Pyörivän kappaleen kineettisen energian yhtälö. Kineettinen energia pyörivän liikkeen aikana

« Fysiikka - 10 luokka"

Miksi luistelija venyy pyörimisakselia pitkin kasvattaakseen pyörimiskulmanopeutta?
Pitäisikö helikopterin pyöriä, kun sen roottori pyörii?

Kysymykset viittaavat siihen, että jos ulkoiset voimat eivät vaikuta kehoon tai niiden vaikutus kompensoituu ja yksi kehon osa alkaa pyöriä yhteen suuntaan, niin toisen osan tulee pyöriä toiseen suuntaan, aivan kuten silloin, kun polttoainetta suihkutetaan raketti, itse raketti liikkuu vastakkaiseen suuntaan.

Impulssin hetki.

Jos ajatellaan pyörivää kiekkoa, tulee ilmeiseksi, että kiekon kokonaisliikemäärä on nolla, koska mikä tahansa kappaleen hiukkanen vastaa hiukkasta, joka liikkuu samalla nopeudella, mutta vastakkaiseen suuntaan (kuva 6.9).

Mutta levy liikkuu, kaikkien hiukkasten pyörimiskulmanopeus on sama. On kuitenkin selvää, että mitä kauempana hiukkanen on pyörimisakselista, sitä suurempi on sen liikemäärä. Tästä syystä pyörivää liikettä varten on tarpeen ottaa käyttöön toinen impulssin kaltainen ominaisuus - kulmamomentti.

Ympyrässä liikkuvan hiukkasen liikemäärä on hiukkasen liikemäärän ja etäisyyden siitä pyörimisakseliin tulo (kuva 6.10):

Lineaariset ja kulmanopeudet liittyvät toisiinsa suhteella v = ωr, jolloin

Kiinteän esineen kaikki pisteet liikkuvat suhteessa kiinteään pyörimisakseliin samalla kulmanopeudella. Kiinteä kappale voidaan esittää materiaalipisteiden kokoelmana.

Momentum kiinteä yhtä suuri kuin hitausmomentin ja pyörimiskulmanopeuden tulo:

Kulmamomentti on vektorisuure, kaavan (6.3) mukaan kulmamomentti on suunnattu samalla tavalla kuin kulmanopeus.

Pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälö pulssimuodossa.

Kappaleen kulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin muutos kulmanopeudessa jaettuna ajanjaksolla, jonka aikana tämä muutos tapahtui: Korvaa tämä lauseke pyörivän liikkeen dynamiikan perusyhtälöön siten I(ω 2 - ω 1) = MΔt tai IΔω = MΔt.

Täten,

ΔL = MΔt. (6.4)

Kulmamomentin muutos on yhtä suuri kuin kehoon tai järjestelmään vaikuttavien voimien kokonaismomentin ja näiden voimien vaikutusajan tulo.

Liikemäärän säilymislaki:

Jos kiinteällä pyörimisakselilla olevaan kappaleeseen tai kappalejärjestelmään vaikuttavien voimien kokonaismomentti on nolla, niin myös liikemäärän muutos on nolla, eli järjestelmän kulmaliikemäärä pysyy vakiona.

ΔL = 0, L = vakio.

Järjestelmän liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin järjestelmään vaikuttavien voimien kokonaisliikemäärä.

Pyörivä luistelija levittää kätensä sivuille ja lisää siten hitausmomenttia pyörimiskulman pienentämiseksi.

Kulmamomentin säilymislaki voidaan osoittaa käyttämällä seuraavaa koetta, jota kutsutaan "Žukovski-penkkikokeeksi". Henkilö seisoo penkillä, jonka pystysuora pyörimisakseli kulkee sen keskustan läpi. Mies pitää käsipainoja käsissään. Jos penkki laitetaan pyörimään, henkilö voi muuttaa pyörimisnopeutta painamalla käsipainot rintaan tai laskemalla käsiä ja sitten nostamalla niitä. Levittämällä käsiään hän lisää hitausmomenttia ja pyörimiskulman nopeus pienenee (kuva 6.11, a), laskee käsiään, vähentää hitausmomenttia ja penkin pyörimiskulma kasvaa (Kuva 6.11, a). 6.11, b).

