Fonction d'onde et sa signification statistique. Condition de normalisation de la fonction d'onde

Comme on le sait, la tâche principale de la mécanique classique est de déterminer la position d'un macro-objet à tout moment. Pour ce faire, un système d'équations est compilé, dont la solution nous permet de connaître la dépendance du rayon vecteur au temps t. En mécanique classique, l'état d'une particule lors de son mouvement à chaque instant est donné par deux grandeurs : le rayon vecteur et la quantité de mouvement. Ainsi, la description classique du mouvement d'une particule est valable s'il se produit dans une région de taille caractéristique bien supérieure à la longueur d'onde de de Broglie. Sinon (par exemple, près du noyau d'un atome), les propriétés ondulatoires des microparticules doivent être prises en compte. L'applicabilité limitée de la description classique des micro-objets à propriétés ondulatoires est indiquée par les relations d'incertitude.

Compte tenu des propriétés ondulatoires d'une microparticule, son état en mécanique quantique est spécifié à l'aide d'une certaine fonction des coordonnées et du temps (x, y, z, t) , appelé vague ou alors - une fonction . En physique quantique est introduit fonction complexe décrivant l'état pur de l'objet, qui s'appelle la fonction d'onde. Dans l'interprétation la plus courante, cette fonction est liée à la probabilité de trouver un objet dans l'un des états purs (le carré du module de la fonction d'onde est la densité de probabilité).

Après avoir abandonné la description du mouvement d'une particule à l'aide de trajectoires obtenues à partir des lois de la dynamique, et ayant déterminé à la place la fonction d'onde, il faut introduire en considération une équation équivalente aux lois de Newton et donnant une recette pour trouver des solutions à des problèmes physiques particuliers. Une telle équation est l'équation de Schrödinger.

La théorie qui décrit le mouvement des petites particules, en tenant compte de leurs propriétés ondulatoires, est appelée quantum , ou alors mécanique ondulatoire. De nombreuses dispositions de cette théorie semblent étranges et inhabituelles du point de vue des idées qui se sont développées dans l'étude de la physique classique. Il ne faut jamais oublier que le critère de l'exactitude d'une théorie, aussi étrange qu'elle puisse paraître au premier abord, est la coïncidence de ses conséquences avec des données expérimentales. La mécanique quantique dans son domaine (la structure et les propriétés des atomes, des molécules et des noyaux partiellement atomiques) est parfaitement confirmée par l'expérience.

La fonction d'onde décrit l'état de la particule en tout point de l'espace et à tout moment dans le temps. Pour comprendre la signification physique de la fonction d'onde, tournons-nous vers des expériences sur la diffraction des électrons. (Expériences de Thomson et Tartakovsky sur la transmission d'électrons à travers une fine feuille de métal). Il s'avère que des motifs de diffraction clairs sont détectés même si des électrons uniques sont dirigés vers la cible, c'est-à-dire lorsque chaque électron suivant est émis après que le précédent ait atteint l'écran. Après un bombardement suffisamment long, l'image sur l'écran correspondra exactement à celle obtenue lorsqu'un grand nombre d'électrons sont dirigés simultanément vers la cible.

De cela, nous pouvons conclure que le mouvement de toute microparticule séparément, y compris le lieu de sa détection, obéit à des schémas statistiques (probabilistes), et lorsqu'un seul électron est dirigé vers la cible, le point sur l'écran où il sera fixé est de 100 % à l'avance Il est impossible de prévoir avec certitude.

Dans les expériences de diffraction de Thomson, un système d'anneaux concentriques sombres s'est formé sur une plaque photographique. Il est sûr de dire que la probabilité de détecter (frapper) chaque électron émis dans divers endroits les plaques photographiques ne sont pas les mêmes. Dans la région des anneaux concentriques sombres, cette probabilité est plus grande que dans le reste de l'écran. La distribution des électrons sur tout l'écran s'avère être la même que la distribution d'intensité onde électromagnétique dans une expérience de diffraction similaire : là où l'intensité de l'onde X est élevée, de nombreuses particules sont enregistrées dans l'expérience Thomson, et là où l'intensité est faible, presque aucune particule n'apparaît.

Du point de vue ondulatoire, la présence d'un nombre maximum d'électrons dans certaines directions signifie que ces directions correspondent à l'intensité la plus élevée de l'onde de de Broglie. Cela a servi de base à l'interprétation statistique (probabiliste) de l'onde de de Broglie. La fonction d'onde n'est qu'une expression mathématique qui permet de décrire la propagation de n'importe quelle onde dans l'espace. En particulier, la probabilité de trouver une particule dans une région donnée de l'espace est proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde associée à la particule.

Pour un mouvement unidimensionnel (par exemple, dans la direction de l'axe Bœuf) probabilité dP détection de particules entre points X et x + dxà l'époque t est égal à

dP = , (6.1)

où | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) est le carré du module de la fonction d'onde (le symbole * désigne une conjugaison complexe).

