Équation générale de Schrödinger. Équation de Schrödinger pour les états stationnaires

1. Introduction

La théorie quantique est née en 1900 lorsque Max Planck a proposé conclusion théorique sur la relation entre la température d'un corps et le rayonnement émis par ce corps - une conclusion qui pendant longtemps Comme ses prédécesseurs, Planck proposait que le rayonnement était émis par des oscillateurs atomiques, mais il croyait que l'énergie des oscillateurs (et donc le rayonnement qu'ils émettent) existait sous la forme de petites portions discrètes, qu'Einstein appelait quanta. L'énergie de chaque quantum est proportionnelle à la fréquence du rayonnement. Bien que la formule dérivée de Planck ait provoqué admiration universelle, les hypothèses qu'il acceptait restaient incompréhensibles, car elles contredisaient la physique classique.

En 1905, Einstein a utilisé la théorie quantique pour expliquer certains aspects de l’effet photoélectrique – l’émission d’électrons par la surface d’un métal sur laquelle tombe la lumière. rayonnement ultraviolet. Chemin faisant, Einstein a remarqué un paradoxe apparent : la lumière, dont on savait depuis deux siècles qu'elle se propageait sous forme d'ondes continues, pouvait, dans certaines circonstances, également se comporter comme un flux de particules.

Environ huit ans plus tard, Niels Bohr étendit la théorie quantique à l'atome et expliqua les fréquences des ondes émises par les atomes excités par une flamme ou une charge électrique. Ernest Rutherford a montré que la masse d'un atome est presque entièrement concentrée dans le noyau central, qui porte une force positive. charge électrique et entouré à des distances relativement grandes par des électrons porteurs charge négative, de sorte que l'atome dans son ensemble est électriquement neutre. Bohr a suggéré que les électrons ne pouvaient se trouver que sur certaines orbites discrètes correspondant à différents niveaux d'énergie, et que le « saut » d'un électron d'une orbite à une autre, avec une énergie plus faible, s'accompagne de l'émission d'un photon dont l'énergie est égale à la différence des énergies des deux orbites. La fréquence, selon la théorie de Planck, est proportionnelle à l'énergie du photon. Ainsi, le modèle de l'atome de Bohr a établi le lien entre différentes lignes spectres caractéristiques de la substance émettant un rayonnement et structure atomique. Malgré son succès initial, le modèle de l'atome de Bohr a rapidement nécessité des modifications pour résoudre les divergences entre la théorie et l'expérience. De plus, à cette époque, la théorie quantique ne fournissait pas encore de procédure systématique permettant de résoudre de nombreux problèmes quantiques.

Nouvelle fonctionnalité importante théorie des quanta est apparu en 1924, lorsque de Broglie a émis une hypothèse radicale sur la nature ondulatoire de la matière : si ondes électromagnétiques, comme la lumière, se comportent parfois comme des particules (comme l'a montré Einstein), puis les particules, comme l'électron, dans certaines circonstances, peuvent se comporter comme des ondes. Dans la formulation de de Broglie, la fréquence correspondant à une particule est liée à son énergie, comme dans le cas d'un photon (une particule de lumière), mais l'expression mathématique proposée par de Broglie était une relation équivalente entre la longueur d'onde, la masse de la particule. , et sa vitesse (élan). L'existence des ondes électroniques a été prouvée expérimentalement en 1927 par Clinton Davisson et Lester Germer aux États-Unis et John Paget Thomson en Angleterre.

Impressionné par les commentaires d'Einstein sur les idées de de Broglie, Schrödinger a tenté d'appliquer la description ondulatoire des électrons à la construction d'une théorie quantique cohérente, sans rapport avec le modèle inadéquat de l'atome de Bohr. Dans un certain sens, il entendait rapprocher la théorie quantique de la physique classique, qui avait accumulé de nombreux exemples de descriptions mathématiques des ondes. La première tentative, faite par Schrödinger en 1925, se solda par un échec.

Les vitesses des électrons dans la théorie II de Schrödinger étaient proches de la vitesse de la lumière, ce qui nécessitait l'inclusion de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein et l'augmentation significative de la masse des électrons à des vitesses très élevées qu'elle prédisait.

L'une des raisons de l'échec de Schrödinger était qu'il n'avait pas pris en compte la présence d'une propriété spécifique de l'électron, aujourd'hui connue sous le nom de spin (la rotation de l'électron autour de son propre axe comme une toupie), dont on savait peu de choses à l'époque. ce temps.

Schrödinger fit une nouvelle tentative en 1926. Cette fois, les vitesses des électrons furent choisies si petites qu'il n'était pas nécessaire d'invoquer la théorie de la relativité.

La deuxième tentative a abouti à la conclusion équation d'onde Schrödinger, qui donne une description mathématique de la matière en termes de fonction d'onde. Schrödinger a appelé sa théorie la mécanique ondulatoire. Les solutions de l’équation des ondes étaient en accord avec les observations expérimentales et ont eu une profonde influence sur le développement ultérieur de la théorie quantique.

Peu de temps auparavant, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan avaient publié une autre version de la théorie quantique, appelée mécanique matricielle, qui décrivait les phénomènes quantiques à l'aide de tableaux de quantités observables. Ces tables sont disposées d'une certaine manière ensembles mathématiques, appelés matrices, sur lesquelles règles connues peut produire divers opérations mathématiques. La mécanique matricielle permettait également d'être en accord avec les données expérimentales observées, mais contrairement à la mécanique ondulatoire, elle ne contenait aucune référence spécifique aux coordonnées spatiales ou au temps. Heisenberg a particulièrement insisté sur le rejet de toute représentation ou modèle visuel simple en faveur des seules propriétés pouvant être déterminées par l'expérience.

Schrödinger a montré que la mécanique ondulatoire et la mécanique matricielle sont mathématiquement équivalentes. Connu maintenant sous Nom commun mécanique quantique, ces deux théories ont donné le résultat tant attendu terrain d'entente descriptions de phénomènes quantiques. De nombreux physiciens préféraient la mécanique ondulatoire parce que ses mathématiques leur étaient plus familières et ses concepts semblaient plus « physiques » ; les opérations sur les matrices sont plus lourdes.

