava.

Toiminto voidaan määrittää useilla tavoilla. Se riippuu säännöstä, jolla se määritellään. Funktion spesifiointimuoto on y = f (x). Joskus sen kuvaus on mahdotonta tai hankalaa. Jos on monta paria (x; y), jotka on laskettava parametrille t intervallin (a; b) aikana. Järjestelmän x = 3 ratkaisemiseksi cos t y = 3 sin t kun 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrifunktion määritelmä

Tästä seuraa, että x = φ (t), y = ψ (t) on määritelty arvolle t ∈ (a; b) ja niillä on käänteisfunktio t = Θ (x) kun x = φ (t), niin puhumme parametrisen yhtälön määrittämisestä funktiolle, jonka muoto on y = ψ (Θ (x)) .

On tapauksia, jolloin funktion tutkimiseksi on tarpeen etsiä derivaatta x:n suhteen. Tarkastellaan muotoa y x " = ψ " (t) φ " (t) olevan parametrisesti määritellyn funktion derivaatan kaavaa, puhutaan 2. ja n:nnen kertaluvun derivaatta.

Parametrisesti määritellyn funktion derivaatan kaavan derivointi

Meillä on, että x = φ (t), y = ψ (t), määritelty ja differentioituva t ∈ a; b, missä x t " = φ " (t) ≠ 0 ja x = φ (t), niin on olemassa käänteisfunktio muotoa t = Θ (x).

Aluksi sinun pitäisi siirtyä parametrinen asetus eksplisiittiseen. Tätä varten sinun on hankittava kompleksifunktio muotoa y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), jossa on argumentti x.

Kompleksisen funktion derivaatan löytämissäännön perusteella saadaan, että y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Tämä osoittaa, että t = Θ (x) ja x = φ (t) ovat käänteisfunktioita käänteisfunktion kaavasta Θ " (x) = 1 φ " (t), sitten y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Jatketaan useiden esimerkkien ratkaisemista käyttämällä derivaattataulukkoa differentiaatiosäännön mukaisesti.

Esimerkki 1

Etsi derivaatta funktiolle x = t 2 + 1 y = t.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, tästä saadaan, että φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Sinun on käytettävä johdettua kaavaa ja kirjoitettava vastaus muotoon:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Vastaus: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kun työskentelet funktion h derivaatan kanssa, parametri t määrittää argumentin x lausekkeen saman parametrin t kautta, jotta ei menetä derivaatan arvojen ja parametrisesti määritellyn funktion välistä yhteyttä argumentin kanssa. joita nämä arvot vastaavat.

Määrittääksesi parametrisesti annetun funktion toisen kertaluvun derivaatan, sinun on käytettävä tuloksena olevan funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatan kaavaa, jolloin saamme sen

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Esimerkki 2

Etsi annetun funktion x = cos (2 t) y = t 2 2. ja 2. kertaluvun derivaatat.

Ratkaisu

Ehdolla saadaan, että φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Sitten muutoksen jälkeen

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Tästä seuraa, että y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Saadaan, että 1. kertaluvun derivaatan muoto on x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Ratkaisua varten sinun on käytettävä toisen asteen johdannaiskaavaa. Saamme muodon ilmaisun

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Sitten määritetään 2. asteen derivaatta parametrifunktiolla

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Samanlainen ratkaisu voidaan ratkaista toisella menetelmällä. Sitten

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Täältä saamme sen

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Vastaus: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Korkeamman asteen derivaatat parametrisesti määritellyillä funktioilla löytyvät samalla tavalla.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Määritetään funktio parametrisesti:
(1)
jossa on jokin muuttuja, jota kutsutaan parametriksi. Ja anna funktioilla olla johdannaisia ​​tietyllä muuttujan arvolla. Lisäksi funktiolla on myös käänteisfunktio tietyssä pisteen ympäristössä. Tällöin funktiolla (1) on pisteessä derivaatta, joka parametrimuodossa määritetään kaavoilla:
(2)

Tässä ja ovat funktioiden ja muuttujan (parametrin) johdannaiset. Ne kirjoitetaan usein seuraavasti:
;
.

