Éléments fractaux. Fractales en nombres premiers

Fractale

Fractale (lat. fracturé- écrasé, brisé, brisé) est une figure géométrique qui a la propriété d'autosimilarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties dont chacune est similaire à la figure entière. En mathématiques, les fractales sont comprises comme des ensembles de points en euclidien espaces qui ont une dimension métrique fractionnaire (au sens de Minkowski ou Hausdorff), ou une dimension métrique différente de la dimension topologique. La fractasme est une science exacte indépendante d'étude et de composition de fractales.

En d’autres termes, les fractales sont des objets géométriques ayant une dimension fractionnaire. Par exemple, la dimension d'une ligne est 1, l'aire est 2 et le volume est 3. Pour une fractale, la valeur de dimension peut être comprise entre 1 et 2 ou entre 2 et 3. Par exemple, la dimension fractale d'un objet froissé la boule de papier mesure environ 2,5. En mathématiques, il existe une formule complexe spéciale pour calculer la dimension des fractales. Les branches des tubes trachéaux, les feuilles des arbres, les veines de la main, une rivière – ce sont des fractales. En termes simples, une fractale est une figure géométrique dont une certaine partie est répétée encore et encore, changeant de taille - c'est le principe d'autosimilarité. Les fractales sont similaires à elles-mêmes, elles se ressemblent à tous les niveaux (c'est-à-dire à n'importe quelle échelle). Il existe de nombreux types de fractales. En principe, on peut affirmer que tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale, qu'il s'agisse d'un nuage ou d'une molécule d'oxygène.

Le mot « chaos » fait penser à quelque chose d’imprévisible, mais en réalité, le chaos est tout à fait ordonné et obéit à certaines lois. L’objectif de l’étude du chaos et des fractales est de prédire des modèles qui, à première vue, peuvent sembler imprévisibles et complètement chaotiques.

Le pionnier dans ce domaine de connaissance fut le mathématicien franco-américain, le professeur Benoit B. Mandelbrot. Au milieu des années 1960, il développe la géométrie fractale dont le but est d'analyser les formes brisées, ridées et floues. L'ensemble de Mandelbrot (représenté sur la figure) est la première association qui surgit chez une personne lorsqu'elle entend le mot « fractale ». À propos, Mandelbrot a déterminé que la dimension fractale du littoral anglais est de 1,25.

Les fractales sont de plus en plus utilisées en science. Ils décrivent le monde réel encore mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Le mouvement brownien est, par exemple, le mouvement aléatoire et chaotique de particules de poussière en suspension dans l’eau. Ce type de mouvement est peut-être l’aspect de la géométrie fractale qui a l’utilité la plus pratique. Le mouvement brownien aléatoire a une réponse en fréquence qui peut être utilisée pour prédire des phénomènes impliquant de grandes quantités de données et de statistiques. Par exemple, Mandelbrot a prédit les changements dans les prix de la laine en utilisant le mouvement brownien.

Le mot « fractale » peut être utilisé non seulement comme terme mathématique. Dans la presse et la littérature scientifique populaire, une fractale peut être appelée une figure qui possède l'une des propriétés suivantes :

Sa structure est non triviale à toutes les échelles. Ceci contraste avec les figures régulières (comme un cercle, une ellipse, un graphique d'une fonction lisse) : si l'on considère un petit fragment d'une figure régulière à très grande échelle, il ressemblera à un fragment de ligne droite. Pour une fractale, augmenter l'échelle ne conduit pas à une simplification de la structure ; à toutes les échelles, nous verrons une image tout aussi complexe.

Est auto-similaire ou approximativement auto-similaire.

Il a une dimension métrique fractionnaire ou une dimension métrique qui dépasse la dimension topologique.

L’utilisation la plus utile des fractales en technologie informatique est la compression des données fractales. Dans le même temps, les images sont bien mieux compressées qu'avec les méthodes conventionnelles - jusqu'à 600:1. Un autre avantage de la compression fractale est qu'une fois agrandie, il n'y a pas d'effet de pixellisation, ce qui détériore considérablement l'image. De plus, une image fractalement compressée est souvent encore meilleure après agrandissement qu’avant. Les informaticiens savent également que des fractales d’une complexité et d’une beauté infinies peuvent être générées par des formules simples. L'industrie cinématographique utilise largement la technologie graphique fractale pour créer des éléments paysagers réalistes (nuages, rochers et ombres).

L'étude de la turbulence dans les écoulements s'adapte très bien aux fractales. Cela nous permet de mieux comprendre la dynamique des flux complexes. En utilisant des fractales, vous pouvez également simuler des flammes. Les matériaux poreux sont bien représentés sous forme fractale du fait de leur géométrie très complexe. Pour transmettre des données à distance, des antennes aux formes fractales sont utilisées, ce qui réduit considérablement leur taille et leur poids. Les fractales sont utilisées pour décrire la courbure des surfaces. Une surface inégale est caractérisée par une combinaison de deux fractales différentes.

De nombreux objets dans la nature ont des propriétés fractales, par exemple les côtes, les nuages, les cimes des arbres, les flocons de neige, le système circulatoire et le système alvéolaire des humains ou des animaux.

Les fractales, en particulier dans un avion, sont populaires en raison de la combinaison de la beauté et de la facilité de construction à l'aide d'un ordinateur.

Les premiers exemples d'ensembles auto-similaires aux propriétés inhabituelles sont apparus au XIXe siècle (par exemple, la fonction de Bolzano, la fonction de Weierstrass, l'ensemble de Cantor). Le terme « fractale » a été inventé par Benoit Mandelbrot en 1975 et a gagné en popularité avec la publication de son livre « Fractal Geometry of Nature » en 1977.

L'image de gauche montre un exemple simple de la fractale du Pentagone Darer, qui ressemble à un groupe de pentagones écrasés ensemble. Il est en fait formé en utilisant un pentagone comme initiateur et triangles isocèles, le rapport du plus grand côté au plus petit côté dans lequel est exactement égal au soi-disant nombre d'or (1,618033989 ou 1/(2cos72°)) en tant que générateur. Ces triangles sont découpés au milieu de chaque pentagone, ce qui donne une forme qui ressemble à 5 petits pentagones collés à un grand.

La théorie du chaos dit que les systèmes non linéaires complexes sont héréditairement imprévisibles, mais en même temps elle affirme que la manière d'exprimer de tels systèmes imprévisibles s'avère correcte non pas dans des égalités exactes, mais dans des représentations du comportement du système - dans des graphiques d'étranges attracteurs, qui ont la forme de fractales. Ainsi, la théorie du chaos, que beaucoup considèrent comme l’imprévisibilité, s’avère être la science de la prévisibilité, même dans les systèmes les plus instables. L'étude des systèmes dynamiques montre que des équations simples peuvent donner lieu à un comportement chaotique dans lequel le système ne revient jamais à un état stable et aucun modèle n'apparaît. Souvent, de tels systèmes se comportent tout à fait normalement jusqu'à une certaine valeur d'un paramètre clé, puis connaissent une transition dans laquelle il existe deux possibilités de développement ultérieur, puis quatre, et enfin un ensemble chaotique de possibilités.

Les schémas de processus se produisant dans des objets techniques ont une structure fractale clairement définie. Structure minimale système technique(TS) implique l'apparition au sein du TS de deux types de processus - le principal et les processus de support, et cette division est conditionnelle et relative. Tout processus peut être le principal par rapport aux processus de support, et n'importe lequel des processus de support peut être considéré comme le principal par rapport à « ses » processus de support. Les cercles du diagramme indiquent des effets physiques qui garantissent l'apparition de processus pour lesquels il n'est pas nécessaire de créer spécialement « vos propres » véhicules. Ces processus sont le résultat d'interactions entre substances, champs, substances et champs. Pour être précis, un effet physique est un véhicule dont nous ne pouvons pas influencer le principe de fonctionnement, et nous ne voulons pas ou n'avons pas la possibilité d'interférer avec sa conception.

Le déroulement du processus principal représenté dans le diagramme est assuré par l'existence de trois processus supports, qui sont les principaux pour le TS qui les génère. Pour être juste, notons que pour le fonctionnement même d'un TS minimal, trois processus ne suffisent clairement pas, c'est-à-dire Le schéma est très, très exagéré.

Tout est loin d’être aussi simple que le montre le schéma. Un processus utile (nécessaire à une personne) ne peut pas être exécuté avec une efficacité à cent pour cent. L'énergie dissipée est dépensée pour créer des processus nocifs - chauffage, vibrations, etc. En conséquence, des processus nuisibles surviennent parallèlement au processus bénéfique. Il n'est pas toujours possible de remplacer un « mauvais » processus par un « bon », il est donc nécessaire d'organiser de nouveaux processus visant à compenser les conséquences néfastes pour le système. Un exemple typique est la nécessité de lutter contre la friction, qui oblige à organiser des programmes de lubrification ingénieux, à utiliser des matériaux antifriction coûteux ou à consacrer du temps à la lubrification des composants et des pièces ou à leur remplacement périodique.

En raison de l’influence inévitable d’un environnement changeant, il peut être nécessaire de gérer un processus utile. Le contrôle peut être effectué soit à l'aide d'appareils automatiques, soit directement par une personne. Le diagramme de processus est en fait un ensemble de commandes spéciales, c'est-à-dire algorithme. L'essence (description) de chaque commande est la totalité d'un seul processus utile, des processus nuisibles qui l'accompagnent et d'un ensemble de processus de contrôle nécessaires. Dans un tel algorithme, l'ensemble des processus de support est un sous-programme régulier - et ici nous découvrons également une fractale. Créée il y a un quart de siècle, la méthode de R. Koller permet de créer des systèmes avec un ensemble assez limité de seulement 12 couples de fonctions (processus).

Ensembles autosimilaires aux propriétés inhabituelles en mathématiques

Depuis la fin du XIXe siècle, des exemples d'objets auto-similaires présentant des propriétés pathologiques du point de vue de l'analyse classique sont apparus en mathématiques. Ceux-ci incluent les éléments suivants :

L’ensemble Cantor est un ensemble parfait et indénombrable, nulle part dense. En modifiant la procédure, on peut également obtenir un ensemble nulle part dense de longueur positive.

le triangle Sierpinski (« nappe ») et le tapis Sierpinski sont des analogues du décor Cantor dans l'avion.

L'éponge de Menger est un analogue de l'éponge de Cantor située dans un espace tridimensionnel ;

exemples de Weierstrass et Van der Waerden nulle part différenciables fonction continue.

La courbe de Koch est une courbe continue sans intersection de longueur infinie qui n'a de tangente en aucun point ;

La courbe Peano est une courbe continue passant par tous les points du carré.

la trajectoire d'une particule brownienne n'est également nulle part différentiable avec une probabilité de 1. Sa dimension Hausdorff est de deux

Procédure récursive pour obtenir des courbes fractales

Construction de la courbe de Koch

Il existe une procédure récursive simple pour obtenir des courbes fractales sur un plan. Définissons une ligne brisée arbitraire avec un nombre fini de liens, appelée générateur. Ensuite, remplaçons chaque segment par un générateur (plus précisément, une ligne brisée semblable à un générateur). Dans la ligne brisée résultante, nous remplaçons à nouveau chaque segment par un générateur. En continuant vers l'infini, à la limite on obtient une courbe fractale. La figure de droite montre les quatre premières étapes de cette procédure pour la courbe de Koch.