Fonction Ψ. Normalisation des probabilités.

La découverte des propriétés ondulatoires des microparticules a montré que la mécanique classique ne peut pas donner description correcte comportement de ces particules. Il était nécessaire de créer une mécanique des microparticules qui prendrait également en compte leurs propriétés ondulatoires. La nouvelle mécanique créée par Schrödinger, Heisenberg, Dirac et d’autres s’appelait mécanique ondulatoire ou quantique.

Vague de l'avion de Broglie

est une formation d'onde très particulière correspondant au mouvement libre et uniforme d'une particule dans une certaine direction et avec un certain élan. Mais une particule, même dans l'espace libre et surtout dans champs de force, peut également effectuer d'autres mouvements décrits par des fonctions d'onde plus complexes. Dans ces cas Description complèteétat de la particule dans mécanique quantique n'est pas donnée par une onde plane de Broglie, mais par une onde plus complexe fonction complexe

La fonction d'onde détermine la probabilité relative de détecter une particule dans des endroits variés espace. À ce stade, où seules les relations de probabilité sont discutées, la fonction d’onde est fondamentalement déterminée à un facteur constant arbitraire près. Si en tous points de l'espace la fonction d'onde est multipliée par le même nombre constant (généralement complexe), différent de zéro, alors une nouvelle fonction d'onde est obtenue qui décrit exactement le même état. Cela n'a aucun sens de dire que Ψ est égal à zéro en tous points de l'espace, car une telle « fonction d'onde » ne permet jamais de conclure sur la probabilité relative de détecter une particule à différents endroits de l'espace. Mais l’incertitude dans la détermination de Ψ peut être considérablement réduite si l’on passe d’une probabilité relative à une probabilité absolue. Disposons du facteur indéfini dans la fonction Ψ pour que la valeur |Ψ|2dV donne la probabilité absolue de détecter une particule dans l'élément de volume spatial dV. Alors |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* est la fonction conjuguée complexe de Ψ) aura la signification de la densité de probabilité à laquelle il faut s'attendre lorsqu'on tente de détecter une particule dans l'espace. Dans ce cas, Ψ sera toujours déterminé à un facteur complexe constant arbitraire près, dont le module est cependant égal à l'unité. Avec cette définition, la condition de normalisation doit être remplie :

où l'intégrale s'étend sur tout l'espace infini. Cela signifie que la particule sera détectée avec certitude dans tout l’espace. Si l'intégrale de |Ψ|2 est reprise sur un certain volume V1, on calcule la probabilité de trouver une particule dans l'espace du volume V1.

La normalisation (2) peut être impossible si l'intégrale (2) diverge. Ce sera le cas par exemple dans le cas d'une onde plane de Broglie, lorsque la probabilité de détecter une particule est la même en tous points de l'espace. Mais de tels cas doivent être considérés comme des idéalisations d’une situation réelle dans laquelle la particule ne va pas à l’infini, mais est forcée de rester dans une région limitée de l’espace. La normalisation n’est alors pas difficile.

Ainsi, la signification physique directe n'est pas associée à la fonction Ψ elle-même, mais à son module Ψ*Ψ. Pourquoi en théorie quantique fonctionnent-ils avec des fonctions d'onde Ψ, et non directement avec des quantités observées expérimentalement Ψ*Ψ ? Ceci est nécessaire pour interpréter les propriétés ondulatoires de la matière – interférence et diffraction. Ici, la situation est exactement la même que dans n’importe quelle théorie des vagues. Il accepte (au moins dans une approximation linéaire) la validité du principe de superposition des champs d'ondes eux-mêmes, et non leurs intensités, et parvient ainsi à inclure dans la théorie les phénomènes d'interférence et de diffraction des ondes. De même, en mécanique quantique, le principe de superposition des fonctions d'onde est accepté comme l'un des principaux postulats, qui consiste en ce qui suit.

(L'interprétation statistique des ondes de Broglie (voir § 216) et de la relation d'incertitude de Heisenberg (voir § 215) a conduit à la conclusion que l'équation du mouvement en mécanique quantique, décrivant le mouvement des microparticules dans divers champs de force, doit être une équation à partir duquel les observables suivraient expérimentalement les propriétés ondulatoires des particules. L'équation de base doit être une équation relative à la fonction d'onde X,y, z, t),|Ypuisque c'est elle, ou, plus précisément, la valeur | 2, détermine la probabilité qu'une particule soit présente à un moment donné t en volume V, c'est-à-dire dans la zone avec les coordonnées X Et x+dx, y Et y+dy, z Et z+dz.Étant donné que l’équation requise doit prendre en compte les propriétés ondulatoires des particules, elle doit être équation d'onde, similaire à l'équation décrivant les ondes électromagnétiques.

Équation de base mécanique quantique non relativiste formulé en 1926 par E. Schrödinger. L'équation de Schrödinger, comme toutes les équations fondamentales de la physique (par exemple les équations de Newton en mécanique classique et les équations de Maxwell pour Champ électromagnétique), n’est pas dérivée, mais postulée. L'exactitude de cette équation est confirmée par la concordance avec l'expérience des résultats obtenus avec son aide, ce qui, à son tour, lui confère le caractère d'une loi de la nature. L'équation de Schrödinger a la forme

Où ћ =h),p/(2 T-- Opérateur de Laplace D masse de particules, je- unité imaginaire, U (x, y, z, t) - Yfonction potentielle d'une particule dans le champ de force dans lequel elle se déplace, (x, y, z, t)- la fonction d'onde souhaitée de la particule.

