Lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan yhteiseksi jos mti. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Jordan-Gaussin menetelmällä

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla

Oppilaalla on 200 ruplaa koululounasta varten. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia voi ostaa 200 ruplalla?

Merkitse läpi kakkujen lukumäärä x ja kahvikuppien määrä y. Sitten kakkujen hinta merkitään lausekkeella 25 x, ja kahvikuppien hinta 10:ssä y .

25x- hinta x kakut
10y- hinta y kupit kahvia

Kokonaissumman tulee olla 200 ruplaa. Sitten saadaan yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa x ja y

25x+ 10y= 200

Kuinka monta juuria tällä yhtälöllä on?

Kaikki riippuu opiskelijan ruokahalusta. Jos hän ostaa 6 kakkua ja 5 kupillista kahvia, yhtälön juuret ovat numerot 6 ja 5.

Arvojen 6 ja 5 parin sanotaan olevan yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200. Kirjoitetaan muodossa (6; 5) , jolloin ensimmäinen numero on muuttujan arvo x, ja toinen - muuttujan arvo y .

6 ja 5 eivät ole ainoita juuria, jotka kääntävät yhtälön 25 x+ 10y= 200 identiteettiin. Halutessaan opiskelija voi ostaa samalla 200 ruplalla 4 kakkua ja 10 kuppia kahvia:

Tässä tapauksessa yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 on arvojen pari (4; 10) .

Lisäksi opiskelija ei voi ostaa kahvia ollenkaan, mutta ostaa kakkuja kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 8 ja 0

Tai päinvastoin, älä osta kakkuja, vaan osta kahvia kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 0 ja 20

Yritetään luetella kaikki yhtälön 25 mahdolliset juuret x+ 10y= 200. Olkaamme samaa mieltä siitä, että arvot x ja y kuuluvat kokonaislukujen joukkoon. Ja olkoon näiden arvojen suurempi tai yhtä suuri kuin nolla:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Joten se on kätevä opiskelijalle itselleen. Kakut on helpompi ostaa kokonaisina kuin esimerkiksi useita kokonaisia ​​kakkuja ja puolikas kakku. Kahvi on myös kätevämpi ottaa kokonaisina kuppeina kuin esimerkiksi useat kokonaiset kupit ja puoli kupillista.

Huomaa, että outoa x on mahdotonta saavuttaa tasa-arvoa minkään kanssa y. Sitten arvot x siellä on seuraavat luvut 0, 2, 4, 6, 8. Ja tietäen x voidaan määrittää helposti y

Näin ollen saimme seuraavat arvoparit (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Nämä parit ovat yhtälön 25 ratkaisuja tai juuria x+ 10y= 200. He muuttavat tämän yhtälön identiteetiksi.

Tyyppiyhtälö ax + by = c nimeltään lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla. Tämän yhtälön ratkaisu tai juuret on arvopari ( x; y), mikä muuttaa sen identiteetiksi.

Huomaa myös, että jos lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, kirjoitetaan muodossa ax + b y = c , sitten he sanovat, että se on kirjoitettu kanoninen(normaali) muoto.

Jotkut lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa voidaan pelkistää kanoniseen muotoon.

Esimerkiksi yhtälö 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) voidaan tuoda mieleen ax + by = c. Avataan sulut tämän yhtälön molemmissa osissa, saamme 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tuntemattomia sisältävät termit on ryhmitelty yhtälön vasemmalle puolelle ja tuntemattomista vapaat termit oikealle. Sitten saamme 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Tuomme samanlaiset termit molempiin osiin, saamme yhtälön 16 x+ 8y= 32. Tämä yhtälö pelkistetään muotoon ax + by = c ja on kanoninen.

Aikaisemmin tarkasteltu yhtälö 25 x+ 10y= 200 on myös kaksimuuttujainen lineaarinen yhtälö kanonisessa muodossa. Tässä yhtälössä parametrit a , b ja c ovat samat kuin arvot 25, 10 ja 200.

Itse asiassa yhtälö ax + by = c on ääretön määrä ratkaisuja. Yhtälön ratkaiseminen 25x+ 10y= 200, etsimme sen juuria vain kokonaislukujoukosta. Tuloksena saimme useita arvopareja, jotka muuttivat tämän yhtälön identiteetiksi. Mutta kuvauksissa rationaalisia lukuja yhtälö 25 x+ 10y= 200:lla on ääretön määrä ratkaisuja.

Saadaksesi uusia arvopareja, sinun on otettava mielivaltainen arvo x, sitten ilmaista y. Otetaan esimerkiksi muuttuja x arvo 7. Sitten saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja 25×7 + 10y= 200 jossa ilmaista y

Päästää x= 15. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × 15:ksi + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −17,5

Päästää x= -3. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × (−3) + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −27,5

Kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla

Yhtälölle ax + by = c voit ottaa minkä tahansa määrän mielivaltaisia ​​arvoja x ja löytää arvot y. Erikseen otettuna tällaisella yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta myös tapahtuu, että muuttujat x ja y ei yhdistetty yhdellä, vaan kahdella yhtälöllä. Tässä tapauksessa ne muodostavat ns järjestelmä lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla. Tällaisella yhtälöjärjestelmällä voi olla yksi arvopari (tai toisin sanoen: "yksi ratkaisu").

Voi myös käydä niin, ettei järjestelmällä ole ratkaisuja ollenkaan. Lineaariyhtälöjärjestelmällä voi olla ääretön määrä ratkaisuja harvinaisissa ja poikkeuksellisissa tapauksissa.

Kaksi lineaarista yhtälöä muodostavat järjestelmän, kun arvot x ja y sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä.

Palataanpa aivan ensimmäiseen yhtälöön 25 x+ 10y= 200. Yksi tämän yhtälön arvopareista oli pari (6; 5) . Näin on, kun 200 ruplalla voisi ostaa 6 kakkua ja 5 kuppia kahvia.

Teemme tehtävän niin, että parista (6; 5) tulee yhtälön 25 ainoa ratkaisu x+ 10y= 200. Tätä varten laadimme toisen yhtälön, joka yhdistäisi saman x kakut ja y kupit kahvia.

Laitetaan tehtävän teksti seuraavasti:

”Koulupoika osti useita kakkuja ja useita kupillisia kahvia 200 ruplalla. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti, jos tiedetään, että kakkuja on yksi enemmän kuin kupillisia kahvia?

Meillä on jo ensimmäinen yhtälö. Tämä on yhtälö 25 x+ 10y= 200. Nyt kirjoitetaan yhtälö ehdolle "kakkujen määrä on yksi yksikkö enemmän kuin kahvikuppien määrä" .