Des exemples de telles courbes sont :

Courbe de dragon,

Courbe de Koch (flocon de neige de Koch),

Courbe de Lewy,

Courbe de Minkowski,

courbe de Hilbert,

Cassé (courbe) d'un dragon (Harter-Haithway Fractal),

Courbe de Peano.

En utilisant une procédure similaire, l’arbre de Pythagore est obtenu.

Les fractales comme points fixes des mappages de compression

La propriété d’autosimilarité peut être exprimée mathématiquement strictement comme suit. Soit des cartographies contractuelles du plan. Considérons le mappage suivant sur l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts (fermés et délimités) du plan :

On peut montrer que la cartographie est une cartographie de contraction sur l'ensemble des compacta avec la métrique de Hausdorff. Par conséquent, d'après le théorème de Banach, cette cartographie a un point fixe unique. Ce point fixe sera notre fractale.

La procédure récursive d'obtention de courbes fractales décrite ci-dessus est un cas particulier de cette construction. Tous les mappages qu'il contient sont des mappages de similarité et - le nombre de liens générateurs.

Pour le triangle de Sierpinski et l'application , , sont des homothéties de centres aux sommets d'un triangle régulier et de coefficient 1/2. Il est facile de voir que le triangle de Sierpinski se transforme en lui-même lorsqu'il est affiché.

Dans le cas où les mappages sont des transformations de similarité avec des coefficients, la dimension de la fractale (sous certaines conditions techniques supplémentaires) peut être calculée comme solution à l'équation. Ainsi, pour le triangle de Sierpinski on obtient .

Par le même théorème de Banach, en partant de n'importe quel ensemble compact et en lui appliquant des itérations de l'application, nous obtenons une séquence d'ensembles compacts convergeant (au sens de la métrique de Hausdorff) vers notre fractale.

Fractales dans une dynamique complexe

Ensemble Julia

Un autre ensemble Julia

Les fractales apparaissent naturellement lors de l’étude des systèmes dynamiques non linéaires. Le cas le plus étudié est celui où un système dynamique est spécifié par des itérations d'un polynôme ou d'une fonction holomorphe d'une variable complexe sur le plan. Les premières études dans ce domaine remontent au début du XXe siècle et sont associées aux noms de Fatou et Julia.

Laisser F(z) - polynôme, z 0 est un nombre complexe. Considérons la séquence suivante : z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Nous nous intéressons au comportement de cette séquence telle qu'elle tend nà l'infini. Cette séquence peut :

aspirer vers l'infini,

s'efforcer d'atteindre la limite ultime

présentent un comportement cyclique dans la limite, par exemple : z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

se comporter de manière chaotique, c’est-à-dire ne démontrer aucun des trois types de comportements mentionnés.

Ensembles de valeurs z 0, pour lequel la séquence présente un type de comportement particulier, ainsi que plusieurs points de bifurcation entre différents types, ont souvent des propriétés fractales.

Ainsi, l'ensemble de Julia est l'ensemble des points de bifurcation du polynôme F(z)=z 2 +c(ou autre fonction similaire), c'est-à-dire ces valeurs z 0 pour lequel le comportement de la séquence ( z n) peut changer radicalement avec des changements arbitrairement petits z 0 .

Une autre option pour obtenir des ensembles fractals consiste à introduire un paramètre dans le polynôme F(z) et prise en compte de l'ensemble des valeurs de paramètres pour lesquelles la séquence ( z n) présente un certain comportement à une heure fixe z 0 . Ainsi, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble de tous , pour lesquels ( z n) Pour F(z)=z 2 +c Et z 0 ne va pas à l’infini.

Un autre exemple célèbre de ce type est celui des piscines de Newton.

Il est courant de créer de belles images graphiques basées sur des dynamiques complexes en colorant des points plans en fonction du comportement des systèmes dynamiques correspondants. Par exemple, pour compléter l'ensemble de Mandelbrot, vous pouvez colorer les points en fonction de la vitesse d'aspiration ( z n) à l'infini (défini, par exemple, comme le plus petit nombre n, à laquelle | z n| dépassera une grande valeur fixe UN.

Les biomorphes sont des fractales construites sur la base de dynamiques complexes et rappelant les organismes vivants.

Fractales stochastiques

Fractale randomisée basée sur l'ensemble de Julia

Les objets naturels ont souvent une forme fractale. Des fractales stochastiques (aléatoires) peuvent être utilisées pour les modéliser. Exemples de fractales stochastiques :

trajectoire du mouvement brownien dans le plan et dans l'espace ;

limite de la trajectoire du mouvement brownien sur un plan. En 2001, Lawler, Schramm et Werner ont prouvé l'hypothèse de Mandelbrot selon laquelle sa dimension est de 4/3.

Les évolutions de Schramm-Löwner sont des courbes fractales conformes et invariantes qui apparaissent dans les modèles bidimensionnels critiques de mécanique statistique, par exemple dans le modèle d'Ising et la percolation.

différents types de fractales randomisées, c'est-à-dire des fractales obtenues à l'aide d'une procédure récursive dans laquelle un paramètre aléatoire est introduit à chaque étape. Le plasma est un exemple d’utilisation d’une telle fractale en infographie.

Dans la nature

Vue de face de la trachée et des bronches

Arbre bronchique

Réseau de vaisseaux sanguins

Application

Sciences naturelles

En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires, tels que l'écoulement de fluides turbulents, les processus complexes de diffusion-adsorption, les flammes, les nuages, etc. Les fractales sont utilisées lors de la modélisation de matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et décrire des systèmes d’organes internes (le système vasculaire).

Ingénierie radio

Antennes fractales

L'utilisation de la géométrie fractale dans la conception des antennes a été utilisée pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait alors dans le centre-ville de Boston, où l'installation d'antennes externes sur les bâtiments était interdite. Nathan a découpé une forme de courbe de Koch dans du papier d'aluminium et l'a collée sur un morceau de papier, puis l'a fixée au récepteur. Cohen a fondé sa propre entreprise et a commencé sa production en série.

L'informatique

Compression d'images

Article principal : Algorithme de compression fractale

Arbre fractal

Il existe des algorithmes de compression d'images utilisant des fractales. Ils sont basés sur l'idée qu'au lieu de l'image elle-même, on peut stocker une carte de compression pour laquelle cette image (ou une image proche) est un point fixe. Une des variantes de cet algorithme a été utilisée [ source non précisée 895 jours] par Microsoft lors de la publication de son encyclopédie, mais ces algorithmes n'ont pas été largement utilisés.

Infographie

Un autre arbre fractal

Les fractales sont largement utilisées en infographie pour construire des images d’objets naturels, tels que des arbres, des buissons, des paysages de montagne, des surfaces marines, etc. Il existe de nombreux programmes utilisés pour générer des images fractales, voir Fractal Generator (programme).

Réseaux décentralisés

Le système d'attribution d'adresses IP du réseau Netsukuku utilise le principe de compression fractale des informations pour stocker de manière compacte les informations sur les nœuds du réseau. Chaque nœud du réseau Netsukuku ne stocke que 4 Ko d'informations sur l'état des nœuds voisins, tandis que tout nouveau nœud se connecte au réseau commun sans avoir besoin d'une régulation centrale de la distribution des adresses IP, ce qui, par exemple, est typique du L'Internet. Ainsi, le principe de compression des informations fractales garantit un fonctionnement totalement décentralisé, et donc le plus stable, de l'ensemble du réseau.

Qu’ont en commun un arbre, un bord de mer, un nuage ou les vaisseaux sanguins de notre main ? À première vue, il peut sembler que tous ces objets n’ont rien en commun. Cependant, en fait, il existe une propriété de structure inhérente à tous les objets répertoriés : ils sont auto-similaires. D'une branche, comme d'un tronc d'arbre, s'étendent des pousses plus petites, d'autres encore plus petites, etc., c'est-à-dire qu'une branche est semblable à l'arbre entier. Il est organisé de la même manière système circulatoire: les artérioles partent des artères et d'elles - les plus petits capillaires, à travers lesquels l'oxygène pénètre dans les organes et les tissus. Regardons les images satellite du littoral maritime : nous verrons des baies et des péninsules ; Regardons-le, mais à vol d'oiseau : nous verrons des baies et des caps ; Imaginez maintenant que nous sommes debout sur la plage et que nous regardons nos pieds : il y aura toujours des cailloux qui dépassent plus loin dans l'eau que les autres. Autrement dit, le littoral, lorsqu'on zoome, reste semblable à lui-même. Le mathématicien américain (bien qu'il ait grandi en France) Benoit Mandelbrot a appelé cette propriété des objets fractalité, et ces objets eux-mêmes - fractales (du latin fractus - brisés).

Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot « fractale » n’est pas un terme mathématique. Généralement appelé fractale figure géométrique, qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes : Possède une structure complexe à n'importe quelle augmentation d'échelle (contrairement, par exemple, à une ligne droite dont toute partie est la figure géométrique la plus simple - un segment). Est (approximativement) auto-similaire. Il a une dimension Hausdorff (fractale) fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique. Peut être construit à l’aide de procédures récursives.

Géométrie et algèbre

Étudier les fractales sur tournant du 19ème siècle et XX siècles était plus épisodique que systématique, car auparavant les mathématiciens étudiaient principalement les « bons » objets qui pouvaient être étudiés à l'aide de méthodes et de théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est nulle part différentiable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à comprendre. C'est pourquoi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a proposé une courbe continue qui n'a de tangente nulle part et qui est assez facile à dessiner. Il s’est avéré qu’il possède les propriétés d’une fractale. Une variante de cette courbe est appelée « flocon de neige de Koch ».

Les idées d'autosimilarité des figures ont été reprises par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoît Mandelbrot. En 1938, son article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties similaires au tout » a été publié, qui décrivait une autre fractale - la courbe C de Levy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être conditionnellement classées comme une classe de fractales constructives (géométriques).

Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières recherches dans ce sens ont débuté au début du XXe siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, Julia a publié un mémoire de près de deux cents pages sur les itérations de fonctions rationnelles complexes, qui décrivait les ensembles de Julia, toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Cette œuvre a été primée par l'Académie française, mais elle ne contenait aucune illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que ce travail ait rendu Julia célèbre parmi les mathématiciens de l'époque, il fut rapidement oublié. L'attention s'y est à nouveau tournée seulement un demi-siècle plus tard avec l'avènement des ordinateurs : ce sont eux qui ont rendu visible la richesse et la beauté du monde des fractales.

Dimensions fractales

Comme vous le savez, la dimension (nombre de dimensions) d'une figure géométrique est le nombre de coordonnées nécessaire pour déterminer la position d'un point se trouvant sur cette figure.
Par exemple, la position d'un point sur une courbe est déterminée par une coordonnée, sur une surface (pas nécessairement un plan) par deux coordonnées et dans un espace tridimensionnel par trois coordonnées.
D'un point de vue mathématique plus général, on peut définir la dimension de cette manière : une augmentation des dimensions linéaires, disons, d'un facteur deux, pour des objets (segment) unidimensionnels (d'un point de vue topologique) conduit à une augmentation de la taille (longueur) d'un facteur deux, pour les dimensions bidimensionnelles (un carré ) la même augmentation des dimensions linéaires entraîne une augmentation de la taille (surface) de 4 fois, pour les dimensions tridimensionnelles (cube) - de 8 fois. C'est-à-dire que la dimension « réelle » (dite Hausdorff) peut être calculée comme le rapport du logarithme de l'augmentation de la « taille » d'un objet au logarithme de l'augmentation de sa taille linéaire. Autrement dit, pour un segment D=log (2)/log (2)=1, pour un plan D=log (4)/log (2)=2, pour un volume D=log (8)/log (2 )=3.
Calculons maintenant la dimension de la courbe de Koch, pour construire laquelle un segment unitaire est divisé en trois parties égales et l'intervalle médian est remplacé par un triangle équilatéral sans ce segment. Lorsque les dimensions linéaires du segment minimum augmentent trois fois, la longueur de la courbe de Koch augmente de log (4)/log (3) ~ 1,26. Autrement dit, la dimension de la courbe de Koch est fractionnaire !

