Intégration de fractions rationnelles appropriées et impropres. Intégration de fonctions rationnelles et méthode des coefficients indéterminés

Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle.
Méthode du coefficient incertain

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, en un sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

Curieusement, nous ne nous occuperons plus tant de la recherche d'intégrales que de... la résolution de systèmes d'équations linéaires. À cet égard instamment Je recommande d'assister au cours, c'est-à-dire que vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « école » et méthode d'addition (soustraction) terme par terme d'équations système).

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En mots simples, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article Intégrer certaines fractions.

Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée

Immédiatement un exemple et un algorithme typique pour résoudre l'intégrale d'une fonction fractionnaire-rationnelle.

Exemple 1

Étape 1. La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution d’une intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de clarifier la question suivante : la fraction est-elle correcte ? Cette étape s'effectue verbalement, et maintenant je vais vous expliquer comment :

Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons diplôme supérieur polynôme:

La puissance principale du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons diplôme supérieur dénominateur. La manière la plus évidente consiste à ouvrir les parenthèses et à amener des termes similaires, mais vous pouvez le faire plus simplement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur sera abordé à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Décidons équation quadratique:

Le discriminant est supérieur à zéro, ce qui signifie que le trinôme est réellement factorisable :

Règle générale: TOUT ce qui peut être pris en compte dans le dénominateur - nous le prenons en compte

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d’une manière ou d’une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien de transformer notre grande fraction en plusieurs petites. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, le théorème correspondant analyse mathematique affirme - C'EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, les chances sont Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps nous répétons règle de l'école polynômes multiplicateurs. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue d'une explication claire, il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne le fais jamais pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite on peut toujours attribuer zéro à ce même carré : Si à droite il n'y a pas de variables et/ou de terme libre, alors on met des zéros aux côtés droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh... je plaisantais un peu. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long de la droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais dans ce cas il est avantageux de l'exprimer à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe. Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité intégrale indéfinie et intégrer. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons « gratuit » fonction complexe, j'ai parlé des caractéristiques de son intégration en classe Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

Étape 1. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Le trinôme carré ne peut pas être transformé en produit pour les raisons indiquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons fonction rationnelle fractionnaire comme somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a plusieurs multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire fonction linéaireà coefficients incertains (dans notre cas à coefficients incertains et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Étape 1. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme n'est pas factorisable (vérifiez que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. Intégrer certaines fractions.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler le carré complet (avant-dernier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

Une fonction rationnelle est une fraction de la forme dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes ou des produits de polynômes.

Exemple 1. Étape 2.

.

On multiplie les coefficients indéterminés par des polynômes qui ne sont pas dans cette fraction individuelle, mais qui sont dans d'autres fractions résultantes :

Nous ouvrons les parenthèses et assimilons le numérateur de l'intégrande d'origine à l'expression résultante :

Des deux côtés de l'égalité, nous recherchons des termes avec les mêmes puissances de x et composons à partir d'eux un système d'équations :

.

On annule tous les x et on obtient un système d’équations équivalent :

.

Ainsi, le développement final de l'intégrande dans la somme fractions simples:

.

Exemple 2. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous commençons maintenant à rechercher des coefficients incertains. Pour ce faire, nous assimilons le numérateur de la fraction d'origine dans l'expression de la fonction au numérateur de l'expression obtenue après réduction de la somme des fractions à un dénominateur commun :

Vous devez maintenant créer et résoudre un système d’équations. Pour ce faire, on assimile les coefficients de la variable au degré correspondant au numérateur de l'expression originale de la fonction et aux coefficients similaires dans l'expression obtenue à l'étape précédente :

On résout le système résultant :

Donc, à partir d'ici

.

Exemple 3. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

Nous commençons à rechercher des coefficients incertains. Pour ce faire, nous assimilons le numérateur de la fraction d'origine dans l'expression de la fonction au numérateur de l'expression obtenue après réduction de la somme des fractions à un dénominateur commun :

Comme dans les exemples précédents, nous composons un système d'équations :

Nous réduisons les x et obtenons un système d'équations équivalent :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 4. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous savons déjà grâce aux exemples précédents comment assimiler le numérateur de la fraction originale à l'expression au numérateur obtenue après avoir décomposé la fraction en la somme de fractions simples et ramené cette somme à un dénominateur commun. Par conséquent, juste à des fins de contrôle, nous présentons le système d’équations résultant :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

Exemple 5. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous réduisons indépendamment cette somme à un dénominateur commun, assimilant le numérateur de cette expression au numérateur de la fraction originale. Le résultat devrait être le système d’équations suivant :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

.

