Un prisme dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Prisme droit – Hypermarché du savoir
DANS programme scolaire dans un cours de stéréométrie, l'étude des figures tridimensionnelles commence généralement par un simple corps géométrique- prisme polyèdre. Le rôle de ses bases est assuré par 2 polygones égaux situés dans des plans parallèles. Un cas particulier est un prisme quadrangulaire régulier. Ses bases sont 2 quadrangles réguliers identiques, dont les côtés sont perpendiculaires, ayant la forme de parallélogrammes (ou de rectangles, si le prisme n'est pas incliné).
A quoi ressemble un prisme ?
Un prisme quadrangulaire régulier est un hexagone dont les bases sont 2 carrés et les faces latérales sont représentées par des rectangles. Un autre nom pour cette figure géométrique est un parallélépipède droit.
Un dessin montrant un prisme quadrangulaire est présenté ci-dessous.
Vous pouvez également voir sur la photo éléments essentiels, dont est constitué le corps géométrique. Ceux-ci inclus:
Parfois, dans les problèmes de géométrie, vous pouvez rencontrer le concept de section. La définition ressemblera à ceci : une section est l'ensemble des points d'un corps volumétrique appartenant à un plan de coupe. La section peut être perpendiculaire (coupe les bords de la figure à un angle de 90 degrés). Pour un prisme rectangulaire, on considère également une section diagonale (le nombre maximum de sections pouvant être construites est de 2), passant par 2 arêtes et les diagonales de la base.
Si la section est dessinée de telle manière que le plan de coupe n'est parallèle ni aux bases ni aux faces latérales, le résultat est un prisme tronqué.
Pour trouver les éléments prismatiques réduits, diverses relations et formules sont utilisées. Certains d'entre eux sont connus du cours de planimétrie (par exemple, pour trouver l'aire de la base d'un prisme, il suffit de rappeler la formule de l'aire d'un carré).
Superficie et volume
Pour déterminer le volume d'un prisme à l'aide de la formule, vous devez connaître l'aire de sa base et sa hauteur :
V = Sbash
Puisque la base d’un prisme tétraédrique régulier est un carré de côté un, Vous pouvez écrire la formule sous une forme plus détaillée :
V = a²·h
Si nous parlons d'un cube - un prisme régulier avec longueur égale, largeur et hauteur, le volume est calculé comme suit :
Pour comprendre comment trouver la surface latérale d'un prisme, il faut imaginer son évolution.
Sur le dessin, on peut voir que la surface latérale est composée de 4 rectangles égaux. Son aire est calculée comme le produit du périmètre de la base et de la hauteur de la figure :
Côté = Posn h
Sachant que le périmètre du carré est égal à P = 4a, la formule prend la forme :
Côté = 4h
Pour les cubes :
Côté = 4a²
Pour calculer la surface totale du prisme, il faut ajouter 2 surfaces de base à la surface latérale :
Plein = Côté + 2Smain
Par rapport à un prisme régulier quadrangulaire, la formule ressemble à :
Stotal = 4a h + 2a²
Pour la surface d'un cube :
Plein = 6a²
Connaissant le volume ou la surface, vous pouvez calculer les éléments individuels d'un corps géométrique.
Trouver des éléments de prisme
Il existe souvent des problèmes dans lesquels le volume est donné ou la valeur de la surface latérale est connue, où il est nécessaire de déterminer la longueur du côté de la base ou la hauteur. Dans de tels cas, les formules peuvent être dérivées :
- longueur du côté de base : a = Scôté / 4h = √(V / h) ;
- hauteur ou longueur des côtes latérales : h = Scôté / 4a = V / a² ;
- surface de base : Sbas = V/h ;
- zone latérale du visage : Côté gr = Côté / 4.
Pour déterminer la superficie de la section diagonale, vous devez connaître la longueur de la diagonale et la hauteur de la figure. Pour un carré d = une√2. Donc:
Sdiag = ah√2
Pour calculer la diagonale d'un prisme, utilisez la formule :
dprix = √(2a² + h²)
Pour comprendre comment appliquer les relations données, vous pouvez pratiquer et résoudre plusieurs tâches simples.
Exemples de problèmes avec solutions
Voici quelques tâches trouvées lors des examens finaux d’État en mathématiques.
Exercice 1.
Le sable est versé dans une boîte en forme de prisme quadrangulaire régulier. La hauteur de son niveau est de 10 cm. Quel sera le niveau de sable si vous le déplacez dans un récipient de même forme, mais avec un fond deux fois plus long ?
Il convient de raisonner de la manière suivante. La quantité de sable dans les premier et deuxième conteneurs n'a pas changé, c'est-à-dire que son volume est le même. Vous pouvez désigner la longueur de la base par un. Dans ce cas, pour la première case le volume de la substance sera :
V₁ = ha² = 10a²
Pour la deuxième boîte, la longueur de la base est 2a, mais la hauteur du niveau de sable est inconnue :
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Parce que le V₁ = V₂, on peut assimiler les expressions :
10a² = 4ha²
Après avoir réduit les deux côtés de l’équation par a², on obtient :
Par conséquent nouveau niveau le sable sera h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Tâche 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ est un prisme correct. On sait que BD = AB₁ = 6√2. Trouvez la surface totale du corps.
Pour mieux comprendre quels éléments sont connus, vous pouvez dessiner une figure.
Puisque nous parlons d’un prisme régulier, nous pouvons conclure qu’à la base se trouve un carré de diagonale 6√2. La diagonale de la face latérale a la même taille, donc la face latérale a également la forme d'un carré égal à la base. Il s’avère que les trois dimensions – longueur, largeur et hauteur – sont égales. On peut conclure que ABCDA₁B₁C₁D₁ est un cube.
La longueur de n'importe quelle arête est déterminée par une diagonale connue :
une = ré / √2 = 6√2 / √2 = 6
La surface totale se trouve à l’aide de la formule d’un cube :
Plein = 6a² = 6 6² = 216
Tâche 3.
La chambre est en cours de rénovation. On sait que son sol a la forme d'un carré d'une superficie de 9 m². La hauteur de la pièce est de 2,5 m. Quel est le coût le plus bas pour tapisser une pièce si 1 m² coûte 50 roubles ?
Puisque le sol et le plafond sont des carrés, c'est-à-dire des quadrangles réguliers, et que ses parois sont perpendiculaires aux surfaces horizontales, on peut conclure qu'il s'agit d'un prisme régulier. Il est nécessaire de déterminer l'aire de sa surface latérale.
La longueur de la pièce est une = √9 = 3 m.
La zone sera recouverte de papier peint Côté = 4 3 2,5 = 30 m².
Le coût le plus bas du papier peint pour cette pièce sera 50·30 = 1500 roubles
Ainsi, pour résoudre des problèmes impliquant un prisme rectangulaire, il suffit de pouvoir calculer l'aire et le périmètre d'un carré et d'un rectangle, ainsi que de connaître les formules permettant de trouver le volume et l'aire.
Comment trouver l'aire d'un cube
Informations générales sur le prisme droit
La surface latérale d'un prisme (plus précisément, la surface latérale) est appelée somme zones des faces latérales. La surface totale du prisme est égale à la somme de la surface latérale et des aires des bases.
Théorème 19.1. La surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme, c'est-à-dire la longueur du bord latéral.
Preuve. Les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles. Les bases de ces rectangles sont les côtés du polygone situé à la base du prisme, et les hauteurs sont égales à la longueur des bords latéraux. Il s'ensuit que la surface latérale du prisme est égale à
S = une 1 l + une 2 l + ... + une n l = pl,
où a 1 et n sont les longueurs des bords de base, p est le périmètre de la base du prisme et I est la longueur des bords latéraux. Le théorème a été prouvé.
Tâche pratique
Problème (22) . Dans un prisme incliné on réalise section, perpendiculaire aux nervures latérales et coupant toutes côtes latérales. Trouver surface latérale prismes si le périmètre de la section transversale est égal à p et les bords latéraux sont égaux à l.
Solution. Le plan de la section dessinée divise le prisme en deux parties (Fig. 411). Soumettons l'un d'eux à une translation parallèle, combinant les bases du prisme. Dans ce cas, on obtient un prisme droit dont la base est la section transversale du prisme d'origine, et les bords latéraux sont égaux à l. Ce prisme a la même surface latérale que celui d'origine. Ainsi, la surface latérale du prisme original est égale à pl.
Résumé du sujet abordé
Essayons maintenant de résumer le sujet que nous avons abordé sur les prismes et rappelons-nous quelles sont les propriétés d'un prisme.
Propriétés du prisme
Premièrement, un prisme a toutes ses bases comme des polygones égaux ;
Deuxièmement, dans un prisme, toutes ses faces latérales sont des parallélogrammes ;
Troisièmement, dans une figure aussi multiforme qu'un prisme, tous les bords latéraux sont égaux ;
Aussi, il ne faut pas oublier que les polyèdres tels que les prismes peuvent être droits ou inclinés.
Quel prisme est appelé prisme droit ?
Si le bord latéral d'un prisme est situé perpendiculairement au plan de sa base, alors un tel prisme est appelé droit.
Il ne serait pas superflu de rappeler que les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles.
Quel type de prisme est appelé oblique ?
Mais si le bord latéral d'un prisme n'est pas situé perpendiculairement au plan de sa base, alors on peut affirmer avec certitude qu'il s'agit d'un prisme incliné.
Quel prisme est dit correct ?
Si à la base d'un prisme droit se trouve polygone régulier, alors un tel prisme est correct.
Rappelons maintenant les propriétés d'un prisme ordinaire.
Propriétés d'un prisme régulier
Premièrement, les polygones réguliers servent toujours de bases à un prisme régulier ;
Deuxièmement, si l'on considère les faces latérales d'un prisme régulier, ce sont toujours des rectangles égaux ;
Troisièmement, si vous comparez les tailles des côtes latérales, alors dans un prisme régulier, elles sont toujours égales.
Quatrièmement, un prisme correct est toujours droit ;
Cinquièmement, si dans un prisme régulier les faces latérales ont la forme de carrés, alors une telle figure est généralement appelée polygone semi-régulier.
Section efficace du prisme
Regardons maintenant la section transversale du prisme :
Devoirs
Essayons maintenant de consolider le sujet que nous avons appris en résolvant des problèmes.
Dessinons un prisme triangulaire incliné, la distance entre ses bords sera égale à : 3 cm, 4 cm et 5 cm, et la surface latérale de ce prisme sera égale à 60 cm2. Ayant ces paramètres, trouvez le bord latéral de ce prisme.
Sais-tu cela figures géométriques nous entourent constamment non seulement dans les cours de géométrie, mais aussi dans Vie courante Il existe des objets qui ressemblent à l'une ou l'autre figure géométrique.
Chaque maison, école ou travail possède un ordinateur dont l'unité centrale a la forme d'un prisme droit.
Si vous prenez un simple crayon, vous verrez que la partie principale du crayon est un prisme.
En marchant dans la rue centrale de la ville, nous voyons que sous nos pieds se trouve une tuile en forme de prisme hexagonal.
A. V. Pogorelov, Géométrie pour les classes 7 à 11, Manuel pour les établissements d'enseignement
Polyèdres
Le principal objet d'étude de la stéréométrie sont les corps spatiaux. Corps représente une partie de l'espace limitée par une certaine surface.
Polyèdre est un corps dont la surface est constituée d'un nombre fini de polygones plats. Un polyèdre est dit convexe s’il est situé d’un côté du plan de chaque polygone plan sur sa surface. La partie commune d'un tel plan et de la surface d'un polyèdre est appelée bord. Les faces d'un polyèdre convexe sont des polygones plats convexes. Les côtés des visages sont appelés bords du polyèdre, et les sommets sont sommets du polyèdre.
Par exemple, un cube est constitué de six carrés, qui sont ses faces. Il contient 12 arêtes (les côtés des carrés) et 8 sommets (les sommets des carrés).
Les polyèdres les plus simples sont les prismes et les pyramides, que nous étudierons plus en détail.
Prisme
Définition et propriétés d'un prisme
Prisme est un polyèdre constitué de deux polygones plats situés dans des plans parallèles combinés par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces polygones. Les polygones sont appelés bases de prisme, et les segments reliant les sommets correspondants des polygones sont bords latéraux du prisme.
Hauteur du prisme est appelée la distance entre les plans de ses bases (). Un segment reliant deux sommets d'un prisme n'appartenant pas à la même face est appelé diagonale du prisme(). Le prisme s'appelle n-carbone, si sa base contient un n-gon.
Tout prisme possède les propriétés suivantes, résultant du fait que les bases du prisme sont combinées par translation parallèle :
1. Les bases du prisme sont égales.
2. Les bords latéraux du prisme sont parallèles et égaux.
La surface du prisme est constituée de bases et surface latérale. La surface latérale du prisme est constituée de parallélogrammes (cela découle des propriétés du prisme). L'aire de la surface latérale d'un prisme est la somme des aires des faces latérales.
Prisme droit
Le prisme s'appelle droit, si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases. Sinon le prisme s'appelle incliné.
Les faces d'un prisme droit sont des rectangles. La hauteur d'un prisme droit est égale à ses faces latérales.
Surface totale du prisme est appelée la somme de la surface latérale et des aires des bases.
Avec le bon prisme appelé prisme droit avec un polygone régulier à sa base.
Théorème 13.1. L'aire de la surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre et de la hauteur du prisme (ou, ce qui revient au même, par le bord latéral).
Preuve. Les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles dont les bases sont les côtés des polygones à la base du prisme, et les hauteurs sont les bords latéraux du prisme. Alors, par définition, la surface latérale est :
,
où est le périmètre de la base d’un prisme droit.
Parallélépipède
Si les parallélogrammes se trouvent à la base d’un prisme, alors on l’appelle parallélépipède. Toutes les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes. Dans ce cas, les faces opposées du parallélépipède sont parallèles et égales.
Théorème 13.2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par le point d'intersection.
Preuve. Considérons par exemple deux diagonales arbitraires et . Parce que les faces d'un parallélépipède sont des parallélogrammes, alors et , ce qui signifie d'après To qu'il y a deux droites parallèles à la troisième. De plus, cela signifie que les lignes droites se trouvent dans le même plan (plan). Ce plan coupe des plans parallèles et le long de lignes parallèles et . Ainsi, un quadrilatère est un parallélogramme, et par la propriété d'un parallélogramme, ses diagonales se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, ce qui devait être prouvé.
Un parallélépipède droit dont la base est un rectangle s'appelle parallélépipède rectangle. Toutes les faces d'un parallélépipède rectangle sont des rectangles. Les longueurs des arêtes non parallèles d'un parallélépipède rectangle sont appelées ses dimensions linéaires (dimensions). Il existe trois tailles de ce type (largeur, hauteur, longueur).
Théorème 13.3. Dans un parallélépipède rectangle, le carré de toute diagonale est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions 
(prouvé en appliquant deux fois Pythagorean T).
Un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont égales s’appelle cube.
Tâches
13.1 Combien de diagonales a-t-il ? n-prisme de carbone
13.2 Dans un prisme triangulaire incliné, les distances entre les bords latéraux sont de 37, 13 et 40. Trouvez la distance entre le bord latéral le plus grand et le bord latéral opposé.
13.3Par le côté de la base inférieure du bon prisme triangulaire un plan est dessiné coupant les faces latérales le long de segments dont l'angle est . Trouvez l'angle d'inclinaison de ce plan par rapport à la base du prisme.
Définition. Prisme est un polyèdre dont tous les sommets sont situés dans deux plans parallèles, et dans ces deux mêmes plans se trouvent deux faces du prisme, qui sont des polygones égaux avec des côtés parallèles correspondants, et toutes les arêtes qui ne se trouvent pas dans ces plans sont parallèles.
Deux faces égales sont appelées bases de prisme(ABCDE, A1B1C1D1E1).
Toutes les autres faces du prisme sont appelées faces latérales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Toutes les faces latérales se forment surface latérale du prisme .
Toutes les faces latérales du prisme sont des parallélogrammes .
Les arêtes qui ne se trouvent pas aux bases sont appelées arêtes latérales du prisme ( AA1, BB1, CC1, DD1, EE 1).
Diagonale du prisme est un segment dont les extrémités sont deux sommets d'un prisme qui ne se trouvent pas sur la même face (AD 1).
La longueur du segment reliant les bases du prisme et perpendiculaire aux deux bases à la fois est appelée hauteur du prisme .
Désignation:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (D'abord, dans l'ordre de parcours, les sommets d'une base sont indiqués, puis, dans le même ordre, les sommets d'une autre ; les extrémités de chaque arête latérale sont désignées par les mêmes lettres, seuls les sommets situés dans une base sont désignés par des lettres sans index, et dans l'autre - avec un index)
Le nom du prisme est associé au nombre d'angles de la figure situés à sa base, par exemple, sur la figure 1 il y a un pentagone à la base, donc le prisme s'appelle prisme pentagonal. Mais parce que un tel prisme a 7 faces, alors il heptaèdre(2 faces - les bases du prisme, 5 faces - les parallélogrammes, - ses faces latérales)
Parmi les prismes droits, un type particulier se démarque : les prismes réguliers.
Un prisme droit s'appelle correct, si ses bases sont des polygones réguliers.
Parallélépipède
Parallélépipède est un prisme quadrangulaire, à la base duquel se trouve un parallélogramme (un parallélépipède incliné). Parallélépipède droit- un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux plans de la base.Parallélépipède rectangulaire- un parallélépipède droit dont la base est un rectangle.
Propriétés et théorèmes :
Certaines propriétés d'un parallélépipède sont similaires propriétés connues parallélogramme. Un parallélépipède rectangle ayant des dimensions égales est appelé cube
.Toutes les faces d'un cube sont des carrés égaux. Le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions 
,
où d est la diagonale du carré ;
a est le côté du carré.
Une idée de prisme est donnée par :
- diverses structures architecturales;
- Jouets pour enfants;
- boîtes d'emballage;
- objets de créateurs, etc.
L'aire de la surface totale et latérale du prisme
Surface totale du prisme est la somme des aires de toutes ses faces Surface latérale est appelée la somme des aires de ses faces latérales. Les bases du prisme sont des polygones égaux, donc leurs aires sont égales. C'est pourquoiS complet = côté S + 2S principal,
Où S plein- superficie totale, Côté S-surface latérale, Socle S- surface de base
La surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.
Côté S= P basique * h,
Où Côté S-aire de la surface latérale d'un prisme droit,
P principal - périmètre de la base d'un prisme droit,
h est la hauteur du prisme droit, égale au bord latéral.
Volume du prisme
Le volume d'un prisme est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.
La base du prisme peut être n'importe quel polygone - triangle, quadrangle, etc. Les deux bases sont absolument identiques et, par conséquent, celles avec lesquelles les coins des bords parallèles sont reliés les uns aux autres sont toujours parallèles. À la base d’un prisme régulier se trouve un polygone régulier, c’est-à-dire dont tous les côtés sont égaux. Dans un prisme droit, les nervures entre les faces latérales sont perpendiculaires à la base. Dans ce cas, la base d'un prisme droit peut contenir un polygone avec n'importe quel nombre d'angles. Un prisme dont la base est un parallélogramme est appelé parallélépipède. Rectangle - cas particulier parallélogramme. Si cette figure se situe à la base et que les faces latérales sont situées perpendiculairement à la base, le parallélépipède est dit rectangulaire. Le deuxième nom de ce corps géométrique est rectangulaire.
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