Les vecteurs i j k ont ​​des coordonnées. Produit vectoriel de vecteurs

Définition Une collection ordonnée de (x 1 , x 2 , ... , x n) n nombres réels est appelée vecteur à n dimensions, et les nombres x je (i = ) - Composants, ou coordonnées,

Exemple. Si, par exemple, certains usine automobile doit produire 50 voitures, 100 camions, 10 bus, 50 jeux de pièces de rechange pour voitures et 150 jeux pour camions et bus par équipe, puis programme de fabrication cette plante peut s'écrire sous la forme d'un vecteur (50, 100, 10, 50, 150) ayant cinq composantes.

Notation. Les vecteurs sont désignés par des lettres minuscules en gras ou des lettres avec une barre ou une flèche en haut, par ex. un ou. Les deux vecteurs sont appelés égal, s'ils ont le même nombre de composants et que leurs composants correspondants sont égaux.

Les composants vectoriels ne peuvent pas être échangés, par exemple (3, 2, 5, 0, 1) et (2, 3, 5, 0, 1) vecteurs différents.
Opérations sur les vecteurs. Le travail X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) par un nombre réelλ appelé vecteurλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MontantX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) et oui= (y 1 , y 2 , ... ,y n) est appelé un vecteur x+y= (X 1 + oui 1 , X 2 + oui 2 , ... , X n + + oui n).

Espace vectoriel. N -espace vectoriel dimensionnel R. n est défini comme l'ensemble de tous les vecteurs à n dimensions pour lesquels les opérations de multiplication par des nombres réels et d'addition sont définies.

Illustration économique. Illustration économique de l'espace vectoriel à n dimensions : espace de marchandises (marchandises). Sous marchandises nous comprendrons un bien ou un service mis en vente à un certain moment et dans un certain endroit. Supposons qu'il existe un nombre fini n de biens disponibles ; les quantités de chacun d'entre elles achetées par le consommateur sont caractérisées par un ensemble de biens

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

où x i désigne le montant du i-ème bien acheté par le consommateur. Nous supposerons que tous les biens ont la propriété d’être divisibles arbitrairement, de sorte que toute quantité non négative de chacun d’eux puisse être achetée. Alors tous les ensembles de biens possibles sont des vecteurs de l'espace des biens C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x je ≥ 0, je = ).

Indépendance linéaire. Système e 1 , e 2 , ... , e m les vecteurs à n dimensions sont appelés linéairement dépendant, s'il existe de tels chiffresλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dont au moins un est non nul, tel que l'égalitéλ 1 e 1 + λ2 e 2 +... + λ m e m = 0 ; sinon ce système les vecteurs sont appelés linéairement indépendant, c'est-à-dire que l'égalité indiquée n'est possible que dans le cas où tous . La signification géométrique de la dépendance linéaire des vecteurs dans R. 3, interprétés comme des segments dirigés, expliquent les théorèmes suivants.

Théorème 1. Un système constitué d'un vecteur est linéairement dépendant si et seulement si ce vecteur est nul.

Théorème 2. Pour que deux vecteurs soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu'ils soient colinéaires (parallèles).

Théorème 3 . Pour que trois vecteurs soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu’ils soient coplanaires (se trouvent dans le même plan).

Triples gauche et droit de vecteurs. Triple de vecteurs non coplanaires une, b, c appelé droite, si l'observateur de leur origine commune contourne les extrémités des vecteurs une, b, c dans l'ordre donné semble se produire dans le sens des aiguilles d'une montre. Sinon une, b, c -il en reste trois. Tous les triplets de vecteurs droits (ou gauches) sont appelés le même orienté.

Base et coordonnées. Troïka e 1, e 2 , e 3 vecteurs non coplanaires dans R. 3 s'appelle base, et les vecteurs eux-mêmes e 1, e 2 , e 3 - basique. N'importe quel vecteur un peut être développé de manière unique en vecteurs de base, c'est-à-dire représentés sous la forme

UN=x1 e 1+x2 e 2 + x3 e 3, (1.1)

les nombres x 1 , x 2 , x 3 dans le développement (1.1) sont appelés coordonnéesun dans la base e 1, e 2 , e 3 et sont désignés un(x1,x2,x3).

