Résoudre les limites sans appliquer la règle de L'Hôpital. Résoudre les limites en ligne

La règle de L'Hôpital (p. L.) facilite le calcul des limites des fonctions. Par exemple, vous devez trouver la limite d’une fonction, qui est le rapport des fonctions tendant vers zéro. Ceux. le rapport des fonctions est l'incertitude 0/0. Cela aidera à l'ouvrir. A la limite, le rapport des fonctions peut être remplacé par le rapport des dérivées de ces fonctions. Ceux. Vous devez diviser la dérivée du numérateur par la dérivée du dénominateur et prendre la limite de cette fraction.

1. Incertitude 0/0. Premier p.L.

Si = 0, alors , si ce dernier existe.

2. Incertitude de la forme ∞/∞ Deuxième paragraphe L.

La découverte de ces types de limites s’appelle la découverte de l’incertitude.

Si = ∞, alors si ce dernier existe.

3. Les incertitudes 0⋅∞, ∞-∞, 1 ∞ et 0 0 sont réduites aux incertitudes 0/0 et ∞/∞ par transformations. Cette notation sert à indiquer brièvement le cas lors de la recherche de la limite. Chaque incertitude se déroule à sa manière. La règle de L'Hôpital peut être appliquée plusieurs fois jusqu'à ce que l'incertitude soit levée. L'application de la règle de L'Hôpital est utile lorsque le rapport des dérivées peut être converti plus facilement en une forme plus pratique que le rapport des fonctions.

• 0⋅∞ est le produit de deux fonctions, la première tend vers zéro, la seconde vers l'infini ;
• ∞- ∞ différence de fonctions tendant vers l'infini ;
• 1 ∞ degré, sa base tend vers l'unité, et son exposant tend vers l'infini ;
• ∞ 0 degré, sa base tend vers l'infini, et son degré tend vers zéro ;
• 0 0 degré, sa base tend vers 0 et l'exposant tend également vers zéro.

Exemple 1 : Dans cet exemple, l'incertitude est de 0/0

Exemple 2. Ici ∞/∞

Dans ces exemples, nous divisons les dérivées du numérateur par les dérivées du dénominateur et substituons la valeur limite à x.

Exemple 3. Type d'incertitude 0⋅∞ .

On transforme l'incertitude 0⋅∞ en ∞/∞, pour cela on transfère x au dénominateur sous forme de fraction 1/x, au numérateur on écrit la dérivée du numérateur, et au dénominateur la dérivée du dénominateur .

Exemple 4 Calculer la limite d'une fonction

Ici, l'incertitude est de la forme ∞ 0 Tout d'abord, on logarithme la fonction, puis on trouve sa limite

Pour obtenir la réponse, il faut élever e à la puissance -1, on obtient e -1.

Exemple 5. Calculer la limite à partir de si x → 0

Solution. Type d'incertitude ∞ -∞ Après avoir ramené la fraction à un dénominateur commun, on passe de ∞-∞ à 0/0. Appliquons la règle de L'Hôpital, mais encore une fois nous obtenons une incertitude de 0/0, donc p.L. doit être appliqué une seconde fois. La solution ressemble à :

= = = =
= =

Exemple 6 Résoudre

Solution. Type d'incertitude ∞/∞, en l'étendant on obtient

Dans les cas 3), 4), 5), la fonction est d'abord logarithmisée et la limite du logarithme est trouvée, puis la limite e souhaitée est élevée à la puissance résultante.

Exemple 7 : calculer la limite

Solution. Ici, le type d'incertitude est 1 ∞. Notons A =

Alors lnA = = = = 2.

La base du logarithme est e, donc pour obtenir la réponse dont vous avez besoin pour mettre e au carré, nous obtenons e 2.

Il existe parfois des cas où le rapport des fonctions a une limite, contrairement au rapport des dérivées, qui n'en a pas.

Regardons un exemple :

Parce que sinx est limité, et x croît sans limite, le deuxième terme est égal à 0.

Cette fonction n'a pas de limite, car... il oscille constamment entre 0 et 2 ; P.L. ne s'applique pas à cet exemple.