Dans le cas général, lorsqu'une particule se déplace dans un espace tridimensionnel, la probabilité dP détection d'une particule en un point avec des coordonnées (x, y, z) dans un volume infinitésimal dV est donné par une équation similaire :dp=|(x, y, z, t)|2dV. La première interprétation probabiliste de la fonction d'onde a été donnée par Born en 1926.

La probabilité de trouver une particule dans tout l'espace infini est égale à un. Cela implique la condition de normalisation pour la fonction d'onde :

. (6.2)

La valeur est densité de probabilité , ou, ce qui revient au même, la distribution de densité des coordonnées des particules. Dans le cas le plus simple du mouvement unidimensionnel d'une particule le long de l'axe BŒUF la valeur moyenne de sa coordonnée est calculée par la relation suivante :

<x(t)>= . (6.3)

Pour que la fonction d'onde soit une caractéristique objective de l'état d'une microparticule, elle doit satisfaire un certain nombre de conditions restrictives. La fonction Ψ, qui caractérise la probabilité de détecter une microparticule dans un élément de volume, doit être finie (la probabilité ne peut pas être supérieure à un), non ambiguë (la probabilité ne peut pas être une valeur ambiguë), continue (la probabilité ne peut pas changer brusquement) et lisse (sans plis) dans tout l'espace .

La fonction d'onde satisfait le principe de superposition : si le système peut être dans différents états décrits par les fonctions d'onde Ψ1, Ψ2, Ψ n, alors il peut être dans un état décrit par une combinaison linéaire de ces fonctions :

, (6.4)

où CN(n= 1, 2, 3) sont des nombres arbitraires, généralement parlant, complexes.

L'addition des fonctions d'onde (amplitudes de probabilité déterminées par les carrés des modules des fonctions d'onde) distingue fondamentalement la théorie quantique de la théorie statistique classique, dans laquelle le théorème d'addition de probabilité est valable pour des événements indépendants.

La fonction d'onde Ψ est la principale caractéristique de l'état des micro-objets.

Par exemple, la distance moyenne<r> l'électron d'un noyau est calculé par la formule :

où les calculs sont effectués comme dans le cas (6.3). Ainsi, dans les expériences de diffraction, il est impossible de prédire avec précision à quel endroit de l'écran tel ou tel électron sera fixé, même si sa fonction d'onde est connue à l'avance. On ne peut supposer qu'avec une certaine probabilité que l'électron sera fixé à un certain endroit. C'est la différence entre le comportement des objets quantiques et les classiques. En mécanique classique, lors de la description du mouvement des macrocorps, nous savions à l'avance avec 100% de probabilité où dans l'espace le point matériel(par exemple, station spatiale) n'importe quand.

De Broglie a utilisé le concept d'ondes de phase (ondes de matière ou ondes de Broglie) pour une interprétation visuelle de la règle de quantification des orbites d'un électron dans un atome selon Bohr dans le cas d'un atome à un électron. Il a considéré une onde de phase voyageant autour du noyau dans une orbite circulaire d'un électron. Si un nombre entier de ces ondes rentre dans la longueur de l'orbite, alors l'onde, en faisant le tour du noyau, reviendra à chaque fois au point de départ avec la même phase et la même amplitude. Dans ce cas, l'orbite devient stationnaire et aucun rayonnement ne se produit. De Broglie a écrit la condition de stationnarité de l'orbite ou la règle de quantification sous la forme :

où R est le rayon de l'orbite circulaire, P- entier (nombre quantique principal). Mettre ici et étant donné que L=RP est le moment cinétique de l'électron, on obtient :

qui coïncide avec la règle de quantification des orbites des électrons dans l'atome d'hydrogène selon Bohr.

Plus tard, la condition (6.5) a également été généralisée au cas des orbites elliptiques, lorsque la longueur d'onde varie le long de la trajectoire de l'électron. Cependant, dans le raisonnement de de Broglie, on supposait que l'onde ne se propageait pas dans l'espace, mais le long d'une ligne - le long de l'orbite stationnaire d'un électron. Cette approximation peut être utilisée dans le cas limite où la longueur d'onde est négligeable devant le rayon de l'orbite électronique.