L'équation (217.1) est valable pour toute particule (de spin égal à 0 ; voir § 225) se déplaçant à faible vitesse (par rapport à la vitesse de la lumière), c'est-à-dire v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Pour arriver à l’équation de Schrödinger, considérons une particule en mouvement libre qui, selon l’idée de de Broglie, est associée à une onde plane. Pour simplifier, nous considérons le cas unidimensionnel. Équation d'une onde plane se propageant le long d'un axe X, a la forme (voir § 154) , ou dans un dossier complexe . L’onde plane de Broglie a donc la forme

(il est pris en compte que w = E/ћ, k=p/ћ|Y). En mécanique quantique, l'exposant est pris avec un signe moins, mais comme il n'a qu'une signification physique | 2 , alors ceci (voir (217.2)) n'a pas d'importance. Alors

Utiliser la relation entre l'énergie E et impulsion p (E=p 2 /( 2m)) et en remplaçant les expressions (217.3), nous obtenons l'équation différentielle

ce qui coïncide avec l'équation (217.1) pour le cas U= 0 (nous avons considéré une particule libre). Si une particule se déplace dans un champ de force caractérisé par de l'énergie potentielle Toi, alors l'énergie totale E se compose d’énergies cinétiques et potentielles. En utilisant un raisonnement similaire et en utilisant la relation entre E Et R.(pour ce cas p 2 /(2m)=UE), nous procédons à une équation différentielle coïncidant avec (217.1).

Le raisonnement ci-dessus ne doit pas être considéré comme une dérivation de l’équation de Schrödinger. Ils expliquent seulement comment on peut arriver à cette équation. La preuve de l’exactitude de l’équation de Schrödinger est la concordance avec l’expérience des conclusions auxquelles elle conduit.

L'équation (217.1) est équation générale de Schrödinger. On l'appelle aussi équation de Schrödinger dépendante du tempsà partir du temps, en d’autres termes, trouvez l’équation de Schrödinger pour Y. Pour de nombreux phénomènes physiques se produisant dans le micromonde, l'équation (217.1) peut être simplifiée en éliminant la dépendance états stationnaires - états avec des valeurs d'énergie fixes. Ceci est possible si le champ de force dans lequel la particule se déplace est stationnaire, c'est-à-dire la fonction U=U(x, y, z) ne dépend pas explicitement du temps et a le sens d'énergie potentielle. Dans ce cas, la solution de l'équation de Schrödinger peut être représentée comme le produit de deux fonctions, dont l'une est fonction uniquement des coordonnées, l'autre uniquement du temps, et la dépendance au temps est exprimée par le facteur , de sorte que

Où E- l'énergie totale de la particule, constante dans le cas d'un champ stationnaire. En remplaçant (217.4) dans (217.1), on obtient

d'où, après division par un facteur commun et transformations correspondantes, on arrive à l'équation définissant la fonction oui :

L'équation (217.5) est appelée Équation de Schrödinger pour les états stationnaires. Cette équation inclut l'énergie totale comme paramètre E particules. Dans la théorie des équations différentielles, il est prouvé que de telles équations ont un nombre infini de solutions, parmi lesquelles les solutions ayant une signification physique sont sélectionnées en imposant des conditions aux limites. Pour l'équation de Schrödinger, ces conditions sont les conditions de régularité des fonctions d'onde : les fonctions d'onde doivent être finies, à valeur unique et continues avec leurs dérivées premières. Ainsi, seules les solutions exprimées par des fonctions régulières ont une réelle signification physique. oui. Mais les solutions régulières n'ont lieu pour aucune valeur de paramètre E, mais seulement pour un certain ensemble d'entre eux, caractéristiques d'une tâche donnée. Ces valeurs énergétiques sont appelées propre. Des solutions qui correspondent propre les valeurs énergétiques sont appelées propres fonctions. Valeurs propres E peut former une série continue ou discrète. Dans le premier cas, on parle de continu, ou complètement,spectre, dans la seconde - à propos du spectre discret.

Modèle de Thomson et Rutherford de l'atome.

L'idée des atomes en tant que plus petites particules de matière indivisibles est née dans l'Antiquité (Démocrite, Épicure, Lucrèce). Au début du XVIIIe siècle, la théorie atomique devenait de plus en plus populaire, puisqu'à cette époque les travaux de A. Lavoisier , M.V. Lomonossov et D. Dalton ont prouvé la réalité de l'existence des atomes. Cependant, la question de la structure interne des atomes ne se posait même pas, puisque les atomes étaient considérés comme indivisibles. Un rôle majeur dans le développement du modèle atomique a été joué par Mendeleïev, qui a développé le Tableau Périodique des Éléments en 1869, dans lequel la question de la nature unifiée des atomes a été soulevée pour la première fois sur une base scientifique. Dans la seconde moitié du XIXe siècle, il a été prouvé expérimentalement que l'édectoron est l'un des principaux composants de toute substance. Ces conclusions, ainsi que les données expérimentales, ont conduit au fait qu'au début du XXe siècle la question de la structure de l'atome a été sérieusement posée. La première tentative de création d'un modèle atomique basé sur des données expérimentales accumulées appartient à Thomsan. Selon ce modèle, un atome est une boule continuellement chargée positivement d'un rayon de l'ordre de m, à l'intérieur de laquelle des électrons oscillent autour de leurs positions d'équilibre ; la charge totale des électrons est égale à la charge positive de la boule, donc l'atome est neutre. Quelques années plus tard, il fut prouvé que l’idée d’une charge positive distribuée en continu à l’intérieur d’un atome était erronée.

