Un nombre rationnel peut être représenté par : Nombres

Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.

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Définition et exemples de nombres rationnels

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours imaginer nombre mixte comme une fraction impropre. Par exemple, et.
Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.

Il est également clair que tout décimal PAS un nombre rationnel car il ne peut pas être représenté sous forme de fraction.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction décimale périodique finie ou infinie.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.

Ce chiffre est-il rationnel ?

Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.

Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.

Si un nombre est donné sous la forme d'une expression numérique qui contient uniquement des nombres rationnels et des signes arithmétiques (+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.

Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.

Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que Racine carrée d'un nombre naturel n'est un nombre rationnel que dans les cas où la racine contient un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas des carrés parfaits. nombres naturels.

Le nombre est-il rationnel ou non ? Dans ce cas, il est facile de remarquer que ce nombre est donc rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.

La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.

Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a nombre impair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.

En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.

Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais non prouvé. Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .

On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il existe des nombres irrationnels dont le pouvoir irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.

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) sont des nombres avec positif ou signe négatif(entiers et fractions) et zéro. Un concept plus précis de nombres rationnels ressemble à ceci :

Nombre rationnel- le nombre qui est représenté fraction ordinaire m/n, où le numérateur m sont des entiers, et le dénominateur n- des entiers, par exemple 2/3.

Les fractions infinies non périodiques ne sont PAS incluses dans l'ensemble des nombres rationnels.

un B, Où un∈ Z (un appartient aux entiers), b∈ N (b appartient aux nombres naturels).

Utiliser des nombres rationnels dans la vraie vie.

DANS vrai vie l'ensemble des nombres rationnels est utilisé pour compter les parties de certains objets entiers divisibles, Par exemple, des gâteaux ou d'autres aliments coupés en morceaux avant consommation, ou pour estimer approximativement les relations spatiales d'objets étendus.

Propriétés des nombres rationnels.

Propriétés de base des nombres rationnels.

1. Ordre un Et b il existe une règle qui permet d'identifier sans ambiguïté 1 et une seule des 3 relations entre elles : «<», «>" ou " = ". Cette règle est - règle de commande et formulez-le ainsi :

2 nombres positifs a=m a /n a Et b = m b /n b sont liés par la même relation que 2 entiers ma⋅ nb Et mb⋅ n / A;
2 nombres négatifs un Et b sont liés par le même rapport que 2 nombres positifs |b| Et |une|;
Quand un positif et b- négatif, alors un>b.

∀ un B∈ Q(un ∨ un>b∨ une=b)

2. Opération d'addition. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de sommation, ce qui leur attribue un certain nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c- Ce somme Nombres un Et b et il est noté (a+b) addition.

Règle de sommation Ressemble à ça:

ma/n a + m b/n b = (m a⋅ nb + mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ un B∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Opération de multiplication. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de multiplication, il les associe à un certain nombre rationnel c. Le nombre c s'appelle travail Nombres un Et b et désigne (une⋅b), et le processus de recherche de ce numéro s'appelle multiplication.

Règle de multiplication Ressemble à ça: un homme⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour trois nombres rationnels quelconques un, b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c.

∀ abc∈ Q(un ∧ b ⇒ un ∧ (une = b∧ b = c⇒ une = c)

5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.

∀ un B∈ Q a+b=b+a

6. Associativité des ajouts. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.

∀ abc∈ Q (une+b)+c=une+(b+c)

7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0, il conserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.

∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Q une+0=une

8. Présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé, et lorsqu'ils sont ajoutés, le résultat est 0.

∀ un∈ Q∃ (−une)∈ Q une+(−une)=0

9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.

∀ un B∈ Q un⋅ b = b⋅ un

10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont multipliés n’a aucun effet sur le résultat.

∀ abc∈ Q(un⋅ b)⋅ c = un⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilité des unités. Il existe un nombre rationnel 1, il préserve tous les autres nombres rationnels lors du processus de multiplication.

∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Q un⋅ 1=un

12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel autre que zéro a un nombre rationnel inverse, en multipliant par lequel on obtient 1 .

∀ un∈ Q∃ a−1∈ Q un⋅ une−1=1

13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est liée à l'addition utilisant la loi distributive :

∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c = un⋅ c+b⋅ c

14. Relation entre la relation d'ordre et l'opération d'addition. Le même nombre rationnel est ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.

∀ abc∈ Q un ⇒ a+c

15. Relation entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel non négatif.

∀ abc∈ Qc>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c

16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, il est facile de prendre tellement d'unités que leur somme sera plus grande un.