Kakkujen määrä on x, ja kahvikuppien määrä on y. Voit kirjoittaa tämän lauseen yhtälön avulla x − y= 1. Tämä yhtälö tarkoittaisi, että kakkujen ja kahvin välinen ero on 1.

x=y+ 1. Tämä yhtälö tarkoittaa, että kakkujen määrä on yksi enemmän kuin kahvikuppien määrä. Siksi tasa-arvon saavuttamiseksi kahvikuppien määrään lisätään yksi. Tämä voidaan helposti ymmärtää, jos käytämme painomallia, jota harkitsimme tutkiessamme yksinkertaisimpia ongelmia:

Saatiin kaksi yhtälöä: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Koska arvot x ja y, nimittäin 6 ja 5 sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä, niin ne yhdessä muodostavat järjestelmän. Kirjoitetaan tämä järjestelmä ylös. Jos yhtälöt muodostavat järjestelmän, ne kehystetään järjestelmän etumerkillä. Järjestelmämerkki on kihara aaltosulje:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä. Tämä antaa meille mahdollisuuden nähdä, kuinka saavutamme arvot 6 ja 5. Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen on monia menetelmiä. Harkitse niistä suosituimpia.

Korvausmenetelmä

Tämän menetelmän nimi puhuu puolestaan. Sen olemus on korvata yhtälö toisella, kun se on aiemmin ilmaissut yhden muuttujista.

Meidän järjestelmässämme ei tarvitse ilmaista mitään. Toisessa yhtälössä x = y+ 1 muuttuja x jo ilmaistu. Tämä muuttuja on yhtä suuri kuin lauseke y+ 1. Sitten voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisessä yhtälössä muuttujan sijaan x

Ilmaisun korvaamisen jälkeen y+ 1 ensimmäiseen yhtälöön sen sijaan x, saamme yhtälön 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tämä on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja. Tämä yhtälö on melko helppo ratkaista:

Löysimme muuttujan arvon y. Nyt korvaamme tämän arvon johonkin yhtälöstä ja löydämme arvon x. Tätä varten on kätevää käyttää toista yhtälöä x = y+ 1. Laitetaan arvo siihen y

Joten pari (6; 5) on ratkaisu yhtälöjärjestelmään, kuten tarkoitimme. Tarkistamme ja varmistamme, että pari (6; 5) täyttää järjestelmän:

Esimerkki 2

Korvaa ensimmäinen yhtälö x= 2 + y toiseen yhtälöön 3 x - 2y= 9. Ensimmäisessä yhtälössä muuttuja x on yhtä suuri kuin lauseke 2 + y. Korvaamme tämän lausekkeen toiseen yhtälöön sen sijaan x

Etsitään nyt arvo x. Voit tehdä tämän korvaamalla arvon y ensimmäiseen yhtälöön x= 2 + y

Joten järjestelmän ratkaisu on parin arvo (5; 3)

Esimerkki 3. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Tässä, toisin kuin edellisissä esimerkeissä, yhtä muuttujista ei ole eksplisiittisesti ilmaistu.

Korvaaksesi yhtälön toisella, tarvitset ensin .

On toivottavaa ilmaista muuttuja, jonka kerroin on yksi. Kertoimen yksikössä on muuttuja x, joka sisältyy ensimmäiseen yhtälöön x+ 2y= 11. Ilmaistaan ​​tämä muuttuja.

Vaihtuvan lausekkeen jälkeen x, järjestelmämme näyttää tältä:

Nyt korvaamme ensimmäisen yhtälön toisella ja löydämme arvon y

Korvaava y x

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (3; 4)

Voit tietysti myös ilmaista muuttujan y. Juuret eivät muutu. Mutta jos ilmaiset y, tuloksena ei ole kovin yksinkertainen yhtälö, jonka ratkaiseminen vie enemmän aikaa. Se näyttää tältä:

Näemme sen tässä esimerkissä ilmaista x paljon kätevämpää kuin ilmaiseminen y .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

y

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x. Voit käyttää alkuperäistä yhtälöä 7 x+ 9y= 8 tai käytä yhtälöä, jossa muuttuja ilmaistaan x. Käytämme tätä yhtälöä, koska se on kätevä:

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (5; −3)

Lisäysmenetelmä

Yhteenlaskumenetelmä on lisätä termi kerrallaan järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Tämä summaus johtaa uuteen yhden muuttujan yhtälöön. Ja tämä yhtälö on melko helppo ratkaista.

Ratkaistaan ​​seuraava yhtälöjärjestelmä:

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikean puolen kanssa. Saamme seuraavan tasa-arvon:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 3 x= 27 jonka juuri on 9. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x toiseen yhtälöön x − y= 3. Saamme 9 − y= 3. Täältä y= 6 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (9; 6)

Esimerkki 2

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikean puolen kanssa. Tuloksena olevassa tasa-arvossa esitämme samankaltaiset termit:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 5 x= 20, jonka juuri on 4. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x ensimmäiseen yhtälöön 2 x+y= 11. Otetaan 8+ y= 11. Täältä y= 3 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (4;3)

Lisäysprosessia ei kuvata yksityiskohtaisesti. Se on tehtävä mielessä. Kun lisäät, molemmat yhtälöt on pelkistettävä kanoniseen muotoon. Eli mieleen ac+by=c .

Tarkastetuista esimerkeistä voidaan nähdä, että yhtälöiden lisäämisen päätavoite on päästä eroon yhdestä muuttujasta. Mutta yhtälöjärjestelmää ei aina ole mahdollista ratkaista välittömästi summausmenetelmällä. Useimmiten järjestelmä saatetaan alustavasti sellaiseen muotoon, jossa on mahdollista lisätä tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt.

Esimerkiksi järjestelmä voidaan ratkaista suoraan lisäysmenetelmällä. Kun lisäät molemmat yhtälöt, termit y ja −y katoavat, koska niiden summa on nolla. Tuloksena muodostuu yksinkertaisin yhtälö 11 x= 22 , jonka juuri on 2. Silloin on mahdollista määrittää y yhtä suuri kuin 5.

Ja yhtälöjärjestelmä summausmenetelmää ei voida ratkaista heti, koska se ei johda yhden muuttujan katoamiseen. Lisäys johtaa yhtälöön 8 x+ y= 28 , jolla on ääretön määrä ratkaisuja.

Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, joka ei ole nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. Tämä sääntö pätee myös lineaarisille yhtälöille, joissa on kaksi muuttujaa. Toinen yhtälöistä (tai molemmat yhtälöt) voidaan kertoa jollakin luvulla. Tuloksena on vastaava järjestelmä, jonka juuret ovat samat kuin edellisen.

Palataan aivan ensimmäiseen järjestelmään, jossa kuvattiin kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti. Tämän järjestelmän ratkaisu oli arvopari (6; 5) .

Kerromme molemmat tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt joillakin luvuilla. Oletetaan, että kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla

Tuloksena on järjestelmä
Ratkaisu tähän järjestelmään on edelleen arvopari (6; 5)

Tämä tarkoittaa, että järjestelmään sisältyvät yhtälöt voidaan pelkistää summausmenetelmän soveltamiseen sopivaan muotoon.

Takaisin järjestelmään , jota emme voineet ratkaista summausmenetelmällä.

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen -2:lla

Sitten saamme seuraavan järjestelmän:

Lisäämme tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Komponenttien lisäys 12 x ja -12 x tuloksena on 0, lisäys 18 y ja 4 y antaa 22 y, ja lisäämällä 108 ja −20 saadaan 88. Sitten saadaan yhtälö 22 y= 88, siis y = 4 .

Jos yhtälöiden lisääminen on aluksi vaikeaa mielessäsi, voit kirjoittaa ylös, kuinka ensimmäisen yhtälön vasen puoli lisätään toisen yhtälön vasempaan puolelle ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toinen yhtälö:

Tietäen, että muuttujan arvo y on 4, löydät arvon x. Korvaava y johonkin yhtälöstä, esimerkiksi ensimmäiseen yhtälöön 2 x+ 3y= 18. Sitten saamme yhtälön yhdellä muuttujalla 2 x+ 12 = 18 . Siirrämme 12 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 2 x= 6, siis x = 3 .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro toinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa seuraavan muodon:

Lisätään molemmat yhtälöt. Komponenttien lisäys x ja −x tuloksena on 0, lisäys 5 y ja 3 y antaa 8 y, ja lisäämällä 7 ja 1 saadaan 8. Tuloksena on yhtälö 8 y= 8 , jonka juuri on 1. Tietäen, että arvo y on 1, voit löytää arvon x .

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme x+5 = 7, siis x= 2

Esimerkki 5. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

On toivottavaa, että samat muuttujat sisältävät termit sijaitsevat toistensa alla. Siksi toisessa yhtälössä termit 5 y ja −2 x vaihtaa paikkaa. Tämän seurauksena järjestelmä saa muotoa:

Kerro toinen yhtälö kolmella. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena saamme yhtälön 8 y= 16 , jonka juuri on 2.

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme 6 x− 14 = 40 . Siirrämme termin −14 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 6 x= 54. Täältä x= 9.

Esimerkki 6. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Päästään eroon murtoluvuista. Kerro ensimmäinen yhtälö 36:lla ja toinen 12:lla

Tuloksena syntyvässä järjestelmässä ensimmäinen yhtälö voidaan kertoa −5:llä ja toinen 8:lla

Lisätään yhtälöt tuloksena olevaan järjestelmään. Sitten saadaan yksinkertaisin yhtälö −13 y= -156 . Täältä y= 12. Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x

Esimerkki 7. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Tuomme molemmat yhtälöt normaalimuotoon. Tässä on kätevää soveltaa suhteellisuussääntöä molemmissa yhtälöissä. Jos ensimmäisessä yhtälössä oikea puoli esitetään muodossa , ja toisen yhtälön oikea puoli on , niin järjestelmä saa muodon:

Meillä on osuus. Kerromme sen ääri- ja keskitermit. Sitten järjestelmä saa muodon:

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö −3:lla ja avataan sulut toisessa:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Näiden yhtälöiden lisäämisen tuloksena saamme yhtälön, jonka molemmissa osissa on nolla:

Osoittautuu, että järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta emme voi vain ottaa mielivaltaisia ​​arvoja taivaalta x ja y. Voimme määrittää yhden arvoista, ja toinen määritetään määrittämämme arvon mukaan. Esimerkiksi anna x= 2. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Yhden yhtälön ratkaisemisen seurauksena arvo for y, joka täyttää molemmat yhtälöt:

Tuloksena oleva arvopari (2; −2) täyttää järjestelmän:

Etsitään toinen arvopari. Päästää x= 4. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Se voidaan määrittää silmällä y on yhtä kuin nolla. Sitten saamme arvoparin (4; 0), joka täyttää järjestelmämme:

Esimerkki 8. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen 12:lla

Kirjoitetaan uudelleen, mitä on jäljellä:

Kerro ensimmäinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena muodostuu yhtälö 6 b= 48 , jonka juuri on 8. Korvaa b ensimmäiseen yhtälöön ja löydä a

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme muuttujaa

Lineaarinen yhtälö, jossa on kolme muuttujaa, sisältää kolme muuttujaa kertoimilla sekä leikkauspisteen. Kanonisessa muodossa se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

ax + by + cz = d

Tällä yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja. Antaa kaksi muuttujaa erilaisia ​​merkityksiä, löydät kolmannen arvon. Ratkaisu tässä tapauksessa on arvojen kolminkertainen ( x; y; z), joka muuttaa yhtälön identiteetiksi.

Jos muuttujia x, y, z on yhdistetty kolmella yhtälöllä, niin muodostuu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme muuttujaa. Sellaisen järjestelmän ratkaisemiseksi voit käyttää samoja menetelmiä kuin lineaarisissa yhtälöissä, joissa on kaksi muuttujaa: korvausmenetelmä ja summausmenetelmä.

Esimerkki 1. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaisemme kolmannessa yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Tehdään nyt vaihto. Muuttuva x on yhtä suuri kuin lauseke 3 − 2y − 2z . Korvaa tämä lauseke ensimmäiseen ja toiseen yhtälöön:

Avataan molempien yhtälöiden sulut ja annetaan vastaavat termit:

Olemme päässeet lineaariseen yhtälöjärjestelmään, jossa on kaksi muuttujaa. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää lisäysmenetelmää. Tämän seurauksena muuttuja y katoaa ja voimme löytää muuttujan arvon z

Etsitään nyt arvo y. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä − y+ z= 4. Korvaa arvo z

Etsitään nyt arvo x. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä x= 3 − 2y − 2z . Korvaa arvot siihen y ja z

Siten arvojen kolmoisosa (3; −2; 2) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Esimerkki 2. Ratkaise järjestelmä summausmenetelmällä

Lisätään ensimmäinen yhtälö ja toinen kerrottuna −2:lla.