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 6. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

Nous effectuons les mêmes actions avec ce montant que dans les exemples précédents. Le résultat devrait être le système d’équations suivant :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

.

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 7. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Après certaines actions avec le montant résultant, le système d'équations suivant doit être obtenu :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 8. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Apportons quelques modifications aux actions qui ont déjà été amenées à l'automaticité pour obtenir un système d'équations. Il existe une technique artificielle qui, dans certains cas, permet d'éviter des calculs inutiles. En ramenant la somme des fractions à un dénominateur commun, on obtient et en assimilant le numérateur de cette expression au numérateur de la fraction originale, on obtient.

Auparavant, nous avons discuté des méthodes générales d'intégration. Dans ce paragraphe et les suivants, nous parlerons de l'intégration de classes spécifiques de fonctions en utilisant les techniques discutées.

Intégration des fonctions rationnelles les plus simples

Considérons une intégrale de la forme \textstyle(\int R(x)\,dx), où y=R(x) est une fonction rationnelle. Toute expression rationnelle R(x) peut être représentée sous la forme \frac(P(x))(Q(x)), où P(x) et Q(x) sont des polynômes. Si cette fraction est impropre, c'est-à-dire si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur, alors elle peut être représentée comme la somme d'un polynôme ( partie entière) et une fraction propre. Il suffit donc de considérer l’intégration des fractions propres.

Montrons que l'intégration de telles fractions se réduit à l'intégration fractions simples, c'est-à-dire des expressions de la forme :

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

Où A,\,B,\,a,\,p,\,q sont des nombres réels et le trinôme carré x^2+px+q n'a pas de vraies racines. Les expressions de type 1) et 2) sont appelées fractions de 1ère espèce, et les expressions de type 3) et 4) sont appelées fractions de 2ème espèce.

Les intégrales des fractions de 1ère espèce sont calculées directement

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(aligné)

Considérons le calcul des intégrales de fractions de 2ème espèce : \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Notons d'abord que

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Pour réduire le calcul de l'intégrale 3) à ces deux intégrales, on transforme le trinôme carré x^2+px+q en en séparant le carré complet :

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Puisque par hypothèse ce trinôme n’a pas de racines réelles, alors q-\frac(p^2)(4)>0 et nous pouvons mettre q-\frac(p^2)(4)=a^2. Substitution x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt transforme l'intégrale 3) en une combinaison linéaire des deux intégrales indiquées :

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aligné)

Dans la réponse finale, il vous suffit de remplacer (t) par x+\frac(p)(2) et (a) par \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Puisque t^2+a^2=x^2+px+q, alors

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Considérons le cas \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Comme dans le cas précédent, posons x+\frac(p)(2)=t. On a:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Le premier terme est calculé comme suit :

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

La deuxième intégrale est calculée à l'aide d'une formule de récurrence.

Exemple 1. Calculons \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Solution. Nous avons: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Mettons x+1=t. Alors dx=dt et 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 et donc

\begin(aligné)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aligné)

Exemple 2. Calculons \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Solution. Nous avons: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Introduisons une nouvelle variable en définissant x+3=t. Alors dt=dx et x+2=t-1 . En remplaçant la variable sous le signe intégral, on obtient :

\begin(aligné)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(aligné))

Mettons I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Nous avons:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), Mais I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)t Ainsi, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Finalement on obtient :

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\nom de l'opérateur(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligné)

Intégrer des fractions appropriées

Considérons une fraction appropriée R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), où Q(x) est un polynôme de degré n. Sans perte de généralité, on peut supposer que le coefficient dominant dans Q(x) est égal à 1. Dans un cours d'algèbre, il est prouvé qu'un tel polynôme à coefficients réels peut être factorisé en facteurs du premier et du deuxième degré à coefficients réels. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

où x_1,\ldots,x_k sont les racines réelles du polynôme Q(x) et les trinômes carrés n'ont pas de racines réelles. On peut prouver qu'alors R(x) est représenté comme une somme de fractions simples de la forme 1) -4) :

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(aligné)

où les exposants des dénominateurs diminuent successivement de \alpha à 1, ..., de \beta à 1, de \gamma à 1, ..., de \delta à 1, et A_1,\ldots,F_(\delta)- coefficients incertains. Pour trouver ces coefficients, il faut se débarrasser des dénominateurs et, après avoir obtenu l'égalité de deux polynômes, utiliser la méthode des coefficients indéfinis.

