Combien d’équations de base Maxwell possède-t-il ? Système d'équations de Maxwell pour le champ électromagnétique : signification, méthodes de solution

Dans certaines conditions, des champs électriques et magnétiques alternatifs peuvent se générer mutuellement. Ils forment un champ électromagnétique, qui ne constitue pas du tout leur totalité. Il s’agit d’un tout dans lequel ces deux domaines ne peuvent exister l’un sans l’autre.

De l'histoire

L'expérience du scientifique danois Hans Christian Oersted, réalisée en 1821, a montré que le courant électrique génère un champ magnétique. À son tour, un champ magnétique changeant peut générer du courant électrique. Cela a été prouvé par le physicien anglais Michael Faraday, qui a découvert le phénomène en 1831. induction électromagnétique. Il est également l'auteur du terme « champ électromagnétique ».

À cette époque, le concept d’action à longue portée de Newton était accepté en physique. On croyait que tous les corps agissent les uns sur les autres à travers le vide avec une grande vitesse(presque instantanément) et à n'importe quelle distance. On a supposé que les charges électriques interagissaient de la même manière. Faraday croyait que le vide n'existe pas dans la nature et que l'interaction se produit à une vitesse finie à travers un certain milieu matériel. Ce support pour les charges électriques est Champ électromagnétique. Et il se déplace à une vitesse égale à la vitesse de la lumière.

La théorie de Maxwell

En combinant les résultats d'études antérieures, Physicien anglais James Clerk Maxwell créé en 1864 théorie électrique champ magnétique . Selon lui, un champ magnétique changeant génère un changement champ électrique, et un champ électrique alternatif génère un champ magnétique alternatif. Bien entendu, le premier des champs est créé par une source de charges ou de courants. Mais à l’avenir, ces champs pourront déjà exister indépendamment de telles sources, se faisant apparaître les uns les autres. C'est, les champs électriques et magnétiques sont des composants d’un même Champ électromagnétique . Et chaque changement dans l’un d’eux provoque l’apparition d’un autre. Cette hypothèse constitue la base de la théorie de Maxwell. Le champ électrique généré par le champ magnétique est un vortex. Ses lignes de force sont fermées.

Cette théorie est phénoménologique. Cela signifie qu’il est créé sur la base d’hypothèses et d’observations et ne prend pas en compte la cause des champs électriques et magnétiques.

Propriétés du champ électromagnétique

Un champ électromagnétique est une combinaison de champs électriques et magnétiques, donc en chaque point de son espace il est décrit par deux grandeurs fondamentales : la tension champ électrique E et induction du champ magnétique DANS .

Puisque le champ électromagnétique est le processus de conversion d'un champ électrique en champ magnétique, puis magnétique en électrique, son état change constamment. Se propageant dans l'espace et dans le temps, il forme ondes électromagnétiques. Selon la fréquence et la longueur, ces ondes sont divisées en ondes radio, rayonnement térahertz, rayonnement infrarouge, lumière visible, rayonnement ultraviolet, rayons X et rayons gamma.

Les vecteurs d'intensité et d'induction du champ électromagnétique sont perpendiculaires entre eux et le plan dans lequel ils se trouvent est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

Dans la théorie de l'action à longue portée, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques était considérée comme infiniment grande. Cependant, Maxwell a prouvé que ce n’était pas le cas. Dans une substance, les ondes électromagnétiques se propagent à une vitesse finie, qui dépend de la perméabilité diélectrique et magnétique de la substance. C’est pourquoi la théorie de Maxwell est appelée théorie de l’action à courte portée.

La théorie de Maxwell a été confirmée expérimentalement en 1888 par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz. Il a prouvé que les ondes électromagnétiques existent. De plus, il a mesuré la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide, qui s'est avérée égale à la vitesse de la lumière.

Sous forme intégrale, cette loi ressemble à ceci :

Loi de Gauss pour le champ magnétique

Le flux d'induction magnétique à travers une surface fermée est nul.

La signification physique de cette loi est que dans la nature il n'y a pas charges magnétiques. Les pôles d'un aimant ne peuvent pas être séparés. Les lignes de champ magnétique sont fermées.

Loi d'induction de Faraday

Un changement dans l’induction magnétique provoque l’apparition d’un champ électrique vortex.

,

Théorème de circulation du champ magnétique

Ce théorème décrit les sources du champ magnétique, ainsi que les champs eux-mêmes créés par celles-ci.

Le courant électrique et les changements d'induction électrique génèrent un champ magnétique vortex.

,

,

E– l'intensité du champ électrique ;

N– l'intensité du champ magnétique ;

DANS- induction magnétique. Il s'agit d'une quantité vectorielle qui montre la force avec laquelle le champ magnétique agit sur une charge de magnitude q se déplaçant à la vitesse v ;

D– l'induction électrique, ou déplacement électrique. C'est une quantité vectorielle égale à la somme du vecteur intensité et du vecteur polarisation. La polarisation est provoquée par le déplacement de charges électriques sous l'influence d'un champ électrique externe par rapport à leur position lorsqu'un tel champ n'existe pas.

Δ - Opérateur Nabla. L'action de cet opérateur sur un champ précis est appelée le rotor de ce champ.

Δ x E = pourriture E

ρ - densité de charge électrique externe ;

j- densité de courant - une valeur indiquant l'intensité du courant circulant à travers une unité de surface ;

Avec– vitesse de la lumière dans le vide.

L'étude du champ électromagnétique est une science appelée électrodynamique. Elle considère son interaction avec des corps dotés d'une charge électrique. Cette interaction est appelée électromagnétique. L'électrodynamique classique décrit uniquement les propriétés continues du champ électromagnétique à l'aide des équations de Maxwell. L'électrodynamique quantique moderne estime que le champ électromagnétique possède également des propriétés discrètes (discontinues). Et une telle interaction électromagnétique se produit à l’aide de particules-quanta indivisibles qui n’ont ni masse ni charge. Le quantum du champ électromagnétique est appelé photon .

Champ électromagnétique autour de nous

Un champ électromagnétique se forme autour de tout conducteur ayant courant alternatif. Les sources de champs électromagnétiques sont les lignes électriques, les moteurs électriques, les transformateurs, les transports électriques urbains, transports ferroviaires, électriques et électroniques appareils électroménagers– téléviseurs, ordinateurs, réfrigérateurs, fers à repasser, aspirateurs, radiotéléphones, Téléphones portables, rasoirs électriques - en un mot, tout ce qui touche à la consommation ou au transport de l'électricité. Sources puissantes de champs électromagnétiques - émetteurs de télévision, antennes de stations de téléphonie cellulaire, stations radar, fours à micro-ondes, etc. Et comme il existe de nombreux appareils de ce type autour de nous, les champs électromagnétiques nous entourent partout. Ces champs affectent environnement et l'homme. Cela ne veut pas dire que cette influence soit toujours négative. Les champs électriques et magnétiques existent depuis longtemps autour des humains, mais la puissance de leur rayonnement était il y a quelques décennies des centaines de fois inférieure à celle d'aujourd'hui.

Jusqu’à un certain niveau, le rayonnement électromagnétique peut être sans danger pour les humains. Ainsi, en médecine, avec l'aide un rayonnement électromagnétique cicatrise les tissus de faible intensité, élimine les processus inflammatoires et a un effet analgésique. Les appareils UHF soulagent les spasmes des muscles lisses des intestins et de l'estomac, améliorent les processus métaboliques dans les cellules du corps, réduisent le tonus capillaire et abaissent la tension artérielle.

Mais les champs électromagnétiques puissants provoquent des perturbations dans le fonctionnement des systèmes cardiovasculaire, immunitaire, endocrinien et systèmes nerveux les humains, peuvent provoquer de l’insomnie, des maux de tête et du stress. Le danger est que leur impact est quasiment invisible pour l’homme et que les perturbations se produisent progressivement.

Comment pouvons-nous nous protéger des rayonnements électromagnétiques qui nous entourent ? Il est impossible de le faire complètement, vous devez donc essayer de minimiser son impact. Tout d'abord, il faut disposer les appareils électroménagers de manière à ce qu'ils soient situés à l'écart des endroits où nous nous trouvons le plus souvent. Par exemple, ne vous asseyez pas trop près de la télévision. En effet, plus on s’éloigne de la source du champ électromagnétique, plus celui-ci s’affaiblit. Très souvent, nous laissons l'appareil branché. Mais le champ électromagnétique ne disparaît que lorsque l'appareil est déconnecté du réseau électrique.

La santé humaine est également affectée par les champs électromagnétiques naturels – le rayonnement cosmique, le champ magnétique terrestre.

Les quatre équations correspondant à nos énoncés (modifiés) sont appelées Les équations de Maxwell sous forme intégrale.

Écrivons-les tous côte à côte :

Pour obtenir les équations de Maxwell dans un milieu, il faut faire la substitution suivante :

c'est-à-dire indiquer le lien (les équations dites « matérielles ») entre tensions et inductions : et compléter le système avec l'équation de la loi d'Ohm

Notez que les relations les plus simples données ci-dessus ne peuvent pas toujours être utilisées. La situation est sensiblement plus compliquée en présence de substances telles que les substances ferroélectriques, piézoélectriques, ferromagnétiques, substances anisotropes, etc. Notre objectif est ici de montrer comment se forme un système complet d'équations, permettant (en tenant compte des conditions initiales et aux limites, bien sûr) de calculer le champ électromagnétique.