Dans le développement des idées sur la structure de l'atome, les expériences du physicien anglais Rutherford sur la diffusion des particules alpha dans la matière sont d'une grande importance. Les particules alpha apparaissent lors de transformations radioactives ; ce sont des particules chargées positivement avec une charge de 2e et une masse environ 7 300 fois la masse d'un électron. Les faisceaux de particules alpha sont hautement monochromatiques. Sur la base de ses recherches, Rutherford a proposé un modèle nucléaire (planétaire) de l'atome en 1911. Selon ce modèle, autour d'une charge positive, la charge existante Ze (Z est le numéro atomique de l'élément dans le système périodique e - la taille de la charge élémentaire - et une masse presque égale à la masse de l'atome, dans une région avec Des dimensions linéaires de l'ordre de m électrons se déplacent sur des orbites fermées, formant la couche électronique de l'atome. Puisque les atomes sont neutres, la charge est égale à la charge totale des électrons, c'est-à-dire que les électrons Z doivent être convertis autour du noyau. Pour simplifier, supposons que l'électron se déplace autour du noyau sur une orbite circulaire de rayon r. Dans ce cas, la force coulombienne d'interaction entre le noyau et l'électron confère une accélération normale. L'équation décrivant le mouvement circulaire d'un électron dans un atome sous l'influence de la force coulombienne = où ε0 est la constante électrique me et v est la masse et la vitesse de l'électron sur une orbite de rayon r. L'équation contient deux inconnues r et v. Par conséquent, il existe d'innombrables valeurs ​du rayon et des valeurs de vitesse correspondantes qui satisfont à cette équation. Par conséquent, les valeurs de r et v peuvent changer continuellement, c'est-à-dire que n'importe quelle partie d'énergie, et non complètement spécifique, peut être émise. Le spectre des atomes devrait alors être continu. En réalité, l’expérience montre que les atomes ont un spectre de raies. Selon l’électrodynamique classique, les électrons accélérés devraient émettre des ondes électromagnétiques et, par conséquent, perdre continuellement de l’énergie. En conséquence, les électrons se rapprocheront du noyau et finiront par tomber dessus. Ainsi, l'atome de Rutherford s'avère être un système instable, ce qui contredit encore une fois la réalité. Les tentatives visant à construire un modèle de l'atome dans le cadre de la physique classique n'ont pas abouti : le modèle de Thomson a été réfuté par les expériences de Rutherford, tandis que le modèle nucléaire s'est avéré instable et contredit électrodynamiquement les données expérimentales. Pour surmonter les difficultés rencontrées, il a fallu créer une théorie qualitativement nouvelle de l'atome.

Spectre de raies de l'hydrogène

Une étude des spectres d'émission de gaz chargés a montré que chaque gaz possède un spectre de raies spécifique, constitué de raies spirales individuelles. Le spectre de l’atome le plus simple, l’atome d’hydrogène, est le plus étudié. Le scientifique suisse Balmer a sélectionné une formule empirique qui décrit toutes les raies spectrales de l'atome d'hydrogène connues à cette époque dans la région visible du spectre, où R prime = est la constante de Rydberg. Par la suite, plusieurs autres séries ont été découvertes dans le spectre de l'atome d'hydrogène. Dans la région ultraviolette du spectre se trouve la série Lyman

Dans la région infrarouge du spectre ont également été découverts

Série Paschen

Série de supports

v=R(1/4^2 -1/n^2) (n=5,6,7…...)

Série Pfund

v=R(1/5^2 -1/n^2) (n=6,7,8......)

Série Humphrey

v=R(1/6^2 -1/n^2) (n=7,8,9…...)

Toutes les séries ci-dessus dans le spectre de l'atome d'hydrogène peuvent être décrites par une formule appelée formule de Balmer généralisée où m a une valeur constante dans chaque série m = 1,2,3,4,5,6 (définit la série) n, prend des valeurs entières à partir de m +1 (identifie les lignes individuelles de cette série)

Les postulats de Bohr

La première tentative de construction d’une théorie qualitativement nouvelle de l’atome fut faite en 1913 par le physicien danois Niels Bohr. Il s'est fixé pour objectif de relier en un seul tout les lois empiriques des spectres de raies, le modèle nucléaire de Rutherford de l'atome et la nature quantique de l'émission et de l'absorption de la lumière. Bohr fondait sa théorie sur deux postulats.

1 postulat (postulat des états stationnaires) dans un atome il existe des états stationnaires dans lesquels il n'émet pas d'énergie, ces états sont caractérisés par certaines valeurs d'énergie discrètes. Les états stationnaires d’un atome correspondent à des orbites stationnaires le long desquelles se déplacent les électrons. Le mouvement des électrons sur des orbites stationnaires ne s'accompagne pas d'émission d'ondes électromagnétiques. Dans l'état stationnaire d'un atome, un électron se déplaçant sur une orbite circulaire doit avoir des valeurs quantiques discrètes de moment cinétique qui satisfont à la condition

Où me est la masse de l'électron v est la vitesse

Postulat 2 (règle de fréquence) : lorsqu'un électron passe d'une orbite stationnaire à une autre, un photon avec de l'énergie est émis

La différence égale d'énergie des états stationnaires correspondants E_m est respectivement l'énergie des états stationnaires de l'atome avant et après rayonnement. Lorsque - le rayonnement se produit lorsque - il est absorbé L'ensemble des fréquences discrètes possibles des transitions quantiques détermine le spectre des raies de l'atome.

O. Stern et V Gerlach ont effectué des mesures directes des moments magnétiques et ont découvert en 1922 qu'un faisceau étroit d'atomes d'hydrogène, manifestement à l'état s, dans un champ magnétique inhomogène, se divise en deux faisceaux. Dans cet état, le moment cinétique de l’électron est nul. Le moment magnétique de l'atome associé au mouvement orbital de l'électron est proportionnel au moment mécanique, il est donc égal à zéro et le champ magnétique ne devrait pas affecter le mouvement des atomes d'hydrogène dans l'état fondamental, c'est-à-dire qu'il ne devrait pas y avoir de division. . cependant, plus tard, grâce à l'utilisation d'instruments spectraux à haute résolution, il a été prouvé que les raies spectrales de l'atome d'hydrogène présentent une structure fine, même en l'absence de champ magnétique. Parmi d'autres difficultés de la physique atomique, Uhlenbeck et Goudsmit ont proposé que l'électron possède son propre moment cinétique mécanique indestructible, sans rapport avec le mouvement de l'électron dans l'espace par spin. Le spin d’un électron est une quantité quantique ; il n’a pas d’analogue classique ; c’est une propriété interne inhérente d’un électron similaire à sa masse et sa charge. Si un électron se voit attribuer son propre moment cinétique mécanique, alors il correspond à son propre moment magnétique. Selon les conclusions générales de la mécanique quantique, le spin est quantifié selon la loi où s est le nombre quantique de spin.

