Le plus petit commun multiple (LCM). Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Poursuivons la conversation sur le plus petit commun multiple, que nous avons commencée dans la section "LCM - plus petit commun multiple, définition, exemples". Dans cette rubrique, nous examinerons les moyens de trouver le LCM pour trois nombres ou plus, et nous examinerons la question de savoir comment trouver le LCM d'un nombre négatif.

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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD

Nous avons déjà établi la relation entre le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur. Apprenons maintenant comment déterminer le LCM via GCD. Voyons d’abord comment procéder pour les nombres positifs.

Définition 1

Trouver le plus petit commun multiple au plus grand diviseur commun peut être fait en utilisant la formule LCM (a , b) = a · b : GCD (a , b) .

Exemple 1

Vous devez trouver le LCM des nombres 126 et 70.

Solution

Prenons a = 126, b = 70. Remplaçons les valeurs dans la formule de calcul du plus petit commun multiple par le plus grand commun diviseur LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b) .

Trouve le pgcd des nombres 70 et 126. Pour cela nous avons besoin de l'algorithme euclidien : 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, donc PGCD (126 , 70) = 14 .

Calculons le LCM : LCD (126, 70) = 126 70 : PGCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Répondre: LCM(126, 70) = 630.

Exemple 2

Trouvez les nombres 68 et 34.

Solution

GCD dans ce cas n'est pas difficile à trouver, puisque 68 est divisible par 34. Calculons le plus petit commun multiple en utilisant la formule : LCM (68, 34) = 68 34 : PGCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

Répondre: LCM(68, 34) = 68.

Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle pour trouver le plus petit commun multiple des entiers positifs a et b : si le premier nombre est divisible par le second, le LCM de ces nombres sera égal au premier nombre.

Trouver le LCM en factorisant les nombres en facteurs premiers

Examinons maintenant la méthode permettant de trouver le LCM, qui repose sur la factorisation des nombres en facteurs premiers.

Définition 2

Pour trouver le plus petit commun multiple, nous devons effectuer un certain nombre d’étapes simples :

nous composons le produit de tous les facteurs premiers des nombres pour lesquels nous devons trouver le LCM ;
nous excluons tous les facteurs premiers de leurs produits résultants ;
le produit obtenu après élimination des facteurs premiers communs sera égal au LCM des nombres donnés.

Cette méthode de recherche du plus petit commun multiple est basée sur l'égalité LCM (a, b) = a · b : PGCD (a, b). Si vous regardez la formule, cela deviendra clair : le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs qui participent à la décomposition de ces deux nombres. Dans ce cas, le pgcd de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les factorisations de ces deux nombres.

Exemple 3

Nous avons deux nombres 75 et 210. Nous pouvons les factoriser de la manière suivante : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Si vous composez le produit de tous les facteurs des deux nombres d’origine, vous obtenez : 2 3 3 5 5 5 7.

Si l'on exclut les facteurs communs aux nombres 3 et 5, nous obtenons un produit de la forme suivante : 2 3 5 5 7 = 1050. Ce produit sera notre LCM pour les numéros 75 et 210.

Exemple 4

Trouver le LCM des nombres 441 Et 700 , en factorisant les deux nombres en facteurs premiers.

Solution

Trouvons tous les facteurs premiers des nombres donnés dans la condition :

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nous obtenons deux chaînes de nombres : 441 = 3 3 7 7 et 700 = 2 2 5 5 7.

Le produit de tous les facteurs ayant participé à la décomposition de ces nombres aura la forme : 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Trouvons des facteurs communs. C'est le numéro 7. Excluons-le du produit total : 2 2 3 3 5 5 7 7. Il s'avère que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Répondre: LOC(441, 700) = 44 100.

Donnons une autre formulation de la méthode pour trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Définition 3

Auparavant, nous excluions du nombre total les facteurs communs aux deux nombres. Maintenant, nous allons procéder différemment :

Factorisons les deux nombres en facteurs premiers :
ajouter au produit des facteurs premiers du premier nombre les facteurs manquants du deuxième nombre ;
on obtient le produit, qui sera le LCM souhaité de deux nombres.