Ihminen voi myös saada penkin pyörimään kävelemällä sen reunaa pitkin. Tässä tapauksessa penkki pyörii vastakkaiseen suuntaan, koska kokonaiskulmamomentin tulisi pysyä nollassa.

Gyroskooppeiksi kutsuttujen laitteiden toimintaperiaate perustuu liikemäärän säilymislakiin. Gyroskoopin pääominaisuus on pyörimisakselin suunnan säilyminen, jos ulkoiset voimat eivät vaikuta tähän akseliin. 1800-luvulla Merimiehet käyttivät gyroskooppeja merellä suuntautumiseen.

Pyörivän jäykän kappaleen kineettinen energia.

Pyörivän kiinteän kappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin sen yksittäisten hiukkasten kineettisten energioiden summa. Jaetaan keho pieniin elementteihin, joista jokaista voidaan pitää aineellisena pisteenä. Tällöin kehon liike-energia on yhtä suuri kuin niiden materiaalipisteiden kineettisten energioiden summa, joista se koostuu:

Kehon kaikkien pisteiden pyörimiskulmanopeus on sama, joten

Suluissa oleva arvo, kuten jo tiedämme, on jäykän kappaleen hitausmomentti. Lopuksi kiinteän pyörimisakselin omaavan jäykän kappaleen kineettisen energian kaavalla on muoto

Jäykän kappaleen yleisessä liiketapauksessa, kun pyörimisakseli on vapaa, sen kineettinen energia on yhtä suuri kuin translaatio- ja pyörimisliikkeen energioiden summa. Siten pyörän, jonka massa on keskittynyt vanteeseen, liikkuvan tiellä vakionopeudella, liike-energia on yhtä suuri kuin

Taulukossa verrataan mekaniikan kaavoja liike eteenpäin aineellinen kohta vastaavilla kaavoilla jäykän kappaleen pyörimisliikkeelle.

Koska kiinteä runko on erikoistapaus ainepistejärjestelmän, silloin kappaleen liike-energia pyöriessään kiinteän akselin Z ympäri on yhtä suuri kuin sen kaikkien aineellisten pisteiden liike-energioiden summa, eli

Jäykän kappaleen kaikki aineelliset pisteet pyörivät tässä tapauksessa ympyröinä, joilla on säteet ja samat kulmanopeudet. Jäykän kappaleen jokaisen materiaalipisteen lineaarinen nopeus on yhtä suuri kuin . Kiinteän kappaleen liike-energia saa muodon

Tämän lausekkeen oikealla puolella oleva summa edustaa kohdan (4.4) mukaisesti tämän kappaleen hitausmomenttia suhteessa tiettyyn pyörimisakseliin. Siksi kiinteään akseliin nähden pyörivän jäykän kappaleen kineettisen energian laskentakaava saa lopullisen muotonsa:

. (4.21)

Tässä on otettu huomioon se

Jäykän kappaleen kineettisen energian laskeminen mielivaltaisen liikkeen tapauksessa tulee paljon monimutkaisemmaksi. Tarkastellaan tasoliikettä, kun kappaleen kaikkien aineellisten pisteiden liikeradat ovat yhdensuuntaisissa tasoissa. Jäykän kappaleen jokaisen materiaalipisteen nopeus (1.44) voidaan esittää muodossa

missä hetkelliseksi pyörimisakseliksi valitaan kappaleen hitauskeskipisteen kautta kulkeva akseli, joka on kohtisuorassa minkä tahansa kappaleen pisteen liikeradan tasoon nähden. Tässä tapauksessa viimeisessä lausekkeessa se edustaa kappaleen hitauskeskipisteen nopeutta, ympyröiden säteitä, joita pitkin kappaleen pisteet pyörivät kulmanopeudella sen hitauskeskuksen kautta kulkevan akselin ympäri. Koska tällaisella liikkeellä ^, yhtä suuri vektori on pisteen liikeradan tasossa.

Edellä olevan perusteella kappaleen liike-energia sen tasoliikkeen aikana on yhtä suuri kuin

Neliöimällä suluissa olevan lausekkeen ja ottamalla vakiomäärät kehon kaikkien pisteiden osalta ulos summamerkistä saadaan

Tässä otetaan huomioon, että ^.