Les postulats de Bohr

Le modèle planétaire de l'atome a permis d'expliquer les résultats des expériences sur la diffusion des particules alpha de la matière, mais des difficultés fondamentales sont apparues pour justifier la stabilité des atomes.
La première tentative de construction d'une théorie qualitativement nouvelle - quantique - de l'atome a été faite en 1913 par Niels Bohr. Il s'est fixé pour objectif de relier en un seul ensemble les régularités empiriques des spectres de raies, le modèle nucléaire de l'atome de Rutherford et la nature quantique de l'émission et de l'absorption de la lumière. Bohr a basé sa théorie sur le modèle nucléaire de Rutherford. Il a suggéré que les électrons se déplacent autour du noyau sur des orbites circulaires. Le mouvement circulaire, même à vitesse constante, a une accélération. Un tel mouvement de charge accéléré équivaut à courant alternatif, qui crée un champ électromagnétique alternatif dans l'espace. L'énergie est consommée pour créer ce champ. L'énergie de champ peut être créée en raison de l'énergie de l'interaction coulombienne d'un électron avec un noyau. En conséquence, l'électron doit se déplacer en spirale et tomber sur le noyau. Cependant, l'expérience montre que les atomes sont des formations très stables. Cela implique la conclusion que les résultats de l'électrodynamique classique basés sur les équations de Maxwell ne sont pas applicables aux processus intra-atomiques. De nouveaux modèles doivent être trouvés. Bohr a fondé sa théorie de l'atome sur les postulats suivants.
Premier postulat de Bohr (postulat des états stationnaires) : dans un atome, il existe des états stationnaires (qui ne changent pas avec le temps) dans lesquels il ne rayonne pas d'énergie. Les états stationnaires d'un atome correspondent à des orbites stationnaires le long desquelles les électrons se déplacent. Le mouvement des électrons en orbite stationnaire ne s'accompagne pas d'émission d'ondes électromagnétiques.
Ce postulat est en contradiction avec théorie classique. Dans l'état stationnaire d'un atome, un électron se déplaçant le long d'une orbite circulaire doit avoir des valeurs quantiques discrètes du moment cinétique.
Deuxième postulat de Bohr (règle de fréquence): lorsqu'un électron se déplace d'une orbite stationnaire à une autre, un photon avec de l'énergie est émis (absorbé)

égale à la différence d'énergie des états stationnaires correspondants (En et Em sont respectivement les énergies des états stationnaires de l'atome avant et après émission/absorption).
La transition d'un électron d'un numéro d'orbite stationnaire m à un numéro d'orbite stationnaire n correspond à la transition d'un atome d'un état d'énergie Em dans un état d'énergie En (Fig. 4.1).

Riz. 4.1. A l'explication des postulats de Bohr

Lorsque En > Em, un photon est émis (le passage d'un atome d'un état d'énergie plus élevée à un état d'énergie plus faible, c'est-à-dire le passage d'un électron d'une orbite plus éloignée du noyau à une plus proche) , à En< Еm – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е, переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот

transitions quantiques et détermine le spectre de raies de l'atome.
La théorie de Bohr a brillamment expliqué le spectre de raies de l'hydrogène observé expérimentalement.
Les progrès de la théorie de l'atome d'hydrogène ont été obtenus au prix de l'abandon des principes fondamentaux de la mécanique classique, qui sont restés inconditionnellement valables pendant plus de 200 ans. ainsi grande importance avait une preuve expérimentale directe de la validité des postulats de Bohr, en particulier le premier - sur l'existence d'états stationnaires. Le deuxième postulat peut être considéré comme une conséquence de la loi de conservation de l'énergie et de l'hypothèse de l'existence des photons.
Les physiciens allemands D. Frank et G. Hertz, étudiant la collision d'électrons avec des atomes de gaz par la méthode du potentiel retardateur (1913), ont confirmé expérimentalement l'existence d'états stationnaires et la discrétion des valeurs d'énergie des atomes.
Malgré le succès incontestable du concept de Bohr par rapport à l'atome d'hydrogène, pour lequel il s'est avéré possible de construire une théorie quantitative du spectre, il n'a pas été possible de créer une théorie similaire pour l'atome d'hélium suivant l'hydrogène sur la base de Les idées de Bohr. En ce qui concerne l'atome d'hélium et les atomes plus complexes, la théorie de Bohr n'a permis de tirer que des conclusions qualitatives (bien que très importantes). L'idée de certaines orbites le long desquelles un électron se déplace dans un atome de Bohr s'est avérée très arbitraire. En fait, le mouvement des électrons dans un atome a peu de choses à voir avec le mouvement des planètes en orbite.
Utilise actuellement mécanique quantique il est possible de répondre à de nombreuses questions concernant la structure et les propriétés des atomes de tous les éléments.

5. les principales dispositions de la mécanique quantique :

Fonction d'onde et sa signification physique.