L'équation du mouvement d'une microparticule dans divers champs de force est l'équation des ondes de Schrödinger.

Pour les états stationnaires, l’équation de Schrödinger sera :

M – masse des particules, h – constante de Planck, E – énergie totale, U – énergie potentielle.

L'équation de Schrödinger est une équation différentielle du second ordre et a une solution qui indique que dans un atome d'hydrogène, l'énergie totale doit être discrète :

Cette énergie est aux niveaux correspondants n =1,2,3,...selon la formule :

Le niveau E le plus bas correspond à l'énergie minimale possible. Ce niveau est appelé basique, tous les autres sont appelés excités.

À mesure que le nombre quantique principal n augmente, les niveaux d'énergie se rapprochent, l'énergie totale diminue et lorsque n = E>0, l'électron devient libre, non lié à un noyau spécifique, et l'atome devient ionisé.

Une description complète de l’état d’un électron dans un atome, en plus de l’énergie, est associée à quatre caractéristiques appelées nombres quantiques. Ceux-ci incluent : le nombre quantique principal n, le nombre quantique orbital l, le nombre quantique magnétique m1, le nombre quantique de spin magnétique ms.

trône dans l’espace, c’est-à-dire que la fonction d’onde dans l’espace est caractérisée par trois systèmes. Chacun d'eux a ses propres nombres quantiques : n, l, ml.

Chaque microparticule, y compris l’électron, possède également son propre mouvement complexe interne. Ce mouvement peut être caractérisé par le quatrième nombre quantique ms. Parlons-en plus en détail.

A. Le nombre quantique principal n, selon la formule, détermine les niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome et peut prendre des valeurs n = 1, 2, 3...

B. Nombre quantique orbital /. De la solution de l'équation de Schrödinger, il s'ensuit que le moment cinétique de l'électron (son moment orbital mécanique) est quantifié, c'est-à-dire qu'il prend des valeurs discrètes déterminées par la formule

où Ll est le moment cinétique de l'électron sur l'orbite, l est le nombre quantique orbital, qui pour un n donné prend la valeur i = 0, 1, 2... (n – 1) et détermine le moment cinétique de l'électron sur l'orbite. électron dans l’atome.B. Nombre quantique magnétique ml.

De la solution de l'équation de Schrödinger, il résulte également que le vecteur Ll (moment angulaire de l'électron) est orienté dans l'espace sous l'influence d'un champ magnétique externe. Dans ce cas, le vecteur se dépliera de telle sorte que sa projection dans la direction du champ magnétique externe sera

où ml est appelé un nombre quantique magnétique, qui peut prendre des valeurs ml = 0, ±1, ±2, ±1, soit un total de (2l + 1) valeurs.

En tenant compte de ce qui précède, nous pouvons conclure qu'un atome d'hydrogène peut avoir la même valeur énergétique, étant dans plusieurs états différents (n est le même, mais l et ml sont différents).

Lorsqu’un électron se déplace dans un atome, il présente des propriétés ondulatoires visibles. Par conséquent, l’électronique quantique abandonne généralement les idées classiques sur les orbites électroniques. Nous parlons de déterminer l'emplacement probable de l'électron sur l'orbite, c'est-à-dire que l'emplacement de l'électron peut être représenté par un « nuage » conventionnel. Lors de son mouvement, l'électron est comme « étalé » dans tout le volume de ce « nuage ». Les nombres quantiques n et l caractérisent la taille et la forme du « nuage » électronique et le nombre quantique ml caractérise l'orientation de ce « nuage » dans l'espace.

En 1925, les physiciens américains Uhlenbeck et Goudsmit ont prouvé que l'électron possède également son propre moment cinétique (spin), même si nous ne considérons pas l'électron comme une microparticule complexe. Plus tard, il s'est avéré que les protons, neutrons, photons et autres particules élémentaires avaient un spin

Les expériences de Stern, Gerlach et d'autres physiciens ont conduit à la nécessité de caractériser l'électron (et les microparticules en général) avec un degré de liberté interne supplémentaire. Ainsi, pour décrire complètement l'état d'un électron dans un atome, il est nécessaire de spécifier quatre nombres quantiques : le nombre principal - n, le nombre orbital - l, le nombre magnétique - ml, le nombre de spin magnétique - ms.

En physique quantique, il a été établi que la symétrie ou l'asymétrie des fonctions d'onde est déterminée par le spin de la particule. Selon la nature de la symétrie des particules, toutes les particules élémentaires, les atomes et les molécules construites à partir d'elles sont divisés en deux classes. Les particules à spin demi-entier (par exemple, les électrons, les protons, les neutrons) sont décrites par des fonctions d'onde asymétriques et obéissent aux statistiques de Fermi-Dirac. Ces particules sont appelées fermions. Les particules avec un spin entier, y compris un spin nul, comme un photon (Ls = 1) ou un n-méson (Ls = 0), sont décrites par des fonctions d'onde symétriques et obéissent aux statistiques de Bose-Einstein. Ces particules sont appelées bosons. Les particules complexes (par exemple, les noyaux atomiques) constituées d'un nombre impair de fermions sont également des fermions (le spin total est demi-entier), et celles constituées d'un nombre pair sont des bosons (le spin total est entier).

Si nous passons de la considération du mouvement d'une microparticule (un électron) aux systèmes multiélectroniques, des propriétés particulières apparaissent alors qui n'ont pas d'analogues dans la physique classique. Supposons qu'un système de mécanique quantique soit constitué de particules identiques, par exemple des électrons. Tous les électrons ont les mêmes propriétés physiques : masse, charge électrique, spin et autres caractéristiques internes (par exemple les nombres quantiques). De telles particules sont dites identiques.