Exemple 5

Revenons aux nombres 75 et 210, pour lesquels nous avons déjà recherché le LCM dans un des exemples précédents. Décomposons-les en facteurs simples : 75 = 3 5 5 Et 210 = 2 3 5 7. Au produit des facteurs 3, 5 et 5 les nombres 75 ajoutent les facteurs manquants 2 Et 7 numéros 210. On a: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Il s'agit du LCM des nombres 75 et 210.

Exemple 6

Il faut calculer le LCM des nombres 84 et 648.

Solution

Factorisons les chiffres de la condition en facteurs simples : 84 = 2 2 3 7 Et 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ajoutons au produit les facteurs 2, 2, 3 et 7 nombres 84 facteurs manquants 2, 3, 3 et
3 numéros 648. Nous obtenons le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Il s'agit du plus petit commun multiple de 84 et 648.

Répondre: LCM(84, 648) = 4 536.

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Quel que soit le nombre de nombres auxquels nous avons affaire, l'algorithme de nos actions sera toujours le même : nous trouverons séquentiellement le LCM de deux nombres. Il existe un théorème pour ce cas.

Théorème 1

Supposons que nous ayons des entiers une 1 , une 2 , … , une k. CNP mk ces nombres sont trouvés en calculant séquentiellement m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Voyons maintenant comment le théorème peut être appliqué pour résoudre des problèmes spécifiques.

Exemple 7

Vous devez calculer le plus petit commun multiple de quatre nombres 140, 9, 54 et 250 .

Solution

Introduisons la notation : a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Commençons par calculer m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Appliquons l'algorithme euclidien pour calculer le PGCD des nombres 140 et 9 : 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. On obtient : PGCD (140, 9) = 1, PGCD (140, 9) = 140 9 : PGCD (140, 9) = 140 9 : 1 = 1 260. Par conséquent, m 2 = 1 260.

Calculons maintenant en utilisant le même algorithme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Lors des calculs on obtient m 3 = 3 780.

Il suffit de calculer m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Nous suivons le même algorithme. On obtient m 4 = 94 500.

Le LCM des quatre nombres de l’exemple de condition est 94 500.

Répondre: CNP (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Comme vous pouvez le constater, les calculs sont simples, mais assez laborieux. Pour gagner du temps, vous pouvez procéder autrement.

Définition 4

Nous vous proposons l'algorithme d'actions suivant :

nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers ;
au produit des facteurs du premier nombre on ajoute les facteurs manquants du produit du deuxième nombre ;
au produit obtenu à l'étape précédente on ajoute les facteurs manquants du troisième nombre, etc. ;
le produit résultant sera le plus petit commun multiple de tous les nombres de la condition.

Exemple 8

Vous devez trouver le LCM de cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.

Solution

Factorisons les cinq nombres en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Les nombres premiers, qui sont le nombre 7, ne peuvent pas être pris en compte dans les facteurs premiers. Ces nombres coïncident avec leur décomposition en facteurs premiers.

Prenons maintenant le produit des facteurs premiers 2, 2, 3 et 7 du nombre 84 et ajoutons-y les facteurs manquants du deuxième nombre. Nous avons décomposé le nombre 6 en 2 et 3. Ces facteurs sont déjà dans le produit du premier nombre. Nous les omettons donc.

Nous continuons à ajouter les multiplicateurs manquants. Passons au nombre 48, du produit des facteurs premiers duquel on prend 2 et 2. Ensuite, on additionne le facteur premier de 7 du quatrième nombre et les facteurs de 11 et 13 du cinquième. On obtient : 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Il s’agit du plus petit commun multiple des cinq nombres originaux.

Répondre: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs

Pour trouver le plus petit commun multiple nombres négatifs, ces nombres doivent d'abord être remplacés par des nombres de signe opposé, puis les calculs doivent être effectués à l'aide des algorithmes ci-dessus.

Exemple 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) et LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

De telles actions sont autorisées car si nous acceptons cela un Et − un– les nombres opposés,
alors l'ensemble des multiples d'un nombre un correspond à l'ensemble des multiples d'un nombre − un.