Il ressort du contenu des deux paragraphes précédents qu'un processus ondulatoire est associé à une microparticule, ce qui correspond à son mouvement, par conséquent, l'état d'une particule en mécanique quantique est décrit fonction d'onde, qui dépend des coordonnées et du temps y(x,y,z,t). type spécifique y-la fonction est déterminée par l'état de la particule, la nature des forces agissant sur elle. Si le champ de force agissant sur la particule est stationnaire, c'est-à-dire indépendant du temps, alors y-fonction peut être représentée comme un produit de deux facteurs, dont l'un dépend du temps et l'autre des coordonnées :

Dans ce qui suit, nous ne considérerons que états stationnaires. La fonction y est une caractéristique probabiliste de l'état de la particule. Pour expliquer cela, attribuons mentalement un volume suffisamment petit , dans lequel les valeurs de la fonction y seront considérées comme identiques. Alors la probabilité de trouver dW particule dans un volume donné lui est proportionnelle et dépend du carré du module de la fonction y (le carré du module de l'amplitude des ondes de de Broglie) :

Cela implique la signification physique de la fonction d'onde :

Le carré du module de la fonction d'onde a la signification d'une densité de probabilité, c'est-à-dire détermine la probabilité de trouver une particule dans une unité de volume au voisinage d'un point de coordonnées x, y, z.

En intégrant l'expression (3.2) sur le volume, on détermine la probabilité de trouver une particule dans ce volume dans les conditions d'un champ stationnaire :

Si la particule est connue pour être dans le volume V, puis l'intégrale d'expression (3.4), prise sur le volume V, doit être égal à un :

– condition de normalisation pour la fonction y.

Pour que la fonction d'onde soit une caractéristique objective de l'état des microparticules, il faut qu'elle soit définitif, sans ambiguïté, continu, puisque la probabilité ne peut pas être supérieure à un, ne peut pas être une valeur ambiguë et ne peut pas changer par sauts. Ainsi, l'état d'une microparticule est complètement déterminé par la fonction d'onde. Une particule peut être trouvée à n'importe quel point de l'espace où la fonction d'onde est non nulle.

Observable quantique fonction d'onde· Superposition quantique · Intrication quantique · État mixte · Mesure · Incertitude · Principe de Pauli · Dualisme · Décohérence · Théorème d'Ehrenfest · Effet tunnel

Expériences
Expérience de Davisson-Germer Expérience de Popper Expérience de Stern-Gerlach Expérience de Young Vérification des inégalités de Bell Effet photoélectrique Effet Compton

Formulation
Représentation de Schrödinger Représentation de Heisenberg Représentation de l'interaction Mécanique quantique matricielle Intégrales de chemin Diagrammes de Feynman

Équations
Équation de Schrödinger Équation de Pauli Équation de Klein-Gordon Équation de Dirac Équation de Schwinger-Tomonaga Équation de Von Neumann Équation de Bloch Équation de Lindblad Équation de Heisenberg

Interprétations
Théorie des variables cachées de Copenhague Théorie de plusieurs mondes De Broglie-Bohm

Développement de la théorie
Théorie quantique des champs Électrodynamique quantique Théorie de Glashow-Weinberg-Salam Chromodynamique quantique Modèle standard Gravité quantique

Scientifiques notables
Planck Einstein Schrödinger Heisenberg Jordan Bohr Pauli Dirac Fock Né de Broglie Landau Feynman Bohm Everett

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fonction d'onde, ou alors fonction psi $\psi$ est une fonction à valeurs complexes, utilisée en mécanique quantique pour décrire l'état pur d'un système. C'est le coefficient d'expansion du vecteur d'état en fonction de la base (généralement la coordonnée):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

où $\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle$ est le vecteur de base des coordonnées, et $\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle$ - fonction d'onde en représentation coordonnée.

Normalisation de la fonction d'onde

fonction d'onde $\psi$ dans son sens doit satisfaire la condition dite de normalisation, par exemple, dans la représentation coordonnée ayant la forme :

$(\int\limits_(V)(\Psi^\ast\Psi)dV)=1$

Cette condition exprime le fait que la probabilité de trouver une particule avec une fonction d'onde donnée n'importe où dans l'espace est de un. Dans le cas général, l'intégration doit être effectuée sur toutes les variables dont dépend la fonction d'onde dans une représentation donnée.

Principe de superposition des états quantiques

Pour les fonctions d'onde, le principe de superposition est valable, qui consiste dans le fait que si le système peut être dans des états décrits par des fonctions d'onde $\Psi_1$ et $\Psi_2$ , alors il peut aussi être dans l'état décrit par la fonction d'onde

$\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ pour tout complexe $c_1$ et $c_2$ .

Évidemment, on peut aussi parler de la superposition (superposition) d'un nombre quelconque d'états quantiques, c'est-à-dire de l'existence d'un état quantique du système, qui est décrit par la fonction d'onde $\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + (c)_N(\Psi)_N=\sum_(n=1)^(N) (c)_n(\Psi)_n$ .

Dans cet état, le carré du module du coefficient $(c)_n$ détermine la probabilité que, lors de la mesure, le système se retrouve dans l'état décrit par la fonction d'onde $(\Psi)_n$ .

Par conséquent, pour les fonctions d'onde normalisées $\sum_(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^2=1$ .

Conditions de régularité de la fonction d'onde

La signification probabiliste de la fonction d'onde impose certaines restrictions, ou conditions, sur les fonctions d'onde dans les problèmes de mécanique quantique. Celles-ci conditions standards appelle souvent conditions de régularité de la fonction d'onde.