Sciences et arts

En 1982, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur des formules lourdes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations obtenues à l'aide d'un ordinateur et d'histoires historiques, avec lesquelles l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait qu'à l'aide de constructions et de formules très simples que même un lycéen peut comprendre, on obtient des images d'une complexité et d'une beauté étonnantes. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une direction artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites consacrés à ce sujet.

Schéma d'obtention de la courbe de Koch

Guerre et Paix

Comme indiqué ci-dessus, l'un des objets naturels possédant des propriétés fractales est le littoral. Il y a une chose qui y est liée, ou plus précisément, à la tentative de mesurer sa longueur. histoire intéressante, qui constitue la base article scientifique Mandelbrot, et est également décrit dans son livre « Fractal Geometry of Nature ». Nous parlons d'une expérience réalisée par Lewis Richardson, un mathématicien, physicien et météorologue très talentueux et excentrique. L'un des axes de ses recherches était de tenter de trouver une description mathématique des causes et de la probabilité d'un conflit armé entre deux pays. Parmi les paramètres qu’il a pris en compte figurait la longueur de la frontière commune des deux pays en guerre. Lorsqu'il a collecté des données pour des expériences numériques, il a découvert que les données sur la frontière commune de l'Espagne et du Portugal différaient considérablement selon les sources. Cela l'a conduit à la découverte suivante : la longueur des frontières d'un pays dépend du souverain avec lequel on les mesure. Plus l’échelle est petite, plus la frontière est longue. Cela est dû au fait qu'avec un grossissement plus important, il devient possible de prendre en compte de plus en plus de nouveaux virages de la côte, auparavant ignorés en raison de la grossièreté des mesures. Et si, à chaque augmentation d'échelle, des courbures de lignes jusqu'alors inexpliquées sont révélées, alors il s'avère que la longueur des frontières est infinie ! Il est vrai que cela ne se produit pas réellement : la précision de nos mesures a une limite finie. Ce paradoxe s'appelle l'effet Richardson.

Fractales constructives (géométriques)

L'algorithme de construction d'une fractale constructive dans le cas général est le suivant. Tout d’abord, nous avons besoin de deux formes géométriques appropriées, appelons-les la base et le fragment. Dans un premier temps, la base de la future fractale est représentée. Ensuite, certaines de ses parties sont remplacées par un fragment pris à une échelle appropriée - c'est la première itération de la construction. Ensuite, la figure résultante change à nouveau certaines parties en figures similaires au fragment, etc. Si nous continuons ce processus à l'infini, alors à la limite nous obtiendrons une fractale.

Examinons ce processus en utilisant la courbe de Koch comme exemple (voir l'encadré de la page précédente). N'importe quelle courbe peut être prise comme base pour la courbe de Koch (pour le « flocon de neige de Koch », il s'agit d'un triangle). Mais nous nous limiterons au cas le plus simple : un segment. Le fragment est une ligne brisée, représentée en haut de la figure. Après la première itération de l'algorithme, dans ce cas le segment d'origine coïncidera avec le fragment, puis chacun de ses segments constitutifs sera lui-même remplacé par une ligne brisée semblable au fragment, etc. La figure montre les quatre premières étapes de cet algorithme. processus.

Dans le langage mathématique : fractales dynamiques (algébriques)

Des fractales de ce type apparaissent lors de l'étude de systèmes dynamiques non linéaires (d'où leur nom). Le comportement d'un tel système peut être décrit par une fonction non linéaire complexe (polynôme) f (z). Prenons un point initial z0 sur le plan complexe (voir encadré). Considérons maintenant une telle séquence infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun suivant est obtenu à partir du précédent : z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Selon le point initial z0, une telle suite peut se comporter différemment : tendre vers l'infini lorsque n -> ∞ ; converger vers un point final ; prendre cycliquement une série de valeurs fixes ; Des options plus complexes sont également possibles.

Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre composé de deux parties - réelle et imaginaire, c'est-à-dire la somme formelle x + iy (x et y sont ici des nombres réels). je suis le soi-disant unité imaginaire, c'est-à-dire un nombre qui satisfait l'équation je^ 2 = -1. Les nombres de base sont définis sur des nombres complexes. opérations mathématiques— addition, multiplication, division, soustraction (seule l'opération de comparaison n'est pas définie). Pour afficher des nombres complexes, une représentation géométrique est souvent utilisée - sur le plan (on l'appelle complexe), la partie réelle est tracée le long de l'axe des abscisses, et la partie imaginaire est tracée le long de l'axe des ordonnées, et le point avec correspondra à le nombre complexe Coordonnées cartésiennes x et y.

Ainsi, tout point z du plan complexe a son propre comportement lors des itérations de la fonction f (z), et le plan entier est divisé en parties. De plus, les points situés aux limites de ces parties ont la propriété suivante : avec un déplacement arbitrairement petit, la nature de leur comportement change fortement (ces points sont appelés points de bifurcation). Ainsi, il s’avère que les ensembles de points ayant un type de comportement spécifique, ainsi que les ensembles de points de bifurcation, ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f (z).

Famille de dragons

En faisant varier la base et le fragment, vous pouvez obtenir une étonnante variété de fractales constructives.
De plus, des opérations similaires peuvent être effectuées dans un espace tridimensionnel. Des exemples de fractales volumétriques incluent « l'éponge de Menger », la « pyramide de Sierpinski » et d'autres.
La famille des dragons est également considérée comme une fractale constructive. Parfois, ils sont appelés du nom de leurs découvreurs « dragons Heavy-Harter » (dans leur forme, ils ressemblent à des dragons chinois). Il existe plusieurs façons de construire cette courbe. Le plus simple et le plus visuel d'entre eux est le suivant : il faut prendre une bande de papier assez longue (plus le papier est fin, mieux c'est) et la plier en deux. Pliez-le ensuite à nouveau en deux dans le même sens que la première fois. Après plusieurs répétitions (généralement après cinq ou six plis, la bande devient trop épaisse pour être pliée davantage), vous devez replier la bande et essayer de créer des angles de 90° au niveau des plis. Puis de profil vous obtiendrez la courbe d’un dragon. Bien entendu, ce ne sera qu’une approximation, comme toutes nos tentatives de représentation d’objets fractals. L'ordinateur permet de représenter de nombreuses autres étapes de ce processus, et le résultat est une très belle figure.

L’ensemble de Mandelbrot est construit un peu différemment. Considérons la fonction fc (z) = z 2 +c, où c est un nombre complexe. Construisons une suite de cette fonction avec z0=0 ; selon le paramètre c, elle peut diverger à l'infini ou rester limitée. De plus, toutes les valeurs de c pour lesquelles cette suite est limitée forment l'ensemble de Mandelbrot. Il a été étudié en détail par Mandelbrot lui-même et par d'autres mathématiciens, qui ont découvert de nombreuses propriétés intéressantes de cet ensemble.

On peut voir que les définitions des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont similaires. En fait, ces deux ensembles sont étroitement liés. A savoir, l'ensemble de Mandelbrot est constitué de toutes les valeurs du paramètre complexe c pour lesquelles l'ensemble de Julia fc (z) est connexe (un ensemble est dit connexe s'il ne peut pas être divisé en deux parties disjointes, avec quelques conditions supplémentaires).

Fractales et vie

De nos jours, la théorie des fractales trouve large application dans divers domaines de l'activité humaine. En plus d'un objet de recherche purement scientifique et de la peinture fractale déjà mentionnée, les fractales sont utilisées dans la théorie de l'information pour compresser des données graphiques (la propriété d'autosimilarité des fractales est principalement utilisée ici - après tout, pour mémoriser un petit fragment d'image et les transformations avec lesquelles vous pouvez obtenir les parties restantes nécessitent beaucoup moins de mémoire que pour stocker l'intégralité du fichier). En ajoutant des perturbations aléatoires aux formules qui définissent une fractale, vous pouvez obtenir des fractales stochastiques qui véhiculent de manière très plausible certains objets réels - des éléments de relief, la surface de réservoirs, certaines plantes, ce qui est utilisé avec succès en physique, en géographie et en infographie pour obtenir une plus grande similitude des objets simulés avec le réel. En radioélectronique la dernière décennie a commencé à produire des antennes de forme fractale. Prenant peu de place, ils assurent une réception du signal de haute qualité. Les économistes utilisent des fractales pour décrire les courbes de fluctuation des devises (cette propriété a été découverte par Mandelbrot il y a plus de 30 ans). Ceci conclut cette courte excursion dans le monde incroyablement beau et diversifié des fractales.

Les concepts de fractale et de géométrie fractale, apparus à la fin des années 70, se sont solidement implantés parmi les mathématiciens et les programmeurs depuis le milieu des années 80. Le mot fractal vient du latin fractus et signifie constitué de fragments. Benoit Mandelbrot a proposé en 1975 de faire référence aux structures irrégulières mais auto-similaires qui le concernaient. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication du livre de Mandelbrot « La géométrie fractale de la nature » en 1977. Ses travaux utilisaient les résultats scientifiques d'autres scientifiques ayant travaillé dans la période 1875-1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Mais ce n'est qu'à notre époque qu'il a été possible de combiner leurs travaux en un seul système.
Le rôle des fractales dans l’infographie est aujourd’hui assez important. Ils viennent par exemple à la rescousse lorsqu'il faut, à l'aide de plusieurs coefficients, définir des lignes et des surfaces de formes très complexes. Du point de vue de l'infographie, la géométrie fractale est indispensable pour générer des nuages, des montagnes et des surfaces marines artificielles. En fait, on a trouvé un moyen de représenter facilement des objets complexes non euclidiens, dont les images sont très similaires aux images naturelles.
L’une des principales propriétés des fractales est l’autosimilarité. Dans le cas le plus simple, une petite partie d’une fractale contient des informations sur l’ensemble de la fractale. La définition de Mandelbrot d'une fractale est la suivante : "Une fractale est une structure composée de parties qui, dans un certain sens, sont similaires au tout."

Il existe un grand nombre d'objets mathématiques appelés fractales (triangle de Sierpinski, flocon de Koch, courbe de Peano, ensemble de Mandelbrot et attracteurs de Lorentz). Les fractales sont décrites avec une grande précision par de nombreux phénomènes physiques et l'éducation monde réel: montagnes, nuages, courants turbulents (vortex), racines, branches et feuilles d'arbres, vaisseaux sanguins, ce qui est loin de correspondre à de simples formes géométriques. Pour la première fois, Benoit Mandelbrot a parlé de la nature fractale de notre monde dans son ouvrage fondateur « Fractal Geometry of Nature ».
Le terme fractale a été introduit par Benoit Mandelbrot en 1977 dans son ouvrage fondamental Fractales, Forme, Chaos et Dimension. Selon Mandelbrot, le mot fractal vient des mots latins fractus – fractionnaire et frangere – briser, qui reflète l'essence d'une fractale comme un ensemble irrégulier « brisé ».

Classification des fractales.