Théorème de L'Hôpital(Aussi Règle de Bernoulli-L'Hôpital) - une méthode pour trouver les limites des fonctions, révélant les incertitudes de la forme et . Le théorème justifiant la méthode stipule que, sous certaines conditions, la limite du rapport des fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées.

Libellé exact.

La règle dit que si les fonctions F(X) Et g(X) ont l'ensemble de conditions suivant :

ensuite il y a . De plus, le théorème est également vrai pour d'autres bases (une démonstration sera donnée pour celle indiquée).

Histoire.

Une méthode pour découvrir ce type d'incertitude a été publiée L'Hôpital dans son ouvrage « Analysis of Infinitesimals », publié dans 1696 année. Dans la préface de cet ouvrage, L'Hôpital souligne qu'il a utilisé les découvertes sans aucune hésitation Leibniz et les frères Bernoulli et « n’a rien contre eux de faire valoir leurs droits d’auteur sur tout ce qu’ils veulent ». Johanne Bernoulli revendique l'ensemble de l'ouvrage de L'Hôpital et, en particulier, après la mort de L'Hôpital, publie l'ouvrage sous le titre remarquable « Amélioration de ma méthode publiée dans « Analyse des infinitésimaux » pour déterminer la valeur d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur parfois disparaître." 1704 .

Preuve.

Attitude sans cesse petit

Démontrons le théorème pour le cas où les limites des fonctions sont égales à zéro (ce qu'on appelle l'incertitude de la forme ).

Puisque nous regardons les fonctions F Et g seulement dans le demi-quartier droit perforé de la pointe un, nous pouvons continu chemin définissons-les plus en détail à ce stade : laissez F(un) = g(un) = 0. Prenons quelques X du semi-quartier considéré et s'appliquent au segment théorème Cauchy. Par ce théorème on obtient :

,

Mais F(un) = g(un) = 0, donc .

Pour la limite finale et

Pour l'infini

qui est la définition de la limite du rapport des fonctions.

Rapport d'infiniment grand

Démontrons le théorème des incertitudes de forme .

Supposons, pour commencer, que la limite du rapport des dérivées soit finie et égale UN. Puis, en s'efforçant XÀ unà droite, cette relation peut s'écrire UN+ α, où α - Ô(1). Écrivons cette condition :

Réparons-le t du segment et appliquer théorème Cauchyà tous X du segment :

Ce qui peut se réduire à la forme suivante :

.

Pour X, assez proche de un, l'expression a du sens ; la limite du premier facteur du membre de droite est égale à l'unité (puisque F(t) Et g(t) - constantes, UN F(X) Et g(X) tendent vers l’infini). Cela signifie que ce multiplicateur est égal à 1 + β, où β est une fonction infinitésimale comme XÀ un sur la droite. Écrivons la définition de ce fait en utilisant la même valeur que dans la définition de α :

Nous avons constaté que la relation des fonctions peut être représentée sous la forme (1 + β)( UN+ α), et .Pour toute donnée donnée, il est possible de trouver tel que le module de la différence du rapport des fonctions et UNétait inférieur, ce qui signifie que la limite du rapport des fonctions est vraiment égale UN.

Imaginez une volée de moineaux aux yeux exorbités. Non, ce n'est pas du tonnerre, ni un ouragan, ni même un petit garçon avec une fronde dans les mains. C’est juste qu’un énorme, énorme boulet de canon vole au cœur des poussins. Exactement Le règlement de L'Hôpital traiter des limites dans lesquelles l'incertitude ou .

Les règles de L'Hôpital sont une méthode très puissante qui permet d'éliminer rapidement et efficacement ces incertitudes, ce n'est pas un hasard si dans des ensembles de problèmes, sur essais, dans les tests il y a souvent un cachet persistant : « calculer la limite, sans utiliser la règle de L'Hôpital" L’exigence en gras peut être appliquée en toute conscience à n’importe quelle limite de cours. Limites. Exemples de solutions, Des limites merveilleuses. Méthodes pour résoudre les limites, Des équivalences remarquables, où se produit l’incertitude « de zéro à zéro » ou « de l’infini à l’infini ». Même si la tâche est formulée brièvement - « calculer les limites », il est tacitement entendu que vous utiliserez tout, mais pas les règles de L'Hôpital.