Condition de finitude de la fonction d'onde. La fonction d'onde ne peut prendre des valeurs infinies telles que l'intégrale $(1)$ deviendront divergentes. Par conséquent, cette condition nécessite que la fonction d'onde soit une fonction de carré intégrable, c'est-à-dire appartienne à l'espace de Hilbert $L^2$ . En particulier, dans les problèmes avec une fonction d'onde normalisée, le module au carré de la fonction d'onde doit tendre vers zéro à l'infini.
La condition d'unicité de la fonction d'onde. La fonction d'onde doit être une fonction non ambiguë des coordonnées et du temps, puisque la densité de probabilité de détection de particules doit être déterminée de manière unique dans chaque problème. Dans les problèmes utilisant un repère cylindrique ou sphérique, la condition d'unicité conduit à la périodicité des fonctions d'onde dans les variables angulaires.
Condition de continuité de la fonction d'onde. A tout moment, la fonction d'onde doit être fonction continue coordonnées spatiales. De plus, les dérivées partielles de la fonction d'onde doivent également être continues $\frac(\partial \Psi)(\partial x)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial y)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial z)$ . Ces dérivées partielles de fonctions ne sont que dans de rares cas de problèmes avec idéalisé champs de force peut tolérer une rupture aux points de l'espace où énergie potentielle, qui décrit le champ de force dans lequel se déplace la particule, subit une discontinuité de seconde espèce .

Fonction d'onde dans diverses représentations

L'ensemble des coordonnées qui servent d'arguments à la fonction est un système complet d'observables commutant. En mécanique quantique, il est possible de choisir plusieurs ensembles complets d'observables, ainsi la fonction d'onde d'un même état peut être écrite à partir d'arguments différents. L'ensemble complet des grandeurs choisies pour l'enregistrement de la fonction d'onde détermine représentation de la fonction d'onde. Ainsi, la représentation des coordonnées, la représentation de l'impulsion sont possibles ; dans la théorie quantique des champs, la seconde quantification et la représentation des nombres d'occupation ou la représentation de Fock sont utilisées, etc.

Si la fonction d'onde, par exemple, d'un électron dans un atome, est donnée dans la représentation des coordonnées, alors le carré du module de la fonction d'onde est la densité de probabilité de trouver un électron en un point particulier de l'espace. Si la même fonction d'onde est donnée dans la représentation de l'impulsion, alors le carré de son module est la densité de probabilité de détecter l'une ou l'autre impulsion.

Formulation matricielle et vectorielle

La fonction d'onde du même état dans différentes représentations - correspondra à l'expression du même vecteur dans différents systèmes coordonnées. D'autres opérations avec des fonctions d'onde auront également des analogues dans le langage des vecteurs. En mécanique ondulatoire, une représentation est utilisée, où les arguments de la fonction psi sont système complet continu commutant les observables, tandis que la matrice utilise une représentation où les arguments de la fonction psi sont le système complet discret observables commutables. Par conséquent, les formulations fonctionnelle (onde) et matricielle sont évidemment mathématiquement équivalentes.

Signification philosophique de la fonction d'onde

La fonction d'onde est une méthode pour décrire l'état pur d'un système mécanique quantique. Les états quantiques mixtes (en statistique quantique) doivent être décrits par un opérateur de type matrice de densité. Autrement dit, une certaine fonction généralisée de deux arguments devrait décrire la corrélation de trouver une particule en deux points.

Il faut comprendre que le problème que résout la mécanique quantique est le problème de l'essence même de la méthode scientifique de connaissance du monde.

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Littérature

Physique Dictionnaire encyclopédique/Ch. éd. A. M. Prokhorov. Éd. compter D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov et autres - M.: Sov. Encyclopédie, 1984. - 944 p.

Liens

Mécanique quantique- article de la Grande Encyclopédie soviétique.