Les propriétés nécessaires d'un système de particules identiques identiques se manifestent dans le principe fondamental de la mécanique quantique - le principe d'indiscernabilité des particules identiques, selon lequel il est impossible de distinguer expérimentalement des particules identiques.

En mécanique classique, même des particules identiques peuvent être distinguées par leur position dans l’espace et leur impulsion. Si les particules sont numérotées à un moment donné, la trajectoire de chacune d’entre elles peut être retracée aux moments suivants. Les particules classiques ont donc une individualité, de sorte que la mécanique classique des systèmes de particules identiques n'est pas fondamentalement différente de la mécanique classique des systèmes de particules différentes.

En mécanique quantique, la situation est différente. Il résulte de la relation d'incertitude que la notion de trajectoire est généralement inapplicable aux microparticules ; l'état d'une microparticule est décrit par une fonction d'onde, qui permet uniquement de calculer la probabilité de trouver une microparticule à proximité d'un point particulier de l'espace. Si les fonctions d'onde de deux particules identiques dans l'espace se chevauchent, alors parler de quelle particule se trouve dans une région donnée n'a aucun sens : nous pouvons seulement parler de la probabilité qu'une des particules identiques se trouve dans une région donnée. Ainsi, en mécanique quantique, les particules identiques perdent complètement leur individualité et deviennent indiscernables. Il convient de souligner que le principe d'indiscernabilité de particules identiques n'est pas simplement une conséquence d'une interprétation probable de la fonction d'onde, mais est introduit dans la mécanique quantique comme un principe nouveau ; comme indiqué plus haut, il est fondamental.

Compte tenu de la signification physique de la grandeur, le principe d'indiscernabilité des particules identiques peut s'écrire sous la forme suivante : , (8.1.1)

où et sont, respectivement, l'ensemble des coordonnées spatiales et de force des première et deuxième particules. De l'expression (8.1.1) il résulte que deux cas sont possibles :

ceux. le principe d'indiscernabilité des particules identiques conduit à une certaine propriété de symétrie de la fonction d'onde. Si, lorsque les particules changent de place, la fonction d’onde ne change pas de signe, alors elle est dite symétrique ; si c’est le cas, elle est dite antisymétrique. Un changement de signe de la fonction d'onde ne signifie pas un changement d'état, car Seul le module au carré de la fonction d’onde a une signification physique.

En mécanique quantique, il est prouvé que la nature de la symétrie de la fonction d’onde ne change pas avec le temps. Cela ne prouve pas que les propriétés de symétrie ou d’antisymétrie soient une caractéristique de ce type de microparticules.

Il a été établi que la symétrie ou l'antisymétrie des fonctions d'onde est déterminée par le spin des particules. Selon la nature de la symétrie, toutes les particules élémentaires et les systèmes construits à partir d'elles (atomes, molécules) sont divisés en deux classes : les particules à spin demi-entier (par exemple, les électrons, les neutrons et les protons) sont décrites par des fonctions d'onde antisymétriques et obéissez aux statistiques de Fermi-Dirac ; ces particules sont appelées fermions. Les particules à spin nul ou entier (par exemple, photons, mésons) sont décrites par des fonctions symétriques (onde) et obéissent aux statistiques de Bose-Einstein ; ces particules sont appelées bosons.

Les particules complexes (par exemple, les noyaux atomiques) constituées d'un nombre impair de fermions sont des fermions (le spin total est demi-entier), et celles constituées d'un nombre pair sont des bosons (le spin total est entier).

La dépendance de la nature de la symétrie des fonctions d'onde d'un système de particules identiques sur le spin des particules a été théoriquement justifiée par le physicien suisse W. Pauli, ce qui constitue une autre preuve que les spins sont une caractéristique fondamentale des microparticules.

Après avoir étudié les propriétés des éléments disposés selon une série de valeurs croissantes de leurs masses atomiques, le grand scientifique russe D.I. Mendeleïev en 1869 a dérivé la loi de périodicité :

les propriétés des éléments, et donc les propriétés des corps simples et complexes qu'ils forment, dépendent périodiquement de la grandeur des poids atomiques des éléments.

Selon cette loi, le changement des propriétés des éléments chimiques à mesure que leurs masses atomiques augmentent a un caractère périodique, c'est-à-dire après un certain nombre d'éléments (différents selon les périodes), les propriétés des éléments se répètent dans le même ordre, bien qu'avec quelques différences qualitatives et quantitatives. Mendeleev n'a violé l'ordre des éléments que dans trois cas : il a placé l'argon devant le potassium, le cobalt devant le nickel et le tellure devant l'iode. Cela était requis par la similitude des propriétés des éléments chimiques.

Une représentation graphique de la loi périodique est le tableau des éléments de D.I. Mendeleïev. Chaque élément qu'il contient possède un numéro de série. Dans le tableau, toute la série d'éléments est divisée en segments distincts, au sein desquels commencent et se terminent les cycles de changements périodiques de propriétés. Les segments verticaux sont appelés groupes et les segments horizontaux sont appelés périodes.

Les trois premières périodes, contenant 2, 8 et 8 éléments, sont appelées petites, les autres, contenant 18, 18 et 32 ​​éléments, sont appelées grandes. Les grandes périodes sont divisées en séries, tandis que les petites périodes coïncident avec les séries correspondantes.

Dans chaque groupe, les éléments de grandes périodes sont divisés en deux sous-groupes : principal et secondaire. Le sous-groupe principal comprend des éléments similaires, notamment des éléments de petites et grandes périodes. Le sous-groupe secondaire comprend des éléments similaires, ne comprenant que des éléments de grandes périodes. La valence maximale possible des éléments d'un groupe est égale au numéro du groupe. Bien que certains éléments ne présentent pas de valence maximale, par exemple l'oxygène, le fluor, le néon, en revanche, la valence de l'or, élément du sous-groupe secondaire du groupe I, peut dépasser un, elle atteint trois.