Tarkastellaan jokaista viimeisen lausekkeen oikealla puolella olevaa termiä erikseen. Ensimmäinen termi on ilmeisen tasa-arvon perusteella yhtä suuri

Toinen termi on yhtä suuri kuin nolla, koska summa määrittää hitauskeskipisteen (3.5) sädevektorin, joka tässä tapauksessa on pyörimisakselilla. Kun otetaan huomioon (4.4), viimeinen termi on muotoa . Nyt lopuksi kineettinen energia jäykän kappaleen mielivaltaisen mutta tasoliikkeen aikana voidaan esittää kahden termin summana:

, (4.23)

jossa ensimmäinen termi edustaa materiaalipisteen kineettistä energiaa, jolla on massa, yhtä suuri massa kehon ja liikkumisen nopeudella, jolla kehon massakeskus on;

toinen termi edustaa sen inertiakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri pyörivän (nopeudella liikkuvan) kappaleen kineettistä energiaa.

Johtopäätökset: Joten jäykän kappaleen kineettinen energia sen pyöriessä kiinteän akselin ympäri voidaan laskea käyttämällä yhtä relaatioista (4.21) ja tasoliikkeen tapauksessa käyttämällä (4.23).

Kontrollikysymykset.

4.4 Missä tapauksissa (4.23) muuttuu muotoon (4.21)?

4.5. Miltä kappaleen liike-energian kaava näyttää, kun se liikkuu tasossa, jos hetkellinen pyörimisakseli ei kulje hitauskeskuksen läpi? Mitä kaavaan sisältyvien määrien merkitys on?

4.6. Näytä se työ sisäisiä voimia kun jäykkä kappale pyörii, se on nolla.

Pyörivän kappaleen kineettisen energian lauseke, jossa otetaan huomioon, että kappaleen muodostavan mielivaltaisen materiaalipisteen lineaarinopeus suhteessa pyörimisakseliin on yhtä suuri, on muotoa

missä on kappaleen hitausmomentti suhteessa valittuun pyörimisakseliin, sen kulmanopeus suhteessa tähän akseliin ja kappaleen kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin.

Jos kappaleessa tapahtuu translaatiokiertoliikettä, niin kineettisen energian laskenta riippuu napavalinnasta, jonka suhteen kehon liikettä kuvataan. Lopputulos on sama. Joten jos pyöreälle kappaleelle, joka vierii nopeudella v luistamatta säteellä R ja hitauskertoimella k, napa otetaan sen CM:stä pisteessä C, niin sen hitausmomentti on , ja pyörimiskulmanopeus akselin ympäri C on. Silloin kehon liike-energia on .

Jos napa otetaan kappaleen ja sen pinnan kosketuspisteestä O, jonka läpi kappaleen hetkellinen pyörimisakseli kulkee, niin sen hitausmomentti suhteessa akseliin O tulee yhtä suureksi. . Tällöin kappaleen kineettinen energia, kun otetaan huomioon, että kappaleen pyörimiskulmanopeudet ovat samat suhteessa yhdensuuntaisiin akseleihin ja kappale suorittaa puhdasta kiertoa O-akselin ympäri, on yhtä suuri kuin . Tulos on sama.

Monimutkaista liikettä suorittavan kappaleen kineettistä energiaa koskevalla lauseella on sama muoto kuin sen translaatioliikkeellä: .

Esimerkki 1. Kappale, jonka massa on m, on kiinnitetty langan päähän, joka on kierretty säteen R ja massa M ympärille. Vartalo nostetaan korkeuteen h ja vapautetaan (kuva 65). Kierteen joustamattoman nykimisen jälkeen runko ja lohko alkavat välittömästi liikkua yhdessä. Kuinka paljon lämpöä vapautuu nykimisen aikana? Mikä on rungon kiihtyvyys ja langan kireys nykimisen jälkeen? Mikä on kappaleen nopeus ja sen kulkema matka langan nykimisen jälkeen ajan t jälkeen?

Annettu: M, R, m, h, g, t. löytö: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Ratkaisu: Rungon nopeus ennen langan nykimistä. Kierteen nykimisen jälkeen kappale ja kappale siirtyvät pyörivään liikkeeseen suhteessa lohkoakseliin O ja käyttäytyvät kuin kappaleet, joiden hitausmomentit suhteessa tähän akseliin ovat ja . Niiden kokonaishitausmomentti pyörimisakselin suhteen.