Base orthonormale. Si les vecteurs e 1, e 2 , e 3 sont perpendiculaires deux à deux et la longueur de chacun d'eux est égale à un, alors la base s'appelle orthonormé, et les coordonnées x 1 , x 2 , x 3 - rectangulaire. Les vecteurs de base d'une base orthonormée seront notés je, j, k.

Nous supposerons que dans l'espace R. 3 le bon système de coordonnées rectangulaires cartésiennes est sélectionné (0, je, j, k}.

Oeuvre vectorielle. Oeuvre vectorielle UN vecteur b appelé vecteur c, qui est déterminé par les trois conditions suivantes :

1. Longueur du vecteur c numériquement égal à l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b, c'est à dire.
c= |une||b| péché( un^b).

2. Vecteur c perpendiculaire à chacun des vecteurs un Et b.

3. Vecteurs un, b Et c, pris dans l'ordre indiqué, forment un triplet droit.

Pour un produit vectoriel c la désignation est introduite c =[un B] ou
c = une × b.

Si les vecteurs un Et b sont colinéaires, alors sin( un^b) = 0 et [ un B] = 0, en particulier, [ aa] = 0. Produits vectoriels de vecteurs unitaires : [ je]=k, [jk] = je, [ki]=j.

Si les vecteurs un Et b spécifié dans la base je, j, k coordonnées un(un 1 , un 2 , un 3), b(b 1, b 2, b 3), alors

Pièce mixte. Si le produit vectoriel de deux vecteurs UN Et b multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur c, alors un tel produit de trois vecteurs est appelé travail mixte et est indiqué par le symbole un avant JC.

Si les vecteurs un B Et c dans la base je, j, k donné par leurs coordonnées
un(un 1 , un 2 , un 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), alors

.

Le produit mixte a une interprétation géométrique simple : c'est un scalaire, égal en valeur absolue au volume d'un parallélépipède construit sur trois vecteurs donnés.

Si les vecteurs forment un triple droit, alors leur produit mixte est un nombre positif égal au volume indiqué ; si c'est un trois une, b, c - parti, alors abc<0 и V = - abc, donc V =|abc|.

Les coordonnées des vecteurs rencontrés dans les problèmes du premier chapitre sont supposées données par rapport à une base orthonormée droite. Vecteur unitaire codirectionnel avec le vecteur UN, indiqué par le symbole UN O. Symbole r=OM désigné par le rayon vecteur du point M, les symboles a, AB ou|une|, | AB|les modules de vecteurs sont notés UN Et UN B.

Exemple 1.2. Trouver l'angle entre les vecteurs un= 2m+4n Et b= m-n, Où m Et n- vecteurs unitaires et angle entre m Et négal à 120 o.

Solution. On a : cos φ = un B/un B ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2minute=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3 ; une = ; un 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16minute+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, ce qui signifie a = . b = ; b 2 =
= (mn)(m-n) = m 2 -2minute+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, ce qui signifie b = . Finalement nous avons : parce queφ = = -1/2, φ = 120 o.

Exemple 1.3.Connaître les vecteurs UN B(-3,-2,6) et AVANT JC.(-2,4,4),calculez la longueur de l'altitude AD du triangle ABC.

Solution. En désignant l'aire du triangle ABC par S, on obtient :
S = 1/2 avant JC après JC. Alors AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×CA|. AC=AB+BC, ce qui signifie vecteur A.C. a des coordonnées
. .

Exemple 1.4 . Deux vecteurs sont donnés un(11,10,2) et b(4,0,3). Trouver le vecteur unitaire c, orthogonal aux vecteurs un Et b et dirigé de telle sorte que le triplet ordonné de vecteurs une, b, cétait juste.

Solution.Notons les coordonnées du vecteur c par rapport à une base orthonormée droite donnée en termes de x, y, z.