La découverte de la loi périodique a incité les physiciens à chercher son explication du point de vue de la théorie de la structure atomique, et vice versa. La loi périodique est devenue un moyen de tester la véracité des modèles proposés de structure atomique.

Sur la base de la découverte de l'électron par J. Thomson en 1897, le physicien anglais E. Rutherford a suggéré en 1911 que l'atome est constitué d'un noyau chargé positivement et d'électrons tournant autour de lui sur des orbites circulaires. Dans ce cas, la charge positive du noyau est neutralisée par la charge négative totale des électrons, ce qui rend l’atome dans son ensemble électriquement neutre. Rutherford a prouvé expérimentalement que la charge du noyau est numériquement égale au numéro atomique de l'élément dans le tableau périodique.

Ce n'est qu'alors qu'il a été possible d'expliquer la raison de la violation de l'ordre des éléments dans le tableau périodique (l'argon devant le potassium, le cobalt devant le nickel et le tellure devant l'iode). Les éléments répertoriés ont été disposés en fonction de l'évolution des charges de leurs noyaux. Ainsi, il s'est avéré que la principale grandeur dont dépendent les propriétés d'un élément est la charge du noyau. Cela conduit à la formulation moderne de la loi périodique de Mendeleïev :

Les propriétés des éléments chimiques, ainsi que les formes et propriétés des composés d'éléments, dépendent périodiquement de la charge de leurs noyaux.

En développant l'idée de de Broglie sur les propriétés ondulatoires de la matière, E. Schrödinger a reçu sa célèbre équation en 1926. Schrödinger a associé le mouvement d'une microparticule à une fonction complexe de coordonnées et de temps, qu'il a appelée fonction d'onde et désignée par la lettre grecque « psi » (). Nous l'appellerons la fonction psi.

La fonction psi caractérise l'état de la microparticule. La forme de la fonction est obtenue à partir de la solution de l’équation de Schrödinger, qui ressemble à ceci :

Voici la masse de la particule, i est l'unité imaginaire, est l'opérateur de Laplace dont le résultat de l'action sur une certaine fonction est la somme des dérivées partielles secondes par rapport aux coordonnées :

La lettre U dans l'équation (21.1) désigne la fonction des coordonnées et du temps dont le gradient, pris avec le signe opposé, détermine la force agissant sur la particule. Dans le cas où la fonction U ne dépend pas explicitement du temps, elle a le sens d'énergie potentielle de la particule.

De l'équation (21.1), il résulte que la forme de la fonction psi est déterminée par la fonction U, c'est-à-dire finalement par la nature des forces agissant sur la particule.

L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique non relativiste. Il ne peut pas être dérivé d'autres relations. Elle doit être considérée comme une hypothèse de base initiale, dont la validité est prouvée par le fait que toutes les conséquences qui en découlent sont en accord le plus précis avec les faits expérimentaux.

Schrödinger a établi son équation sur la base d'une analogie optique-mécanique. Cette analogie réside dans la similitude des équations qui décrivent le trajet des rayons lumineux avec les équations qui déterminent les trajectoires des particules en mécanique analytique. En optique, le trajet des rayons satisfait au principe de Fermat (voir § 115 du tome 2) ; en mécanique, le type de trajectoire satisfait au principe dit de moindre action.

Si le champ de force dans lequel la particule se déplace est stationnaire, alors la fonction V ne dépend pas explicitement du temps et, comme déjà noté, a la signification d'énergie potentielle. Dans ce cas, la solution de l'équation de Schrödinger se divise en deux facteurs, dont l'un dépend uniquement des coordonnées, l'autre uniquement du temps :

Ici E est l'énergie totale de la particule, qui dans le cas d'un champ stationnaire reste constante. Pour vérifier la validité de l'expression (21.3), substituons-la dans l'équation (21.1). On obtient alors la relation

En réduisant par un facteur commun on arrive à une équation différentielle définissant la fonction

L’équation (21.4) est appelée équation de Schrödinger pour les états stationnaires. Dans ce qui suit, nous traiterons uniquement de cette équation et par souci de concision nous l'appellerons simplement l'équation de Schrödinger. L'équation (21.4) s'écrit souvent sous la forme

Expliquons comment on peut arriver à l'équation de Schrödinger. Par souci de simplicité, nous nous limitons au cas unidimensionnel. Considérons une particule en mouvement libre.

Selon l'idée de de Broglie, elle doit être associée à une onde plane

(en mécanique quantique, il est d'usage de prendre l'exposant avec un signe moins). En remplaçant conformément à (18.1) et (18.2) par E et , on arrive à l'expression

En différenciant cette expression une fois par rapport à t, et une seconde fois deux fois par rapport à x, on obtient

En mécanique classique non relativiste, l'énergie E et l'impulsion d'une particule libre sont liées par la relation

En substituant les expressions (21.7) à E et dans cette relation puis en réduisant par , on obtient l'équation

ce qui coïncide avec l'équation (21.1), si dans cette dernière on met

Dans le cas d'une particule se déplaçant dans un champ de force caractérisé par l'énergie potentielle U, l'énergie E et l'impulsion sont liées par la relation

En étendant les expressions (21.7) pour E à ce cas, nous obtenons

En multipliant ce rapport par et en déplaçant le terme vers la gauche, on arrive à l'équation

coïncidant avec l’équation (21.1).

Le raisonnement exposé n’a aucune force probante et ne peut être considéré comme une dérivation de l’équation de Schrödinger. Leur objectif est d’expliquer comment cette équation a pu être obtenue.

En mécanique quantique, le concept joue rôle important... Un opérateur est une règle par laquelle une fonction (notons-la) est associée à une autre fonction (notons-la). Symboliquement, cela s'écrit ainsi :

Voici une désignation symbolique de l'opérateur (avec le même succès on pourrait prendre n'importe quelle autre lettre avec un « majuscule » au-dessus, par exemple, etc.). Dans la formule (21.2), le rôle de Q est joué par la fonction F, et le rôle de f est le membre droit de la formule.