Sitten järjestelmä (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Todiste

Ehdon mukaan funktiolla on käänteisfunktio. Merkitään se nimellä
.
Sitten alkuperäinen funktio voidaan esittää monimutkaisena funktiona:
.
Etsitään sen derivaatta käyttämällä monimutkaisten ja käänteisten funktioiden erottamissääntöjä:
.

Sääntö on todistettu.

Todistus toisella tavalla

Etsitään derivaatta toisella tavalla funktion derivaatan määritelmän perusteella pisteessä:
.
Otetaan käyttöön merkintä:
.
Sitten edellinen kaava saa muodon:
.

Hyödynnetään sitä, että funktiolla on käänteisfunktio pisteen läheisyydessä.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä:
; ;
; .
Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä:
.
klo , . Sitten
.

Sääntö on todistettu.

Korkeamman asteen johdannaiset

Korkeamman asteen johdannaisten löytämiseksi on välttämätöntä suorittaa differentiointi useita kertoja. Oletetaan, että meidän on löydettävä parametrisesti määritellyn funktion toisen asteen derivaatta seuraavassa muodossa:
(1)

Kaavan (2) avulla löydämme ensimmäisen derivaatan, joka myös määritetään parametrisesti:
(2)

Merkitään ensimmäinen derivaatta muuttujalla:
.
Sitten, jotta voit löytää funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen, sinun on löydettävä funktion ensimmäinen derivaatta muuttujan suhteen. Muuttujan riippuvuus muuttujasta määritellään myös parametrisesti:
(3)
Vertaamalla (3) kaavoihin (1) ja (2), löydämme:

Ilmaistaan ​​nyt tulos funktioiden ja kautta. Tehdään tämä korvaamalla ja soveltamalla johdannaisen murtolukukaavaa:
.
Sitten
.

Tästä saamme funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen:

Se annetaan myös parametrimuodossa. Huomaa, että ensimmäinen rivi voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:
.

Jatkamalla prosessia, voit saada funktioiden johdannaisia ​​kolmannen ja korkeamman asteen muuttujasta.

Huomaa, että meidän ei tarvitse ottaa käyttöön merkintää derivaatalle. Voit kirjoittaa sen näin:
;
.

Esimerkki 1

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta:

Ratkaisu

Löydämme johdannaisia ​​suhteessa .
Johdannaisten taulukosta löydämme:
;
.
Haemme:

.
täällä .

.
täällä .

Vaadittu johdannainen:
.

Vastaus

Esimerkki 2

Etsi parametrin kautta ilmaistu funktion derivaatta:

Ratkaisu

Laajennetaan hakasulkeet potenssifunktioiden ja juurien kaavoilla:
.

Johdannan löytäminen:

.

Johdannan löytäminen. Tätä varten otamme käyttöön muuttujan ja soveltamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.

.

Löydämme halutun johdannaisen:
.

Vastaus

Esimerkki 3

Etsi esimerkissä 1 parametrisesti määritellyn funktion toisen ja kolmannen asteen derivaatat:

Ratkaisu

Esimerkissä 1 löysimme ensimmäisen kertaluvun derivaatan:

Esittelemme nimityksen. Silloin funktio on johdannainen suhteessa . Se määritetään parametrisesti:

Löytääksemme toisen derivaatan suhteessa , meidän on löydettävä ensimmäinen derivaatta suhteessa .

Tehdään ero .
.
Löysimme esimerkissä 1 johdannaisen:
.
Toisen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Joten löysimme toisen asteen derivaatan parametrisen muodon suhteen:

Nyt löydämme kolmannen asteen derivaatan. Esittelemme nimityksen. Sitten meidän on löydettävä funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatta, joka määritellään parametrisesti:

Etsi johdannainen suhteessa . Tätä varten kirjoitamme sen uudelleen vastaavaan muotoon:
.
From
.

