Laske kompleksisen muuttujan integraali suljetun muuttujan kanssa verkossa. Kompleksisen muuttujan funktioiden integrointi

1. Peruskäsitteet ja lausunnot

Lause 5.1(riittävä ehto kompleksisen muuttujan funktion integraalin olemassaololle). Antaa L- yksinkertainen sileä kaari päällä, f(z)=u(x;y)+i×v(x;y) on jatkuvasti päällä L. Sitten on olemassa , ja seuraava yhtäläisyys pätee:

Lause 5.2. Antaa L– yksinkertainen sileä käyrä, joka on määritelty parametrisesti: L:z(t)=x(t)+i×y(t), a£ t£ b, toiminto f(z) on jatkuvasti päällä L. Silloin tasa-arvo on totta:

(Missä ). (5.2)

Lause 5.3. Jos f(z) alan analyyttinen D toiminto siis - analyyttinen toiminta ja F"(z)=f(z), jossa integraali on otettu minkä tahansa pisteitä yhdistävän palakohtaisesti tasaisen käyrän päälle z 0 ja z.

- Newton-Leibnizin kaava.

2. Integraalin laskentamenetelmät

Ensimmäinen tapa. Jatkuvan funktion integraalien laskenta pelkistämällä reaalimuuttujien funktioiden käyräviivaisiksi integraaleiksi (kaavan (5.1) soveltaminen).

1. Etsi Re f=u, Olen f=v.

2. Kirjoita integrandi f(z)dz tuotteen muodossa ( u+iv)(dx+idy)=udx-vdy+i(udy+vdx).

3. Laske muodon kaarevat integraalit toisen tyyppisten kaarevien integraalien laskentasääntöjen mukaan.

Esimerkki 5.1 . Laskea paraabelin mukaan y=x 2 pisteestä z 1 = 0 pisteeseen z 2 =1+i.

■ Etsitään integrandin todelliset ja kuvitteelliset osat. Tehdään tämä korvaamalla lauseke for f(z) z=x+iy:

Koska y=x 2 siis dy= 2x, . Siksi

Toinen tapa. Jatkuvan funktion integraalien laskenta vähentämällä kiinteään integraaliin tapauksessa parametrinen asetus integrointipolut (kaavan (5.2) soveltaminen).

1. Kirjoita käyrän parametrinen yhtälö z=z(t) ja määritä integroinnin rajat: t=a vastaa integrointipolun aloituspistettä, t = b- lopullinen.

2. Etsi kompleksiarvoisen funktion differentiaali z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Korvaava z(t) integrandiksi, muuta integraali muotoon: .

4. Laske tuloksena oleva määrällinen integraali.

Esimerkki 5.2 . Laske missä KANSSA- ympyrän kaari, .

■ Tämän käyrän parametrinen yhtälö: , 0 £ j£ s. Sitten . Saamme

Esimerkki 5.3 . Laske missä KANSSA– ympyrän yläkaari: a) , b) .

■ Määrittämällä funktioarvot integrointisilmukassa voit valita lausekkeen yksiselitteisiä haaroja , k= 0,1. Siitä lähtien kun meillä on ollut, k= 0.1, niin ensimmäisessä tapauksessa valitsemme haaran k= 0 ja toisessa – alkaen k= 1.

Integrandi ääriviivalla on jatkuva. Tämän käyrän parametrinen yhtälö: , 0 £ j£ s. Sitten .

a) Haara määräytyy milloin k= 0, eli mistä saamme .

b) Haara määräytyy milloin k=1, eli saamme .

Kolmas tapa. Analyyttisten funktioiden integraalien laskenta yksinkertaisesti yhdistetyissä domeeneissa (kaavan (5.3) soveltaminen).

Etsi antijohdannainen F(z), käyttämällä integraalien, taulukkointegraalien ja reaalianalyysistä tunnettuja menetelmiä ominaisuuksia. Käytä Newton-Leibnizin kaavaa: .

Esimerkki 5.4 . Laskea , Missä KANSSA-suora AB, z A=1-i,z V=2+i.

■ Integrand-toiminnosta lähtien - analyyttinen koko kompleksitasolla, sitten sovelletaan Newton-Leibnizin kaavaa

3. Integraalilaskennan peruslauseet

kompleksisen muuttujan funktiot

Lause 5.4 (Cauchy). Jos f(z G toiminto, sitten missä L- mikä tahansa suljettu ääriviiva G.

Cauchyn lause pätee myös moninkertaisesti kytketylle alueelle.

Lause 5.5. Anna toiminnon f(z) analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä verkkotunnuksessa D, L- mielivaltaisesti suljettu paloittain sileä ääriviiva makaa D. Sitten mihin tahansa kohtaan z 0 makaa ääriviivan sisällä L, kaava on oikea:

, (5.4)

Missä L liikkuu positiiviseen suuntaan.

Kaavaa (5.4) kutsutaan Cauchyn integraalikaava . Se ilmaisee ääriviivan sisällä olevan analyyttisen funktion arvot ääriviivalla olevien arvojensa kautta.

Lause 5.6. Jokainen toiminto f(z), alan analyyttinen D, sisältää johdannaisia kaikista tämän verkkotunnuksen tilauksista ja kohteelle " z 0 Î D kaava on oikea:

, (5.5)

Missä L– mielivaltainen paloittain sileä suljettu ääriviiva, joka on kokonaan sisällä D ja sisältää pisteen sisällä z 0 .

4. Integraalien laskenta suljetun silmukan yli

kompleksisen muuttujan funktioista

Tarkastellaan muodon integraaleja, joissa funktio j(z) analyyttinen in , ja y(z) – polynomi, jolla ei ole nollia suljetulla ääriviivalla KANSSA.

Sääntö. Laskettaessa muodon integraaleja polynomin nollien moninkertaisuudesta y(z) ja niiden sijainti suhteessa ääriviivaan KANSSA 4 tapausta voidaan erottaa.

1. Alueella D ei polynomisia nollia y(z). Tällöin funktio on analyyttinen ja Cauchyn lauseen mukaan.

2. Alueella D on yksi yksinkertainen nolla z = z 0 polynomi y(z). Sitten kirjoitamme murto-osan muotoon missä f(z) on analyyttinen funktio sovellettaessa Cauchyn integraalikaavaa (5.4), saamme

. (5.6)

3. Alueella D yksi moninkertainen nolla sijaitsee z = z 0 polynomi y(z) (monikertaisuus n). Sitten kirjoitamme murto-osan muotoon missä f(z) on analyyttinen funktio soveltamalla kaavaa (5.5), saamme

4. Alueella D polynomin kaksi nollaa sijaitsevat y(z) z = z 1 ja z = z 2. Sitten esitämme integraalin kahden murtoluvun summana ja integraalin kahden integraalin summana, joista jokainen lasketaan lauseen 2 tai 3 mukaisesti.

