Le système d'équations de Maxwell pour le champ électromagnétique : signification, méthodes de solution. Dérivation des équations de base de l'électrodynamique

Un groupe d'équations différentielles. Équations différentielles, que chacun des vecteurs de champ doit satisfaire séparément, peut être obtenu en excluant les vecteurs restants. Pour la région du champ qui ne contient pas de charges et de courants libres ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), les équations des vecteurs $\overrightarrow(B)$ et $\overrightarrow(E)$ avoir la forme :

Les équations (1) et (2) sont des équations ordinaires du mouvement des vagues, ce qui signifie que les ondes lumineuses se propager dans le milieu avec une vitesse ($v$) égale à :

Note 1

Il convient de noter que la notion de vitesse d'une onde électromagnétique n'a une certaine signification qu'en relation avec des ondes de type simple, par exemple celles planes. La vitesse $v$ n'est pas la vitesse de propagation des ondes dans le cas d'une solution arbitraire des équations (1) et (2), puisque ces équations admettent des solutions sous forme d'ondes stationnaires.

Dans toute théorie ondulatoire de la lumière, une onde harmonique dans l’espace et le temps est considérée comme un processus élémentaire. Si la fréquence de cette onde se situe dans l'intervalle $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1 ) (c)$, une telle onde provoque une sensation physiologique d'une certaine couleur chez une personne.

Pour les substances transparentes, la constante diélectrique $\varepsilon $ est généralement supérieure à l'unité, la perméabilité magnétique du milieu $\mu $ est presque égale à l'unité, il s'avère que, conformément à l'équation (3), la vitesse $v $ est inférieur à la vitesse de la lumière dans le vide. Ce qui a été démontré expérimentalement pour la première fois par des scientifiques dans le cas de la propagation de la lumière dans l'eau Foucault Et Fizeau.

Habituellement, ce n'est pas la valeur de vitesse elle-même qui est déterminée ($v$), mais le rapport $\frac(v)(c)$, pour lequel ils utilisent loi de la réfraction . Conformément à cette loi, lorsqu'une onde électromagnétique plane arrive sur une frontière plane séparant deux milieux homogènes, le rapport du sinus de l'angle $(\theta )_1$ d'incidence au sinus de l'angle de réfraction $( \theta )_2$ (Fig. 1) est constant et égal au rapport des vitesses de propagation des ondes dans deux milieux ($v_1\ et (\v)_2$) :

La valeur du rapport constant de l'expression (4) est généralement notée $n_(12)$. Ils disent que $n_(12)$ est l'indice de réfraction relatif de la deuxième substance par rapport à la première, que le front d'onde (onde) subit en passant du premier milieu au second.

Image 1.

Définition 1

Indice de réfraction absolu(simplement l'indice de réfraction) d'un milieu $n$ est l'indice de réfraction d'une substance par rapport au vide :

Une substance avec un indice de réfraction plus élevé est optiquement plus dense. L'indice de réfraction relatif de deux substances ($n_(12)$) est lié à leur En termes absolus($n_1,n_2$) comme :

La formule de Maxwell

Définition 2

Maxwell a découvert que l'indice de réfraction d'un milieu dépend de ses propriétés diélectriques et magnétiques. Si nous substituons l'expression de la vitesse de propagation de la lumière de l'équation (3) à la formule (5), nous obtenons :

\ \

L'expression (7) est appelée La formule de Maxwell. Pour la plupart des substances transparentes non magnétiques considérées en optique, la perméabilité magnétique de la substance peut être approximativement égale à l'unité, c'est pourquoi l'égalité (7) est souvent utilisée sous la forme :

On suppose souvent que $\varepsilon$ est constant. Cependant, nous connaissons bien les expériences de Newton avec un prisme sur la décomposition de la lumière ; à la suite de ces expériences, il devient évident que l'indice de réfraction dépend de la fréquence de la lumière. Par conséquent, si nous supposons que la formule de Maxwell est valide, alors nous devons admettre que la constante diélectrique la substance dépend de la fréquence du champ. Le lien entre $\varepsilon $ et la fréquence du champ ne peut être expliqué que si l'on prend en compte la structure atomique de la substance.

Cependant, il faut dire que la formule de Maxwell avec une constante diélectrique constante d'une substance peut dans certains cas être utilisée comme une bonne approximation. Un exemple est celui des gaz ayant une structure chimique simple, dans lesquels il n'y a pas de dispersion significative de la lumière, ce qui signifie que les propriétés optiques dépendent faiblement de la couleur. La formule (8) fonctionne également bien pour les hydrocarbures liquides. En revanche, la majorité solides, par exemple, le verre et la plupart des liquides présentent un fort écart par rapport à la formule (8), si l'on considère $\varepsilon$ constant.

Exemple 1

Exercice: Quelle est la concentration d'électrons libres dans l'ionosphère si l'on sait que pour les ondes radio de fréquence $\nu$ son indice de réfraction est égal à $n$.

Solution:

Prenons la formule de Maxwell comme base pour résoudre le problème :

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\left(1.2\right),\]

où $\varkappa$ est la susceptibilité diélectrique, P est la valeur de polarisation instantanée. De (1.1) et (1.2) il résulte que :

Si la concentration d'atomes dans l'ionosphère est égale à $n_0,$ alors la valeur instantanée de polarisation est égale à :

A partir des expressions (1.3) et (1.4) on a :

où $\omega $ est la fréquence cyclique. L'équation des oscillations forcées d'un électron sans tenir compte de la force de résistance peut s'écrire :

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\right),\]

où $m_e$ est la masse de l'électron, $q_e$ est la charge de l'électron. La solution de l'équation (1.7) est l'expression :

\ \

Nous connaissons la fréquence des ondes radio, nous pouvons donc trouver la fréquence cyclique :

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

Remplaçons le côté droit de l'expression (1.9) par (1.5) au lieu de $x_(max)$ et utilisons (1.10), nous obtenons :

Répondre:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\left(1-n^2\right).$

Exemple 2

Exercice: Expliquez pourquoi la formule de Maxwell contredit certaines données expérimentales.

Solution:

De la théorie électromagnétique classique de Maxwell, il s'ensuit que l'indice de réfraction d'un milieu peut être exprimé comme suit :

où, dans la région optique du spectre de la plupart des substances, nous pouvons supposer que $\mu \approx 1$. Il s'avère que l'indice de réfraction d'une substance doit être une valeur constante, puisque $\varepsilon $ - la constante diélectrique du milieu est constante. Alors que l'expérience montre que l'indice de réfraction dépend de la fréquence. Les difficultés apparues avant la théorie de Maxwell ce problème, élimine théorie des électrons Lorenz. Lorentz considérait la dispersion de la lumière comme le résultat d'une interaction ondes électromagnétiques avec des particules chargées qui font partie de la substance et effectuent des oscillations forcées dans le champ électromagnétique alternatif d'une onde lumineuse. Grâce à son hypothèse, Lorentz a obtenu une formule reliant l'indice de réfraction à la fréquence d'une onde électromagnétique (voir exemple 1).

Répondre: Le problème de la théorie de Maxwell est qu’elle est macroscopique et ne prend pas en compte la structure de la matière.

En électrodynamique, cela s’apparente aux lois de Newton en mécanique classique ou aux postulats d’Einstein en théorie de la relativité. Des équations fondamentales, dont nous comprendrons l'essence aujourd'hui, pour ne pas tomber dans la stupeur à leur simple évocation.

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Les équations de Maxwell sont un système d'équations sous forme différentielle ou intégrale qui décrit tout champ électromagnétique, la relation entre les courants et les charges électriques dans n'importe quel milieu.

Ils furent acceptés à contrecœur et perçus de manière critique par les contemporains de Maxwell. C’est parce que ces équations ne ressemblaient à rien de connu des gens précédemment.

Néanmoins, à ce jour, l’exactitude des équations de Maxwell ne fait aucun doute : elles « fonctionnent » non seulement dans le monde macro que nous connaissons, mais aussi dans le domaine de la mécanique quantique.

Les équations de Maxwell ont révolutionné la perception des gens image scientifique paix. Ainsi, ils ont anticipé la découverte des ondes radio et montré que la lumière est de nature électromagnétique.

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Écrivons et expliquons les 4 équations dans l’ordre. Précisons immédiatement que nous les écrirons dans le système SI.

La forme moderne de la première équation de Maxwell est :

Ici, nous devons expliquer ce qu'est la divergence. Divergence est un opérateur différentiel qui détermine le flux d'un champ à travers une certaine surface. Une comparaison avec un robinet ou un tuyau serait appropriée. Par exemple, plus le diamètre du bec du robinet et la pression dans le tuyau sont grands, plus le débit d'eau à travers la surface représentée par le bec est grand.

Dans la première équation de Maxwell E – c'est un vecteur champ électrique, et la lettre grecque " ro » – la charge totale contenue à l'intérieur d'une surface fermée.

Ainsi, le flux du champ électrique E à travers toute surface fermée dépend de la charge totale à l’intérieur de cette surface. Cette équation est Loi de Gauss (théorème).

Troisième équation de Maxwell

Nous allons maintenant sauter la deuxième équation, puisque la troisième équation de Maxwell est également la loi de Gauss, non seulement pour le champ électrique, mais pour le champ magnétique.

On dirait:

Qu'est-ce que ça veut dire? Couler champ magnétiqueà travers une surface fermée est nulle. Si les charges électriques (positives et négatives) peuvent exister séparément, générant un champ électrique autour d'elles, alors charges magnétiques n'existe tout simplement pas dans la nature.

La deuxième équation de Maxwell n'est rien de plus que la loi de Faraday. Son apparence :

Le rotor du champ électrique (l'intégrale à travers une surface fermée) est égal au taux de variation du flux magnétique pénétrant cette surface. Pour mieux comprendre, prenons l'eau de la salle de bain qui s'écoule par un trou. Un entonnoir se forme autour du trou. Rotor est la somme (intégrale) des vecteurs vitesses des particules d'eau qui tournent autour du trou.

Comme vous vous en souvenez, basé sur la loi de Faraday Les moteurs électriques fonctionnent : un aimant rotatif génère un courant dans une bobine.

La quatrième est la plus importante de toutes les équations de Maxwell. C'est là que le scientifique a introduit le concept courant de polarisation.

Cette équation est aussi appelée théorème sur la circulation du vecteur induction magnétique. Cela nous indique que le courant électrique et les changements du champ électrique génèrent un champ magnétique vortex.

Présentons maintenant l'ensemble du système d'équations et décrivons brièvement l'essence de chacune d'elles :

Première équation : la charge électrique génère un champ électrique

Deuxième équation : un champ magnétique changeant génère un champ électrique vortex

Troisième équation : il n'y a pas de charges magnétiques

Quatrième équation : le courant électrique et les changements d'induction électrique génèrent un champ magnétique vortex

En résolvant les équations de Maxwell pour une onde électromagnétique libre, nous obtenons l'image suivante de sa propagation dans l'espace :

Nous espérons que cet article aidera à systématiser les connaissances sur les équations de Maxwell. Et si vous avez besoin de résoudre un problème d'électrodynamique à l'aide de ces équations, vous pouvez vous tourner en toute sécurité vers le service étudiant pour obtenir de l'aide. Explication détaillée toute mission et une excellente note sont garanties.

Tout circuit oscillatoire émet de l'énergie. Un champ électrique changeant excite un champ magnétique alternatif dans l’espace environnant, et vice versa. Les équations mathématiques décrivant la relation entre les champs magnétiques et électriques ont été dérivées par Maxwell et portent son nom. Écrivons les équations de Maxwell dans forme différentielle pour le cas où il n'y a pas de charges électriques () et les courants ( j= 0 ):

Les grandeurs et sont respectivement les constantes électriques et magnétiques, qui sont liées à la vitesse de la lumière dans le vide par la relation

Constante et caractérise les équipements électriques et Propriétés magnétiques environnement, que nous considérerons homogène et isotrope.

En l’absence de charges et de courants, l’existence de champs électriques et magnétiques statiques est impossible. Or, un champ électrique alternatif excite un champ magnétique et vice versa, un champ magnétique alternatif crée un champ électrique. Par conséquent, il existe des solutions aux équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants, où les champs électriques et magnétiques sont inextricablement liés les uns aux autres. La théorie de Maxwell a été la première à combiner deux interactions fondamentales, auparavant considérées comme indépendantes. C'est pourquoi nous parlons maintenant de Champ électromagnétique.

Le processus oscillatoire dans le circuit s'accompagne d'un changement dans le champ qui l'entoure. Les changements se produisant dans l'espace environnant se propagent d'un point à l'autre à une certaine vitesse, c'est-à-dire que le circuit oscillatoire rayonne de l'énergie dans l'espace qui l'entoure. Champ électromagnétique.

Lorsque les vecteurs et sont strictement harmoniques dans le temps, l'onde électromagnétique est dite monochromatique.

Obtenons des équations de Maxwell les équations d'onde pour les vecteurs et .

Équation d'onde pour les ondes électromagnétiques

Comme indiqué dans la partie précédente du cours, le rotor (pourrir) et divergence (div)- ce sont quelques opérations de différenciation effectuées par Certaines règles sur les vecteurs. Ci-dessous, nous les examinerons de plus près.

Prenons le rotor des deux côtés de l'équation

Dans ce cas, nous utiliserons la formule éprouvée dans le cours de mathématiques :

où est le Laplacien introduit ci-dessus. Le premier terme du côté droit est nul en raison d’une autre équation de Maxwell :

En conséquence nous obtenons :

Exprimons pourrir B à travers un champ électrique en utilisant l'équation de Maxwell :

et utilisez cette expression à droite de (2.93). En conséquence, nous arrivons à l’équation :

Compte tenu de la connexion

et entrant indice de réfraction environnement

Écrivons l'équation du vecteur d'intensité du champ électrique sous la forme :

En comparant avec (2.69), nous sommes convaincus d’avoir obtenu l’équation d’onde, où v- vitesse de phase de la lumière dans le milieu:

Prendre le rotor des deux côtés de l'équation de Maxwell

et en agissant de la même manière, nous arrivons à l’équation d’onde du champ magnétique :

Les équations d'onde résultantes pour et signifient que le champ électromagnétique peut exister sous la forme d'ondes électromagnétiques dont la vitesse de phase est égale à

En l'absence de milieu (en ), la vitesse des ondes électromagnétiques coïncide avec la vitesse de la lumière dans le vide.

Propriétés de base des ondes électromagnétiques

Considérons une onde électromagnétique plane monochromatique se propageant le long de l'axe X:

La possibilité de l'existence de telles solutions découle des équations d'onde obtenues. Cependant, les intensités des champs électriques et magnétiques ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. Le lien entre eux peut être établi en substituant les solutions (2.99) dans les équations de Maxwell. Fonctionnement différentiel pourrir, appliqué à certains champ vectoriel UN peut s'écrire symboliquement comme un déterminant :

En remplaçant ici les expressions (2.99), qui dépendent uniquement de la coordonnée X, nous trouvons:

La différenciation des ondes planes par rapport au temps donne :

Ensuite, d’après les équations de Maxwell, il résulte :

Il s’ensuit, premièrement, que les champs électriques et magnétiques oscillent en phase :

Autrement dit, et dans un environnement isotrope,

Ensuite, vous pouvez choisir les axes de coordonnées pour que le vecteur soit dirigé le long de l'axe à(Fig. 2.27) :

Riz. 2.27. Oscillations de champs électriques et magnétiques dans une onde électromagnétique plane

Dans ce cas, les équations (2.103) prennent la forme :

Il s'ensuit que le vecteur est dirigé le long de l'axe z :

En d’autres termes, les vecteurs de champ électrique et magnétique sont orthogonaux entre eux et tous deux orthogonaux à la direction de propagation des ondes. Compte tenu de ce fait, les équations (2.104) sont encore simplifiées :

Cela conduit à la relation habituelle entre le vecteur d’onde, la fréquence et la vitesse :

ainsi que le lien entre les amplitudes des oscillations de champ :

Notez que la connexion (2.107) est valable non seulement pour valeurs maximales(amplitudes) des amplitudes des vecteurs d'intensité des champs électriques et magnétiques de l'onde, mais aussi des vecteurs actuels - à tout moment.

Ainsi, des équations de Maxwell, il s'ensuit que les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière. À l’époque, cette conclusion avait fait forte impression. Il est devenu évident que l'électricité et le magnétisme ne sont pas les seuls à être des manifestations différentes de la même interaction. Tous les phénomènes lumineux, l'optique, sont également devenus le sujet de la théorie de l'électromagnétisme. Les différences dans la perception humaine des ondes électromagnétiques sont liées à leur fréquence ou à leur longueur d’onde.

L'échelle des ondes électromagnétiques est une séquence continue de fréquences (et de longueurs d'onde) un rayonnement électromagnétique. La théorie des ondes électromagnétiques de Maxwell nous permet d'établir que dans la nature il existe des ondes électromagnétiques de différentes longueurs, formées par divers vibrateurs (sources). Selon la manière dont les ondes électromagnétiques sont produites, elles sont divisées en plusieurs gammes de fréquences (ou longueurs d'onde).

En figue. La figure 2.28 montre l'échelle des ondes électromagnétiques.

Riz. 2.28. Échelle des ondes électromagnétiques

On peut voir que les gammes d'ondes divers types se chevauchent. Par conséquent, des vagues de telles longueurs peuvent être obtenues différentes façons. Il n’y a pas de différences fondamentales entre eux, puisqu’il s’agit toutes d’ondes électromagnétiques générées par des particules chargées oscillantes.

Les équations de Maxwell conduisent également à la conclusion que transversalité ondes électromagnétiques dans le vide (et en milieu isotrope) : les vecteurs d'intensité des champs électrique et magnétique sont orthogonaux entre eux et à la direction de propagation des ondes.

Informations Complémentaires

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Équation d'onde. Matériel de l'Encyclopédie physique.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Les équations de Maxwell. Conférences vidéo.

http://elementy.ru/trefil/24 – Les équations de Maxwell. Matériel de "Éléments".

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Très brièvement sur les équations de Maxwell.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Les équations de Maxwell et leur signification physique.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – En bref sur les équations de Maxwell pour le champ électromagnétique.

Effet Doppler pour les ondes électromagnétiques

Laissez entrer un référentiel inertiel À Une onde électromagnétique plane se propage. La phase d'onde a la forme :

Observateur dans un autre référentiel inertiel À", se déplaçant par rapport au premier à une vitesse V le long de l'axe X, observe également cette onde, mais utilise des coordonnées et un temps différents : t",r". La connexion entre les systèmes de référence est donnée par les transformations de Lorentz :

Remplaçons ces expressions par l'expression de phase, pour obtenir la phase ondes dans un référentiel mobile :

Cette expression peut s'écrire

Où et - fréquence cyclique et vecteur d'onde par rapport au référentiel mobile. En comparant avec (2.110), nous trouvons les transformations de Lorentz pour la fréquence et le vecteur d'onde :

Pour une onde électromagnétique dans le vide

Laissez la direction de propagation de l'onde faire un angle avec l'axe dans le premier système de référence X:

L’expression de la fréquence de l’onde dans le référentiel mobile prend alors la forme :

C'est ce que c'est Formule Doppler pour les ondes électromagnétiques.

Si , alors l'observateur s'éloigne de la source de rayonnement et la fréquence des ondes perçues par lui diminue :

Si , alors l'observateur s'approche de la source et la fréquence de rayonnement de celle-ci augmente :

À des vitesses V<< с nous pouvons négliger l'écart de la racine carrée des dénominateurs par rapport à l'unité, et nous arrivons à des formules similaires aux formules (2.85) pour l'effet Doppler dans une onde sonore.

Notons une caractéristique essentielle de l'effet Doppler pour une onde électromagnétique. La vitesse du référentiel en mouvement joue ici le rôle de la vitesse relative de l'observateur et de la source. Les formules résultantes satisfont automatiquement au principe de relativité d'Einstein et, à l'aide d'expériences, il est impossible d'établir exactement ce qui bouge - la source ou l'observateur. Cela est dû au fait que pour les ondes électromagnétiques, il n’existe pas de milieu (l’éther) qui jouerait le même rôle que l’air pour une onde sonore.

Notez également que pour les ondes électromagnétiques on a effet Doppler transversal. Lorsque la fréquence de rayonnement change :

tandis que pour les ondes sonores, un mouvement dans une direction orthogonale à la propagation de l'onde n'entraînait pas de décalage de fréquence. Cet effet est directement lié à la dilatation relativiste du temps dans un référentiel mobile : un observateur sur une fusée voit une augmentation de la fréquence du rayonnement ou, en général, une accélération de tous les processus se produisant sur Terre.

Trouvons maintenant la vitesse de phase de l'onde

dans un référentiel mobile. A partir des transformations de Lorentz pour le vecteur d'onde, nous avons :

Remplaçons le rapport ici :

On a:

De là, nous trouvons la vitesse des vagues dans le référentiel mobile :

Nous avons constaté que la vitesse de l'onde dans le référentiel en mouvement n'a pas changé et est toujours égale à la vitesse de la lumière. Avec. Notons cependant que, avec des calculs corrects, cela ne pourrait manquer d'arriver, puisque l'invariance de la vitesse de la lumière (ondes électromagnétiques) dans le vide est le postulat principal de la théorie de la relativité déjà « incorporé » dans les transformations de Lorentz. nous avons utilisé pour les coordonnées et l’heure (3.109).

Exemple 1. La fusée à photons se déplace à grande vitesse V = 0,9 s, se dirigeant vers une étoile observée depuis la Terre dans le domaine optique (longueur d'onde µm). Trouvons la longueur d'onde du rayonnement que les astronautes observeront.

La longueur d'onde est inversement proportionnelle à la fréquence de vibration. A partir de la formule (2.115) de l'effet Doppler en cas d'approche de la source lumineuse et de l'observateur, on retrouve la loi de conversion de longueur d'onde :

d'où découle le résultat :

D'après la fig. 2.28, nous déterminons que pour les astronautes, le rayonnement de l’étoile s’est déplacé vers le domaine ultraviolet.

Énergie et impulsion du champ électromagnétique

Densité d'énergie volumétrique w L'onde électromagnétique est constituée de densités volumétriques d'énergie électrique et champs magnétiques.

La théorie de Maxwell repose sur les quatre équations considérées :

1. Le champ électrique peut être soit potentiel ( e q) et le vortex ( E B), donc l'intensité de champ totale E=E Q+ E B. Depuis la circulation du vecteur e q est égal à zéro, et la circulation du vecteur E B est déterminé par l'expression, puis la circulation du vecteur d'intensité de champ total Cette équation montre que les sources du champ électrique peuvent être non seulement des charges électriques, mais également des champs magnétiques variant dans le temps.

2. Théorème de la circulation vectorielle généralisée N: Cette équation montre que les champs magnétiques peuvent être excités soit par des charges en mouvement, soit par des champs électriques alternatifs.

3. Théorème de Gauss pour le champ D: Si la charge est distribuée en continu à l'intérieur d'une surface fermée de densité volumique, alors la formule s'écrira sous la forme

4. Théorème de Gauss pour le champ B : Donc, le système complet des équations de Maxwell sous forme intégrale : Les quantités incluses dans les équations de Maxwell ne sont pas indépendantes et il existe entre elles la relation suivante : D= 0 E, B= 0 N,j=E, où  0 et  0 sont respectivement les constantes électriques et magnétiques,  et  - perméabilité diélectrique et magnétique, respectivement,  - conductivité spécifique de la substance.

Pour les champs stationnaires (E= const et DANS=const) Les équations de Maxwell prendra la forme c'est-à-dire que dans ce cas, les sources du champ électrique ne sont que des charges électriques, les sources du champ magnétique ne sont que des courants de conduction. Dans ce cas, les champs électriques et magnétiques sont indépendants les uns des autres, ce qui permet d'étudier séparément permanent champs électriques et magnétiques.

DANS En utilisant les théorèmes de Stokes et de Gauss connus en analyse vectorielle, nous pouvons représenter un système complet d'équations de Maxwell sous forme différentielle:

Les équations de Maxwell sont les équations les plus générales pour les champs électriques et magnétiques dans environnements calmes. Elles jouent le même rôle dans la doctrine de l'électromagnétisme que les lois de Newton en mécanique. Des équations de Maxwell, il s'ensuit qu'un champ magnétique alternatif est toujours associé au champ électrique qu'il génère, et qu'un champ électrique alternatif est toujours associé au champ magnétique généré par lui, c'est-à-dire que les champs électrique et magnétique sont inextricablement liés les uns aux autres. - ils forment un seul Champ électromagnétique.

66. Équation différentielle d'une onde électromagnétique. Ondes électromagnétiques aériennes.

Pour homogène Et environnement isotrope loin des charges et des courants, créant un champ électromagnétique, il résulte des équations de Maxwell que les vecteurs d'intensité E Et N le champ électromagnétique alternatif satisfait à l'équation d'onde du type :

- Opérateur Laplace.

Ceux. les champs électromagnétiques peuvent exister sous forme d’ondes électromagnétiques. La vitesse de phase des ondes électromagnétiques est déterminée par l'expression (1) v - vitesse de phase, où c = 1/ 0  0,  0 et  0 sont respectivement les constantes électriques et magnétiques,  et  sont respectivement les perméabilités électriques et magnétiques du milieu.

Dans le vide (à =1 et =1) la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques coïncide avec la vitesse Avec. Depuis > 1, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans la matière est toujours moindre que dans le vide.

Lors du calcul de la vitesse de propagation du champ électromagnétique à l'aide de la formule (1), on obtient un résultat qui correspond assez bien aux données expérimentales, si l'on prend en compte la dépendance de  et  à la fréquence. La coïncidence du coefficient dimensionnel b avec la vitesse de propagation de la lumière dans le vide indique un lien profond entre les phénomènes électromagnétiques et optiques, ce qui a permis à Maxwell de créer la théorie électromagnétique de la lumière, selon laquelle la lumière est constituée d'ondes électromagnétiques.

AVEC une conséquence de la théorie de Maxwell est la transversalité des ondes électromagnétiques : vecteurs E Et N les intensités des champs électriques et magnétiques de l'onde sont mutuellement perpendiculaires (Fig. 227) et se situent dans un plan perpendiculaire au vecteur v de la vitesse de propagation de l'onde, et aux vecteurs E, N Et v former un système droitier. Des équations de Maxwell, il s’ensuit également que dans une onde électromagnétique, les vecteurs E Et N hésite toujours dans les mêmes phases(voir Fig. 227), et les valeurs instantanées de £ et R en tout point sont liées par la relation  0 = 0  N.(2)

E Ces équations sont satisfaites notamment par le plan ondes électromagnétiques monochromatiques(ondes électromagnétiques d'une fréquence strictement définie), décrites par les équations E à =E 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 parce que(t-kx+), (4), où e 0 Et N 0 - respectivement, les amplitudes des intensités des champs électriques et magnétiques de l'onde,  - la fréquence circulaire de l'onde, k=/v - le numéro d'onde,  - les phases initiales des oscillations aux points avec la coordonnée x= 0. Dans les équations (3) et (4),  est le même, puisque les oscillations des vecteurs électriques et magnétiques dans une onde électromagnétique se produisent avec la même phase.

(notes en italique)

1. Courant de polarisation

2. Le système d'équations de Maxwell

3. Les ondes EM et leurs caractéristiques

4. Obtention d'ondes EM - Expériences de Hertz

5. Application des ondes EM

1.B vrai vie Il n’y a pas de champs électriques et magnétiques séparés, il existe un seul champ électromagnétique.

La théorie du champ électromagnétique, dont Faraday a posé les bases, a été mathématiquement complétée par Maxwell. Une idée importante avancée par Maxwell était l'idée de symétrie dans l'interdépendance des champs électriques et magnétiques. A savoir, puisque un champ magnétique variable dans le temps (dB/dt) produit un champ électrique, on s'attendrait à ce qu'un champ électrique variable dans le temps (dE/dt) produise un champ magnétique.

D'après le théorème sur la circulation du vecteur H

Appliquons ce théorème au cas où un condensateur plat préchargé est déchargé à travers une résistance externe (Fig. a).

Pour le contour G, prenons une courbe entourant le fil. Vous pouvez étirer différentes surfaces sur le contour G, par exemple S et S. Les deux surfaces ont « droits égaux", cependant, le courant I circule à travers la surface S, et à travers la surface S" aucun courant. Surface S" «pénètre» uniquement le champ électrique. D'après le théorème de Gauss, l'écoulement du vecteur D à travers une surface fermée

rédS = q

D’après la définition de la densité de courant, on a

Ajoutons les côtés gauche et droit des équations, nous obtenons

D'après l'équation, il ressort clairement que En plus de la densité de courant de conduction j, il existe un terme supplémentaire dD/dt dont la dimension est égale à la dimension de la densité de courant.

Maxwell a appelé ce terme densité courant de polarisation :

J cm = dD/dt.

La somme du courant de conduction et du courant de déplacement est appelée plein courant.

Les lignes de courant total sont continues, contrairement aux lignes de courant de conduction. Les courants de conduction, s'ils ne sont pas fermés, le sont par des courants de déplacement.

Il convient de garder à l’esprit que le courant de déplacement n’est équivalent au courant de conduction que par sa capacité à produire un champ magnétique.

Les courants de déplacement n'existent que là où le champ électrique change avec le temps. Essentiellement, il est lui-même un champ électrique alternatif.

La découverte du courant de déplacement par Maxwell est une découverte purement théorique et d'une importance capitale.

2. Avec l’introduction du courant de déplacement, la théorie macroscopique du champ électromagnétique a été complétée. Courant de polarisation d'ouverture ( dD/dt) a permis à Maxwell de créer théorie unifiée phénomènes électriques et magnétiques. La théorie de Maxwell expliquait non seulement tous les phénomènes disparates de l'électricité et du magnétisme, mais prédisait également un certain nombre de nouveaux phénomènes, dont l'existence fut confirmée par la suite.

La théorie électromagnétique de Maxwell est basée sur quatre équations fondamentales de l'électrodynamique, appelées Les équations de Maxwell.

Ces équations expriment sous une forme condensée l’intégralité de nos connaissances sur le champ électromagnétique.

1. La circulation du vecteur E le long de tout contour fermé est égale avec un signe moins à la dérivée temporelle du flux magnétique à travers toute surface limitée par ce contour. Dans ce cas, E est compris non seulement comme un champ électrique vortex, mais aussi comme un champ électrostatique.

2. Le flux du vecteur B à travers une surface fermée arbitraire est toujours nul.

3. La circulation du vecteur H le long de tout circuit fermé est égale au courant total (courant de conduction et courant de déplacement) traversant une surface arbitraire limitée par ce circuit.

4. Le flux du vecteur D à travers toute surface fermée est égal à somme algébrique charges externes couvertes par cette surface.

Des équations de Maxwell pour la circulation des vecteurs E et H il résulte que les champs électriques et magnétiques ne peuvent être considérés comme indépendants : une modification dans le temps de l'un de ces champs entraîne l'apparition de l'autre. Par conséquent, seule la totalité de ces champs, qui décrit un seul champ électromagnétique, a un sens.

Ces équations indiquent qu'un champ électrique peut apparaître pour deux raisons. Premièrement, sa source est constituée de charges électriques, à la fois externes et liées. Deuxièmement, le champ E se forme toujours lorsque le champ magnétique change au fil du temps.

Ces mêmes équations indiquent que le champ magnétique B peut être excité soit par des charges électriques en mouvement (courants électriques), soit par des champs électriques alternatifs, soit par les deux à la fois. Il n'existe pas dans la nature de sources de champ magnétique similaires aux charges électriques, cela découle de la deuxième équation.

L’importance des équations de Maxwell n’est pas seulement qu’elles expriment les lois fondamentales du champ électromagnétique, mais aussi qu’en les résolvant (en les intégrant), les champs E et B eux-mêmes peuvent être trouvés.

Les équations de Maxwell sont plus générales ; elles sont également valables dans les cas où il y a surface de fracture - les surfaces sur lesquelles les propriétés du milieu ou des champs changent brusquement.

Les équations fondamentales de Maxwell ne se forment pas encore système completéquations du champ électromagnétique. Ces équations ne suffisent pas pour trouver des champs à partir de distributions données de charges et de courants. Ils doivent être complétés par des relations, ces relations sont appelées équations matérielles.

Les équations matérielles sont plus simples dans le cas de champs électromagnétiques assez faibles qui changent relativement lentement dans l'espace et dans le temps. Dans ce cas, pour les milieux isotropes, les équations des matériaux ont la forme suivante :

=εε 0

=μμ 0

=γ( + St)

Les équations de Maxwell ont un certain nombre de propriétés.

1 propriétés – linéarité.

Les équations de Maxwell sont linéaires car ils ne contiennent que les dérivées premières des champs E et B par rapport aux coordonnées temporelles et spatiales et les premiers degrés de la densité des charges et courants électriques.

La propriété de linéarité des équations de Maxwell est directement liée au principe de superposition : si deux champs satisfont aux équations de Maxwell, alors cela s'applique également à la somme de ces champs.

2ème propriété - continuité.

Les équations de Maxwell contiennent une équation de continuité exprimant la loi de conservation de la charge électrique.

3 propriété – invariance.

Les équations de Maxwell sont satisfaites dans tous les référentiels inertiels. Ils sont relativistement invariants. C'est une conséquence du principe de relativité, selon lequel tous les référentiels inertiels sont physiquement équivalents les uns aux autres. Le fait de l'invariance des équations de Maxwell est confirmé par de nombreuses données expérimentales.

Les équations de Maxwell sont des équations relativistes correctes, contrairement, par exemple, aux équations mécaniques de Newton.

4ème propriété – symétrie.

Les équations de Maxwell ne sont pas symétriques par rapport aux champs électriques et magnétiques. Cela est dû au fait que dans la nature, il existe des charges électriques mais pas de charges magnétiques.

Dans un milieu neutre, homogène et non conducteur, les équations de Maxwell prennent une forme symétrique.

D’après les équations de Maxwell, il s’ensuit qu’il existe un phénomène physique: le champ électromagnétique est capable d'exister indépendamment - sans charges électriques et les courants. Dans ce cas, le changement de son état a nécessairement un caractère ondulatoire. Les champs de ce type sont appelés ondes électromagnétiques. Dans le vide, ils voyagent toujours à une vitesse vitesse égale Avec.

Il s’est également avéré que le courant de déplacement (dD/dt) joue un rôle primordial dans ce phénomène. C'est sa présence, ainsi que la valeur dB/dt, qui signifie la possibilité d'apparition d'ondes électromagnétiques. Tout changement dans le temps du champ magnétique excite un champ électrique, et un changement dans le champ électrique excite à son tour un champ magnétique.

En raison d'une transformation ou d'une interaction mutuelle continue, ils doivent être préservés - les perturbations électromagnétiques se propageront dans l'espace.

La théorie de Maxwell a non seulement prédit la possibilité de l'existence d'ondes électromagnétiques, mais a également permis d'établir toutes leurs propriétés fondamentales.

3. L'existence des ondes électromagnétiques a été théoriquement prédite par le grand physicien anglais J. Maxwell en 1864.

L'hypothèse de Maxwell n'était qu'une hypothèse théorique qui n'avait pas de confirmation expérimentale, mais sur cette base, Maxwell a réussi à écrire un système cohérent d'équations décrivant les transformations mutuelles des champs électriques et magnétiques, c'est-à-dire un système d'équations Champ électromagnétique(Les équations de Maxwell). Un certain nombre de conclusions importantes découlent de la théorie de Maxwell, l'une d'elles étant la conclusion sur l'existence des ondes électromagnétiques.

Ondes électromagnétiques transversal– les vecteurs sont perpendiculaires entre eux et se situent dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation des ondes(riz.).

Les ondes électromagnétiques se propagent dans la matière à une vitesse finie

La vitesse c de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est l'une des constantes physiques fondamentales.

4. Maxwell a soutenu que les ondes électromagnétiques ont les propriétés de réflexion, de réfraction, de diffraction, etc. Mais toute théorie n’est prouvée qu’après avoir été confirmée par la pratique. Mais à cette époque, ni Maxwell lui-même ni personne d’autre ne savait comment obtenir expérimentalement des ondes électromagnétiques. Cela s'est produit seulement après 1888, Quand Hertz a découvert expérimentalement les ondes électromagnétiques.

À la suite d’expériences, Hertz a créé une source d’ondes électromagnétiques, qu’il a appelée « vibrateur ».. Le vibrateur était constitué de deux sphères conductrices(dans un certain nombre de cylindres d'expériences) d'un diamètre de 10 à 30 cm, fixé aux extrémités d'un fil machine coupé au milieu. Les extrémités des moitiés de tige au niveau du site de coupe se terminaient par de petites boules polies, formant un éclateur de plusieurs millimètres.

Les sphères étaient connectées à l'enroulement secondaire de la bobine de Ruhmkorff, qui était une source de haute tension.

D'après la théorie de Maxwell, on sait

1) seule une charge en mouvement accéléré peut émettre une onde électromagnétique,

2) que l’énergie d’une onde électromagnétique est proportionnelle à la puissance quatre de sa fréquence.

Il est clair que les charges se déplacent à un rythme accéléré dans un circuit oscillatoire, le moyen le plus simple consiste donc à les utiliser pour émettre des ondes électromagnétiques. Mais il faut veiller à ce que la fréquence des oscillations de charge devienne aussi élevée que possible. De la formule de Thomson pour la fréquence cyclique des oscillations dans un circuit, il s'ensuit que pour augmenter la fréquence, il est nécessaire de réduire la capacité et l'inductance du circuit.

Pour réduire la capacité C il faut augmenter la distance entre les plaques(les écarter, ouvrir le contour) et réduisez la surface des plaques. La plus petite capacité pouvant être obtenue n’est qu’un fil.

Pour réduire l'inductance L il faut réduire le nombre de tours. À la suite de ces transformations, nous obtenons simplement un morceau de fil ou circuit oscillatoire ouvert OCC.

L'essence des phénomènes se produisant dans le vibrateur est la suivante. L'inducteur de Ruhmkorff crée une très haute tension, de l'ordre de plusieurs dizaines de kilovolts, aux extrémités de son enroulement secondaire, qui charge les sphères avec des charges de signes opposés. À un certain moment, une étincelle électrique apparaît dans l'éclateur du vibrateur, rendant la résistance de son entrefer si petite que des fréquences haute fréquence apparaissent dans le vibrateur. oscillations amorties, durant toute la durée de vie de l'étincelle. Le vibrateur étant un circuit oscillatoire ouvert, des ondes électromagnétiques sont émises.

Après une vaste série d'expériences laborieuses et extrêmement intelligemment mises en scène, utilisant les moyens disponibles les plus simples, pour ainsi dire, l'expérimentateur a atteint son objectif. Il a été possible de mesurer les longueurs d'onde et de calculer la vitesse de leur propagation. ont été prouvés

· présence de réflexion,

· réfraction,

· diffraction,

• interférence et polarisation des ondes.
• vitesse des ondes électromagnétiques mesurée

5. Les ondes électromagnétiques ont été utilisées pour la première fois sept ans après les expériences de Hertz. Le 7 mai 1895, A. S. Popov (1859-1906), professeur de physique pour les classes d'officiers sur les mines, lors d'une réunion de la Société physico-chimique russe, a présenté le premier récepteur radio au monde, qui a ouvert la possibilité d'une utilisation pratique de ondes électromagnétiques pour la communication sans fil, qui ont transformé la vie de l'humanité. Le premier radiogramme transmis au monde ne contenait que deux mots : « Heinrich Hertz ». L'invention de la radio par Popov a joué un rôle énorme dans la diffusion et le développement de la théorie de Maxwell.

Des ondes électromagnétiques de l'ordre du centimètre et du millimètre, rencontrant des obstacles sur leur chemin, s'en reflètent. Ce phénomène est à la base de la détection radar d'objets (par exemple, des avions, des navires, etc.) sur de longues distances et de la détermination précise de leur position. De plus, des techniques radar sont utilisées pour observer le passage et la formation des nuages, le mouvement des météorites dans la haute atmosphère, etc.

Les ondes électromagnétiques sont caractérisées par le phénomène de diffraction – la courbure des ondes autour de divers obstacles. C'est grâce à la diffraction des ondes radio qu'une communication radio stable est possible entre des points éloignés séparés par la convexité de la Terre. Les ondes longues (centaines et milliers de mètres) sont utilisées en phototélégraphie, les ondes courtes (plusieurs mètres ou moins) sont utilisées en télévision pour transmettre des images sur de courtes distances (un peu plus que les limites de la ligne de vue). Les ondes électromagnétiques sont également utilisées en radiogéodésie pour la détermination très précise de distances à l'aide de signaux radio, en radioastronomie pour étudier l'émission radio des corps célestes, etc. Description complète Il est presque impossible d’appliquer des ondes électromagnétiques, car il n’existe aucun domaine scientifique et technologique où elles ne sont pas utilisées.

Pour effectuer des communications radio et télévisuelles, on utilise des ondes électromagnétiques d'une fréquence allant de plusieurs centaines de milliers de hertz à des centaines de mégahertz.

Lors de la transmission de paroles, de musique et d'autres signaux sonores par radio, utilisez différentes sortes modulation des oscillations haute fréquence (porteuse). L'essence de la modulation est que les oscillations haute fréquence générées par le générateur changent selon la loi des basses fréquences. C'est l'un des principes de la transmission radio. Un autre principe est le processus inverse : la détection. Lors de la réception de signaux radio, il est nécessaire de filtrer les vibrations sonores basse fréquence du signal modulé reçu par l'antenne du récepteur.
À l'aide des ondes radio, non seulement des signaux sonores sont transmis à distance, mais également des images d'objets.

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