Kolmannen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Kommentti

Sinun ei tarvitse syöttää muuttujia ja , jotka ovat ja johdannaisia, vastaavasti. Sitten voit kirjoittaa sen näin:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Vastaus

Parametrisessa esityksessä toisen kertaluvun derivaatalla on seuraava muoto:

Kolmannen asteen johdannainen.

Älä stressaa, kaikki tässä kappaleessa on myös melko yksinkertaista. Voit kirjoittaa ylös yleinen kaava parametrisesti määritelty funktio, mutta selventääkseni sen kirjoitan heti ylös konkreettinen esimerkki. Parametrisessa muodossa funktio annetaan kahdella yhtälöllä: . Usein yhtälöt kirjoitetaan ei kiharasuluissa, vaan peräkkäin: , .

Muuttujaa kutsutaan parametriksi ja se voi ottaa arvoja "miinus äärettömyydestä" "plus äärettömyyteen". Harkitse esimerkiksi arvoa ja korvaa se molemmilla yhtälöillä: . Tai inhimillisesti sanottuna: "jos x on neljä, niin y on yhtä." Voit merkitä pisteen koordinaattitasolle, ja tämä piste vastaa parametrin arvoa. Vastaavasti voit löytää pisteen mille tahansa parametrin "te" arvolle. Mitä tulee "tavalliseen" funktioon, parametrisesti määritellyn funktion Amerikan intiaanien oikeuksia kunnioitetaan myös: voit rakentaa kaavion, löytää johdannaisia ​​jne. Muuten, jos haluat piirtää parametrisesti määritellyn funktion kaavion, lataa geometrinen ohjelmani sivulta Matemaattiset kaavat ja pöydät.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa funktio on mahdollista esittää eksplisiittisesti. Ilmaistaan ​​parametri ensimmäisestä yhtälöstä: – ja korvaa se toiseen yhtälöön: . Tuloksena on tavallinen kuutiofunktio.

"Vakavammissa" tapauksissa tämä temppu ei toimi. Mutta sillä ei ole väliä, koska parametrisen funktion derivaatan löytämiseksi on kaava:

Löydämme johdannaisen "pelistä suhteessa muuttujaan te":

Kaikki differentiointisäännöt ja johdannaistaulukko pätevät luonnollisesti kirjaimelle , joten johdannaisten etsintäprosessissa ei ole mitään uutta. Korvaa vain henkisesti kaikki taulukon "X" kirjaimella "Te".

Löydämme "x:n" derivaatan muuttujan te suhteen:

Nyt ei jää muuta kuin korvata löydetyt johdannaiset kaavaamme:

Valmis. Derivaata, kuten itse funktio, riippuu myös parametrista.

Mitä tulee merkintään, sen sijaan, että kirjoittaisit sen kaavaan, se voitaisiin kirjoittaa ilman alaindeksiä, koska tämä on "säännöllinen" johdannainen "suhteessa X". Mutta kirjallisuudessa on aina vaihtoehto, joten en poikkea standardista.

Esimerkki 6

Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Täten:

Erikoispiirre parametrisen funktion derivaatan löytämisessä on se, että jokaisessa vaiheessa on hyödyllistä yksinkertaistaa tulosta niin paljon kuin mahdollista. Joten tarkasteltavassa esimerkissä, kun löysin sen, avasin sulkeet juuren alle (vaikka en ehkä tehnyt tätä). On hyvä mahdollisuus, että kun korvataan kaavaan, monet asiat vähenevät hyvin. Vaikka tietysti on esimerkkejä, joissa on kömpelöitä vastauksia.

Esimerkki 7

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Artikkelissa Alkueläimet tyypillisiä tehtäviä johdannaisen kanssa tarkastelimme esimerkkejä, joissa meidän piti löytää funktion toinen derivaatta. Parametrisesti määritellylle funktiolle voit löytää myös toisen derivaatan, ja se löytyy seuraavalla kaavalla: . On aivan selvää, että toisen derivaatan löytämiseksi sinun on ensin löydettävä ensimmäinen derivaatta.