Esimerkki 5.5 . Laske missä KANSSA- ympyrä.

■ Nimittäjän nollien löytäminen – yksittäisiä pisteitä integrand-toiminto . Nämä ovat pisteitä. Seuraavaksi määritetään pisteiden sijainti suhteessa integrointiääriviivaan: mikään pisteistä ei sisälly alueelle, jota rajoittaa ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä ja jonka säde on 2 (eli meillä on ensimmäinen tapaus). Voit varmistaa tämän piirtämällä tai määrittämällä etäisyyden jokaisesta pisteestä ympyrän keskipisteeseen ja vertaamalla sitä säteeseen. Esimerkiksi , ei siis kuulu ympyrään.

Sitten funktio analyyttinen ympyrässä ja Cauchyn lauseen mukaan .

Huomaa, että annettu integraali on myös nolla mille tahansa muulle aluetta rajoittavalle ääriviivalle, joka ei sisällä mitään nimittäjän nollia. ■

Esimerkki 5.6 . Laske missä KANSSA- ympyrä.

■ Päättelyssä kuten esimerkissä 5.5, huomaamme, että vain yksi nimittäjän nolla sijaitsee ympyrässä (toinen tapaus). Siksi kirjoitamme integrand-funktion muodossa , funktio analyyttinen ympyrässä. Sitten kaavan (5.6) mukaan

.■

Esimerkki 5.7 . Laskea , Missä KANSSA- ympyrä.

1. Peruskäsitteet

2. Kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskenta

3. Esimerkkejä kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemisesta

4. Cauchyn päälause yksinkertaiselle ääriviivalle

5. Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle

6. Cauchyn integraalikaava

7. Integraalien laskenta suljetun silmukan yli

8. Esimerkkejä integraalien laskemisesta suljetun silmukan kautta

Peruskonseptit

1. Kompleksimuuttujan funktion integraalin käsite otetaan käyttöön (samalla tavalla kuin reaalialueella) integraalisummien sarjan rajana; funktio on määritelty jollekin käyrälle l, käyrän oletetaan olevan tasainen tai palasittain tasainen:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2,43)

missä x_k on käyräosion kaarelta \Delta l_k valittu piste; \Delta z_k - funktion argumentin lisäys tässä osioosassa, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- osiovaihe, |\Delta z_k| - kaaren päät yhdistävän jänteen pituus \Delta l_k ; käyrä l jaetaan mielivaltaisesti n osaan \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Käyrälle valittu suunta, ts. aloitus- ja loppupisteet on merkitty. Suljetun käyrän tapauksessa \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integraatio tapahtuu positiiviseen suuntaan, ts. suuntaan, joka jättää vasemmalle rajallisen alueen, jota rajoittaa ääriviiva.

Kaava (2.43) määrää kompleksisen muuttujan funktion riviintegraali. Jos erotamme funktion f(z) reaali- ja imaginaariosat, ts. kirjoita se lomakkeeseen

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operaattorinimi(Re)f(z),\quad v=\operaattorinimi(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

niin integraalisumma voidaan kirjoittaa kahden termin muodossa, jotka ovat kahden reaalimuuttujan toisen tyyppisten funktioiden kaarevien integraalien integraalisummat. Jos f(z):n oletetaan olevan jatkuva l:llä, niin u(x,y),~ v(x,y) on myös jatkuva l:llä, ja siten vastaavilla integraalisummilla on rajat. Siksi, jos funktio f(z) on jatkuva l:llä, yhtälön (2.43) raja on olemassa, ts. käyrällä l on funktion f(z) käyräviivainen integraali ja kaava pätee

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Integraalin tai kaavan (2.44) määritelmän ja toisen tyyppisten kaarevien integraalien ominaisuuksien avulla on helppo varmistaa kompleksisen muuttujan funktioiden kaarevan integraalin seuraavien ominaisuuksien oikeellisuus (todellisesta analyysistä tunnetut ominaisuudet) .

\begin(tasattu)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z) )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(tasattu)

erityisesti, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), jos funktion suuruus on rajoitettu käyrällä AB, eli |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Tätä ominaisuutta kutsutaan integraalin moduulin estimointiominaisuudeksi.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Kaavaa (2.44) voidaan pitää sekä kompleksisen muuttujan funktion kaarevan integraalin määritelmänä että kaavana sen laskemiseksi kahden reaalimuuttujan toisen tyyppisten funktioiden kaarevien integraalien kautta.

Laskentakaavan käyttämiseksi ja muistamiseksi huomaamme, että yhtälö (2.44) vastaa funktion f(z) reaali- ja imaginaariosien erottamistoimintojen integraalimerkin vasemmalla puolella olevaa muodollista suoritusta kertomalla dz= dx+i\,dy ja tuloksena olevan tulon kirjoittaminen algebralliseen muotoon:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Esimerkki 2.79. Laske integraalit ja \int\limits_(OA)z\,dz, jossa rivi OA

a) suora, joka yhdistää pisteet z_1=0 ja z_2=1+i,
b) katkoviiva OBA, missä O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Ratkaisu

1. Laske integraali \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Tässä f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Kirjoitamme integraalin toisen tyyppisillä kaarevilla integraaleilla:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

joka vastaa kaavaa (2.44). Laskemme integraalit:

a) integrointipolku on siis suora segmentti \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) integrointipolku on katkoviiva, joka koostuu kahdesta segmentistä OB= $y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1$ Ja BA= $x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1$. Siksi jakamalla integraali kahteen ja suorittamalla laskelmia saamme

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ rajat_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Funktion f(z)=\overline(z) integraali riippuu pisteiden O ja A yhdistävän integrointipolun valinnasta.

2. Laske integraali \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) tässä f(z)=z=x+iy. Kirjoitamme integraalin toisen tyyppisillä kaarevilla integraaleilla

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Saatujen toisen tyyppisten integraalien integraalit ovat täydellisiä differentiaaleja (katso ehto (2.30)), joten riittää, että tarkastellaan yhtä integrointipolun tapausta. Joten tapauksessa "a", jossa segmentin yhtälö y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, saamme vastauksen

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Koska integraali on riippumaton integrointipolun muodosta, tehtävä voidaan tässä tapauksessa muotoilla enemmän yleisnäkymä: laske integraali

\int\limits_(l)z\,dz pisteestä z_1=0 pisteeseen z_2=1+i.

Seuraavassa kappaleessa tarkastelemme tällaisia integrointitapauksia yksityiskohtaisemmin.

2. Älköön jatkuvan funktion integraali tietyllä alueella riippuvainen käyrän tyypistä, joka yhdistää kaksi pistettä tällä alueella. Korjataan aloituspiste, joka tarkoittaa z_0. loppupiste on muuttuja, merkitään se z:llä. Tällöin integraalin arvo riippuu vain pisteestä z, eli se määrittää jonkin funktion määritetyllä alueella.