A partir d'équations sous forme intégrale, vous pouvez utiliser des théorèmes analyse vectorielle aller aux équations dans forme différentielle, reliant les valeurs des champs et leurs dérivées spatiales et temporelles avec les valeurs de densités de charge et de courant. Nous n’utiliserons pas ces équations, mais nous les présenterons quand même au moins dans le cadre d’une blague publiée dans l’un des magazines à l’occasion de l’anniversaire de Maxwell :

« Et Dieu dit :

Et il y avait de la lumière. »

Icônes déroutantes div(lit " divergence") Et pourrir(lit " rotor") sont des opérations de différenciation spéciales effectuées sur des champs vectoriels. Divergence est le latin pour « divergence ». Cette opération décrit la configuration de lignes de force de type « hérisson » divergeant des points où se trouvent des charges électriques. Le mot « rotor » n’a pas besoin d’être traduit ; il est clairement associé à la rotation. Cette opération décrit des champs de vortex (en forme d'anneau - lignes de force fermées) autour de leurs sources - courants ou autres champs qui changent dans le temps.

Quatre équations intégrales et quatre différentiels sont équivalents. Maxwell a montré que tous les phénomènes de l'électromagnétisme peuvent être complètement décrits par ces quatre équations, qui sont une généralisation des faits expérimentaux.

La blague ci-dessus mentionnait la lumière. En effet, la lumière est un rayonnement électromagnétique d’une certaine gamme de fréquences. La prédiction des ondes électromagnétiques fut l’une des plus grandes réalisations de la théorie de Maxwell. Imaginons qu'il n'y ait ni charges ni courants. Regardons les équations de Maxwell sous forme différentielle. On voit que si les champs ne sont pas statiques, mais dépendent du temps, alors il existe des champs électriques et magnétiques vortex (les rotors correspondants sont non nuls). La propagation des champs sans charges ni courants est constituée d'ondes électromagnétiques. Et on peut voir dans les équations une indication de la vitesse de leur propagation : elle inclut la combinaison e 0 m 0, par laquelle elle peut s'exprimer vitesse de la lumière dans le vide(voir (6.3))

Mais nous y reviendrons plus tard, dans la prochaine partie de notre cours.

En conclusion de cette partie, citons les propos de G. Hertz à propos des équations de Maxwell :

"Il est difficile de se débarrasser du sentiment que ces formules mathématiques qu'ils mènent une vie indépendante et ont leur propre intellect, qu'ils sont plus sages que nous, plus sages même que leurs découvreurs, et que nous en tirons plus que ce qui leur a été initialement mis.

Un exemple d'utilisation des équations de Maxwell

Déterminer l'amplitude du champ magnétique dans l'espace du condensateur en fonction de la distance r par rapport à l'axe de symétrie (Fig. 9.13)

Riz. 9.13. Condensateur à plaque ronde pendant la charge

Solution

Écrivons l'équation (9.13) pour le contour représenté sur la Fig. 9.3 avec une ligne pointillée. En intégrant, on obtient

Évidemment, le champ magnétique n’est pas nul uniquement en raison de la présence d’un champ électrique qui évolue avec le temps. À son tour, le changement du champ électrique est dû à une augmentation de la charge sur les plaques du condensateur. Nous obtenons cette connexion à partir des relations

On trouve enfin

En électrodynamique, cela s’apparente aux lois de Newton en mécanique classique ou aux postulats d’Einstein en théorie de la relativité. Des équations fondamentales, dont nous comprendrons l'essence aujourd'hui, pour ne pas tomber dans la stupeur à leur simple évocation.

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Les équations de Maxwell sont un système d'équations sous forme différentielle ou intégrale qui décrit tout champ électromagnétique, la relation entre les courants et les charges électriques dans n'importe quel milieu.

Ils furent acceptés à contrecœur et perçus de manière critique par les contemporains de Maxwell. C’est parce que ces équations ne ressemblaient à rien de connu des gens précédemment.

Néanmoins, à ce jour, l’exactitude des équations de Maxwell ne fait aucun doute : elles « fonctionnent » non seulement dans le monde macro que nous connaissons, mais aussi dans le domaine de la mécanique quantique.

Les équations de Maxwell ont révolutionné la perception des gens image scientifique paix. Ainsi, ils ont anticipé la découverte des ondes radio et montré que la lumière est de nature électromagnétique.

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Écrivons et expliquons les 4 équations dans l’ordre. Précisons immédiatement que nous les écrirons dans le système SI.

La forme moderne de la première équation de Maxwell est :

Ici, nous devons expliquer ce qu'est la divergence. Divergence est un opérateur différentiel qui détermine le flux d'un champ à travers une certaine surface. Une comparaison avec un robinet ou un tuyau serait appropriée. Par exemple, plus le diamètre du bec du robinet et la pression dans le tuyau sont grands, plus le débit d'eau à travers la surface représentée par le bec est grand.

Dans la première équation de Maxwell E est un champ électrique vectoriel, et la lettre grecque « ro » – la charge totale contenue à l'intérieur d'une surface fermée.

Ainsi, le flux du champ électrique E à travers toute surface fermée dépend de la charge totale à l’intérieur de cette surface. Cette équation est Loi de Gauss (théorème).

Troisième équation de Maxwell

Nous allons maintenant sauter la deuxième équation, puisque la troisième équation de Maxwell est également la loi de Gauss, non seulement pour le champ électrique, mais pour le champ magnétique.

On dirait:

Qu'est-ce que ça veut dire? Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul. Si les charges électriques (positives et négatives) peuvent exister séparément, générant un champ électrique autour d'elles, alors les charges magnétiques n'existent tout simplement pas dans la nature.

La deuxième équation de Maxwell n'est rien de plus que la loi de Faraday. Son apparence :

Rotor de champ électrique (intégral à travers une surface fermée) égal à la vitesse changements dans le flux magnétique pénétrant cette surface. Pour mieux comprendre, prenons l'eau de la salle de bain qui s'écoule par un trou. Un entonnoir se forme autour du trou. Rotor est la somme (intégrale) des vecteurs vitesses des particules d'eau qui tournent autour du trou.

Comme vous vous en souvenez, basé sur la loi de Faraday Les moteurs électriques fonctionnent : un aimant rotatif génère un courant dans une bobine.

La quatrième est la plus importante de toutes les équations de Maxwell. C'est là que le scientifique a introduit le concept courant de polarisation.

Cette équation est aussi appelée théorème sur la circulation du vecteur induction magnétique. Cela nous indique que le courant électrique et les changements du champ électrique génèrent un champ magnétique vortex.

Présentons maintenant l'ensemble du système d'équations et décrivons brièvement l'essence de chacune d'elles :

Première équation : la charge électrique génère un champ électrique

Deuxième équation : un champ magnétique changeant génère un champ électrique vortex

Troisième équation : il n'y a pas de charges magnétiques

Quatrième équation : le courant électrique et les changements d'induction électrique génèrent un champ magnétique vortex

En résolvant les équations de Maxwell pour une onde électromagnétique libre, nous obtenons l'image suivante de sa propagation dans l'espace :

Nous espérons que cet article aidera à systématiser les connaissances sur les équations de Maxwell. Et si vous avez besoin de résoudre un problème d'électrodynamique à l'aide de ces équations, vous pouvez vous tourner en toute sécurité vers le service étudiant pour obtenir de l'aide. Explication détaillée toute mission et une excellente note sont garanties.

Les équations de Maxwell- système équations différentielles, décrivant le champ électromagnétique et sa connexion avec les charges et courants électriques dans le vide et les milieux continus. Avec l'expression de la force de Lorentz, ils forment système completéquations classiques électrodynamique. Les équations formulées par James Clerk Maxwell sur la base des résultats expérimentaux accumulés au milieu du XIXe siècle ont joué un rôle clé dans le développement des idées physique théorique et a eu une influence forte, souvent décisive, non seulement sur tous les domaines de la physique directement liés à électromagnétisme, mais aussi sur de nombreuses théories fondamentales nées par la suite et dont le sujet ne se limitait pas à l'électromagnétisme (l'un des exemples les plus frappants ici est la théorie restreinte de la relativité).

Histoire

Les équations formulées par James Clerk Maxwell découlent d'un certain nombre de découvertes expérimentales importantes faites en début XIX siècle. En 1820 Hans Christian Örsted découvert qu'un courant galvanique traversant un fil faisait dévier l'aiguille magnétique d'une boussole. Cette découverte a attiré l’attention des scientifiques de l’époque. Dans la même année 1820, Biot et Savard trouvèrent expérimentalement une expression de l'induction magnétique générée par le courant ( Loi de Biot-Savart), et André Marie Ampère ont découvert qu'une interaction à distance se produit également entre deux conducteurs traversés par un courant. Ampère a introduit le terme « électrodynamique » et a avancé l'hypothèse selon laquelle le magnétisme naturel est associé à l'existence de courants circulaires dans un aimant.

L'effet du courant sur un aimant, découvert par Oersted, a conduit Michael Faraday à l'idée qu'il devait y avoir un effet inverse d'un aimant sur les courants. Après de longues expériences, Faraday découvre en 1831 qu’un aimant se déplaçant à proximité d’un conducteur génère un courant électrique dans ce conducteur. Ce phénomène s'appelait induction électromagnétique. Faraday a introduit le concept de « champ de forces » - un certain milieu situé entre les charges et les courants. Son raisonnement était de nature qualitative, mais il a eu une énorme influence sur les recherches de Maxwell.