Dans notre problème, la fonction U(x) a une forme particulière, discontinue : elle est égale à zéro entre les parois, et aux bords du puits (sur les parois) elle tourne vers l'infini :

Écrivons l'équation de Schrödinger pour les états stationnaires des particules en des points situés entre les parois :

ou, si l'on prend en compte la formule (1.1)

Il faut ajouter à l'équation (1.3) des conditions aux limites sur les parois de la fosse. Prenons en compte que la fonction d'onde est liée à la probabilité de trouver des particules. De plus, selon les conditions du problème, la particule ne peut pas être détectée à l'extérieur des murs. Alors la fonction d’onde sur les murs et au-delà doit disparaître, et les conditions aux limites du problème prennent la forme simple :

Commençons maintenant à résoudre l'équation (1.3). En particulier, on peut tenir compte du fait que sa solution est celle des ondes de Broglie. Mais une onde de Broglie en tant que solution ne s'applique clairement pas à notre problème, puisqu'elle décrit évidemment une particule libre « courant » dans une direction. Dans notre cas, la particule circule « d’avant en arrière » entre les parois. Dans ce cas, en se basant sur le principe de superposition, on peut essayer de représenter la solution souhaitée sous la forme de deux ondes de Broglie se dirigeant l'une vers l'autre avec des impulsions p et -p, c'est-à-dire sous la forme :

Les constantes et peuvent être trouvées à partir de l'une des conditions aux limites et des conditions de normalisation. Ce dernier dit que si vous additionnez toutes les probabilités, c'est-à-dire trouvez la probabilité de trouver un électron entre les parois en général (en tout lieu), vous en obtenez une (la probabilité d'un événement fiable est de 1), c'est-à-dire :

D’après la première condition aux limites on a :

Ainsi, nous obtenons la solution à notre problème :

Comme on le sait, . La solution trouvée peut donc être réécrite comme suit :

La constante A est déterminée à partir de la condition de normalisation. Mais elle ne présente pas ici un intérêt particulier. La deuxième condition aux limites est restée inutilisée. Quel résultat cela permet-il d’obtenir ? Appliquée à la solution trouvée (1.5), elle conduit à l’équation :

Nous en voyons que dans notre problème l'impulsion p ne peut prendre aucune valeur, mais seulement les valeurs

D’ailleurs, n ne peut pas être égal à zéro, puisque la fonction d’onde serait alors égale à zéro partout dans l’intervalle (0...l) ! Cela signifie que la particule entre les murs ne peut pas être au repos ! Il faut absolument qu'elle déménage. Les électrons de conduction dans le métal se trouvent dans des conditions similaires. La conclusion obtenue s'applique également à eux : les électrons d'un métal ne peuvent pas être stationnaires.

Le plus petit moment possible d’un électron en mouvement est

Nous avons indiqué que l'impulsion de l'électron change de signe lorsqu'il est réfléchi par les parois. Par conséquent, la question de savoir quelle est la quantité de mouvement d’un électron lorsqu’il est bloqué entre les parois ne peut pas trouver de réponse définitive : ni +p, ni -p. L'impulsion est incertaine. Son degré d'incertitude est évidemment déterminé comme suit : =p-(-p)=2p. L'incertitude de la coordonnée est égale à l ; si vous essayez de « capturer » un électron, il se trouvera entre les murs, mais on ne sait pas exactement où. Puisque la plus petite valeur de p est , on obtient :

Nous avons confirmé la relation de Heisenberg dans les conditions de notre problème, c'est-à-dire sous la condition que la plus petite valeur de p existe. Si l’on garde à l’esprit une valeur arbitraire possible de la quantité de mouvement, alors la relation d’incertitude prend la forme suivante :

Cela signifie que le postulat original d’incertitude de Heisenberg-Bohr ne fixe que la limite inférieure des incertitudes possibles lors des mesures. Si au début du mouvement le système était doté d'incertitudes minimes, elles peuvent alors se développer avec le temps.

Cependant, la formule (1.6) pointe également vers une autre conclusion extrêmement intéressante : il s’avère que la quantité de mouvement d’un système en mécanique quantique n’est pas toujours capable de changer de manière continue (comme c’est toujours le cas en mécanique classique). Le spectre de l'impulsion des particules dans notre exemple est discret ; l'impulsion des particules entre les parois ne peut changer que par sauts (quanta). L'ampleur du saut dans le problème considéré est constante et égale à .

En figue. 2. Le spectre des valeurs possibles de l'impulsion des particules est clairement représenté. Ainsi, le caractère discret des changements dans les grandeurs mécaniques, complètement étranger à la mécanique classique, en mécanique quantique découle de son appareil mathématique. À la question de savoir pourquoi l'impulsion change lors des sauts, il est impossible de trouver une réponse claire. Ce sont les lois de la mécanique quantique ; notre conclusion en découle logiquement – ​​c’est toute l’explication.

Passons maintenant à l'énergie de la particule. L'énergie est liée à l'élan par la formule (1). Si le spectre des impulsions est discret, il s'avère automatiquement que le spectre des valeurs d'énergie des particules entre les parois est discret. Et cela se retrouve de manière élémentaire. Si les valeurs possibles selon la formule (1.6) sont substituées dans la formule (1.1), on obtient :

où n = 1, 2,…, et est appelé un nombre quantique.

Nous avons donc les niveaux d’énergie.

Riz. La figure 3 représente la disposition des niveaux d'énergie correspondant aux conditions de notre problème. Il est clair que pour un autre problème, la disposition des niveaux d'énergie sera différente. Si la particule est chargée (par exemple, c'est un électron), alors, même si elle n'est pas au niveau d'énergie le plus bas, elle sera capable d'émettre spontanément de la lumière (sous forme de photon). Dans le même temps, il passera à un niveau d’énergie inférieur conformément à la condition :

Les fonctions d'onde pour chaque état stationnaire dans notre problème sont des sinusoïdes dont les valeurs nulles tombent nécessairement sur les parois. Deux de ces fonctions d'onde pour n = 1,2 sont représentées sur la Fig. 1.