X7 ratkaisu. Yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaariset yhtälöt, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Ensin määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja kumpaa kutsutaan yksinkertaisimmiksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Laajenna sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Anna samanlaiset termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun jotain $0\cdot x=8$ käy ilmi, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on jokin muu luku kuin nolla. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, kun tämä on mahdollista, yhtälö pelkistetään konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Katsotaan nyt, miten tämä kaikki toimii tosielämän esimerkein.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on laajennettava sulkuja, jos niitä on (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Yhdistä sitten samanlaiset
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. siirrä kaikki muuttujaan liittyvä – sen sisältämät termit – toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, toiselle puolelle.

Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlaiset molemmille puolille tuloksena olevaa yhtäläisyyttä, ja sen jälkeen jäljellä on vain jakaa kertoimella “x”, ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Tyypillisesti virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Tarkastelemme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, erittäin yksinkertaisia ​​tehtäviä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Ensinnäkin kirjoitan vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna kiinnikkeitä, jos sellaisia ​​on.
2. Eristämme muuttujat, ts. Siirrämme kaiken, mikä sisältää "X":n toiselle puolelle ja kaiken ilman X:ää toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, siinä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä nro 1

Ensimmäinen vaihe vaatii, että avaamme sulut. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomaa: puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan se ylös:

Esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Joten saimme vastauksen.

Tehtävä nro 2

Näemme tässä tehtävässä sulut, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman mallin, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. erottamalla muuttujat:

Tässä on joitain samanlaisia:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on useita sulkuja, mutta niitä ei kerrota millään, vaan niitä edeltää yksinkertaisesti eri merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Tehdään laskelma:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaa kaikki kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, niiden joukossa voi olla nolla - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muutkin; sinun ei pitäisi syrjiä sitä millään tavalla tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy kiinnikkeiden avaamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa vaihdamme merkit muotoon vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen vakioalgoritmeilla: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän ymmärtäminen yksinkertainen tosiasia avulla voit välttää typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisten toimien tekemistä pidetään itsestäänselvyytenä.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Jatketaan lisää monimutkaisia ​​yhtälöitä. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Tätä ei kuitenkaan pidä pelätä, koska jos tekijän suunnitelman mukaan ratkaisemme lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessin aikana kaikki neliöfunktion sisältävät monomit varmasti kumoutuvat.

Esimerkki nro 1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Katsotaanpa nyt yksityisyyttä:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten kirjoitamme tämän vastaukseen:

\[\varnothing\]

tai ei ole juuria.

Esimerkki nro 2

Suoritamme samat toiminnot. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai ei ole juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näitä kahta lauseketta esimerkkinä käyttämällä vakuutimme jälleen, että yksinkertaisimmissakin lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei välttämättä ole niin yksinkertaista: juuria voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta juuria. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmilla ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulkeiden kanssa ja kuinka avata ne, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "X":llä. Huomaa: moninkertaistuu jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrottu.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voit avata sulun siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset ovat valmiit, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sarja, jossa kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja pätevästi yksinkertaisia ​​​​toimintoja johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat jälleen ratkaisemaan tällaisia ​​​​yksinkertaisia ​​​​yhtälöitä.

Tietysti tulee päivä, jolloin hiotte näitä taitoja automaattisuuteen asti. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, vaan kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä nro 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään vähän yksityisyyttä:

Tässä on joitain samanlaisia:

Suoritetaan viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä lineaarisen eikä neliöllisen.

Tehtävä nro 2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Suoritetaan ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerro jokainen elementti ensimmäisestä hakasulkeesta kullakin elementillä toisesta. Muutosten jälkeen tulee olla yhteensä neljä uutta termiä:

Suoritetaan nyt kertominen huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "X":llä vasemmalle ja termit, joissa ei ole - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Jälleen kerran olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkuja, jotka sisältävät useamman kuin yhden termin, tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella alkiolla toinen; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tämän seurauksena meillä on neljä toimikautta.

Tietoja algebrallisesta summasta

Tällä viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennä seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Näin algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvattujen rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi tarkastellaan vielä paria esimerkkiä, jotka ovat vielä monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi meidän on lisättävä algoritmiimme vielä yksi vaihe. Mutta aluksi haluan muistuttaa sinua algoritmistamme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlaisia.
4. Jaa suhteella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​​​huolimatta ei osoittautunut täysin sopivaksi, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, meillä on murto-osa sekä vasemmalla että oikealla molemmissa yhtälöissä.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan tehdä sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin murto-osien poistaminen. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlaisia.
5. Jaa suhteella.