Après les découvertes de Faraday, il est devenu évident que les anciens modèles d'électromagnétisme (Ampère, Poisson, etc.) étaient incomplets. La théorie de Weber, basée sur l'action à longue portée, apparaît bientôt. Cependant, à cette époque, toute la physique, à l'exception de la théorie de la gravitation, ne traitait que des forces à courte portée (optique, thermodynamique, mécanique des milieux continus, etc.). Gauss, Riemann et un certain nombre d'autres scientifiques ont émis l'hypothèse que la lumière était de nature électromagnétique, de sorte que la théorie des phénomènes électromagnétiques devrait également s'appliquer à courte portée. Ce principe est devenu un élément essentiel de la théorie de Maxwell.

Dans son célèbre Traité sur l'électricité et le magnétisme (1873), Maxwell écrit :

"En commençant à étudier le travail de Faraday, j'ai découvert que sa méthode de compréhension des phénomènes était également mathématique, bien qu'elle ne soit pas présentée sous la forme d'une méthode ordinaire. symboles mathématiques. J'ai également découvert que cette méthode pouvait être exprimée sous une forme mathématique ordinaire et ainsi être comparée aux méthodes des mathématiciens professionnels. »

Remplaçant le terme de Faraday « champ de forces » par le concept d’« intensité de champ », Maxwell en a fait l’objet clé de sa théorie :

Si nous acceptons ce médium comme hypothèse, je pense qu'il devrait occuper une place prépondérante dans nos investigations, et que nous devrions nous efforcer de construire une idée rationnelle de tous les détails de son fonctionnement, ce qui a été mon objet constant dans cette étude. traité.

Un tel milieu électrodynamique était un concept complètement nouveau pour la physique newtonienne. Ce dernier a étudié l'interaction des corps matériels entre eux. Maxwell a écrit les équations auxquelles le milieu doit obéir, déterminant l'interaction des charges et des courants et existant même en leur absence.

Le courant électrique crée une induction magnétique ( La loi d'Ampère)

En analysant des expériences bien connues, Maxwell a obtenu un système d'équations pour les champs électriques et magnétiques. En 1855, dans son tout premier article « Sur le Faraday les lignes électriques" ("Sur les lignes de force de Faraday"), il a d'abord écrit un système d'équations électrodynamiques sous forme différentielle, mais sans introduire de courant de déplacement. Un tel système d'équations décrivait toutes les données expérimentales connues à l'époque, mais ne permettait pas de relier les charges et les courants ni de prédire les ondes électromagnétiques. Le courant de déplacement a été introduit pour la première fois par Maxwell dans son ouvrage en quatre parties « On Physical Lines of Force », publié en 1861-1862.

Généralisant la loi d'Ampère, Maxwell introduit un courant de déplacement, probablement pour relier courants et charges par l'équation de continuité, déjà connue par d'autres. grandeurs physiques. Par conséquent, dans cet article, la formulation du système complet d’équations électrodynamiques a été achevée. L'article de 1864 « Une théorie dynamique du champ électromagnétique » examinait un système d'équations précédemment formulé de 20 équations scalaires pour 20 inconnues scalaires. Dans cet article, Maxwell a formulé pour la première fois le concept de champ électromagnétique comme une réalité physique possédant sa propre énergie et un temps de propagation fini, ce qui détermine la nature retardée de l'interaction électromagnétique.

Un flux de champ magnétique alternatif crée un champ électrique ( la loi de Faraday)

Il s’est avéré que non seulement le courant, mais aussi le champ électrique évoluant dans le temps (courant de déplacement) génère un champ magnétique. À son tour, en vertu de la loi de Faraday, le champ magnétique changeant génère à nouveau un champ électrique. De ce fait, une onde électromagnétique peut se propager dans le vide. Des équations de Maxwell, il s'ensuivait que sa vitesse était égale à la vitesse de la lumière, donc Maxwell a conclu sur la nature électromagnétique de la lumière.

Certains physiciens se sont opposés à la théorie de Maxwell (le concept de courant de déplacement a notamment suscité de nombreuses objections). Helmholtz a proposé sa théorie, un compromis par rapport aux modèles Weber et Maxwell, et chargea son élève Heinrich Hertz d'effectuer ses tests expérimentaux. Cependant, les expériences de Hertz ont clairement confirmé que Maxwell avait raison.

Maxwell n'a pas utilisé la notation vectorielle et a écrit ses équations sous forme de composants plutôt encombrants. Dans son traité, il a également utilisé partiellement la formulation des quaternions. Forme moderne Les équations de Maxwell sont apparues vers 1884 après les travaux de Heaviside, Hertz et Gibbs. Ils ont non seulement réécrit le système de Maxwell sous forme vectorielle, mais l'ont également symétrisé, le reformulant en termes de champ, éliminant les potentiels électriques et magnétiques, qui jouaient un rôle important dans la théorie de Maxwell, car ils pensaient que ces fonctions étaient tout simplement inutiles. abstractions mathématiques auxiliaires. Il est intéressant de noter que la physique moderne soutient Maxwell, mais ne partage pas l'attitude négative de ses premiers disciples à l'égard des potentiels. Le potentiel électromagnétique joue un rôle important en physique quantique et apparaît comme une quantité physiquement mesurable dans certaines expériences, par exemple dans l'effet Aharonov-Bohm. .

Le système d'équations formulé par Hertz et Heaviside fut pendant un certain temps appelé les équations de Hertz-Heaviside. Einstein, dans son article classique « Sur l'électrodynamique des corps en mouvement », les a appelés les équations de Maxwell-Hertz. Parfois, dans la littérature, on trouve également le nom d'équation de Maxwell-Heaviside.

Les équations de Maxwell ont joué un rôle important dans l'émergence de théorie de la relativité(CENT). Joseph Larmore (1900) et indépendamment Henrik Lorenz (1904) ont trouvé des transformations de coordonnées, de temps et de champs électromagnétiques qui laissent les équations de Maxwell invariantes lors du passage d'un référentiel inertiel à un autre. Ces transformations différaient des transformations galiléennes de la mécanique classique et, à la suite d'Henri Poincaré, furent appelées transformations de Lorentz. Ils sont devenus le fondement mathématique de la théorie restreinte de la relativité.

La propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière a été initialement interprétée comme des perturbations d'un milieu, appelé éther. De nombreuses tentatives ont été faites (voir revue historique) pour détecter le mouvement de la Terre par rapport à l'éther, mais elles ont invariablement donné des résultats négatifs. C'est pourquoi Henri Poincaréémettre une hypothèse sur l'impossibilité fondamentale de détecter un tel mouvement (principe de relativité). Il possède également le postulat de l'indépendance de la vitesse de la lumière par rapport à la vitesse de sa source et la conclusion (avec Lorentz), basée sur le principe de relativité ainsi formulé, du type exact des transformations de Lorentz (en même temps, les propriétés de groupe de ces transformations ont également été montrées).

Ces deux hypothèses (postulats) ont constitué la base de l'article Albert Einstein(1905). Avec leur aide, il a également dérivé les transformations de Lorentz et approuvé leur signification physique générale, en soulignant notamment la possibilité de leur utilisation pour le passage de tout référentiel inertiel à tout autre référentiel inertiel. Ces travaux marquèrent en réalité la construction de la théorie restreinte de la relativité. En SRT, les transformations de Lorentz reflètent les propriétés générales l'espace et le temps, et le modèle éther s'avère inutile. Les champs électromagnétiques sont des objets indépendants qui existent au même titre que les particules matérielles.

L'électrodynamique classique, basée sur les équations de Maxwell, est à la base de nombreuses applications dans les domaines de l'ingénierie électrique et radio, des micro-ondes et de l'optique. À ce jour, aucun effet n’a été découvert qui nécessiterait une modification des équations. Ils s’avèrent également applicables en mécanique quantique, lorsque l’on considère par exemple le mouvement de particules chargées dans des champs électromagnétiques externes. Par conséquent, les équations de Maxwell constituent la base d’une description microscopique des propriétés électromagnétiques de la matière.

Les équations de Maxwell sont également demandées en astrophysique et en cosmologie, car de nombreuses planètes et étoiles possèdent un champ magnétique. Le champ magnétique détermine notamment les propriétés d’objets tels que les pulsars et les quasars.

Au niveau actuel de compréhension, toutes les particules fondamentales sont des excitations quantiques (« quanta ») de divers domaines. Par exemple, un photon est un quantum du champ électromagnétique et un électron est un quantum du champ spinor. Par conséquent, l’approche de terrain, proposée par Faraday et considérablement développée par Maxwell, constitue la base de la physique fondamentale des particules moderne, y compris son modèle standard.

Historiquement, un peu plus tôt, il a joué un rôle important dans l'émergence de la mécanique quantique dans la formulation Schrödinger et en général la découverte d'équations quantiques décrivant le mouvement des particules, y compris relativistes (l'équation de Klein-Gordon, l'équation de Dirac), bien qu'au départ l'analogie avec les équations de Maxwell n'ait été vue ici que dans une idée générale, alors qu'elle s'est ensuite transformée en il peut être compris comme plus spécifique et détaillé (comme décrit ci-dessus).

En outre, l’approche du champ, qui remonte généralement à Faraday et Maxwell, est devenue centrale dans la théorie de la gravité (y compris la relativité générale).

Écriture des équations et du système d'unités de Maxwell

L’écriture de la plupart des équations en physique ne dépend pas du choix du système d’unités. Or, ce n’est pas le cas en électrodynamique. Selon le choix du système d'unités, divers coefficients (constantes) apparaissent dans les équations de Maxwell. Système international L'unité SI est la norme en matière de technologie et d'enseignement, mais le débat parmi les physiciens sur ses avantages et ses inconvénients par rapport au système d'unités gaussien symétrique (SGS) concurrent se poursuit. L'avantage du système SGS en électrodynamique est que tous les champs qu'il contient ont la même dimension et que les équations, selon de nombreux scientifiques, sont écrites de manière plus simple et plus naturelle.

C'est pourquoi le GHS continue d'être utilisé dans les publications scientifiques sur l'électrodynamique et dans l'enseignement de la physique théorique, par exemple dans les cours de physique théorique. Landau Et Lifshitsa. Cependant, pour les applications pratiques, les unités de mesure introduites dans le SGH, dont beaucoup sont anonymes et ambiguës, sont souvent peu pratiques. Le système SI est standardisé et mieux cohérent ; toute la métrologie moderne est construite sur ce système. De plus, le système SI est couramment utilisé dans les cours physique générale. A cet égard, toutes les relations, si elles sont écrites différemment dans les systèmes SI et GHS, sont données ci-dessous en deux versions.

Forme différentielle

Les équations de Maxwell sont, en notation vectorielle, un système de quatre équations, qui se réduit en représentation des composants à huit (deux équations vectorielles contiennent chacune trois composants plus deux scalaires) équations aux dérivées partielles linéaires du 1er ordre pour 12 composants de quatre fonctions vectorielles () :

Nom	SGH	SI	Exemple d'expression verbale
la loi de Gauss			La charge électrique est la source de l'induction électrique.
Loi de Gauss pour le champ magnétique			Il n'y a pas de charges magnétiques. [~1]
Loi d'induction de Faraday			Un changement dans l'induction magnétique génère un champ électrique vortex. [~1]
Théorème de circulation du champ magnétique			Le courant électrique et les changements d'induction électrique génèrent un champ magnétique vortex

Dans ce qui suit, les caractères gras désignent les quantités vectorielles et les italiques indiquent les quantités scalaires.

Désignations introduites :

- densité de charge électrique externe (en unités SI - C/m³) ;

- densité de courant électrique (densité de courant de conduction) (en unités SI - A/m²) ; dans le cas le plus simple - le cas d'un courant généré par un type de porteurs de charge, il s'exprime simplement par ; dans le cas général, cette expression doit être moyennée sur différents types de supports ;

— vitesse de la lumière dans le vide (299 792 458 m/s) ;

— intensité du champ électrique (en unités SI - V/m) ;

— intensité du champ magnétique (en unités SI - A/m) ;

- induction électrique (en unités SI - C/m²) ;

- induction magnétique (en unités SI - T = Wb/m² = kg.s −2 .A −1) ;

est un opérateur différentiel, auquel cas :

Signifie rotor vectoriel,

Indique la divergence du vecteur.

Les équations de Maxwell ci-dessus ne constituent pas encore un système complet d'équations du champ électromagnétique, puisqu'elles ne contiennent pas les propriétés du milieu dans lequel le champ électromagnétique est excité. Les relations reliant les quantités , , , et prenant en compte les propriétés individuelles de l'environnement sont appelées équations matérielles.

Forme intégrale

Lors de la résolution des équations de Maxwell, les distributions de charges et de courants sont souvent considérées comme données. En tenant compte des conditions aux limites et des équations des matériaux, cela permet de déterminer l'intensité du champ électrique et l'induction magnétique, qui, à leur tour, déterminent la force agissant sur la charge d'essai se déplaçant à grande vitesse.

Cette force est appelée Force de Lorentz:

SGH	SI

La composante électrique de la force est dirigée le long du champ électrique (si ) et la composante magnétique est perpendiculaire à la vitesse de charge et à l'induction magnétique. La première expression de la force agissant sur une charge dans un champ magnétique (la composante électrique était connue) a été obtenue en 1889 par Heaviside, trois ans avant Hendrik Lorentz, qui a dérivé une expression pour cette force en 1892.

Dans des situations plus complexes de la physique classique et quantique, lorsque sous l’influence de champs électromagnétiques, les charges libres se déplacent et modifient les valeurs du champ, il est nécessaire de résoudre un système auto-cohérent d’équations de Maxwell et d’équations de mouvement, y compris les forces de Lorentz. L’obtention d’une solution analytique exacte d’un système aussi complet est généralement associée à de grandes difficultés.

Constantes dimensionnelles dans les équations de Maxwell

Dans le système gaussien d'unités CGS, tous les champs ont la même dimension, et dans les équations de Maxwell, il existe une seule constante fondamentale qui a la dimension de la vitesse, qui est maintenant appelée vitesse de la lumière (c'était l'égalité de cette constante de la vitesse de la lumière qui a donné à Maxwell la base de son hypothèse sur la nature électromagnétique de la lumière).

Dans le système d'unités SI, pour relier l'induction électrique et l'intensité du champ électrique en vide, la constante électrique ε 0 () est introduite. La constante magnétique est le même coefficient de proportionnalité pour le champ magnétique dans vide(). Titres constante électrique Et constante magnétique sont désormais standardisés. Auparavant, les noms de perméabilité diélectrique et magnétique du vide étaient également utilisés respectivement pour ces grandeurs.

La vitesse du rayonnement électromagnétique dans le vide (vitesse de la lumière) en SI apparaît lors de la dérivation de l'équation d'onde :

Dans le système d'unités SI, comme précis Les constantes dimensionnelles sont déterminées par la vitesse de la lumière dans le vide et la constante magnétique. La constante électrique ε 0 est exprimée à travers eux.

Les valeurs acceptées de la vitesse de la lumière, des constantes électriques et magnétiques sont données dans le tableau :

Parfois, une grandeur appelée « résistance caractéristique » ou « impédance » du vide est introduite :

Ohm.

Approximatif la valeur de est obtenue si la vitesse de la lumière est prise égale à m/s. Dans le système SGH. Cette grandeur a la signification du rapport des amplitudes des champs électriques et magnétiques d'une onde électromagnétique plane dans le vide.

Les équations de Maxwell dans un milieu

Pour obtenir un système complet d'équations de l'électrodynamique, il faut ajouter au système d'équations de Maxwell des équations matérielles reliant les grandeurs , , , , , dans lesquelles sont prises en compte les propriétés individuelles du milieu. La méthode pour obtenir les équations des matériaux est donnée théories moléculaires polarisation, magnétisation et conductivité électrique du milieu, à l'aide de modèles idéalisés du milieu. En leur appliquant les équations de la mécanique classique ou quantique, ainsi que les méthodes de la physique statistique, il est possible d'établir une connexion entre les vecteurs , , d'une part, et , d'autre part.

Charges et courants associés

Gauche: L'ensemble des dipôles microscopiques dans le milieu forme un moment dipolaire macroscopique et équivaut à deux plaques chargées de signe opposé à la frontière. Dans ce cas, toutes les charges à l'intérieur du support sont compensées ;

Sur la droite: L'ensemble des courants circulaires microscopiques dans le milieu est équivalent au courant macroscopique circulant le long de la frontière. Dans ce cas, tous les courants à l’intérieur du milieu sont compensés.

Lorsqu’un champ électrique est appliqué à un matériau diélectrique, chacune de ses molécules se transforme en dipôle microscopique. Dans ce cas, les noyaux positifs des atomes sont légèrement décalés dans le sens du champ et les couches électroniques dans le sens opposé. De plus, les molécules de certaines substances ont initialement un moment dipolaire. Les molécules dipolaires ont tendance à s'orienter dans la direction du champ. Cet effet est appelé polarisation des diélectriques. Ce déplacement des charges liées des molécules dans le volume équivaut à l'apparition d'une certaine répartition des charges en surface, bien que toutes les molécules impliquées dans le processus de polarisation restent neutres (voir figure).

De la même manière, la polarisation magnétique (magnétisation) se produit dans les matériaux dans lesquels les atomes et molécules qui les constituent ont des moments magnétiques associés au spin et au moment orbital des noyaux et des électrons. Le moment cinétique des atomes peut être représenté sous forme de courants circulaires. À la limite d'un matériau, la collection de tels courants microscopiques équivaut à des courants macroscopiques circulant le long de la surface, malgré le fait que le mouvement des charges dans les dipôles magnétiques individuels ne se produit qu'à l'échelle microscopique (courants couplés).

Les modèles considérés montrent que bien qu'un champ électromagnétique externe agisse sur des atomes et des molécules individuels, son comportement peut dans de nombreux cas être considéré de manière simplifiée à une échelle macroscopique, en ignorant les détails de l'image microscopique.

Dans un milieu, les champs électriques et magnétiques externes provoquent la polarisation et la magnétisation de la substance, qui sont respectivement décrites macroscopiquement par le vecteur de polarisation et le vecteur de magnétisation de la substance, et sont provoquées par l'apparition de charges et de courants liés. En conséquence, le champ dans le milieu s’avère être la somme de champs externes et de champs provoqués par des charges et des courants liés.

Par conséquent, en exprimant les vecteurs et en termes de , , et , nous pouvons obtenir un système mathématiquement équivalent d’équations de Maxwell :

SGH	SI

L'index désigne ici les charges et courants libres. Les équations de Maxwell sous cette forme sont fondamentales, dans le sens où elles ne dépendent pas du modèle de la structure électromagnétique de la matière. La séparation des charges et des courants en libres et liés permet de « se cacher » dans , , puis dans et donc dans la nature microscopique complexe du champ électromagnétique dans le milieu.

Équations matérielles

Les équations matérielles établissent le lien entre et . Dans ce cas, les propriétés individuelles de l'environnement sont prises en compte. En pratique, les équations matérielles utilisent généralement des coefficients déterminés expérimentalement (en fonction dans le cas général de la fréquence du champ électromagnétique), qui sont rassemblés dans divers ouvrages de référence sur les grandeurs physiques.

Dans les champs électromagnétiques faibles qui changent relativement lentement dans l'espace et dans le temps, dans le cas de milieux isotropes, non ferromagnétiques et non ferroélectriques, l'approximation est valable dans laquelle la polarisabilité et l'aimantation dépendent linéairement des champs appliqués :

où sont introduites des constantes sans dimension : - la susceptibilité diélectrique et - la susceptibilité magnétique de la substance (dans le système d'unités SI, ces constantes sont plusieurs fois supérieures à celles du système gaussien CGS). En conséquence, les équations matérielles pour les inductions électriques et magnétiques s'écrivent sous la forme suivante :

où est la constante diélectrique relative, est la perméabilité magnétique relative. Les grandeurs dimensionnelles ε 0 ε (en unités SI - F/m) et μ 0 μ (en unités SI - Gn/m) apparaissant dans le système SI sont appelées respectivement constante diélectrique absolue et perméabilité magnétique absolue.

Dans les conducteurs, il existe une relation entre la densité de courant et l'intensité du champ électrique, exprimée par la loi d'Ohm.:

où est la conductivité spécifique du milieu (en unités SI - Ohm −1 .m −1).

Dans un milieu anisotrope, ε, et sont les tenseurs , et . Dans le système de coordonnées des axes principaux, ils peuvent être décrits par des matrices diagonales. Dans ce cas, la relation entre les intensités de champ et les inductions a des coefficients différents pour chaque coordonnée.

Par exemple, dans le système SI :

Bien que pour une large classe de substances, l'approximation linéaire des champs faibles soit effectuée avec une bonne précision, dans le cas général, la relation entre et peut être non linéaire. Dans ce cas, les perméabilités du milieu ne sont pas constantes, mais dépendent de l'intensité du champ en un point donné. De plus, une relation plus complexe entre et est observée dans les environnements présentant des dispersions spatiales ou temporelles. Dans le cas de la dispersion spatiale, les courants et les charges en un point donné de l'espace dépendent de l'intensité du champ non seulement en ce même point, mais également en des points voisins. Dans le cas de la dispersion temporelle, la polarisation et la magnétisation du milieu ne sont pas uniquement déterminées par l'intensité du champ dans ce moment temps, et dépendent également de l’ampleur des champs aux instants précédents. Dans le cas le plus général de milieux non linéaires et inhomogènes avec dispersion, les équations matérielles du système SI prennent la forme intégrale :

Des équations similaires sont obtenues dans le système SGS gaussien (si nous définissons formellement ε 0 = 1).

Equations en milieux isotropes et homogènes sans dispersion

En milieu isotrope et homogène sans dispersion, les équations de Maxwell prennent la forme suivante:

SGH	SI

Dans la gamme de fréquences optiques, au lieu de la constante diélectrique ε, on utilise l'indice de réfraction (en fonction de la longueur d'onde), qui montre la différence entre la vitesse de propagation d'une onde lumineuse monochromatique dans un milieu et la vitesse de la lumière dans le vide . De plus, dans le domaine optique, la constante diélectrique est généralement nettement inférieure à celle des basses fréquences et la perméabilité magnétique de la plupart des supports optiques est pratiquement égale à l'unité. L'indice de réfraction de la plupart des matériaux transparents est compris entre 1 et 2, atteignant 5 pour certains semi-conducteurs. Dans le vide, les perméabilités diélectrique et magnétique sont égales à l'unité : ε = μ = 1.

Puisque les équations de Maxwell dans un milieu linéaire sont linéaires par rapport aux champs, aux charges libres et aux courants, le principe de superposition est valide :

Si les distributions de charges et de courants créent un champ électromagnétique avec des composants et que d'autres distributions créent respectivement un champ, alors le champ total créé par les sources sera égal à.

Lorsque les champs électromagnétiques se propagent dans un milieu linéaire en l’absence de charges et de courants, la somme de toutes les solutions partielles des équations satisfera également aux équations de Maxwell.

Conditions aux frontières

Dans de nombreux cas, un milieu hétérogène peut être représenté comme un ensemble de régions homogènes continues par morceaux séparées par des frontières infiniment minces. Dans ce cas, il est possible de résoudre les équations de Maxwell dans chaque région, en « cousant » les solutions résultantes aux frontières. En particulier, lorsqu’on considère une solution dans un volume fini, il est nécessaire de prendre en compte les conditions aux limites du volume avec l’espace infini environnant. Les conditions aux limites sont obtenues à partir des équations de Maxwell en passant à la limite. Pour ce faire, le plus simple est d'utiliser les équations de Maxwell sous forme intégrale.

En choisissant dans le deuxième couple d'équations le contour d'intégration sous la forme d'un cadre rectangulaire de hauteur infinitésimale traversant l'interface entre deux milieux, on peut obtenir la relation suivante entre les composantes du champ dans deux régions adjacentes à la frontière :

SGH	SI
, ,	, ,

où est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 et ayant une dimension inverse à la longueur, est la densité de la surface gratuit courants le long de la frontière (c'est-à-dire sans compter courants associés aimantation qui se développe à la limite du milieu à partir de courants moléculaires microscopiques, etc.). La première condition aux limites peut être interprétée comme une continuité à la limite des régions des composantes tangentielles de l'intensité du champ électrique (de la seconde, il s'ensuit que les composantes tangentielles de l'intensité du champ magnétique ne sont continues qu'en l'absence de courants de surface à la frontière ).

SUJET 4.1. Optique

4.1.1. Théorie de la diffusion
Les ondes électromagnétiques de Maxwell.
Les équations de Maxwell

Théorie D.K. La théorie de Maxwell sous-tend l'explication de l'existence et des propriétés de toutes les ondes électromagnétiques, telles que les ondes lumineuses, ondes radio, infrarouges et rayonnement ultraviolet. Cette théorie est phénoménologique, c'est-à-dire il ne prend pas en compte la structure moléculaire du milieu ni le mécanisme interne des processus se produisant dans le milieu sous l'influence de champs électriques et magnétiques. Électrique et Propriétés magnétiques les environnements sont caractérisés par des constante diélectriqueε, perméabilité magnétique relative m et conductivité électrique spécifique σ. On suppose que ces paramètres environnementaux sont déterminés à partir d’expériences.

La théorie de Maxwell est macroscopique. Cela signifie que l'on considère des champs macroscopiques de charges et de courants, dont les dimensions spatiales sont incommensurables. plus de tailles molécules et atomes individuels.

L'expression mathématique de la théorie de Maxwell est un système de quatre équations écrites sous deux formes - différentielle et intégrale.

Les équations différentielles de Maxwell sont obtenues à partir d'équations intégrales en utilisant deux théorèmes d'analyse vectorielle : le théorème d'Ostrogradsky-Gauss et le théorème de Stokes.

Considérons Théorème d'Ostrogradsky-Gauss.

Soit un vecteur choisi pour caractériser n'importe quel champ. Alors l'écoulement du vecteur à travers une surface fermée arbitraire S, dessinée mentalement dans ce champ, est égal à l'intégrale de la divergence du vecteur prise sur le volume V délimité par la surface fermée S :

L'opération de divergence sur un vecteur arbitraire se réduit à une dérivée spatiale de la forme :

où a x, a y, a z sont les projections du vecteur sur les axes d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires.

Considérons Théorème de Stokes.

Soit un vecteur choisi pour caractériser n'importe quel champ. Alors la circulation du vecteur le long d'un contour fermé arbitraire L, dessiné mentalement dans ce champ, est égale au flux du vecteur pourriture à travers la surface S délimitée par le contour fermé L :

Les opérations vectorielles pourrissent Coordonnées cartésiennes s'exprime ainsi :

Première équation de Maxwell

Cette équation est une généralisation de la loi de Faraday sur l'induction électromagnétique :

Cependant, pour un contour arbitraire, la relation suivante est valable :

Puisque dans le cas général, alors pour un contour qui n'évolue pas dans le temps, la relation suivante est vraie :

En comparant (4.1.5) et (4.1.7) en tenant compte de (4.1.6), pour un contour L arbitraire, dessiné mentalement dans un champ magnétique alternatif, on peut écrire :

La force du courant de conduction peut également être représentée par :

ou enfin :

Des deux dernières équations (4.1.47) il résulte que , qui indique la transversalité de l'onde électromagnétique. De la première équation (4.1.47), il ressort clairement que le vecteur H en conséquence produit vectoriel, doit être perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent les vecteurs et. De même, de la deuxième équation (4.1.47), il résulte que le vecteur champ électrique doit être perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent les vecteurs et. Enfin, il s'avère que pour toute onde électromagnétique les vecteurs , et constituent un trio de vecteurs orthogonaux (Fig. 4.1.1).

4.1.3. Échelle des ondes électromagnétiques

En fonction de la fréquence ν = ω/2π ou de la longueur d'onde dans le vide λ 0 = с/ν, ainsi que de la méthode de rayonnement et d'enregistrement, on distingue plusieurs types d'ondes électromagnétiques :

• les ondes radio;
• rayonnement optique;
• rayonnement aux rayons X;
• rayonnement gamma.

Les ondes radio sont appelées ondes électromagnétiques dont la longueur d'onde dans le vide λ 0 > 5·10 -5 m (ν< 6·10 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).

Tableau 4.1.1

Rayonnement optique ou lumière sont appelées ondes électromagnétiques dont la longueur d'onde dans le vide est comprise entre 10 nm >λ 0 > 1 mm (les limites sont arbitraires). Le rayonnement optique comprend le rayonnement infrarouge, visible et ultraviolet.

Infrarouge (IR) sont appelées ondes électromagnétiques émises par des corps chauffés, dont la longueur d'onde dans le vide est comprise entre 1 mm > λ 0 > 770 nm.

Rayonnement visible (lumière) sont appelées ondes électromagnétiques dont les longueurs d'onde dans le vide sont comprises dans la plage 770 nm > λ 0 > 380 nm. La lumière peut provoquer sensations visuelles dans l'oeil humain.

Rayonnement ultraviolet (UV) sont appelées ondes électromagnétiques dont les longueurs d'onde dans le vide sont comprises dans la plage 380 nm > λ 0 > 10 nm.

Rayonnement X (rayons X) sont appelées ondes électromagnétiques qui résultent de l’interaction de particules chargées et de photons avec des atomes de matière. Il est caractérisé par des longueurs d'onde dans le vide dans la plage des limites conventionnelles (10-100 nm) > λ 0 > (0,01-1 pm).

Rayonnement gamma (rayons γ) sont appelées ondes électromagnétiques dont les longueurs d'onde dans le vide sont de 0,1 nm > λ 0. Ce rayonnement est émis par les noyaux atomiques excités lors des transformations radioactives et réactions nucléaires, et se produit également lors de la désintégration des particules, de l'annihilation des paires particule-antiparticule et d'autres processus.

4.1.4. onde lumineuse

La lumière est un phénomène complexe : dans certains cas, elle se comporte comme une onde électromagnétique, dans d’autres, elle se comporte comme un flux de particules spéciales (photons).

Dans une onde électromagnétique, les vecteurs des champs électriques et magnétiques oscillent. Comme le montre l'expérience, les effets physiologiques, photochimiques, photoélectriques et autres de la lumière sont provoqués par la présence d'oscillations du vecteur électrique, appelé dans ce cas vecteur de lumière. Ses changements dans l'espace et dans le temps sont donnés par l'équation des ondes planes :

Ici r est la distance mesurée dans la direction de propagation des ondes.

Le rapport entre la vitesse d'une onde lumineuse dans le vide c et sa vitesse de phase v dans un milieu transparent est appelé indicateur absolu réfraction de ce milieu :

L'indice de réfraction est lié aux perméabilités diélectriques et magnétiques relatives par le rapport :

Pour la grande majorité des substances transparentes, la valeur μ ≈ 1. On peut donc supposer que :

Les valeurs de l'indice de réfraction caractérisent densité optique environnement. Un milieu avec un n plus grand sera plus dense optiquement.

Longueurs d'onde lumière visible dans le vide sont contenus dans :

Dans la matière, les longueurs d'onde seront différentes. Dans le cas d'oscillations de fréquence ν, la longueur d'onde de la lumière dans le vide est égale à :

En utilisant la relation (4.1.49), nous avons la formule de la longueur de la lumière dans la matière :

Les fréquences de la lumière visible vont de :

Le module du flux d’énergie moyen dans le temps transporté par l’onde est appelé intensité lumineuse Je suis à un point donné de l'espace. L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde :

Une onde lumineuse, comme les autres ondes électromagnétiques, est transversale, c'est-à-dire les directions d'oscillations des vecteurs électriques et magnétiques sont perpendiculaires à la direction de sa propagation. En lumière naturelle, toutes les directions d’oscillations des vecteurs électriques et magnétiques sont présentes. Si une onde contient des oscillations du vecteur électrique dans un seul plan (et du vecteur magnétique dans un plan perpendiculaire), une telle onde est appelée polarisé plan (polarisé linéairement). Il existe également des cas plus complexes de polarisation des ondes – circulaires et elliptiques. Dans le cas d'une polarisation circulaire, les vecteurs électriques et magnétiques tournent en cercle avec la fréquence de l'onde changeant.

4.1.5. Optique géométrique

Les longueurs des ondes lumineuses perçues par l'œil sont très petites (∼10 -7 m), de sorte que la propagation de la lumière visible peut être considérée en première approximation, en faisant abstraction de sa nature ondulatoire et en supposant que la lumière se propage le long de certaines lignes droites appelées rayons. . Dans le cas limite, lorsque la longueur d’onde de la lumière est λ → 0, les lois de l’optique peuvent être formulées dans le langage de la géométrie.

La base optique géométrique Il existe 4 lois :

1. loi de propagation rectiligne de la lumière ;
2. loi d'indépendance des rayons lumineux ;
3. loi de réflexion de la lumière ;
4. loi de la réfraction de la lumière.

Loi de propagation rectiligne de la lumière stipule que dans un milieu homogène, la lumière se propage de manière rectiligne. Cette loi est approximative : lorsque la lumière traverse de très petits trous dont les dimensions sont comparables à la longueur d'onde de la lumière, on observe un écart par rapport à la rectitude, d'autant plus grand que le trou est petit.

Loi d'indépendance des rayons lumineux stipule que les rayons ne se dérangent pas lorsqu'ils se croisent. Cela signifie que l’intersection des rayons n’empêche pas chacun d’eux de se propager indépendamment les uns des autres. Cette loi est valable lorsque les intensités des ondes lumineuses ne sont pas trop élevées.

L'optique géométrique était basée sur Le principe de Fermat: la lumière se déplace le long d'un chemin qui nécessite le minimum de temps pour voyager.

Supposons que la lumière ait besoin d'un temps dt = ds/v pour parcourir une section ds, où v est la vitesse de la lumière en un point donné du milieu. Puisque v = c/n, on obtient :

Ainsi, le temps τ nécessaire pour parcourir du point 1 au point 2 (Fig. 4.1.2) est égal à :

Riz. 4.1.2. Au principe de Fermat

Une grandeur ayant la dimension de la longueur

appelé longueur du trajet optique. Dans un milieu homogène, la longueur du trajet optique est égale au produit de la longueur du trajet géométrique par l'indice de réfraction :

Ainsi,

La proportionnalité du temps de parcours à la longueur du trajet optique permet de formuler Le principe de Fermat donc : la lumière se propage le long d'un chemin dont la longueur optique est minimale.

Le principe de Fermat implique la réversibilité des rayons lumineux. En effet, le chemin optique, qui est minimal lorsque la lumière se déplace du point 1 au point 2, le sera également lorsque la lumière se propage en sens inverse.

Grâce au principe de Fermat, on obtient les lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Laissez la lumière tomber du point A au point B, réfléchie par la surface MN (Fig. 4.1.3).

Riz. 4.1.3. La loi de la réflexion de la lumière comme conséquence du principe de Fermat

Le trajet direct de A vers B est bloqué par l'écran E. Le milieu dans lequel le faisceau se propage est homogène, donc la longueur minimale du trajet optique est réduite à la longueur minimale du trajet géométrique. La longueur géométrique d'un chemin arbitraire est égale à AO"B = A"O"B, puisque le point auxiliaire A" est une image miroir du point A, et AO" = A"O". D'après la Fig. 4.1.3, il est clair que le trajet du rayon a la longueur la plus courte, réfléchie au point O, pour laquelle l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. À mesure que le point O s'éloigne du point O, la longueur du trajet géométrique augmente indéfiniment, ce qui contredit le principe de Fermat . Ce résultat peut s'écrire ainsi :

La relation (4.1.62) exprime loi de la réflexion de la lumière: le rayon réfléchi se trouve dans le même plan que le rayon incident et la normale reconstruite au point d'incidence ; L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.

Trouvons le point auquel le faisceau doit se réfracter, se propageant de A à B, de sorte que la longueur du trajet optique soit minimale (Fig. 4.1.4).

Riz. 4.1.4. Vers le calcul de la loi de réfraction de la lumière à partir du principe de Fermat

Pour un faisceau arbitraire, la longueur du trajet optique est :

Pour trouver la valeur minimale de la longueur du chemin optique, nous différencions L par rapport à x et assimilons la dérivée à zéro :

Les facteurs pour n 1 et n 2 sont égaux respectivement à sinθ et sinθ." Par conséquent, nous obtenons la relation :

qui exprime la loi de réfraction de la lumière. En utilisant la relation des indices de réfraction avec les vitesses de phase de propagation de la lumière dans les milieux, on peut écrire la relation (4.1.65) sous la forme :

Ainsi, loi de la réfraction de la lumière déclare : le rayon réfracté se trouve dans le même plan que le rayon incident et la normale ; le rapport du sinus de l'angle d'incidence au sinus de l'angle de réfraction est une valeur constante pour ces substances.

Dans (4.1.66) n 12 est l'indice de réfraction relatif de la deuxième substance par rapport à la première. D’après (4.1.65), il est clair que lorsque la lumière passe optiquement de plus milieu dense dans une région optiquement moins dense, le faisceau s'éloigne de la normale vers l'interface entre les milieux. Une augmentation de l'angle d'incidence s'accompagne d'une augmentation plus rapide de l'angle de réfraction, et lorsqu'un certain angle d'incidence limite est atteint, l'angle de réfraction sera égal à 90° :

Aux angles d'incidence allant de θ prepre à 90°, il n'y a pas d'onde réfractée ; toute l'énergie de l'onde incidente est convertie en énergie de l'onde réfléchie. Ce phénomène est appelé réflexion interne totale.

Tableau 4.1.2

De nombreux instruments optiques utilisent des prismes en verre pour réfracter la lumière. En figue. 4.1.5 montre le trajet d'un faisceau de lumière monochromatique dans un prisme.

Riz. 4.1.5. Chemin des rayons dans un prisme

Après double réfraction, le faisceau s'avère dévié de sa position d'origine d'un angle δ ( angle de déviation). L'angle θ entre les faces réfringentes est appelé angle de réfraction. L'angle δ dépend de l'angle de réfraction θ et de l'indice de réfraction du prisme. Cette dépendance peut être facilement démontrée pour un prisme de petit angle de réfraction θ (prisme fin) dans le cas d'un petit angle d'incidence α. En nous basant sur la loi de la réfraction et en prenant la valeur de l'indice de réfraction de l'air égale à l'unité, on peut écrire :

Aux petits angles α et θ, les angles α 1, γ et γ 1 sont également petits. Ainsi, au lieu de (4.1.69) on peut écrire approximativement :

A partir du quadrilatère BQDE, dans lequel les angles en B et D sont des angles droits, on trouve que l'angle BED est égal à 180° - θ. Alors à partir du quadrilatère BCDE on trouve :

L'angle δ du triangle BED est égal à :

En substituant les résultats (4.1.73) et (4.1.70) dans (4.1.72), on obtient finalement :

4.1.6. Réfraction dans une lentille

DANS Applications pratiques grande importance a une réfraction de la lumière à l'interface sphérique entre deux milieux. La partie principale des instruments optiques - la lentille - est généralement un corps en verre délimité des deux côtés par des surfaces sphériques. Dans un cas particulier, l'une des surfaces de la lentille peut être plane. Une telle surface peut être considérée comme sphérique avec un rayon de courbure infiniment grand.

Les lentilles peuvent être fabriquées non seulement à partir de verre, mais également à partir de toute substance transparente ayant un indice de réfraction supérieur à un, par exemple le quartz, le sel gemme, les plastiques et d'autres matériaux. Les surfaces des lentilles peuvent avoir des formes plus complexes : cylindriques, paraboliques, etc.

Considérons une lentille limitée par deux surfaces réfringentes sphériques PO 1 Q et PO 2 Q (Fig. 4.1.6).

Riz. 4.1.6. Lentille fine

Le centre de la première surface réfringente PO 1 Q se trouve au point C 1, le centre de la deuxième surface PO 2 Q se trouve au point C 2. Nous supposerons que la distance O 1 O 2 est petite par rapport à O 1 C 1 ou O 2 C 2 . Dans ce cas, les points O 1 et O 2 peuvent être considérés comme coïncidant pratiquement avec le point O - le centre optique de la lentille. Toute droite passant par le centre optique est appelée axe optique lentilles. Celui des axes qui passe par les centres des deux surfaces réfringentes est appelé axe optique principal, le reste - essieux latéraux.

Un rayon se déplaçant le long d'un axe optique, passant à travers une lentille mince, ne change pas de direction. Les rayons parallèles à l'axe optique principal, après réfraction dans la lentille, se coupent en un point F, situé sur l'axe optique principal et appelé objectif principal.

Montrons que les rayons émanant sous de petits angles α d'un certain point A situé sur l'axe optique principal sont collectés par une lentille en un point A 1, également situé sur cet axe optique et appelé image point A (Fig. 4.1.7).

Riz. 4.1.7. Réfraction dans une lentille fine

Construisons des plans tangents aux surfaces de la lentille aux points M et N (aux endroits où le faisceau tombe sur la lentille et sort de la lentille), et dessinons les rayons de courbure R 1 et R 2 des surfaces de la lentille jusqu'à ces points. Alors le rayon AMNA 1 peut être considéré comme un rayon réfracté dans un prisme fin avec un angle de réfraction θ. Compte tenu de la petitesse des angles α, β, α 1, β 1 et de l'épaisseur de la lentille, on peut écrire :

où a et b sont les distances de la source lumineuse A et de son image A 1 au centre optique de la lentille.

Des triangles ANA 1 et BEV 1 il résulte que :

Compte tenu des formules (4.1.75), on obtient :

On prend en compte que pour une lentille mince h 1 ≈ h 2 ≈ h. Puisque, d’après la formule (), pour un prisme mince, ce qui suit est vrai : θ = (n-1)δ, alors, en utilisant (4.1.77) nous avons formule de lentille:

Cette formule n'inclut pas la valeur h, ce qui signifie que la distance b ne dépend pas de la position du point M. Par conséquent, tous les rayons émanant du point A convergeront après réfraction dans différentes parties lentilles en un point A 1.

Si le point A est infiniment éloigné de la lentille (a = ∞), c'est-à-dire si les rayons tombent sur la lentille parallèlement à l'axe optique principal, alors, d'après la formule (4.1.78), on a :

La quantité b = f s'appelle distance focale lentilles:

Objectif de mise au point est le point auquel, après réfraction, tous les rayons incidents sur la lentille parallèlement à l'axe optique principal sont collectés.

Compte tenu de (4.1.80), la formule du verre (4.1.78) peut maintenant être réécrite comme suit :

L’inverse de la distance focale s’appelle puissance optique de la lentille:

La puissance optique est exprimée en dioptries (dop). 1 dp est la puissance optique d'un objectif d'une distance focale de 1 m.

4.1.7. Le principe de Huygens

Dans l'approximation de l'optique géométrique, la lumière derrière un obstacle ne doit pas pénétrer dans la région d'ombre géométrique. En effet, l'onde lumineuse se propage dans tout l'espace derrière l'obstacle, pénétrant dans la région de l'ombre géométrique, et cette pénétration sera d'autant plus importante que petites tailles des trous. Lorsque le diamètre du trou ou la largeur de la fente est comparable à la longueur d'onde, l'approximation de l'optique géométrique devient totalement inapplicable.

Le comportement de la lumière derrière un obstacle comportant un trou peut être expliqué qualitativement en utilisant Le principe de Huygens. Selon le principe de Huygens, chaque point atteint par le mouvement des vagues sert de centre aux ondes secondaires ; l'enveloppe de ces ondes donne la position du front d'onde à l'instant suivant. Laissez un front d'onde parallèle à celui-ci tomber sur un obstacle plat percé d'un trou (Fig. 4.1.8).

Riz. 4.1.8. Vers le principe de Huygens

Selon Huygens, chaque point de la section du front d'onde isolé par le trou sert de centre aux ondes secondaires, qui dans un milieu homogène et isotrope seront sphériques. En construisant l'enveloppe des ondes secondaires, vous pouvez vous assurer que derrière le trou, l'onde pénètre dans la région de l'ombre géométrique, se courbant autour des bords de l'obstacle.

4.1.8. Interférence des ondes lumineuses

Si plusieurs ondes électromagnétiques se propagent simultanément dans un milieu, alors les ondes se chevauchent simplement sans se perturber. Cette affirmation, étayée par l'expérience, s'appelle le principe de superposition.

Dans le cas où les oscillations des vecteurs électriques et magnétiques dans chacune des ondes se produisent de telle manière qu'entre les vecteurs correspondants dans différentes ondes il existe une constante dans le temps et dans l'espace déphasage, ces vagues sont appelées cohérent. Il est évident que la condition de cohérence ne peut exister que pour des ondes ayant les mêmes fréquences et, par conséquent, les mêmes longueurs d'onde.

Lors de l'ajout ondes cohérentes un phénomène se produit ingérence, qui consiste dans le fait que les ondes électromagnétiques se renforcent en certains points de l'espace et s'affaiblissent en d'autres points.

Supposons que deux ondes de même fréquence, se propageant dans la même direction, provoquent des oscillations en un point de l'espace :

Ces vecteurs peuvent être représentés comme tournant avec une fréquence ω autour d’une origine commune. Puisque le déphasage est différent, à un moment donné, ces vecteurs occuperont diverses dispositions(Fig. 4.1.9).

