Comment trouver le nombre en progression géométrique. Progression géométrique

La progression géométrique, avec l'arithmétique, est une série de nombres importante qui est étudiée dans cours scolaire algèbre en 9e année. Dans cet article, nous examinerons le dénominateur d'une progression géométrique et comment sa valeur affecte ses propriétés.

Définition de la progression géométrique

Commençons par donner la définition de cette série de nombres. Une telle série s'appelle une progression géométrique nombres rationnels, qui est formé en multipliant séquentiellement son premier élément par un nombre constant appelé dénominateur.

Par exemple, les nombres de la série 3, 6, 12, 24, ... sont une progression géométrique, car si vous multipliez 3 (le premier élément) par 2, vous obtenez 6. Si vous multipliez 6 par 2, vous obtenez 12, et ainsi de suite.

Les membres de la séquence considérée sont généralement désignés par le symbole ai, où i est un nombre entier indiquant le numéro de l'élément dans la série.

La définition ci-dessus de la progression peut être écrite en langage mathématique comme suit : an = bn-1 * a1, où b est le dénominateur. Il est facile de vérifier cette formule : si n = 1, alors b1-1 = 1, et on obtient a1 = a1. Si n = 2, alors an = b * a1, et on revient à la définition de la série de nombres en question. Un raisonnement similaire peut être poursuivi pour de grandes valeurs de n.

Dénominateur de progression géométrique

Le nombre b détermine complètement le caractère qu’aura toute la série de nombres. Le dénominateur b peut être positif, négatif ou supérieur ou inférieur à un. Toutes les options ci-dessus conduisent à différentes séquences :

• b > 1. Il existe une série croissante de nombres rationnels. Par exemple, 1, 2, 4, 8, ... Si l'élément a1 est négatif, alors toute la séquence n'augmentera qu'en valeur absolue, mais diminuera en fonction du signe des nombres.
• b = 1. Souvent, ce cas n'est pas appelé progression, puisqu'il existe une série ordinaire de nombres rationnels identiques. Par exemple, -4, -4, -4.

Formule pour le montant

Avant de passer à l'examen de problèmes spécifiques en utilisant le dénominateur du type de progression considéré, il convient de donner une formule importante pour la somme de ses n premiers éléments. La formule ressemble à : Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Vous pouvez obtenir cette expression vous-même si vous considérez la séquence récursive des termes de la progression. Notez également que dans la formule ci-dessus, il suffit de connaître uniquement le premier élément et le dénominateur pour trouver la somme d'un nombre arbitraire de termes.

Séquence infiniment décroissante

Une explication a été donnée ci-dessus de ce dont il s’agit. Maintenant, connaissant la formule de Sn, appliquons-la à cette série de nombres. Puisque tout nombre dont le module ne dépasse pas 1 tend vers zéro lorsqu'il est élevé à de grandes puissances, c'est-à-dire b∞ => 0 si -1

Puisque la différence (1 - b) sera toujours positive, quelle que soit la valeur du dénominateur, le signe de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante S∞ est uniquement déterminé par le signe de son premier élément a1.

Examinons maintenant plusieurs problèmes dans lesquels nous montrerons comment appliquer les connaissances acquises sur des nombres spécifiques.

Tâche n°1. Calcul des éléments inconnus de progression et de somme

Étant donné une progression géométrique, le dénominateur de la progression est 2 et son premier élément est 3. À quoi seront égaux ses 7e et 10e termes et quelle est la somme de ses sept éléments initiaux ?

La condition du problème est assez simple et implique l’utilisation directe des formules ci-dessus. Ainsi, pour calculer le numéro d'élément n, on utilise l'expression an = bn-1 * a1. Pour le 7ème élément on a : a7 = b6 * a1, en substituant les données connues, on obtient : a7 = 26 * 3 = 192. On fait de même pour le 10ème terme : a10 = 29 * 3 = 1536.

Utilisons la formule bien connue de la somme et déterminons cette valeur pour les 7 premiers éléments de la série. On a : S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problème n°2. Déterminer la somme des éléments arbitraires d'une progression

Soit -2 égal au dénominateur de la progression géométrique bn-1 * 4, où n est un nombre entier. Il faut déterminer la somme du 5ème au 10ème élément de cette série inclus.

Le problème posé ne peut être résolu directement à l'aide de formules connues. Cela peut être résolu de 2 manières diverses méthodes. Pour que la présentation du sujet soit complète, nous présentons les deux.

Méthode 1. L'idée est simple : il faut calculer les deux sommes correspondantes des premiers termes, puis soustraire l'autre de l'un. On calcule le plus petit montant : S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Maintenant calculons une grande quantité: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Notez que dans la dernière expression, seuls 4 termes ont été additionnés, puisque le 5ème est déjà inclus dans le montant qui doit être calculé en fonction des conditions du problème. Finalement, on prend la différence : S510 = S10 – S4 = -1364 – (-20) = -1344.

Méthode 2. Avant de substituer des nombres et de compter, vous pouvez obtenir une formule pour la somme entre les m et n termes de la série en question. On fait exactement la même chose que dans la méthode 1, sauf qu'on travaille d'abord avec la représentation symbolique du montant. On a : Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Vous pouvez remplacer des nombres connus dans l'expression résultante et calculer le résultat final : S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problème n°3. Quel est le dénominateur ?

Soit a1 = 2, trouvons le dénominateur de la progression géométrique, à condition que sa somme infinie soit 3, et on sait qu'il s'agit d'une série décroissante de nombres.

En fonction des conditions du problème, il n'est pas difficile de deviner quelle formule doit être utilisée pour le résoudre. Bien entendu, pour la somme de la progression infiniment décroissante. On a : S∞ = a1 / (1 - b). D'où on exprime le dénominateur : b = 1 - a1 / S∞. Il ne reste plus qu'à remplacer valeurs connues et obtenez le nombre requis : b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ou -0,333(3). On peut vérifier qualitativement ce résultat si l'on rappelle que pour ce type de séquence le module b ne doit pas dépasser 1. Comme on peut le voir, |-1 / 3|

Tâche n°4. Restaurer une série de nombres

Soit 2 éléments d'une série de nombres, par exemple, le 5ème est égal à 30 et le 10ème est égal à 60. Il faut reconstruire la série entière à partir de ces données, sachant qu'elle satisfait aux propriétés d'une progression géométrique.

