Décimales. Présentation de la leçon : "Fractions décimales. Lire et écrire des fractions décimales" (Mathématiques 5e année) Lire et écrire des fractions décimales

Nombres

nombres mélangés

naturel

Fractions communes impropres

Fractions communes propres

NOMMER LES NOMBRES NATURELS

NOM CHIFFRES mixtes

NOM fractions communes

Quels chiffres reste-t-il ?

NOMBRES FRACTIONNELS DANS

ENREGISTREMENT DÉCIMAL.

FRACTIONS DÉCIMALES.

SUJET DE LA LEÇON D'AUJOURD'HUI :

Décimales. Lire et écrire des nombres décimaux.

LE BUT DE LA LEÇON :

Introduire le concept de nombres décimaux. Apprendre à lire et à écrire des nombres décimaux Apprenez à traduire une fraction ordinaire avec les dénominateurs 10, 100, 1000, etc. en décimal et vice versa Développer la pensée logique dans une nouvelle situation Cultiver l'indépendance et la responsabilité de leurs propres activités.

Fractions

Ordinaire

Décimales, fractions

Décimales.

S'INSCRIRE

LIRE

Décimales

ACTIONS

AVEC DÉCIMALE

COMPARER

Si une virgule est utilisée dans la notation décimale d'un nombre, alors ils disent que le nombre est écrit sous forme de fraction décimale.

Nombres avec un dénominateur dix; 100 ; 1000 etc... accepté d'écrire sans dénominateur

DICTION MATHÉMATIQUE

ÉCRIVEZ LES CHIFFRES

TROIS virgule sept dixième
SIX UN Centième
CINQ QUATRE MILLIERS

DICTION MATHÉMATIQUE

ÉCRIVEZ LES CHIFFRES

Écrivez d'abord la partie entière, puis le numérateur de la partie fractionnaire

La partie entière est séparée de la partie fractionnaire par une virgule

Nombres avec dénominateurs 10, 100, 1000, etc.

accepté d'écrire sans dénominateur

Après la virgule décimale, le numérateur de la partie fractionnaire doit avoir autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur

ALGORITHME

1. ÉCRIVEZ LA PARTIE ENTIÈRE DU NOMBRE

2. METTRE UNE VIRGULE

3. METTRE AUTANT DE POINTS APRÈS LA VIRGULE QU'IL Y A DE ZÉROS AU DÉNOMINATEUR

4. À PARTIR DU DERNIER POINT, ÉCRIVEZ LE NUMÉRO

5. NOUS REMPLAÇONS LES POINTS RESTANTS PAR DES ZÉROS

Les décimaux sont composés d'une partie entière et d'une fraction

Chiffres de la partie entière du nombre

Chiffres fractionnaires

millièmes

dix millièmes

cent millièmes

des millions

CINQ virgule trois dixième

VINGT ET UN POINT SEPT Centièmes

TROIS virgule sept dixième

DEUX CENT CINQUANTE SIX MILLIÈMES

SEPT VIRE VINGT NEUF Centièmes

SIX UN Centième

CINQ QUATRE MILLIERS

NEUF VIRGULE HUIT DIX MILLE

= 9,0008

TROUVEZ ET ÉCRIVEZ LES NUMÉROS MANQUANTS

L'origine et le développement des fractions décimales

Ouzbékistan, XVe siècle

Europe, XVIe siècle

Russie, XVIIIe siècle

Chine ancienne, IIe siècle av.

L'origine et le développement des fractions décimales en Chine étaient étroitement liés à la métrologie (l'étude des mesures). Déjà au IIe siècle av. il y avait un système décimal de mesures de longueur.

DANS 1427 année, mathématicien

et un astronome Ouzbékistan ,

Al-Kashi a écrit un livre

"Clé de l'arithmétique"

dans lequel il formule

principal

règles d'action

avec décimales

Ouzbékistan, XVe siècle

L'EUROPE ,

siècle

DANS 1579 les fractions décimales sont utilisées dans le "Canon mathématique" du mathématicien français François Vieta (1540-1603), publié à Paris.

large

propagation décimale

en Europe n'a commencé qu'après la publication du livre "Dixième" du mathématicien flamand Simon Stevin (1548-1620 ). Il est considéré comme l'inventeur des fractions décimales.