Alla perustellaan väite, että yksinkertaisesti yhdistetyn toimialueen tapauksessa integraali määrittelee yksiarvoisen funktion tässä toimialueessa. Otetaan käyttöön merkintä

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funktio F(z) on integraali, jolla on muuttuva yläraja.

Käyttäen derivaatan määritelmää, ts. ottaen huomioon \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), on helppo varmistaa, että F(z):llä on derivaatta missä tahansa määrittelyalueen kohdassa ja siksi se on siinä analyyttinen. Tässä tapauksessa derivaatalle saadaan kaava

F"(z)=f(z).

Muuttuvan ylärajan integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandin arvo ylärajalla.

Erityisesti yhtälöstä (2.46) seuraa, että integrandifunktio f(z) kohdassa (2.45) on analyyttinen funktio, koska analyyttisen funktion F(z) derivaatta F"(z) tällaisten funktioiden ominaisuudella (katso Lauseke 2.28) - analyyttinen toiminto.

3. Funktiota F(z), jolle yhtälö (2.46) pätee, kutsutaan antiderivaataksi funktiolle f(z) yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa, ja antiderivaatojen kokoelmaa \Phi(z)=F(z)+c, missä c=\text( const) , - epämääräinen integraali funktiosta f(z) .

Kohdista 2 ja 3 saamme seuraavan väitteen.

Lausunto 2.25

1. Integraali säädettävällä ylärajalla \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) funktioanalyytikosta yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa on funktioanalytiikka tässä toimialueessa; tämä funktio on integrandin antijohdannainen.

2. Mikä tahansa analyyttinen funktio yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa sisältää antiderivaalin (antiderivaatin olemassaolo).

Analyyttisten funktioiden antiderivaatat yksinkertaisesti yhdistetyiltä alueilta löytyy, kuten todellisen analyysin tapauksessa: käytetään integraalien ominaisuuksia, integraalitaulukkoa ja integrointisääntöjä.

Esimerkiksi, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Analyyttisen funktion kaarevan integraalin ja sen antiderivaatan välillä yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa on kaava, joka on samanlainen kuin todellisen analyysin Newton-Leibnizin kaava:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Kuten todellisessa analyysissä, tarkastellaan kompleksialueella integraalin rajoissa parametrin sisältävien integraalien lisäksi (kaava (2.45) antaa yksinkertaisin esimerkki sellaiset integraalit), integraalit, jotka riippuvat integrandin sisältämästä parametrista: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Tällaisten integraalien joukossa tärkeä paikka teoriassa ja käytännössä monimutkainen integraatio ja sovellukset se ottaa muodon integraalin \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Jos oletetaan, että f(z) on jatkuva suoralla l, saadaan, että missä tahansa pisteessä z, joka ei kuulu l:ään, integraali on olemassa ja määrittää tietyn funktion missä tahansa toimialueella, joka ei sisällä l:ää.

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integraalia (2.48) kutsutaan Cauchyn tyyppiseksi integraaliksi; tekijä \frac(1)(2\pi\,i) otetaan käyttöön rakennetun funktion käytön helpottamiseksi.

Tälle funktiolle, kuten yhtäläisyyden (2.45) määrittämälle funktiolle, on osoitettu, että se on analyyttinen kaikkialla määrittelyalueella. Lisäksi, toisin kuin integraali (2.45), tässä ei vaadita generoivan funktion f(z) olevan analyyttinen, ts. luokan kaavan (2.48) mukaan jatkuvat toiminnot monimutkainen muuttuja, analyyttisten funktioiden luokka rakennetaan. Integraalin (2.48) derivaatta määritetään kaavalla

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Kaavan (2.49) ja siten väitteen Cauchyn tyyppisen integraalin analyyttisuudesta todistamiseksi riittää derivaatan määritelmän mukaan todeta epäyhtälön pätevyys

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\oikea|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

mille tahansa \varepsilon>0:lle ja mille tahansa z:lle funktion F(z) määritelmäalueesta.

Samalla menetelmällä voidaan osoittaa, että yhtälön (2.49) määrittelemästä funktiosta on olemassa derivaatta, ts. F""(z) , ja kaava on kelvollinen

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Proseduuria voidaan jatkaa ja todistaa induktiolla funktion F(z)\colon derivaatan kaava missä tahansa järjestyksessä

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analysoimalla kaavoja (2.48) ja (2.49) on helppo varmistaa, että derivaatta F(z) voidaan saada muodollisesti differentoimalla integraalimerkin alla olevaan parametriin (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\oikea)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! \left(\frac(f) (\xi))(\xi-z)\oikea)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Soveltamalla muodollisesti sääntöä integraalin erottamisesta parametrista n kertaa, saadaan kaava (2.50).

Kirjoitamme tähän osioon saadut tulokset lausuman muodossa.

Lausunto 2.26. Integraali \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi funktion f(z) jatkuva käyrällä l on funktio, joka on analyyttinen millä tahansa alueella D, joka ei sisällä l:ää; tämän funktion derivaatat voidaan saada differentiaatiolla integraalimerkin alla olevan parametrin suhteen.

Kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskenta

Yllä saimme kaavat kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemiseen - kaavat (2.44) ja (2.47).

Jos käyrä l kaavassa (2.44) on määritelty parametrisesti: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta tai joka vastaa todellista muotoa: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, sitten käyttämällä toisen tyyppisten integraalien laskentasääntöjä käyrän parametrimääritelmän tapauksessa, voimme muuntaa kaavan (2.44) muotoon

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Kirjaamme ylös saadun tuloksen ja edellisellä luennolla saadut tulokset toimintosarjana.

Integraalien laskentamenetelmät \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Ensimmäinen tapa. Integraalien laskeminen \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) jatkuvasta funktiosta pelkistämällä reaalimuuttujien funktioiden kaareviin integraaleihin - kaavan (2.44) soveltaminen.

1. Etsi \operaattorinimi(Re)f(z)=u,~ \operaattorinimi(Im)f(z)=v.

2. Kirjoita integrandi f(z)dz tulona (u+iv)(dx+i\,dy) tai kertomalla u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Laske muodon kaarevat integraalit \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Missä P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) toisen tyyppisten kaarevien integraalien laskentasääntöjen mukaan.

Toinen tapa. Integraalien laskeminen \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) jatkuvasta funktiosta pelkistämällä määrättyyn integraaliin integrointipolun parametrisen määritelmän tapauksessa - kaavan (2.51) soveltaminen.

1. Kirjoita muistiin käyrän z=z(t) parametrinen yhtälö ja määritä siitä integroinnin rajat: t=\alpha vastaa integrointipolun alkupistettä, t=\beta - loppupiste.

2. Etsi kompleksiarvoisen funktion differentiaali z(t)\kaksoispiste\, dz=z"(t)dt.
3. Korvaa z(t) integrandiksi ja muunna integraali

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Laske vaiheessa 3 saadun reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion määrätty integraali.