Dans cette leçon, nous découvrirons de nombreux nombres rationnels. Analysons les propriétés de base des nombres rationnels, apprenons à convertir des fractions décimales en fractions ordinaires et vice versa.

Nous avons déjà parlé des ensembles de nombres naturels et entiers. L'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble des nombres entiers.

Nous avons maintenant appris ce que sont les fractions et comment les utiliser. Une fraction, par exemple, n’est pas un nombre entier. Cela signifie que nous devons décrire un nouvel ensemble de nombres, qui inclura toutes les fractions, et cet ensemble a besoin d'un nom, d'une définition et d'une désignation claires.

Commençons par le nom. Le mot latin ratio est traduit en russe par ratio, fraction. Le nom du nouvel ensemble « nombres rationnels » vient de ce mot. Autrement dit, les « nombres rationnels » peuvent être traduits par « nombres fractionnaires ».

Voyons de quels nombres se compose cet ensemble. Nous pouvons supposer qu'il est constitué de toutes les fractions. Par exemple, tel - . Mais une telle définition ne serait pas tout à fait correcte. Une fraction n’est pas un nombre en soi, mais une forme d’écriture d’un nombre. Dans l'exemple ci-dessous, deux différentes fractions représentent le même nombre :

Il serait alors plus exact de dire que les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent être représentés sous forme de fraction. Et c’est en fait presque la même définition que celle utilisée en mathématiques.

Cet ensemble est désigné par la lettre . Comment les ensembles de nombres naturels et entiers sont-ils liés au nouvel ensemble de nombres rationnels ? Un nombre naturel peut s’écrire sous forme de fraction d’une infinité de façons. Et comme elle peut être représentée comme une fraction, elle est également rationnelle.

La situation est similaire avec les entiers négatifs. N'importe quel entier un nombre négatif peut être représenté comme une fraction . Est-il possible de représenter le nombre zéro sous forme de fraction ? Bien sûr, vous pouvez également le faire d'une infinité de façons .

Ainsi, tous les nombres naturels et tous les entiers sont aussi des nombres rationnels. Les ensembles de nombres naturels et d'entiers sont des sous-ensembles de l'ensemble des nombres rationnels ().

Fermeture des ensembles par rapport aux opérations arithmétiques

La nécessité d'introduire de nouveaux nombres - entiers, puis rationnels - ne s'explique pas seulement par des problèmes de la vie réelle. Les opérations arithmétiques elles-mêmes nous le disent. Ajoutons deux nombres naturels : . Nous obtenons à nouveau un nombre naturel.

On dit que l'ensemble des nombres naturels est fermé sous l'opération d'addition (fermé sous addition). Pensez par vous-même si l'ensemble des nombres naturels est fermé par multiplication.

Dès que nous essayons de soustraire quelque chose d’égal ou de plus d’un nombre, nous nous retrouvons à court de nombres naturels. L'introduction d'entiers nuls et négatifs corrige la situation :

L'ensemble des entiers est fermé par soustraction. Nous pouvons ajouter et soustraire n’importe quel entier sans craindre de ne pas avoir de nombre avec lequel écrire le résultat (fermé à l’addition et à la soustraction).

L'ensemble des entiers est-il fermé par multiplication ? Oui, le produit de deux nombres entiers donne un nombre entier (fermé par addition, soustraction et multiplication).

Il reste encore une action : la division. L'ensemble des entiers est-il fermé par division ? La réponse est évidente : non. Divisons par. Parmi les nombres entiers, il n'existe pas de nombre pour écrire la réponse : .

Mais avec l'aide nombre fractionnaire nous pouvons presque toujours écrire le résultat de la division d’un entier par un autre. Pourquoi presque ? Rappelons que, par définition, on ne peut pas diviser par zéro.

Ainsi, l’ensemble des nombres rationnels (qui apparaît lorsque des fractions sont introduites) prétend être un ensemble fermé par les quatre opérations arithmétiques.

Allons vérifier.

C'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est clos par addition, soustraction, multiplication et division, à l'exclusion de la division par zéro. En ce sens, on peut dire que l’ensemble des nombres rationnels est « mieux » structuré que les ensembles précédents de nombres naturels et entiers. Cela signifie-t-il que les nombres rationnels sont le dernier ensemble de nombres que nous étudions ? Non. Par la suite, nous aurons d'autres nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions, par exemple des nombres irrationnels.

Les chiffres comme outil

Les nombres sont un outil que l'homme a créé selon ses besoins.

