Ensimmäisen aritmeettisen progression summa. Aritmeettinen progressio

Oppituntimme motto on venäläisen matemaatikon V.P. Ermakova: "Matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosesseja."

Tuntien aikana

Ongelman muotoilu

Taululla on Gaussin muotokuva. Opettaja tai oppilas, jolle annettiin tehtäväksi valmistella viesti etukäteen, kertoo, että Gaussin ollessa koulussa opettaja pyysi oppilaita lisäämään kaikki luonnolliset luvut yhdestä sataan. Pikku Gauss ratkaisi tämän ongelman minuutissa.

Kysymys . Miten Gauss sai vastauksen?

Ratkaisujen löytäminen

Oppilaat ilmaisevat oletuksensa ja tekevät sitten yhteenvedon: ymmärtävät, että summat ovat 1 + 100, 2 + 99 jne. ovat yhtä suuret, Gauss kerrottuna 101:llä 50:llä, eli tällaisten summien lukumäärällä. Toisin sanoen hän huomasi kuvion, joka on luontainen aritmeettiselle etenemiselle.

Summakaavan johtaminen n aritmeettisen progression ensimmäiset termit

Kirjoita oppiaiheen aihe taululle ja muistivihkoon. Oppilaat kirjoittavat yhdessä opettajan kanssa kaavan johtopäätöksen:

Antaa a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmeettinen progressio.

Ensisijainen konsolidointi

1. Ratkaisemme kaavan (1) avulla Gaussin ongelman:

2. Ratkaise tehtävät suullisesti kaavan (1) avulla (niiden ehdot kirjoitetaan taululle tai positiivinen koodi), ( a n) - aritmeettinen progressio:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Suorita tehtävä loppuun.

Annettu:( a n) - aritmeettinen progressio;

a 1 = 3, a 60 = 57.

löytö: S 60 .

Ratkaisu. Käytetään summakaavaa n aritmeettisen progression ensimmäiset termit

Vastaus: 1800.

Lisäkysymys. Kuinka monta erilaista ongelmaa voidaan ratkaista tällä kaavalla?

Vastaus. Neljän tyyppisiä tehtäviä:

Etsi summa S n;

Etsi aritmeettisen progression ensimmäinen termi a 1 ;

löytö n aritmeettisen progression termi a n;

Etsi aritmeettisen progression termien lukumäärä.

4. Suorita tehtävä: nro 369(b).

Etsi aritmeettisen etenemisen kuudenkymmenen ensimmäisen ehdon summa ( a n), Jos a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Ratkaisu.

Vastaus: 1230.

Lisäkysymys. Kirjoita kaava muistiin n aritmeettisen progression termi.

Vastaus: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Laske kaava aritmeettisen etenemisen yhdeksälle ensimmäiselle termille ( b n),
Jos b 1 = –17, d = 6.

Onko mahdollista laskea heti kaavan avulla?

Ei, koska yhdeksäs termi on tuntematon.

Kuinka löytää se?

Kaavan mukaan n aritmeettisen progression termi.

Ratkaisu. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Vastaus: 63.

Kysymys. Onko mahdollista löytää summa laskematta progression yhdeksättä termiä?

Ongelman muotoilu

Ongelma: saada summakaava n aritmeettisen progression ensimmäiset termit, tietäen sen ensimmäisen termin ja eron d.

(Opiskelijan johtaminen kaavan taululle.)

Ratkaistaan ​​nro 371(a) uudella kaavalla (2):

Perustetaan sanallisesti kaavat (2) ( tehtävien ehdot on kirjoitettu taululle).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Ota opiskelijoilta selvää, mitkä kysymykset ovat epäselviä.

Itsenäinen työ

Vaihtoehto 1

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Vaihtoehto 2

Annettu: (a n) - aritmeettinen progressio.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Oppilaat vaihtavat muistikirjoja ja tarkistavat toistensa ratkaisuja.

Tee yhteenveto materiaalin oppimisesta itsenäisen työn tulosten perusteella.

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkein (2019)

Numerosarja

Istutaan siis alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme niitä on). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen viimeiseen asti, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten th) on aina sama.
Lukua, jossa on numero, kutsutaan sekvenssin th termiksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tätä numerosarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius esitteli termin "eteneminen" jo 500-luvulla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä äärettömänä numeerisena sarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien suhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset tutkivat.