Huomaa, että todellisen muuttujan kompleksiarvoisen funktion integrointi ei eroa reaaliarvoisen funktion integroimisesta; ainoa ero on tekijän i läsnäolo ensimmäisessä tapauksessa, toiminnot, joiden kanssa luonnollisesti katsotaan olevan vakion kanssa. Esimerkiksi,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Kolmas tapa. Analyyttisten funktioiden integraalien laskenta yksinkertaisesti yhdistetyissä verkkotunnuksissa - kaavan (2.47) soveltaminen.

1. Etsi antiderivaata F(z) integraalien, taulukkointegraalien ja reaalianalyysistä tunnettujen menetelmien ominaisuuksien avulla.

2. Käytä kaavaa (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Huomautuksia 2.10

1. Moninkertaisesti yhdistetyn alueen tapauksessa tehdään leikkauksia, jotta voidaan saada yksiarvoinen funktio F(z).

2. Integroitaessa moniarvoisten funktioiden yksiarvoisia haaroja, haara erotetaan määrittämällä funktion arvo tietyssä integrointikäyrän kohdassa. Jos käyrä on suljettu, niin integrointipolun aloituspisteeksi katsotaan piste, jossa integrandin arvo annetaan. Integraalin arvo voi riippua tämän pisteen valinnasta.

▼ Esimerkit 2.80-2.86 kompleksisen muuttujan funktioiden integraalien laskemisesta

Esimerkki 2.80. Laskea \int\limits_(l)\operaattorinimi(Re)z\,dz, jossa l on viiva, joka yhdistää pisteen z_1=0 pisteeseen z_2=1+i\kaksoispiste

a) l - suora; b) l - katkoviiva OBA, missä O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Ratkaisu

a) Käytämme ensimmäistä menetelmää - (kaava (2.44)).

1.2. Integrandilla on muoto \operaattorinimi(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Siksi

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Laske integraalit kohdassa y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(pisteitä z_1 ja z_2 yhdistävän segmentin OA yhtälö). Saamme

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Koska integrointipolku koostuu kahdesta segmentistä, kirjoitamme integraalin kahden integraalin summaksi:

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operaattorinimi(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operaattorinimi(Re)z\,dz

ja laskemme jokaisen kuten edellisessä kappaleessa. Lisäksi meillä on segmentille OB

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) ja segmentille BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Teemme laskelmia:

\int\limits_(l)\operaattorinnimi(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Huomaa, että tämän esimerkin integrandi ei ole analyyttinen funktio, joten kahta annettua pistettä yhdistävien kahden eri käyrän integraaleilla voi olla eri arvot, kuten tässä esimerkissä on kuvattu.

Esimerkki 2.81. Laskea \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, jossa l on ylempi puoliympyrä |z|=1, joka kulkee käyrän l läpi vastapäivään.

▼ Ratkaisu

Käyrällä on yksinkertainen parametrinen yhtälö z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, siksi on tarkoituksenmukaista käyttää toista menetelmää (kaava (2.51)). Integrandi on tässä jatkuva funktio, eikä se ole analyyttinen.

1.2. z=e^(it):lle löydämme \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Korvaa integrandiin. Laske integraali

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Esimerkki 2.82. Laske analyyttisten funktioiden integraalit:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), integrointipolku ei kulje pisteen i kautta.

▼ Ratkaisu

a) Käytä kaavaa (2.47) (kolmas sääntö); Löydämme antiderivaatin käyttämällä todellisen analyysin integrointimenetelmiä:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operaattorinimi(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operaattorinimi(sh)2).

b) Integrandi on analyyttinen kaikkialla paitsi pisteessä i. Leikkaamalla säteen taso pisteestä i kohtaan \infty , saadaan yksinkertaisesti yhdistetty alue, jossa funktio on analyyttinen ja integraali voidaan laskea kaavan (2.47) avulla. Siksi jokaiselle käyrälle, joka ei kulje pisteen i kautta, voit laskea integraalin kaavan (2.47) avulla, ja kahdelle tietylle pisteelle sillä on sama arvo.

Kuvassa Kuva 2.44 esittää kaksi tapausta leikkauksista. Yksinkertaisesti yhdistettyjen alueiden, joissa integrandi on analyyttinen, rajan ylityssuunta on osoitettu nuolilla. Laskemme integraalin:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Esimerkki 2.83. Laske integraali \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Ratkaisu

Integrandi on analyyttinen kaikkialla \mathbb(C):ssä. Käytämme kolmatta menetelmää, kaavaa (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Tämä tulos saatiin esimerkissä 2.78 ensimmäisen menetelmän mukaisesti.

Esimerkki 2.84. Laske integraali \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), jossa C on ympyrä |z-a|=R.

▼ Ratkaisu

Käytetään toista menetelmää.

1. Kirjoitamme ympyrän yhtälön parametrimuodossa: z-a=R\,e^(it) , tai z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Etsi ero dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Korvaa integrandiin z=a+R\,e^(it) ja dz:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Laskemme tuloksena olevan kiinteän integraalin. Saat n\ne1

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(se(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \iso).

Koska e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Siksi \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 osoitteessa n\ne1 . Saat n=1:lle \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Kirjoitetaan tulos kaavaksi:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Erityisesti, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Huomaa, että jos ympyrä C\colon |z-a|=R kuljetetaan pisteellä k kertaa, niin argumentti (parametri) muuttuu 0:sta 2\pi k ( k>0, jos läpikulku on positiivisessa suunnassa, eli vastapäivään , ja k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Esimerkki 2.85. Laske kompleksisen muuttujan funktion integraali \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) integrointipolku ei kulje pisteen z=0 läpi eikä kierrä sitä, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) integrointipolku ei kulje pisteen z=0 läpi, vaan kiertää sen n kertaa ympyrän ympäri vastapäivään.

▼ Ratkaisu

a) Tämä integraali - integraali, jolla on muuttuva yläraja - määrittelee yksiarvoisen analyyttisen funktion missä tahansa yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa (katso 2.45)). Etsitään tälle funktiolle analyyttinen lauseke - antiderivaata f(z)=\frac(1)(z) . Integraalin todellisen ja imaginaarisen osan erottaminen \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(käyttämällä kaavaa (2.44)), on helppo varmistaa, että toisen tyyppisten integraalien integraalit ovat täydellisiä differentiaaleja ja siksi integraali \frac(d\xi)(\xi) ei riipu käyrän tyypistä yhdistämällä pisteet z_1=1 ja z. Valitaan polku, joka koostuu Ox-akselin segmentistä pisteestä z_1=1 pisteeseen z_2=r, missä r=|z| , ja ympyrän kaaret l. z_2:n yhdistäminen z:hen (kuva 2.45,a).

Kirjoitamme integraalin summana: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Integraalin laskemiseksi ympyräkaaren yli käytämme kaavaa (2.51), kaarella on yhtälö \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Saamme \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; tuloksena

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Yhtälön oikea puoli määrittelee yksiarvoisen funktion \ln z - logaritmin pääarvon. Vastauksen saamme lomakkeella

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Huomaa, että tuloksena oleva yhtälö voidaan pitää yksiarvoisen funktion \ln z määritelmänä yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa - tasossa, jossa on leikkaus negatiivista todellista puoliakselia (-\infty;0] pitkin).

b) Integraali voidaan kirjoittaa summana: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d) \xi)(\xi), jossa c on ympyrä |z|=1, joka kulkee n kertaa vastapäivään, ja l on pisteet z_1 ja z yhdistävä käyrä, joka ei kata pistettä z=0 (kuva 2.45,b).

Ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin 2n\pi i (katso esimerkki 2.84), toinen on \ln(z) - kaava (2.53). Saamme tuloksen \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Esimerkki 2.86. Laske integraali \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) ympyrän yläkaarta pitkin |z|=1 edellyttäen: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Ratkaisu

Asettamalla funktion \sqrt(z) arvot integrointiääriviivan pisteeseen, voit valita lausekkeen yksiselitteisiä haaroja \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(katso esimerkki 2.6). Leikkaus voidaan tehdä esimerkiksi kuvitteellista negatiivista puoliakselia pitkin. Koska arvolla z=1 meillä on \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, niin ensimmäisessä tapauksessa valitaan haara, jossa k=0, toisessa - k=1. Integrandi ääriviivalla on jatkuva. Ratkaisussa käytämme kaavaa (2.51), määritä käyrä yhtälön avulla z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Haara määritetään kohdassa k=0, ts. z=e^(it) integrandille, jonka saamme \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Laskemme integraalin:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2) \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) Haara määritetään kohdassa k=1, ts. z=e^(it) integrandille, joka meillä on \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\oikea))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Laskemme integraalin:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

Teoriassa ja käytännössä kompleksisen muuttujan funktioiden integraalilaskennan sovelluksissa, kun tutkitaan funktioiden käyttäytymistä rajatuilla alueilla tai yksittäisten pisteiden läheisyydessä, integraalit otetaan huomioon suljetuilla käyrillä - alueiden rajoilla, erityisesti naapuruston. pisteitä. Otamme huomioon integraalit \oint\limits_(C)f(z)dz, jossa f(z) on analyyttinen jollain c-alueella, yksittäisiä pisteitä lukuun ottamatta, C on alueen raja tai sisäinen ääriviiva tällä alueella.

Cauchyn peruslause yksinkertaiselle ääriviivalle

Lause 2.1 (Cauchyn lause yksinkertaiselle ääriviivalle). Jos f(z) on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella, niin mille tahansa tähän alueeseen kuuluvalle ääriviivalle C pätee seuraava yhtälö:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Lauseen todistus on helppo saada analyyttisten funktioiden ominaisuuden perusteella, jonka mukaan analyyttisellä funktiolla on minkä tahansa kertaisia derivaattoja (katso lause 2.28). Tämä ominaisuus varmistaa osittaisten johdannaisten jatkuvuuden \operaattorinimi(Re)f(z) Ja \operaattorinimi(Im)f(z), joten jos käytämme kaavaa (2.44), on helppo nähdä, että toisen tyyppisten kaarevien integraalien jokaiselle integrandille kokonaisdifferentiaalin ehdot täyttyvät, kuten analyyttisten funktioiden Cauchy-Riemannin ehdot. Ja kokonaisdifferentiaalien suljettujen käyrien integraalit ovat nolla.

Huomaa, että kaikki alla esitetyt teoreettiset kannat perustuvat viime kädessä tähän tärkeään lauseeseen, mukaan lukien edellä mainittu analyyttisten funktioiden ominaisuus. Jotta esityksen oikeellisuudesta ei olisi epäilystäkään, toteamme, että lause voidaan todistaa ilman viittausta sen johdannaisten olemassaoloon vain analyyttisen funktion määritelmän perusteella.

Lauseen 2.1 seuraukset

1. Lause pätee myös, jos C on alueen D raja ja funktio f(z) on analyyttinen alueella ja rajalla, ts. \overline(D):ssä, koska määritelmän mukaan \overline(D):n analyyttisyys tarkoittaa funktion analyyttisuutta jossain toimialueella B, joka sisältää D~(B\supset\overline(D)), ja C on B:n sisäääriviiva.

2. Integraalit eri käyrien yli, jotka sijaitsevat funktion yksinkertaisesti yhdistetyssä analyyttisyysalueella ja yhdistävät kaksi tämän alueen pistettä, ovat keskenään yhtä suuret, ts. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, jossa l_1 ja l_2 ovat mielivaltaisia käyriä, jotka yhdistävät pisteet z_1 ja z_2 (kuva 2.46).

Sen todistamiseksi riittää, kun tarkastellaan ääriviivaa C, joka koostuu käyrästä l_1 (pisteestä z_1 pisteeseen z_2) ja käyrästä l_2 (pisteestä z_2 pisteeseen z_1). Omaisuus voidaan muotoilla seuraavasti. Analyyttisen funktion integraali ei riipu integrointikäyrän tyypistä, joka yhdistää kaksi pistettä funktion analyyttisyysalueella eikä poistu tästä alueesta.

Tämä perustelee edellä esitettyä lausetta 2.25 integraalin ominaisuuksista \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi ja primitiivisen analyyttisen funktion olemassaolosta.

Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle

Lause 2.2 (Cauchyn lause kompleksiselle ääriviivalle). Jos funktio f(z) on analyyttinen moninkertaisesti yhdistetyssä alueella, jota rajoittaa monimutkainen ääriviiva, ja tällä ääriviivalla, niin funktion integraali alueen rajan yli on yhtä suuri kuin nolla, eli jos C on kompleksinen ääriviiva - toimialueen raja, niin kaava (2.54) on voimassa ).

Monimutkainen ääriviiva C (n+1) - yhdistetylle alueelle koostuu ulkomuodosta \Gamma ja sisäisestä - C_i,~i=1,2,\ldots,n; ääriviivat eivät leikkaa pareittain, rajan kiertotie on positiivinen (kuvassa 2.47, n=3).

Lauseen 2.2 todistamiseksi riittää, että alueelle tehdään leikkaukset (katkoviiva kuvassa 2.47) niin, että saadaan kaksi yksinkertaisesti yhdistettyä aluetta ja käytetään Lause 2.1.