Pour résoudre le problème, vous devez d’abord écrire l’expression correspondante à chaque terme connu. On a : a5 = b4 * a1 et a10 = b9 * a1. Divisons maintenant la deuxième expression par la première, nous obtenons : a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. À partir de là, nous déterminons le dénominateur en prenant la racine cinquième du rapport des termes connus dans l'énoncé du problème, b = 1,148698. Nous substituons le nombre résultant dans l'une des expressions de l'élément connu, nous obtenons : a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Ainsi, nous avons trouvé le dénominateur de la progression bn, et la progression géométrique bn-1 * 17,2304966 = an, où b = 1,148698.

Où sont utilisées les progressions géométriques ?

S’il n’y avait pas d’application pratique de cette série de nombres, alors son étude serait réduite à un intérêt purement théorique. Mais une telle application existe.

Ci-dessous les 3 exemples les plus connus :

• Le paradoxe de Zénon, dans lequel l'agile Achille ne peut pas rattraper la lente tortue, est résolu en utilisant le concept d'une séquence de nombres infiniment décroissante.
• Si vous placez des grains de blé sur chaque case de l'échiquier de manière à ce que sur la 1ère case vous mettiez 1 grain, sur la 2ème - 2, sur la 3ème - 3, et ainsi de suite, alors pour remplir toutes les cases de l'échiquier vous aurez besoin 18446744073709551615 grains !
• Dans le jeu "Tower of Hanoi", pour déplacer des disques d'une tige à une autre, il faut effectuer 2n - 1 opérations, c'est-à-dire que leur nombre augmente de façon exponentielle avec le nombre n de disques utilisés.

Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel.

Nombre un 1 appelé premier terme de la suite , nombre un 2 — deuxième terme de la suite , nombre un 3 — troisième et ainsi de suite. Nombre un appelé nième mandat séquences , et un nombre naturel n — son numéro .

De deux membres adjacents un Et un +1 membre de séquence un +1 appelé subséquent (vers un ), UN un — précédent (vers un +1 ).

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro.

Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formules du nième terme , c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Par exemple,

une séquence de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 Et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple,

Si un 1 = 1 , UN un +1 = un + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final Et sans fin .

La séquence s'appelle ultime , s'il compte un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin , s’il compte une infinité de membres.

Par exemple,

séquence de deux chiffres nombres naturels:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle en augmentant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle décroissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par exemple,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .

est progression arithmétique, si pour un nombre naturel n la condition est remplie :

un +1 = un + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.

Nombre d appelé différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple,

Si un 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et la différence d son n

un = un 1 + (n- 1)d.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)d,

un= un 1 + (n- 1)d,

un +1 = un 1 + sd,

alors évidemment

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

un = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ainsi,

◄

Noter que n Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (n- k)d.

Par exemple,

Pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres équidistants de cette progression arithmétique.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ un,

d'abord n termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, d, n EtS n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Où:

• Si d > 0 , alors il augmente ;
• Si d < 0 , alors il diminue ;
• Si d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel n la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Nombre q appelé dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

Si b 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q son n Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve la déclaration souhaitée. ◄

Noter que n Le ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

Par exemple,

Pour b 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · qk,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir de la seconde, est égal au produit des termes de cette progression équidistants de lui.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ n= k+ je.

Par exemple,

en progression géométrique

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , parce que

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

d'abord n membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

Par exemple,

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , bn, q, n Et S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et q> 1;

b 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et 0 < q< 1;

b 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier n les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers n membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄

Considérons une certaine série.

7 28 112 448 1792...

Il est absolument clair que la valeur de l’un de ses éléments est exactement quatre fois supérieure à celle du précédent. Cela signifie que cette série est une progression.

Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres. caractéristique principale c'est-à-dire que le nombre suivant est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre spécifique. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z +1 =a z ·q, où z est le numéro de l'élément sélectionné.

Par conséquent, z ∈ N.

La période pendant laquelle la progression géométrique est étudiée à l'école est la 9e année. Des exemples vous aideront à comprendre le concept :

0.25 0.125 0.0625...

Sur la base de cette formule, le dénominateur de la progression peut être trouvé comme suit :

Ni q ni b z ne peuvent être nuls. Aussi, chacun des éléments de la progression ne doit pas être égal à zéro.

Par conséquent, pour connaître le nombre suivant d'une série, vous devez multiplier le dernier par q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver n’importe lequel des termes suivants et leur somme.

Variétés

En fonction de q et de a 1, cette progression se divise en plusieurs types :

• Si a 1 et q sont tous deux supérieurs à un, alors une telle séquence est une progression géométrique augmentant avec chaque élément suivant. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =3, q=2 - les deux paramètres sont supérieurs à un.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3 6 12 24 48 ...

• Si |q| est inférieur à un, c'est-à-dire que la multiplication par lui équivaut à la division, alors une progression avec des conditions similaires est une progression géométrique décroissante. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =6, q=1/3 - a 1 est supérieur à un, q est inférieur.

Alors la suite de nombres peut s’écrire comme suit :

6 2 2/3 ... - tout élément est 3 fois plus grand que l'élément qui le suit.

• Signe alterné. Si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemple : a 1 = -3, q = -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3, 6, -12, 24,...

Formules

Il existe de nombreuses formules pour une utilisation pratique des progressions géométriques :

• Formule du terme Z. Vous permet de calculer un élément sous un nombre spécifique sans calculer les nombres précédents.

Exemple:q = 3, un 1 = 4. Il faut compter le quatrième élément de la progression.

Solution:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somme des premiers éléments dont la quantité est égale à z. Permet de calculer la somme de tous les éléments d'une séquence jusqu'àun zcompris.

Depuis (1-q) est au dénominateur, alors (1 - q)≠ 0, donc q n'est pas égal à 1.

Remarque : si q=1, alors la progression serait une série de nombres répétitifs à l'infini.

Somme de progression géométrique, exemples :un 1 = 2, q= -2. Calculez S5.

Solution:S 5 = 22 - calcul à l'aide de la formule.

• Montant si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemple:un 1 = 2 , q= 0,5. Trouvez le montant.