Une autre façon de déterminer les cotes A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) est basé sur la substitution des valeurs de la variable x. En substituant n'importe quel nombre au lieu de x dans l'égalité obtenue à partir de l'égalité (1) après avoir éliminé les dénominateurs, nous arrivons à équation linéaire par rapport aux coefficients requis. En substituant le nombre requis de ces valeurs partielles de la variable, nous obtenons un système d'équations pour trouver les coefficients. Il est plus pratique de choisir les racines du dénominateur (à la fois réelles et complexes) comme valeurs privées de la variable. Dans ce cas, presque tous les termes du côté droit de l’égalité (c’est-à-dire l’égalité de deux polynômes) disparaissent, ce qui facilite la recherche des coefficients restants. Lorsque vous remplacez des valeurs complexes, gardez à l’esprit que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont respectivement égales. Par conséquent, à partir de chaque égalité contenant des nombres complexes, deux équations sont obtenues.

Après avoir trouvé les coefficients indéterminés, il reste à calculer les intégrales des fractions les plus simples obtenues. Puisque en intégrant les fractions les plus simples, comme nous l'avons vu, seules les fonctions rationnelles, les arctangentes et les logarithmes sont obtenues, alors l'intégrale de toute fonction rationnelle s'exprime à travers la fonction rationnelle, les arctangentes et les logarithmes.

Exemple 3. Calculons l'intégrale d'une fraction rationnelle propre \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Solution. Factorisons le dénominateur de l'intégrande :

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Écrivons l'intégrande et présentons-le comme une somme de fractions simples :

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Pour trouver les coefficients, nous utiliserons la méthode de substitution de valeurs partielles. Pour trouver le coefficient A, posons x=1. Alors de l’égalité (2) on obtient 7=4A, d’où A=7/4. Pour trouver le coefficient B, posons x=-3. Alors de l'égalité (2) on obtient -17=-4B, d'où B=17/4.

Donc, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Moyens,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Exemple 4. Calculons \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Solution.Écrivons l'intégrande et présentons-le comme une somme de fractions simples. Le dénominateur contient un facteur x^2+2, qui n'a pas de racines réelles ; il correspond à une fraction de 2ème espèce : \frac(Ax+B)(x^2+2) le multiplicateur (x-1)^2 correspond à la somme de deux fractions de 1ère espèce : \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); enfin, le facteur x+2 correspond à une fraction de 1ère sorte \frac(E)(x+2) . Ainsi, nous représentons la fonction intégrande comme une somme de quatre fractions :

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

\begin(aligné) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(aligné)

Le dénominateur de l'intégrande a deux racines réelles : x=1 et x=-2. En substituant la valeur x=1 dans l'égalité (4), on obtient 16=9C, à partir duquel on trouve C=16/9. En remplaçant x=-2, nous obtenons 13=54E et définissons par conséquent E=13/54. Remplacer la valeur x=i\,\sqrt(2) (la racine du polynôme x^2+2 ) permet d'accéder à l'égalité

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i\,\sqrt(2)+2).

Il se transforme sous la forme :

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, d'où 10A+2B=5, et (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Résoudre un système de deux équations à deux variables \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases) nous trouvons: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Reste à déterminer la valeur du coefficient D. Pour ce faire, ouvrons les parenthèses dans l'égalité (4), présentons des termes similaires, puis comparons les coefficients pour x^4. On a:

A+D+E=1 , soit D=0 .