Afin de présenter toute la variété des fractales, il convient de recourir à leur classification généralement acceptée. Il existe trois classes de fractales.

1. Fractales géométriques.

Les fractales de cette classe sont les plus visuelles. Dans le cas bidimensionnel, ils sont obtenus à l'aide d'une ligne brisée (ou surface dans le cas tridimensionnel), appelée générateur. En une étape de l'algorithme, chacun des segments qui composent la polyligne est remplacé par une polyligne génératrice à l'échelle appropriée. Grâce à la répétition sans fin de cette procédure, une fractale géométrique est obtenue.

Considérons un exemple de l'un de ces objets fractals : la courbe triadique de Koch.

Construction de la courbe de Koch triadique.

Prenons un segment droit de longueur 1. Appelons-le graine. Divisons la graine en trois parties égales de 1/3 de long, jetons la partie médiane et remplaçons-la par une ligne brisée de deux maillons de 1/3 de long.

Nous obtiendrons une ligne brisée composée de 4 maillons d'une longueur totale de 4/3 - ce qu'on appelle première génération.

Afin de passer à la génération suivante de la courbe de Koch, il est nécessaire de supprimer et de remplacer la partie médiane de chaque maillon. En conséquence, la durée de la deuxième génération sera de 16/9, la troisième de 64/27. si nous continuons ce processus à l’infini, le résultat est une courbe de Koch triadique.

Considérons maintenant les propriétés de la courbe de Koch triadique et découvrons pourquoi les fractales étaient appelées « monstres ».

Premièrement, cette courbe n'a pas de longueur - comme nous l'avons vu, avec le nombre de générations, sa longueur tend vers l'infini.

Deuxièmement, il est impossible de construire une tangente à cette courbe - chacun de ses points est un point d'inflexion auquel la dérivée n'existe pas - cette courbe n'est pas lisse.

La longueur et la douceur sont les propriétés fondamentales des courbes, étudiées à la fois par la géométrie euclidienne et par la géométrie de Lobachevsky et Riemann. Les méthodes traditionnelles d'analyse géométrique se sont révélées inapplicables à la courbe de Koch triadique, de sorte que la courbe de Koch s'est avérée être un monstre - un « monstre » parmi les habitants lisses des géométries traditionnelles.

Construction du "dragon" Harter-Haithaway.

Pour obtenir un autre objet fractal, vous devez modifier les règles de construction. Soit l'élément formant deux segments égaux reliés à angle droit. Dans la génération zéro, on remplace le segment unitaire par cet élément générateur pour que l'angle soit au dessus. On peut dire qu'avec un tel remplacement il y a un déplacement du milieu du maillon. Lors de la construction des générations suivantes, la règle est respectée : le tout premier maillon de gauche est remplacé par un élément formant de sorte que le milieu du maillon soit décalé vers la gauche du sens de déplacement, et lors du remplacement des maillons suivants, les directions de le déplacement des milieux des segments doit alterner. La figure montre les premières générations et la 11ème génération de la courbe construite selon le principe décrit ci-dessus. Une courbe avec n tendant vers l'infini est appelée le dragon de Harter-Haithaway.
En infographie, l’utilisation de fractales géométriques est nécessaire pour obtenir des images d’arbres et d’arbustes. Les fractales géométriques bidimensionnelles sont utilisées pour créer des textures tridimensionnelles (motifs sur la surface d'un objet).

2.Fractales algébriques

C'est le plus grand groupe de fractales. Ils sont obtenus à l'aide de processus non linéaires dans des espaces à n dimensions. Les processus bidimensionnels sont les plus étudiés. Pour interpréter un processus itératif non linéaire comme un système dynamique discret, on peut utiliser la terminologie de la théorie de ces systèmes : portrait de phase, processus stationnaire, attracteur, etc.
On sait que les systèmes dynamiques non linéaires possèdent plusieurs états stables. L'état dans lequel se trouve le système dynamique après un certain nombre d'itérations dépend de son état initial. Par conséquent, chaque état stable (ou, comme on dit, attracteur) possède une certaine région d'états initiaux, à partir de laquelle le système tombera nécessairement dans les états finaux considérés. Ainsi, l’espace des phases du système est divisé en zones d’attraction des attracteurs. Si l'espace des phases est un espace bidimensionnel, alors en colorant les zones d'attraction avec des couleurs différentes, on peut obtenir un portrait de phase couleur de ce système (processus itératif). En modifiant l'algorithme de sélection des couleurs, vous pouvez obtenir des motifs fractals complexes avec des motifs multicolores bizarres. Une surprise pour les mathématiciens a été la capacité de générer des structures non triviales très complexes à l'aide d'algorithmes primitifs.

Ensemble Mandelbrot.

A titre d’exemple, considérons l’ensemble de Mandelbrot. L'algorithme pour sa construction est assez simple et repose sur une expression itérative simple : Z = Z[je] * Z[je] + C, Où Zi Et C- variables complexes. Des itérations sont effectuées pour chaque point de départ d'une région rectangulaire ou carrée - un sous-ensemble du plan complexe. Le processus itératif se poursuit jusqu'à Z[je] ne dépassera pas le cercle de rayon 2 dont le centre se situe au point (0,0), (cela signifie que l'attracteur du système dynamique est à l'infini), ou après un nombre d'itérations suffisamment grand (par exemple , 200-500) Z[je] convergera vers un point du cercle. En fonction du nombre d'itérations pendant lesquelles Z[je] resté à l'intérieur du cercle, vous pouvez définir la couleur du point C(Si Z[je] reste à l'intérieur du cercle pendant un nombre d'itérations suffisamment grand, le processus d'itération s'arrête et ce point raster est peint en noir).

3. Fractales stochastiques

Une autre classe bien connue de fractales sont les fractales stochastiques, qui sont obtenues si certains de leurs paramètres sont modifiés de manière aléatoire au cours d'un processus itératif. Dans ce cas, les objets résultants sont très similaires aux objets naturels - arbres asymétriques, côtes accidentées, etc. Les fractales stochastiques bidimensionnelles sont utilisées dans la modélisation du terrain et des surfaces marines.
Il existe d'autres classifications des fractales, par exemple, divisant les fractales en déterministes (algébriques et géométriques) et non déterministes (stochastiques).

À propos de l'utilisation des fractales

Tout d'abord, les fractales sont un domaine d'art mathématique étonnant, où, à l'aide des formules et des algorithmes les plus simples, des images d'une beauté et d'une complexité extraordinaires sont obtenues ! Les feuilles, les arbres et les fleurs sont souvent visibles dans les contours des images construites.

Certaines des applications les plus puissantes des fractales résident dans l’infographie. Premièrement, il s'agit de la compression fractale d'images, et deuxièmement, de la construction de paysages, d'arbres, de plantes et de la génération de textures fractales. La physique et la mécanique modernes commencent tout juste à étudier le comportement des objets fractals. Et bien sûr, les fractales sont utilisées directement dans les mathématiques elles-mêmes.
Les avantages des algorithmes de compression d'images fractales sont la très petite taille du fichier compressé et le court temps de récupération de l'image. Les images fractales peuvent être mises à l'échelle sans provoquer de pixellisation. Mais le processus de compression prend beaucoup de temps et dure parfois des heures. L'algorithme de packaging fractal avec perte vous permet de définir le niveau de compression, similaire au format jpeg. L'algorithme est basé sur la recherche de grandes parties de l'image qui sont similaires à certaines petites parties. Et seulement quel morceau est similaire à celui qui est écrit dans le fichier de sortie. Lors de la compression, on utilise généralement une grille carrée (les pièces sont des carrés), ce qui entraîne une légère angulaire lors de la restitution de l'image ; une grille hexagonale ne présente pas cet inconvénient.
Iterated a développé un nouveau format d'image, "Sting", qui combine la compression sans perte fractale et "onde" (comme jpeg). Le nouveau format vous permet de créer des images avec la possibilité d'une mise à l'échelle ultérieure de haute qualité, et le volume des fichiers graphiques représente 15 à 20 % du volume des images non compressées.
La tendance des fractales à ressembler à des montagnes, des fleurs et des arbres est exploitée par certains éditeurs graphiques, par exemple les nuages ​​fractals du studio 3D MAX, les montagnes fractales de World Builder. Les arbres fractals, les montagnes et les paysages entiers sont définis par des formules simples, sont faciles à programmer et ne se brisent pas en triangles et cubes séparés lorsqu'on les approche.
On ne peut ignorer l’utilisation des fractales dans les mathématiques elles-mêmes. Dans la théorie des ensembles, l'ensemble de Cantor prouve l'existence d'ensembles denses parfaits nulle part ; dans la théorie de la mesure, la fonction auto-affine « l'échelle de Cantor » est un bon exemple de fonction de distribution d'une mesure singulière.
En mécanique et en physique, les fractales sont utilisées en raison de propriété unique répéter les contours de nombreux objets naturels. Les fractales vous permettent d'approcher les arbres, les surfaces de montagnes et les fissures avec une plus grande précision que les approximations utilisant des ensembles de segments ou de polygones (avec la même quantité de données stockées). Les modèles fractaux, comme les objets naturels, ont une « rugosité », et cette propriété est préservée quelle que soit la manière dont fort grossissement des modèles. La présence d'une mesure uniforme sur les fractales permet d'appliquer l'intégration, la théorie du potentiel et de les utiliser à la place des objets standards dans les équations déjà étudiées.
Avec une approche fractale, le chaos cesse d’être un désordre bleu et acquiert une structure fine. La science fractale est encore très jeune et a un bel avenir devant elle. La beauté des fractales est loin d'être épuisée et nous offrira encore de nombreux chefs-d'œuvre - ceux qui ravissent les yeux et ceux qui apportent un véritable plaisir à l'esprit.

À propos de la construction de fractales

Méthode d'approximation successive

En regardant cette image, il n’est pas difficile de comprendre comment construire une fractale auto-similaire (dans ce cas, la pyramide de Sierpinski). Nous devons prendre une pyramide régulière (tétraèdre), puis découper son milieu (octaèdre), ce qui donne quatre petites pyramides. Avec chacun d'eux on effectue la même opération, etc. C'est une explication un peu naïve mais claire.

Considérons plus strictement l'essence de la méthode. Qu'il y ait un système IFS, c'est-à-dire système de cartographie de compression S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (par exemple, pour notre pyramide les mappages ont la forme S i (x)=1/2*x+o i , où o i sont les sommets du tétraèdre, i=1,..,4). Ensuite nous choisissons un ensemble compact A 1 dans R n (dans notre cas nous choisissons un tétraèdre). Et nous définissons par récurrence la séquence d'ensembles A k :A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). On sait que les ensembles A k avec k croissant se rapprochent de mieux en mieux de l'attracteur souhaité du système. S.

Notez que chacune de ces itérations est un attracteur système récurrent de fonctions itérées(terme anglais Digraphe IFS, RIF et aussi IFS orienté graphique) et ils sont donc faciles à construire à l'aide de notre programme.

Méthode point par point ou probabiliste

C’est la méthode la plus simple à mettre en œuvre sur un ordinateur. Pour simplifier, nous considérons le cas d’un ensemble auto-affine plat. Alors laissez (S

) - un système de contractions affines. Affichage S

représentable comme : S

Taille de matrice fixe 2x2 et o

Colonne vectorielle bidimensionnelle.