Esimerkki 8

Etsi parametrisesti annetun funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta

Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen.
Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Korvaa löydetyt johdannaiset kaavaan. Yksinkertaistamiseksi käytämme trigonometristä kaavaa:

Huomasin, että parametrisen funktion derivaatan löytämisongelmassa on melko usein yksinkertaistamisen vuoksi tarpeen käyttää trigonometriset kaavat . Muista ne tai pidä ne käsillä, äläkä missaa mahdollisuutta yksinkertaistaa jokaista välitulosta ja vastauksia. Minkä vuoksi? Nyt meidän on otettava johdannainen , ja tämä on selvästi parempi kuin derivaatan löytäminen .

Etsitään toinen derivaatta.
Käytämme kaavaa: .

Katsotaanpa kaavaamme. Nimittäjä on jo löydetty edellisessä vaiheessa. On vielä löydettävä osoittaja - ensimmäisen derivaatan johdannainen muuttujan "te" suhteen:

Jää käyttää kaavaa:

Materiaalin vahvistamiseksi tarjoan vielä pari esimerkkiä, jotka voit ratkaista itse.

Esimerkki 9

Esimerkki 10

Etsi ja parametrisesti määritetylle funktiolle

Toivon sinulle menestystä!

Toivon, että tämä oppitunti oli hyödyllinen ja voit nyt helposti löytää johdannaisia ​​implisiittisistä funktioista ja parametrisista funktioista

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 3: Ratkaisu:






Täten:

Tähän asti olemme tarkastelleet tasossa olevia suorien yhtälöitä, jotka yhdistävät suoraan näiden suorien pisteiden nykyiset koordinaatit. Usein käytetään kuitenkin toista suoran määrittelytapaa, jossa nykyiset koordinaatit katsotaan kolmannen muuttujan funktioiksi.

Olkoon muuttujan kaksi funktiota annettu

otetaan huomioon samoilla t:n arvoilla. Sitten mikä tahansa näistä t:n arvoista vastaa tiettyä arvoa ja tiettyä y:n arvoa ja siten tiettyä pistettä. Kun muuttuja t kulkee kaikkien funktioiden määritelmäalueen (73) arvojen läpi, piste kuvaa tiettyä tasossa olevaa suoraa C. Yhtälöitä (73) kutsutaan tämän suoran parametriyhtälöiksi ja muuttujaa ns. parametri.

Oletetaan, että funktiolla on käänteisfunktio, ja korvaamalla tämän funktion toiseen yhtälöön (73) saadaan yhtälö

ilmaisemalla y:n funktiona

Sovitaan, että tämä funktio on parametrisesti annettu yhtälöillä (73). Siirtymää näistä yhtälöistä yhtälöön (74) kutsutaan parametrien eliminoimiseksi. Kun tarkastellaan parametrisesti määriteltyjä toimintoja, parametrin poissulkeminen ei ole vain välttämätöntä, mutta ei myöskään aina käytännössä mahdollista.

Monissa tapauksissa on paljon helpompaa kysyä erilaisia ​​merkityksiä parametri, laske sitten argumentin ja funktion y vastaavat arvot kaavoilla (73).

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki 1. Olkoon mielivaltainen piste ympyrässä, jonka keskipiste on origossa ja säde R. Suorakulmaiset koordinaatit Tämän pisteen x ja y ilmaistaan ​​sen napasäteen ja napakulman kautta, jota merkitsemme tässä t:llä seuraavasti (katso I luku, 3 §, 3 kohta):

Yhtälöitä (75) kutsutaan ympyrän parametrisiksi yhtälöiksi. Parametri niissä on napakulma, joka vaihtelee välillä 0 - .

Jos yhtälöt (75) neliötetään termi kerrallaan ja lisätään, niin identiteetin ansiosta parametri eliminoidaan ja saadaan karteesisen koordinaatiston ympyrän yhtälö, joka määrittelee kaksi perusfunktiota:

Jokainen näistä funktioista on määritelty parametrisesti yhtälöillä (75), mutta näiden funktioiden parametrialueet ovat erilaisia. Heistä ensimmäiselle; Tämän funktion kuvaaja on ylempi puoliympyrä. Toisen funktion kaavio on alempi puoliympyrä.