Parce que le c ⊥ un, c ⊥b, Que Californie= 0,cb= 0. Selon les conditions du problème, il faut que c = 1 et abc >0.

Nous avons un système d'équations pour trouver x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

A partir des première et deuxième équations du système, nous obtenons z = -4/3 x, y = -5/6 x. En substituant y et z dans la troisième équation, nous avons : x 2 = 36/125, d'où
X =± . Utiliser la condition abc > 0, on obtient l'inégalité

En tenant compte des expressions pour z et y, on réécrit l'inégalité résultante sous la forme : 625/6 x > 0, ce qui implique que x>0. Donc, x = , y = - , z =- .

Définition. Le produit vectoriel du vecteur a (multiplicande) et d'un vecteur non colinéaire (multiplicande) est le troisième vecteur c (produit), qui est construit comme suit :

1) son module est numériquement égal à la superficie parallélogramme sur la Fig. 155), construit sur des vecteurs, c'est-à-dire qu'il est égal à la direction perpendiculaire au plan du parallélogramme mentionné ;

3) dans ce cas, la direction du vecteur c est choisie (parmi deux possibles) pour que les vecteurs c forment un système droitier (§ 110).

Désignation : ou

Ajout à la définition. Si les vecteurs sont colinéaires, alors en considérant la figure comme (conditionnellement) un parallélogramme, il est naturel d'attribuer une aire nulle. Par conséquent, le produit vectoriel des vecteurs colinéaires est considéré comme égal au vecteur nul.

Puisque le vecteur nul peut avoir n’importe quelle direction, cet accord ne contredit pas les paragraphes 2 et 3 de la définition.

Remarque 1. Dans le terme « produit vectoriel », le premier mot indique que le résultat de l'action est un vecteur (par opposition à un produit scalaire ; cf. § 104, remarque 1).

Exemple 1. Trouvez le produit vectoriel où se trouvent les principaux vecteurs du système de coordonnées droit (Fig. 156).

1. Puisque les longueurs des vecteurs principaux sont égales à une unité d'échelle, l'aire du parallélogramme (carré) est numériquement égale à un. Cela signifie que le module du produit vectoriel est égal à un.

2. Puisque la perpendiculaire au plan est un axe, le produit vectoriel recherché est un vecteur colinéaire au vecteur k ; et comme les deux ont un module 1, le produit vectoriel souhaité est égal à k ou à -k.

3. Parmi ces deux vecteurs possibles, il faut choisir le premier, puisque les vecteurs k forment un système droitier (et les vecteurs un système gaucher).

Exemple 2. Trouver le produit vectoriel

Solution. Comme dans l’exemple 1, nous concluons que le vecteur est égal à k ou à -k. Mais maintenant nous devons choisir -k, puisque les vecteurs forment un système droitier (et les vecteurs forment un système gaucher). Donc,

Exemple 3. Les vecteurs ont des longueurs égales respectivement à 80 et 50 cm et forment un angle de 30°. En prenant le mètre comme unité de longueur, trouvez la longueur du produit vectoriel a

Solution. L'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs est égale à La longueur du produit vectoriel souhaité est égale à

Exemple 4. Trouvez la longueur du produit vectoriel des mêmes vecteurs, en prenant les centimètres comme unité de longueur.

Solution. Puisque l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs est égale, la longueur du produit vectoriel est égale à 2000 cm, c'est-à-dire

D'une comparaison des exemples 3 et 4, il apparaît clairement que la longueur du vecteur dépend non seulement des longueurs des facteurs mais également du choix de l'unité de longueur.

Signification physique d'un produit vectoriel. Parmi les nombreux grandeurs physiques, représenté par le produit vectoriel, on considère uniquement le moment de force.

Soit A le point d'application de la force. Le moment de force par rapport au point O est appelé produit vectoriel. Puisque le module de ce produit vectoriel est numériquement égal à l'aire du parallélogramme (Fig. 157), alors le le module du moment est égal au produit de la base et de la hauteur, c'est-à-dire la force multipliée par la distance du point O à la droite le long de laquelle la force agit.