Mitä tarkoittaa "eroon murto-osista"? Ja miksi tämä voidaan tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat nimittäjällään numeerisia, ts. Kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat puolet tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki nro 1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi sulkumerkkiä, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa jokainen niistä "neljällä". kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Nyt laajennetaan:

Erotamme muuttujan:

Suoritamme vastaavien termien vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrytään toiseen yhtälöön.

Esimerkki nro 2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma on ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa sinulle tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos näet neliöfunktiot, todennäköisimmin ne vähenevät jatkomuutosprosessissa.
• Lineaarisissa yhtälöissä on kolmenlaisia ​​juuria, jopa yksinkertaisimpia: yksi juuri, koko lukurivi on juuri eikä juuria ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, paljon muuta mielenkiintoista odottaa sinua!

Ohjeet. varten online-ratkaisuja on tarpeen valita yhtälön tyyppi ja asettaa vastaavien matriisien mitat.

Esimerkki nro 1. Harjoittele. Etsi matriisiyhtälön ratkaisu
Ratkaisu. Merkitään:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: A·X·B = C.
Matriisin A determinantti on yhtä suuri kuin detA=-1
Koska A on ei-singulaarinen matriisi, on olemassa käänteimatriisi A -1 . Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet A -1:llä: Kerro tämän yhtälön molemmat puolet vasemmalla arvolla A -1 ja oikealla B -1:llä: A -1 ·A·X·B·B -1 = A-1 · C · B -1. Koska A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, niin X = A -1 C B -1

käänteinen matriisi A-1:
Etsitään käänteismatriisi B -1.
Transponoitu matriisi B T:
Käänteismatriisi B -1:
Etsimme matriisia X kaavalla: X = A -1 ·C·B -1

Vastaus:

Esimerkki nro 2. Harjoittele. Ratkaise matriisiyhtälö
Ratkaisu. Merkitään:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: A·X = B.
Matriisin A determinantti on detA=0
Koska A on singulaarimatriisi (determinantti on 0), yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Esimerkki nro 3. Harjoittele. Etsi matriisiyhtälön ratkaisu
Ratkaisu. Merkitään:
Sitten matriisiyhtälö kirjoitetaan muodossa: X A = B.
Matriisin A determinantti on detA=-60
Koska A on ei-singulaarinen matriisi, on olemassa käänteimatriisi A -1 . Kerrotaan oikealla olevan yhtälön molemmat puolet A -1:llä: X A A -1 = B A -1, josta saamme selville, että X = B A -1
Etsitään käänteismatriisi A -1 .
Transponoitu matriisi A T:
Käänteinen matriisi A -1:
Etsimme matriisia X kaavalla: X = B A -1


Vastaus: >

Ilmainen laskin, jonka tarjoamme tietoosi, sisältää runsaasti mahdollisuuksia matemaattisiin laskelmiin. Sen avulla voit käyttää online-laskinta eri aloilla aktiviteetit: koulutuksellinen, ammattilainen Ja kaupallinen. Tietenkin online-laskimen käyttö on erityisen suosittua opiskelijat Ja koulu lapset, sen avulla heidän on paljon helpompi suorittaa erilaisia ​​laskelmia.

Laskimesta voi kuitenkin tulla hyödyllinen työkalu joillakin liiketoiminnan aloilla ja ihmisille eri ammatteja. Tietenkin tarve käyttää laskinta liiketoiminnassa tai työtoimintaa määräytyy ensisijaisesti itse toiminnan tyypin mukaan. Jos yritykseesi ja ammattiin liittyy jatkuvaa laskelmaa ja laskelmia, kannattaa kokeilla sähköistä laskinta ja arvioida sen käyttökelpoisuus tiettyyn tehtävään.

Tämä online-laskin voi

• Suorita standardi oikein matemaattiset funktiot, kirjoitettu yhdellä rivillä kuten - 12*3-(7/2) ja pystyy käsittelemään suurempia numeroita kuin pystymme laskemaan suuria lukuja online-laskimella. Emme edes tiedä, miksi tällaista numeroa pitäisi kutsua oikein ( siinä on 34 merkkiä, eikä tämä ole ollenkaan raja).
• Paitsi tangentti, kosini, sini ja muut vakiotoiminnot - laskin tukee laskentatoimintoja arctangentti, arckotangentti ja muut.
• Saatavilla Arsenalissa logaritmit, tekijät ja muita mielenkiintoisia ominaisuuksia
• Tämä online-laskin osaa rakentaa kaavioita!!!