Exemple 10

Il faut calculer le LCM des nombres négatifs − 145 Et − 45 .

Solution

Remplaçons les chiffres − 145 Et − 45 à leurs homologues 145 Et 45 . Maintenant, en utilisant l'algorithme, nous calculons le LCM (145, 45) = 145 · 45 : PGCD (145, 45) = 145 · 45 : 5 = 1 305, après avoir préalablement déterminé le PGCD à l'aide de l'algorithme euclidien.

On obtient que le LCM des nombres est − 145 et − 45 équivaut à 1 305 .

Répondre: LCM (− 145, − 45) = 1 305.

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Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .

Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.

Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).

Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).

Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Donc, Fonction Chebyshev. Et:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi sur la distribution nombres premiers.

Recherche du plus petit commun multiple (LCM).

CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :

2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

Où p 1 ,...,pk- divers nombres premiers, et d 1 ,...,d k Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :

Règle. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;

— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux ou plus nombres naturels avoir leur propre CNO. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.

Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;

5) multiplier ces pouvoirs.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste est appelé plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.

Trouvons le plus grand diviseur commun des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.

Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.

Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.

En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est égal à 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.

Trouver plus grand diviseur commun

2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.

Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.

Plus petit commun multiple (LCM)

Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs premiers : 75 = 3 * 5 * 5 et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.

À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.

Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.

Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Ils appelaient un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8 128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit de nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier il y a un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un seul tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) étaient barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.

Le calculateur en ligne vous permet de trouver rapidement le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou de tout autre nombre de nombres.

Calculatrice pour trouver GCD et LCM

Trouver GCD et LOC

GCD et LOC trouvés : 5806

Comment utiliser la calculatrice

Entrez des chiffres dans le champ de saisie
Si vous saisissez des caractères incorrects, le champ de saisie sera surligné en rouge
cliquez sur le bouton "Rechercher GCD et LOC"

Comment saisir des chiffres

Les nombres sont saisis séparés par un espace, un point ou une virgule
La longueur des numéros saisis n'est pas limitée, donc trouver GCD et LCM de nombres longs n'est pas difficile

Que sont GCD et NOC ?

Plus grand diviseur commun plusieurs nombres est le plus grand entier naturel par lequel tous les nombres originaux sont divisibles sans reste. Le plus grand diviseur commun s'abrège en PGCD.
Multiple moins commun plusieurs nombres est le plus petit nombre divisible par chacun des nombres d'origine sans reste. Le plus petit commun multiple est abrégé en CNP.

Comment vérifier qu'un nombre est divisible par un autre nombre sans reste ?

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans reste, vous pouvez utiliser certaines propriétés de divisibilité des nombres. Ensuite, en les combinant, vous pourrez vérifier la divisibilité de certains d’entre eux et leurs combinaisons.

Quelques signes de divisibilité des nombres

1. Test de divisibilité d'un nombre par 2
Pour déterminer si un nombre est divisible par deux (s'il est pair), il suffit de regarder le dernier chiffre de ce nombre : s'il est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, alors le nombre est pair, ce qui veut dire qu'il est divisible par 2.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 2.
Solution: Nous regardons le dernier chiffre : 8 - cela signifie que le nombre est divisible par deux.

2. Test de divisibilité d'un nombre par 3
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par trois. Ainsi, pour déterminer si un nombre est divisible par 3, vous devez calculer la somme des chiffres et vérifier s'il est divisible par 3. Même si la somme des chiffres est très grande, vous pouvez répéter le même processus.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 3.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 3, ce qui signifie que le nombre est divisible par trois.

3. Test de divisibilité d'un nombre par 5
Un nombre est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est zéro ou cinq.
Exemple: déterminez si le nombre 34938 est divisible par 5.
Solution: regardez le dernier chiffre : 8 signifie que le nombre n’est PAS divisible par cinq.