Langan nykiminen on nopea prosessi ja nykimisen aikana tapahtuu lohko-runko -järjestelmän kulmamomentin säilymislaki, joka johtuu siitä, että runko ja lohko välittömästi nykäyksen jälkeen alkavat liikkua yhdessä, on muotoa : . Mistä kappaleen alkuperäinen pyörimiskulma tulee? , ja kappaleen lineaarinen alkunopeus .

Järjestelmän liike-energia, joka johtuu sen kulmamomentin säilymisestä välittömästi kierteen nykimisen jälkeen, on yhtä suuri kuin . Nykimisen aikana vapautuva lämpö energian säilymisen lain mukaan

Järjestelmän kappaleiden dynaamiset liikeyhtälöt langan nykimisen jälkeen eivät riipu niiden alkunopeudesta. Lohkolle sillä on muoto tai, ja keholle. Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan . Mistä kehon liikkeen kiihtyvyys tulee? Langan jännitys

Kehon liikkeen kinemaattisilla yhtälöillä nykäyksen jälkeen on muoto , jossa kaikki parametrit tunnetaan.

Vastaus: . .

Esimerkki 2. Kaksi pyöreää kappaletta, joissa inertiakertoimet (ontto sylinteri) ja (pallo) sijaitsevat kaltevan tason pohjalla, jossa on kaltevuuskulma α raportoi samasta alkunopeudet, suunnattu ylöspäin kaltevaa tasoa pitkin. Mihin korkeuteen ja missä ajassa ruumiit nousevat tälle korkeudelle? Mitkä ovat nousevien kappaleiden kiihtyvyydet? Kuinka monta kertaa kappaleiden nousun korkeudet, ajat ja kiihtyvyydet eroavat toisistaan? Kehot liikkuvat kaltevaa tasoa pitkin liukumatta.

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Kehoon vaikuttaa: painovoima m g, kalteva tasoreaktio N, ja kytkimen kitkavoima (kuva 67). Normaalin reaktio- ja adheesion kitkavoiman työ (ei luista eikä vapaudu lämpöä rungon ja tason tarttumispisteessä.) ovat nolla: , joten kappaleiden liikkeen kuvaamiseen on mahdollista käyttää energian säilymisen lakia: . Missä .

Löydämme kappaleiden liikkeen ajat ja kiihtyvyydet kinemaattisista yhtälöistä . Missä , . Nostokappaleiden korkeuksien, aikojen ja kiihtyvyyksien suhde:

Vastaus: , , , .

Esimerkki 3. Nopeudella lentävä massaluoti osuu M ja säde R:n pallon keskelle, joka on kiinnitetty massaltaan m ja pituudeltaan l olevan sauvan päähän ja joka on ripustettu pisteeseen O toisesta päästään, ja lentää siitä ulos. nopeudella (kuva 68). Selvitä sauva-pallojärjestelmän pyörimiskulmanopeus välittömästi iskun jälkeen ja tangon taipumakulma luodin törmäyksen jälkeen.

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Tangon ja pallon hitausmomentit suhteessa sauvan ripustuspisteeseen O Steinerin lauseen mukaisesti: ja . Tanko-pallojärjestelmän kokonaishitausmomentti . Luodin isku on nopea prosessi, ja luoti-tanko-pallo -järjestelmän kulman liikemäärän säilymislaki toteutuu (törmäyksen jälkeen kappaleet alkavat pyöriä): . Mistä sauva-pallojärjestelmän liikkeen kulmanopeus välittömästi törmäyksen jälkeen tulee?

Tankopallojärjestelmän CM:n sijainti suhteessa ripustuspisteeseen O: . Järjestelmän CM:n energian säilymislaki törmäyksen jälkeen, kun otetaan huomioon järjestelmän kulmamomentin säilymislaki törmäyksessä, on muotoa . Mistä järjestelmän CM:n korkeus nousee törmäyksen jälkeen? . Tangon taipumakulma iskun jälkeen määräytyy olosuhteiden mukaan .

Vastaus: , , .