Palvelu käyttää kaavioiden piirtämiseen erikoispainiketta (kaavio piirretään harmaalla) tai tämän funktion kirjainesitystä (Plot). Luodaksesi kaavion online-laskimessa, kirjoita funktio: plot(tan(x)),x=-360..360.

Otimme tangentin yksinkertaisimman kaavion ja desimaalipilkun jälkeen ilmoitimme X-muuttujan alueen -360:sta 360:een.

Voit rakentaa täysin minkä tahansa funktion millä tahansa määrällä muuttujia, esimerkiksi tämän: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) tai vielä monimutkaisempi, mitä voit keksiä. Kiinnitä huomiota muuttujan X käyttäytymiseen - aikaväli alkaen ja to osoitetaan kahdella pisteellä.

Ainoa negatiivinen (vaikka sitä on vaikea kutsua haitaksi) tässä online-laskin tämä johtuu siitä, että hän ei osaa rakentaa palloja ja muita kolmiulotteisia hahmoja - vain tasoa.

Kuinka käyttää matematiikkalaskinta

1. Näyttö (laskinnäyttö) näyttää syötetyn lausekkeen ja sen laskennan tuloksen tavallisilla symboleilla, kuten kirjoitamme paperille. Tämä kenttä on vain nykyisen tapahtuman tarkastelua varten. Tieto tulee näkyviin näytölle, kun kirjoitat matemaattisen lausekkeen syöttöriville.

2. Lausekkeen syöttökenttä on tarkoitettu laskettavan lausekkeen tallentamiseen. Tässä on huomattava, että käytetyt matemaattiset symbolit tietokoneohjelmat, eivät aina täsmää niiden kanssa, joita tavallisesti käytämme paperilla. Jokaisen laskimen toiminnon yleiskatsauksesta löydät oikean nimen tietylle toiminnolle ja esimerkkejä laskimen laskutoimituksista. Tällä sivulla alla on luettelo kaikista mahdollisista laskimen toiminnoista sekä niiden oikea kirjoitusasu.

3. Työkalurivi – nämä ovat laskimen painikkeita, jotka korvaavat manuaalisen syöttämisen matemaattiset symbolit, joka osoittaa vastaavan toiminnon. Jotkut laskimen painikkeet (lisätoiminnot, yksikkömuunnin, matriisien ja yhtälöiden ratkaiseminen, kaaviot) täydentävät tehtäväpalkkia uusilla kentillä, joihin syötetään tietyn laskutoimituksen tiedot. "Historia"-kenttä sisältää esimerkkejä matemaattisten lausekkeiden kirjoittamisesta sekä kuusi viimeisintä merkintääsi.

Huomaa, että kun painat painikkeita lisäfunktioiden, yksikkömuuntimen, matriisien ja yhtälöiden ratkaisemiseksi sekä kaavioiden piirtämiseksi, koko laskinpaneeli liikkuu ylöspäin peittäen osan näytöstä. Täytä vaaditut kentät ja paina "I"-näppäintä (korostettu kuvassa punaisella) nähdäksesi täysikokoisen näytön.

4. Numeronäppäimistö sisältää numeroita ja aritmeettisia symboleja. "C"-painike poistaa koko merkinnän lausekkeen syöttökentästä. Voit poistaa merkkejä yksitellen käyttämällä syöttörivin oikealla puolella olevaa nuolta.

Yritä sulkea aina sulut lausekkeen lopussa. Useimmille toimille tämä ei ole kriittinen; online-laskin laskee kaiken oikein. Joissakin tapauksissa voi kuitenkin tapahtua virheitä. Esimerkiksi, kun nostetaan murto-osaan, sulkemattomat sulut saavat eksponentin murto-osan nimittäjän siirtymään kantaluvun nimittäjään. Sulkusulku näkyy näytöllä vaaleanharmaana, ja se tulee sulkea, kun tallennus on valmis.

I. ax 2 =0 – epätäydellinen toisen asteen yhtälö (b = 0, c = 0 ). Ratkaisu: x=0. Vastaus: 0.

Ratkaise yhtälöt.

2x·(x+3)=6x-x2.

Ratkaisu. Avataan sulut kertomalla 2x jokaiselle suluissa olevalle termille:

2x2 +6x=6x-x2; Siirrämme termit oikealta puolelta vasemmalle:

2x2 +6x-6x+x2 =0; Tässä on samanlaisia ​​termejä:

3x2 =0, joten x=0.