Riz. 4.1.9. Vers le calcul de l’interférence des ondes

En utilisant le théorème du cosinus, on obtient l'amplitude de l'oscillation résultante :

Si le déphasage entre oscillations cohérentes est nul (les ondes sont en phase), alors l'amplitude de l'onde résultante est maximale et égale à A = A 1 + A 2. Que les amplitudes de ces ondes soient égales. Dans ce cas, on a l’amplitude de l’onde résultante :

Si le déphasage entre oscillations cohérentes est égal à ±π (les ondes sont en antiphase), alors l'amplitude de l'onde résultante est minimale et égale à A = A 1 - A 2. Si les amplitudes de ces ondes sont égales, alors dans ce cas elles s'annulent :

Des ondes lumineuses cohérentes peuvent être obtenues en divisant, par exemple à l'aide de miroirs, une onde émise par une source en deux. Si ces ondes sont forcées d’emprunter des chemins différents puis se superposent les unes aux autres, des interférences se produiront. Supposons qu'une telle séparation se produise au point O (Fig. 4.1.10).

Riz. 4.1.10. Formation d'ondes cohérentes

Jusqu'au point P, la première onde voyagera dans un milieu d'indice de réfraction n 1 le long du trajet S 1 , la deuxième vague traversera un milieu d'indice de réfraction n 2 le long du trajet S 2 . Si au point O la phase de l'oscillation était égale à ωt, alors la première onde provoquera une oscillation au point P

et la deuxième vague est une hésitation

alors la différence de phase s'avère être un multiple de 2π, et les oscillations excitées au point P par les deux ondes se produiront en phase. Par conséquent, (4.1.93) est la condition pour le maximum d’interférence.

Si Δ est égal à un nombre demi-entier de longueurs d'onde dans le vide :

alors la différence de phase s'avère être égale à δ = ±(2m + 1)π, et les oscillations excitées au point P par les deux ondes se produiront en antiphase. Par conséquent, (4.1.94) est la condition pour le minimum d’interférence.

4.1.9. Diffraction des ondes lumineuses

La diffraction est un ensemble de phénomènes associés à des écarts par rapport aux lois de l'optique géométrique. En particulier, en raison de la diffraction, les ondes lumineuses contournent les obstacles et la lumière pénètre dans la zone d'ombre géométrique.

Il n'y a pas de différence physique significative entre l'interférence et la diffraction.

La lumière provenant d'une petite source lumineuse à travers un trou rond (Fig. 4.1.11) devrait, selon les règles de l'optique géométrique, produire un cercle lumineux nettement limité sur un fond sombre de l'écran.

Riz. 4.1.11. Diffraction à partir d'un trou circulaire

Cette image est observée lorsque conditions normales expérience. Mais si la distance entre le trou et l'écran est plusieurs milliers de fois supérieure à la taille du trou, une image plus complexe se forme, constituée d'un ensemble d'anneaux concentriques clairs et sombres.

Un cas intéressant de diffraction est réalisé en utilisant réseau de diffraction, qui est une plaque à la surface de laquelle alternent d'étroites rayures parallèles transparentes et opaques. La somme des largeurs des bandes transparentes et opaques est appelée période de réseau. Laissez la lumière monochromatique de longueur d’onde λ tomber sur le réseau (Fig. 4.1.12). Le front d'onde est parallèle au plan du réseau.

Riz. 4.1.12. Réseau de diffraction

Les différences de trajet des rayons provenant des points correspondants des trous, par exemple des bords droits (points A, A 1, A 2, ...), ou des bords gauches (points B, B 1, B 2, ...) ont une seule et même signification :

Pour que tous les faisceaux se renforcent mutuellement, il faut que la différence de marche soit égale à un nombre entier de longueurs d'onde :

où m est un entier.

Cette condition permet de déterminer les valeurs des angles φ et les directions correspondantes dans lesquelles les maxima de lumière de longueur d'onde λ seront observés.

Pour une longueur d’onde donnée, plusieurs maxima peuvent être observés. La direction correspondant à m = 0 est φ = 0. C'est la direction du faisceau d'origine. Le maximum correspondant est appelé maximum d’ordre zéro. Pour m = 1 on a : sinφ 1 = λ/d, pour m = 1 on a : sinφ" 1 = λ/d, c'est à dire qu'il y a deux maxima du premier ordre situés symétriquement de part et d'autre du maximum zéro. Ils sont situés de même, les maxima des deuxième, troisième, etc. ordres.

Il s'ensuit que pour des ondes de longueurs différentes λ, les positions des maxima d'ordre zéro sont correspondre, et les positions des maxima du premier, du deuxième, etc. les ordres sont différents : plus λ est grand, plus les angles correspondants sont grands.

S'il tombe sur la grille lumière blanche, alors un certain nombre d'images couleur de la fente sont obtenues dans le plan de l'écran. Sur le site du maximum zéro, il y aura une image d'une fente en lumière blanche, et des deux côtés il y aura des rayures colorées allant du violet à l'extrémité rouge.

Plus la taille globale de la grille est grande, c'est-à-dire Plus il contient de rayures, plus sa qualité est élevée : augmenter le nombre de rayures augmente la quantité de lumière transmise par le réseau (les maxima deviennent plus brillants) et améliore la résolution des ondes proches (les maxima deviennent plus nets).

Connaissant la période du réseau de diffraction, il peut être utilisé pour déterminer la longueur d'onde de la lumière en mesurant l'angle φ, qui détermine la position du maximum d'un ordre donné. Dans ce cas nous avons :

La mesure de la longueur d'onde de la lumière à l'aide d'un réseau de diffraction est l'une des méthodes les plus précises.

4.1.10. Polarisation des ondes lumineuses

La lumière polarisée est une lumière dans laquelle les directions d’oscillations des vecteurs électriques et magnétiques sont ordonnées d’une manière ou d’une autre. À la lumière naturelle, les vibrations se produisent dans différentes directions, se remplaçant rapidement et aléatoirement.

La lumière est classée comme polarisée elliptiquement, circulairement ou plane. Dans le cas d'une polarisation elliptique ou circulaire, les vecteurs électriques et magnétiques tournent dans l'espace avec une fréquence égale à la fréquence de l'onde, et les extrémités de ces vecteurs décrivent soit une ellipse, soit un cercle. La rotation peut se produire dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse. Si le vecteur tourne dans l'espace comme une vis droite, alors la polarisation est appelée droite et gauche - si le vecteur tourne dans l'espace comme une vis gauche.

Important cas particulier- polarisation plate. Dans ce cas, le vecteur champ électrique oscille dans un plan passant par la direction de propagation de l'onde et ce vecteur. Cet avion s'appelle plan d'oscillation. Le vecteur champ magnétique oscille dans un plan qui passe également par la direction de propagation de l'onde et ce vecteur, mais ce plan est plan de polarisation- fait un angle droit avec le plan de vibration (Fig. 4.1.13).

Riz. 4.1.13. Structure d'une onde lumineuse polarisée dans un plan

La lumière polarisée dans le plan peut être obtenue à partir de la lumière naturelle à l'aide de dispositifs appelés polariseurs. Ces dispositifs transmettent librement des ondes avec des oscillations dont le plan coïncide avec le plan de transmission du polariseur et bloquent toutes les autres ondes.

Laissez la lumière polarisée dans le plan d'amplitude A 0 et d'intensité I 0 tomber sur le polariseur. Une composante vibratoire d’amplitude A || traversera l’appareil. = A 0 cosφ, où l'angle φ est l'angle entre le plan d'oscillation de la lumière incidente et le plan de transmission du polariseur (Fig. 4.1.14).

Riz. 4.1.14. Passage de la lumière polarisée dans un plan à travers un polariseur

Par conséquent, l’intensité de la lumière transmise est déterminée par l’expression :

Cette relation est appelée loi de Malus.

Supposons qu'il y ait deux polariseurs sur le trajet du faisceau naturel dont les plans de transmission font un angle φ. La lumière polarisée dans le plan sortira du premier polariseur, dont l'intensité I0 sera la moitié de l'intensité de la lumière naturelle non polarisée que je mange. En utilisant la loi de Malus, on obtient :

L'intensité maximale est obtenue à φ = 0 (les plans de transmission des polariseurs sont parallèles). À φ = 90°, l'intensité est nulle : les polariseurs croisés ne transmettent pas la lumière.

4.1.11. Rotation de l'avion
polarisation des ondes lumineuses

Certaines substances, dites optiquement actives, ont la capacité de provoquer une rotation du plan de polarisation de la lumière polarisée plane qui les traverse. Ces substances comprennent les cristaux de quartz, le cinabre, etc., certains liquides (térébenthine, nicotine), les solutions de substances optiquement actives dans des solvants optiquement inactifs ( solutions aqueuses sucre, acide tartrique, etc.)

L'angle de rotation du plan de polarisation dans les solides est proportionnel au chemin l parcouru par le faisceau dans le cristal :

où α est la constante de rotation optique, différente pour différentes substances.

Dans les solutions, l'angle de rotation du plan de polarisation est proportionnel au chemin l parcouru par la lumière dans la solution et à la concentration c de la substance active :

Ici [α] est la constante de rotation spécifique.

Selon le sens de rotation, les substances sont divisées en droitiers et gauchers. Il y a du quartz droit et gauche, du sucre droit et gauche, etc. Les molécules ou les cristaux d'une modification sont une image miroir de molécules ou de cristaux d'une autre modification.

Si une substance optiquement active est placée entre deux polariseurs croisés, le champ de vision est éclairci. Pour l'assombrir à nouveau, il faut faire pivoter l'un des polariseurs d'un angle déterminé par les relations (4.1.99) ou (4.11.100). Cette méthode permet de mesurer la concentration de la substance active dans une solution, notamment la concentration en sucre.