Lauseen 2.2 seuraukset

1. Kun Lauseen 2.2 ehdot täyttyvät, ulomman ääriviivan integraali on yhtä suuri kuin sisäääriviivojen integraalien summa; ohitus kaikkiin piireihin yhteen suuntaan (kuvassa 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Jos f(z) on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa D ja alueen rajalla, lukuun ottamatta mahdollisesti tämän alueen pistettä a, niin integraalit useiden suljettujen käyrien yli, jotka sijaitsevat alueella D ja rajoittavat pisteen a sisältävät alueet ovat keskenään yhtä suuret (kuva 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Todistus on ilmeinen, koska jokaista tällaista ääriviivaa voidaan pitää kaksinkertaisesti kytketyn alueen sisärajana, jonka ulkoraja on alueen D raja. Kaavan (2.55) mukaan kun n = 1, mikä tahansa tällainen integraali on yhtä suuri kuin rajan D ylittävä integraali.

Lauseen 2.2 ja Lauseen 2.1 johtopäätöksen 1 formulaatioiden vertaaminen antaa meille mahdollisuuden tehdä yleistyksen, jonka kirjoitamme seuraavan lauseen muodossa.

Lausunto 2.27. Jos f(z) on analyyttinen D:ssä, niin , jossa C on alueen D (yksinkertainen tai monimutkainen ääriviiva) raja.

Integraalinen Cauchyn kaava

Seuraava lause, toisin kuin kaksi edellistä, tarkastelee funktion integraalia, joka, vaikka se ei ole analyyttinen integrointiääriviivan rajoittamalla alueella, on erityinen muoto.

Lause 2.3. Jos funktio f(z) on analyyttinen alueella D ja sen rajalla C, niin missä tahansa toimialueen sisäisessä pisteessä a (a\in D) yhtälö pätee

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Alue D voidaan yksinkertaisesti yhdistää tai moninkertaisesti yhdistää, ja alueen raja voi olla yksinkertainen tai monimutkainen ääriviiva.

Todistus yksinkertaisesti yhdistetyn toimialueen tapaukselle perustuu Lauseen 2.1 tulokseen, ja moninkertaisesti yhdistetyn toimialueen tapauksessa se pelkistetään yksinkertaisesti yhdistettyjen toimialueiden tapaukseksi (kuten Lauseen 2.2 todistuksessa) tekemällä leikkauksia, jotka eivät kulkea pisteen a läpi.

On huomattava, että piste a ei kuulu alueen rajaan ja siksi integrandi on jatkuva C:ssä ja integraali on olemassa.

Lause on tärkeä sovellettu kiinnostava, nimittäin kaavan (2.57) mukaan funktioteorian niin kutsuttu raja-arvoongelma ratkaistaan: funktion arvoista toimialueen rajalla sen arvo missä tahansa sisäisessä piste määräytyy.

Huomautus 2.11. Lauseen ehdoilla integraali \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi määrittää analyyttisen funktion missä tahansa pisteessä z, joka ei kuulu ääriviivaan C, ja ääriviivan rajaaman äärellisen alueen D pisteissä se on yhtä suuri kuin f(z) (kaavan (2.57) mukaan) ja funktion \overline( D) se on yhtä suuri kuin nolla Cauchyn lauseen perusteella. Tämä integraali, jota kutsutaan Cauchyn integraaliksi, on Cauchyn tyyppisen integraalin (2.48) erikoistapaus. Tässä ääriviiva on suljettu, toisin kuin mielivaltainen in (2.48), ja funktio f(z) on analyyttinen, toisin kuin jatkuva l in (2.48). Näin ollen Cauchyn integraalille pätee lause 2.26 johdannaisten olemassaolosta, joka on formuloitu Cauchyn tyyppiselle integraalille. Tämän perusteella voidaan muotoilla seuraava lausunto.

Lausunto 2.28

1. Analyyttinen funktio missä tahansa analyyttisyyspisteessä voidaan kirjoittaa integraaliksi

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Analyyttisellä funktiolla on mitä tahansa luokkaa olevia derivaattoja, joille kaava pätee

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Kaava (2.59) antaa integraaliesityksen analyyttisen funktion derivaatoista.

Suljetun silmukan integraalien laskeminen

Otamme huomioon lomakkeen integraalit \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, jossa funktio \varphi(z) on analyyttinen D:ssä ja \psi(z) on polynomi, jolla ei ole nollia ääriviivalla C. Integraalien laskemiseen käytetään edellisen luennon lauseita ja niiden seurauksia.

Sääntö 2.6. Laskettaessa muodon integraaleja \oint\limits_(C)f(z)\,dz Riippuen polynomin \psi(z) nollien luonteesta (monikertaisuudesta) ja niiden sijainnista ääriviivaan C nähden, voidaan erottaa neljä tapausta.

1. Alueella D ei ole nollia polynomissa \psi(z). Sitten f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funktio on analyyttinen ja Cauchyn peruslausetta soveltaen meillä on tulos \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. Alueella D on polynomin \psi(z) yksi yksinkertainen nolla z=a. Sitten kirjoitetaan murto-osa muodossa \frac(f(z))(z-a) , missä f(z) on funktio, joka on analyyttinen \overline(D) -funktiossa. Integraalikaavaa soveltamalla saamme tuloksen:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. Alueella D on polynomin \psi(z) yksi monikertainen nolla z=a (moninkertaisesta n:stä). Sitten kirjoitamme murto-osan muotoon \frac(f(z))((z-a)^n), jossa f(z) on funktio, joka on analyyttinen \overline(D) -funktiossa. Käyttämällä kaavaa (2.59) saamme tuloksen

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Alue D sisältää kaksi polynomin nollaa \psi(z)\colon\,z_1=a ja z_2=b . Sitten Lauseen 2.2 johtopäätöstä 1 käyttäen kirjoitetaan integraali muodossa \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , missä C on mielivaltainen ääriviiva, joka rajoittaa pisteen a sisältävää aluetta.

▼ Ratkaisu

Tarkastellaan kaksinkertaisesti yhdistettyä aluetta, jonka toinen raja on ääriviiva C, toinen ympyrä |z-a|=R. Lauseen 2.2 (katso (2.56)) johdosta 2

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Kun otetaan huomioon esimerkin 2.84 ratkaisutulos (kaava (2.52)), saadaan vastaus \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Huomaa, että ratkaisu voidaan saada soveltamalla Cauchyn integraalikaavaa f(z)=1. Erityisesti saamme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, koska ääriviiva C kiertää pisteen z=0 kerran. Jos ääriviiva C kiertää pisteen z=0 k kertaa positiivisessa (k>0) tai negatiivisessa suunnassa (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Esimerkki 2.88. Laskea \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), jossa l on pisteet 1 ja z yhdistävä käyrä, joka kiertää kerran origon.

▼ Ratkaisu

Integrandi on jatkuva käyrällä - integraali on olemassa. Laskennassa käytämme edellisen esimerkin ja esimerkin 2.85 tuloksia. Tätä varten harkitse suljettua silmukkaa, joka yhdistää esimerkiksi pisteen A pisteeseen 1 (kuva 2.50). Integrointipolku pisteestä 1 pisteeseen z pisteen A kautta voidaan nyt esittää kahdesta käyrästä - suljetusta ääriviivasta C (käyrä BDEFAB) ja käyrästä l_0, joka yhdistää pisteet 1 ja z pisteen A kautta.