Jos toinen yhtälö kerrotaan -2:lla, se saa muodon −6x+ 6y- 4z = −4 . Lisää se nyt ensimmäiseen yhtälöön:

Näemme, että alkeismuunnosten tuloksena muuttujan arvo määritettiin x. Se on yhtä suuri kuin yksi.

Palataan pääjärjestelmään. Lisätään toinen yhtälö kolmanteen kerrottuna −1:llä. Jos kolmas yhtälö kerrotaan −1:llä, se saa muodon −4x + 5y − 2z = −1 . Lisää se nyt toiseen yhtälöön:

Selvisi yhtälö x - 2y= -1. Korvaa arvo siihen x jonka löysimme aiemmin. Sitten voimme määrittää arvon y

Nyt tunnemme arvot x ja y. Tämän avulla voit määrittää arvon z. Käytämme yhtä järjestelmään sisältyvistä yhtälöistä:

Siten arvojen kolmoisosa (1; 1; 1) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Tehtävät lineaaristen yhtälöjärjestelmien laatimiseen

Yhtälöjärjestelmien laatimistehtävä ratkaistaan ​​ottamalla käyttöön useita muuttujia. Seuraavaksi laaditaan yhtälöt tehtävän ehtojen perusteella. Käännetyistä yhtälöistä ne muodostavat järjestelmän ja ratkaisevat sen. Kun järjestelmä on ratkaistu, on tarpeen tarkistaa, täyttääkö sen ratkaisu ongelman ehdot.

Tehtävä 1. Volga-auto lähti kaupungista kolhoosiin. Hän palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Yhteensä autolla ajettiin 35 km molempiin suuntiin. Kuinka monta kilometriä kukin tie on pitkä?

Ratkaisu

Päästää x- ensimmäisen tien pituus, y- toisen pituus. Jos auto ajoi 35 km molempiin suuntiin, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+ y= 35. Tämä yhtälö kuvaa molempien teiden pituuksien summaa.

Auton kerrotaan palaavan takaisin tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Sitten toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x− y= 5. Tämä yhtälö osoittaa, että teiden pituuksien ero on 5 km.

Tai toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x= y+ 5. Käytämme tätä yhtälöä.

Koska muuttujat x ja y molemmissa yhtälöissä merkitsevät samaa numeroa, niin voimme muodostaa niistä järjestelmän:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä jollakin aiemmin tutkituista menetelmistä. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää korvausmenetelmää, koska toisessa yhtälössä muuttuja x jo ilmaistu.

Korvaa toinen yhtälö ensimmäisellä ja etsi y

Korvaa löydetty arvo y toiseen yhtälöön x= y+ 5 ja löydä x

Ensimmäisen tien pituus merkittiin muuttujalla x. Nyt olemme löytäneet sen merkityksen. Muuttuva x on 20. Ensimmäisen tien pituus on siis 20 km.

Ja toisen tien pituus osoitti y. Tämän muuttujan arvo on 15. Toisen tien pituus on siis 15 km.

Tehdään tarkistus. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Tarkastetaan nyt, täyttääkö ratkaisu (20; 15) ongelman ehdot.

Autolla kerrottiin ajaneen yhteensä 35 km molempiin suuntiin. Laskemme yhteen molempien teiden pituudet ja varmistamme, että ratkaisu (20; 15) täyttää tämän ehdon: 20 km + 15 km = 35 km

Seuraava ehto: auto palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen . Näemme, että ratkaisu (20; 15) myös täyttää tämän ehdon, koska 15 km on lyhyempi kuin 20 km x 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Järjestelmää laadittaessa on tärkeää, että muuttujat merkitsevät samoja lukuja kaikissa tähän järjestelmään sisältyvissä yhtälöissä.

Joten järjestelmämme sisältää kaksi yhtälöä. Nämä yhtälöt puolestaan ​​sisältävät muuttujat x ja y, jotka merkitsevät samoja numeroita molemmissa yhtälöissä, nimittäin teiden pituuksia 20 km ja 15 km.

Tehtävä 2. Lavalle lastattiin tammi- ja mänty ratapölkyjä, yhteensä 300 ratapölkkyä. Tiedetään, että kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty ratapölkyt. Selvitä kuinka monta tammi- ja mänty ratapölkkyjä oli erikseen, jos jokainen tammi ratapölkky painoi 46 kg ja kukin mänty ratapölkky 28 kg.

Ratkaisu

Päästää x tammi ja y mänty ratapölkyt lastattiin laiturille. Jos ratapölkyjä oli yhteensä 300, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+y = 300 .

Kaikki tammi ratapölkyt painoivat 46 x kg ja mänty painoi 28 y kg. Koska tammi ratapölkky painoi 1 tonnin vähemmän kuin mänty ratapölkky, toinen yhtälö voidaan kirjoittaa 28y- 46x= 1000 . Tämä yhtälö osoittaa, että tammi- ja mänty ratapölkkyjen välinen massaero on 1000 kg.

Tonnit on muutettu kilogrammoiksi, koska tammi- ja mäntypölkkyjen massa mitataan kilogrammoina.

Tuloksena saadaan kaksi yhtälöä, jotka muodostavat järjestelmän

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä. Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Korvaa ensimmäinen yhtälö toisella ja etsi y

Korvaava y yhtälöön x= 300 − y ja ota selvää mitä x

Tämä tarkoittaa, että lavalle lastattiin 100 tammi- ja 200 mäntyä ratapölkkyä.

Tarkastetaan, täyttääkö ratkaisu (100; 200) ongelman ehdot. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Nukkujia kerrottiin olevan yhteensä 300. Laskemme yhteen tammi- ja mäntypölkkyjen lukumäärät ja varmistamme, että ratkaisu (100; 200) täyttää tämän ehdon: 100 + 200 = 300.

Seuraava ehto: kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty . Näemme, että ratkaisu (100; 200) myös täyttää tämän ehdon, koska 46 × 100 kg tammi ratapölkkyjä on kevyempiä kuin 28 × 200 kg mänty ratapölkkyjä: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tehtävä 3. Otimme kolme kappaletta kuparin ja nikkelin seosta painosuhteissa 2:1, 3:1 ja 5:1. Näistä 12 kg painava kappale sulatettiin kuparin ja nikkelin suhteen 4:1. Etsi jokaisen alkuperäisen kappaleen massa, jos ensimmäisen kappaleen massa on kaksi kertaa toisen massa.

missä x* - yksi epähomogeenisen järjestelmän (2) ratkaisuista (esimerkiksi (4)), (E−A + A) muodostaa matriisin ytimen (nollatilan). A.