Russie, XVIIIe siècle

DANS Russie d'abord

informations systématiques

sur les décimaux

trouvé dans "Arithmétique"

LF Magnitsky (1703)

2,135436

2 | 135436

Ouzbékistan

France

Russie

L'Europe 

1 tasse

3 actions,

5 ordinal,

4 cheveux,

3 plus mince,

6 toiles d'araignée

2,135436

Chine

2 135436

2 0 1 1 3 2 5 3 4 4 3 5 6 6

Êtes-vous fatigué?

Eh bien, alors tout le monde s'est levé ensemble.

Nous étirons nos bras, nos épaules,

Pour nous permettre de nous asseoir plus facilement.

Et ne te fatigue pas.

vérifier

Écrivez les fractions suivantes sous forme décimale :

Écrivez les fractions suivantes sous forme de fractions communes ou sous forme de nombre fractionnaire :

Résumer:

Quelle fraction peut remplacer une fraction ordinaire dont le dénominateur de la partie fractionnaire est exprimé unité avec un ou quelques zéros ?

Qu'est-ce qui sépare la partie entière d'une fraction décimale de

partie fractionnaire ?

Si la fraction est correcte, alors ce qui est écrit avant

écrire une virgule ?

Combien de chiffres doivent se trouver après la virgule dans

notation décimale?

Devoirs

article 7.1 ;

répondez aux questions

№ 1211,№1212

(en répétition #1216)

Matière : mathématiques Niveau : 5

Sujet de la leçon : " Décimal. Lire et écrire des nombres décimaux.

Objectifs de la leçon:

éducatif: étudier le concept de fractions décimales, apprendre à lire et à écrire des fractions décimales, former la capacité de lire et d'écrire des fractions décimales;développement: développer la pensée logique, la capacité d'analyser, de comparer, de généraliser, de tirer des conclusions, de développer l'attention;éducatif: éduquer les élèves à la diligence, à la précision, aux compétences de maîtrise de soi, à la convivialité, à l'entraide.

Type de leçon : apprendre du nouveau matériel.

Méthodes d'enseignement: verbal, pratique, individuel.

Plan de cours:

1. Moment organisationnel.

2. Interrogatoire oral.

3. Explication du nouveau matériel.

3. Considération d'exemples, oralement.

4. Consolidation des connaissances.

5. Notes pour la leçon.

6. Énoncé de la tâche à la maison.

Pendant les cours :

1. Moment d'organisation.

Bonjour gars! S'asseoir! (Le journal est rempli, les élèves absents sont notés).

2. Interrogatoire oral :

a) Quelles fractions avons-nous étudiées ?

b) Que sont les fractions communes ?

c) Quelles opérations sur les fractions ordinaires pouvons-nous effectuer ?

Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons nous familiariser avec de nouvelles fractions - les décimales.

3. Apprendre du nouveau matériel.

Parmi les fractions ordinaires et les nombres mixtes, on trouve souvent des fractions dont le dénominateur est un multiple de 10. Par exemple, si vous exprimez 9 mm en centimètres ; 15m 2 39dm 2 - en mètres carrés; 18 kg 327 g - en kilogrammes; 937895 mm 3 - en mètres cubes, on obtient :

Cm; m 2; kg; m 3.

Fractions avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. écrit sans dénominateur : =0.9 ; =15,39 ; =18,327 ; =0,937895.

0,9 ; 15h39 ; 18,327 ; 0,937895 sont des décimales.

Ils ont une partie entière - le nombre avant le point décimal, et une partie fractionnaire - il est écrit après le point décimal. La partie fractionnaire est séparée de la partie entière par une virgule.

Les nombres fractionnaires et les fractions décimales qui leur sont égales se lisent de la même manière.

Par exemple, 7 et 7.3 se lisent : sept virgule trois.

La lecture d'une fraction décimale ordinaire et égale est différente.

Par exemple,

Lecture : sept dixièmes,

0,7 lu : zéro virgule sept.

Cela signifie que lorsqu'ils écrivent des fractions décimales qui n'ont pas de partie entière, ils écrivent 0 avant la partie fractionnaire et lisent "zéro entier".