Esimerkki 4. Lohko puristetaan voimalla N pyöreään kappaleeseen, jonka massa on m ja säde R ja jonka hitauskerroin on k ja joka pyörii kulmanopeudella . Kuinka kauan kestää, että sylinteri pysähtyy ja kuinka paljon lämpöä vapautuu, kun tyyny hankaa sylinteriä tänä aikana? Lohkon ja sylinterin välinen kitkakerroin on .

Annettu: löytö:

Ratkaisu: Kitkavoiman tekemä työ ennen kehon pysähtymistä liike-energian lauseen mukaan on yhtä suuri kuin . Lämpöä vapautuu pyörimisen aikana .

Kappaleen pyörimisliikkeen yhtälöllä on muoto . Mistä sen hitaan pyörimisen kulmakiihtyvyys tulee? . Aika, joka kuluu kehon pyörimiseen, kunnes se pysähtyy.

Vastaus: , .

Esimerkki 5. Pyöreä runko massa m ja säde R inertiakertoimella k kehrätään kulmanopeuteen vastapäivään ja asetetaan vaakasuoralle pinnalle pystysuoran seinän viereen (kuva 70). Kuinka kauan kestää, että keho pysähtyy ja kuinka monta kierrosta se tekee ennen pysähtymistä? Kuinka paljon lämpöä vapautuu, kun keho hankaa pintaa tänä aikana? Rungon pinnan kitkakerroin on yhtä suuri kuin .

Annettu: . löytö:

Ratkaisu: Kappaleen pyörimisen aikana sen pysähtymiseen vapautuva lämpö on yhtä suuri kuin kitkavoimien työ, joka voidaan löytää kappaleen liike-energian lauseella. Meillä on.

Vaakatason reaktio. Vaaka- ja pystypinnasta kehoon vaikuttavat kitkavoimat ovat yhtä suuret: ja . Näiden kahden yhtälön järjestelmästä saadaan ja .

Kun nämä suhteet otetaan huomioon, kappaleen pyörimisliikkeen yhtälö on muotoa (. Mistä kappaleen pyörimiskulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin. Sitten kappaleen pyörimisaika ennen sen pysähtymistä ja sen kierrosten lukumäärä tekee.

Vastaus: , , , .

Esimerkki 6. Pyöreä kappale, jonka hitauskerroin on k, rullaa liukumatta vaakasuoralla pinnalla olevan puolipallon, jonka säde on R, huipulta (kuva 71). Millä korkeudella ja millä nopeudella se irtoaa pallonpuoliskosta ja millä nopeudella se putoaa vaakasuoralle pinnalle?

Annettu: k, g, R. löytö:

Ratkaisu: Voimat vaikuttavat kehoon . Työ ja 0, (puolipallon ja pallon tarttumispisteessä ei ole luisumista eikä lämpöä vapaudu), joten kappaleen liikkeen kuvaamiseen voidaan käyttää energian säilymisen lakia. Newtonin toinen laki kappaleen CM:lle siinä kohdassa, jossa se eroaa pallonpuoliskosta, ottaen huomioon, että tässä kohdassa on muoto , josta . Kappaleen alkupisteen ja erotuspisteen energian säilymislaki on muotoa . Kun kehon korkeus ja irtautumisnopeus puolipallosta ovat yhtä suuret, .

Kun keho on erotettu pallonpuoliskosta, vain sen translaatiokineettinen energia muuttuu, joten energian säilymislaki kappaleen irtoamis- ja putoamispisteille on muotoa . Minne, ottaen huomioon, pääsemme . Kappaleelle, joka liukuu puolipallon pintaa pitkin ilman kitkaa, k=0 ja , , .

Vastaus: , , .

Määritetään kiinteän akselin ympäri pyörivän jäykän kappaleen kineettinen energia. Jaetaan tämä kappale n materiaalipisteeseen. Jokainen piste liikkuu mukana lineaarinen nopeusυ i =ωr i , sitten pisteen liike-energia

tai

Pyörivän jäykän kappaleen kineettinen kokonaisenergia on yhtä suuri kuin sen kaikkien materiaalipisteiden liike-energioiden summa:

(3.22)

(J on kappaleen hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin)

Jos kaikkien pisteiden liikeradat ovat yhdensuuntaisissa tasoissa (kuten sylinteri vierii alas kaltevaa tasoa, jokainen piste liikkuu omassa tasossaan), tämä tasainen liike. Eulerin periaatteen mukaan tasoliike voidaan aina jakaa translaatio- ja pyöriväksi liikkeeksi lukemattomilla tavoilla. Jos pallo putoaa tai liukuu kaltevaa tasoa pitkin, se liikkuu vain translaatiosuuntaisesti; kun pallo pyörii, se myös pyörii.