Solution:Taille = 2 · = 4

Taille = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Quelques propriétés :

• Propriété caractéristique. Si la condition suivante fonctionne pour n'importe quelz, alors la série de nombres donnée est une progression géométrique :

un z 2 = un z -1 · unz+1

• De plus, le carré de n'importe quel nombre dans une progression géométrique est trouvé en additionnant les carrés de deux autres nombres quelconques dans une série donnée, s'ils sont équidistants de cet élément.

un z 2 = un z - t 2 + un z + t 2 , Oùt- la distance entre ces nombres.

• Élémentsdiffèrent en qune fois.
• Les logarithmes des éléments d'une progression forment également une progression, mais arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'eux est supérieur au précédent d'un certain nombre.

Exemples de quelques problèmes classiques

Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, des exemples avec des solutions pour la classe 9 peuvent vous aider.

• Conditions:un 1 = 3, un 3 = 48. Trouverq.

Solution : chaque élément suivant est supérieur au précédent dansq une fois.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par rapport à d'autres à l'aide d'un dénominateur.

Ainsi,un 3 = q 2 · un 1

Lors du remplacementq= 4

• Conditions:un 2 = 6, un 3 = 12. Calculez S 6.

Solution:Pour ce faire, trouvez simplement q, le premier élément et remplacez-le dans la formule.

un 3 = q· un 2 , ainsi,q= 2

une 2 = q · un 1 ,C'est pourquoi un 1 = 3

S6 = 189

• · un 1 = 10, q= -2. Trouvez le quatrième élément de la progression.

Solution : pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément par le premier et par le dénominateur.

une 4 = q 3· un 1 = -80

Exemple d'application :

• Un client de la banque a effectué un dépôt d'un montant de 10 000 roubles, aux termes duquel chaque année, le client verra 6 % de ce montant ajouté au montant principal. Combien d’argent y aura-t-il sur le compte après 4 ans ?

Solution : Le montant initial est de 10 000 roubles. Cela signifie qu'un an après l'investissement, le compte aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Ainsi, le montant du compte après une autre année sera exprimé comme suit :

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Autrement dit, chaque année, le montant augmente de 1,06 fois. Cela signifie que pour retrouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de progression, qui est donné par le premier élément égal à 10 mille et le dénominateur égal à 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Exemples de problèmes de calcul de somme :

La progression géométrique est utilisée dans divers problèmes. Un exemple pour trouver la somme peut être donné comme suit :

un 1 = 4, q= 2, calculezS5.

Solution : toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il suffit de les substituer dans la formule.

S 5 = 124

• un 2 = 6, un 3 = 18. Calculez la somme des six premiers éléments.

Solution:

En géom. progression, chaque élément suivant est q fois supérieur au précédent, c'est-à-dire que pour calculer la somme, vous devez connaître l'élémentun 1 et le dénominateurq.

un 2 · q = un 3

q = 3

De même, vous devez trouverun 1 , connaissanceun 2 Etq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

Premier niveau

Progression géométrique. Guide complet avec exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.

Le nombre avec le nombre est appelé le nième membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Les types de progression les plus courants sont l’arithmétique et la géométrique. Dans ce sujet, nous parlerons du deuxième type - progression géométrique.

Pourquoi la progression géométrique est-elle nécessaire et son histoire ?

Même dans les temps anciens, le moine mathématicien italien Léonard de Pise (mieux connu sous le nom de Fibonacci) s'occupait des besoins pratiques du commerce. Le moine avait pour tâche de déterminer quel est le plus petit nombre de poids pouvant être utilisé pour peser un produit ? Dans ses travaux, Fibonacci prouve qu'un tel système de pondérations est optimal : c'est l'une des premières situations dans lesquelles les gens ont dû faire face à une progression géométrique, dont vous avez probablement déjà entendu parler et dont vous avez au moins une compréhension générale. Une fois que vous avez parfaitement compris le sujet, réfléchissez à la raison pour laquelle un tel système est optimal ?

Actuellement, dans la pratique de la vie, une progression géométrique se manifeste lors de l'investissement d'argent dans une banque, lorsque le montant des intérêts s'accumule sur le montant accumulé sur le compte pour la période précédente. En d'autres termes, si vous placez de l'argent sur un dépôt à terme dans une caisse d'épargne, après un an, le dépôt augmentera du montant initial, c'est-à-dire le nouveau montant sera égal à la cotisation multipliée par. Dans une autre année, ce montant augmentera de, c'est-à-dire le montant obtenu à ce moment-là sera à nouveau multiplié par et ainsi de suite. Une situation similaire est décrite dans les problèmes de calcul de ce qu'on appelle intérêts composés- le pourcentage est prélevé à chaque fois sur le montant qui se trouve sur le compte, en tenant compte des intérêts antérieurs. Nous parlerons de ces tâches un peu plus tard.

Il existe de nombreux cas plus simples où une progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe : une personne a infecté une autre personne, elle a, à son tour, infecté une autre personne, et donc la deuxième vague d'infection est une personne, et elle, à son tour, en a infecté une autre... et ainsi de suite. .

D'ailleurs, une pyramide financière, le même MMM, est un calcul simple et sec basé sur les propriétés d'une progression géométrique. Intéressant? Voyons cela.

Progression géométrique.

Disons que nous avons une séquence de nombres :

Vous répondrez immédiatement que c'est facile et que le nom d'une telle suite est une progression arithmétique avec la différence de ses termes. Que dis-tu de ça:

Si vous soustrayez le nombre précédent du nombre suivant, vous verrez qu'à chaque fois vous obtenez une nouvelle différence (et ainsi de suite), mais la séquence existe définitivement et est facile à remarquer - chaque nombre suivant est plusieurs fois plus grand que le précédent !

Ce type de séquence de nombres est appelé progression géométrique et est désigné.

La progression géométrique () est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Les restrictions selon lesquelles le premier terme ( ) n'est pas égal et ne sont pas aléatoires. Supposons qu'il n'y en a pas, et que le premier terme est toujours égal, et q est égal à, hmm... qu'il en soit ainsi, alors il s'avère :

Convenez que ce n'est plus une progression.

Comme vous le comprenez, nous obtiendrons les mêmes résultats s'il y a un nombre autre que zéro, a. Dans ces cas, il n'y aura tout simplement pas de progression, puisque toute la série de nombres sera soit composée uniquement de zéros, soit d'un seul nombre, et tout le reste sera constitué de zéros.