Cette lettre n'avait pas encore été remise au souverain, lorsque Barclay fit savoir à Bolkonsky au dîner que le souverain souhaitait personnellement voir le prince Andrei afin de l'interroger sur la Turquie, et que le prince Andrei devait se présenter à l'appartement de Benigsen à six heures. dans la soirée.
Le même jour, des nouvelles sont reçues dans l'appartement du souverain sur le nouveau mouvement de Napoléon, qui pourrait être dangereux pour l'armée - des nouvelles qui se sont révélées plus tard injustes. Et le matin même, le colonel Michaud, faisant le tour des fortifications de Dris avec le souverain, prouva au souverain que ce camp fortifié, aménagé par Pfuel et considéré jusqu'ici comme le chef d'œuvre de la tactique, censé anéantir Napoléon - que ce camp est un non-sens et la mort de l'armée russe.
Le prince Andrei arriva à l'appartement du général Benigsen, qui occupait une petite maison de propriétaire terrien sur la rive même du fleuve. Ni Bennigsen ni le souverain n'étaient là, mais Chernyshev, l'aile adjudant du souverain, reçut Bolkonsky et lui annonça que le souverain était allé avec le général Benigsen et avec le marquis Pauluchi une autre fois ce jour-là pour contourner les fortifications du camp de Drissa, la commodité de ce qui commençait à être fortement mis en doute.
Chernyshev était assis avec un livre d'un roman français près de la fenêtre de la première pièce. Cette pièce était probablement autrefois une salle; il y avait encore un orgue, sur lequel étaient empilés des espèces de tapis, et dans un coin se dressait le lit pliant de l'adjudant Benigsen. Cet adjudant était ici. Lui, apparemment épuisé par un festin ou une affaire, s'est assis sur un lit plié et s'est assoupi. Deux portes partaient du hall : l'une directement dans l'ancien salon, l'autre à droite dans le bureau. Dès la première porte, des voix parlaient allemand et parfois français. Là, dans l'ancien salon, à la demande du souverain, non pas un conseil militaire était réuni (le souverain aimait l'incertitude), mais quelques personnes dont il voulait connaître l'avis sur les difficultés à venir. Ce n'était pas un conseil militaire, mais, pour ainsi dire, un conseil d'élus pour clarifier certaines questions personnellement pour le souverain. Ont été invités à ce demi-conseil : le général suédois Armfeld, l'adjudant général Wolzogen, Winzingerode, que Napoléon appelait un sujet français fugitif, Michaud, Tol, pas un militaire du tout - le comte Stein et, enfin, Pfuel lui-même, qui , comme le prince Andrei l'a entendu, était la cheville ouvrière [la base] de toute l'affaire. Le prince Andrei a eu l'occasion de bien l'examiner, puisque Pfuel est arrivé peu de temps après lui et est entré dans le salon, s'arrêtant une minute pour parler avec Chernyshev.
Pfuel à première vue, dans son uniforme mal taillé de général russe, qui était assis maladroitement, comme s'il était habillé, semblait familier au prince Andrei, bien qu'il ne l'ait jamais vu. Il comprenait Weyrother, et Mack, et Schmidt, et de nombreux autres théoriciens allemands des généraux, que le prince Andrei réussit à voir en 1805 ; mais il était plus typique que tous. Le prince Andrey n'avait jamais vu un tel théoricien allemand, qui réunissait en lui tout ce qu'il y avait chez ces Allemands.
Pful était petit, très mince, mais aux os larges, grossier, sain, avec un bassin large et des omoplates osseuses. Son visage était très ridé, avec des yeux enfoncés. Ses cheveux devant au niveau des tempes, évidemment, ont été lissés à la hâte avec une brosse, derrière des glands naïvement collés. Lui, regardant autour de lui avec inquiétude et colère, entra dans la pièce, comme s'il avait peur de tout dans la grande pièce dans laquelle il était entré. Tenant son épée d'un mouvement maladroit, il se tourna vers Chernyshev, demandant en allemand où était le souverain. Il voulait évidemment parcourir les salles au plus vite, achever les révérences et les salutations, et s'asseoir pour travailler devant la carte, où il se sentait à sa place. Il hocha rapidement la tête aux paroles de Chernyshev et sourit ironiquement, écoutant ses paroles selon lesquelles le souverain inspectait les fortifications que lui, Pfuel lui-même, avait posées selon sa théorie. Il était bassiste et cool, comme disent les Allemands sûrs d'eux-mêmes, marmonnant pour lui-même: Dummkopf ... ou: zu Grunde die ganze Geschichte ... ou: s "wird was gescheites d" raus werden ... [non-sens ... au diable le tout ... (allemand) ] Le prince Andrei n'a pas entendu et a voulu passer, mais Chernyshev a présenté le prince Andrei à Pful, notant que le prince Andrei était venu de Turquie, où la guerre s'était si bien terminée. Pfuel jeta presque un coup d'œil non pas tant au prince Andrei qu'à travers lui, et dit en riant : « Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein. ["Cela devait être la bonne guerre tactique." (Allemand)] - Et, riant avec mépris, il entra dans la pièce d'où se firent entendre des voix.
Evidemment, Pfuel, toujours prêt à l'irritabilité ironique, était surtout agité aujourd'hui par le fait qu'on ait osé inspecter son camp sans lui et le juger. Le prince Andrei, de cette seule courte rencontre avec Pfuel, grâce à ses souvenirs d'Austerlitz, a dressé une claire caractérisation de cet homme. Pfuel faisait partie de ces personnes désespérément, invariablement, jusqu'au martyre, sûres d'elles-mêmes que seuls les Allemands sont, et précisément parce que seuls les Allemands ont confiance en eux sur la base d'une idée abstraite - la science, c'est-à-dire une connaissance imaginaire de vérité parfaite. Le Français a confiance en lui parce qu'il se considère personnellement, à la fois dans son esprit et dans son corps, irrésistiblement charmant pour les hommes et les femmes. Un Anglais a confiance en lui parce qu'il est citoyen de l'État le plus confortable du monde et, par conséquent, en tant qu'Anglais, il sait toujours ce qu'il doit faire et sait que tout ce qu'il fait en tant qu'Anglais est sans aucun doute bon. L'Italien a confiance en lui car il est agité et s'oublie facilement et oublie les autres. Le Russe a confiance en lui précisément parce qu'il ne sait rien et ne veut pas savoir, parce qu'il ne croit pas qu'il soit possible de tout savoir. L'Allemand est sûr de lui pire que tout le monde, et plus dur que tout le monde, et plus repoussant que tout le monde, parce qu'il s'imagine connaître la vérité, une science qu'il a lui-même inventée, mais qui pour lui est la vérité absolue. Tel était évidemment Pfuel. Il avait une science - la théorie du mouvement oblique, qu'il tirait de l'histoire des guerres de Frédéric le Grand, et tout ce qu'il rencontrait dans histoire récente guerres de Frédéric le Grand, et tout ce qu'il a rencontré dans les dernières histoire militaire, lui semblaient un non-sens, la barbarie, un vilain affrontement dans lequel tant d'erreurs ont été commises des deux côtés que ces guerres ne pouvaient pas être appelées des guerres : elles ne correspondaient pas à la théorie et ne pouvaient pas servir de sujet à la science.
En 1806, Pfuel fut l'un des rédacteurs du plan de guerre qui se termina à Iéna et Auerstet ; mais dans l'issue de cette guerre, il n'a pas vu la moindre preuve de l'inexactitude de sa théorie. Au contraire, les déviations faites à sa théorie, selon ses concepts, étaient La seule raison tout le malheur, et avec son ironie joyeuse caractéristique, il dit : « Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird. [Après tout, j'ai dit que tout irait en enfer (allemand)] Pfuel était l'un de ces théoriciens qui aiment tellement leur théorie qu'ils en oublient le but de la théorie - son application à la pratique ; épris de théorie, il détestait toute pratique et ne voulait pas la connaître. Il se réjouit même de son échec, car l'échec, qui vient de l'écart de la pratique par rapport à la théorie, ne lui prouve que la validité de sa théorie.
Il a dit quelques mots avec le prince Andrei et Chernyshev à propos de vraie guerre avec l'expression d'un homme qui sait d'avance que tout ira mal et qu'il n'en est même pas mécontent. Les mèches de cheveux non peignées qui ressortaient à l'arrière de la tête et les tempes lissées à la hâte le confirmaient avec une éloquence particulière.
Il est allé dans une autre pièce, et les sons graves et grommelants de sa voix ont été immédiatement entendus de là.