Tämä on numerosarja, jonka jokainen jäsen on sama kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi ja se on nimetty.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Verrataan vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen termin arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisen :nnen termin. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen etenemisen th termi on yhtä suuri kuin.

2. Menetelmä

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen kestäisi meiltä yli tunnin, eikä ole tosiasia, ettemme tekisi virheitä lukujen lisäämisessä.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso piirrettyä kuvaa tarkemmin... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mistä tämän aritmeettisen progression :nnen termin arvo koostuu:


Toisin sanoen:

Yritä itse löytää tietyn aritmeettisen progression jäsenen arvo tällä tavalla.

Laskitko? Vertaa muistiinpanojasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen etenemisen ehdot edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava- viedään hänet luokse yleinen muoto ja saamme:

Aritmeettinen progressio voi kasvaa tai laskea.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastetaan tämä käytännössä.
Saamme aritmeettisen progression, joka koostuu seuraavista luvuista: Tarkastetaan, mikä on tämän aritmeettisen progression numero, jos laskemme sen kaavallamme:

Siitä lähtien:

Näin ollen olemme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvavassa aritmeettisessa progressiossa.
Yritä löytää itse tämän aritmeettisen etenemisen th ja th termi.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​ongelmaa - johdamme aritmeettisen etenemisen ominaisuuden.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Ah, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, sitten lisäämme sen ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virhe.
Mieti nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja sitä yritämme nyt tuoda esiin.

Merkitään aritmeettisen progression vaadittu termi kuten, sen löytämisen kaava on meille tiedossa - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, Sitten:

• etenemisen edellinen termi on:
• etenemisen seuraava termi on:

Tehdään yhteenvetona etenemisen edellinen ja myöhemmät ehdot:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien ehtojen summa on kaksinkertainen arvo niiden välissä sijaitsevan etenemisen jäsen. Toisin sanoen, jos haluat löytää etenemistermin arvon tunnetuilla aikaisemmilla ja peräkkäisillä arvoilla, sinun on lisättävä ne ja jaettava arvolla.

Aivan oikein, meillä on sama numero. Varmistetaan materiaali. Laske etenemisen arvo itse, se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss - päätteli helposti...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, eräs opettaja, joka tarkastaa muiden luokkien opiskelijoiden työtä, kysyi luokassa seuraavan ongelman: "Laske kaikkien summa. luonnolliset luvut alkaen (muiden lähteiden mukaan aina) mukaan lukien." Kuvittele opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(tämä oli Karl Gauss) minuutti myöhemmin antoi oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen...

Nuori Carl Gauss huomasi tietyn kuvion, jonka sinäkin huomaat helposti.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -:nnestä termistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen etenemisen näiden termien summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos tehtävä edellyttää ehtojensa summan löytämistä, kuten Gauss etsi?

Kuvataanpa meille annettua kehitystä. Katso tarkasti korostettuja lukuja ja yritä suorittaa erilaisia ​​matemaattisia operaatioita niillä.


Oletko kokeillut sitä? Mitä huomasit? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Kerro nyt minulle, kuinka monta tällaista paria meille annetussa etenemisessä on yhteensä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaiset parit yhtä suuret, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemisen eron. Yritä korvata th termin kaava summakaavalla.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille esitettyyn ongelmaan: laske itse, mikä on th:stä alkavien lukujen summa ja th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss havaitsi, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö sinä päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen etenemisen ehtojen summan kaavan 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät täysimääräisesti aritmeettisen etenemisen ominaisuuksia.
Esimerkiksi kuvitella Muinainen Egypti ja sen ajan suurin rakennusprojekti - pyramidin rakentaminen... Kuvassa sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanotteko? Katso huolellisesti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos tiilet laitetaan pohjaan. Toivottavasti et laske, kun liikutat sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta etenemisestä?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä: .
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression termien lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laske lohkojen määrä kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen lukumäärään. Sain sen? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan seinän rakentamiseen tällä ehdolla.
Onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Koulutus

Tehtävät:

1. Masha on alkamassa kuntoon kesäksi. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha tekee kyykkyjä viikossa, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa?
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja tallennettaessa metsuri pinoaa ne siten, että jokaisessa yläkerroksessa on yksi tuki vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen perusta on hirsiä?