Il existe deux règles au total, et elles sont très similaires les unes aux autres, tant dans leur essence que dans leur méthode d'application. En plus d'exemples directs sur le sujet, nous étudierons également matériels supplémentaires, ce qui sera utile dans une étude plus approfondie de l'analyse mathématique.

Je réserve tout de suite que les règles seront présentées sous une forme laconique « pratique », et si vous devez passer l'examen théorique, je vous recommande de vous tourner vers le manuel pour des calculs plus rigoureux.

La première règle de L'Hôpital

Considérons les fonctions qui infinitésimalà un moment donné. S'il y a une limite à leur relation, alors afin d'éliminer l'incertitude, nous pouvons prendre deux dérivés- du numérateur et du dénominateur. Où: , c'est .

Note : La limite doit également exister, sinon la règle ne s'applique pas.

Que découle de ce qui précède ?

Tout d'abord, vous devez être capable de trouver dérivées de fonctions, et mieux c'est, mieux c'est =)

Deuxièmement, les dérivées sont prises SÉPARÉMENT du numérateur et SÉPARÉMENT du dénominateur. Ne pas confondre avec la règle de différenciation des quotients !!!

Et troisièmement, « X » peut tendre n'importe où, y compris vers l'infini - tant qu'il y a une incertitude.

Revenons à l'exemple 5 du premier article sur les limites, ce qui a donné le résultat suivant :

Pour l'incertitude 0:0 nous appliquons la première règle de L'Hôpital :

Comme vous pouvez le constater, la différenciation du numérateur et du dénominateur nous a conduit à la réponse en un demi-tour : nous avons trouvé deux dérivées simples, y avons substitué le « deux », et il s'est avéré que l'incertitude a disparu sans laisser de trace !

Il n'est pas rare que les règles de L'Hôpital soient appliquées successivement deux ou plusieurs fois (cela s'applique également à la deuxième règle). Sortons-le pour une soirée rétro Exemple de leçon 2 à propos de merveilleuses limites:

Deux bagels refroidissent à nouveau sur le lit superposé. Appliquons la règle de L'Hôpital :

Veuillez noter que dans la première étape, le dénominateur est pris dérivée d'une fonction complexe. Après cela, nous effectuons un certain nombre de simplifications intermédiaires, notamment en supprimant le cosinus, indiquant qu'il tend vers l'unité. L'incertitude n'est pas éliminée, on applique donc à nouveau la règle de L'Hôpital (deuxième ligne).

J'ai volontairement choisi un exemple pas si simple pour que vous puissiez faire un petit auto-test. S'il n'est pas tout à fait clair comment ils ont été trouvés dérivés, vous devriez renforcer votre technique de différenciation, si l'astuce du cosinus n'est pas claire, veuillez revenir à limites remarquables. Je ne vois pas beaucoup d’intérêt dans les commentaires étape par étape, puisque j’ai déjà parlé de manière suffisamment détaillée des dérivées et des limites. La nouveauté de l'article réside dans les règles elles-mêmes et dans quelques solutions techniques.

Comme nous l'avons déjà indiqué, dans la plupart des cas, il n'est pas nécessaire d'utiliser les règles de L'Hôpital, mais il est souvent conseillé de les utiliser pour une vérification approximative d'une solution. Souvent, mais pas toujours. Ainsi, par exemple, l'exemple que nous venons de considérer est beaucoup plus rentable à vérifier merveilleuses équivalences.

La deuxième règle de L'Hôpital

Brother-2 combat deux huit endormis. De même:

S'il existe une limite de relation infiniment grand au point de fonction : , alors afin d'éliminer l'incertitude on peut prendre deux dérivés– SÉPARÉMENT du numérateur et SÉPARÉMENT du dénominateur. Où: , c'est lors de la différenciation du numérateur et du dénominateur, la valeur de la limite ne change pas.