Vastaus: 0.

II. ax 2 +bx=0 –epätäydellinen toisen asteen yhtälö (c = 0 ). Ratkaisu: x (ax+b)=0 → x 1 =0 tai ax+b=0 → x 2 =-b/a. Vastaus: 0; -b/a.

5x 2 -26x = 0.

Ratkaisu. Otetaan yhteinen tekijä pois X sulujen ulkopuolella:

x(5x-26)=0; jokainen tekijä voi olla nolla:

x=0 tai 5x-26 = 0→ 5x=26, jaa tasa-arvon molemmat puolet 5 ja saamme: x=5.2.

Vastaus: 0; 5,2.

Esimerkki 3. 64x+4x2 =0.

Ratkaisu. Otetaan yhteinen tekijä pois 4x sulujen ulkopuolella:

4x(16+x)=0. Meillä on kolme tekijää, 4≠0, siis tai x=0 tai 16+x=0. Viimeisestä yhtälöstä saadaan x=-16.

Vastaus: -16; 0.

Esimerkki 4.(x-3) 2 + 5x = 9.

Ratkaisu. Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen eron neliölle, avaamme sulut:

x 2 -6x+9+5x=9; muuntaa muotoon: x 2 -6x+9+5x-9=0; Esitetään samanlaiset termit:

x2-x=0; otamme sen pois X hakasulkeiden ulkopuolella saamme: x (x-1)=0. Täältä tai x=0 tai x-1 = 0→ x=1.

Vastaus: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –epätäydellinen toisen asteen yhtälö (b = 0 ); Ratkaisu: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Jos (-c/a)<0 , silloin ei ole todellisia juuria. Jos (-с/а)>0

Esimerkki 5. x 2 -49 = 0.

Ratkaisu.

x 2 = 49, täältä x=±7. Vastaus:-7; 7.

Esimerkki 6. 9x 2 -4 = 0.

Ratkaisu.

Usein sinun on löydettävä neliösumma (x 1 2 +x 2 2) tai kuutioiden summa (x 1 3 +x 2 3) toisen asteen yhtälön juurista, harvemmin - käänteisarvojen summa. juurien neliöiden tai aritmeettisen summan neliöjuuret toisen asteen yhtälön juurista:

Vietan lause voi auttaa tässä:

x 2 +px+q=0

x1 + x2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Ilmaistaan kautta s Ja q:

1) yhtälön juurten neliöiden summa x 2 +px+q=0;

2) yhtälön juurien kuutioiden summa x 2 +px+q=0.

Ratkaisu.

1) Ilmaisu x 1 2 + x 2 2 saadaan neliöimällä yhtälön molemmat puolet x1 + x2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2; avaa sulut: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; ilmaisemme vaaditun määrän: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Saimme hyödyllisen tasa-arvon: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) Ilmaisu x 1 3 + x 2 3 Esitetään kuutioiden summa kaavalla:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Toinen hyödyllinen yhtälö: x13 +x23 = -p·(p2-3q).

Esimerkkejä.

3) x 2 - 3 x - 4 = 0. Ratkaisematta yhtälöä, laske lausekkeen arvo x 1 2 + x 2 2.

Ratkaisu.

x 1 + x 2 =-p=3, ja työ x 1 ∙x 2 =q=esimerkissä 1) tasa-arvo:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. Meillä on -s=x 1 +x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. Sitten x 1 2 + x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Vastaus: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Laske: x 1 3 + x 2 3 .

Ratkaisu.

Vietan lauseen mukaan tämän pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurien summa on x 1 + x 2 =-p=2, ja työ x 1 ∙x 2 =q=-4. Sovelletaan sitä mitä olemme saaneet ( esimerkissä 2) tasa-arvo: x13 +x23 =-p·(p2-3q)= 2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Vastaus: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Kysymys: entä jos meille annetaan pelkistämätön toisen asteen yhtälö? Vastaus: sitä voidaan aina "vähentää" jakamalla termi termiltä ensimmäisellä kertoimella.

5) 2x 2 -5x-7 = 0. Päättämättä laske: x 1 2 + x 2 2.

Ratkaisu. Meille annetaan täydellinen toisen asteen yhtälö. Jaa yhtälön molemmat puolet kahdella (ensimmäinen kerroin) ja hanki seuraava toisen asteen yhtälö: x 2 -2,5x-3,5 = 0.

Vietan lauseen mukaan juurien summa on yhtä suuri kuin 2,5 ; juurten tulo on yhtä suuri -3,5 .