Dans les exemples ci-dessous d'écriture de fractions décimales, il s'est avéré qu'il y a autant de chiffres au numérateur d'une fraction ordinaire qu'il y a de zéros au dénominateur. Le nombre de chiffres dans le chiffre et le nombre de zéros dans le dénominateur peuvent être différents.

Par exemple, écrivons-le sous la forme d'une fraction décimale. Dans ce nombre mixte, le numérateur de la partie fractionnaire a deux chiffres et le dénominateur a trois zéros. Par conséquent, nous égalisons d'abord le nombre de chiffres au numérateur et le nombre de zéros au dénominateur : nous ajoutons un zéro avant le numérateur. On a:

Alors = = 23.071

Moyens,

pour écrire un nombre fractionnaire ou une fraction ordinaire, dont le dénominateur est un multiple de 10, sous forme de fraction décimale, il faut :

Égaliser, si nécessaire, le nombre de chiffres au numérateur et le nombre de zéros au dénominateur en ajoutant des zéros devant le numérateur ;

Notez la partie entière (elle peut être zéro) ;

Mettez une virgule séparant la partie entière du fractionnaire ;

Notez le numérateur de la partie fractionnaire.

Par exemple, = =0.007;14 = =14.000423

La fraction décimale, comme un nombre naturel, est divisée en chiffres. Les noms des chiffres de la partie entière d'une fraction décimale sont les mêmes que ceux d'un nombre naturel, et la partie fractionnaire est différente. La première place à droite de la virgule s'appelle dixièmes, chiffre suivant - centièmes, et puis - millièmes, cent millièmes etc.

4. La décision de consolider le nouveau matériel.

№697

Lire les décimales :

1)25,4

2)0,136

3)103,15

4)8,234

5)1,39

6)267,267

7)1015,1

8)307,3078

№698

Lire les décimales :

1)36,04

2)0,003

3)181,105

4)0,0809

5)200,7001

6)6,00081

№700

Ecrire des décimaux :

1) trois virgule seize centièmes

2) huit virgule trois centièmes

3) zéro virgule trois centièmes

4) vingt huit virgule sept cent millièmes

5) quatre cent quinze millionièmes

5. Le résultat de la leçon est d'annoncer les notes de la leçon, notez d / z.

6. Devoirs : apprenez la règle et faites les numéros suivants :

№701 (9-16), №702

Leçon en 5e année, enseignante-Shabarshova Ekaterina Anatolyevna.

Sujet de leçon : Fractions décimales. Lire et écrire des nombres décimaux.

Objectifs de la leçon:

Créer des conditions pour l'étude et la répétition de ce sujet par les étudiants;

Développement de la mémoire, de la logique, de la pensée mathématique ;

Susciter l'intérêt pour le sujet.

Le but de la leçon :

Répéter l'écriture et la lecture des fractions décimales ;

convertir un nombre décimal en une fraction commune et vice versa, une fraction commune en un nombre décimal.

Type de leçon : combiné;

Méthode d'enseignement : verbal, pratique, visuel.

Forme d'organisation : collectif, individuel ;

Contenu de l'activité : rappel historique, enquête à l'aide de fiches signalétiques (oralement), résolution de tâches selon le manuel, dénombrement oral "Trouve une paire", travail indépendant.

Équipement : cartes de signalisation, autocollants de réflexion, cartes d'auto-évaluation, cartes avec des tâches pour un travail indépendant.

Plan de cours :

Organisation du temps. Ambiance émotionnelle.

Mise à jour des connaissances. Référence historique.

Comptage oral "Trouve une paire."

Travail manuel

Travail indépendant.

Évaluation des étudiants.

Réflexion.

Devoirs.

Pendant les cours :

Organisation du temps.

Bonjour gars! Saluons-nous les uns les autres ! Tournez-vous pour vous faire face et souriez.

Bien joué! Et c'est sur cette note agréable que nous commençons notre leçon d'aujourd'hui !

Division intentionnelle en groupes en fonction des caractéristiques individuelles des élèves.

Écrivez la date dans votre cahier, c'est cool. Je veux attirer votre attention sur les polycopiés sur vos bureaux, nous allons mettre les autocollants de côté pour l'instant, et les feuilles d'évaluation seront utiles dès la première tâche, dès que nous aurons terminé la tâche suivante, vous devez faire vous-même évaluation dans les fiches lors de la réalisation de cette tâche.