Riz. 1. Utiliser des nombres naturels

Plus tard, lorsqu'il fut nécessaire d'effectuer des calculs monétaires, ils commencèrent à mettre des signes plus ou moins devant le nombre, indiquant si la valeur initiale devait être augmentée ou diminuée. C'est ainsi que sont apparus les nombres négatifs et positifs. Le nouvel ensemble s'appelait l'ensemble des entiers ().

Riz. 2. Utiliser des fractions

Il apparaît donc nouvel outil, les nouveaux nombres sont des fractions. On les écrit de différentes manières équivalentes : fractions ordinaires et décimales ( ).

Tous les nombres - "anciens" (entier) et "nouveaux" (fractionnaires) - ont été combinés en un seul ensemble et l'ont appelé l'ensemble des nombres rationnels ( - nombres rationnels)

Ainsi, un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté comme une fraction commune. Mais cette définition en mathématiques est encore plus clarifiée. Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur positif, c'est-à-dire le rapport d'un nombre entier à un nombre naturel : .

On obtient alors la définition : un nombre est dit rationnel s'il peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel ( ).

Sauf fractions ordinaires, nous utilisons également des décimales. Voyons comment ils se rapportent à l'ensemble des nombres rationnels.

Il existe trois types de nombres décimaux : finis, périodiques et non périodiques.

Fractions infinies non périodiques : ces fractions ont également un nombre infini de décimales, mais il n'y a pas de point. Un exemple est la notation décimale de PI :

Toute fraction décimale finie est par définition une fraction ordinaire avec un dénominateur, etc.

Lisons à haute voix la fraction décimale et écrivons-la sous sa forme ordinaire : , .

En revenant de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale, vous pouvez obtenir des fractions décimales finies ou des fractions périodiques infinies.

Conversion d'une fraction en un nombre décimal

Le cas le plus simple est celui où le dénominateur d'une fraction est une puissance de dix : etc. Ensuite, nous utilisons la définition d'une fraction décimale :

Il existe des fractions dont le dénominateur peut facilement se réduire à cette forme : . Il est possible de passer à une telle notation si le développement du dénominateur ne comprend que deux et cinq.

Le dénominateur est composé de trois deux et d'un cinq. Chacun forme une dizaine. Cela signifie qu’il nous en manque deux. Multipliez par le numérateur et le dénominateur :

Cela aurait pu être fait différemment. Divisez par une colonne (voir Fig. 1).

Riz. 2. Division des colonnes

Dans le cas de avec, le dénominateur ne peut pas être transformé en un autre chiffre, puisque son expansion comprend un triple. Il ne reste qu'un seul moyen : diviser en colonne (voir Fig. 2).

Une telle division donnera à chaque étape un reste et un quotient. Ce processus est sans fin. Autrement dit, nous obtenons une fraction périodique infinie avec une période

Entraînons-nous. Convertissons les fractions ordinaires en décimales.

Dans tous ces exemples, nous nous sommes retrouvés avec une fraction décimale finale car le développement du dénominateur ne comprenait que deux et cinq.

(vérifions nous-mêmes en divisant en tableau - voir Fig. 3).

Riz. 3. Division longue

Riz. 4. Division des colonnes

(voir fig. 4)

Le développement du dénominateur inclut un triple, ce qui signifie amener le dénominateur sous la forme , etc. ne fonctionnera pas. Divisez par en une colonne. La situation va se répéter. Il y aura un nombre infini de triplets dans l'enregistrement de résultat. Ainsi, .

(voir fig. 5)

Riz. 5. Division des colonnes

Ainsi, tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction ordinaire. C'est sa définition.

Et toute fraction ordinaire peut être représentée comme une fraction décimale périodique finie ou infinie.

Types d'enregistrement des fractions :

enregistrer une fraction décimale sous la forme d'une fraction ordinaire : ; ;

écrire une fraction commune sous forme décimale : (fraction finale) ; (périodique infini).

Autrement dit, tout nombre rationnel peut être écrit sous forme de fraction décimale finie ou périodique. Dans ce cas, la fraction finale peut également être considérée comme périodique avec une période nulle.

Parfois, un nombre rationnel reçoit exactement cette définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit sous forme de fraction décimale périodique.

Conversion de fraction périodique

Considérons d'abord une fraction dont la période est composée d'un chiffre et n'a pas de pré-période. Notons ce numéro par la lettre . La méthode consiste à obtenir un autre nombre avec le même point :

Cela peut être fait en multipliant le nombre d'origine par . Le nombre a donc la même période. Soustrayez du nombre lui-même :

Pour nous assurer que nous avons tout fait correctement, faisons maintenant une transition vers verso, d'une manière déjà connue - en divisant en colonne par (voir Fig. 1).