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Käyttämällä esimerkkien 2.85 ja 2.87 tuloksia, saamme vastauksen:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Muuttamatta geometrista kuvaa voidaan tarkastella tapausta, jossa käyrä kiertää origon n kertaa. Otetaan tulos

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Tuloksena oleva lauseke määrittelee moniarvoisen funktion \operaattorinimi(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), integrointipolku ei kulje origon kautta. Moniarvoisen lausekkeen haaran valinta määräytyy määrittämällä funktion arvo jossain vaiheessa.

Esimerkki 2.89. löytö \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), jos \ln1=4\pi i .

▼ Ratkaisu

Löydämme nimittäjän nollat - integrandin yksikköpisteet. Nämä ovat pisteet z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Seuraavaksi sinun on määritettävä pisteiden sijainti suhteessa integrointiääriviivaan. Molemmissa tapauksissa mikään pisteistä ei sisälly ääriviivan rajoittamaan alueeseen. Voit varmistaa tämän piirustuksen avulla. Molemmat ääriviivat ovat ympyröitä, ensimmäisen keskipiste on z_0=2+i ja säde R=2; toisen keskipiste z_0=-2i ja R=1. Voit määrittää, kuuluuko piste alueelle eri tavalla, eli määrittää sen etäisyys ympyrän keskipisteestä ja verrata sitä säteen arvoon. Esimerkiksi pisteelle z_2=4i tämä etäisyys on yhtä suuri kuin |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), joka on suurempi kuin säde (\sqrt(13)>2) , joten z_2=4i ei kuulu ympyrään |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Esimerkki 2.91. Laske seuraavissa tapauksissa ääriviivan spesifikaatiot C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2.

▼ Ratkaisu

Päätellen kuten edellisessä esimerkissä, huomaamme, että molemmissa tapauksissa vain yksi singulaaripisteistä z_1=0 sijaitsee ympyröiden sisällä. Siksi kirjoitamme integrandifunktion murtolukuna käyttämällä säännön 2.6 kappaletta 2 (Cauchyn integraalikaava). \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), jossa osoittaja f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)- funktio, joka on analyyttinen näissä piireissä. Vastaus on sama molemmissa tapauksissa:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\oikea|_(z=0)=0.

Esimerkki 2.92. Laskea \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz seuraavissa tapauksissa ääriviivan C\colon määrittelyssä a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2 .

▼ Ratkaisu

Integrointiääriviivat ovat ympyröitä, kuten edellä, ja tapauksessa "a" keskipiste on pisteessä z_0=-4i,~R=2, tapauksessa "b" - pisteessä z_0=1-3i,~R=2.nIn molemmissa tapauksissa yksi piste z_0=-4i putoaa vastaavien ympyröiden sisään. Säännön 2.6 lauseketta 2 soveltaen kirjoitamme integrand-funktion muotoon \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), jossa osoittaja f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) on analyyttinen toiminto tarkasteltavilla alueilla. Integraalikaavaa soveltamalla saamme vastauksen:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operaattorinimi(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operaattorinnimi(sh)1)(16)\,.

Esimerkki 2.93. Laske integraali seuraavissa ääriviivan määrittelytapauksissa: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2.

▼ Ratkaisu

Löydämme integrandin yksikköpisteet - nimittäjän z_1=i,~z_2=-2 nollat. Määritämme, että pisteet kuuluvat vastaaville alueille. "a":n tapauksessa ympyrässä |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

Tapauksessa "b" ympyrässä |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), Missä f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analyyttinen funktio ympyrässä |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Esimerkki 2.94. Laske integraali \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) seuraavissa tapauksissa ääriviivaa määritettäessä: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3.

▼ Ratkaisu

a) Ympyrään |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) ja soveltaa säännön 2.6 kohtaa 3 m=2 ja a=i. Laskemme integraalin:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+) 2)\oikea)")\oikea|_(z=i)= \vasen.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\oikea|_(z=i)= \vasen.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\oikea|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Ympyrään |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

jossa kumpikin ääriviivoista C_1 ja C_2 peittää vain yhden pisteistä. Erityisesti ympyrä edellisestä tapauksesta "a" voidaan ottaa ääriviivaksi C_1; C_2 - ympyrä esimerkistä 2,93 p. "b", ts. voit käyttää saatuja tuloksia. Kirjoitamme vastauksen muistiin:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigr).

Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.
Jotta voit suorittaa laskelmia, sinun on otettava ActiveX-komponentit käyttöön!

Tarkastellaan tasaista käyrää Γ parametristen yhtälöiden määrittelemällä kompleksitasolla

(tasaisen käyrän määritelmä on §8 alussa). Kuten § 8:ssa todetaan, nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa kompaktissa muodossa:

Kun muutat parametria t alkaen A/3 vastaavaan kohtaan z(t) liikkuu käyrää G pitkin. Siksi yhtälöt (15.1) ja (15.2) eivät ainoastaan määritä käyrän G pisteitä, vaan myös määrittävät tämän käyrän kulkusuunnan. Kutsutaan käyrää Г, jolla on tietty kulkusuunta suuntautunut käyrä.

Päästä alueelle D C C:lle annetaan jatkuva funktio /(r) = = u(x, y) + iv(x. y), ja anna käyrän G asettua sisään D. Esitellä integraalin käsite [f(z)dz toiminnosta f(z) käyrää Г pitkin määritetään r

ero dz tasa-arvo dz = dx + idy. Integrandilauseke muunnetaan muotoon

Siten kompleksisen funktion integraali f(z) käyrää Г pitkin on luonnollista määritellä tasa-arvolla

jonka oikealla puolella on kaksi toisen tyyppisten reaalifunktioiden todellista käyräviivaista integraalia Ja Ja Ja. Laske nämä integraalit sen sijaan X Ja klo korvaavat toiminnot x(t) ja t/(/), ja sen sijaan dx Ja dy- näiden toimintojen erot dx = x"(t)dt Ja dy = y"(t)dt. Tällöin (15.3):n oikealla puolella olevat integraalit pelkistetään kahdeksi reaalimuuttujan funktioiden integraaliksi t

Olemme nyt valmiita antamaan seuraavan määritelmän.

Integraali käyrää pitkin G kompleksisen muuttujan f(z) funktiosta on numero, jota tarkoittaa J" f(z)dz ja laskenut

Missä z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - käyrän yhtälö Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Esimerkki 15.1. Laske funktion integraali f(z) = (g - a) s pitkin ympyrää, jonka säde on r ja jonka keskipiste on a ja jonka suunta on vastapäivään.