Tehdään matriisista luurankohajotus (E−A + A):

E−A + A = Q S

missä K n×n-r- sijoitusmatriisi (Q) = n-r, S n-r×n-rank matriisi (S) = n-r.

Sitten (13) voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

missä k = Sz.

Niin, yleinen ratkaisumenettely lineaarinen yhtälöjärjestelmä pseudoa käyttäen käänteinen matriisi voidaan esittää seuraavassa muodossa:

1. Laske pseudoinversiomatriisi A + .
2. Laskemme tietyn ratkaisun epähomogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle (2): x*=A + b.
3. Tarkistamme järjestelmän yhteensopivuuden. Tätä varten laskemme AA + b. Jos AA + b≠b, järjestelmä on epäjohdonmukainen. Muussa tapauksessa jatkamme menettelyä.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Suorittaa luuston hajoamista E−A + A=Q·S.
6. Ratkaisun rakentaminen

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen verkossa

Online-laskimen avulla voit löytää lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleisen ratkaisun yksityiskohtaisten selitysten kera.

§yksi. Lineaariyhtälöjärjestelmät.

katselujärjestelmä

kutsutaan järjestelmäksi m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.

Tässä
- tuntematon, - tuntemattomien kertoimet,
- yhtälöiden vapaat jäsenet.

Jos kaikki yhtälöiden vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla, järjestelmää kutsutaan homogeeninen.Päätös järjestelmää kutsutaan numerojoukoksi
, kun ne korvataan järjestelmään tuntemattomien sijaan, kaikki yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi. Järjestelmää kutsutaan liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä järjestelmää, jossa on ainutlaatuinen ratkaisu, kutsutaan varma. Näitä kahta järjestelmää kutsutaan vastaava jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.

Järjestelmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa yhtälön avulla

(2)

.

§2. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien yhteensopivuus.

Kutsumme järjestelmän (1) laajennettua matriisia matriisiksi

Kronecker - Capelli-lause. Järjestelmä (1) on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys:

.

§3. Järjestelmäratkaisun lineaariset yhtälöt kanssan tuntematon.

Harkitse epähomogeenista järjestelmää n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon:

(3)

Cramerin lause.Jos järjestelmän päädeterminantti (3)
, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka määräytyy kaavojen mukaan:

nuo.
,

missä - determinantista saatu determinantti korvaus sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen.

Jos
, ja ainakin yksi niistä ≠0, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Järjestelmä (3) voidaan ratkaista käyttämällä sen matriisimerkintää (2). Jos matriisin sijoitus MUTTA on yhtä suuri n, eli
, sitten matriisi MUTTA on käänteinen
. Matriisiyhtälön kertominen
matriisiin
vasemmalla, saamme:

.

Viimeinen yhtälö ilmaisee tavan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käänteismatriisin avulla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälöjärjestelmä käänteismatriisin avulla.

Ratkaisu. Matriisi
ei rappeutunut, koska
, joten on olemassa käänteimatriisi. Lasketaan käänteismatriisi:
.

,

Harjoittele. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.

§ neljä. Mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu.

Olkoon (1) muotoinen epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä.

Oletetaan, että järjestelmä on johdonmukainen, ts. Kronecker-Capellin lauseen ehto täyttyy:
. Jos matriisin sijoitus
(tuntemattomien määrään), järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua. Selitetään.

Olkoon matriisin arvo r(A)= r< n. Koska
, silloin on olemassa jokin nollasta poikkeava mollijärjestys r. Kutsutaan sitä perus-molliksi. Tuntemattomat, joiden kertoimet muodostuvat sivuaine perus, kutsumme perusmuuttujia. Jäljellä olevia tuntemattomia kutsutaan vapaiksi muuttujiksi. Järjestämme yhtälöt uudelleen ja numeroimme muuttujat uudelleen siten, että tämä sivu sijaitsee järjestelmämatriisin vasemmassa yläkulmassa:

.

Ensimmäinen r rivit ovat lineaarisesti riippumattomia, loput ilmaistaan ​​niiden kautta. Siksi nämä rivit (yhtälöt) voidaan hylätä. Saamme:

Annamme vapaat muuttujat mielivaltaisesti numeerisia arvoja: . Jätämme vain perusmuuttujat vasemmalle puolelle ja siirrämme vapaat muuttujat oikealle puolelle.

On järjestelmä r lineaariset yhtälöt kanssa r tuntematon, jonka determinantti on eri kuin 0. Sillä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Tätä järjestelmää kutsutaan lineaariyhtälöjärjestelmän (1) yleiseksi ratkaisuksi. Muuten: kutsutaan perusmuuttujien ilmaisua vapailla muuttujilla yhteinen ratkaisu järjestelmät. Siitä saa äärettömän määrän yksityisiä päätöksiä, antaa vapaille muuttujille mielivaltaisia ​​arvoja. Kutsutaan tietty ratkaisu, joka saadaan yleisestä ykkösestä vapaiden muuttujien nolla-arvoilla perusratkaisu. Erilaisten perusratkaisujen määrä ei ylitä
. Perusratkaisua, jossa on ei-negatiivisia komponentteja, kutsutaan keskeinen järjestelmäratkaisu.

Esimerkki.

,r=2.

Muuttujat
- perus,
- vapaa.

Lisätään yhtälöt; ilmaista
kautta
:

- yhteinen päätös.

- yksityinen ratkaisu
.

- perusratkaisu, perus.

§5. Gaussin menetelmä.

Gaussin menetelmä on universaali menetelmä mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen. Se koostuu järjestelmän saamisesta diagonaaliseen (tai kolmiomaiseen) muotoon eliminoimalla peräkkäin tuntemattomia käyttämällä alkeismuunnoksia, jotka eivät riko järjestelmien vastaavuutta. Muuttuja katsotaan poissuljetuksi, jos se sisältyy vain yhteen järjestelmän yhtälöön kertoimella 1.

Elementaariset muunnokset järjestelmät ovat:

Kerrotaan yhtälö nollasta poikkeavalla luvulla;

Millä tahansa luvulla kerrotun yhtälön lisääminen toiseen yhtälöön;

Yhtälöiden uudelleenjärjestely;

Pudotetaan yhtälö 0 = 0.

Alkuperäisiä muunnoksia ei voida suorittaa yhtälöille, vaan tuloksena olevien ekvivalenttijärjestelmien laajennetuille matriiseille.

Esimerkki.

Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin:

.

Suorittamalla alkeismuunnoksia tuomme matriisin vasemman puolen yksikkömuotoon: luomme yksiköt päädiagonaaliin ja nollia sen ulkopuolelle.