En mécanique il est prouvé que pour l'équilibre solide Il faut que non seulement la somme des vecteurs représentant les forces appliquées au corps soit égale à zéro, mais aussi la somme des moments de forces. Dans le cas où toutes les forces sont parallèles à un plan, l'addition de vecteurs représentant les moments peut être remplacée par l'addition et la soustraction de leurs grandeurs. Mais avec des directions de forces arbitraires, un tel remplacement est impossible. Conformément à cela, le produit vectoriel est défini précisément comme un vecteur et non comme un nombre.

Vecteur unitaire- Ce vecteur, dont la valeur absolue (module) est égale à l'unité. Pour désigner un vecteur unitaire, nous utiliserons l'indice e. Ainsi, si un vecteur est donné UN, alors son vecteur unitaire sera le vecteur UN e. Ce vecteur unitaire est dirigé dans la même direction que le vecteur lui-même UN, et son module est égal à un, c'est-à-dire a e = 1.

Évidemment, UN= un UN e (un - module vectoriel UN). Cela découle de la règle selon laquelle l'opération de multiplication d'un scalaire par un vecteur est effectuée.

Vecteurs unitaires souvent associé aux axes de coordonnées d'un système de coordonnées (en particulier aux axes d'un système de coordonnées cartésiennes). Les directions de ces vecteurs coïncident avec les directions des axes correspondants, et leurs origines sont souvent combinées avec l'origine du système de coordonnées.

Permettez-moi de vous rappeler que système de coordonnées cartésiennes dans l'espace, on appelle traditionnellement un trio d'axes mutuellement perpendiculaires se coupant en un point appelé origine des coordonnées. Les axes de coordonnées sont généralement désignés par les lettres X, Y, Z et sont appelés respectivement axe des abscisses, axe des ordonnées et axe applicable. Descartes lui-même n'utilisait qu'un seul axe, sur lequel étaient portées les abscisses. Mérite d'utilisation systèmes les haches appartiennent à ses élèves. C'est pourquoi la phrase système cartésien coordonnées historiquement faux. Il vaut mieux parler rectangulaire système de coordonnées ou système de coordonnées orthogonales. Cependant, nous ne changerons pas les traditions et, à l'avenir, nous supposerons que les systèmes de coordonnées cartésiens et rectangulaires (orthogonaux) sont une seule et même chose.

Vecteur unitaire, dirigé le long de l'axe X, est noté je, vecteur unitaire, dirigé le long de l'axe Y, est noté j, UN vecteur unitaire, dirigé le long de l'axe Z, est noté k. Vecteurs je, j, k sont appelés orts(Fig. 12, à gauche), ils ont des modules uniques, c'est-à-dire
je = 1, j = 1, k = 1.

Haches et vecteurs unitaires système de coordonnées rectangulaires dans certains cas, ils portent des noms et des désignations différents. Ainsi, l'axe des abscisses X peut être appelé axe tangent, et son vecteur unitaire est noté τ (Lettre minuscule grecque tau), l'axe des ordonnées est l'axe normal, son vecteur unitaire est noté n, l'axe applicable est l'axe binormal, son vecteur unitaire est noté b. Pourquoi changer de nom si l’essence reste la même ?

Le fait est que, par exemple, en mécanique, lors de l'étude du mouvement des corps, le système de coordonnées rectangulaires est très souvent utilisé. Ainsi, si le système de coordonnées lui-même est stationnaire et que le changement des coordonnées d'un objet en mouvement est suivi dans ce système stationnaire, alors les axes sont généralement désignés X, Y, Z et leurs vecteurs unitaires respectivement je, j, k.