Ratkaisu: Ympyrän yhtälö z - a= r tulee olemaan z - a = ge a, tai

Kun se muuttuu t. 0 - 2tg piste z(t.) liikkuu ympyrää G pitkin vastapäivään. Sitten

Soveltamalla yhtäläisyyttä (15.5) ja Moivren kaavaa (2.10) saadaan

Olemme saaneet jatkokeskustelun kannalta tärkeän tuloksen:

Huomaa, että integraalin arvo ei riipu säteestä G ympyrät.

Esimerkki 15.2. Laske funktion integraali f(z) = 1, mutta tasainen käyrä Г, jonka alku on pisteessä A ja päättyy johonkin pisteeseen b.

Ratkaisu: Olkoon yhtälöllä käyrä Г z(t.) = x(t) + + iy(t), ja ^ t^ /3, ja A= -g(a), b = z((3). Käyttämällä kaavaa (15.5) sekä Newtonin Leibnizin kaavaa todellisten funktioiden integraalien laskemiseen saadaan

Näemme, että integraali f 1 dz ei riipu yhdistävän polun G tyypistä

yhteiset pisteet a ja 6, a riippuu vain päätepisteistä.

Esittelemme lyhyesti toista lähestymistapaa kompleksisen funktion integraalin määrittämiseen f(z) käyrää pitkin, joka on samanlainen kuin segmentin reaalifunktion integraalin määritelmä.

Jaetaan käyrä Г mielivaltaisesti P piirroksia pisteillä zq = a, z 1, ..., z n-ь z n = b, numeroitu liikkeen suunnassa alkupisteestä päätepisteeseen (kuva 31). Merkitään z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = Azn.(Määrä Azk edustaa pisteestä tuleva vektori zi L_i sisään Zk-) Jokaisella sivustolla (zk-i,Zk) valitse mielivaltainen piste (d-) käyrästä ja muodosta summa

Tätä määrää kutsutaan kokonaissumma. Merkitään A:lla suurimman niistä osista, joihin käyrä G on jaettu. Tarkastellaan osioiden sarjaa, jolle A -? 0 (samaan aikaan P-* oo).

Integraalisummien yksikkö, joka lasketaan sillä ehdolla, että osion suurimman osan pituus pyrkii nollaan, on ns. funktion integraali/(G) käyrää pitkin G ja merkitty G:llä f(z)dz:

Voidaan osoittaa, että tämä määritelmä johtaa meidät myös kaavaan (15.3) ja on siten yhtä suuri kuin edellä annettu määritelmä (15.5).

Selvitetään integraalin / perusominaisuudet f(z)dz.

1°. Lineaarisuus. Kaikille kompleksisille vakioille a ja b

Tämä ominaisuus seuraa yhtälöstä (15.5) ja integraalin vastaavista ominaisuuksista segmentin yli.

2°. Additiivisuus. Jos käyrä G jaettu osiin Ti m G2, Että

Todiste. Olkoon käyrä Г, jonka päät a, b jaettuna pisteellä c kahteen osaan: käyrä Gi, jonka päät a, Kanssa ja käyrä GG, jonka päät ovat c, b. Olkoon Γ yhtälöllä z = z(t), A ^ t ^ V. ja A= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Silloin käyrien Г1 ja Гг yhtälöt ovat z = z(t), Missä A ^ t^7 Ti:lle ja 7^lle t^/? joukkueelle Gg. Soveltamalla määritelmää (15.5) ja integraalin vastaavia ominaisuuksia segmentin päälle saadaan

Q.E.D.

Ominaisuus 2° mahdollistaa integraalien laskemisen paitsi tasaisten käyrien lisäksi myös yli paloittain sileä, eli käyrät, jotka voidaan jakaa rajalliseen määrään sileitä osia.

3°. Kun käyrän suuntaa muutetaan, integraali muuttaa etumerkkiä.

Todiste l s t v o. Olkoon käyrä Г päillä A Ja b saadaan yhtälöllä r = r(?), o ^ t ^ $. Käyrä, joka koostuu samoista pisteistä kuin Γ, mutta poikkeaa Γ:stä kulkusuunnassa (orientaatiossa), merkitään Γ:llä. Sitten Г - saadaan yhtälöstä z= 2i(J)> missä z(t)= 2(0 -I -fi - t), Todellakin, otetaan käyttöön uusi muuttuja r = a + - t. Kun se muuttuu t kohdasta a paikkaan (d muuttuja g vaihtelee (5 kohtaan a. Näin ollen piste r(t) kulkee käyrää Γ".

3° ominaisuus on todistettu. (Huomaa, että integraalin (15.8) määritelmästä tämä ominaisuus seuraa suoraan: kun käyrän suunta muuttuu, kaikki inkrementit AZk vaihda merkki.)

4°. Integraalin f f(z)dz moduuli ei ylitä käyräviivan arvoa G

funktion moduulin lineaarinen integraali käyrän s pituudella (ensimmäisen tyyppinen f(z):n kaareva integraali):

Se on helppo nähdä z[(t) = g" g (t)(a + - t)J = -z" t (t), dt = -dr. Käyttämällä määritelmää (15.5) ja siirtymällä muuttujaan r saadaan

Todiste. Käyttäkäämme sitä tosiasiaa integraalille segmentin yli

(tämä epäyhtälö seuraa välittömästi segmentin yli olevan integraalin määritelmästä integraalisummien rajana). Täältä ja (15.5) alkaen meillä

Laskin ratkaisee integraalit toimintojen kuvauksella DETAILIN venäjäksi ja ilmaiseksi!

Epämääräisten integraalien ratkaiseminen

Tämä on verkkopalvelu yksi askel:

Määrällisten integraalien ratkaiseminen

Tämä on verkkopalvelu yksi askel:

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Syötä integraalin alaraja
Syötä integraalin yläraja

Kaksoisintegraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)

Virheellisten integraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Anna integroinnin ylempi alue (tai + ääretön)
Anna integroinnin alempi alue (tai - ääretön)

Kolmoisintegraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Syötä ala- ja ylärajat ensimmäiselle integrointialueelle
Syötä ala- ja yläraja toiselle integrointialueelle
Syötä ala- ja yläraja kolmannelle integrointialueelle

Tämän palvelun avulla voit tarkistaa omasi laskelmat oikeellisuuden vuoksi

Mahdollisuudet

Tukee kaikkia mahdollisia matemaattisia toimintoja: sini, kosini, eksponentti, tangentti, kotangentti, neliö- ja kuutiojuuret, potenssit, eksponentiaalit ja muut.
Syöttöistä on esimerkkejä, sekä epämääräisille integraaleille että epäsopiville ja määrätyille integraaleille.
Korjaa syöttämiesi lausekkeiden virheet ja tarjoaa omat syöttövaihtoehdot.
Numeerinen ratkaisu määrällisille ja väärille integraaleille (mukaan lukien kaksois- ja kolmoisintegraalit).
Tuki kompleksiluvuille sekä erilaisille parametreille (voit määrittää integrointimuuttujan lisäksi myös muita parametrimuuttujia integrandilausekkeessa)