• Prenons comme point de départ le point fixe de la première application S 1 :
  x:= o1;
  On profite ici du fait que tous les points fixes de compression S 1 ,..,S m appartiennent à la fractale. Vous pouvez sélectionner un point arbitraire comme point de départ et la séquence de points générée par celui-ci sera dessinée sur une fractale, mais plusieurs points supplémentaires apparaîtront ensuite à l'écran.
• Marquons le point actuel x=(x 1 ,x 2) sur l'écran :
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Choisissons au hasard un nombre j de 1 à m et recalculons les coordonnées du point x :
  j:=Aléatoire(m)+1;
  x : = Sj (x);
• On passe à l'étape 2, ou, si on a fait un nombre d'itérations suffisamment important, on s'arrête.

Note. Si les taux de compression des mappages S i sont différents, alors la fractale sera remplie de points de manière inégale. Si les mappages Si sont similaires, cela peut être évité en compliquant légèrement l'algorithme. Pour ce faire, à la 3ème étape de l'algorithme, il faut choisir le nombre j de 1 à m avec des probabilités p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, où r i désigne les coefficients de compression des applications Si, et le nombre s (appelé dimension de similarité) est obtenu à partir de l'équation r 1 s +...+r m s =1. La solution de cette équation peut être trouvée, par exemple, par la méthode de Newton.

À propos des fractales et de leurs algorithmes

Fractale vient de l'adjectif latin « fractus », et en traduction signifie constitué de fragments, et le verbe latin correspondant « frangere » signifie briser, c'est-à-dire créer des fragments irréguliers. Les concepts de fractale et de géométrie fractale, apparus à la fin des années 70, se sont solidement implantés parmi les mathématiciens et les programmeurs depuis le milieu des années 80. Le terme a été inventé par Benoît Mandelbrot en 1975 pour désigner les structures irrégulières mais similaires qui l'intéressent. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication du livre de Mandelbrot « La géométrie fractale de la nature » en 1977. Ses travaux utilisent les résultats scientifiques d'autres scientifiques ayant travaillé dans la période 1875-1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Ajustements

Permettez-moi d'apporter quelques ajustements aux algorithmes proposés dans le livre de H.-O. Peitgen et P.H. Richter « La beauté des fractales » M. 1993 uniquement pour éradiquer les fautes de frappe et faciliter la compréhension des processus, car après les avoir étudiés, beaucoup de choses restaient un mystère pour moi. Malheureusement, ces algorithmes « compréhensibles » et « simples » mènent une vie de bascule.

La construction des fractales est basée sur une certaine fonction non linéaire d'un processus complexe avec rétroaction z => z 2 +c puisque z et c sont des nombres complexes, alors z = x + iy, c = p + iq il faut le décomposer dans x et y pour aller dans plus réaliste pour homme ordinaire avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Un plan composé de toutes les paires (x,y) peut être considéré comme pour des valeurs fixes p et q, et avec des dynamiques. Dans le premier cas, en parcourant tous les points (x, y) du plan selon la loi et en les colorant en fonction du nombre de répétitions de la fonction nécessaire pour sortir du processus itératif ou en ne les colorant pas (couleur noire) lorsque le maximum autorisé de répétitions est dépassé, nous obtiendrons un affichage de l'ensemble Julia. Si, au contraire, nous déterminons la paire initiale de valeurs (x, y) et traçons son devenir coloristique avec des valeurs changeant dynamiquement des paramètres p et q, alors nous obtenons des images appelées ensembles de Mandelbrot.

Sur la question des algorithmes de coloration des fractales.

Habituellement, le corps d'un ensemble est représenté comme un champ noir, bien qu'il soit évident que la couleur noire peut être remplacée par n'importe quelle autre, mais c'est aussi un résultat peu intéressant. Obtenir une image d'un ensemble coloré dans toutes les couleurs est une tâche qui ne peut pas être résolue à l'aide d'opérations cycliques car le nombre d'itérations des ensembles formant le corps est égal au maximum possible et est toujours le même. Il est possible de colorer un ensemble de différentes couleurs en utilisant le résultat de la vérification de la condition de sortie de boucle (z_magnitude) ou quelque chose de similaire, mais avec d'autres opérations mathématiques, comme numéro de couleur.

Application d'un "microscope fractal"

pour démontrer les phénomènes de frontière.

Les attracteurs sont des centres qui mènent la lutte pour la domination sur l'avion. Une frontière apparaît entre les attracteurs, représentant un motif fleuri. En augmentant l'échelle de considération dans les limites de l'ensemble, on peut obtenir des modèles non triviaux qui reflètent l'état de chaos déterministe - un phénomène courant dans le monde naturel.

Les objets étudiés par les géographes forment un système aux frontières organisées de manière très complexe, et leur identification ne devient donc pas une tâche pratique simple. Complexes naturels ont des noyaux de typicité qui agissent comme des attracteurs qui perdent leur influence sur le territoire à mesure qu'il s'éloigne.

À l'aide d'un microscope fractal pour les ensembles de Mandelbrot et Julia, on peut se faire une idée de processus et de phénomènes limites tout aussi complexes quelle que soit l'échelle de considération et ainsi préparer la perception du spécialiste à une rencontre avec un objet naturel dynamique et apparemment chaotique. dans l'espace et le temps, pour une compréhension de la nature de la géométrie fractale. Les couleurs multicolores et la musique fractale laisseront certainement une profonde empreinte dans l’esprit des étudiants.

Des milliers de publications et de vastes ressources Internet sont consacrées aux fractales, mais pour de nombreux spécialistes éloignés de l'informatique, ce terme semble complètement nouveau. Les fractales, en tant qu'objets d'intérêt pour les spécialistes de divers domaines de la connaissance, devraient recevoir une place à part entière dans les cours d'informatique.

Exemples

GRILLE DE SIEPINSKI

C'est l'une des fractales que Mandelbrot a expérimentées lors du développement des concepts de dimensions et d'itérations fractales. Les triangles formés en reliant les milieux d'un triangle plus grand sont découpés dans le triangle principal, formant un triangle avec plus de trous. Dans ce cas, l'initiateur est le grand triangle et le gabarit est l'opération de découpe de triangles similaires au plus grand. Vous pouvez également obtenir une version tridimensionnelle d'un triangle en utilisant un tétraèdre ordinaire et en découpant de petits tétraèdres. La dimension d'une telle fractale est ln3/ln2 = 1,584962501. Obtenir Tapis Sierpinski, prenez un carré, divisez-le en neuf carrés et découpez celui du milieu. Nous ferons de même avec le reste, des carrés plus petits. Finalement, une grille fractale plate se forme, n’ayant aucune surface mais avec des connexions infinies. Dans sa forme spatiale, l'éponge de Sierpinski se transforme en un système de formes bout à bout, dans lequel chaque élément bout à bout est constamment remplacé par son propre type. Cette structure est très similaire à une coupe le tissu osseux. Un jour, de telles structures répétitives deviendront un élément des structures de construction. Selon Mandelbrot, leur statique et leur dynamique méritent une étude approfondie.

COURBE DE KOCH

La courbe de Koch est l'une des fractales déterministes les plus typiques. Il a été inventé au XIXe siècle par un mathématicien allemand nommé Helge von Koch, qui, en étudiant les travaux de Georg Kontor et Karl Weierstrasse, est tombé sur des descriptions de courbes étranges au comportement inhabituel. L'initiateur est une ligne droite. Le générateur est un triangle équilatéral dont les côtés sont égaux au tiers de la longueur du plus grand segment. Ces triangles sont ajoutés encore et encore au milieu de chaque segment. Dans ses recherches, Mandelbrot a expérimenté de manière approfondie les courbes de Koch et a produit des figures telles que des îles de Koch, des croix de Koch, des flocons de neige de Koch et même des représentations tridimensionnelles de la courbe de Koch en utilisant un tétraèdre et en ajoutant des tétraèdres plus petits à chacune de ses faces. La courbe de Koch a pour dimension ln4/ln3 = 1,261859507.

FRACTALE DE MANDELBROT

Il ne s’agit PAS du décor de Mandelbrot, que l’on voit assez souvent. L'ensemble de Mandelbrot est basé sur des équations non linéaires et constitue une fractale complexe. Il s'agit également d'une variante de la courbe de Koch, bien que cet objet ne lui ressemble pas. L'initiateur et le générateur sont également différents de ceux utilisés pour créer des fractales basées sur le principe de la courbe de Koch, mais l'idée reste la même. Au lieu de joindre des triangles équilatéraux à un segment de courbe, les carrés sont joints à un carré. Du fait que cette fractale occupe exactement la moitié de l'espace alloué à chaque itération, elle a une dimension fractale simple de 3/2 = 1,5.

Fractales complexes

En fait, si vous agrandissez une petite zone d'une fractale complexe, puis faites de même avec une petite zone de cette zone, les deux grossissements seront très différents l'un de l'autre. Les deux images seront très similaires dans les détails, mais elles ne seront pas complètement identiques.

Figure 1. approximation de l’ensemble de Mandelbrot

Comparez, par exemple, les images de l'ensemble Mandelbrot présentées ici, dont l'une a été obtenue en agrandissant une certaine zone de l'autre. Comme vous pouvez le constater, ils ne sont absolument pas identiques, même si sur les deux nous voyons un cercle noir, à partir duquel s'étendent des tentacules enflammés dans des directions différentes. Ces éléments se répètent indéfiniment dans l’ensemble de Mandelbrot dans des proportions décroissantes.

Les fractales déterministes sont linéaires, contrairement aux fractales complexes. Étant non linéaires, ces fractales sont générées par ce que Mandelbrot a appelé non-linéaire équations algébriques. Bon exemple est le processus Zn+1=ZnІ + C, qui est l'équation utilisée pour construire l'ensemble de Mandelbrot et Julia du deuxième degré. La résolution de ces équations mathématiques implique des nombres complexes et imaginaires. Lorsque l'équation est interprétée graphiquement dans le plan complexe, on obtient une figure étrange dans laquelle les lignes droites deviennent des courbes et des effets d'autosimilarité apparaissent, non sans déformations, à différents niveaux d'échelle. Dans le même temps, l’ensemble du tableau est imprévisible et très chaotique.

Comme vous pouvez le constater en regardant les images, les fractales complexes sont en effet très complexes et ne peuvent être créées sans l’aide d’un ordinateur. Pour obtenir des résultats colorés, cet ordinateur doit disposer d'un puissant coprocesseur mathématique et d'un moniteur avec haute résolution. Contrairement aux fractales déterministes, les fractales complexes ne sont pas calculées en 5 à 10 itérations. Presque chaque point sur un écran d’ordinateur est comme une fractale distincte. Lors du traitement mathématique, chaque point est traité comme un dessin distinct. Chaque point correspond à une valeur spécifique. L'équation est intégrée pour chaque point et est réalisée, par exemple, 1000 itérations. Pour obtenir une image relativement non déformée dans un délai acceptable pour les ordinateurs domestiques, il est possible d'effectuer 250 itérations pour un point.

La plupart des fractales que nous voyons aujourd’hui sont magnifiquement colorées. Peut-être que les images fractales acquièrent une telle importance esthétique précisément en raison de leurs schémas de couleurs. Une fois l’équation calculée, l’ordinateur analyse les résultats. Si les résultats restent stables ou fluctuent autour d’une certaine valeur, le point devient généralement noir. Si la valeur à un pas ou à un autre tend vers l'infini, le point est peint d'une couleur différente, peut-être en bleu ou en rouge. Au cours de ce processus, l'ordinateur attribue des couleurs à toutes les vitesses de mouvement.

En règle générale, les points se déplaçant rapidement sont colorés en rouge, tandis que les points plus lents sont colorés en jaune, et ainsi de suite. Les taches brunes sont probablement les plus stables.

Les fractales complexes diffèrent des fractales déterministes dans le sens où elles sont infiniment complexes, mais peuvent toujours être générées par une formule très simple. Les fractales déterministes ne nécessitent ni formules ni équations. Prenez simplement du papier à dessin et vous pourrez construire un tamis Sierpinski jusqu'à 3 ou 4 itérations sans aucune difficulté. Essayez ceci avec beaucoup de Julia ! C'est plus simple d'aller mesurer la longueur du littoral anglais !

ENSEMBLE MANDELBROT

Fig 2. Ensemble de Mandelbrot

Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont probablement les deux plus courants parmi les fractales complexes. On les retrouve dans de nombreuses revues scientifiques, couvertures de livres, cartes postales et économiseurs d’écran d’ordinateur. L'ensemble de Mandelbrot, construit par Benoit Mandelbrot, est probablement la première association que les gens ont lorsqu'ils entendent le mot fractal. Cette fractale, qui ressemble à une machine à carder avec des zones circulaires en forme d'arbre enflammé, est générée par la formule simple Zn+1=Zna+C, où Z et C sont des nombres complexes et a est un nombre positif.

L'ensemble de Mandelbrot, que l'on voit le plus souvent, est l'ensemble de Mandelbrot du 2ème degré, c'est-à-dire a = 2. Le fait que l’ensemble de Mandelbrot soit non seulement Zn+1=ZnІ+C, mais aussi une fractale dont l’indicateur dans la formule peut être n’importe quel nombre positif, en a induit beaucoup en erreur. Sur cette page, vous voyez un exemple du set de Mandelbrot pour différentes significations indicateur a.
Figure 3. Apparition des bulles à a=3,5

Le processus Z=Z*tg(Z+C) est également populaire. En incluant la fonction tangente, le résultat est un ensemble de Mandelbrot entouré d'une zone ressemblant à une pomme. Lors de l'utilisation de la fonction cosinus, des effets de bulles d'air sont obtenus. En bref, il existe une infinité de façons de configurer l'ensemble de Mandelbrot pour produire différentes belles images.

BEAUCOUP DE JULIA

Étonnamment, les ensembles de Julia sont formés selon la même formule que l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble Julia a été inventé par le mathématicien français Gaston Julia, qui lui a donné son nom. La première question qui se pose après une connaissance visuelle des ensembles de Mandelbrot et Julia est « si les deux fractales sont générées selon la même formule, pourquoi sont-elles si différentes ? Regardez d’abord les photos de l’ensemble Julia. Curieusement, il existe différents types d'ensembles Julia. Lorsque vous dessinez une fractale en utilisant différents points de départ (pour commencer le processus d'itération), différentes images sont générées. Cela s'applique uniquement à l'ensemble Julia.

Figure 4. Ensemble de Julia

Bien que cela ne soit pas visible sur la photo, une fractale de Mandelbrot est en réalité constituée de plusieurs fractales de Julia reliées entre elles. Chaque point (ou coordonnée) de l'ensemble de Mandelbrot correspond à une fractale de Julia. Des ensembles de Julia peuvent être générés en utilisant ces points comme valeurs initiales dans l'équation Z=ZI+C. Mais cela ne signifie pas que si vous sélectionnez un point sur la fractale de Mandelbrot et que vous l'agrandissez, vous pouvez obtenir la fractale de Julia. Ces deux points sont identiques, mais uniquement au sens mathématique. Si vous prenez ce point et le calculez en utilisant cette formule, vous pouvez obtenir une fractale de Julia correspondant à un certain point de la fractale de Mandelbrot.

Les découvertes scientifiques les plus ingénieuses peuvent changer radicalement la vie humaine. Le vaccin inventé peut sauver des millions de personnes ; au contraire, la création d’armes leur enlève des vies. Plus récemment (à l'échelle de l'évolution humaine), nous avons appris à « apprivoiser » l'électricité - et maintenant nous ne pouvons pas imaginer la vie sans tous ces appareils pratiques qui utilisent l'électricité. Mais il y a aussi des découvertes auxquelles peu de gens attachent de l’importance, même si elles influencent aussi grandement nos vies.

L’une de ces découvertes « discrètes » concerne les fractales. Vous avez probablement déjà entendu ce mot accrocheur, mais savez-vous ce qu'il signifie et combien d'informations intéressantes se cachent dans ce terme ?

Chaque personne a une curiosité naturelle, une envie de comprendre le monde qui l’entoure. Et dans cet effort, une personne essaie d'adhérer à la logique dans ses jugements. En analysant les processus qui se déroulent autour de lui, il essaie de trouver la logique de ce qui se passe et d'en tirer un modèle. Les plus grands esprits de la planète s’occupent de cette tâche. En gros, les scientifiques recherchent un modèle là où il ne devrait pas y en avoir. Néanmoins, même dans le chaos, il est possible d’établir des liens entre les événements. Et cette connexion est une fractale.

Notre petite fille de quatre ans et demi a désormais cet âge merveilleux où se multiplient les questions « Pourquoi ? dépasse de plusieurs fois le nombre de réponses que les adultes parviennent à donner. Il n’y a pas si longtemps, en examinant une branche soulevée du sol, ma fille a soudainement remarqué que cette branche, avec ses brindilles et ses branches, ressemblait elle-même à un arbre. Et bien sûr, ce qui a suivi était la question habituelle « Pourquoi ? », à laquelle les parents devaient chercher une explication simple et compréhensible pour l’enfant.

La similitude d'une seule branche avec un arbre entier découverte par un enfant est une observation très précise, qui témoigne une fois de plus du principe d'autosimilarité récursive dans la nature. De nombreuses formes organiques et inorganiques dans la nature se forment de la même manière. Les nuages, les coquillages, la « maison » d’un escargot, l’écorce et la cime des arbres, le système circulatoire, etc. : les formes aléatoires de tous ces objets peuvent être décrites par un algorithme fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot : père de la géométrie fractale

Le mot « fractale » lui-même est apparu grâce au brillant scientifique Benoit B. Mandelbrot.

Il a lui-même inventé le terme dans les années 1970, empruntant le mot fractus au latin, où il signifie littéralement « cassé » ou « écrasé ». Qu'est-ce que c'est? Aujourd’hui, le mot « fractale » signifie le plus souvent image graphique des structures qui se ressemblent à plus grande échelle.

Les bases mathématiques de l'émergence de la théorie des fractales ont été posées bien des années avant la naissance de Benoit Mandelbrot, mais elles n'ont pu se développer qu'avec l'avènement des appareils informatiques. Au début de son activité scientifique Benoit a travaillé chez centre de recherche Société IBM. A cette époque, les employés du centre travaillaient à la transmission de données à distance. Au cours de leurs recherches, les scientifiques ont été confrontés au problème des pertes importantes résultant des interférences sonores. Benoit a fait face à une situation difficile et très tâche importante— comprendre comment prédire l'apparition d'interférences sonores dans les circuits électroniques lorsque la méthode statistique s'avère inefficace.

En parcourant les résultats des mesures de bruit, Mandelbrot a remarqué une tendance étrange : les graphiques de bruit à différentes échelles se ressemblaient. Une tendance identique a été observée, qu’il s’agisse d’un graphique de bruit pour une journée, une semaine ou une heure. Il a fallu changer l’échelle du graphique et l’image s’est répétée à chaque fois.

Au cours de sa vie, Benoît Mandelbrot a répété à plusieurs reprises qu'il n'étudiait pas les formules, mais qu'il jouait simplement avec les images. Cet homme pensait de manière très figurative et transposait tout problème algébrique dans le domaine de la géométrie, où, selon lui, la bonne réponse est toujours évidente.

Il n’est pas surprenant que ce soit un homme doté d’une imagination spatiale si riche qui soit devenu le père de la géométrie fractale. Après tout, la prise de conscience de l'essence des fractales survient précisément lorsque vous commencez à étudier les dessins et à réfléchir à la signification d'étranges motifs de tourbillons.

Un motif fractal ne comporte pas d’éléments identiques, mais est similaire à toutes les échelles. Construire une telle image avec haut degré Les détails manuels étaient auparavant tout simplement impossibles et nécessitaient une énorme quantité de calculs. Par exemple, le mathématicien français Pierre Joseph Louis Fatou a décrit cet ensemble plus de soixante-dix ans avant la découverte de Benoît Mandelbrot. Si nous parlons des principes d'autosimilarité, ils ont été mentionnés dans les travaux de Leibniz et Georg Cantor.

L'un des premiers dessins fractals était une interprétation graphique de l'ensemble de Mandelbrot, né grâce aux recherches de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (portant toujours un masque - blessure de la Première Guerre mondiale)

Ce mathématicien français se demandait à quoi ressemblerait un ensemble s'il était construit à partir d'une formule simple itérée dans une boucle. retour. Si vous l'expliquez « sur vos doigts », cela signifie que pour numéro spécifique Nous trouvons une nouvelle valeur à l'aide de la formule, après quoi nous la substituons à nouveau dans la formule et obtenons une autre valeur. Le résultat est une grande séquence de nombres.

Pour obtenir une image complète d'un tel ensemble, vous devez effectuer un grand nombre de calculs - des centaines, des milliers, des millions. Il était tout simplement impossible de le faire manuellement. Mais lorsque de puissants appareils informatiques sont devenus disponibles pour les mathématiciens, ils ont pu jeter un nouveau regard sur des formules et des expressions qui les intéressaient depuis longtemps. Mandelbrot fut le premier à utiliser un ordinateur pour calculer une fractale classique. Après avoir traité une séquence composée d’un grand nombre de valeurs, Benoit a tracé les résultats sur un graphique. C'est ce qu'il a eu.

Par la suite, cette image a été colorée (par exemple, l'une des méthodes de coloration est le nombre d'itérations) et est devenue l'une des images les plus populaires jamais créées par l'homme.

Comme le dit l’ancien dicton attribué à Héraclite d’Éphèse : « On ne peut pas se jeter deux fois dans le même fleuve ». Il est parfaitement adapté pour interpréter la géométrie des fractales. Peu importe le degré de détail avec lequel nous examinons une image fractale, nous verrons toujours un motif similaire.

Ceux qui souhaitent voir à quoi ressemblerait une image de l’espace de Mandelbrot après un zoom plusieurs fois peuvent le faire en téléchargeant le GIF animé.

⇡ Lauren Carpenter : l'art créé par la nature

La théorie des fractales a rapidement trouvé une application pratique. Puisqu’il est étroitement lié à la visualisation d’images auto-similaires, il n’est pas surprenant que les premiers à adopter des algorithmes et des principes de construction formes inhabituelles, il y avait des artistes.

Le futur co-fondateur du légendaire studio Pixar, Loren C. Carpenter, a commencé à travailler en 1967 chez Boeing Computer Services, qui était l'une des divisions de la célèbre société développant de nouveaux avions.

En 1977, il crée des présentations avec des prototypes de modèles volants. Les responsabilités de Loren comprenaient le développement d'images de l'avion en cours de conception. Il devait créer des images de nouveaux modèles, montrant les futurs avions sous différents angles. À un moment donné, le futur fondateur des studios d'animation Pixar a eu l'idée créative d'utiliser une image de montagnes comme arrière-plan. Aujourd'hui, n'importe quel écolier peut résoudre un tel problème, mais à la fin des années 70 du siècle dernier, les ordinateurs ne pouvaient pas faire face à des calculs aussi complexes - il n'existait pas d'éditeurs graphiques, encore moins d'applications pour les graphiques 3D. En 1978, Lauren a accidentellement vu le livre de Benoit Mandelbrot, Fractals : Form, Chance and Dimension, dans un magasin. Dans ce livre, son attention a été attirée par le fait que Benoit donnait de nombreux exemples de formes fractales dans vrai vie et a fait valoir qu'ils peuvent être décrits par une expression mathématique.

Cette analogie n’a pas été choisie par le mathématicien par hasard. Le fait est que dès qu’il a publié ses recherches, il a dû faire face à toute une série de critiques. La principale chose que lui reprochaient ses collègues était l'inutilité de la théorie en cours d'élaboration. "Oui", dirent-ils, "c'est belles images, Mais pas plus. La théorie des fractales n’a aucune valeur pratique. Il y avait aussi ceux qui croyaient généralement que les modèles fractals étaient simplement un sous-produit du travail des « machines diaboliques », qui, à la fin des années 70, semblaient à beaucoup trop complexes et inexplorées pour qu'on leur fasse entièrement confiance. Mandelbrot a essayé de trouver des applications évidentes à la théorie fractale, mais dans l’ensemble, il n’en avait pas besoin. Au cours des 25 années suivantes, les adeptes de Benoit Mandelbrot ont prouvé les énormes avantages d'une telle « curiosité mathématique », et Lauren Carpenter a été l'une des premières à essayer la méthode fractale dans la pratique.

Après avoir étudié le livre, le futur animateur a étudié sérieusement les principes de la géométrie fractale et a commencé à chercher un moyen de l'implémenter en infographie. En seulement trois jours de travail, Lauren a pu restituer une image réaliste du système montagneux sur son ordinateur. En d’autres termes, il a utilisé des formules pour peindre un paysage de montagne parfaitement reconnaissable.

Le principe utilisé par Lauren pour atteindre son objectif était très simple. Cela consistait à diviser une figure géométrique plus grande en petits éléments, et ceux-ci, à leur tour, étaient divisés en figures similaires de plus petite taille.

En utilisant des triangles plus grands, Carpenter les a divisés en quatre plus petits, puis a répété ce processus encore et encore jusqu'à obtenir un paysage de montagne réaliste. Ainsi, il a réussi à devenir le premier artiste à utiliser un algorithme fractal pour construire des images en infographie. Dès que l’œuvre a été connue, des passionnés du monde entier ont repris l’idée et ont commencé à utiliser l’algorithme fractal pour imiter des formes naturelles réalistes.

Une des premières visualisations 3D utilisant un algorithme fractal

Quelques années plus tard, Lauren Carpenter a pu appliquer ses développements dans un projet beaucoup plus vaste. L'animateur a créé à partir d'eux une démo de deux minutes de Vol Libre, qui a été diffusée sur Siggraph en 1980. Cette vidéo a choqué tous ceux qui l'ont vue et Lauren a reçu une invitation de Lucasfilm.

L'animation a été rendue sur un ordinateur VAX-11/780 de Digital Equipment Corporation avec une vitesse d'horloge de cinq mégahertz, et chaque image a pris environ une demi-heure à rendre.

Travaillant pour Lucasfilm Limited, l'animateur a créé des paysages 3D en utilisant le même schéma pour le deuxième long métrage de la saga Star Trek. Dans La Colère de Khan, Carpenter a pu créer une planète entière en utilisant le même principe de modélisation de surface fractale.

Actuellement, toutes les applications populaires de création de paysages 3D utilisent un principe similaire pour générer des objets naturels. Terragen, Bryce, Vue et d'autres éditeurs 3D s'appuient sur un algorithme fractal pour modéliser les surfaces et les textures.

⇡ Antennes fractales : moins c'est plus

Au cours du dernier demi-siècle, la vie a rapidement commencé à changer. La plupart d'entre nous acceptent les réalisations technologies modernes pour acquis. On s’habitue très vite à tout ce qui rend la vie plus confortable. Il est rare que quelqu’un pose la question « D’où cela vient ? » et "Comment ça marche?" Un micro-ondes réchauffe le petit-déjeuner - super, un smartphone vous donne la possibilité de parler à une autre personne - super. Cela nous semble une possibilité évidente.

Mais la vie aurait pu être complètement différente si une personne n'avait pas cherché une explication aux événements qui se déroulaient. Prenez les téléphones portables, par exemple. Vous vous souvenez des antennes rétractables sur les premiers modèles ? Ils ont interféré, ont augmenté la taille de l'appareil et, à la fin, se sont souvent cassés. Nous pensons qu’ils sont tombés dans l’oubli pour toujours, et cela s’explique en partie par… les fractales.

Les motifs fractals fascinent par leurs motifs. Ils ressemblent définitivement à des images d'objets cosmiques - nébuleuses, amas de galaxies, etc. Il est donc tout à fait naturel que lorsque Mandelbrot a exprimé sa théorie des fractales, ses recherches ont suscité un intérêt accru parmi ceux qui étudiaient l'astronomie. L'un de ces amateurs, Nathan Cohen, après avoir assisté à une conférence de Benoît Mandelbrot à Budapest, a eu l'idée application pratique connaissance acquise. Certes, il l'a fait intuitivement et le hasard a joué un rôle important dans sa découverte. En tant que radioamateur, Nathan cherchait à créer une antenne ayant la sensibilité la plus élevée possible.

La seule façon connue à l’époque d’améliorer les paramètres de l’antenne était d’augmenter ses dimensions géométriques. Cependant, le propriétaire de la propriété du centre-ville de Boston que Nathan louait était catégoriquement contre l'installation de gros appareils sur le toit. Puis Nathan a commencé à expérimenter Formes variées antennes, en essayant d'obtenir le résultat maximum avec la taille minimale. Inspiré par l'idée des formes fractales, Cohen, comme on dit, a créé au hasard l'une des fractales les plus célèbres à partir de fil de fer - le "flocon de neige de Koch". Le mathématicien suédois Helge von Koch a proposé cette courbe en 1904. Il est obtenu en divisant un segment en trois parties et en remplaçant le segment médian par un triangle équilatéral sans côté coïncidant avec ce segment. La définition est un peu difficile à comprendre, mais sur la figure tout est clair et simple.

Il existe également d'autres variantes de la courbe de Koch, mais la forme approximative de la courbe reste similaire.

Lorsque Nathan a connecté l'antenne au récepteur radio, il a été très surpris : la sensibilité a considérablement augmenté. Après une série d'expériences futur professeur L'Université de Boston a réalisé qu'une antenne réalisée à l'aide d'un motif fractal était très efficace et couvrait une gamme de fréquences beaucoup plus large que les solutions classiques. De plus, la forme de l'antenne en forme de courbe fractale permet de réduire considérablement les dimensions géométriques. Nathan Cohen a même proposé un théorème prouvant que pour créer une antenne à large bande, il suffit de lui donner la forme d'une courbe fractale auto-similaire.

L'auteur a breveté sa découverte et a fondé une entreprise pour le développement et la conception d'antennes fractales Fractal Antenna Systems, estimant à juste titre qu'à l'avenir, grâce à sa découverte, les téléphones portables pourront se débarrasser des antennes encombrantes et devenir plus compacts.

En principe, c'est ce qui s'est passé. Certes, Nathan est encore aujourd'hui engagé dans une bataille juridique avec de grandes entreprises qui utilisent illégalement sa découverte pour produire des appareils de communication compacts. Certains fabricants d'appareils mobiles bien connus, comme Motorola, ont déjà conclu un accord à l'amiable avec l'inventeur de l'antenne fractale.

⇡ Dimensions fractales : vous ne pouvez pas le comprendre avec votre esprit

Benoit a emprunté cette question au célèbre scientifique américain Edward Kasner.

Ce dernier, comme beaucoup d'autres mathématiciens célèbres, aimait communiquer avec les enfants, leur poser des questions et recevoir des réponses inattendues. Cela a parfois conduit à des conséquences surprenantes. Par exemple, le neveu d’Edward Kasner, âgé de neuf ans, a inventé le mot désormais bien connu « googol », signifiant un suivi de cent zéros. Mais revenons aux fractales. Le mathématicien américain aimait poser la question de savoir quelle est la longueur du littoral américain. Après avoir écouté l'opinion de son interlocuteur, Edward lui-même a donné la bonne réponse. Si vous mesurez la longueur sur une carte à l'aide de segments brisés, le résultat sera inexact, car le littoral présente un grand nombre d'irrégularités. Que se passe-t-il si nous mesurons aussi précisément que possible ? Vous devrez prendre en compte la longueur de chaque dénivelé - vous devrez mesurer chaque cap, chaque baie, rocher, la longueur d'un rebord rocheux, une pierre dessus, un grain de sable, un atome, etc. Puisque le nombre d’irrégularités tend vers l’infini, la longueur mesurée du trait de côte augmentera jusqu’à l’infini lors de la mesure de chaque nouvelle irrégularité.

Plus la mesure est petite lors de la mesure, plus la longueur mesurée est longue

Il est intéressant de noter qu'en suivant les instructions d'Edward, les enfants étaient beaucoup plus rapides que les adultes pour énoncer la bonne solution, tandis que ces derniers avaient du mal à accepter une réponse aussi incroyable.

En utilisant ce problème comme exemple, Mandelbrot a suggéré d'utiliser nouvelle approche aux mesures. Étant donné que le littoral est proche d’une courbe fractale, cela signifie qu’un paramètre caractéristique peut lui être appliqué : la dimension dite fractale.

Ce qu'est une dimension régulière est clair pour tout le monde. Si la dimension est égale à un, on obtient une ligne droite, si deux - silhouette plate, trois volumes. Cependant, cette compréhension de la dimension en mathématiques ne fonctionne pas avec les courbes fractales, où ce paramètre a une valeur fractionnaire. La dimension fractale en mathématiques peut être classiquement considérée comme une « rugosité ». Plus la rugosité de la courbe est élevée, plus sa dimension fractale est grande. Une courbe qui, selon Mandelbrot, a une dimension fractale supérieure à sa dimension topologique a une longueur approximative qui ne dépend pas du nombre de dimensions.

Actuellement, les scientifiques trouvent de plus en plus de domaines pour appliquer la théorie des fractales. Grâce aux fractales, vous pouvez analyser les fluctuations des cours boursiers, étudier toutes sortes de processus naturels, comme les fluctuations du nombre d'espèces, ou encore simuler la dynamique des flux. Les algorithmes fractals peuvent être utilisés pour la compression de données, comme la compression d'images. Et d’ailleurs, pour obtenir une belle fractale sur votre écran d’ordinateur, vous n’avez pas besoin d’avoir un doctorat.

⇡ Fractale dans le navigateur

Peut-être l'un des plus des moyens simples obtenez un motif fractal - utilisez l'éditeur de vecteurs en ligne du jeune programmeur talentueux Toby Schachman. Les outils de cet éditeur graphique simple reposent sur le même principe d'autosimilarité.

À votre disposition, il n'y a que deux formes les plus simples : un quadrilatère et un cercle. Vous pouvez les ajouter au canevas, les redimensionner (pour redimensionner le long de l'un des axes, maintenez la touche Maj enfoncée) et les faire pivoter. Se chevauchant selon le principe des opérations d'addition booléennes, ces éléments les plus simples forment de nouvelles formes moins triviales. Ces nouvelles formes peuvent ensuite être ajoutées au projet, et le programme répétera la génération de ces images à l'infini. À n'importe quelle étape du travail sur une fractale, vous pouvez revenir à n'importe quel composant d'une forme complexe et modifier sa position et sa géométrie. Une activité amusante, surtout si l’on considère que le seul outil dont vous avez besoin pour créer est un navigateur. Si vous ne comprenez pas le principe de travailler avec cet éditeur vectoriel récursif, nous vous conseillons de regarder la vidéo sur le site officiel du projet, qui montre en détail l'ensemble du processus de création d'une fractale.

⇡ XaoS : des fractales pour tous les goûts

De nombreux éditeurs graphiques disposent d'outils intégrés pour créer des modèles fractals. Cependant, ces outils sont généralement secondaires et ne permettent pas d’affiner le motif fractal généré. Dans les cas où il est nécessaire de construire une fractale mathématiquement précise, l'éditeur multiplateforme XaoS viendra à la rescousse. Ce programme permet non seulement de construire une image auto-similaire, mais également d'effectuer diverses manipulations avec celle-ci. Par exemple, en temps réel, vous pouvez « promener » le long d’une fractale en changeant son échelle. Un mouvement animé le long d'une fractale peut être enregistré sous forme de fichier XAF puis reproduit dans le programme lui-même.

XaoS peut charger un ensemble aléatoire de paramètres et également utiliser divers filtres de post-traitement d'image - ajouter un effet de mouvement flou, lisser les transitions nettes entre les points fractals, simuler une image 3D, etc.

⇡ Fractal Zoomer : générateur de fractales compact

Par rapport aux autres générateurs d’images fractales, il présente plusieurs avantages. Premièrement, il est de très petite taille et ne nécessite aucune installation. Deuxièmement, il implémente la possibilité de déterminer la palette de couleurs d'une image. Vous pouvez choisir des nuances dans modèles de couleurs RVB, CMJN, HVS et HSL.

Il est également très pratique d'utiliser l'option de sélection aléatoire nuances de couleurs et une fonction pour inverser toutes les couleurs de l'image. Pour ajuster la couleur, il existe une fonction de sélection cyclique des nuances - lorsque vous activez le mode correspondant, le programme anime l'image en changeant cycliquement les couleurs.

Fractal Zoomer peut visualiser 85 fonctions fractales différentes et les formules sont clairement affichées dans le menu du programme. Il existe des filtres pour le post-traitement des images dans le programme, bien qu'en petites quantités. Chaque filtre attribué peut être annulé à tout moment.

⇡ Mandelbulb3D : éditeur de fractales 3D

Lorsque le terme « fractale » est utilisé, il fait le plus souvent référence à une image plate et bidimensionnelle. Cependant, la géométrie fractale dépasse la dimension 2D. Dans la nature, vous pouvez trouver à la fois des exemples de formes fractales plates, par exemple la géométrie de la foudre, et des figures volumétriques tridimensionnelles. Les surfaces fractales peuvent être tridimensionnelles, et une illustration très claire des fractales 3D dans la vie quotidienne est une tête de chou. La meilleure façon de voir les fractales est peut-être dans la variété Romanesco, un hybride de chou-fleur et de brocoli.

Vous pouvez aussi manger cette fractale

Créez des objets 3D avec forme similaire Le programme Mandelbulb3D peut le faire. Pour obtenir une surface 3D à l'aide d'un algorithme fractal, les auteurs de cette application, Daniel White et Paul Nylander, ont converti l'ensemble de Mandelbrot en coordonnées sphériques. Le programme Mandelbulb3D qu'ils ont créé est un véritable éditeur tridimensionnel qui modélise les surfaces fractales différentes formes. Puisque nous observons souvent des motifs fractals dans la nature, un objet tridimensionnel fractal créé artificiellement semble incroyablement réaliste et même « vivant ».

Cela peut ressembler à une plante, à un animal étrange, à une planète ou à autre chose. Cet effet est renforcé par un algorithme de rendu avancé, qui permet d'obtenir des reflets réalistes, de calculer la transparence et les ombres, de simuler l'effet de profondeur de champ, etc. Mandelbulb3D dispose d'un grand nombre de paramètres et d'options de rendu. Vous pouvez contrôler les nuances des sources lumineuses, sélectionner l'arrière-plan et le niveau de détail de l'objet simulé.

L'éditeur de fractales Incendia prend en charge le double lissage d'image, contient une bibliothèque de cinquante fractales tridimensionnelles différentes et dispose d'un module séparé pour l'édition des formes de base.

L'application utilise des scripts fractals, avec lesquels vous pouvez décrire indépendamment de nouveaux types de conceptions fractales. Incendia dispose d'éditeurs de textures et de matériaux, et le moteur de rendu vous permet d'utiliser des effets de brouillard volumétrique et divers shaders. Le programme implémente l'option de sauvegarde d'un tampon lors du rendu à long terme et prend en charge la création d'animations.

Incendia vous permet d'exporter un modèle fractal vers des formats graphiques 3D populaires - OBJ et STL. Incendia inclut un petit utilitaire appelé Geographica, un outil spécial permettant de configurer l'exportation d'une surface fractale vers un modèle 3D. À l'aide de cet utilitaire, vous pouvez déterminer la résolution d'une surface 3D et spécifier le nombre d'itérations fractales. Les modèles exportés peuvent être utilisés dans des projets 3D lorsque vous travaillez avec des éditeurs 3D tels que Blender, 3ds max et autres.

Récemment, les travaux sur le projet Incendia ont quelque peu ralenti. Sur ce moment l'auteur recherche des sponsors pour l'aider à développer le programme.

Si vous n’avez pas assez d’imagination pour dessiner une belle fractale tridimensionnelle dans ce programme, cela n’a pas d’importance. Utilisez la bibliothèque de paramètres située dans le dossier INCENDIA_EX\parameters. À l'aide des fichiers PAR, vous pouvez trouver rapidement les formes fractales les plus inhabituelles, y compris les formes animées.

⇡ Aural : comment chantent les fractales

Nous ne parlons généralement pas de projets en cours de réalisation, mais dans ce cas, nous devons faire une exception, car il s’agit d’une application très inhabituelle. Le projet, appelé Aural, a été inventé par la même personne qui a créé Incendia. Cependant, cette fois, le programme ne visualise pas l'ensemble fractal, mais le sonne, le transformant en musique électronique. L'idée est très intéressante, surtout si l'on considère propriétés inhabituelles fractales. Aural est un éditeur audio qui génère des mélodies à l'aide d'algorithmes fractaux, c'est-à-dire essentiellement un synthétiseur-séquenceur audio.

La séquence de sons produite par ce programme est inhabituelle et... belle. Il pourrait très bien être utile pour écrire des rythmes modernes et, nous semble-t-il, est particulièrement bien adapté à la création de rythmes modernes. pistes audio aux économiseurs d'écran de programmes de télévision et de radio, ainsi qu'aux « boucles » de musique de fond pour jeux d'ordinateur. Ramiro n'a pas encore fourni de démo de son programme, mais promet que lorsqu'il le fera, pour travailler avec Aural, vous n'aurez pas besoin d'étudier la théorie fractale - il vous suffira de jouer avec les paramètres de l'algorithme de génération d'une séquence de notes. Écoutez le son des fractales, et.

Fractales : pause musicale

En fait, les fractales peuvent vous aider à écrire de la musique même sans logiciel. Mais cela ne peut être fait que par quelqu'un qui est vraiment imprégné de l'idée d'harmonie naturelle et qui ne s'est pas transformé en un malheureux « nerd ». Il est logique de prendre l'exemple d'un musicien nommé Jonathan Coulton, qui écrit, entre autres, des compositions pour le magazine Popular Science. Et contrairement à d'autres artistes, Colton publie toutes ses œuvres sous une licence Creative Commons Attribution-Non commerciale, qui (lorsqu'elle est utilisée à des fins non commerciales) prévoit la copie gratuite, la distribution, le transfert de l'œuvre à d'autres, ainsi que sa modification ( création d'œuvres dérivées) afin de l'adapter à vos tâches.

Jonathan Colton, bien sûr, a une chanson sur les fractales.

⇡Conclusion

Dans tout ce qui nous entoure, nous voyons souvent le chaos, mais en réalité ce n'est pas un accident, mais une forme idéale que les fractales nous aident à discerner. La nature est le meilleur architecte, constructeur et ingénieur idéal. Il est structuré de manière très logique, et si nous ne voyons pas de tendance quelque part, cela signifie que nous devons le rechercher à une autre échelle. Les gens le comprennent de mieux en mieux, essayant d’imiter les formes naturelles de plusieurs manières. Conception d'ingénieurs Systèmes acoustiques en forme de coquille, ils créent des antennes avec la géométrie des flocons de neige, etc. Nous sommes sûrs que les fractales contiennent encore de nombreux secrets, et que beaucoup d’entre eux n’ont pas encore été découverts par l’homme.

Les fractales sont connues depuis près d’un siècle, sont bien étudiées et ont de nombreuses applications dans la vie. Ce phénomène repose sur une idée très simple : un nombre infini de formes, belles et variées, peuvent être obtenues à partir de conceptions relativement simples en utilisant seulement deux opérations : la copie et la mise à l'échelle.

Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot « fractale » n’est pas un terme mathématique. C'est généralement le nom donné à une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes :

• a une structure complexe à n'importe quel grossissement ;
• est (approximativement) auto-similaire ;
• a une dimension Hausdorff (fractale) fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique ;
• peut être construit par des procédures récursives.

Au tournant des XIXe et XXe siècles, l’étude des fractales était plus épisodique que systématique, car auparavant les mathématiciens étudiaient principalement les « bons » objets qui pouvaient être étudiés à l’aide de méthodes et de théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est nulle part différentiable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à comprendre. C'est pourquoi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a proposé une courbe continue qui n'a de tangente nulle part et qui est assez facile à dessiner. Il s’est avéré qu’il possède les propriétés d’une fractale. Une variante de cette courbe est appelée « flocon de neige de Koch ».

Les idées d'autosimilarité des figures ont été reprises par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoît Mandelbrot. En 1938, son article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties similaires au tout » est publié, qui décrit une autre fractale - la courbe C de Lévy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être conditionnellement classées comme une classe de fractales constructives (géométriques).

Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières recherches dans ce sens remontent au début du XXe siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, Julia a publié un ouvrage de près de deux cents pages sur les itérations de fonctions rationnelles complexes, qui décrivait les ensembles de Julia - toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Cette œuvre a été primée par l'Académie française, mais elle ne contenait aucune illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que ce travail ait rendu Julia célèbre parmi les mathématiciens de l'époque, il fut rapidement oublié.

L'attention s'est à nouveau portée sur le travail de Julia et Fatou seulement un demi-siècle plus tard, avec l'avènement des ordinateurs : ce sont eux qui ont rendu visible la richesse et la beauté du monde des fractales. Après tout, Fatou ne pourrait jamais regarder les images que nous connaissons aujourd'hui sous le nom d'images de l'ensemble de Mandelbrot, car le nombre de calculs requis ne peut pas être effectué à la main. Benoit Mandelbrot a été le premier à utiliser un ordinateur.

En 1982, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur des formules lourdes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations obtenues à l'aide d'un ordinateur et d'histoires historiques, avec lesquelles l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait qu'à l'aide de constructions et de formules très simples que même un lycéen peut comprendre, on obtient des images d'une complexité et d'une beauté étonnantes. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une direction artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites consacrés à ce sujet.