Remplaçons les valeurs trouvées des coefficients par l'égalité (3) :

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(aligné)

Intégration de fractions impropres

Supposons que nous devions intégrer la fonction y=\frac(f(x))(g(x)), où f(x) et g(x) sont des polynômes et le degré du polynôme f(x) est supérieur ou égal au degré du polynôme g(x) . Dans ce cas, vous devez tout d'abord sélectionner la pièce entière fraction impropre \frac(f(x))(g(x)), c'est-à-dire le représenter sous la forme

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

où s(x) est un polynôme de degré égal à la différence entre les degrés des polynômes f(x) et g(x), et \frac(r(x))(g(x))- fraction appropriée.

Ensuite nous avons \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Exemple 5. Calculons l'intégrale de la fraction impropre \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Solution. Nous avons:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aligné)

Pour isoler la pièce entière, divisez f(x) par g(x) : \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Moyens, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Nous avons: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Pour calculer l'intégrale \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx La méthode des coefficients indéfinis est utilisée, comme ci-dessus. Après les calculs, que nous laissons au lecteur, nous obtenons.

SUJET : Intégration fractions rationnelles.

Attention! Lorsqu'on étudie l'une des méthodes fondamentales d'intégration : l'intégration de fractions rationnelles, il est nécessaire de considérer des polynômes dans le domaine complexe pour réaliser des preuves rigoureuses. Il faut donc étudier à l'avance quelques propriétés des nombres complexes et des opérations sur ceux-ci.

Intégration de fractions rationnelles simples.

Si P.(z) Et Q(z) sont des polynômes dans le domaine complexe, alors ce sont des fractions rationnelles. On l'appelle correct, si diplôme P.(z) moins de diplôme Q(z) , Et faux, si diplôme R. pas moins d'un diplôme Q.

Toute fraction impropre peut être représentée comme suit : ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

un R.(z) – polynôme dont le degré est inférieur au degré Q(z).

Ainsi, l’intégration de fractions rationnelles se résume à l’intégration de polynômes, c’est-à-dire de fonctions puissance, et de fractions propres, puisqu’il s’agit d’une fraction propre.

Définition 5. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont les types de fractions suivants :

1) , 2) , 3) , 4) .

Découvrons comment ils s'intègrent.

3) (étudié plus tôt).

Théorème 5. Toute fraction propre peut être représentée comme une somme de fractions simples (sans preuve).

Corollaire 1. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines réelles simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 1er type :

Exemple 1.

Corollaire 2. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines réelles, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples des 1er et 2e types :

Exemple 2.

Corollaire 3. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines conjuguées complexes simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème type :

Exemple 3.

Corollaire 4. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines conjuguées complexes, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples, il n'y aura que des fractions simples du 3ème et du 4ème les types:

Pour déterminer les coefficients inconnus dans les expansions données, procédez comme suit. Les côtés gauche et droit du développement contenant des coefficients inconnus sont multipliés par L'égalité de deux polynômes est obtenue. À partir de là, les équations pour les coefficients requis sont obtenues en utilisant :

1. l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de X (méthode des valeurs partielles). Dans ce cas, un nombre quelconque d'équations sont obtenues, dont n'importe quel m permet de trouver les coefficients inconnus.

2. les coefficients coïncident pour les mêmes degrés de X (méthode des coefficients indéfinis). Dans ce cas, on obtient un système de m - équations à m - inconnues, à partir desquelles les coefficients inconnus sont trouvés.

3. méthode combinée.

Exemple 5. Développer une fraction au plus simple.

Solution:

Trouvons les coefficients A et B.

Méthode 1 - méthode de la valeur privée :

Méthode 2 – méthode des coefficients indéterminés :

Répondre:

Intégration de fractions rationnelles.

Théorème 6. L'intégrale indéfinie de toute fraction rationnelle sur tout intervalle sur lequel son dénominateur n'est pas égal à zéro existe et s'exprime à travers des fonctions élémentaires, à savoir les fractions rationnelles, les logarithmes et les arctangentes.

Preuve.

Imaginons une fraction rationnelle sous la forme : . Dans ce cas, le dernier terme est une fraction propre et, selon le théorème 5, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de fractions simples. Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle se réduit à l'intégration d'un polynôme S(X) et les fractions simples dont les primitives, comme on l'a montré, ont la forme indiquée dans le théorème.

Commentaire. La principale difficulté dans ce cas est la décomposition du dénominateur en facteurs, c'est-à-dire la recherche de toutes ses racines.

Exemple 1. Trouver l'intégrale