Esimerkki 2. Tarkastellaan samanaikaisesti ellipsiä

ja ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde a (kuva 138).

Jokaiseen ellipsin pisteeseen M liitetään ympyrän piste N, jolla on sama abskissa kuin pisteellä M ja joka sijaitsee sen kanssa samalla puolella Ox-akselia. Pisteen N ja siten pisteen M asema määräytyy täysin pisteen napakulman t mukaan. Tässä tapauksessa niiden yhteiselle abskissalle saadaan seuraava lauseke: x = a. Löydämme pisteen M ordinaatin ellipsin yhtälöstä:

Merkki valittiin, koska pisteen M ordinaatilla ja pisteen N ordinaatalla on oltava samat merkit.

Siten ellipsille saadaan seuraavat parametriyhtälöt:

Tässä parametri t vaihtelee välillä 0 - .

Esimerkki 3. Tarkastellaan ympyrää, jonka keskipiste on pisteessä a) ja säde a ja joka selvästi koskettaa x-akselia origossa (kuva 139). Oletetaan, että tämä ympyrä vierii liukumatta x-akselia pitkin. Sitten ympyrän piste M, joka alkuhetkellä osui yhteen koordinaattien origon kanssa, kuvaa suoraa, jota kutsutaan sykloidiksi.

Johdetaan sykloidin parametriyhtälöt ottamalla parametriksi t ympyrän MSV-kiertokulma sitä liikutettaessa kiinteä piste paikasta O paikkaan M. Sitten pisteen M koordinaateille ja y:lle saadaan seuraavat lausekkeet:

Koska ympyrä vierii akselia pitkin liukumatta, segmentin OB pituus on yhtä suuri kuin kaaren BM pituus. Koska kaaren BM pituus on yhtä suuri kuin säteen a ja keskikulman t tulo, niin . Siksi . Mutta siksi,

Nämä yhtälöt ovat sykloidin parametriyhtälöitä. Kun parametri t muuttuu 0:sta ympyräksi, tekee yhden täyden kierroksen. Piste M kuvaa sykloidin yhtä kaaria.

Parametrin t jättäminen pois tästä johtaa hankalia lausekkeisiin ja on käytännössä epäkäytännöllistä.

Linjojen parametrimäärittelyä käytetään erityisen usein mekaniikassa, ja parametrin roolissa on aika.

Esimerkki 4. Määritetään aseesta ammutun ammuksen lentorata alkunopeus kulmassa a vaakatasoon nähden. Ilmanvastus ja ammuksen mitat huomioon ottaen aineellinen kohta, jätämme huomiotta.

Valitaan koordinaattijärjestelmä. Otetaan koordinaattien origoksi ammuksen lähtöpiste suosta. Ohjataan Ox-akseli vaakasuoraan ja Oy-akseli pystysuoraan asettamalla ne samaan tasoon aseen suuosan kanssa. Jos painovoimaa ei olisi, niin ammus liikkuisi suorassa linjassa muodostaen kulman a Ox-akselin kanssa ja ajassa t se olisi kulkenut etäisyyden. Ammuksen koordinaatit ajanhetkellä t olisivat vastaavasti yhtä suuret vastaanottajalle: . Painovoimasta johtuen ammuksen on tähän hetkeen mennessä laskeuduttava pystysuunnassa jonkin verran, joten todellisuudessa hetkellä t ammuksen koordinaatit määräytyvät kaavojen mukaan:

Nämä yhtälöt sisältävät vakiosuureita. Kun t muuttuu, myös ammuksen lentoratapisteen koordinaatit muuttuvat. Yhtälöt ovat ammuksen liikeradan parametriyhtälöitä, joissa parametrina on aika

Ilmaiseminen ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla sen

toinen yhtälö, saamme ammuksen liikeradan yhtälön muodossa Tämä on paraabelin yhtälö.