Ce qu’on appelle le bord de la face latérale de base du prisme. A quoi ressemble un prisme rectangulaire ?

Définition.

Il s'agit d'un hexagone dont les bases sont deux carrés égaux et les faces latérales sont des rectangles égaux

Côte latérale- est le côté commun de deux faces latérales adjacentes

Hauteur du prisme- c'est un segment perpendiculaire aux bases du prisme

Diagonale du prisme- un segment reliant deux sommets des bases n'appartenant pas à la même face

Plan diagonal- un plan qui passe par la diagonale du prisme et ses bords latéraux

Section diagonale- les limites de l'intersection du prisme et du plan diagonal. La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle

Section perpendiculaire (section orthogonale)- c'est l'intersection d'un prisme et d'un plan tracé perpendiculairement à ses bords latéraux

Éléments d'un prisme quadrangulaire régulier

La figure montre deux prismes quadrangulaires réguliers, qui sont indiqués par les lettres correspondantes :

• Les bases ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont égales et parallèles entre elles
• Faces latérales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C et CC 1 D 1 D, dont chacune est un rectangle
• Surface latérale - la somme des aires de toutes les faces latérales du prisme
• Surface totale - la somme des aires de toutes les bases et faces latérales (somme de l'aire de la surface latérale et des bases)
• Côtes latérales AA 1, BB 1, CC 1 et DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Diagonale de base BD
• Section diagonale BB 1 D 1 D
• Coupe perpendiculaire A 2 B 2 C 2 D 2.

Propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier

• Les bases sont deux carrés égaux
• Les bases sont parallèles les unes aux autres
• Les faces latérales sont des rectangles
• Les bords latéraux sont égaux les uns aux autres
• Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases
• Les côtes latérales sont parallèles entre elles et égales
• Section perpendiculaire perpendiculaire à toutes les nervures latérales et parallèle aux bases
• Angles de section perpendiculaire - droits
• La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle
• Perpendiculaire (section orthogonale) parallèle aux bases

Formules pour un prisme quadrangulaire régulier

Instructions pour résoudre les problèmes

Prisme correct- un prisme à la base duquel se trouve un polygone régulier, et dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux plans de la base. Autrement dit, un prisme quadrangulaire régulier contient à sa base carré. (voir propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier ci-dessus) Note. Cela fait partie d'une leçon avec des problèmes de géométrie (stéréométrie de section - prisme). Voici des problèmes difficiles à résoudre. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Pour indiquer l'action de récupération racine carrée le symbole est utilisé pour résoudre des problèmes√ .

Tâche.

La diagonale d'un prisme régulier se forme avec la diagonale de la base et la hauteur du prisme triangle rectangle. Ainsi, selon le théorème de Pythagore, la diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier donné sera égale à :
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Répondre: 22 cm

Tâche

Solution.
Puisque la base d'un prisme quadrangulaire régulier est un carré, on trouve le côté de la base (noté a) à l'aide du théorème de Pythagore :

Un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
une = √12,5

La hauteur de la face latérale (notée h) sera alors égale à :

H 2 + 12,5 = 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

La surface totale sera égale à la somme de la surface latérale et du double de la surface de base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Réponse : 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Conférence: Prisme, ses bases, nervures latérales, hauteur, surface latérale; prisme droit; prisme correct

Prisme

Si tu as appris avec nous chiffres plats des questions précédentes, cela signifie que vous êtes tout à fait prêt à étudier des figures tridimensionnelles. Le premier solide que nous apprendrons sera un prisme.

Prisme est un corps volumétrique qui a un grand nombre de visages.

Cette figure comporte deux polygones à la base, situés dans des plans parallèles, et toutes les faces latérales ont la forme d'un parallélogramme.

Voyons donc en quoi consiste un prisme. Pour ce faire, faites attention à la Fig. 1

Comme mentionné précédemment, un prisme a deux bases parallèles : ce sont les pentagones ABCEF et GMNJK. De plus, ces polygones sont égaux les uns aux autres.

Toutes les autres faces du prisme sont appelées faces latérales - elles sont constituées de parallélogrammes. Par exemple BMNC, AGKF, FKJE, etc.

La surface totale de toutes les faces latérales est appelée surface latérale.

Chaque paire de faces adjacentes possède un côté commun. Ce côté commun s’appelle une arête. Par exemple MV, SE, AB, etc.

Si les bases supérieure et inférieure du prisme sont reliées par une perpendiculaire, on l'appellera alors la hauteur du prisme. Sur la figure, la hauteur est marquée par la ligne droite OO 1.

Il existe deux principaux types de prisme : oblique et droit.

Si les bords latéraux du prisme ne sont pas perpendiculaires aux bases, alors un tel prisme est appelé incliné.

Si toutes les arêtes d'un prisme sont perpendiculaires aux bases, alors un tel prisme est appelé droit.

Si les bases d'un prisme contiennent des polygones réguliers (ceux avec des côtés égaux), alors un tel prisme est appelé correct.

Si les bases d'un prisme ne sont pas parallèles entre elles, alors un tel prisme sera appelé tronqué.

Vous pouvez le voir sur la figure 2

Formules pour trouver le volume et l'aire d'un prisme

Il existe trois formules de base pour trouver du volume. Ils diffèrent les uns des autres par leur application :

Formules similaires pour trouver la surface d'un prisme :

Définition 1. Surface prismatique
Théorème 1. Sur des sections parallèles d'une surface prismatique
Définition 2. Section perpendiculaire d'une surface prismatique
Définition 3. Prisme
Définition 4. Hauteur du prisme
Définition 5. Prisme droit
Théorème 2. L'aire de la surface latérale du prisme

Parallélépipède:
Définition 6. Parallélépipède
Théorème 3. Sur l'intersection des diagonales d'un parallélépipède
Définition 7. Parallélépipède droit
Définition 8. Parallélépipède rectangulaire
Définition 9. Mesures d'un parallélépipède
Définition 10. Cube
Définition 11. Rhomboèdre
Théorème 4. Sur les diagonales d'un parallélépipède rectangle
Théorème 5. Volume d'un prisme
Théorème 6. Volume d'un prisme droit
Théorème 7. Volume d'un parallélépipède rectangle

Prisme est un polyèdre dont les deux faces (bases) se trouvent dans des plans parallèles, et les arêtes qui ne se trouvent pas dans ces faces sont parallèles entre elles.
Les faces autres que les bases sont appelées latéral.
Les côtés des faces latérales et des bases sont appelés côtes prismatiques, les extrémités des arêtes sont appelées les sommets du prisme. Côtes latérales les arêtes qui n'appartiennent pas aux bases sont appelées. L'union des faces latérales s'appelle surface latérale du prisme, et l'union de tous les visages s'appelle toute la surface du prisme. Hauteur du prisme appelée la perpendiculaire tombée du point de la base supérieure au plan de la base inférieure ou la longueur de cette perpendiculaire. Prisme direct appelé prisme dont les nervures latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Correct appelé prisme droit (Fig. 3), à la base duquel se trouve un polygone régulier.

Désignations :
l - côte latérale ;
P - périmètre de base ;
S o - superficie de base ;
H - hauteur ;
P^ - périmètre de section perpendiculaire ;
S b - surface latérale ;
V-volume ;
S p est l'aire de la surface totale du prisme.

Définition 2 . Une section perpendiculaire d'une surface prismatique est une section de cette surface par un plan perpendiculaire à ses bords. D’après le théorème précédent, toutes les sections perpendiculaires d’une même surface prismatique seront des polygones égaux.

Définition 3 . Un prisme est un polyèdre délimité par une surface prismatique et deux plans parallèles entre eux (mais non parallèles aux bords de la surface prismatique)
Les visages situés dans ces derniers plans sont appelés bases de prisme; faces appartenant à la surface prismatique - faces latérales; bords de la surface prismatique - nervures latérales du prisme. En vertu du théorème précédent, la base du prisme est polygones égaux. Toutes les faces latérales du prisme - parallélogrammes; toutes les côtes latérales sont égales les unes aux autres.
Évidemment, si l'on donne la base du prisme ABCDE et l'une des arêtes AA" en taille et direction, alors il est possible de construire un prisme en dessinant des arêtes BB", CC", ... égales et parallèles à l'arête AA" .

Définition 4 . La hauteur d'un prisme est la distance entre les plans de ses bases (HH").

Définition 5 . Un prisme est dit droit si ses bases sont des sections perpendiculaires de la surface prismatique. Dans ce cas, la hauteur du prisme est bien entendu sa côte latérale; les bords latéraux seront rectangles.
Les prismes peuvent être classés selon le nombre de faces latérales égal au nombre de côtés du polygone qui lui sert de base. Ainsi, les prismes peuvent être triangulaires, quadrangulaires, pentagonaux, etc.

Théorème 2 . La surface latérale du prisme est égale au produit côte latérale au périmètre de la section perpendiculaire.
Soit ABCDEA"B"C"D"E" un prisme donné et abcde sa section perpendiculaire, de sorte que les segments ab, bc, .. soient perpendiculaires à ses arêtes latérales. La face ABA"B" est un parallélogramme ; son aire est égal au produit de la base AA " par une hauteur qui coïncide avec ab ; l'aire de la face ВСВ "С" est égale au produit de la base ВВ" par la hauteur bc, etc. Par conséquent, la surface latérale (c'est-à-dire la somme des aires des faces latérales) est égale au produit du bord latéral, c'est-à-dire la longueur totale des segments AA", ВВ", .., pour la somme ab+bc+cd+de+ea.

Polyèdres

Le principal objet d'étude de la stéréométrie sont les corps spatiaux. Corps représente une partie de l'espace limitée par une certaine surface.

Polyèdre est un corps dont la surface est constituée d'un nombre fini de polygones plats. Un polyèdre est dit convexe s’il est situé d’un côté du plan de chaque polygone plan sur sa surface. La partie commune d'un tel plan et de la surface d'un polyèdre est appelée bord. Les faces d'un polyèdre convexe sont des polygones plats convexes. Les côtés des visages sont appelés bords du polyèdre, et les sommets sont sommets du polyèdre.

Par exemple, un cube est constitué de six carrés, qui sont ses faces. Il contient 12 arêtes (les côtés des carrés) et 8 sommets (les sommets des carrés).

Les polyèdres les plus simples sont les prismes et les pyramides, que nous étudierons plus en détail.

Prisme

Définition et propriétés d'un prisme

Prisme est un polyèdre constitué de deux polygones plats situés dans des plans parallèles combinés par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces polygones. Les polygones sont appelés bases de prisme, et les segments reliant les sommets correspondants des polygones sont bords latéraux du prisme.

Hauteur du prisme est appelée la distance entre les plans de ses bases (). Un segment reliant deux sommets d'un prisme n'appartenant pas à la même face est appelé diagonale du prisme(). Le prisme s'appelle n-carbone, si sa base contient un n-gon.

Tout prisme possède les propriétés suivantes, résultant du fait que les bases du prisme sont combinées par translation parallèle :

1. Les bases du prisme sont égales.

2. Les bords latéraux du prisme sont parallèles et égaux.

La surface du prisme est constituée de bases et surface latérale. La surface latérale du prisme est constituée de parallélogrammes (cela découle des propriétés du prisme). L'aire de la surface latérale d'un prisme est la somme des aires des faces latérales.

Prisme droit

Le prisme s'appelle droit, si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases. Sinon le prisme s'appelle incliné.

Les faces d'un prisme droit sont des rectangles. La hauteur d'un prisme droit est égale à ses faces latérales.

Surface totale du prisme est appelée la somme de la surface latérale et des aires des bases.

Avec le bon prisme appelé prisme droit avec polygone régulierà la base.

Théorème 13.1. L'aire de la surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre et de la hauteur du prisme (ou, ce qui revient au même, par le bord latéral).

Preuve. Les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles dont les bases sont les côtés des polygones à la base du prisme, et les hauteurs sont les bords latéraux du prisme. Alors, par définition, la surface latérale est :

,

où est le périmètre de la base d’un prisme droit.

Parallélépipède

Si les parallélogrammes se trouvent à la base d’un prisme, alors on l’appelle parallélépipède. Toutes les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes. Dans ce cas, les faces opposées du parallélépipède sont parallèles et égales.

Théorème 13.2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par le point d'intersection.

Preuve. Considérons par exemple deux diagonales arbitraires et . Parce que les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes, alors et , ce qui signifie d'après To qu'il y a deux droites parallèles à la troisième. De plus, cela signifie que les lignes droites se trouvent dans le même plan (plan). Ce plan coupe des plans parallèles et le long de lignes parallèles et . Ainsi, un quadrilatère est un parallélogramme, et par la propriété d'un parallélogramme, ses diagonales se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, ce qui devait être prouvé.

Un parallélépipède droit dont la base est un rectangle s'appelle parallélépipède rectangle. Toutes les faces d'un parallélépipède rectangle sont des rectangles. Les longueurs des arêtes non parallèles d'un parallélépipède rectangle sont appelées ses dimensions linéaires (dimensions). Il existe trois tailles de ce type (largeur, hauteur, longueur).

Théorème 13.3. Dans un parallélépipède rectangle, le carré de toute diagonale est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions (prouvé en appliquant deux fois Pythagorean T).

Un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont égales s’appelle cube.

Tâches

13.1 Combien de diagonales a-t-il ? n-prisme de carbone

13.2 Dans un prisme triangulaire incliné, les distances entre les bords latéraux sont de 37, 13 et 40. Trouvez la distance entre le bord latéral le plus grand et le bord latéral opposé.

13.3Par le côté de la base inférieure du bon prisme triangulaire un plan est dessiné coupant les faces latérales le long de segments dont l'angle est . Trouvez l'angle d'inclinaison de ce plan par rapport à la base du prisme.

DANS programme scolaire Dans un cours de stéréométrie, l'étude des figures tridimensionnelles commence généralement par un corps géométrique simple - le polyèdre d'un prisme. Le rôle de ses bases est assuré par 2 polygones égaux situés dans des plans parallèles. Un cas particulier est un prisme quadrangulaire régulier. Ses bases sont 2 quadrangles réguliers identiques, dont les côtés sont perpendiculaires, ayant la forme de parallélogrammes (ou de rectangles, si le prisme n'est pas incliné).

A quoi ressemble un prisme ?

Un prisme quadrangulaire régulier est un hexagone dont les bases sont 2 carrés et les faces latérales sont représentées par des rectangles. Un autre nom pour ça figure géométrique- parallélépipède droit.

Un dessin montrant un prisme quadrangulaire est présenté ci-dessous.

Vous pouvez également voir sur la photo éléments essentiels, dont il se compose corps géométrique . Ceux-ci inclus:

Parfois, dans les problèmes de géométrie, vous pouvez rencontrer le concept de section. La définition ressemblera à ceci : une section est l'ensemble des points d'un corps volumétrique appartenant à un plan de coupe. La section peut être perpendiculaire (coupe les bords de la figure à un angle de 90 degrés). Pour un prisme rectangulaire, on considère également une section diagonale (le nombre maximum de sections pouvant être construites est de 2), passant par 2 arêtes et les diagonales de la base.

Si la section est dessinée de telle manière que le plan de coupe n'est parallèle ni aux bases ni aux faces latérales, le résultat est un prisme tronqué.

Pour trouver les éléments prismatiques réduits, diverses relations et formules sont utilisées. Certains d'entre eux sont connus du cours de planimétrie (par exemple, pour trouver l'aire de la base d'un prisme, il suffit de rappeler la formule de l'aire d'un carré).

Superficie et volume

Pour déterminer le volume d'un prisme à l'aide de la formule, vous devez connaître l'aire de sa base et sa hauteur :

V = Sbash

Puisque la base d’un prisme tétraédrique régulier est un carré de côté un, Vous pouvez écrire la formule sous une forme plus détaillée :

V = a²·h

Si nous parlons d'un cube - un prisme régulier avec longueur égale, largeur et hauteur, le volume est calculé comme suit :

Pour comprendre comment trouver la surface latérale d'un prisme, il faut imaginer son évolution.

Sur le dessin, on peut voir que la surface latérale est composée de 4 rectangles égaux. Son aire est calculée comme le produit du périmètre de la base et de la hauteur de la figure :

Côté = Posn h

Sachant que le périmètre du carré est égal à P = 4a, la formule prend la forme :

Côté = 4h

Pour les cubes :

Côté = 4a²

Pour calculer la surface totale du prisme, il faut ajouter 2 surfaces de base à la surface latérale :

Plein = Côté + 2Smain

Par rapport à un prisme régulier quadrangulaire, la formule ressemble à :

Stotal = 4a h + 2a²

Pour la surface d'un cube :

Plein = 6a²

Connaissant le volume ou la surface, vous pouvez calculer les éléments individuels d'un corps géométrique.

Trouver des éléments de prisme

Il existe souvent des problèmes dans lesquels le volume est donné ou la valeur de la surface latérale est connue, où il est nécessaire de déterminer la longueur du côté de la base ou la hauteur. Dans de tels cas, les formules peuvent être dérivées :

• longueur du côté de base : a = Scôté / 4h = √(V / h) ;
• hauteur ou longueur des côtes latérales : h = Scôté / 4a = V / a² ;
• surface de base : Sbas = V/h ;
• zone latérale du visage : Côté gr = Côté / 4.

Pour déterminer la superficie de la section diagonale, vous devez connaître la longueur de la diagonale et la hauteur de la figure. Pour un carré d = une√2. Donc:

Sdiag = ah√2

Pour calculer la diagonale d'un prisme, utilisez la formule :

dprix = √(2a² + h²)

Pour comprendre comment appliquer les relations données, vous pouvez pratiquer et résoudre plusieurs tâches simples.

Exemples de problèmes avec solutions

Voici quelques tâches trouvées lors des examens finaux d’État en mathématiques.

Exercice 1.

Le sable est versé dans une boîte en forme de prisme quadrangulaire régulier. La hauteur de son niveau est de 10 cm. Quel sera le niveau de sable si vous le déplacez dans un récipient de même forme, mais avec un fond deux fois plus long ?

Il convient de raisonner de la manière suivante. La quantité de sable dans les premier et deuxième conteneurs n'a pas changé, c'est-à-dire que son volume est le même. Vous pouvez désigner la longueur de la base par un. Dans ce cas, pour la première case le volume de la substance sera :

V₁ = ha² = 10a²

Pour la deuxième boîte, la longueur de la base est 2a, mais la hauteur du niveau de sable est inconnue :

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Parce que le V₁ = V₂, on peut assimiler les expressions :

10a² = 4ha²

Après avoir réduit les deux côtés de l’équation par a², on obtient :

Par conséquent nouveau niveau le sable sera h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tâche 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ est un prisme correct. On sait que BD = AB₁ = 6√2. Trouvez la surface totale du corps.

Pour mieux comprendre quels éléments sont connus, vous pouvez dessiner une figure.

Puisque nous parlons d’un prisme régulier, nous pouvons conclure qu’à la base se trouve un carré de diagonale 6√2. La diagonale de la face latérale a la même taille, donc la face latérale a également la forme d'un carré égal à la base. Il s’avère que les trois dimensions – longueur, largeur et hauteur – sont égales. On peut conclure que ABCDA₁B₁C₁D₁ est un cube.

La longueur de n'importe quelle arête est déterminée par une diagonale connue :

une = ré / √2 = 6√2 / √2 = 6

La surface totale se trouve à l’aide de la formule d’un cube :

Plein = 6a² = 6 6² = 216

Tâche 3.

La chambre est en cours de rénovation. On sait que son sol a la forme d'un carré d'une superficie de 9 m². La hauteur de la pièce est de 2,5 m. Quel est le coût le plus bas pour tapisser une pièce si 1 m² coûte 50 roubles ?

Puisque le sol et le plafond sont des carrés, c'est-à-dire des quadrangles réguliers, et que ses parois sont perpendiculaires aux surfaces horizontales, on peut conclure qu'il s'agit d'un prisme régulier. Il est nécessaire de déterminer l'aire de sa surface latérale.

La longueur de la pièce est une = √9 = 3 m.

La zone sera recouverte de papier peint Côté = 4 3 2,5 = 30 m².

Le coût le plus bas du papier peint pour cette pièce sera 50·30 = 1500 roubles

Ainsi, pour résoudre des problèmes impliquant un prisme rectangulaire, il suffit de pouvoir calculer l'aire et le périmètre d'un carré et d'un rectangle, ainsi que de connaître les formules permettant de trouver le volume et l'aire.

Comment trouver l'aire d'un cube