Ratkaisemme sen samalla tavalla kuin esimerkissä 3) tasa-arvoa käyttäen: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Vastaus: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0. Löytö:

Muunnetaan tämä yhtälö ja korvataan Vietan lausetta käyttäen juurten summa läpi -s, ja tuotteen juuret läpi q, saamme toisen hyödyllisen kaavan. Kaavaa johdettaessa käytimme yhtälöä 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

Meidän esimerkissämme x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Korvaamme nämä arvot tuloksena olevaan kaavaan:

7) x 2 -13x+36=0. Löytö:

Muunnetaan tämä summa ja saadaan kaava, jolla voidaan löytää aritmeettisten neliöjuurien summa toisen yhtälön juurista.

Meillä on x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙x 2 =q = 36. Korvaamme nämä arvot tuloksena olevaan kaavaan:

Neuvoja : tarkista aina mahdollisuus löytää toisen asteen yhtälön juuret sopivalla menetelmällä, koska 4 tarkistettu hyödyllisiä kaavoja avulla voit suorittaa tehtävän nopeasti, varsinkin tapauksissa, joissa erottaja on "epämukava" numero. Kaikissa yksinkertaisissa tapauksissa etsi juuret ja käytä niitä. Esimerkiksi viimeisessä esimerkissä valitaan juuret käyttämällä Vietan lausetta: juurien summan tulee olla yhtä suuri 13 , ja juurien tuote 36 . Mitä nämä luvut ovat? Varmasti, 4 ja 9. Laske nyt näiden lukujen neliöjuurien summa: 2+3=5. Se siitä!

I. Vietan lause pelkistetylle toisen asteen yhtälölle.

Vähennetyn toisen asteen yhtälön juurien summa x 2 +px+q=0 on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi:

x1 + x2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Etsi annetun toisen yhtälön juuret Vietan lauseen avulla.

Esimerkki 1) x 2 -x-30 = 0. Tämä on pelkistetty toisen asteen yhtälö ( x 2 +px+q=0), toinen kerroin p = -1, ja ilmainen jäsen q = -30. Varmista ensin, että tällä yhtälöllä on juuret ja että juuret (jos niitä on) ilmaistaan ​​kokonaislukuina. Tätä varten riittää, että diskriminantti on kokonaisluvun täydellinen neliö.

Erottajan löytäminen D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nyt Vietan lauseen mukaan juurien summan tulee olla yhtä suuri kuin toinen vastakkaisella etumerkillä otettu kerroin, ts. ( -s), ja tuote on yhtä suuri kuin vapaa termi, ts. ( q). Sitten:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Meidän on valittava kaksi numeroa siten, että niiden tulo on yhtä suuri -30 , ja määrä on yksikkö. Nämä ovat numeroita -5 Ja 6 . Vastaus: -5; 6.

Esimerkki 2) x 2 +6x+8=0. Meillä on pelkistetty neliöyhtälö toisella kertoimella p = 6 ja vapaajäsen q = 8. Varmistetaan, että on olemassa kokonaislukujuuria. Etsitään erontekijä D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminantti D 1 on luvun täydellinen neliö 1 , mikä tarkoittaa, että tämän yhtälön juuret ovat kokonaislukuja. Valitaan juuret Vietan lauseella: juurien summa on yhtä suuri –р=-6, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin q = 8. Nämä ovat numeroita -4 Ja -2 .

Itse asiassa: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Vastaus: -4; -2.

Esimerkki 3) x 2 +2x-4=0. Tässä pelkistetyssä toisen asteen yhtälössä toinen kerroin p = 2, ja ilmainen jäsen q = -4. Etsitään erontekijä D 1, koska toinen kerroin on parillinen luku. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminantti ei ole täydellinen luvun neliö, joten teemme johtopäätös: Tämän yhtälön juuret eivät ole kokonaislukuja, eikä niitä voida löytää käyttämällä Vietan lausetta. Tämä tarkoittaa, että ratkaisemme tämän yhtälön tavalliseen tapaan kaavoilla (tässä tapauksessa kaavoilla). Saamme:

Esimerkki 4). Kirjoita neliöyhtälö käyttämällä sen juuria if x 1 = -7, x 2 = 4.

Ratkaisu. Vaadittu yhtälö kirjoitetaan muodossa: x 2 +px+q=0, ja perustuu Vietan lauseeseen –p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Sitten yhtälö saa muodon: x 2 +3x-28 = 0.