Jos kappale suorittaa translaatio- ja pyörimisliikettä samanaikaisesti, niin sen kokonaiskineettinen energia on yhtä suuri kuin

(3.23)

Translaatio- ja pyörimisliikkeiden kineettisen energian kaavojen vertailusta on selvää, että inertian mitta pyörivän liikkeen aikana on kappaleen hitausmomentti.

§ 3.6 Ulkoisten voimien työ jäykän kappaleen pyöriessä

Kun jäykkä kappale pyörii, sen potentiaalienergia ei muutu, joten ulkoisten voimien perustyö on yhtä suuri kuin kehon liike-energian lisäys:

dA = dE tai

Kun otetaan huomioon, että Jβ = M, ωdr = dφ, meillä on kappaleen α äärellisessä kulmassa φ on yhtä kuin

(3.25)

Kun jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, ulkoisten voimien työ määräytyy näiden voimien momentin vaikutuksesta tähän akseliin nähden. Jos voimien momentti suhteessa akseliin on nolla, nämä voimat eivät tuota työtä.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 2.1. Vauhtipyörän massam= 5kg ja säder= 0,2 m pyörii vaaka-akselin ympäri taajuudellaν 0 =720 min -1 ja jarrutettaessa se pysähtyy taakset= 20 s. Selvitä jarrutusmomentti ja kierrosten lukumäärä ennen pysähtymistä.

Jarrutusmomentin määrittämiseksi käytämme pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälöä

missä I=mr 2 – levyn hitausmomentti; Δω =ω - ω 0, ja ω =0 on lopullinen kulmanopeus, ω 0 =2πν 0 on alkunopeus. M on levyyn vaikuttavien voimien jarrutusmomentti.

Kun tiedät kaikki määrät, voit määrittää jarrutusmomentin

herra 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Pyörimisliikkeen kinematiikasta pyörimiskulma kiekon pyörimisen aikana ennen pysähtymistä voidaan määrittää kaavalla

(3)

missä β on kulmakiihtyvyys.

Tehtävän ehtojen mukaan: ω =ω 0 – βΔt, koska ω=0, ω 0 = βΔt

Sitten lauseke (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki 2.2. Kaksi vauhtipyörää levyjen muodossa, joiden säteet ja massat ovat samat, pyöritettiin pyörimisnopeuteenn= 480 rpm ja jätetään omiin käsiin. Laakereihin kohdistuvien akselien kitkavoimien vaikutuksesta ensimmäinen pysähtyit=80 s, ja toinen tekiN= 240 rpm pysäytys. Kummalla vauhtipyörällä oli suurempi kitkamomentti akselien ja laakerien välillä ja kuinka monta kertaa?

Löydämme ensimmäisen vauhtipyörän piikkien M 1 voimien momentin käyttämällä pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälöä

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

missä Δt on kitkavoiman momentin vaikutusaika, I=mr 2 on vauhtipyörän hitausmomentti, ω 1 = 2πν ja ω 2 = 0 – vauhtipyörien alku- ja loppukulmanopeudet

Sitten

Toisen vauhtipyörän kitkavoimien momentti M 2 ilmaistaan kitkavoimien työn A ja sen liike-energian muutoksen ΔE k välisen yhteyden kautta:

missä Δφ = 2πN on pyörimiskulma, N on vauhtipyörän kierrosten lukumäärä.

Mistä sitten

NOIN suhde on sama

Toisen vauhtipyörän kitkamomentti on 1,33 kertaa suurempi.

Esimerkki 2.3. Homogeenisen kiinteän kiekon massa m, kuormien massa m 1 ja m 2 (Kuva 15). Sylinterin akselilla ei ole luistamista tai kitkaa. Selvitä kuormien kiihtyvyys ja kierteiden kireyssuhdeliikkeen prosessissa.

Kierre ei luista, joten kun m 1 ja m 2 tekevät translaatioliikettä, sylinteri pyörii pisteen O läpi kulkevan akselin ympäri. Oletetaan varmuuden vuoksi, että m 2 > m 1.

Sitten kuorma m 2 lasketaan ja sylinteri pyörii myötäpäivään. Kirjataan muistiin järjestelmään kuuluvien kappaleiden liikeyhtälöt

Kaksi ensimmäistä yhtälöä on kirjoitettu kappaleille, joiden massat ovat m 1 ja m 2 ja joissa tapahtuu translaatioliikettä, ja kolmas yhtälö on kirjoitettu pyörivälle sylinterille. Kolmannessa yhtälössä vasemmalla on sylinteriin vaikuttavien voimien kokonaismomentti (voimamomentti T 1 otetaan miinusmerkillä, koska voima T 1 pyrkii pyörittämään sylinteriä vastapäivään). Oikealla I on sylinterin hitausmomentti suhteessa O-akseliin, joka on yhtä suuri kuin

jossa R on sylinterin säde; β on sylinterin kulmakiihtyvyys.

Koska lanka ei lipsu, niin
. Kun otetaan huomioon I:n ja β:n lausekkeet, saadaan:

Lisäämällä järjestelmän yhtälöt saadaan yhtälö

Täältä löydämme kiihtyvyyden a rahti

Tuloksena olevasta yhtälöstä on selvää, että kierteiden kireydet ovat samat, ts. =1, jos sylinterin massa on paljon pienempi kuin kuormien massa.

Esimerkki 2.4. Onton pallon, jonka massa on m = 0,5 kg, ulkosäde R = 0,08 m ja sisäsäde r = 0,06 m. Pallo pyörii sen keskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri. Tietyllä hetkellä palloon alkaa vaikuttaa voima, jonka seurauksena pallon pyörimiskulma muuttuu lain mukaan
. Määritä kohdistetun voiman momentti.

Ratkaisemme ongelman käyttämällä pyörivän liikkeen dynamiikan perusyhtälöä
. Suurin vaikeus on määrittää onton pallon hitausmomentti, ja löydämme kulmakiihtyvyyden β
. Onton pallon hitausmomentti I on yhtä suuri kuin säteisen R pallon hitausmomentin ja säteisen r pallon hitausmomenttien välinen ero:

missä ρ on pallon materiaalin tiheys. Tiheyden löytäminen tietämällä onton pallon massa

Tästä määritämme pallon materiaalin tiheyden

Voiman momentille M saadaan seuraava lauseke:

Esimerkki 2.5. Ohut sauva, jonka massa on 300 g ja pituus 50 cm, pyörii kulmanopeudella 10 s -1 vaakatasossa tangon keskiosan läpi kulkevan pystyakselin ympärillä. Laske kulmanopeus, jos sauva liikkuu samalla tasolla pyöriessä niin, että pyörimisakseli kulkee tangon pään läpi.

Käytämme liikemäärän säilymislakia

(1)

(J i on tangon hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin).

Eristetylle kappalejärjestelmälle liikemäärän vektorisumma pysyy vakiona. Koska tangon massan jakauma suhteessa pyörimisakseliin muuttuu, myös tangon hitausmomentti muuttuu kohdan (1) mukaisesti:

J 0ω 1 = J 2ω 2. (2)

Tiedetään, että tangon hitausmomentti suhteessa massakeskipisteen läpi kulkevaan akseliin, joka on kohtisuorassa sauvaan nähden, on

J 0 = mℓ 2/12. (3)

Steinerin lauseen mukaan

J = J 0 + m A 2

(J on tangon hitausmomentti mielivaltaiseen pyörimisakseliin nähden; J 0 on hitausmomentti suhteessa massakeskipisteen läpi kulkevaan yhdensuuntaiseen akseliin; A- etäisyys massakeskipisteestä valittuun pyörimisakseliin).

Etsitään hitausmomentti sen pään läpi kulkevan akselin ympäri, joka on kohtisuorassa sauvaan nähden:

J2 = J 0 +m A 2, J2 = mℓ2/12 +m(l/2) 2 = mℓ2/3. (4)

Korvataan kaavat (3) ja (4) kaavaksi (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 = 10s-1/4 = 2,5s -1

Esimerkki 2.6 . Massa miesm=60kg, seisoo lavan reunalla, massa M=120kg, pyörii hitaudella kiinteän pystyakselin ympäri taajuudella ν 1 = 12 min -1 , siirtyy sen keskelle. Kun katsotaan, että alusta on pyöreä homogeeninen kiekko ja ihminen pistemassana, määritä millä taajuudella ν 2 alusta pyörii sitten.

Annettu: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Löytö:ν 1

Ratkaisu: Ongelman ehtojen mukaan taso, jossa on henkilö, pyörii inertialla, ts. kaikkien pyörivään järjestelmään kohdistettujen voimien tuloksena oleva momentti on nolla. Siksi "alusta-ihminen" -järjestelmässä kulmamomentin säilymislaki täyttyy

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Missä
- järjestelmän hitausmomentti, kun henkilö seisoo laiturin reunalla (ottaa huomioon, että lavan hitausmomentti on yhtä suuri kuin (R – säde n
lava), henkilön hitausmomentti lavan reunalla on mR 2).

- järjestelmän hitausmomentti, kun henkilö seisoo lavan keskellä (ottaa huomioon, että lavan keskellä seisovan henkilön momentti on nolla). Kulmanopeus ω 1 = 2π ν 1 ja ω 1 = 2π ν 2.

Korvaamalla kirjoitetut lausekkeet kaavaan (1) saadaan

mistä haluttu pyörimisnopeus tulee?

Vastaus: v 2 = 24 min -1.

Pyörimisliikkeen tärkeimmät dynaamiset ominaisuudet - kulmamomentti suhteessa pyörimisakseliin z:

ja kineettistä energiaa

Yleensä energia pyörimisen aikana kulmanopeudella löydetään kaavasta:

, missä on inertiatensori.

Termodynamiikassa

Täsmälleen samoilla perusteilla kuin translaation liikkeen tapauksessa, tasajako tarkoittaa, että lämpötasapainossa keskiarvo pyörimisenergiaa jokainen monoatomisen kaasun hiukkanen: (3/2)k B T. Vastaavasti ekvipartitiolauseen avulla voimme laskea molekyylien neliökulmanopeuden keskiarvon.

Katso myös

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mitä "kiertoliikkeen energia" on muissa sanakirjoissa:

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Energia (merkityksiä). Energia, ulottuvuus... Wikipedia

LIIKKEET- LIIKKEET. Sisältö: Geometria D.............452 Kinematiikka D.................456 Dynamiikka D. . ..................461 Moottorimekanismit................465 Menetelmät ihmisen liikkeen tutkimiseen......471 Ihmisen D:n patologia............. 474… … Suuri lääketieteellinen tietosanakirja

Kineettistä energiaa mekaaninen järjestelmä, riippuen sen pisteiden liikenopeudesta. Translaatio- ja pyörimisliikkeen kineettinen energia vapautuu usein. Tarkemmin sanottuna kineettinen energia on ero kokonaisen... ... Wikipedian välillä

α-peptidin lämpöliike. Peptidin muodostavien atomien monimutkainen vapina liike on satunnaista, ja yksittäisen atomin energia vaihtelee suuresti, mutta ekvipartitiolain avulla se lasketaan kunkin ... ... Wikipedia

- (ranskalaiset marées, saksalaiset Gezeiten, englantilaiset vuorovedet) jaksolliset värähtelyt veden taso kuun ja auringon vetovoiman vuoksi. Yleistä tietoa. P. näkyy parhaiten valtamerten rannoilla. Välittömästi laskuveden jälkeen merenpinta alkaa... ... tietosanakirja F. Brockhaus ja I.A. Efron

Kylmäalus Ivory Tirupati alkuperäinen vakaus on negatiivinen Vakauskyky ... Wikipedia

Kylmäalus Ivory Tirupati -alkuvakaus on negatiivinen Vakaus kelluvan aluksen kyky kestää ulkoiset voimat, jolloin se rullaa tai trimmautuu ja palaa tasapainotilaan häiriön lopussa... ... Wikipedia