Kommentti. Jos alkeismuunnoksia suoritettaessa yhtälö, jonka muoto on 0 = k(missä to0), silloin järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmällä voidaan formalisoida muotoon taulukoita.

Taulukon vasen sarake sisältää tietoja poissuljetuista (perus)muuttujista. Loput sarakkeet sisältävät tuntemattomien kertoimet ja yhtälöiden vapaat termit.

Järjestelmän laajennettu matriisi kirjoitetaan lähdetaulukkoon. Jatka seuraavaksi Jordanin muutosten toteuttamiseen:

1. Valitse muuttuja , josta tulee perusta. Vastaavaa saraketta kutsutaan avainsarakkeeksi. Valitse yhtälö, jossa tämä muuttuja jää muiden yhtälöiden ulkopuolelle. Vastaavaa taulukon riviä kutsutaan avainriviksi. Kerroin Avainrivin ja avainsarakkeen leikkauskohdassa olevaa merkkiä kutsutaan avaimeksi.

2. Avainmerkkijonon elementit jaetaan avainelementillä.

3. Avainsarake on täytetty nolilla.

4. Loput elementit lasketaan suorakaidesäännön mukaan. Ne muodostavat suorakulmion, jonka vastakkaisissa pisteissä on avainelementti ja uudelleen laskettu elementti; suorakulmion lävistäjän alkioiden tulosta avainelementin kanssa vähennetään toisen diagonaalin alkioiden tulo, tuloksena saatu ero jaetaan avainelementillä.

Esimerkki. Etsi yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu ja perusratkaisu:

Ratkaisu.

Järjestelmän yleinen ratkaisu:

Perusratkaisu:
.

Kertaluonteinen korvausmuunnos mahdollistaa siirtymisen järjestelmän yhdestä kannasta toiseen: yhden päämuuttujan sijasta yksi vapaista muuttujista tuodaan kantaan. Tätä varten vapaan muuttujan sarakkeesta valitaan avainelementti ja muunnokset suoritetaan yllä olevan algoritmin mukaisesti.

§6. Tukiratkaisujen löytäminen

Lineaariyhtälöjärjestelmän vertailuratkaisu on perusratkaisu, joka ei sisällä negatiivisia komponentteja.

Järjestelmän tukiratkaisut löydetään Gaussin menetelmällä seuraavissa olosuhteissa.

1. Alkuperäisessä järjestelmässä kaikkien ilmaisten ehtojen on oltava ei-negatiivisia:
.

2. Avainelementti valitaan positiivisten kertoimien joukosta.

3. Jos kantaan lisätyllä muuttujalla on useita positiivisia kertoimia, niin avainmerkkijono on se, jossa vapaan termin suhde positiiviseen kertoimeen on pienin.

Huomautus 1. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa ilmaantuu yhtälö, jossa kaikki kertoimet ovat ei-positiivisia, ja vapaa termi
, silloin järjestelmässä ei ole ei-negatiivisia ratkaisuja.

Huomautus 2. Jos vapaiden muuttujien kertoimien sarakkeissa ei ole yhtä positiivista elementtiä, siirtyminen toiseen vertailuratkaisuun on mahdotonta.

Esimerkki.

Ratkaisu. A= . Etsi r(A). Koska matriisi A:lla on siis tilaus 3x4 korkein järjestys alaikäiset on 3. Tässä tapauksessa kaikki kolmannen asteen alaikäiset ovat nolla (tarkista itse). Keinot, r(А)< 3. Возьмем главный sivuaine perus = -5-4 = -9 ≠ 0. Siten r(A) =2.

Harkitse matriisi FROM = .

Pieni kolmas Tilaus ≠ 0. Näin ollen r(C) = 3.

Koska r(A) ≠ r(C) , niin järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Esimerkki 2 Määritä yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus

Ratkaise tämä järjestelmä, jos se on johdonmukainen.

Ratkaisu.

A = , C = . Ilmeisesti r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Koska detC = 0, niin r(C)< 4. Harkitse alaikäinen kolmas Tilaus, joka sijaitsee matriisin A ja C vasemmassa yläkulmassa: = -23 ≠ 0. Näin ollen r(A) = r(C) = 3.

Määrä tuntematon järjestelmässä n=3. Järjestelmällä on siis ainutlaatuinen ratkaisu. Tässä tapauksessa neljäs yhtälö on kolmen ensimmäisen summa, ja se voidaan jättää huomiotta.

Cramerin kaavojen mukaan saamme x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matriisimenetelmä. Gaussin menetelmä

järjestelmä n lineaariset yhtälöt Kanssa n tuntemattomat voidaan ratkaista matriisimenetelmä kaavan X \u003d A -1 B mukaisesti (jos Δ ≠ 0), joka saadaan kohdasta (2) kertomalla molemmat osat arvolla A -1 .

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

matriisimenetelmällä (kohdassa 2.2 tämä järjestelmä on ratkaistu Cramer-kaavojen avulla)

Ratkaisu. Δ = 10 ≠ 0 A = - ei-singulaarinen matriisi.

= (Varmista tämä itse tekemällä tarvittavat laskelmat).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Vastaus: .

Käytännön näkökulmasta matriisimenetelmä ja kaavat Kramer liittyvät suureen määrään laskentaa, joten etusija annetaan Gaussin menetelmä, joka koostuu peräkkäinen poissulkeminen tuntematon. Tätä varten yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaavaksi järjestelmäksi kolmiomaisella lisätyllä matriisilla (kaikki päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat nolla). Näitä toimia kutsutaan suoraksi liikkeeksi. Tuloksena olevasta kolmiojärjestelmästä muuttujat löydetään käyttämällä peräkkäisiä substituutioita (taaksepäin).

Esimerkki 2. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä

(Tämä järjestelmä on ratkaistu yllä käyttämällä Cramer-kaavaa ja matriisimenetelmää).

Ratkaisu.

Suora liike. Kirjoitamme lisätyn matriisin ja saatamme sen kolmiomuotoon alkeismuunnoksilla:

~ ~ ~ ~ .

Saada järjestelmä

Käänteinen liike. Viimeisestä yhtälöstä löydämme X 3 = -6 ja korvaa tämä arvo toiseen yhtälöön:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Vastaus: .