Note : il doit y avoir une limite

Encore une fois, dans divers exemples pratiques le sens peut être différent, y compris l'infini. Il est important qu’il y ait une incertitude.

Vérifions l'exemple n°3 de la première leçon : . Nous utilisons la deuxième règle de L'Hôpital :

Puisque nous parlons de géants, regardons deux limites canoniques :

Exemple 1

Calculer la limite

Il n’est pas facile d’obtenir une réponse avec les méthodes « conventionnelles », alors pour révéler l’incertitude « de l’infini à l’infini » nous utilisons la règle de L’Hôpital :

Ainsi, fonction linéaire ordre de croissance supérieur à un logarithme de base supérieure à un( etc.). Bien sûr, les « X » dans les puissances supérieures « tireront » également de tels logarithmes. En effet, la fonction croît assez lentement et son calendrier est plus plat par rapport au même « X ».

Exemple 2

Calculer la limite

Un autre cliché familier. Afin d'éliminer l'incertitude, nous utilisons d'ailleurs la règle de L'Hôpital deux fois de suite :

Fonction exponentielle, de base supérieure à un( etc.) ordre de croissance plus élevé que fonction de puissance avec un diplôme positif.

Des limites similaires sont rencontrées lors étude de fonction complète, à savoir, en trouvant asymptotes des graphiques. Ils sont également visibles dans certaines tâches théorie des probabilités. Je vous conseille de prendre note des deux exemples évoqués ; c'est un des rares cas où il n'y a rien de mieux que de différencier le numérateur et le dénominateur.

Plus loin dans le texte, je ne ferai pas de distinction entre la première et la deuxième règle de L'Hôpital ; cela a été fait uniquement dans le but de structurer l'article. En général, de mon point de vue, il est quelque peu préjudiciable de numéroter excessivement les axiomes, théorèmes, règles, propriétés mathématiques, car des expressions comme « selon le corollaire 3 du théorème 19... » ne sont informatives que dans le cadre d'un manuel particulier. . Dans une autre source d'information, la même chose sera « Corollaire 2 et Théorème 3 ». De telles déclarations ne sont formelles et ne conviennent qu'aux auteurs eux-mêmes. Idéalement, il vaut mieux se référer à l’essence du fait mathématique. L'exception concerne les termes historiquement établis, par exemple, première limite merveilleuse ou deuxième limite merveilleuse.

Nous continuons à développer un sujet qui nous a été proposé par un membre de l'Académie des sciences de Paris, le marquis Guillaume François de L'Hôpital. L'article prend une saveur pratique prononcée et dans une tâche assez courante il faut :

Pour nous échauffer, parlons de quelques petits moineaux :

Exemple 3

La limite peut d’abord être simplifiée en supprimant le cosinus, mais respectons la condition et différencions immédiatement le numérateur et le dénominateur :

Il n'y a rien de non standard dans le processus de recherche de dérivées ; par exemple, le dénominateur utilise l'habituel règle de différenciation travaux .

L’exemple considéré est résolu par merveilleuses limites, un cas similaire est discuté à la fin de l'article Limites complexes.

Exemple 4

Calculer la limite en utilisant la règle de L'Hôpital

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Bonne blague =)

Une situation typique est celle où, après différenciation, des fractions de trois ou quatre étages sont obtenues :

Exemple 5

Calculer la limite en utilisant la règle de L'Hôpital

Demande à être utilisé équivalence remarquable, mais le chemin est strictement prédéterminé par la condition :

Après différenciation, je recommande fortement de se débarrasser de la fraction à plusieurs étages et de procéder à un maximum de simplifications. Bien entendu, les étudiants plus avancés peuvent sauter la dernière étape et écrire immédiatement : , mais même les excellents étudiants seront confus dans certaines limites.

Exemple 6

Calculer la limite en utilisant la règle de L'Hôpital

Exemple 7

Calculer la limite en utilisant la règle de L'Hôpital

Ce sont des exemples à résoudre par vous-même. Dans l’exemple 7, vous n’avez rien à simplifier : la fraction obtenue après différenciation est trop simple. Mais dans l'exemple 8, après avoir appliqué la règle de L'Hôpital, il est hautement souhaitable de se débarrasser de la structure à trois étages, car les calculs ne seront pas des plus pratiques. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. Si vous rencontrez des difficultés - table trigonométrique aider.

Et des simplifications sont absolument nécessaires lorsque, après différenciation, l'incertitude pas résolu.

Exemple 8

Calculer la limite en utilisant la règle de L'Hôpital

Aller:

Il est intéressant de noter que l'incertitude initiale après la première différenciation s'est transformée en incertitude et que la règle de L'Hôpital est ensuite appliquée calmement. Notez également comment, après chaque « approche », la fraction de quatre étages est éliminée et les constantes sont déplacées au-delà du signe limite. En plus exemples simples C’est plus pratique de ne pas inclure de constantes, mais quand la limite est complexe, on simplifie tout, tout, tout. Le caractère insidieux de l'exemple résolu réside aussi dans le fait que lorsque , et donc, lors de l'élimination des sinus, il n'est pas surprenant de se confondre dans les signes. Dans l'avant-dernière ligne, les sinus n'auraient pas pu être tués, mais l'exemple est assez lourd, pardonnable.

L'autre jour, je suis tombé sur une tâche intéressante :

Exemple 9

Pour être honnête, je doutais un peu à quoi correspondrait cette limite. Comme démontré ci-dessus, "x" est plus ordre élevé hauteur que le logarithme, mais est-ce qu'elle « surpassera » le logarithme au cube ? Essayez de découvrir par vous-même qui va gagner.

Oui, les règles de L'Hôpital ne concernent pas seulement le tir au canon sur les moineaux, mais aussi un travail minutieux...

Afin d'appliquer les règles de L'Hôpital aux bagels ou aux huit fatigués, les incertitudes de forme sont réduites.

La gestion de l'incertitude est discutée en détail dans les exemples n° 9 à 13 de la leçon. Méthodes pour résoudre les limites. Prenons-en un autre par souci de formalité :

Exemple 10

Calculer la limite d'une fonction en utilisant la règle de L'Hôpital

Dans un premier temps, nous ramenons l'expression à un dénominateur commun, transformant ainsi l'incertitude en incertitude. Et puis on applique la règle de L'Hôpital :

C'est d'ailleurs le cas lorsqu'il est inutile de toucher à l'expression à quatre étages.

L’incertitude ne résiste pas non plus à se transformer en ou :

Exemple 11

Calculer la limite d'une fonction en utilisant la règle de L'Hôpital

La limite ici est unilatérale, et ces limites ont déjà été discutées dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions. Comme vous vous en souvenez, le graphique du logarithme « classique » n’existe pas à gauche de l’axe, on ne peut donc s’approcher de zéro que par la droite.

Les règles de L'Hôpital pour les limites unilatérales fonctionnent, mais il faut d'abord gérer l'incertitude. Dans un premier temps, nous faisons une fraction de trois étages, obtenant une incertitude, puis la solution suit un schéma modèle :

Après avoir différencié le numérateur et le dénominateur, on se débarrasse de la fraction de quatre étages pour procéder à des simplifications. En conséquence, une incertitude est apparue. Nous répétons l'astuce : nous faisons à nouveau la fraction à trois étages et appliquons à nouveau la règle de L'Hôpital à l'incertitude résultante :

Prêt.

On pourrait essayer de réduire la limite initiale à deux beignets :

Mais, d'une part, la dérivée au dénominateur est plus difficile, et d'autre part, rien de bon n'en sortira.

Ainsi, Avant de résoudre des exemples similaires, vous devez analyser(oralement ou sur un brouillon), QUELLE incertitude est plus avantageuse à réduire à - à « zéro à zéro » ou à « l'infini à l'infini ».

À leur tour, les copains de beuverie et les camarades plus exotiques se joignent au feu. La méthode de transformation est simple et standard.

Soit pour $x\to a$ les fonctions $f(x)$ et $\varphi(x)$ toutes deux infinitésimales ou toutes deux infiniment grandes. Alors leur relation est indéfinie au point $x=a$ , auquel cas on dit qu'elle représente une incertitude de type $\left[\frac(0)(0)\right]$ ou respectivement. Cette relation peut avoir une limite finie ou infinie au point $x=a$ . Trouver cette limite s’appelle découvrir l’incertitude.

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Théorème(Théorème de L'Hôpital-Bernoulli.)
Soit dans un voisinage de $P$ les points $x=a$ les fonctions $f(x)$ et $g(x)$ soient dérivables partout sauf, peut-être, le point $x=a$ lui-même, et soit $g "(x )\neq0$ sur $P$ Si les fonctions $f(x)$ et $\varphi(x)$ sont simultanément soit infinitésimales, soit infiniment grandes pour $x\to a$ et qu'il y a une limite du rapport $\frac (f"(x))(\varphi"(x))$ de leurs dérivées pour $x\to a$ , alors il y a aussi une limite sur le rapport $\frac(f(x))(g (x))$ d'eux-mêmes fonctions, et

\begin(align) \lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))( g"(x)). \fin(aligner)

La règle () est également applicable dans le cas où $a=\infty$ .

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Méthode(Règle de L'Hôpital. Divulgation des incertitudes de type $\left[\frac(0)(0)\right]$ et $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$.)
En vertu du théorème () il y a méthode générale trouver la limite de la relation de deux fonctions basée sur l'égalité
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x)).$$
Cette méthode est appelée La règle de l'Hôpital .
Si les conditions du théorème () sont satisfaites pour les dérivées $f"(x)$ et $g"(x)$, alors la règle de L'Hopital peut être réappliquée :
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f""(x))(g""(x)).$$
Parallèlement, à chaque étape de l'application de la règle de L'Hôpital, il convient d'utiliser des relations simplificatrices transformations identiques, et combinez également cette règle avec toute autre méthode de calcul des limites.

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x).$$
En utilisant la formule (), on obtient : $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x)=\left[\frac(0)(0)\right]=\lim\limits_(x\to0 )\frac(2e^(2x))(\frac(1)(1+25x^2)\cdot5)=\frac(2)(5),$$ puisque $e^(2x)\to1$ et $\frac(1)(1+25x^2)\to1$ à $x\to0$ .

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to\infty)\frac(\ln2x)(x^3).$$
En appliquant la formule () deux fois, nous obtenons : $$\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^2x)(x^3)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]=\lim\limits_(x \to+\infty)\frac(\frac(2\ln x)(x))(3x^2)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln x)(x^3)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(3x^2)=0.$$

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3).$$
Nous utilisons la formule (): $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\frac(1)(\cos^ 2x)-\cos x)(3x^2)=\frac(1)(3)\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos^3x)(x^2\cos^2x). $$
Libérons le dénominateur de la fraction du facteur $\cos^2x$ , puisqu'il a une limite de $1$ à $x\to0$ . Développons la différence des cubes dans le numérateur et libérons le numérateur du facteur $(1+\cos x+\cos^2x)$, qui a une limite de 3$ à $x\to0$. Après ces simplifications on obtient $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 ).$$
Appliquons à nouveau la formule () : $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 )=\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin x)(2x).$$
En utilisant la première limite remarquable, on obtient la réponse finale $\frac(1)(2)$ , sans recourir à la règle de L'Hôpital.

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Méthode(Règle de L'Hôpital. Incertitude croissante de type $\left$ .)
Calculer $\lim\limits_(x\to a)f(x)g(x)$, où $f(x)$ est un infinitésimal et $g(x)$ est une fonction infiniment grande pour $x\to a$ , le produit doit être transformé sous la forme $\frac(f(x))(1 /g( x))$ (incertitude du type $\left[\frac(0)(0)\right]$ ) ou sous la forme $\frac(g(x))(1/f(x)) $ (incertitude du type $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$) puis utilisez la règle de L'Hôpital.

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2).$$
Nous avons: $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2)=\left=\lim\limits_(x \to1)\frac(\sin(x-1))(\cot\frac(\pi x)(2))=\left[\frac(0)(0)\right]=\\=\lim\ limites_(x\to1)\frac(\cos(x-1))(-\frac(\pi)(2)\frac(1)(\sin^2\frac(\pi x)(2))) =-\frac(2)(\pi)\lim\limits_(x\to1)\cos(x-1)\sin^2\frac(\pi x)(2)=-\frac(2)(\ pi).\end(tableau)$$

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Méthode(Règle de L'Hôpital. Incertitude croissante de type $\left[\infty-\infty\right]$ .)
Calculer $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-g(x))$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont des fonctions infiniment grandes pour $x\to a$ , la différence doit être transformée sous la forme $f(x)\left(1-\frac(g(x))(f(x))\right)$, puis révéler l'incertitude $\frac(g(x))(f(x))$ de type $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$. Si $\lim\limits_(x\to a)\frac(g(x))(f(x))\neq1$, Que $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-\varphi(x))=\infty$. Si $\lim\limits_(x\to a)\frac(\varphi(x))(f(x))=1$, alors on obtient une incertitude du type $[\infty\cdot0]$ considéré plus haut.

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x).$$
Nous avons: $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_(x\to+\infty)x\left(1-\frac( \ln^3x)(x)\droite).$$
Parce que $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^3x)(x)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]= \lim\limits_(x\to+\infty)\frac(3\ln^2x\cdot\frac(1)(x))(1)=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ ln^2x)(x)=\\=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(2\ln x\cdot\frac(1)(x))(1)=6\lim\limits_ (x\to+\infty)\frac(\ln x)(x)=6\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(1)=6\lim\ limites_(x\to+\infty)\frac(1)(x)=0,\end(array)$$ Que $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=+\infty.$$

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Méthode(Règle de L'Hôpital. Divulgation des incertitudes du type $\left$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left$ .)
Dans les trois cas, il s'agit de calculer la limite de l'expression $\left(f(x)\right)^(g(x))$ , où $f(x)$ est infinitésimal dans le premier cas, infiniment grand dans le deuxième cas, dans le troisième cas, une fonction qui a une limite égale à un. La fonction $g(x)$ dans les deux premiers cas est infinitésimale, et dans le troisième cas elle est infiniment grande.
En prenant le logarithme de l'expression $\left(f(x)\right)^(g(x))$ , on obtient l'égalité
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Trouvons la limite $\ln y$ , après quoi nous trouvons la limite $y$ . Dans les trois cas, $\ln y$ est une incertitude de type $$, la méthode pour la divulguer a été décrite précédemment.

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Exemple
Trouver $$\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x).$$
Introduisons la notation $y=\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)$. Alors $\ln y=2x\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)$ est l'incertitude $[\infty\cdot0]$ . Transformer l'expression $\ln y$ sous la forme $\ln y=2\frac(\ln\left(1+\frac(1)(x)\right))(1/x)$, on trouve en utilisant la règle de L'Hôpital $$\lim\limits_(x\to+\infty)\ln y=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(1+\frac(1)(x))\ gauche(-\frac(1)(x^2)\right))(-\frac(1)(x^2))=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(1)(1 +\frac(1)(x))=2.$$
Ainsi, $$\lim\limits_(x\to+\infty)y=\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)=e^2 .$$

Divulgation des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞ et de certaines autres incertitudes survenant lors du calcul limite La relation entre deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes est grandement simplifiée à l'aide de la règle de L'Hôpital (en fait deux règles et leurs commentaires).

L'essence Le règlement de L'Hôpital est que dans le cas où le calcul de la limite du rapport de deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes donne des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞, la limite du rapport de deux fonctions peut être remplacée par la limite du rapport de leur dérivés et ainsi obtenir un certain résultat.

Passons à la formulation des règles de L'Hôpital.

Règle de L'Hôpital pour le cas de la limite de deux quantités infinitésimales. Si les fonctions F(X) Et g(X unun, et dans ce voisinage g"(X un sont égaux entre eux et égaux à zéro

().

Règle de L'Hôpital pour le cas de la limite de deux quantités infiniment grandes. Si les fonctions F(X) Et g(X) sont différenciables dans un certain voisinage du point un, sauf peut-être pour le point lui-même un, et dans ce voisinage g"(X)≠0 et si et si les limites de ces fonctions lorsque x tend vers la valeur de la fonction au point unégaux les uns aux autres et égaux à l'infini

(),

alors la limite du rapport de ces fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées

().

Autrement dit, pour des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞, la limite du rapport de deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées, si cette dernière existe (finie ou infinie).

Remarques.

1. Les règles de L'Hôpital sont également applicables lorsque les fonctions F(X) Et g(X) ne sont pas définis lorsque X = un.

2. Si, lors du calcul de la limite du rapport des dérivées des fonctions F(X) Et g(X) on arrive à nouveau à une incertitude de la forme 0/0 ou ∞/∞, alors les règles de L'Hôpital doivent être appliquées de manière répétée (au moins deux fois).

3. Les règles de L'Hôpital sont également applicables lorsque l'argument des fonctions (x) ne tend pas vers un nombre fini un, et à l'infini ( X → ∞).

Les incertitudes d'autres types peuvent également être réduites à des incertitudes des types 0/0 et ∞/∞.

Divulgation des incertitudes de type « zéro divisé par zéro » et « infini divisé par l'infini »

Exemple 1.

X=2 conduit à une incertitude de la forme 0/0. On obtient donc la dérivée de chaque fonction

La dérivée du polynôme a été calculée au numérateur et au dénominateur - dérivée d'une fonction logarithmique complexe. Avant le dernier signeégalités calculées habituelles limite, en remplaçant un deux par un X.

Exemple 2. Calculez la limite du rapport de deux fonctions à l'aide de la règle de L'Hôpital :

Solution. Remplacement dans fonction donnée valeurs X

Exemple 3. Calculez la limite du rapport de deux fonctions à l'aide de la règle de L'Hôpital :

Solution. Substituer une valeur dans une fonction donnée X=0 conduit à une incertitude de la forme 0/0. Par conséquent, nous calculons les dérivées des fonctions au numérateur et au dénominateur et obtenons :

Exemple 4. Calculer

Solution. Remplacer la valeur x égale à plus l'infini dans une fonction donnée conduit à une incertitude de la forme ∞/∞. Nous appliquons donc la règle de L'Hôpital :

Commentaire. Passons aux exemples dans lesquels la règle de L'Hôpital doit être appliquée deux fois, c'est-à-dire pour arriver à la limite du rapport des dérivées secondes, puisque la limite du rapport des dérivées premières est une incertitude de la forme 0 /0 ou ∞/∞.

Appliquez vous-même la règle de L'Hôpital et voyez ensuite la solution

Découvrir des incertitudes de la forme « zéro fois l’infini »

Exemple 12. Calculer

.

Solution. On a

Cet exemple utilise l'identité trigonométrique.

Divulgation des incertitudes de type « zéro à la puissance zéro », « l'infini à la puissance zéro » et « un à la puissance l'infini »

Les incertitudes de la forme , ou sont généralement réduites à la forme 0/0 ou ∞/∞ en prenant le logarithme d'une fonction de la forme

Pour calculer la limite d'une expression, vous devez utiliser identité logarithmique, dont un cas particulier est la propriété du logarithme .

En utilisant l'identité logarithmique et la propriété de continuité d'une fonction (aller au-delà du signe de la limite), la limite doit être calculée comme suit :

Séparément, vous devriez trouver la limite de l'expression dans l'exposant et construire e au degré trouvé.

Exemple 13.

Solution. On a

.

.

Exemple 14. Calculer en utilisant la règle de L'Hôpital

Solution. On a

Calculer la limite d'une expression en exposant

.

.

Exemple 15. Calculer en utilisant la règle de L'Hôpital