4. Test de divisibilité d'un nombre par 9
Ce signe est très similaire au signe de divisibilité par trois : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple: déterminez si le nombre 34938 est divisible par 9.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 9, ce qui signifie que le nombre est divisible par neuf.

Comment trouver GCD et LCM de deux nombres

Comment trouver le pgcd de deux nombres

La plupart d'une manière simple Calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres consiste à trouver tous les diviseurs possibles de ces nombres et à sélectionner le plus grand d'entre eux.

Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de recherche de GCD(28, 36) :

Nous factorisons les deux nombres : 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
On trouve des facteurs communs, c'est-à-dire ceux que les deux nombres ont : 1, 2 et 2.
Nous calculons le produit de ces facteurs : 1 2 2 = 4 - c'est le plus grand diviseur commun des nombres 28 et 36.

Comment trouver le LCM de deux nombres

Il existe deux manières les plus courantes de trouver le plus petit multiple de deux nombres. La première méthode consiste à écrire les premiers multiples de deux nombres, puis à choisir parmi eux un nombre qui sera commun aux deux nombres et en même temps le plus petit. Et la seconde est de trouver le pgcd de ces nombres. Considérons seulement cela.

Pour calculer le LCM, vous devez calculer le produit des nombres d'origine, puis le diviser par le GCD précédemment trouvé. Trouvons le LCM pour les mêmes nombres 28 et 36 :

Trouver le produit des nombres 28 et 36 : 28·36 = 1008
GCD(28, 36), comme déjà connu, est égal à 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Trouver GCD et LCM pour plusieurs nombres

Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, pas seulement pour deux. Pour ce faire, on décompose les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun en facteurs premiers, puis on trouve le produit des facteurs premiers communs de ces nombres. Vous pouvez également utiliser la relation suivante pour trouver le pgcd de plusieurs nombres : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c).

Une relation similaire s'applique au plus petit commun multiple : LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemple: trouvez GCD et LCM pour les nombres 12, 32 et 36.

Tout d'abord, factorisons les nombres : 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Trouvons les facteurs communs : 1, 2 et 2.
Leur produit donnera GCD : 1·2·2 = 4
Trouvons maintenant le LCM : pour ce faire, trouvons d'abord le LCM(12, 32) : 12·32 / 4 = 96 .
Pour trouver le CNO de chacun trois nombres, vous devez trouver GCD(96, 36) : 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Les expressions et problèmes mathématiques nécessitent de nombreuses connaissances supplémentaires. NOC est l'un des principaux, particulièrement souvent utilisé dans Le sujet est étudié au lycée, et il n'est pas particulièrement difficile de comprendre la matière ; une personne familiarisée avec les pouvoirs et la table de multiplication n'aura pas de difficulté à identifier les nombres nécessaires et à découvrir les résultat.

Définition

Un commun multiple est un nombre qui peut être complètement divisé en deux nombres à la fois (a et b). Le plus souvent, ce nombre est obtenu en multipliant les nombres originaux a et b. Le nombre doit être divisible par les deux nombres à la fois, sans écarts.

NOC est la désignation acceptée nom court, recueilli dès les premières lettres.

Façons d'obtenir un numéro

La méthode de multiplication des nombres n'est pas toujours adaptée pour trouver le LCM ; elle est bien mieux adaptée aux nombres simples à un ou deux chiffres. Il est d'usage de diviser en facteurs : plus le nombre est grand, plus il y aura de facteurs.

Exemple n°1

Pour l’exemple le plus simple, les écoles utilisent généralement des nombres premiers, à un ou deux chiffres. Par exemple, vous devez résoudre la tâche suivante, trouver le plus petit commun multiple des nombres 7 et 3, la solution est assez simple, il suffit de les multiplier. En conséquence, il existe un nombre 21, il n'y a tout simplement pas de nombre plus petit.

Exemple n°2

La deuxième version de la tâche est beaucoup plus difficile. Les numéros 300 et 1260 sont donnés, trouver le LOC est obligatoire. Pour résoudre le problème, les actions suivantes sont supposées :

Décomposition du premier et du deuxième nombres en facteurs simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. La première étape est terminée.