Mais souvent, lorsqu'un objet se déplace le long d'une sorte de chemin curviligne (par exemple, dans un cercle), il est plus pratique de considérer les processus mécaniques dans le système de coordonnées se déplaçant avec cet objet. C'est pour un tel système de coordonnées mobiles que d'autres noms d'axes et leurs vecteurs unitaires sont utilisés. C'est comme ça. Dans ce cas, l'axe X est dirigé tangentiellement à la trajectoire au point où ce moment cet objet est localisé. Et puis cet axe ne s'appelle plus axe X, mais axe tangent, et son vecteur unitaire n'est plus désigné je, UN τ . L'axe Y est dirigé le long du rayon de courbure de la trajectoire (en cas de mouvement en cercle - vers le centre du cercle). Et comme le rayon est perpendiculaire à la tangente, l’axe est appelé axe normal (perpendiculaire et normal sont la même chose). Le vecteur unitaire de cet axe n'est plus noté j, UN n. Le troisième axe (anciennement Z) est perpendiculaire aux deux précédents. C'est un binormal avec une ortho b(Fig. 12, à droite). À propos, dans ce cas, tel système de coordonnées rectangulaires souvent appelé « naturel » ou naturel.

Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs (lien immédiat pour ceux qui en ont besoin). Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, même tâches typiques il y en aura moins. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans Travaux pratiques

Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !

Cette opération, tout comme le produit scalaire, implique deux vecteurs. Que ce soient des lettres impérissables.

L'action elle-même désigné par de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'ai l'habitude de désigner le produit vectoriel des vecteurs de cette façon, entre crochets avec une croix.

Et tout de suite question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici deux vecteurs sont également multipliés, alors Quelle est la différence? La différence évidente réside tout d’abord dans le RÉSULTAT :

Le résultat du produit scalaire des vecteurs est NOMBRE :

Le résultat du produit vectoriel des vecteurs est VECTEUR: , c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, c’est de là que vient le nom de l’opération. Dans divers littérature pédagogique les désignations peuvent également varier, j'utiliserai la lettre .

Définition du produit croisé

Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.

Définition: Produit vectoriel non colinéaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé VECTEUR, longueur ce qui est numériquement égal à l'aire du parallélogramme, construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de manière à ce que la base ait une bonne orientation :

Décomposons la définition morceau par morceau, il y a beaucoup de choses intéressantes ici !

Ainsi, les points significatifs suivants peuvent être soulignés :

1) Les vecteurs originaux, indiqués par des flèches rouges, par définition pas colinéaire. Il conviendra de considérer le cas des vecteurs colinéaires un peu plus loin.

2) Les vecteurs sont pris dans un ordre strictement défini: – "a" est multiplié par "être", pas « être » avec « a ». Le résultat de la multiplication vectorielle est VECTOR, qui est indiqué en bleu. Si les vecteurs sont multipliés dans l'ordre inverse, on obtient un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur framboise). Autrement dit, l'égalité est vraie .

3) Faisons maintenant connaissance avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et donc du vecteur cramoisi) est numériquement égale à la ZONE du parallélogramme construit sur les vecteurs. Sur la figure, ce parallélogramme est ombré en noir.

Note : le dessin est schématique et, bien entendu, la longueur nominale du produit vectoriel n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.

Rappelons une des formules géométriques : L'aire d'un parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valable :

J'insiste sur le fait que la formule concerne la LONGUEUR du vecteur, et non le vecteur lui-même. Quelle est la signification pratique ? Et le sens est que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme se retrouve souvent à travers la notion de produit vectoriel :

Obtenons la deuxième formule importante. La diagonale d'un parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangle égal. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée à l'aide de la formule :

4) Pas moins fait important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs, c'est-à-dire . Bien entendu, le vecteur de direction opposée (flèche framboise) est également orthogonal aux vecteurs d’origine.