En fait, on obtient un nombre sous sa forme originale avec un point.

Considérons un nombre avec une pré-période et une période plus longue : . La méthode reste exactement la même que dans l’exemple précédent. Nous devons obtenir un nouveau numéro avec la même période et une pré-période de même durée. Pour ce faire, il faut que la virgule se déplace vers la droite de la longueur du point, c'est-à-dire par deux personnages. Multipliez le numéro d'origine par :

Soustrayons l'expression originale de l'expression résultante :

Alors, quel est l’algorithme de traduction ? La fraction périodique doit être multipliée par un nombre de la forme, etc., qui comporte autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la période de la fraction décimale. Nous en obtenons un nouveau périodique. Par exemple:

En soustrayant une autre d'une fraction périodique, nous obtenons la fraction décimale finale :

Il reste à exprimer la fraction périodique originale sous la forme d'une fraction ordinaire.

Pour vous entraîner, notez vous-même quelques fractions périodiques. À l’aide de cet algorithme, réduisez-les sous la forme d’une fraction ordinaire. Pour vérifier sur une calculatrice, divisez le numérateur par le dénominateur. Si tout est correct, alors vous obtenez la fraction périodique originale

Ainsi, nous pouvons écrire n’importe quelle fraction périodique finie ou infinie comme une fraction ordinaire, comme le rapport d’un nombre naturel et d’un nombre entier. Ceux. toutes ces fractions sont des nombres rationnels.

Qu’en est-il des fractions non périodiques ? Il s'avère que les fractions non périodiques ne peuvent pas être représentées comme des fractions ordinaires (nous accepterons ce fait sans preuve). Cela signifie que ce ne sont pas des nombres rationnels. On les appelle irrationnels.

Fractions infinies non périodiques

Comme nous l'avons déjà dit, un nombre rationnel dans notation décimale- c'est soit une fraction finie, soit une fraction périodique. Cela signifie que si nous pouvons construire une fraction infinie non périodique, alors nous obtiendrons un nombre non rationnel, c'est-à-dire irrationnel.

Voici une façon de construire cela : la partie fractionnaire de ce nombre est composée uniquement de zéros et de uns. Le nombre de zéros entre les uns augmente de . Il est impossible de souligner ici la partie répétitive. Autrement dit, la fraction n’est pas périodique.

Entraînez-vous à construire vous-même des fractions décimales non périodiques, c'est-à-dire des nombres irrationnels.

Un exemple familier de nombre irrationnel est pi ( ). Il n'y a pas de point dans cette entrée. Mais outre Pi, il existe une infinité d’autres nombres irrationnels. Nous parlerons davantage des nombres irrationnels plus tard.

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Cleverstudents.ru ().
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Devoirs

Nombres rationnels

Quartiers

Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d’identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Ajouter des fractions
Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. De plus, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Tel propriétés supplémentaires tant. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

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Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels.

Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun j la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où je- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et j- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que la fraction 1/1 est attribuée au nombre 1, la fraction 2/1 au nombre 2, etc. Il est à noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée l’impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n’importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

Lycéens et étudiants spécialités mathématiques, répondra probablement facilement à cette question. Mais pour ceux qui en sont loin par profession, ce sera plus difficile. Qu'est-ce que c'est vraiment ?

Essence et désignation

Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent être représentés comme une fraction ordinaire. Le positif, le négatif et le zéro sont également inclus dans cet ensemble. Le numérateur de la fraction doit être un entier et le dénominateur doit être

Cet ensemble en mathématiques est noté Q et est appelé « champ des nombres rationnels ». Il comprend tous les nombres entiers et naturels, notés respectivement Z et N. L'ensemble Q lui-même est inclus dans l'ensemble R. C'est cette lettre qui désigne ce qu'on appelle le réel ou

Performance

Comme déjà mentionné, les nombres rationnels sont un ensemble qui comprend toutes les valeurs entières et fractionnaires. Ils peuvent être présentés dans différentes formes. Tout d'abord, sous la forme d'une fraction ordinaire : 5/7, 1/5, 11/15, etc. Bien entendu, les entiers peuvent aussi s'écrire sous une forme similaire : 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, etc. Deuxièmement, un autre type de représentation est une fraction décimale avec une partie fractionnaire finale : 0,01, -15,001006, etc. C'est peut-être l'une des formes les plus courantes.