Parlons maintenant plus en détail du dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire o.

Répétons : - c'est le numéro combien de fois chaque terme suivant change-t-il ? progression géométrique.

Selon vous, qu'est-ce que cela pourrait être ? C'est vrai, positif et négatif, mais pas nul (nous en avons parlé un peu plus haut).

Supposons que le nôtre soit positif. Soit dans notre cas, a. Quelle est la valeur du deuxième terme et ? Vous pouvez facilement répondre à cela :

C'est exact. En conséquence, si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs.

Et si c'est négatif ? Par exemple, un. Quelle est la valeur du deuxième terme et ?

C'est une histoire complètement différente

Essayez de compter les termes de cette progression. Combien as-tu reçu ? J'ai. Ainsi, si, alors les signes des termes de la progression géométrique alternent. Autrement dit, si vous voyez une progression avec des signes alternés pour ses membres, alors son dénominateur est négatif. Ces connaissances peuvent vous aider à vous tester lors de la résolution de problèmes sur ce sujet.

Pratiquons maintenant un peu : essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression géométrique et lesquelles sont une progression arithmétique :

J'ai compris? Comparons nos réponses :

• Progression géométrique - 3, 6.
• Progression arithmétique - 2, 4.
• Ce n'est ni une progression arithmétique ni géométrique - 1, 5, 7.

Revenons à notre dernière progression et essayons de trouver son membre, tout comme dans celle arithmétique. Comme vous l'avez peut-être deviné, il existe deux façons de le trouver.

On multiplie successivement chaque terme par.

Ainsi, le ème terme de la progression géométrique décrite est égal à.

Comme vous l'avez déjà deviné, vous allez maintenant dériver vous-même une formule qui vous aidera à trouver n'importe quel membre de la progression géométrique. Ou l'avez-vous déjà développé pour vous-même, décrivant comment trouver le ème membre étape par étape ? Si tel est le cas, vérifiez l’exactitude de votre raisonnement.

Illustrons cela avec l'exemple de la recherche du ème terme de cette progression :

Autrement dit:

Trouvez vous-même la valeur du terme de la progression géométrique donnée.

Arrivé? Comparons nos réponses :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons multiplié séquentiellement par chaque terme précédent de la progression géométrique.
Essayons de « dépersonnaliser » cette formule - mettons-la sous forme générale et obtenons :

La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs, positives et négatives. Vérifiez-le vous-même en calculant les termes de la progression géométrique avec les conditions suivantes : , a.

As-tu compté ? Comparons les résultats :

Convenez qu'il serait possible de trouver le terme d'une progression de la même manière qu'un terme, cependant, il existe une possibilité de calcul incorrect. Et si on a déjà trouvé le ième terme de la progression géométrique, alors quoi de plus simple que d'utiliser la partie « tronquée » de la formule.

Progression géométrique infiniment décroissante.

Plus récemment, nous avons parlé du fait qu'il peut être supérieur ou inférieur à zéro, cependant, il existe des valeurs spéciales pour lesquelles la progression géométrique est appelée infiniment décroissant.

Pourquoi pensez-vous que ce nom est donné ?
Tout d’abord, écrivons une progression géométrique composée de termes.
Disons alors :

Nous voyons que chaque terme suivant est inférieur au précédent d'un facteur, mais y aura-t-il un nombre ? Vous répondrez immédiatement - « non ». C'est pourquoi il diminue infiniment - il diminue et diminue, mais ne devient jamais nul.

Pour comprendre clairement à quoi cela ressemble visuellement, essayons de tracer un graphique de notre progression. Ainsi, dans notre cas, la formule prend la forme suivante :

Sur les graphiques, nous avons l'habitude de tracer la dépendance, donc :

L'essence de l'expression n'a pas changé : dans la première entrée nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre d'une progression géométrique sur son nombre ordinal, et dans la deuxième entrée nous avons simplement pris la valeur d'un membre d'une progression géométrique comme , et a désigné le nombre ordinal non pas comme, mais comme. Il ne reste plus qu'à construire un graphique.
Voyons voir ce que tu as. Voici le graphique que j'ai obtenu :

Est-ce que tu vois? La fonction décroît, tend vers zéro, mais ne le franchit jamais, elle décroît donc infiniment. Marquons nos points sur le graphique, et en même temps quelles sont leurs coordonnées et leur signification :

Essayez de représenter schématiquement un graphique d'une progression géométrique si son premier terme est également égal. Analysez quelle est la différence avec notre graphique précédent ?

Avez-vous réussi ? Voici le graphique que j'ai obtenu :

Maintenant que vous avez bien compris les bases du sujet de la progression géométrique : vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son terme, et vous savez aussi ce qu'est une progression géométrique infiniment décroissante, passons à sa propriété principale.

Propriété de progression géométrique.

Vous souvenez-vous de la propriété des termes d'une progression arithmétique ? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre d'une progression lorsqu'il existe des valeurs précédentes et suivantes des termes de cette progression. Vous souvenez-vous? Ce:

Nous sommes maintenant confrontés exactement à la même question concernant les termes d’une progression géométrique. Pour dériver une telle formule, commençons par dessiner et raisonner. Vous verrez, c'est très simple, et si vous oubliez, vous pourrez le sortir vous-même.

Prenons une autre progression géométrique simple, dans laquelle nous connaissons et. Comment trouver? Avec la progression arithmétique, c'est facile et simple, mais qu'en est-il ici ? En fait, il n'y a rien de compliqué non plus en géométrique - il suffit d'écrire chaque valeur qui nous est donnée selon la formule.

Vous vous demandez peut-être : que devrions-nous faire maintenant ? Oui, très simple. Tout d'abord, représentons ces formules dans une image et essayons de faire diverses manipulations avec elles afin d'arriver à la valeur.

Faisons abstraction des nombres qui nous sont donnés, concentrons-nous uniquement sur leur expression à travers la formule. Nous devons trouver la valeur surlignée en orange, en connaissant les termes qui lui sont adjacents. Essayons d'effectuer diverses actions avec eux, grâce auxquelles nous pouvons obtenir.

Ajout.
Essayons d'ajouter deux expressions et nous obtenons :

À partir de cette expression, comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons en aucun cas l'exprimer, nous allons donc essayer une autre option - la soustraction.

Soustraction.

Comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons pas non plus exprimer cela, essayons donc de multiplier ces expressions les unes par les autres.

Multiplication.

Maintenant, regardez bien ce que nous avons en multipliant les termes de la progression géométrique qui nous sont donnés par rapport à ce qu'il faut trouver :

Devinez de quoi je parle ? Correctement, pour trouver, nous devons prendre la racine carrée des nombres de progression géométrique adjacents à celui souhaité multiplié les uns par les autres :

Voici. Vous avez vous-même dérivé la propriété de progression géométrique. Essayez d'écrire cette formule sous forme générale. Arrivé?

Vous avez oublié la condition ? Réfléchissez aux raisons pour lesquelles c'est important, par exemple, essayez de le calculer vous-même. Que se passera-t-il dans ce cas ? C'est vrai, c'est complètement absurde car la formule ressemble à ceci :

N'oubliez donc pas cette limitation.

Maintenant calculons ce que cela équivaut

Bonne réponse - ! Si vous n'avez pas oublié la deuxième valeur possible lors du calcul, alors tout va bien et vous pouvez immédiatement passer à l'entraînement, et si vous avez oublié, lisez ce qui est discuté ci-dessous et faites attention à pourquoi il est nécessaire d'écrire les deux racines dans la réponse.

Traçons nos deux progressions géométriques - l'une avec une valeur et l'autre avec une valeur et vérifions si les deux ont le droit d'exister :

Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il faut voir si tous ses termes donnés sont les mêmes ? Calculez q pour les premier et deuxième cas.

Vous voyez pourquoi nous devons écrire deux réponses ? Car le signe du terme que vous recherchez dépend s’il est positif ou négatif ! Et comme nous ne savons pas ce que c’est, nous devons écrire les deux réponses avec un plus et un moins.

Maintenant que vous avez maîtrisé les points principaux et dérivé la formule de la propriété de progression géométrique, trouvez, connaissez et

Comparez vos réponses avec les bonnes :

Qu'en pensez-vous, et si on nous donnait non pas les valeurs des termes de la progression géométrique adjacentes au nombre souhaité, mais à équidistance de celui-ci. Par exemple, nous devons trouver, et donné et. Pouvons-nous utiliser la formule que nous avons dérivée dans ce cas ? Essayez de confirmer ou d'infirmer cette possibilité de la même manière, en décrivant en quoi consiste chaque valeur, comme vous l'avez fait lorsque vous avez initialement dérivé la formule.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Maintenant, regardez à nouveau attentivement.
et en conséquence :

De là, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement avec les voisins avec les termes souhaités de la progression géométrique, mais aussi avec équidistant de ce que recherchent les membres.

Ainsi, notre formule initiale prend la forme :

Autrement dit, si dans le premier cas nous disions cela, nous disons maintenant qu'il peut être égal à tout nombre naturel plus petit. L'essentiel est que ce soit le même pour les deux nombres donnés.

Entraînez-vous avec des exemples précis, mais soyez extrêmement prudent !

1. , . Trouver.
2. , . Trouver.
3. , . Trouver.

Décidé? J'espère que vous avez été extrêmement attentif et que vous avez remarqué un petit problème.

Comparons les résultats.

Dans les deux premiers cas, on applique sereinement la formule ci-dessus et on obtient les valeurs suivantes :

Dans le troisième cas, après examen attentif des numéros d'ordre des numéros qui nous sont donnés, nous comprenons qu'ils ne sont pas équidistants du numéro que nous recherchons : c'est le numéro précédent, mais il est retiré à une position, il est donc impossible d'appliquer la formule.

Comment le résoudre? Ce n’est en fait pas aussi difficile qu’il y paraît ! Écrivons en quoi consiste chaque numéro qui nous est donné et le numéro que nous recherchons.

Nous avons donc et. Voyons ce que nous pouvons faire avec eux ? Je suggère de diviser par. On a:

Nous substituons nos données dans la formule :

La prochaine étape que nous pouvons trouver est la suivante : pour cela, nous devons prendre la racine cubique du nombre résultant.

Maintenant, regardons à nouveau ce que nous avons. Nous l'avons, mais nous devons le trouver, et il est à son tour égal à :

Nous avons trouvé toutes les données nécessaires au calcul. Remplacez dans la formule :

Notre réponse : .

Essayez de résoudre vous-même un autre problème similaire :
Donné: ,
Trouver:

Combien as-tu reçu ? J'ai - .

Comme vous pouvez le constater, vous avez essentiellement besoin souviens-toi d'une seule formule- . Vous pouvez retirer vous-même tout le reste sans aucune difficulté et à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement la progression géométrique la plus simple sur une feuille de papier et notez à quoi chacun de ses nombres est égal, selon la formule décrite ci-dessus.

La somme des termes d'une progression géométrique.

Regardons maintenant les formules qui permettent de calculer rapidement la somme des termes d'une progression géométrique dans un intervalle donné :

Pour dériver la formule de la somme des termes d'une progression géométrique finie, multipliez toutes les parties de l'équation ci-dessus par. On a:

Regardez bien : quel est le point commun entre les deux dernières formules ? C'est vrai, les membres communs, par exemple, et ainsi de suite, à l'exception du premier et du dernier membre. Essayons de soustraire la 1ère de la 2ème équation. Qu'est-ce que vous obtenez?

Exprimez maintenant le terme de la progression géométrique à travers la formule et remplacez l'expression résultante dans notre dernière formule :

Regroupez l’expression. Tu devrais obtenir:

Il ne reste plus qu'à exprimer :

En conséquence, dans ce cas.

Et si? Quelle formule fonctionne alors ? Imaginez une progression géométrique à. À quoi ressemble-t-elle? Une série de nombres identiques est correcte, donc la formule ressemblera à ceci :

Il existe de nombreuses légendes sur la progression arithmétique et géométrique. L'une d'elles est la légende de Seth, le créateur des échecs.

Beaucoup de gens savent que le jeu d’échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou la rencontra, il fut ravi de son esprit et de la variété des positions possibles en elle. Ayant appris qu'il avait été inventé par l'un de ses sujets, le roi décida de le récompenser personnellement. Il convoqua l'inventeur chez lui et lui ordonna de lui demander tout ce qu'il voulait, promettant de réaliser même le désir le plus habile.

Seta demanda du temps pour réfléchir, et lorsque le lendemain Seta apparut devant le roi, il surprit le roi par la modestie sans précédent de sa demande. Il demanda de donner un grain de blé pour la première case de l'échiquier, un grain de blé pour la deuxième, un grain de blé pour la troisième, une quatrième, etc.

Le roi était en colère et chassa Seth, disant que la demande du serviteur était indigne de la générosité du roi, mais promit que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cases du plateau.

Et maintenant la question : en utilisant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique, calculer combien de grains Seth devrait recevoir ?

Commençons par raisonner. Puisque, selon la condition, Seth a demandé un grain de blé pour la première case de l'échiquier, pour la deuxième, pour la troisième, pour la quatrième, etc., alors on voit que le problème concerne une progression géométrique. A quoi cela équivaut-il dans ce cas ?
Droite.

Total des carrés de l'échiquier. Respectivement, . Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à les brancher sur la formule et à calculer.

Pour imaginer au moins approximativement « l'échelle » d'un nombre donné, on transforme en utilisant les propriétés de degré :

Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer le nombre auquel vous obtenez, et sinon, vous devrez me croire sur parole : la valeur finale de l'expression sera.
C'est-à-dire:

quintillion quadrillion billion milliards millions milliers.

Ouf) Si vous voulez imaginer l’énormité de ce nombre, estimez la taille d’une grange qui serait nécessaire pour accueillir toute la quantité de céréales.
Si la grange mesure m de haut et m de large, sa longueur devrait s'étendre sur km, c'est-à-dire deux fois plus loin de la Terre au Soleil.

Si le roi était fort en mathématiques, il aurait pu inviter le scientifique lui-même à compter les grains, car pour compter un million de grains, il lui faudrait au moins une journée de comptage infatigable, et étant donné qu'il faut compter des quintillions, les grains il faudrait compter tout au long de sa vie.

Résolvons maintenant un problème simple impliquant la somme des termes d’une progression géométrique.
Vasya, un élève de la classe 5A, a contracté la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes, et ainsi de suite. Il n'y a que des gens dans la classe. Dans combien de jours toute la classe aura-t-elle la grippe ?

Ainsi, le premier terme de la progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. Le ème terme de la progression géométrique correspond aux deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. La somme totale des termes de progression est égale au nombre d'élèves de 5A. On parle ainsi d’une progression dans laquelle :

Remplaçons nos données dans la formule de la somme des termes d'une progression géométrique :

Toute la classe tombera malade dans quelques jours. Vous ne croyez pas aux formules et aux chiffres ? Essayez de décrire vous-même « l’infection » des étudiants. Arrivé? Regardez à quoi ça ressemble pour moi :

Calculez vous-même combien de jours il faudrait aux élèves pour contracter la grippe si chacun d'eux infectait une personne et qu'il n'y avait qu'une seule personne dans la classe.

Quelle valeur as-tu obtenu ? Il s’est avéré que tout le monde a commencé à tomber malade au bout d’une journée.

Comme vous pouvez le constater, une telle tâche et son dessin ressemblent à une pyramide dans laquelle chacune des tâches suivantes « amène » de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard, il arrive un moment où ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si l'on imagine que la classe est isolée, la personne de ferme la chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans une pyramide financière dans laquelle de l'argent était donné si deux autres participants étaient amenés, alors la personne (ou en général) n'amènerait personne et perdrait donc tout ce qu'elle a investi dans cette arnaque financière.

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais, comme vous vous en souvenez, nous avons un type spécial - une progression géométrique infiniment décroissante. Comment calculer la somme de ses membres ? Et pourquoi ce type de progression présente-t-il certaines caractéristiques ? Voyons cela ensemble.

Alors, tout d’abord, regardons à nouveau ce dessin d’une progression géométrique infiniment décroissante à partir de notre exemple :

Regardons maintenant la formule de la somme d'une progression géométrique, dérivée un peu plus tôt :
ou

Vers quoi recherchons-nous ? C'est vrai, le graphique montre qu'il tend vers zéro. C'est-à-dire que at sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression que nous obtiendrons presque. À cet égard, nous pensons que lors du calcul de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, cette parenthèse peut être négligée, puisqu'elle sera égale.

- la formule est la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme infini nombre de membres.

Si un nombre spécifique n est spécifié, alors nous utilisons la formule pour la somme de n termes, même si ou.

Maintenant, pratiquons.

1. Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique avec et.
2. Trouver la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante avec et.

J'espère que vous avez été extrêmement prudent. Comparons nos réponses :

Vous savez désormais tout sur la progression géométrique et il est temps de passer de la théorie à la pratique. Les problèmes de progression géométrique les plus courants rencontrés lors de l’examen sont les problèmes de calcul des intérêts composés. Ce sont de ceux-là dont nous parlerons.

Problèmes de calcul des intérêts composés.

Vous avez probablement entendu parler de la formule dite des intérêts composés. Comprenez-vous ce que cela signifie ? Sinon, essayons de comprendre, car une fois que vous aurez compris le processus lui-même, vous comprendrez immédiatement ce que la progression géométrique a à voir avec cela.

Nous allons tous à la banque et savons qu'il existe différentes conditions pour les dépôts : cela inclut une durée, des services supplémentaires et des intérêts avec deux manières différentes de les calculer - simples et complexes.

AVEC intérêt simple tout est plus ou moins clair : les intérêts sont courus une seule fois à la fin de la durée du dépôt. Autrement dit, si nous disons que nous déposons 100 roubles par an, ils ne seront crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin du dépôt, nous recevrons des roubles.

Intérêts composés- c'est une option dans laquelle cela se produit capitalisation des intérêts, c'est à dire. leur ajout au montant du dépôt et le calcul ultérieur du revenu non pas à partir du montant initial, mais à partir du montant du dépôt accumulé. La capitalisation ne se produit pas constamment, mais avec une certaine fréquence. En règle générale, ces périodes sont égales et les banques utilisent le plus souvent un mois, un trimestre ou une année.

Supposons que nous déposions les mêmes roubles chaque année, mais avec une capitalisation mensuelle du dépôt. Qu'est-ce que nous faisons?

Vous comprenez tout ici ? Sinon, voyons cela étape par étape.

Nous avons apporté des roubles à la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir sur notre compte un montant composé de nos roubles plus les intérêts sur ceux-ci, soit :

Accepter?

On peut le sortir des parenthèses et on obtient alors :

D'accord, cette formule ressemble déjà plus à ce que nous avons écrit au début. Il ne reste plus qu'à calculer les pourcentages

Dans l'énoncé du problème, on nous parle des taux annuels. Comme vous le savez, nous ne multiplions pas par - nous convertissons les pourcentages en fractions décimales, c'est-à-dire :

Droite? Maintenant, vous vous demandez peut-être d’où vient ce numéro ? Très simple!
Je le répète : l'énoncé du problème parle de ANNUEL les intérêts qui courent MENSUEL. Comme vous le savez, dans un an de mois, la banque nous facturera donc une partie des intérêts annuels par mois :

Vous l'avez compris ? Essayez maintenant d’écrire à quoi ressemblerait cette partie de la formule si je disais que les intérêts sont calculés quotidiennement.
Avez-vous réussi ? Comparons les résultats :

Bien joué! Revenons à notre tâche : écrivez combien sera crédité sur notre compte au cours du deuxième mois, en tenant compte du fait que des intérêts sont courus sur le montant du dépôt accumulé.
Voici ce que j'ai obtenu :

Ou, en d'autres termes :

Je pense que vous avez déjà remarqué une tendance et vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez à quoi sera égal son membre ou, en d'autres termes, quelle somme d'argent nous recevrons à la fin du mois.
A fait? Allons vérifier!

Comme vous pouvez le constater, si vous mettez de l'argent dans une banque pendant un an à un taux d'intérêt simple, vous recevrez des roubles, et si à un taux d'intérêt composé, vous recevrez des roubles. Le bénéfice est faible, mais cela n'arrive qu'au cours de la ème année, mais sur une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable :

Examinons un autre type de problème impliquant les intérêts composés. Après ce que vous avez compris, ce sera élémentaire pour vous. Donc, la tâche :

La société Zvezda a commencé à investir dans le secteur en 2000, avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2001, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Quel bénéfice la société Zvezda recevra-t-elle à la fin de 2003 si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Capital de la société Zvezda en 2000.
- capital de la société Zvezda en 2001.
- capital de la société Zvezda en 2002.
- capital de la société Zvezda en 2003.

Ou nous pouvons écrire brièvement :

Pour notre cas :

2000, 2001, 2002 et 2003.

Respectivement:
roubles
Veuillez noter que dans ce problème nous n'avons pas de division ni par ni par, puisque le pourcentage est donné ANNUELLEMENT et il est calculé ANNUELLEMENT. Autrement dit, lorsque vous lisez un problème sur les intérêts composés, faites attention au pourcentage donné et à la période pendant laquelle il est calculé, puis procédez ensuite aux calculs.
Vous savez désormais tout sur la progression géométrique.

Entraînement.

1. Trouver le terme de la progression géométrique si on le sait, et
2. Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique si l'on sait cela, et
3. La société MDM Capital a commencé à investir dans le secteur en 2003, avec des capitaux en dollars. Chaque année depuis 2004, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. La société MSK Cash Flows a commencé à investir dans l'industrie en 2005 pour un montant de 10 000 $ et a commencé à réaliser un bénéfice en 2006 pour un montant de. De combien de dollars le capital d'une entreprise serait-il supérieur à celui de l'autre à la fin de 2007, si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Réponses:

1. Puisque l'énoncé du problème ne dit pas que la progression est infinie et qu'il faut trouver la somme d'un nombre précis de ses termes, le calcul est effectué selon la formule :
2. 
   Société de Capital MDM :

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - augmente de 100%, soit 2 fois.
   Respectivement:
   roubles
   Société MSK Cash Flows :

   2005, 2006, 2007.
   - augmente de, c'est-à-dire de fois.
   Respectivement:
   roubles
   roubles

Résumons.

1) La progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

2) L'équation des termes de la progression géométrique est .

3) peut prendre n'importe quelle valeur sauf et.

• si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
• si, alors tous les termes ultérieurs de la progression signes alternatifs ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

4) , avec - propriété de progression géométrique (termes adjacents)

ou
, à (termes équidistants)

Quand tu le trouveras, ne l'oublie pas il devrait y avoir deux réponses.

Par exemple,

5) La somme des termes de la progression géométrique est calculée par la formule :
ou

Si la progression est infiniment décroissante, alors :
ou

IMPORTANT! Nous utilisons la formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme d'un nombre infini de termes.

6) Les problèmes sur les intérêts composés sont également calculés à l'aide de la formule du ème terme d'une progression géométrique, à condition que les fonds n'aient pas été retirés de la circulation :

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Progression géométrique( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle dénominateur d’une progression géométrique.

Dénominateur de progression géométrique peut prendre n’importe quelle valeur sauf et.

• Si, alors tous les termes suivants de la progression ont le même signe - ils sont positifs ;
• si, alors tous les membres suivants de la progression alternent les signes ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

Équation des termes de progression géométrique - .

Somme des termes d'une progression géométrique calculé par la formule :
ou

>>Mathématiques : progression géométrique

Pour la commodité du lecteur, ce paragraphe est construit exactement selon le même plan que celui que nous avons suivi dans le paragraphe précédent.

1. Concepts de base.

Définition. Une suite numérique dont tous les membres sont différents de 0 et dont chaque membre, à partir du second, est obtenu à partir du membre précédent en le multipliant par le même nombre est appelée progression géométrique. Dans ce cas, le nombre 5 est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (b n) définie de manière récurrente par les relations

Est-il possible d’examiner une suite de nombres et de déterminer s’il s’agit d’une progression géométrique ? Peut. Si vous êtes convaincu que le rapport d’un membre de la séquence au membre précédent est constant, alors vous avez une progression géométrique.
Exemple 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemple 2.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 3.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 - 8, q = 1.

A noter que cette séquence est aussi une progression arithmétique (voir exemple 3 du § 15).

Exemple 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1.

Évidemment, une progression géométrique est une suite croissante si b 1 > 0, q > 1 (voir exemple 1), et une suite décroissante si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Pour indiquer que la suite (b n) est une progression géométrique, la notation suivante convient parfois :

L'icône remplace l'expression « progression géométrique ».
Notons une propriété curieuse et en même temps assez évidente de la progression géométrique :
Si la séquence est une progression géométrique, alors la séquence de carrés, c'est-à-dire est une progression géométrique.
Dans la deuxième progression géométrique, le premier terme est égal à et égal à q 2.
Si dans une progression géométrique nous écartons tous les termes suivant b n , nous obtenons une progression géométrique finie
Dans les paragraphes suivants de cette section, nous examinerons les propriétés les plus importantes de la progression géométrique.

2. Formule du nième terme d'une progression géométrique.

Considérons une progression géométrique dénominateur q. Nous avons:

Il n'est pas difficile de deviner que pour tout nombre n l'égalité est vraie

C'est la formule du nième terme d'une progression géométrique.

Commentaire.

Si vous avez lu la remarque importante du paragraphe précédent et l'avez comprise, alors essayez de prouver la formule (1) en utilisant la méthode Induction mathematique de la même manière qu'on l'a fait pour la formule du nième terme d'une progression arithmétique.

Réécrivons la formule du nième terme de la progression géométrique

et introduisons la notation : On obtient y = mq 2, ou, plus en détail,
L'argument x est contenu dans l'exposant, cette fonction est donc appelée fonction exponentielle. Cela signifie qu'une progression géométrique peut être considérée comme une fonction exponentielle définie sur l'ensemble N d'entiers naturels. En figue. 96a montre le graphique de la fonction Fig. 966 - graphique de fonction Dans les deux cas nous avons points isolés(avec les abscisses x = 1, x = 2, x = 3, etc.) se trouvant sur une certaine courbe (les deux figures montrent la même courbe, mais située différemment et représentée à des échelles différentes). Cette courbe est appelée courbe exponentielle. Plus de détails sur la fonction exponentielle et son graphique seront abordés dans le cours d'algèbre de 11e année.

Revenons aux exemples 1 à 5 du paragraphe précédent.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 1, q = 3. Créons la formule du nième terme
2) Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle créons une formule pour le nième terme

Il s'agit d'une progression géométrique qui a Créons la formule pour le nième terme
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 8, q = 1. Créons la formule du nième terme
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1. Créons la formule pour le nième terme

Exemple 6.

Étant donné une progression géométrique

Dans tous les cas, la solution repose sur la formule du nième terme de la progression géométrique

a) En mettant n = 6 dans la formule du nième terme de la progression géométrique, on obtient

b) Nous avons

Puisque 512 = 2 9, nous obtenons n - 1 = 9, n = 10.

d) Nous avons

Exemple 7.

La différence entre les septième et cinquième termes de la progression géométrique est de 48, la somme des cinquième et sixième termes de la progression est également de 48. Trouvez le douzième terme de cette progression.

Première étape. Elaboration d'un modèle mathématique.

Les conditions du problème peuvent être brièvement écrites comme suit :

En utilisant la formule du nième terme d'une progression géométrique, on obtient :
Alors la deuxième condition du problème (b 7 - b 5 = 48) peut s'écrire

La troisième condition du problème (b 5 + b 6 = 48) peut s'écrire

En conséquence, nous obtenons un système de deux équations à deux variables b 1 et q :

qui, en combinaison avec la condition 1) écrite ci-dessus, est modèle mathématique Tâches.

Seconde phase.

Travailler avec le modèle compilé. En égalant les côtés gauches des deux équations du système, on obtient :

(nous avons divisé les deux côtés de l'équation par l'expression non nulle b 1 q 4).

A partir de l'équation q 2 - q - 2 = 0 nous trouvons q 1 = 2, q 2 = -1. En substituant la valeur q = 2 dans la deuxième équation du système, on obtient
En substituant la valeur q = -1 dans la deuxième équation du système, nous obtenons b 1 1 0 = 48 ; cette équation n'a pas de solutions.

Donc, b 1 =1, q = 2 - cette paire est la solution du système d'équations compilé.

Nous pouvons maintenant écrire la progression géométrique discutée dans le problème : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Troisième étape.

Répondez à la question problématique. Vous devez calculer b 12. Nous avons

Réponse : b 12 = 2048.

3. Formule pour la somme des termes d'une progression géométrique finie.

Soit une progression géométrique finie

Notons S n la somme de ses termes, c'est-à-dire

Dérivons une formule pour trouver ce montant.

Commençons par le cas le plus simple, lorsque q = 1. Alors la progression géométrique b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn se compose de n nombres égaux à b 1 , c'est-à-dire la progression ressemble à b 1, b 2, b 3, ..., b 4. La somme de ces nombres est nb 1.

Soit maintenant q = 1 Pour trouver S n, nous appliquons une technique artificielle : nous effectuons quelques transformations de l'expression S n q. Nous avons:

Lors de la réalisation des transformations, nous avons d'abord utilisé la définition d'une progression géométrique, selon laquelle (voir le troisième raisonnement) ; deuxièmement, ils ont ajouté et soustrait, c'est pourquoi le sens de l'expression, bien entendu, n'a pas changé (voir le quatrième raisonnement) ; troisièmement, nous avons utilisé la formule du nième terme d'une progression géométrique :

De la formule (1) on trouve :

C'est la formule de la somme de n termes d'une progression géométrique (pour le cas où q = 1).

Exemple 8.

Étant donné une progression géométrique finie

a) la somme des termes de la progression ; b) la somme des carrés de ses termes.

b) Ci-dessus (voir p. 132) nous avons déjà noté que si tous les termes d'une progression géométrique sont au carré, alors on obtient une progression géométrique avec le premier terme b 2 et le dénominateur q 2. Alors la somme des six termes de la nouvelle progression sera calculée par

Exemple 9.

Trouver le 8ème terme de la progression géométrique pour lequel

En fait, nous avons prouvé le théorème suivant.

Une suite numérique est une progression géométrique si et seulement si le carré de chacun de ses termes, sauf le premier théorème (et le dernier, dans le cas d'une suite finie), est égal au produit des termes précédents et suivants (un propriété caractéristique d'une progression géométrique).