Avant que le prince Andrei ait eu le temps de suivre Pfuel des yeux, le comte Benigsen entra précipitamment dans la pièce et, faisant un signe de tête à Bolkonsky, sans s'arrêter, entra dans le bureau, donnant quelques ordres à son adjudant. Le souverain le suivit et Bennigsen se précipita pour préparer quelque chose et rencontrer le souverain à temps. Chernyshev et le prince Andrei sont sortis sur le porche. Le souverain à l'air fatigué descendit de son cheval. Le marquis Pauluchi dit quelque chose au souverain. Le souverain, inclinant la tête vers la gauche, écoutait d'un air malheureux Paulucci, qui parlait avec une ferveur particulière. L'empereur s'avança, voulant apparemment mettre fin à la conversation, mais l'Italien rouge et agité, oubliant la décence, le suivit, continuant à dire :
- Quant à celui qui a conseillé ce camp, le camp de Drissa, [Quant à celui qui a conseillé le camp de Drissa,] - dit Pauluchi, tandis que le souverain, entrant dans les marches et remarquant le prince Andrei, regarda un visage inconnu.

La découverte des propriétés ondulatoires des microparticules a indiqué que la mécanique classique ne peut pas donner descriptif correct comportement de telles particules. Théorie couvrant toutes les propriétés particules élémentaires, doivent tenir compte non seulement de leurs propriétés corpusculaires, mais aussi des propriétés ondulatoires. Des expériences envisagées précédemment, il ressort qu'un faisceau de particules élémentaires a les propriétés d'une onde plane se propageant dans le sens de la vitesse des particules. Dans le cas d'une propagation le long de l'axe, ce processus ondulatoire peut être décrit par l'équation d'onde de de Broglie (7.43.5) :

(7.44.1)

où est l'énergie et est la quantité de mouvement de la particule. Lors de la propagation dans une direction arbitraire :

(7.44.2)

Appelons la fonction une fonction d'onde et découvrons sa signification physique en comparant la diffraction des ondes lumineuses et des microparticules.

