Comment trouver l'aire d'un triangle avec différents... Comment trouver l'aire d'un triangle

Le triangle est l'une des formes géométriques les plus courantes, que nous connaissons déjà dans école primaire. Chaque élève est confronté à la question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle dans les cours de géométrie. Alors, quelles caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée peuvent être identifiées ? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche et analyserons également les types de triangles.

Types de triangles

Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle absolument différentes façons, car en géométrie il existe plus d’un type de figures contenant trois angles. Ces types comprennent :

Obtus.
Équilatéral (correct).
Triangle rectangle.
Isocèle.

Examinons de plus près chacun des types de triangles existants.

Tel figure géométrique considéré comme le plus courant lors de la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il est nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.

Dans un triangle aigu, comme son nom l’indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.

Ce type de triangle est également très courant, mais un peu moins courant qu'un triangle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que plusieurs de ses côtés et angles sont connus et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus est un nombre négatif.

B, la valeur d'un des angles dépasse 90°, donc les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple 15° voire 3°).

Pour trouver l'aire d'un triangle de ce type, vous devez connaître quelques nuances, dont nous parlerons plus tard.

Triangles réguliers et isocèles

Polygone régulier est une figure qui comprend n angles et dont les côtés et les angles sont tous égaux. C'est ce qu'est un triangle régulier. Puisque la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°, alors chacun des trois angles vaut 60°.

Un triangle régulier, en raison de sa propriété, est aussi appelé figure équilatérale.

Il convient également de noter qu'un seul cercle peut être inscrit dans un triangle régulier, qu'un seul cercle peut être décrit autour de lui et que leurs centres sont situés au même point.

En plus du type équilatéral, on peut également distinguer un triangle isocèle, qui en est légèrement différent. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux l'un à l'autre, et le troisième côté (auquel sont adjacents les angles égaux) est la base.

La figure montre un triangle isocèle DEF dont les angles D et F sont égaux et DF est la base.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est ainsi nommé car l’un de ses angles est droit, c’est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.

Le plus grand côté d'un tel triangle, celui qui est opposé à l'angle de 90° est l'hypoténuse, tandis que les deux côtés restants sont les jambes. Pour ce type de triangle, le théorème de Pythagore s'applique :

La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les pattes AB et BC.

Pour trouver l'aire d'un triangle à angle droit, il faut savoir valeurs numériques ses jambes.

Passons aux formules pour trouver l'aire d'une figure donnée.

Formules de base pour trouver une zone

En géométrie, il existe deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les triangles aigus, obtus, réguliers et isocèles. Regardons chacun d'eux.

Par côté et en hauteur

Cette formule est universel pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) est la suivante :

où A est le côté triangle donné, et H est la hauteur du triangle.

Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur obtenue par deux.

Cependant, il n’est pas toujours facile de trouver l’aire d’un triangle de cette façon. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle obtus, vous devez prolonger l'un de ses côtés et ensuite seulement lui tracer une altitude.

En pratique, cette formule est utilisée plus souvent que d’autres.

Des deux côtés et coin

Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule pour trouver l'aire par côté et par hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule en question peut être facilement dérivée de la précédente. Sa formulation ressemble à ceci :

S = ½*sinO*A*B,

où A et B sont les côtés du triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.

Rappelons que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après l'éminent mathématicien soviétique V. M. Bradis.

Passons maintenant à d'autres formules qui ne conviennent qu'à des types de triangles exceptionnels.

Aire d'un triangle rectangle

En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de trouver l'altitude dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée à partir de ses jambes.

Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses pattes, soit :

où a et b sont des jambes triangle rectangle.

Triangle régulier

Ce type les figures géométriques diffèrent en ce que leur aire peut être trouvée avec la valeur indiquée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux). Ainsi, face à la tâche de « trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux », vous devez utiliser la formule suivante :

S = UNE 2 *√3 / 4,

où A est le côté du triangle équilatéral.

La formule du héron

La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci :

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

où a, b et c sont les côtés d'un triangle donné.

Parfois, le problème est posé : « l’aire d’un triangle régulier consiste à trouver la longueur de son côté ». Dans ce cas, il faut utiliser la formule que l'on connaît déjà pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré) :

UNE 2 = 4S / √3.

Tâches d'examen

Il existe de nombreuses formules dans les problèmes GIA en mathématiques. De plus, il est souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.

Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur à partir des cellules et d'utiliser la formule universelle pour trouver l'aire :

Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle de quelque nature que ce soit.

Vous pouvez trouver sur Internet plus de 10 formules pour calculer l'aire d'un triangle. Beaucoup d'entre elles sont utilisées dans des problèmes avec les côtés et les angles connus d'un triangle. Il existe cependant un certain nombre exemples complexes où, selon les conditions de l'affectation, un seul côté et les angles du triangle sont connus, ou le rayon du cercle circonscrit ou inscrit et une autre caractéristique. Dans de tels cas, une formule simple ne peut pas être appliquée.