2.5. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä = b i(i=). Olkoon r(A) = r(C) = r, ts. järjestelmä on yhteistyökykyinen. Mikä tahansa nollasta poikkeava molli kertaluvun r on alaikäinen. Yleisyyden menettämättä oletetaan, että kanta-molli sijaitsee matriisin A ensimmäisellä r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rivillä ja sarakkeella. Viimeisen hylkääminen m-r yhtälöt järjestelmä, kirjoitamme lyhennetyn järjestelmän:

joka vastaa alkuperäistä. Nimetään tuntemattomat x 1,….x r perus, ja x r +1 ,…, x r vapauta ja siirrä vapaat tuntemattomat sisältävät termit katkaistun järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle. Saamme järjestelmän perus tuntemattomien suhteen:

joka kullekin vapaiden tuntemattomien arvojoukolle x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r on ainoa ratkaisu x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), löydetty Cramerin säännöllä.

Sopiva ratkaisu lyhennetty, joten alkuperäisen järjestelmän muoto on:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - järjestelmän yleinen ratkaisu.

Jos annamme yleisen ratkaisun vapaille tuntemattomille numeroarvoja, saamme ratkaisun lineaarinen järjestelmä, kutsutaan yksityiseksi.

Esimerkki. Luo yhteensopivuus ja löydä järjestelmän kokonaisratkaisu

Ratkaisu. A = , С = .

Niin Miten r(A)= r(C) = 2 (katso itse), niin alkuperäinen järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on ääretön määrä ratkaisuja (koska r< 4).

Lineaaristen ikäyhtälöiden (SLAE) yhteensopivuuden tutkiminen tarkoittaa sen selvittämistä, onko tällä järjestelmällä ratkaisuja vai ei. No, jos ratkaisuja on, ilmoita kuinka monta niitä on.

Tarvitsemme tietoa aiheesta "Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä. Perustermit. Matriisimerkintä". Erityisesti tarvitaan sellaisia ​​käsitteitä kuin järjestelmän matriisi ja järjestelmän laajennettu matriisi, koska Kronecker-Capellin lauseen muotoilu perustuu niihin. Kuten tavallista, järjestelmän matriisi merkitään kirjaimella $A$ ja järjestelmän laajennettu matriisi kirjaimella $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capellin lause

Lineaarinen järjestelmä algebralliset yhtälöt on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin järjestelmän laajennetun matriisin arvo, ts. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Muistutan teitä siitä, että järjestelmää kutsutaan yhteiseksi, jos sillä on ainakin yksi ratkaisu. Kronecker-Capellin lause sanoo näin: jos $\rang A=\rang\widetilde(A)$, niin ratkaisu on olemassa; jos $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tällä SLAE:llä ei ole ratkaisuja (on epäjohdonmukainen). Vastauksen kysymykseen näiden ratkaisujen lukumäärästä antaa Kronecker-Capellin lauseen seuraus. Seurauksen lauseessa käytetään kirjainta $n$, joka on yhtä suuri kuin muuttujien määrä tietyssä SLAE:ssä.

Seuraus Kronecker-Capellin lauseesta

1. Jos $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, SLAE on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja).
2. Jos $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Jos $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, niin SLAE on selvä (sillä on täsmälleen yksi ratkaisu).

Huomaa, että muotoiltu lause ja sen seuraus eivät osoita, kuinka SLAE:n ratkaisu löydetään. Niiden avulla voit vain selvittää, onko näitä ratkaisuja olemassa vai ei, ja jos niitä on, kuinka monta.

Esimerkki #1

Tutustu SLAE $ \left \(\begin(tasattu) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(tasattu) )\right.$ johdonmukaisuutta varten Jos SLAE on johdonmukainen, ilmoita ratkaisujen lukumäärä.

Selvittääksemme ratkaisujen olemassaolon tietylle SLAE:lle käytämme Kronecker-Capellin lausetta. Tarvitsemme järjestelmän $A$ matriisin ja järjestelmän $\widetilde(A)$ laajennetun matriisin, kirjoitamme ne muistiin:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array)\right). $$

Meidän on löydettävä $\rang A$ ja $\rang\widetilde(A)$. On monia tapoja tehdä tämä, joista osa on lueteltu Matrix Rank -osiossa. Yleensä tällaisten järjestelmien tutkimiseen käytetään kahta menetelmää: "Matriisin arvon laskenta määritelmän mukaan" tai "Matriisin arvon laskenta alkeismuunnosten menetelmällä".

Menetelmä numero 1. Ristojen laskeminen määritelmän mukaan.

Määritelmän mukaan sijoitus on matriisin alaikäisten korkein kertaluokka, jonka joukossa on vähintään yksi muu kuin nolla. Yleensä opiskelu aloitetaan ensimmäisen asteen sivuilla, mutta tässä on kätevämpää siirtyä välittömästi matriisin $A$ kolmannen asteen molliin laskemiseen. Kolmannen asteen mollielementit ovat tarkasteltavana olevan matriisin kolmen rivin ja kolmen sarakkeen leikkauskohdassa. Koska matriisissa $A$ on vain 3 riviä ja 3 saraketta, on matriisin $A$ kolmannen asteen molli matriisin $A$ determinantti, ts. $\DeltaA$. Determinantin laskemiseksi käytämme kaavaa nro 2 aiheesta "Toisen ja kolmannen asteen determinanttien laskentakaavat":

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Joten matriisissa $A$ on kolmannen asteen molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla. 4. kertaluvun mollia ei voida muodostaa, koska se vaatii 4 riviä ja 4 saraketta, ja matriisissa $A$ on vain 3 riviä ja 3 saraketta. Matriisin $A$, joiden joukossa on vähintään yksi nollasta poikkeava ykkönen, korkein kertaluku on siis 3. Siksi $\rang A=3$.

Meidän on myös löydettävä $\rang\widetilde(A)$. Katsotaanpa $\widetilde(A)$-matriisin rakennetta. Matriisin $\widetilde(A)$ riville asti on matriisin $A$ elementtejä, ja huomasimme, että $\Delta A\neq 0$. Siksi matriisissa $\widetilde(A)$ on kolmannen asteen molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla. Emme voi muodostaa neljännen asteen molliarvoja matriisista $\widetilde(A)$, joten päätämme: $\rang\widetilde(A)=3$.

Koska $\rang A=\rang\widetilde(A)$, Kronecker-Capellin lauseen mukaan järjestelmä on johdonmukainen, ts. on ratkaisu (ainakin yksi). Ratkaisujen lukumäärän ilmoittamiseksi otamme huomioon, että SLAE sisältää 3 tuntematonta: $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Koska tuntemattomien lukumäärä on $n=3$, päätämme: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan järjestelmä on määrätty, ts. on ainutlaatuinen ratkaisu.