La deuxième étape consiste à travailler avec des données déjà obtenues. Chacun des numéros reçus doit participer au calcul du résultat final. Pour chaque facteur, le plus grand nombre d’occurrences est extrait des nombres d’origine. LCM est un nombre général, donc les facteurs des nombres doivent y être répétés, chacun d'eux, même ceux qui sont présents en un seul exemplaire. Les deux nombres initiaux contiennent les nombres 2, 3 et 5, dans des puissances différentes ; 7 n’est présent que dans un cas.

Pour calculer le résultat final, vous devez prendre chaque nombre dans la plus grande des puissances représentées dans l'équation. Il ne reste plus qu'à multiplier et obtenir la réponse, avec remplissage correct La tâche se déroule en deux étapes sans explication :

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) CNP = 6 300.

C'est tout le problème, si vous essayez de calculer le bon numéro par multiplication, alors la réponse ne sera certainement pas correcte, puisque 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300/300 = 21 - correct ;

6300/1260 = 5 - correct.

L'exactitude du résultat obtenu est déterminée en vérifiant - en divisant le LCM par les deux nombres d'origine ; si le nombre est un nombre entier dans les deux cas, alors la réponse est correcte.

Que signifie NOC en mathématiques ?

Comme vous le savez, il n’existe pas une seule fonction inutile en mathématiques, celle-ci ne fait pas exception. Le but le plus courant de ce nombre est de réduire les fractions à un dénominateur commun. Ce qui est habituellement étudié en 5e et 6e années lycée. C'est également un diviseur commun à tous les multiples, si de telles conditions sont présentes dans le problème. Une telle expression peut trouver un multiple non seulement de deux nombres, mais également d'un nombre beaucoup plus grand - trois, cinq, etc. Comment plus de numéros- plus il y a d'actions dans la tâche, mais la complexité n'augmente pas.

Par exemple, étant donné les nombres 250, 600 et 1500, il faut trouver leur LCM commun :

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - cet exemple décrit la factorisation en détail, sans réduction.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pour composer une expression, il faut mentionner tous les facteurs, dans ce cas 2, 5, 3 sont donnés - pour tous ces nombres il faut déterminer le degré maximum.

Attention : tous les facteurs doivent être amenés jusqu'à une simplification complète, si possible, décomposés au niveau d'un seul chiffre.

Examen:

1) 3000 / 250 = 12 - correct ;

2) 3000 / 600 = 5 - vrai ;

3) 3000/1500 = 2 - correct.

Cette méthode ne nécessite aucune astuce ni capacité de génie, tout est simple et clair.

Autrement

En mathématiques, beaucoup de choses sont liées, beaucoup de choses peuvent être résolues de deux ou plusieurs manières, il en va de même pour trouver le plus petit commun multiple, LCM. La méthode suivante peut être utilisée dans le cas de nombres simples à deux chiffres et à un chiffre. Un tableau est compilé dans lequel le multiplicande est inscrit verticalement, le multiplicateur horizontalement et le produit est indiqué dans les cellules qui se croisent de la colonne. Vous pouvez refléter le tableau à l'aide d'une ligne, prendre un nombre et noter les résultats de la multiplication de ce nombre par des nombres entiers, de 1 à l'infini, parfois 3 à 5 points suffisent, le deuxième nombre et les suivants subissent le même processus de calcul. Tout se passe jusqu'à ce qu'un multiple commun soit trouvé.

Étant donné les nombres 30, 35, 42, il faut trouver le LCM reliant tous les nombres :

1) Multiples de 30 : 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiples de 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiples de 42 : 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Il est à noter que tous les chiffres sont assez différents, le seul chiffre commun entre eux est le 210, ce sera donc le NOC. Parmi les processus impliqués dans ce calcul, il existe également un plus grand diviseur commun, calculé selon des principes similaires et souvent rencontré dans des problèmes voisins. La différence est faible, mais assez significative, LCM implique le calcul d'un nombre divisé par toutes les valeurs initiales données, et GCD implique le calcul valeur la plus élevée par lequel les nombres originaux sont divisés.