Mise à jour des connaissances.

Les gars, dans les dernières leçons, nous avons commencé à étudier le sujet «Fraction décimale. Lire et écrire des nombres décimaux. Mais vous et moi avons commencé à étudier le sujet sans connaître son histoire, un élève de notre classe, Anatoly Shabarshov, qui nous a préparé un historique, nous y aidera.

Référence historique.

Pour la première fois, le concept de fraction décimale abstraite est apparu au XVe siècle. Il a été introduit par l'éminent mathématicien et astronome al-Koshi (pleinnom Jamiad ibn - Masud al - Koshi ) au travail"Clé de l'arithmétique" (1427) . La découverte d'al-Koshi en Europe n'est devenue connue qu'après 300 ans.

Ne sachant rien de la découverte d'al-Koshi, les fractions décimales ont été découvertes une seconde fois, environ 150 ans après lui, par un mathématicien et ingénieur flamand.Simon Stevin en travail"Décimal "(1585).

En Russie, la doctrine des fractions décimales a été émise pour la première fois parLP Magnitski dans son "Arithmétique" - le premier manuel russe de mathématiques.(1703)

Il a été proposé de séparer la partie entière de la partie fractionnaire de différentes manières. Al-Koshi a écrit les parties entières et fractionnaires sur une seule ligne, bien qu'il ait écrit avec des encres différentes, ou mis une ligne verticale entre elles. S. Stevin a mis un zéro dans un cercle pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. La virgule admise à notre époque a été proposée par un astronome allemandJ. Kepler (1571 - 1630).

Et maintenant, rappelons-nous quelques règles et propriétés des fractions décimales.

Les règles sont très simples, si vous êtes d'accord avec la déclaration, alors levez une carte de signalisation rouge, sinon, alors bleue. Commençons!

La barre fractionnaire est utilisée pour écrire des fractions décimales ; (aucune)

Une virgule est utilisée pour écrire des décimales ; (oui)

La partie entière de la fraction est avant la virgule ; (oui)

Si des zéros sont supprimés à la fin de la fraction décimale, la valeur de la fraction changera ; (non)

Les chiffres après la virgule sont appelés décimales. (Oui).

2. Bravo ! Ouvrez maintenant vos manuels à la page 197, n° 942. (travaillez au tableau)

Comptage mental "Trouver une paire"

0,1

0,5

0,2

0,75

0,04

0,05

Travail manuel.

№936 (1) - tâche du premier niveau de complexité

№951 (1,2) - tâche du deuxième niveau de complexité

№956(1-3) - tâche du troisième niveau de difficulté

Les tâches sont calculées selon les caractéristiques individuelles de tous les membres du groupe

Travail indépendant.

Option 1

Ecrire sous forme décimale

; ; ;

Option 2

Écrivez le quotient sous forme de fraction et convertissez-le en décimal

5: 100; 5749:100; 34:1000; 324:10.

Variante 3

Convertissez les nombres mixtes au dénominateur 100 et notez les décimales correspondantes

Les devoirs en travail indépendant sont compilés en tenant compte des caractéristiques individuelles des étudiants. Les options correspondent aux niveaux de difficulté.

Évaluation des étudiants.

Les élèves font leurs propres notes pour la leçon dans les feuilles d'évaluation et les remettent à l'enseignant.

Réflexion.

Bravo les gars, tout le monde a fait du bon travail aujourd'hui, alors résumons :

Qu'avez-vous appris de nouveau lors de la leçon d'aujourd'hui ?

Quelles connaissances et compétences avez-vous consolidées aujourd'hui dans la leçon ?

Avez-vous aimé la leçon?

Des autocollants sur la table, les élèves écrivent leur attitude face à la leçon et la collent sur le tableau d'affichage préparé.

Devoirs

№950,№945

APPLICATIONS

Numéro de tâche

Super

Bien

peut mieux faire

Note globale pour la leçon :

Fiche d'évaluation du ou des enseignants : __________________________________________________________

Numéro de tâche

Super

Bien

peut mieux faire

Nous consacrerons ce matériel à un sujet aussi important que les fractions décimales. Tout d'abord, définissons les définitions de base, donnons des exemples et attardons-nous sur les règles de la notation décimale, ainsi que sur les chiffres des fractions décimales. Ensuite, nous mettons en évidence les principaux types: fractions finies et infinies, périodiques et non périodiques. Dans la dernière partie, nous montrerons comment les points correspondant aux nombres fractionnaires sont situés sur l'axe des coordonnées.

Qu'est-ce que la notation décimale pour les nombres fractionnaires

La notation dite décimale pour les nombres fractionnaires peut être utilisée pour les nombres naturels et fractionnaires. Cela ressemble à un ensemble de deux nombres ou plus avec une virgule entre eux.

La virgule décimale est utilisée pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. En règle générale, le dernier chiffre d'une décimale n'est jamais un zéro, à moins que le point décimal ne soit immédiatement après le premier zéro.

Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires en notation décimale ? Cela peut être 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.

Dans certains manuels, vous pouvez trouver l'utilisation d'un point au lieu d'une virgule (5. 67, 6789. 1011, etc.) Cette option est considérée comme équivalente, mais elle est plus typique pour les sources de langue anglaise.

Définition des décimaux

Sur la base du concept ci-dessus de notation décimale, nous pouvons formuler la définition suivante des fractions décimales :

Définition 1

Les décimaux sont des nombres fractionnaires en notation décimale.

Pourquoi avons-nous besoin d'écrire des fractions sous cette forme ? Cela nous donne certains avantages par rapport aux notations ordinaires, par exemple une notation plus compacte, en particulier dans les cas où le dénominateur est 1000, 100, 10, etc. ou un nombre fractionnaire. Par exemple, au lieu de 6 10 nous pouvons spécifier 0 , 6 , au lieu de 25 10000 - 0 , 0023 , au lieu de 512 3 100 - 512 , 03 .

Comment représenter correctement des fractions ordinaires avec des dizaines, des centaines, des milliers au dénominateur sous forme décimale sera décrit dans un document séparé.

Comment lire correctement les décimaux

Il existe certaines règles pour lire les enregistrements de fractions décimales. Ainsi, les fractions décimales qui correspondent à leurs équivalents ordinaires corrects sont lues presque de la même manière, mais avec l'ajout des mots "zéro dixième" au début. Ainsi, l'entrée 0 , 14 , qui correspond à 14 100 , se lit comme "zéro virgule quatorze centièmes".

Si une fraction décimale peut être associée à un nombre fractionnaire, alors elle se lit de la même manière que ce nombre. Donc, si nous avons une fraction 56 002, qui correspond à 56 2 1000, nous lisons une entrée telle que "cinquante-six virgule deux millièmes".

La valeur d'un chiffre dans une notation décimale dépend de l'endroit où il se trouve (comme dans le cas des nombres naturels). Ainsi, dans la fraction décimale 0, 7, sept correspond à des dixièmes, dans 0, 0007, à dix millièmes, et dans la fraction 70 000, 345, cela signifie sept dizaines de milliers d'unités entières. Ainsi, dans les fractions décimales, il y a aussi le concept de chiffre numérique.

Les noms des chiffres situés avant la virgule sont similaires à ceux qui existent dans les nombres naturels. Les noms de ceux qui se trouvent après sont clairement présentés dans le tableau :

Prenons un exemple.

Exemple 1

Nous avons la décimale 43 098. Elle a un quatre à la position des dizaines, un trois à la place des unités, un zéro à la dixième place, un 9 à la centième place et un 8 à la millième place.

Il est d'usage de distinguer les chiffres des fractions décimales par ancienneté. Si nous parcourons les chiffres de gauche à droite, nous passerons des chiffres les plus élevés aux chiffres les plus bas. Il s'avère que les centaines sont plus anciennes que les dizaines et que les millionièmes sont plus jeunes que les centièmes. Si nous prenons cette fraction décimale finale, que nous avons citée comme exemple ci-dessus, alors le plus ancien, ou le plus élevé, sera le chiffre des centaines, et le plus bas, ou le plus bas, sera le chiffre de 10 millièmes.

Toute fraction décimale peut être décomposée en chiffres séparés, c'est-à-dire représentés comme une somme. Cette opération s'effectue de la même manière que pour les nombres naturels.

Exemple 2

Essayons de développer la fraction 56, 0455 en chiffres.

Nous serons en mesure de:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Si nous nous souvenons des propriétés de l'addition, nous pouvons représenter cette fraction sous d'autres formes, par exemple, comme la somme 56 + 0, 0455, ou 56, 0055 + 0, 4, etc.

Que sont les décimales de fin

Toutes les fractions dont nous avons parlé ci-dessus sont des décimales de fin. Cela signifie que le nombre de chiffres après la virgule est fini. Prenons la définition :

Définition 1

Les décimales de fin sont un type de décimal qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.

Des exemples de telles fractions peuvent être 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, etc.

Chacune de ces fractions peut être convertie soit en un nombre fractionnaire (si la valeur de leur partie fractionnaire est différente de zéro), soit en une fraction ordinaire (si la partie entière est nulle). Nous avons consacré un document séparé à la façon dont cela est fait. Donnons juste quelques exemples ici : par exemple, nous pouvons mettre la fraction décimale finale 5 , 63 sous la forme 5 63 100 , et 0 , 2 correspond à 2 10 (ou toute autre fraction égale à celle-ci, par exemple, 4 20 ou 1 5 .)

Mais le processus inverse, c'est-à-dire l'écriture d'une fraction ordinaire sous forme décimale n'est pas toujours effectuée. Ainsi, 5 13 ne peut pas être remplacé par une fraction égale avec un dénominateur de 100, 10, etc., ce qui signifie que la fraction décimale finale ne fonctionnera pas.

Les principaux types de fractions décimales infinies : fractions périodiques et non périodiques

Nous avons souligné ci-dessus que les fractions finies sont appelées ainsi parce qu'elles ont un nombre fini de chiffres après la virgule. Cependant, il peut très bien être infini, auquel cas les fractions elles-mêmes seront également appelées infinies.

Définition 2

Les décimales infinies sont celles qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule.

De toute évidence, de tels nombres ne peuvent tout simplement pas être écrits complètement, nous n'en indiquons donc qu'une partie, puis nous mettons des points de suspension. Ce signe indique une continuation infinie de la séquence de décimales. Des exemples de décimales infinies seraient 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... . etc.

Dans la "queue" d'une telle fraction, il peut y avoir non seulement des séquences de nombres apparemment aléatoires, mais une répétition constante du même caractère ou groupe de caractères. Les fractions avec alternance après la virgule sont appelées périodiques.

Définition 3

Les fractions décimales périodiques sont de telles fractions décimales infinies dans lesquelles un chiffre ou un groupe de plusieurs chiffres est répété après la virgule décimale. La partie répétitive s'appelle la période de la fraction.

Par exemple, pour la fraction 3, 444444 ... . la période sera le chiffre 4, et pour 76, 134134134134... - le groupe 134.

Quel est le nombre minimum de caractères autorisés dans une fraction périodique ? Pour les fractions périodiques, il suffira d'écrire une fois la période entière entre parenthèses. Ainsi, la fraction est 3, 444444 ... . il sera correct d'écrire comme 3, (4) , et 76, 134134134134 ... - comme 76, (134) .

En général, les entrées avec plusieurs périodes entre parenthèses auront exactement la même signification : par exemple, la fraction périodique 0,677777 est la même que 0,6 (7) et 0,6 (77), etc. Les entrées telles que 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) et autres sont également autorisées.

Afin d'éviter les erreurs, nous introduisons l'uniformité de notation. Convenons d'écrire un seul point (la séquence de chiffres la plus courte possible), qui est le plus proche de la virgule décimale, et de le mettre entre parenthèses.

Autrement dit, pour la fraction ci-dessus, nous considérerons l'entrée 0, 6 (7) comme la principale, et, par exemple, dans le cas de la fraction 8, 9134343434, nous écrirons 8, 91 (34) .

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire contient des facteurs premiers qui ne sont pas égaux à 5 et 2, alors une fois convertis en notation décimale, des fractions infinies seront obtenues à partir d'eux.

En principe, nous pouvons écrire n'importe quelle fraction finie comme une fraction périodique. Pour ce faire, il suffit d'ajouter un nombre infini de zéros à droite. Comment cela se présente-t-il dans le dossier ? Disons que nous avons une fraction finale 45, 32. Sous forme périodique, cela ressemblera à 45 , 32 (0) . Cette action est possible car l'ajout de zéros à droite de toute fraction décimale nous donne une fraction égale à celle-ci.

Séparément, il faut s'attarder sur les fractions périodiques avec une période de 9, par exemple, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ils sont une notation alternative pour des fractions similaires avec une période de 0, ils sont donc souvent remplacés lors de l'écriture avec des fractions avec une période nulle. En même temps, un est ajouté à la valeur du chiffre suivant et (0) est indiqué entre parenthèses. L'égalité des nombres résultants est facile à vérifier en les présentant comme des fractions ordinaires.

Par exemple, la fraction 8, 31 (9) peut être remplacée par la fraction correspondante 8, 32 (0) . Ou 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Les fractions périodiques décimales infinies sont des nombres rationnels. En d'autres termes, toute fraction périodique peut être représentée comme une fraction ordinaire, et vice versa.

Il existe également des fractions dans lesquelles il n'y a pas de séquence se répétant à l'infini après la virgule décimale. Dans ce cas, elles sont appelées fractions non périodiques.

Définition 4

Les fractions décimales non périodiques incluent les fractions décimales infinies qui ne contiennent pas de point après la virgule décimale, c'est-à-dire groupe répétitif de nombres.

Parfois, les fractions non périodiques ressemblent beaucoup aux fractions périodiques. Par exemple, 9 , 03003000300003 ... à première vue semble avoir une période, mais une analyse détaillée des décimales confirme qu'il s'agit toujours d'une fraction non périodique. Il faut être très prudent avec des chiffres comme celui-ci.

Les fractions non périodiques sont des nombres irrationnels. Ils ne sont pas convertis en fractions ordinaires.

Opérations de base avec les décimaux

Les opérations suivantes peuvent être effectuées avec des fractions décimales : comparaison, soustraction, addition, division et multiplication. Analysons chacun d'eux séparément.

Comparer des décimales peut être réduit à comparer des fractions ordinaires qui correspondent aux décimales d'origine. Mais les fractions non périodiques infinies ne peuvent pas être réduites à cette forme, et la conversion des fractions décimales en fractions ordinaires est souvent une tâche laborieuse. Comment effectuer rapidement une action de comparaison si nous devons le faire dans le cadre de la résolution du problème ? Il est commode de comparer des fractions décimales par des chiffres de la même manière que nous comparons des nombres naturels. Nous consacrerons un article séparé à cette méthode.

Pour additionner une fraction décimale à une autre, il est pratique d'utiliser la méthode d'addition de colonnes, comme pour les nombres naturels. Pour ajouter des fractions décimales périodiques, vous devez d'abord les remplacer par des fractions ordinaires et compter selon le schéma standard. Si, selon les conditions du problème, nous devons ajouter des fractions non périodiques infinies, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre, puis les additionner. Plus le chiffre auquel nous arrondissons est petit, plus la précision du calcul sera élevée. Pour la soustraction, la multiplication et la division de fractions infinies, un arrondi préliminaire est également nécessaire.

Trouver la différence de fractions décimales est le contraire de l'addition. En fait, à l'aide de la soustraction, nous pouvons trouver un nombre dont la somme avec la fraction soustraite nous donnera la fraction réduite. Nous en parlerons plus en détail dans un article séparé.

La multiplication des fractions décimales se fait de la même manière que pour les nombres naturels. La méthode de calcul par une colonne convient également pour cela. Nous réduisons encore cette action avec des fractions périodiques à la multiplication de fractions ordinaires selon les règles déjà étudiées. Les fractions infinies, on s'en souvient, doivent être arrondies avant de compter.

Le processus de division des nombres décimaux est l'inverse du processus de multiplication. Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons également le nombre de colonnes.

Vous pouvez définir une correspondance exacte entre la décimale finale et un point sur l'axe des coordonnées. Voyons comment marquer un point sur l'axe qui correspondra exactement à la fraction décimale requise.

Nous avons déjà étudié comment construire des points correspondant à des fractions ordinaires, et les fractions décimales peuvent être réduites à cette forme. Par exemple, une fraction ordinaire 14 10 est la même que 1 , 4 , donc le point qui lui correspond sera éloigné de l'origine dans le sens positif d'exactement la même distance :

Vous pouvez vous passer de remplacer la fraction décimale par une fraction ordinaire et prendre la méthode d'expansion des chiffres comme base. Ainsi, si nous devons marquer un point dont la coordonnée sera égale à 15 , 4008 , alors nous allons d'abord représenter ce nombre comme une somme 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pour commencer, on réserve 15 segments unitaires entiers dans le sens positif de l'origine, puis 4 dixièmes d'un segment, puis 8 dix-millièmes d'un segment. En conséquence, nous obtiendrons un point de coordonnées, qui correspond à la fraction 15, 4008.

Pour une fraction décimale infinie, il est préférable d'utiliser cette méthode particulière, car elle vous permet de vous approcher du point souhaité aussi près que vous le souhaitez. Dans certains cas, il est possible de construire une correspondance exacte d'une fraction infinie sur l'axe des coordonnées : par exemple, 2 = 1, 41421. . . , et cette fraction pourra être associée à un point du rayon de coordonnées, distant de 0 de la longueur de la diagonale du carré, dont le côté sera égal à un segment unité.

Si nous ne trouvons pas un point sur l'axe, mais une fraction décimale qui lui correspond, alors cette action s'appelle la mesure décimale du segment. Voyons comment le faire correctement.

Supposons que nous devions aller de zéro à un point donné sur l'axe des coordonnées (ou s'en approcher le plus possible dans le cas d'une fraction infinie). Pour ce faire, nous écartons progressivement les segments unitaires de l'origine des coordonnées jusqu'à ce que nous arrivions au point souhaité. Après des segments entiers, si nécessaire, nous mesurons des dixièmes, des centièmes et des parties plus petites afin que la correspondance soit la plus précise possible. En conséquence, nous avons obtenu une fraction décimale qui correspond à un point donné sur l'axe des coordonnées.

Ci-dessus nous avons donné une image avec un point M. Regardez à nouveau: pour arriver à ce point, vous devez mesurer un segment unitaire à partir de zéro et quatre dixièmes de celui-ci, car ce point correspond à la fraction décimale 1, 4.

Si nous ne pouvons pas atteindre un point dans le processus de mesure décimale, cela signifie qu'une fraction décimale infinie lui correspond.

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Une fraction commune (ou nombre fractionnaire) dont le dénominateur est un suivi d'un ou plusieurs zéros (c'est-à-dire 10, 100, 1000, etc.) :

peut être écrit sous une forme plus simple : sans dénominateur, en séparant les parties entières et fractionnaires les unes des autres par une virgule (dans ce cas, on pense que la partie entière d'une fraction propre est 0). Tout d'abord, la partie entière est écrite, puis une virgule est placée, et après elle la partie fractionnaire est écrite. :

Les fractions ordinaires (ou nombres mixtes) écrites sous cette forme sont appelées décimales.

Lire et écrire des nombres décimaux

Les fractions décimales sont écrites selon les mêmes règles que celles utilisées pour écrire les nombres naturels dans le système décimal. Cela signifie qu'en décimal, comme dans les nombres naturels, chaque chiffre exprime des unités dix fois plus grandes que les unités voisines de droite.

Considérez l'entrée suivante :

Le chiffre 8 signifie unités simples. Le chiffre 3 signifie des unités qui sont 10 fois plus petites que les unités simples, c'est-à-dire des dixièmes. 4 signifie centièmes, 2 signifie millièmes, etc.

Les nombres à droite après la virgule sont appelés décimales.

Les fractions décimales se lisent comme suit : d'abord la partie entière est appelée, puis la partie fractionnaire. Lors de la lecture de la partie entière, il faut toujours répondre à la question : combien y a-t-il d'unités entières dans la partie entière ? . Le mot entier (ou entier) est ajouté à la réponse, en fonction du nombre d'unités entières. Par exemple, un entier, deux entiers, trois entiers, etc. Lors de la lecture de la partie fractionnaire, le nombre d'actions est appelé et à la fin, ils ajoutent le nom des actions avec lesquelles la partie fractionnaire se termine :

3:1 se lit comme suit : trois virgule un dixième.

2,017 se lit comme suit : deux virgule dix-sept millièmes.

Pour mieux comprendre les règles d'écriture et de lecture des fractions décimales, considérons le tableau des chiffres et les exemples d'écriture des nombres qui y sont donnés :

Attention, après un point décimal dans une fraction décimale, il y a autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction ordinaire correspondante :