Ongelma ratkaistu. Mitkä ovat haitat ja edut tätä menetelmää? Puhutaanpa ensin eduista. Ensin meidän piti löytää vain yksi tekijä. Sen jälkeen teimme heti johtopäätöksen ratkaisujen määrästä. Tavallisissa tyypillisissä laskelmissa annetaan yleensä yhtälöjärjestelmät, jotka sisältävät kolme tuntematonta ja joilla on yksi ratkaisu. Tällaisille järjestelmille tätä menetelmää erittäin kätevä, koska tiedämme etukäteen, että ratkaisu on olemassa (muuten tyypillisessä laskelmassa ei olisi esimerkkiä). Nuo. meidän on vain näytettävä, että useimpiin asioihin on ratkaisu nopea tapa. Toiseksi systeemimatriisideterminantin (eli $\Delta A$) laskennallinen arvo on hyödyllinen myöhemmin: kun ryhdymme ratkaisemaan annettua järjestelmää Cramer-menetelmällä tai käänteismatriisilla .

Kuitenkin määritelmän mukaan arvon laskentamenetelmä ei ole toivottava, jos järjestelmämatriisi $A$ on suorakaiteen muotoinen. Tässä tapauksessa on parempi käyttää toista menetelmää, jota käsitellään alla. Sitä paitsi, jos $\Delta A=0$, emme voi sanoa mitään ratkaisujen lukumäärästä tietylle epähomogeeniselle SLAE:lle. Ehkä SLAE:llä on ääretön määrä ratkaisuja tai ehkä ei yhtään. Jos $\Delta A = 0 $, tarvitaan lisätutkimusta, mikä on usein hankalaa.

Yhteenvetona sanotusta totean, että ensimmäinen menetelmä on hyvä niille SLAE:ille, joiden järjestelmämatriisi on neliö. Samanaikaisesti SLAE itsessään sisältää kolme tai neljä tuntematonta, ja se on otettu tavallisista standardilaskelmista tai ohjaustöistä.

Menetelmä numero 2. Arvon laskeminen alkeismuunnosmenetelmällä.

Tämä menetelmä on kuvattu yksityiskohtaisesti vastaavassa aiheessa. Laskemme matriisin $\widetilde(A)$ sijoituksen. Miksi matriisit $\widetilde(A)$ eikä $A$? Asia on siinä, että matriisi $A$ on osa matriisia $\widetilde(A)$, joten laskemalla matriisin $\widetilde(A)$ sijoituksen löydämme samanaikaisesti matriisin $A$ arvon. .

\begin(tasattu) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(vaihda ensimmäinen ja toinen rivi)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (taulukko) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(tasattu)

Olemme pelkistäneet matriisin $\widetilde(A)$ puolisuunnikkaan muotoon. Tuloksena olevan matriisin päädiagonaalilla $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ sisältää kolme nollasta poikkeavaa elementtiä: -1, 3 ja -7. Johtopäätös: matriisin $\widetilde(A)$ sijoitus on 3, ts. $\rank\widetilde(A)=3$. Tekemällä muunnoksia matriisin $\widetilde(A)$ elementeillä muunnosimme samanaikaisesti ennen riviä sijaitsevat matriisin $A$ elementit. Matriisi $A$ on myös puolisuunnikkaan muotoinen: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Johtopäätös: matriisin $A$ sijoitus on myös yhtä suuri kuin 3, ts. $\rank A=3$.

Koska $\rang A=\rang\widetilde(A)$, Kronecker-Capellin lauseen mukaan järjestelmä on johdonmukainen, ts. on ratkaisu. Ratkaisujen lukumäärän ilmoittamiseksi otamme huomioon, että SLAE sisältää 3 tuntematonta: $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Koska tuntemattomien lukumäärä on $n=3$, päätämme: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, joten Kronecker-Capelli-lauseen johdosta järjestelmä on määritelty, ts. on ainutlaatuinen ratkaisu.

Mitkä ovat toisen menetelmän edut? Suurin etu on sen monipuolisuus. Meille ei ole väliä, onko järjestelmän matriisi neliö vai ei. Lisäksi olemme itse asiassa suorittaneet Gaussin menetelmän muunnoksia eteenpäin. On vain pari askelta jäljellä, ja voimme saada ratkaisun tähän SLAE:hen. Rehellisesti sanottuna pidän toisesta tavasta enemmän kuin ensimmäisestä, mutta valinta on makuasia.

Vastaus: Annettu SLAE on johdonmukainen ja määritelty.

Esimerkki #2

Tutustu SLAE:hen $ \left\( \begin(tasattu) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(tasattu) \right.$ johdonmukaisuuden vuoksi.

Löydämme systeemimatriisin ja järjestelmän laajennetun matriisin rivit alkeismuunnosten menetelmällä. Laajennettu järjestelmämatriisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Etsitään tarvittavat rivit muuntamalla järjestelmän lisätty matriisi:

Järjestelmän laajennettu matriisi pelkistetään porrastettuun muotoon. Jos matriisi pelkistetään porrastettuun muotoon, sen sijoitus on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä. Siksi $\rank A=3$. Matriisi $A$ (viivaan asti) pelkistetään puolisuunnikkaan muotoon ja sen arvo on 2, $\rang A=2$.

Koska $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, niin Kronecker-Capellin lauseen mukaan järjestelmä on epäjohdonmukainen (eli sillä ei ole ratkaisuja).

Vastaus: Järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Esimerkki #3

Tutustu SLAE:hen $ \left\( \begin(tasattu) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(tasattu) \right.$ yhteensopivuuden vuoksi.

Laajennettu järjestelmämatriisi on: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array)\right)$. Vaihda tämän matriisin ensimmäinen ja toinen rivi niin, että ensimmäisen rivin ensimmäinen elementti on yksi: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Olemme pelkistäneet järjestelmän laajennetun matriisin ja itse järjestelmän matriisin puolisuunnikkaan muotoon. Järjestelmän laajennetun matriisin arvo on kolme, järjestelmän matriisin arvo on myös kolme. Koska järjestelmä sisältää $n=5$ tuntematonta, ts. $\rang\widetilde(A)=\rank A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли tämä järjestelmä on epämääräinen, ts. on ääretön määrä ratkaisuja.

Vastaus: järjestelmä on määrittelemätön.

Toisessa osassa analysoimme esimerkkejä, jotka usein sisältyvät tyypillisiin laskelmiin tai koepaperit korkeammassa matematiikassa: tutkimus SLAE:n yhteensopivuudesta ja ratkaisusta riippuen siihen sisältyvien parametrien arvoista.