Esimerkki 5). Kirjoita neliöyhtälö sen juurilla, jos:

II. Vietan lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle ax 2 +bx+c=0.

Juurien summa on miinus b, jaettuna A, juurten tulo on yhtä suuri kuin Kanssa, jaettuna V:

x1 + x2 = -b/a; x 1 ∙ x 2 = c/a.

Esimerkki 6). Etsi toisen asteen yhtälön juurien summa 2x 2 -7x-11 = 0.

Ratkaisu.

Varmistamme, että tällä yhtälöllä on juuret. Tätä varten riittää, että luodaan lauseke diskriminantille, ja ilman sen laskemista varmista vain, että diskriminantti on suurempi kuin nolla. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Nyt käytetään lause Vieta täydellisille toisen asteen yhtälöille.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Esimerkki 7). Etsi toisen asteen yhtälön juurten tulo 3x2 +8x-21=0.

Ratkaisu.

Etsitään erontekijä D 1, koska toinen kerroin ( 8 ) on parillinen luku. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Neliöyhtälössä on 2 juuri, Vietan lauseen mukaan juurien tulo x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– yleinen toisen asteen yhtälö

Syrjivä D = b 2 - 4ac.

Jos D>0, niin meillä on kaksi todellista juurta:

Jos D = 0, niin meillä on yksi juuri (tai kaksi yhtä suurta juuria) x=-b/(2a).

Jos D<0, то действительных корней нет.

Esimerkki 1) 2x 2 +5x-3 = 0.

Ratkaisu. a=2; b=5; c=-3.

D = b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 todellista juuria.

4x 2 +21x+5 = 0.

Ratkaisu. a=4; b=21; c=5.

D = b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5 = 441-80 = 361 = 19 2 > 0; 2 todellista juuria.

II. ax 2 +bx+c=0 – tietyn muodon toisen asteen yhtälö jopa kakkosella

kerroin b

Esimerkki 3) 3x2 -10x+3=0.

Ratkaisu. a=3; b=-10 (parillinen luku); c=3.

Esimerkki 4) 5x 2 -14x-3 = 0.

Ratkaisu. a=5; b= -14 (parillinen luku); c=-3.

Esimerkki 5) 71x2 +144x+4=0.

Ratkaisu. a=71; b=144 (parillinen luku); c=4.

Esimerkki 6) 9x2 -30x+25=0.

Ratkaisu. a=9; b=-30 (parillinen luku); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – toisen asteen yhtälö yksityinen tyyppi tarjotaan: a-b+c=0.

Ensimmäinen juuri on aina yhtä suuri kuin miinus yksi ja toinen juuri on aina yhtä suuri kuin miinus Kanssa, jaettuna A:

x 1 = -1, x 2 = -c/a.

Esimerkki 7) 2x 2 +9x+7=0.

Ratkaisu. a=2; b=9; c=7. Tarkastellaan tasa-arvoa: a-b+c=0. Saamme: 2-9+7=0 .

Sitten x 1 = -1, x 2 = -c/a = -7/2 = -3,5. Vastaus: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – tietyn muodon toisen asteen yhtälö : a+b+c=0.

Ensimmäinen juuri on aina yhtä suuri kuin yksi ja toinen juuri on yhtä suuri Kanssa, jaettuna A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Esimerkki 8) 2x 2 -9x+7=0.

Ratkaisu. a=2; b=-9; c=7. Tarkastellaan tasa-arvoa: a+b+c=0. Saamme: 2-9+7=0 .

Sitten x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5. Vastaus: 1; 3,5.

Sivu 1/1 1

1. Järjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä.
2. Systeemin ratkaiseminen systeemiyhtälöiden termi kerrallaan lisäämisellä (vähennyksellä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmällä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. Express. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termi kerrallaan yhteenlasku- (vähennys-) menetelmällä tarvitsee:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme identtiset kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöitä, jolloin saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaise tuloksena oleva lineaarinen yhtälö. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisuna ovat funktiokaavioiden leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y = 3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, mikä tarkoittaa, että on helpoin ilmaista muuttuja x toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2.Kun olemme ilmaisseet sen, korvaamme ensimmäiseen yhtälöön muuttujan x sijasta 3+10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avaa sulut)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisuna ovat graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Etsitään x, ensimmäisessä pisteessä, jossa sen ilmaisimme, korvataan y.
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa pisteitä ensin muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlasku- (vähennys) -menetelmällä.

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitsemme muuttujan, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n mihin tahansa yhtälöön, vaikkapa ensimmäiseen yhtälöön.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa ilmaiseksi. Ihan totta.