5) Le vecteur est dirigé de telle sorte que base Il a droite orientation. Dans la leçon sur transition vers une nouvelle base J'ai parlé avec suffisamment de détails de orientation du plan, et maintenant nous allons découvrir ce qu'est l'orientation spatiale. Je vais t'expliquer sur tes doigts main droite . Combiner mentalement index avec vecteur et majeur avec vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez-le dans votre paume. Par conséquent pouce – le produit vectoriel recherchera. Il s'agit d'une base orientée vers la droite (c'est celle-ci sur la figure). Changez maintenant les vecteurs ( index et majeur) à certains endroits, le pouce se retournera et le produit vectoriel baissera déjà les yeux. C’est aussi une base orientée vers la droite. Vous vous posez peut-être une question : sur quelle base l'orientation a-t-elle quitté ? « Attribuer » aux mêmes doigts main gauche vecteurs, et obtenez la base gauche et l'orientation gauche de l'espace (dans ce cas, le pouce sera situé en direction du vecteur inférieur). Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l’espace dans des directions différentes. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou d'abstrait - par exemple, l'orientation de l'espace est modifiée par le miroir le plus ordinaire, et si vous « retirez l'objet réfléchi du miroir », alors dans le cas général, il il ne sera pas possible de le combiner avec « l’original ». Au fait, placez trois doigts devant le miroir et analysez le reflet ;-)

... comme c'est bien que tu saches maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur un changement d'orientation font peur =)

Produit vectoriel de vecteurs colinéaires

La définition a été discutée en détail, reste à savoir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, alors ils peuvent être placés sur une ligne droite et notre parallélogramme se « plie » également en une seule ligne droite. Le domaine de tel, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est égal à zéro. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que l'aire est nulle

Ainsi, si , alors . À proprement parler, le produit vectoriel lui-même est égal au vecteur zéro, mais dans la pratique, cela est souvent négligé et on écrit qu'il est simplement égal à zéro.

Cas particulier– produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même :

À l'aide du produit vectoriel, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et nous analyserons également ce problème, entre autres.

Pour résoudre des exemples pratiques dont vous pourriez avoir besoin table trigonométrique pour en trouver les valeurs des sinus.

Eh bien, allumons le feu :

Exemple 1

a) Trouver la longueur du produit vectoriel des vecteurs si

b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si

Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai délibérément fait les mêmes données initiales dans les clauses. Parce que la conception des solutions sera différente !

a) Selon la condition, il faut trouver longueur vecteur (produit vectoriel). D'après la formule correspondante :

Répondre:

Si on vous a posé des questions sur la longueur, dans la réponse, nous indiquons la dimension - les unités.

b) Selon la condition, vous devez trouver carré parallélogramme construit sur des vecteurs. L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :

Répondre:

Veuillez noter que la réponse ne parle pas du tout du produit vectoriel ; on nous a demandé zone de la figure, par conséquent, la dimension est en unités carrées.

Nous regardons toujours CE que nous devons trouver en fonction de la condition et, sur cette base, nous formulons clair répondre. Cela peut sembler littéral, mais il y a beaucoup de littéralistes parmi les enseignants, et le devoir a de bonnes chances d'être renvoyé pour révision. Bien qu'il ne s'agisse pas là d'une argutie particulièrement farfelue, si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas les choses simples et/ou n'a pas compris l'essence de la tâche. Ce point doit toujours être gardé sous contrôle lors de la résolution de problèmes en mathématiques supérieures, ainsi que dans d’autres matières.

Où est passée la grande lettre « en » ? En principe, il aurait pu être ajouté à la solution, mais afin de raccourcir l'entrée, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et que c'est une désignation pour la même chose.

Un exemple populaire pour décision indépendante:

Exemple 2

Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

La formule pour trouver l'aire d'un triangle via le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

En pratique, la tâche est vraiment très courante, les triangles peuvent généralement vous tourmenter.

Pour résoudre d'autres problèmes, nous aurons besoin de :

Propriétés du produit vectoriel des vecteurs

Nous avons déjà examiné certaines propriétés du produit vectoriel, mais je les inclurai dans cette liste.

Pour des vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont vraies :

1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas mis en évidence dans les propriétés, mais il est très important dans en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.

2) – la propriété est également évoquée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité. En d’autres termes, l’ordre des vecteurs compte.

3) – associatif ou associatif lois sur les produits vectoriels. Les constantes peuvent être facilement déplacées en dehors du produit vectoriel. Vraiment, que devraient-ils faire là-bas ?

4) – distribution ou distributif lois sur les produits vectoriels. Il n'y a aucun problème non plus pour ouvrir les supports.