Mais il y en a aussi une troisième : une fraction périodique. Ce type n'est pas très courant, mais est toujours utilisé. Par exemple, la fraction 10/3 peut s'écrire 3,33333... ou 3,(3). Dans ce cas, différentes représentations seront considérées comme des nombres similaires. Les fractions égales entre elles seront également appelées de la même manière, par exemple 3/5 et 6/10. Il semble que ce que sont les nombres rationnels soit devenu clair. Mais pourquoi ce terme particulier est-il utilisé pour les désigner ?

origine du nom

Le mot « rationnel » en russe moderne a généralement un sens légèrement différent. C'est plutôt « raisonnable », « réfléchi ». Mais les termes mathématiques sont proches de littéralement En latin, « rapport » est un « rapport », une « fraction » ou une « division ». Ainsi, le nom capture l’essence de ce que sont les nombres rationnels. Cependant, le deuxième sens

pas loin de la vérité.

Actions avec eux

Au moment de décider problèmes mathématiques Nous rencontrons constamment des nombres rationnels sans le savoir nous-mêmes. Et ils sont proches propriétés intéressantes. Tous découlent soit de la définition d’un ensemble, soit d’actions.

Premièrement, les nombres rationnels ont la propriété de relation d’ordre. Cela signifie qu'il ne peut y avoir qu'une seule relation entre deux nombres : soit ils sont égaux l'un à l'autre, soit l'un est supérieur ou inférieur à l'autre. C'est-à-dire:

ou une = b ; ou une > b, ou un< b.

De plus, la transitivité de la relation découle également de cette propriété. Autrement dit, si un plus b, b plus c, Que un plus c. En langage mathématique, cela ressemble à ceci :

(une > b) ^ (b > c) => (une > c).

Deuxièmement, il existe des opérations arithmétiques avec des nombres rationnels, c'est-à-dire l'addition, la soustraction, la division et, bien sûr, la multiplication. Parallèlement, au cours des transformations, un certain nombre de propriétés peuvent également être identifiées.

a + b = b + a (changement de place des termes, commutativité) ;
0 + une = une + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (associativité) ;
une + (-une) = 0 ;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (distributivité) ;
une x 1 = 1 x une = une ;
a x (1 / a) = 1 (dans ce cas a n'est pas égal à 0) ;
(a + b)c = ac + ab;
(une > b) ^ (c > 0) => (ac > avant JC).

Lorsqu’il s’agit de nombres ordinaires et non d’entiers, travailler avec eux peut poser certaines difficultés. Ainsi, l’addition et la soustraction ne sont possibles que si les dénominateurs sont égaux. S'ils sont initialement différents, vous devriez trouver le commun en multipliant la fraction entière par certains nombres. La comparaison n’est d’ailleurs le plus souvent possible que si cette condition est remplie.

La division et la multiplication des fractions ordinaires sont effectuées conformément à des règles suffisantes règles simples. La réduction à un dénominateur commun n’est pas nécessaire. Les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés séparément et, lors de l'exécution de l'action, si possible, la fraction doit être réduite et simplifiée autant que possible.

Quant à la division, cette action est similaire à la première avec une légère différence. Pour la deuxième fraction, vous devriez trouver l'inverse, c'est-à-dire

"retournez. Ainsi, le numérateur de la première fraction devra être multiplié par le dénominateur de la seconde et vice versa.

Enfin, une autre propriété inhérente aux nombres rationnels est appelée l’axiome d’Archimède. On retrouve souvent dans la littérature le nom de « principe ». Elle est valable pour l’ensemble des nombres réels, mais pas partout. Ainsi, ce principe ne s’applique pas à certaines populations. fonctions rationnelles. Essentiellement, cet axiome signifie que étant donné l’existence de deux quantités a et b, vous pouvez toujours prendre suffisamment de a pour dépasser b.

Champ d'application

Ainsi, pour ceux qui ont appris ou se sont souvenus de ce que sont les nombres rationnels, il devient clair qu'ils sont utilisés partout : en comptabilité, en économie, en statistiques, en physique, en chimie et dans d'autres sciences. Naturellement, ils ont aussi leur place en mathématiques. Ne sachant pas toujours qu’il s’agit d’eux, nous utilisons constamment des nombres rationnels. Même les petits enfants, apprenant à compter des objets, coupant une pomme en morceaux ou effectuant d'autres actions simples, les rencontrent. Ils nous entourent littéralement. Et pourtant, ils ne suffisent pas à résoudre certains problèmes ; notamment, en prenant comme exemple le théorème de Pythagore, on peut comprendre la nécessité d'introduire le concept