Les formules données ci-dessous vous permettront de résoudre 95 % des problèmes dans lesquels vous devez trouver l'aire d'un triangle.
Passons à l'examen des formules d'espace commun.
Considérons le triangle montré dans la figure ci-dessous

Dans la figure et ci-dessous dans les formules, les désignations classiques de toutes ses caractéristiques sont introduites.
a,b,c – côtés du triangle,
R – rayon du cercle circonscrit,
r – rayon du cercle inscrit,
h[b],h[a],h[c] – hauteurs tracées conformément aux côtés a,b,c.
alpha, bêta, hamma – angles proches des sommets.

Formules de base pour l'aire d'un triangle

1. L'aire est égale à la moitié du produit du côté du triangle et de la hauteur abaissée de ce côté. Dans le langage des formules, cette définition peut s'écrire ainsi

Ainsi, si le côté et la hauteur sont connus, alors chaque élève trouvera l'aire.
D’ailleurs, de cette formule on peut déduire un dépendance utile entre les hauteurs

2. Si l'on tient compte du fait que la hauteur d'un triangle passant par le côté adjacent est exprimée par la dépendance

Ensuite la première formule d'aire est suivie des secondes du même type

Regardez attentivement les formules : elles sont faciles à retenir, car le travail implique deux côtés et l'angle qui les sépare. Si nous désignons correctement les côtés et les angles du triangle (comme dans la figure ci-dessus), nous obtiendrons deux côtés a, b et l'angle est relié au troisième Avec (hamma).

3. Pour les angles d'un triangle, la relation est vraie

La dépendance vous permet d'utiliser les formules suivantes pour l'aire d'un triangle dans les calculs :

Les exemples de cette dépendance sont extrêmement rares, mais il ne faut pas oublier qu'une telle formule existe.

4. Si le côté et deux angles adjacents sont connus, alors l'aire est trouvée par la formule

5. La formule pour l'aire en termes de côté et de cotangente des angles adjacents est la suivante

En réorganisant les index, vous pouvez obtenir des dépendances pour d'autres parties.

6. La formule d'aire ci-dessous est utilisée dans les problèmes lorsque les sommets d'un triangle sont spécifiés sur le plan par des coordonnées. Dans ce cas, l'aire est égale à la moitié du déterminant pris modulo.

7. La formule du héron utilisé dans les exemples avec des côtés connus d'un triangle.
Trouvez d’abord le demi-périmètre du triangle

Et puis déterminez la superficie en utilisant la formule

ou

Il est assez souvent utilisé dans le code des programmes de calculatrice.

8. Si toutes les hauteurs du triangle sont connues, alors l'aire est déterminée par la formule

Il est difficile de calculer sur une calculatrice, mais dans les packages MathCad, Mathematica et Maple, la zone est le « temps deux ».

9. Les formules suivantes utilisent les rayons connus des cercles inscrits et circonscrits.

En particulier, si le rayon et les côtés du triangle, ou son périmètre, sont connus, alors l'aire est calculée selon la formule

10. Dans les exemples où les côtés et le rayon ou le diamètre du cercle circonscrit sont donnés, l'aire est trouvée à l'aide de la formule

11. La formule suivante détermine l'aire d'un triangle en termes de côté et d'angles du triangle.

Et enfin - cas particuliers :
Aire d'un triangle rectangle avec les jambes a et b égales à la moitié de leur produit

Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral (régulier)=

= un quart du produit du carré du côté par la racine de trois.

Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant cette méthode loin d'être le seul. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle

Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :

a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.

Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui y est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Il est donc bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.

S=½ a b sin γ

Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .

L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.

S = a b c/4R

Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut être fait à l'aide de calculs plus complexes, sur lesquels nous ne nous attarderons pas en détail.

Aires de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :

Comment trouver une zone triangle isocèle? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.

Un triangle est une figure géométrique composée de trois lignes droites reliées par des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, désignés par des lettres latines (par exemple, A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. On distingue les types de triangles suivants :

Rectangulaire.
Obtus.
Angulaire aigu.
Polyvalent.
Équilatéral.
Isocèle.

Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur

S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.

La formule du héron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est Racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment

S = (a*b*sin(α))/2,
Où b, c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés

S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui

S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Système cartésien les coordonnées xOy sur le plan sont appelées axes numériques mutuellement perpendiculaires Ox et Oy avec une origine commune au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2) et C (x3, y3), alors vous pouvez calculer l'aire du triangle en utilisant la formule suivante, qui est obtenue à partir de produit vectoriel deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés

S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu

S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé

S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.

Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle

S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.

Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés du triangle isocèle.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral, vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.