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen progression parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi tehdä kyykkyjä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettinen etenemisero.
   Parittomien lukujen määrä on puolet, mutta tarkistetaan tämä fakta käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression :nnen termin löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvataan käytettävissä olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muistakaamme ongelma pyramideista. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, niin kerroksia on yhteensä nippu, eli.
   Korvataan tiedot kaavaan:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Tehdään se yhteenveto

1. - numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se voi kasvaa tai laskea.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson th termi kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä on etenevien numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression ehtojen summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja ainutlaatuiseen numeroon. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin th termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja ero on). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme kaavaa toistuvaksi, jossa :nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällä kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Antaa esimerkiksi. Sitten:

No, onko nyt selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä, jonka lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Kumpi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon kätevämpää nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Mikä on ero? Tässä on mitä:

(Tästä syystä sitä kutsutaan erotukseksi, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten termien erotus).

Eli kaava:

Sitten sadas termi on yhtä suuri:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan loistava matemaatikko Karl Gauss 9-vuotiaana poikana laski tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on yhteensä? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien summa kaksinumeroisia lukuja, kerrannaisina.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava numero saadaan lisäämällä edelliseen numeroon. Siten luvut, joista olemme kiinnostuneita, muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisellä termillä ja erolla.

Tämän etenemisen th termin kaava:

Kuinka monta termiä on etenemisessä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä enemmän metrejä kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee yhteensä viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän kilometrejä kuin edellisenä päivänä. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hän tarvitsee matkustaakseen kilometrin? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkansa viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hinta kaupassa laskee saman verran joka vuosi. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski vuosittain, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
   .
   Vastaus:
2. Tässä se annetaan: , täytyy löytää.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus on.
   Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu polku th termin kaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu: . Löytö: .
   Se ei voisi olla yksinkertaisempaa:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Tämä on numerosarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen eteneminen voi olla kasvava () ja laskeva ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen termin löytämiseksi

kirjoitetaan kaavalla, jossa on etenevien numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla voit helposti löytää etenemisen termin, jos sen viereiset termit tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression termien summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(8\); \(yksitoista\); \(14\)... on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (saat edellisestä lisäämällä kolme):

Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan kasvaa.

Kuitenkin \(d\) voi myös olla negatiivinen numero. Esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.

Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.

Aritmeettinen etenemismerkintä

Edistyminen on merkitty pienellä latinalaiskirjaimella.

Progression muodostavia lukuja kutsutaan jäsenet(tai elementtejä).

Ne on merkitty samalla kirjaimella aritmeettisena progressiona, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.

Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen

Periaatteessa edellä esitetyt tiedot riittävät jo ratkaisemaan lähes kaikki aritmeettiset etenemisongelmat (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_5=23\)

Esimerkki (OGE). Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(-3\)

Esimerkki (OGE). Annettu aritmeettisen progression useita peräkkäisiä alkioita: \(…5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) tarkoitetun elementin arvo.
Ratkaisu:

Vastaus: \(7,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään seuraavilla ehdoilla: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_6=9\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Ratkaisu:

Vastaus: \(d=7\).

Tärkeitä aritmeettisen etenemisen kaavoja

Kuten näette, monet aritmeettisen etenemisen ongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju, ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen ( etenemisen ero).

Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa "päältä" päättäminen on erittäin hankalaa. Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Pitäisikö meidän lisätä neljä \(385\) kertaa? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Olet kyllästynyt laskemaan...

Siksi he eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise asioita "päässä", vaan käyttävät erikoiskaavoja, jotka on johdettu aritmeettiseen etenemiseen. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava \(n\) ensimmäisten termien summalle.

\(n\):nnen termin kaava: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen termi;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) – etenemisen termi numerolla \(n\).

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää jopa kolmen sadasosan tai miljoonannen elementin, kun tiedämme vain ensimmäisen ja etenemisen eron.

Esimerkki. Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(b_(246)=1850\).

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa

\(a_n\) – viimeinen summattu termi;

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(25)=1090\).

Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:

Kaava ensimmäisten n termien summalle: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), missä

\(S_n\) – vaadittu \(n\) ensimmäisen elementin summa;
\(a_1\) – ensimmäinen summattu termi;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) – elementtien lukumäärä yhteensä.

Esimerkki. Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(33)=-231\).

Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat

Nyt sinulla on kaikki tarvittavat tiedot lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)

Esimerkki (OGE). Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\):nnesta \(42\)-elementtiin.
Ratkaisu:

Vastaus: \(S=1683\).

Aritmeettiselle progressiolle on olemassa useita muita kaavoja, joita emme käsitelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.