Selon les idées d'onde sur la nature de la lumière, l'intensité du motif de diffraction est proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde lumineuse. Selon les idées théorie des photons, l'intensité est déterminée par le nombre de photons tombant en un point donné du diagramme de diffraction. Par conséquent, le nombre de photons en un point donné du diagramme de diffraction est donné par le carré de l'amplitude de l'onde lumineuse, tandis que pour un seul photon, le carré de l'amplitude détermine la probabilité qu'un photon frappe un point particulier.

Le diagramme de diffraction observé pour les microparticules est également caractérisé par une répartition inégale des flux de microparticules. La présence de maxima dans le diagramme de diffraction du point de vue de la théorie des ondes signifie que ces directions correspondent à l'intensité la plus élevée des ondes de Broglie. L'intensité est plus grande là où plus de nombre particules. Ainsi, le diagramme de diffraction des microparticules est une manifestation d'une régularité statistique, et nous pouvons dire que la connaissance de la forme d'onde de de Broglie, c'est-à-dire Ψ -fonctions, permet de juger de la probabilité de l'un ou l'autre des processus possibles.

Ainsi, en mécanique quantique, l'état des microparticules est décrit d'une manière fondamentalement nouvelle - à l'aide de la fonction d'onde, qui est le principal vecteur d'informations sur leurs propriétés corpusculaires et ondulatoires. La probabilité de trouver une particule dans un élément de volume est

(7.44.3)

Évaluer

(7.44.4)

a le sens d'une densité de probabilité, c'est-à-dire détermine la probabilité de trouver une particule dans une unité de volume dans un voisinage point donné. Ainsi, ce n'est pas la fonction elle-même qui a une signification physique, mais le carré de son module , qui fixe l'intensité des ondes de de Broglie. La probabilité de trouver une particule à la fois dans un volume fini , selon le théorème d'addition de probabilité, est égale à

(7.44.5)

Puisque la particule existe, elle se trouve nécessairement quelque part dans l'espace. La probabilité d'un certain événement est égale à un, alors

. (7.44.6)

L'expression (7.44.6) est appelée condition de normalisation de probabilité. La fonction d'onde caractérisant la probabilité de détecter l'action d'une microparticule dans un élément de volume doit être finie (la probabilité ne peut pas être supérieure à un), non ambiguë (la probabilité ne peut pas être une valeur ambiguë) et continue (la probabilité ne peut pas changer brusquement).

fonction d'onde, ou alors fonction psi ψ (\displaystyle\psi ) est une fonction à valeurs complexes utilisée en mécanique quantique pour décrire un état pur d'un système . C'est le coefficient d'expansion du vecteur d'état en fonction de la base (généralement la coordonnée):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ ré x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

où | x ⟩ = | X 1 , X 2 , … , X n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) est le vecteur de base des coordonnées, et Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )- fonction d'onde en représentation coordonnée.

Normalisation de la fonction d'onde

fonction d'onde Ψ (\displaystyle\psi ) dans son sens doit satisfaire la condition dite de normalisation, par exemple, dans la représentation coordonnée ayant la forme :

∫ V Ψ ∗ Ψ ré V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

Principe de superposition des états quantiques

Pour les fonctions d'onde, le principe de superposition est valable, qui consiste dans le fait que si le système peut être dans des états décrits par des fonctions d'onde Ψ 1 (\displaystyle\Psi _(1)) et Ψ 2 (\displaystyle\Psi _(2)), alors il peut aussi être dans l'état décrit par la fonction d'onde

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) pour tout complexe c 1 (\displaystyle c_(1)) et c 2 (\displaystyle c_(2)).

Évidemment, on peut aussi parler de la superposition (addition) d'un nombre quelconque d'états quantiques, c'est-à-dire de l'existence d'un état quantique du système, qui est décrit par la fonction d'onde Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\sum _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

Dans cet état, le carré du module du coefficient c n (\displaystyle (c)_(n)) détermine la probabilité que, lors de la mesure, le système se retrouve dans l'état décrit par la fonction d'onde Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Par conséquent, pour les fonctions d'onde normalisées ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle\sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1).

Conditions de régularité de la fonction d'onde

La signification probabiliste de la fonction d'onde impose certaines restrictions, ou conditions, sur les fonctions d'onde dans les problèmes de mécanique quantique. Ces conditions standard sont souvent appelées conditions de régularité de la fonction d'onde.

Fonction d'onde dans diverses représentationsétats utilisés dans différentes représentations - correspondront à l'expression du même vecteur dans différents systèmes de coordonnées. D'autres opérations avec des fonctions d'onde auront également des analogues dans le langage des vecteurs. En mécanique ondulatoire, une représentation est utilisée, où les arguments de la fonction psi sont le système complet continu commutant les observables, tandis que la matrice utilise une représentation où les arguments de la fonction psi sont le système complet discret observables commutables. Par conséquent, les formulations fonctionnelle (onde) et matricielle sont évidemment mathématiquement équivalentes.