Règles de division des fractions. Multiplier et diviser des fractions

Vous pouvez tout faire avec les fractions, y compris la division. Cet article montre la division des fractions ordinaires. Des définitions seront données et des exemples seront discutés. Arrêtons-nous en détail sur la division de fractions par des nombres naturels et vice versa. La division d'une fraction commune par un nombre fractionnaire sera discutée.

Diviser des fractions

La division est l'inverse de la multiplication. Lors de la division, l'inconnue se retrouve avec le produit connu d'un autre facteur, où sa signification donnée est préservée avec les fractions ordinaires.

S'il est nécessaire de diviser une fraction commune a b par c d, alors pour déterminer un tel nombre, vous devez multiplier par le diviseur c d, cela donnera finalement le dividende a b. Prenons un nombre et écrivons-le a b · d c , où d c est l'inverse du nombre c d. Les égalités peuvent être écrites en utilisant les propriétés de la multiplication, à savoir : a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, où l'expression a b · d c est le quotient de la division de a b par c d.

De là, nous obtenons et formulons la règle de division des fractions ordinaires :

Définition 1

Pour diviser une fraction commune a b par c d, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

Écrivons la règle sous la forme d'une expression : a b : c d = a b · d c

Les règles de division se résument à la multiplication. Pour vous y tenir, vous devez avoir une bonne compréhension de la multiplication des fractions.

Passons à la division des fractions ordinaires.

Exemple 1

Divisez 9 7 par 5 3. Écrivez le résultat sous forme de fraction.

Solution

Le nombre 5 3 est la fraction réciproque 3 5. Il est nécessaire d'utiliser la règle de division des fractions ordinaires. On écrit cette expression comme suit : 9 7 : 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Répondre: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Lors de la réduction de fractions, séparez la partie entière si le numérateur est supérieur au dénominateur.

Exemple 2

Divisez 8 15 : 24 65. Écrivez la réponse sous forme de fraction.

Solution

Pour résoudre, vous devez passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous cette forme : 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Il faut faire une réduction, et cela se fait comme suit : 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Sélectionnez la partie entière et obtenez 13 9 = 1 4 9.

Répondre: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Diviser une fraction extraordinaire par un nombre naturel

Nous utilisons la règle de diviser une fraction par entier naturel: pour diviser a b par un entier naturel n, il suffit de multiplier le dénominateur par n. De là, nous obtenons l'expression : a b : n = a b · n.

La règle de division est une conséquence de la règle de multiplication. Par conséquent, représenter un nombre naturel sous forme de fraction donnera une égalité de ce type : a b : n = a b : n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Considérez cette division d'une fraction par un nombre.

Exemple 3

Divisez la fraction 16 45 par le nombre 12.

Solution

Appliquons la règle pour diviser une fraction par un nombre. On obtient une expression de la forme 16 45 : 12 = 16 45 · 12.

Réduisons la fraction. Nous obtenons 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Répondre: 16 45: 12 = 4 135 .

Diviser un nombre naturel par une fraction

La règle de division est similaire Ô la règle pour diviser un nombre naturel par une fraction ordinaire : pour diviser un nombre naturel n par une fraction ordinaire a b, il faut multiplier le nombre n par l'inverse de la fraction a b.

D'après la règle, nous avons n : a b = n · b a, et grâce à la règle de multiplication d'un nombre naturel par une fraction ordinaire, nous obtenons notre expression sous la forme n : a b = n · b a. Il faut considérer cette division avec un exemple.

Exemple 4

Divisez 25 par 15 28.

Solution

Il faut passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous la forme de l'expression 25 : 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Réduisons la fraction et obtenons le résultat sous la forme de la fraction 46 2 3.

Répondre: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Diviser une fraction par un nombre fractionnaire

Lorsque vous divisez une fraction commune par un nombre fractionnaire, vous pouvez facilement commencer à diviser des fractions communes. Vous devez convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre.

Exemple 5

Divisez la fraction 35 16 par 3 1 8.

Solution

Puisque 3 1 8 est un nombre fractionnaire, représentons-le comme une fraction impropre. On obtient alors 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Maintenant, divisons les fractions. On obtient 35 16 : 3 1 8 = 35 16 : 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Répondre: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

La division d'un nombre fractionnaire se fait de la même manière que les nombres ordinaires.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Si la fin de la tâche arrive, alors à partir de fractions impropres Il est d'usage de s'en débarrasser. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas partie entière se démarque facilement - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. DANS les établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Le nombre multiplié par la fraction et le dénominateur de la fraction sont résolus s'ils ont diviseur commun, supérieur à un.

Par exemple, une expression peut être évaluée de deux manières.

Première façon. Multipliez le nombre 4 par le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la fraction inchangé :

Deuxième façon. Le quatre étant multiplié et le quatre au dénominateur de la fraction peut être réduit. Ces quatre peuvent être réduits de 4, puisque le plus grand diviseur commun à deux quatre est le quatre lui-même :

Nous avons obtenu le même résultat 3. Après avoir réduit les quatre, de nouveaux nombres se forment à leur place : deux uns. Mais multiplier un par trois, puis diviser par un ne change rien. La solution peut donc s’écrire brièvement :

La réduction peut être effectuée même lorsque nous avons décidé d'utiliser la première méthode, mais au stade de la multiplication du nombre 4 et du numérateur 3 nous avons décidé d'utiliser la réduction :

Mais par exemple, l'expression ne peut être calculée que de la première manière - multipliez 7 par le dénominateur de la fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cela est dû au fait que le nombre 7 et le dénominateur de la fraction n'ont pas de diviseur commun supérieur à un et ne s'annulent donc pas.

Certains élèves raccourcissent par erreur le nombre à multiplier et le numérateur de la fraction. Vous ne pouvez pas faire ça. Par exemple, l'entrée suivante n'est pas correcte :

Réduire une fraction signifie que à la fois numérateur et dénominateur sera divisé par le même nombre. Dans le cas de l'expression, la division est effectuée uniquement au numérateur, car l'écrire équivaut à écrire . Nous voyons que la division s'effectue uniquement au numérateur et qu'aucune division ne se produit au dénominateur.

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

Multiplier et diviser des fractions.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Cette opération est bien plus sympa que l’addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:

Par exemple:

Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :

Par exemple:

Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, on fait une fraction à partir d'un nombre entier avec un au dénominateur - et c'est parti ! Par exemple:

Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:

Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :

Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien entendu, on ne confondra pas 4:2 ou 2:4. Mais il est facile de se tromper sur une fraction de trois étages. A noter par exemple :

Dans le premier cas (expression de gauche) :

Dans la seconde (expression de droite) :

Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !

Qu’est-ce qui détermine l’ordre de division ? Soit avec des parenthèses, soit (comme ici) avec la longueur des lignes horizontales. Développez votre œil. Et s'il n'y a pas de parenthèses ni de tirets, comme :

puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!

Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :

Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.

C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Note conseils pratiques, et il y en aura moins (d'erreurs) !

Conseils pratiques :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention ! Ce ne sont pas des mots généraux, ni de bons vœux ! C'est une nécessité absolue ! Effectuez tous les calculs de l'examen d'État unifié comme une tâche à part entière, ciblée et claire. Il est préférable d’écrire deux lignes supplémentaires dans votre brouillon plutôt que de faire des erreurs lors de vos calculs mentaux.

2. Dans des exemples avec différents types de fractions, passons aux fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.

4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).

5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.

Voici les tâches que vous devez absolument accomplir. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et les conseils pratiques. Estimez combien d’exemples vous avez pu résoudre correctement. La première fois! Sans calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...

N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.

Donc, résoudre en mode examen ! D'ailleurs, il s'agit déjà d'une préparation à l'examen d'État unifié. Nous résolvons l'exemple, le vérifions, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - vérifié à nouveau du début au dernier. Mais, seulement Alors regarde les réponses.

Calculer:

As-tu décidé?

Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai volontairement notées dans le désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, écrites avec des points-virgules.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour toi ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Sinon...

Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais ça soluble Problèmes.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Les nombres fractionnaires ordinaires rencontrent d'abord les écoliers dès la 5e année et les accompagnent tout au long de leur vie, car dans la vie de tous les jours il est souvent nécessaire de considérer ou d'utiliser un objet non pas dans son ensemble, mais en morceaux séparés. Commencez à étudier ce sujet - partages. Les actions sont à parts égales, en lequel tel ou tel objet est divisé. Après tout, il n'est pas toujours possible d'exprimer, par exemple, la longueur ou le prix d'un produit sous forme de nombre entier ; il faut prendre en compte les parties ou fractions d'une certaine mesure. Formé du verbe « diviser » - diviser en parties, et ayant des racines arabes, le mot « fraction » lui-même est apparu dans la langue russe au VIIIe siècle.

Les expressions fractionnaires ont longtemps été considérées comme la branche la plus difficile des mathématiques. Au XVIIe siècle, lorsque les premiers manuels de mathématiques parurent, on les appelait « nombres brisés », ce qui était très difficile à comprendre.

Look moderne les restes fractionnaires simples, dont les parties sont séparées par une ligne horizontale, ont été promus pour la première fois par Fibonacci - Léonard de Pise. Ses œuvres sont datées de 1202. Mais le but de cet article est d'expliquer simplement et clairement au lecteur comment se multiplient les fractions mixtes avec des dénominateurs différents.

Multiplier des fractions avec différents dénominateurs

Dans un premier temps, il convient de déterminer types de fractions:

• correct;
• Incorrect;
• mixte.

Ensuite, vous devez vous rappeler comment les nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs sont multipliés. La règle même de ce processus n'est pas difficile à formuler indépendamment : le résultat de la multiplication de fractions simples de dénominateurs identiques est une expression fractionnaire dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions . Autrement dit, le nouveau dénominateur est le carré de l'un des dénominateurs initialement existants.

En multipliant fractions simples avec différents dénominateurs pour deux facteurs ou plus, la règle ne change pas :

un/b * c/d = a*c / b*d.

La seule différence est que le nombre formé sous la ligne fractionnaire sera le produit de différents nombres et, bien entendu, il ne peut pas être appelé le carré d'une expression numérique.

Il vaut la peine d'envisager la multiplication de fractions avec des dénominateurs différents à l'aide d'exemples :

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Les exemples utilisent des méthodes pour réduire les expressions fractionnaires. Vous ne pouvez réduire les nombres du numérateur qu'avec les nombres du dénominateur ; les facteurs adjacents au-dessus ou au-dessous de la ligne de fraction ne peuvent pas être réduits.

Outre les fractions simples, il existe le concept de fractions mixtes. Un nombre fractionnaire est constitué d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire, c'est-à-dire qu'il est la somme de ces nombres :

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Comment fonctionne la multiplication ?

Plusieurs exemples sont proposés à titre de réflexion.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

L'exemple utilise la multiplication d'un nombre par partie fractionnaire ordinaire, la règle de cette action peut s'écrire :

un* b/c = un B /c.

En fait, un tel produit est la somme de restes fractionnaires identiques, et le nombre de termes indique cet nombre naturel. Cas particulier:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Il existe une autre solution pour multiplier un nombre par un reste fractionnaire. Il vous suffit de diviser le dénominateur par ce nombre :

d* e/F = e/f : d.

Cette technique est utile lorsque le dénominateur est divisé par un nombre naturel sans reste ou, comme on dit, par un nombre entier.

Convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres et obtenez le produit de la manière décrite précédemment :

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Cet exemple implique la méthode de présentation fraction mixte de manière incorrecte, il peut aussi être représenté sous la forme formule générale:

un bc = a*b+ c / c, où le dénominateur de la nouvelle fraction est formé en multipliant la partie entière par le dénominateur et en l'ajoutant au numérateur du reste fractionnaire d'origine, et le dénominateur reste le même.

Ce processus fonctionne également dans verso. Pour séparer la partie entière et le reste fractionnaire, il faut diviser le numérateur d'une fraction impropre par son dénominateur à l'aide d'un « coin ».

Multiplier des fractions impropres produit d'une manière généralement acceptée. Lorsque vous écrivez sous une seule ligne de fraction, vous devez réduire les fractions si nécessaire afin de réduire les nombres à l'aide de cette méthode et de faciliter le calcul du résultat.

Il existe de nombreuses aides sur Internet pour résoudre des problèmes même complexes. Problèmes mathématiques dans diverses variantes de programme. Un nombre suffisant de ces services proposent leur aide pour compter la multiplication des fractions avec différents numéros en dénominateurs - ce qu'on appelle des calculatrices en ligne pour calculer des fractions. Ils sont capables non seulement de multiplier, mais aussi d'effectuer toutes les autres opérations arithmétiques simples avec des fractions ordinaires et nombres mixtes. Ce n'est pas difficile à utiliser : vous remplissez les champs appropriés sur la page du site Web, sélectionnez le signe de l'opération mathématique et cliquez sur « calculer ». Le programme calcule automatiquement.

Le thème des opérations arithmétiques avec des fractions est d'actualité tout au long de l'enseignement des collégiens et lycéens. Au lycée, on ne considère plus les espèces les plus simples, mais expressions fractionnaires entières, mais la connaissance des règles de transformation et de calcul obtenues précédemment est appliquée sous sa forme originale. Des connaissances de base bien maîtrisées donnent une totale confiance pour résoudre avec succès les problèmes les plus complexes.

En conclusion, il est logique de citer les mots de Lev Nikolaïevitch Tolstoï, qui a écrit : « L'homme est une fraction. Il n'est pas au pouvoir d'une personne d'augmenter son numérateur - ses mérites - mais n'importe qui peut réduire son dénominateur - son opinion sur lui-même, et avec cette diminution se rapprocher de sa perfection.

Une fraction est une ou plusieurs parties d'un tout, généralement considérée comme une (1). Comme pour les nombres naturels, vous pouvez effectuer toutes les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, division, multiplication) avec des fractions ; pour ce faire, vous devez connaître les caractéristiques du travail avec les fractions et distinguer leurs types. Il existe plusieurs types de fractions : décimales et ordinaires, ou simples. Chaque type de fraction a ses propres spécificités, mais une fois que vous aurez bien compris comment les gérer, vous serez en mesure de résoudre n'importe quel exemple avec des fractions, puisque vous connaîtrez les principes de base pour effectuer des calculs arithmétiques avec des fractions. Regardons des exemples illustrant comment diviser une fraction par un nombre entier en utilisant différents types fractions.

Comment diviser un nombre décimal par un nombre entier ?
Un nombre décimal est une fraction obtenue en divisant une unité en dix, mille, etc. Les opérations arithmétiques avec des décimales sont assez simples.

Regardons un exemple de comment diviser une fraction par un nombre entier. Disons que nous devons diviser la fraction décimale 0,925 par l'entier naturel 5.

• pour la séparation décimal La division en colonnes est utilisée pour un nombre naturel ;
  
• Une virgule est placée dans un quotient lorsque la division de la totalité du dividende est terminée.