Pour le démontrer, regardons un court exemple :

Exemple 3

Trouver si

Solution: La condition nécessite à nouveau de trouver la longueur du produit vectoriel. Peignons notre miniature :

(1) Selon les lois associatives, nous prenons les constantes en dehors du champ du produit vectoriel.

(2) Nous déplaçons la constante à l'extérieur du module, et le module « mange » le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.

(3) Le reste est clair.

Répondre:

Il est temps d'ajouter du bois au feu :

Exemple 4

Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

Solution: Trouvez l'aire du triangle à l'aide de la formule . Le hic, c'est que les vecteurs « tse » et « de » sont eux-mêmes présentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples n°3 et 4 de la leçon Produit scalaire des vecteurs. Pour plus de clarté, nous diviserons la solution en trois étapes :

1) Dans un premier temps, on exprime le produit vectoriel à travers le produit vectoriel, en fait, exprimons un vecteur en termes de vecteur. Pas encore de mot sur les longueurs !

(1) Remplacez les expressions des vecteurs.

(2) A l'aide des lois distributives, on ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.

(3) En utilisant des lois associatives, nous déplaçons toutes les constantes au-delà des produits vectoriels. Avec un peu d'expérience, les étapes 2 et 3 peuvent être réalisées simultanément.

(4) Les premier et dernier termes sont égaux à zéro (vecteur zéro) en raison de la propriété nice. Dans le deuxième terme on utilise la propriété d'anticommutativité d'un produit vectoriel :

(5) Nous présentons des termes similaires.

En conséquence, le vecteur s'est avéré être exprimé à travers un vecteur, ce qui devait être réalisé :

2) Dans la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action est similaire à l'exemple 3 :

3) Trouvez l'aire du triangle recherché :

Les étapes 2 et 3 de la solution auraient pu être écrites sur une seule ligne.

Répondre:

Le problème considéré est assez courant dans essais, voici un exemple de solution indépendante :

Exemple 5

Trouver si

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon. Voyons à quel point vous avez été attentif en étudiant les exemples précédents ;-)

Produit croisé de vecteurs en coordonnées

La formule est vraiment simple : dans la ligne supérieure du déterminant on écrit les vecteurs de coordonnées, dans les deuxième et troisième lignes on « met » les coordonnées des vecteurs, et on met dans un ordre strict– d'abord les coordonnées du vecteur « ve », puis les coordonnées du vecteur « double-ve ». Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, alors les lignes doivent être interverties :

Exemple 10

Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
UN)
b)

Solution: La vérification est basée sur l'une des déclarations Cette leçon: si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est égal à zéro (vecteur zéro) : .

a) Trouvez le produit vectoriel :

Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

b) Trouvez le produit vectoriel :

Répondre: a) non colinéaire, b)

Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.

Cette section ne sera pas très grande, car il y a peu de problèmes lorsque le produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout dépendra de la définition, signification géométrique et quelques formules de travail.

Un produit mixte de vecteurs est le produit de trois vecteurs:

Ils se sont donc alignés comme un train et ont hâte d’être identifiés.

Tout d’abord, encore une définition et une image :

Définition: Travail mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé volume parallélépipédique, construit sur ces vecteurs, équipé d'un signe « + » si la base est droite, et d'un signe « – » si la base est gauche.

Faisons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées en pointillés :

Passons à la définition :

2) Les vecteurs sont pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que le réarrangement des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne se produit pas sans conséquences.

3) Avant de commenter la signification géométrique, je note fait évident: le produit mixte des vecteurs est un NOMBRE: . Dans la littérature pédagogique, la conception peut être légèrement différente : j'ai l'habitude de désigner un produit mixte par , et le résultat des calculs par la lettre « pe ».

Prieuré A le produit mélangé est le volume du parallélépipède, construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). C'est-à-dire que le nombre est égal au volume d'un parallélépipède donné.

Note : Le dessin est schématique.

4) Ne nous inquiétons plus de la notion d’orientation de la base et de l’espace. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En mots simples, le produit mixte peut être négatif : .

Directement de la définition découle la formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs.