Laske kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala verkossa. Viivojen y=f(x), x=g(y) rajoittaman kuvion alueen löytäminen

Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvan alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäisen kerran törmätään tällaisen ongelman muotoiluun lukiossa, kun on juuri saatu päätökseen määrällisten integraalien tutkimus ja on aika aloittaa hankitun tiedon geometrinen tulkinta käytännössä.

Joten mitä tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelman hahmon alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

Kyky tehdä päteviä piirustuksia;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Mahdollisuus "nähdä" kannattavampi ratkaisuvaihtoehto - ts. ymmärrätkö, kuinka integrointi on helpompaa toteuttaa yhdessä tai toisessa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä me olisimme ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustusta. On suositeltavaa tehdä tämä ruudulliselle paperille suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme tämän funktion nimen kynällä jokaisen kaavion yläpuolella. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan kaavion halutusta kuviosta, useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integroinnin rajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integroinnin rajoja ei ole erikseen määritelty, niin etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan, onko graafinen ratkaisumme yhteneväinen analyyttisen ratkaisun kanssa.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, miten funktiokaaviot on järjestetty, niitä on erilaisia lähestymistapoja löytääksesi hahmon alueen. Harkitsemme erilaisia esimerkkejä hahmon alueen löytämiseen integraalien avulla.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva puolisuunnikas? Tämä litteä figuuri, rajoittaa x-akseli (y = 0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Lisäksi tämä luku ei ole negatiivinen eikä sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali, joka lasketaan Newton-Leibnizin kaavalla:

Esimerkki 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Millä viivoilla kuva on rajattu? Meillä on paraabeli y = x2 – 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikilla tämän paraabelin pisteillä on positiiviset arvot. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 Ja x = 3, jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat vasemmalla ja oikealla olevan kuvan rajaviivat. Hyvin y = 0, se on myös x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevasta kuvasta. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 tarkastelimme tapausta, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Harkitsemme, kuinka ratkaista tällainen ongelma alla.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y = x2 + 6x + 2, joka on peräisin akselilta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 Ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisen ongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja on myös jatkuva välillä [-4; -1] . Mitä tarkoitat ei positiivisella? Kuten kuvasta näkyy, annettujen x:ien sisällä olevalla luvulla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän tulee nähdä ja muistaa ongelmaa ratkaiseessa. Haemme kuvion pinta-alaa Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.

Ongelma 1(kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemisesta).

Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä xOy on annettu kuva (katso kuva), jota rajoittaa x-akseli, suorat x = a, x = b (a kaarevalla puolisuunnikkaalla. On laskettava kaarevan linjan pinta-ala puolisuunnikkaan muotoinen.
Ratkaisu. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, segmentin) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen arvon vaaditusta alueesta, päättely seuraavasti.

Jaetaan segmentti [a; b] (kaarevan puolisuunnikkaan kanta) kohdassa n yhtä suuret osat; tämä osio suoritetaan käyttämällä pisteitä x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Piirretään näiden pisteiden läpi suorat y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.

Tarkastellaan k:nnettä saraketta erikseen, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, missä $\Delta x_k $ on janan pituus; On luonnollista pitää tuloksena saatua tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona.

Jos nyt teemme samoin kaikkien muiden sarakkeiden kanssa, tulemme seuraavaan tulokseen: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Tässä oletetaan merkinnän yhtenäisyyden vuoksi, että a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - segmentin pituus, $\Delta x_1 $ - segmentin pituus jne.; tässä tapauksessa, kuten yllä sovimme, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Joten $S \noin S_n $, ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan uskotaan, että kaarevan puolisuunnikkaan vaadittu pinta-ala on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Ongelma 2(pisteen siirtämisestä)
Liikkuu suorassa linjassa aineellinen kohta. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan kaavalla v = v(t). Etsi pisteen liike tietyn ajanjakson aikana [a; b].
Ratkaisu. Jos liike olisi tasaista, ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen ongelman ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan ajanjaksoa ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, sama kuin hetkellä t k. Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsitään pisteen liikkeen likimääräinen arvo tietyn ajanjakson aikana; merkitsemme tätä likimääräistä arvoa s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
$s \noin S_n $ missä
$S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehdään yhteenveto. Ratkaisut erilaisia tehtäviä pelkistetty samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Siis tämä matemaattinen malli pitää erityisesti tutkia.

Määrätyn integraalin käsite

Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmeen tarkasteltuun tehtävään funktiolle y = f(x), jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) välillä [a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) muodosta summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tiedän matemaattinen analyysi on todistettu, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. Häntä kutsutaan funktion y = f(x) tietty integraali janan [a; b] ja merkitty seuraavasti:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).

Palataanpa edellä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tässä S on yllä olevassa kuvassa näkyvän kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on määrätyn integraalin geometrinen merkitys.

Tehtävässä 2 annettu määritelmä pisteen siirtymälle s, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) ajanjaksolla t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Newton-Leibnizin kaava

Ensin vastataan kysymykseen: mikä yhteys on määrätyn integraalin ja antiderivaatin välillä?

Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta suorassa nopeudella v = v(t) liikkuvan pisteen siirtymä s ajanjaksolla t = a - t = b lasketaan kaava
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); tämä tarkoittaa, että siirtymä s ilmaistaan kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.

Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva välillä [a; b], niin kaava on voimassa
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

Annettua kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) ja saksalaisen filosofin Gottfried Leibnizin (1646-1716) kunniaksi, jotka saivat sen toisistaan riippumatta ja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää $\left. F(x)\right|_a^b $ (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vasen. F(x)\oikea|_a^b $

Kun lasketaan määrättyä integraalia, etsi ensin antiderivaata ja suorita sitten kaksoissubstituutio.

Newton-Leibnizin kaavan perusteella voimme saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.

Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös litteät kuviot. monimutkainen tyyppi, esimerkiksi kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) ja janalla [a; b] epäyhtälö $g(x) \leq f(x) $ pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Joten kuvion pinta-ala S, jota rajoittavat suorat viivat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jotka ovat jatkuvat janalla ja siten, että millä tahansa janan x:llä [a; b] epäyhtälö $g(x) \leq f(x) $ täyttyy, laskettuna kaavalla
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) ) x +C $$

Joten mitä tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelman hahmon alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

Kyky tehdä päteviä piirustuksia;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Mahdollisuus "nähdä" kannattavampi ratkaisuvaihtoehto - ts. ymmärrätkö, kuinka integrointi on helpompaa toteuttaa yhdessä tai toisessa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä me olisimme ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Sen mukaan, miten funktiokaaviot on järjestetty, on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Katsotaanpa erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraalien avulla.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva puolisuunnikas? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y = 0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Lisäksi tämä luku ei ole negatiivinen eikä sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali, joka lasketaan Newton-Leibnizin kaavalla:

Esimerkki 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Millä viivoilla kuva on rajattu? Meillä on paraabeli y = x2 – 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska tämän paraabelin kaikilla pisteillä on positiiviset arvot. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 Ja x = 3, jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat vasemmalla ja oikealla olevan kuvan rajaviivat. Hyvin y = 0, se on myös x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevasta kuvasta. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Artikkeli ei ole valmis.

Edellisessä jäsennysosassa geometrinen merkitys selvä integraali, saimme joukon kaavoja kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-negatiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-positiiviselle funktiolle y = f (x) välillä [ a ; b ] .

Näitä kaavoja voidaan soveltaa ratkaisemaan yksinkertaisia tehtäviä. Todellisuudessa joudumme usein työskentelemään monimutkaisempien lukujen kanssa. Tältä osin omistamme tämän osan algoritmien analyysille sellaisten kuvioiden alueen laskemiseksi, joita funktiot rajoittavat eksplisiittisessä muodossa, ts. kuten y = f(x) tai x = g(y).

Lause

Olkoon funktiot y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) määriteltyjä ja jatkuvia välillä [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mille tahansa arvolle x alkaen [ a ; b ] . Tällöin kaava kuvion G pinta-alan laskemiseksi, jota rajoittavat suorat x = a, x = b, y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) näyttää S (G) = ∫ abf2(x) - f1(x)dx.

Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa viivojen y = c, y = d, x = g 1 (y) ja x = g 2 (y) rajoittaman kuvion alueelle: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Todiste

Tarkastellaan kolmea tapausta, joissa kaava on voimassa.

Ensimmäisessä tapauksessa, kun otetaan huomioon pinta-alan additiivisuus, alkuperäisen kuvan G ja kaarevan puolisuunnikkaan G 1 pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kuvan G 2 pinta-ala. Se tarkoittaa sitä

Siksi S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Voimme suorittaa viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin kolmatta ominaisuutta.

Toisessa tapauksessa yhtälö on tosi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Graafinen kuva näyttää tältä:

Jos molemmat funktiot ovat ei-positiivisia, saadaan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafinen kuva näyttää tältä:

Jatketaan tarkastelemaan yleistä tapausta, kun y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) leikkaavat O x -akselin.

Merkitsemme leikkauspisteitä x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Nämä pisteet jakavat janan [a; b ] n osaan x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, missä α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Siten,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Voimme tehdä viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta.

Havainnollistetaan yleinen tapaus kaaviossa.

Kaavaa S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x voidaan pitää todistettuna.

Siirrytään nyt analysoimaan esimerkkejä sellaisten kuvioiden pinta-alan laskemisesta, joita rajoittavat viivat y = f (x) ja x = g (y).

Aloitamme minkä tahansa esimerkin tarkastelun rakentamalla kaavion. Kuvan avulla voimme esittää monimutkaisia muotoja yksinkertaisempien muotojen liitoksina. Jos kaavioiden ja kuvioiden rakentaminen niille on sinulle vaikeaa, voit tutkia perusfunktioita, funktiokaavioiden geometrista muuntamista sekä kaavioiden rakentamista funktiota tutkiessasi.

Esimerkki 1

On tarpeen määrittää kuvion pinta-ala, jota rajoittavat paraabeli y = - x 2 + 6 x - 5 ja suorat viivat y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Ratkaisu

Piirretään kaavion viivat sisään Karteesinen järjestelmä koordinaatit

Segmentillä [ 1 ; 4 ] paraabelin y = - x 2 + 6 x - 5 kuvaaja sijaitsee suoran y = - 1 3 x - 1 2 yläpuolella. Tässä suhteessa vastauksen saamiseksi käytämme aiemmin saatua kaavaa sekä menetelmää määrätyn integraalin laskentaan käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 p x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Vastaus: S(G) = 13

Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.

Esimerkki 2

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x + 2, y = x, x = 7.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on vain yksi suora, joka on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Tämä on x = 7. Tämä edellyttää, että löydämme itse integraation toisen rajan.

Rakennetaan graafi ja piirretään sille tehtävänlauseessa annetut suorat.

Kun kuvaaja on silmiemme edessä, voimme helposti määrittää, että integroinnin alaraja on suoran y = x ja puoliparaabelin y = x + 2 kuvaajan leikkauspisteen abskissa. Abskissan löytämiseksi käytämme yhtälöitä:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Osoittautuu, että leikkauspisteen abskissa on x = 2.

Kiinnitämme huomiosi siihen, että yleinen esimerkki piirustuksessa suorat y = x + 2, y = x leikkaavat pisteessä (2; 2), joten tällaiset yksityiskohtaiset laskelmat voivat tuntua tarpeettomilta. Toimme tämän tänne yksityiskohtainen ratkaisu vain siksi, että monimutkaisemmissa tapauksissa ratkaisu ei ehkä ole niin ilmeinen. Tämä tarkoittaa, että on aina parempi laskea suorien leikkauspisteen koordinaatit analyyttisesti.

Aikavälillä [ 2 ; 7] funktion y = x kuvaaja sijaitsee funktion y = x + 2 kaavion yläpuolella. Lasketaan pinta-ala kaavalla:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Vastaus: S (G) = 59 6

Esimerkki 3

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat funktioiden y = 1 x ja y = - x 2 + 4 x - 2 kuvaajat.

Ratkaisu

Piirretään kaavioon viivat.

Määritellään integraation rajat. Tätä varten määritämme suorien leikkauspisteiden koordinaatit vertaamalla lausekkeet 1 x ja - x 2 + 4 x - 2. Edellyttäen, että x ei ole nolla, yhtälö 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tulee ekvivalentiksi kolmannen asteen yhtälön - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 kanssa kokonaislukukertoimilla. Päivittääksemme muistiasi tällaisten yhtälöiden ratkaisun algoritmista, voimme viitata osioon "Kuutioyhtälöiden ratkaiseminen".

Tämän yhtälön juuri on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Jakamalla lauseke - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomiaalilla x - 1, saadaan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Löydämme loput juuret yhtälöstä x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Löysimme välin x ∈ 1; 3 + 13 2, jossa kuvio G on sinisen yläpuolella ja punaisen viivan alapuolella. Tämä auttaa meitä määrittämään kuvan alueen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Vastaus: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esimerkki 4

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = x 3, y = - log 2 x + 1 ja abskissa-akseli.

Ratkaisu

Piirretään kaikki kaavion viivat. Funktion y = - log 2 x + 1 kuvaaja saadaan kaaviosta y = log 2 x, jos sijoitamme sen symmetrisesti x-akselin ympäri ja siirretään yksikköä ylöspäin. X-akselin yhtälö on y = 0.

Merkitään viivojen leikkauspisteet.

Kuten kuvasta näkyy, funktioiden y = x 3 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (0; 0). Tämä tapahtuu, koska x = 0 on yhtälön x 3 = 0 ainoa todellinen juuri.

x = 2 on yhtälön - log 2 x + 1 = 0 ainoa juuri, joten funktioiden y = - log 2 x + 1 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (2; 0).

x = 1 on yhtälön x 3 = - log 2 x + 1 ainoa juuri. Tässä suhteessa funktioiden y = x 3 ja y = - log 2 x + 1 kuvaajat leikkaavat pisteessä (1; 1). Viimeinen lause ei ehkä ole ilmeinen, mutta yhtälöllä x 3 = - log 2 x + 1 ei voi olla enempää kuin yksi juuri, koska funktio y = x 3 on tiukasti kasvava ja funktio y = - log 2 x + 1 on tiukasti laskeva.

Toinen ratkaisu sisältää useita vaihtoehtoja.

Vaihtoehto 1

Voimme kuvitella kuvion G kahden x-akselin yläpuolella sijaitsevan kaarevan puolisuunnikkaan summana, joista ensimmäinen sijaitsee keskiviivan alapuolella janalla x ∈ 0; 1, ja toinen on punaisen viivan alapuolella janalla x ∈ 1; 2. Tämä tarkoittaa, että pinta-ala on yhtä suuri kuin S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Vaihtoehto nro 2

Kuvio G voidaan esittää kahden kuvion erotuksena, joista ensimmäinen sijaitsee x-akselin yläpuolella ja sinisen viivan alapuolella janalla x ∈ 0; 2, ja toinen punaisten ja sinisten viivojen välissä janalla x ∈ 1; 2. Tämän avulla voimme löytää alueen seuraavasti:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Tässä tapauksessa alueen löytämiseksi sinun on käytettävä kaavaa muodossa S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Itse asiassa kuviota rajoittavat viivat voidaan esittää argumentin y funktioina.

Ratkaistaan yhtälöt y = x 3 ja - log 2 x + 1 x:n suhteen:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Saamme tarvittavan alueen:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Vastaus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esimerkki 5

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Ratkaisu

Piirrämme kaavioon viivan punaisella viivalla, funktion antama y = x. Piirretään viiva y = - 1 2 x + 4 sinisellä ja viiva y = 2 3 x - 3 mustalla.

Merkitään risteyspisteet.

Etsitään funktioiden y = x ja y = - 1 2 x + 4 kuvaajien leikkauspisteet:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Tarkista: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ei Onko yhtälön ratkaisu x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on yhtälön ⇒ (4; 2) leikkauspisteen ratkaisu i y = x ja y = - 1 2 x + 4

Etsitään funktioiden y = x ja y = 2 3 x - 3 kuvaajien leikkauspiste:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tarkista: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 on yhtälön ⇒ (9 ; 3) ratkaisu piste a s y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Yhtälölle ei ole ratkaisua

Etsitään suorien y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 leikkauspiste:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) leikkauspiste y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3

Menetelmä nro 1

Kuvitellaan halutun kuvion pinta-ala yksittäisten kuvioiden pinta-alojen summana.

Sitten kuvion pinta-ala on:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Menetelmä nro 2

Alkuperäisen kuvion pinta-ala voidaan esittää kahden muun hahmon summana.

Sitten ratkaisemme suoran yhtälön suhteessa x:ään ja vasta sen jälkeen käytämme kaavaa kuvan pinta-alan laskemiseksi.

y = x ⇒ x = y 2 punainen viiva y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 musta viiva y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Alue on siis:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 v + 9 2 - - 2 v + 8 pv y + ∫ 2 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv y = = ∫ 1 2 7 2 v - 7 2 pv 2 + ∫ 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv = = 7 4 v 2 - 7 4 v 1 2 + - y 3 3 + 3 v 2 4 + 9 2 v 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kuten näet, arvot ovat samat.

Vastaus: S (G) = 11 3

Tulokset

Rajoitetun hahmon alueen löytäminen annetut rivit meidän on rakennettava viivoja tasolle, löydettävä niiden leikkauspisteet ja käytettävä kaavaa alueen löytämiseksi. Tässä osiossa tarkastelimme yleisimpiä tehtävien muunnelmia.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

Integraalin soveltaminen sovellettujen ongelmien ratkaisuun

Pinta-alan laskenta

Jatkuvan ei-negatiivisen funktion f(x) määrällinen integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y = f(x), O x -akselin ja suorien x = a ja x = b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämän mukaisesti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:

Katsotaanpa joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.

Tehtävä nro 1. Laske linjojen y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 rajoittama alue.

Ratkaisu. Muodostetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.

y = x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).

Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1

Tehtävä nro 2. Laske viivojen y = x 2 – 1, y = 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.

Ratkaisu. Tämän funktion kuvaaja on ylöspäin suunnattujen haarojen paraabeli, ja paraabelia on siirretty suhteessa O y -akseliin yhden yksikön verran alaspäin (kuva 2).

Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y = x 2 – 1

Tehtävä nro 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajaama pinta-ala

y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.

Ratkaisu. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin, koska x 2:n kerroin on negatiivinen, ja toinen suora on suora, joka leikkaa molemmat koordinaattiakselit.

Paraabelin muodostamiseksi löydämme sen kärjen koordinaatit: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – kärjen abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on kärki.

Etsitään nyt paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:

Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.

Saamme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 tai x 2 – 12 = 0, mistä .

Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).

Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4

Muodostetaan suora y = 2x – 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2;0) kautta.

Paraabelin rakentamiseen voidaan käyttää myös sen leikkauspisteitä 0x-akselin kanssa eli yhtälön 8 + 2x – x 2 = 0 tai x 2 – 2x – 8 = 0 juuria. Vietan lauseella se on helppoa löytääkseen sen juuret: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.

Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan mukaan .

Tämän ehdon suhteen saamme integraalin:

2 Pyörivän kappaleen tilavuuden laskeminen

Kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä käyrää y = f(x) O x -akselin ympäri, lasketaan kaavalla:

Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:

Tehtävä nro 4. Määritä suorien x = 0 x = 3 ja käyrän y = O x -akselin ympäri rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pyörimisestä saadun kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Piirretään kuva (kuva 4).

Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =

Tarvittava tilavuus on

Tehtävä nro 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kaarevan puolisuunnikkaan, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 O y -akselin ympäri.

Ratkaisu. Meillä on:

Tarkasta kysymykset