벡터 사이의 각도의 코사인 계산. 벡터의 내적

벡터의 내적

우리는 계속해서 벡터를 다룹니다. 첫 수업에서는 인형용 벡터우리는 벡터의 개념, 벡터를 사용한 동작, 벡터 좌표 및 벡터와 관련된 가장 간단한 문제를 살펴보았습니다. 검색 엔진을 통해 처음으로 이 페이지를 방문했다면 위의 소개 기사를 꼭 읽어 보시기 바랍니다. 자료를 익히려면 제가 사용하는 용어와 표기법을 숙지해야 하고, 벡터에 대한 기본 지식이 있어야 하고, 기본적인 문제를 해결할 수 있다. 이 수업주제의 논리적 연속이며 이에 대해 벡터의 스칼라 곱을 사용하는 일반적인 작업을 자세히 분석하겠습니다. 이것은 매우 중요한 활동입니다.. 예제를 건너뛰지 마십시오. 유용한 보너스가 제공됩니다. 연습을 하면 다룬 자료를 통합하고 분석 기하학의 일반적인 문제를 더 잘 해결하는 데 도움이 됩니다.

벡터의 덧셈, 벡터에 숫자의 곱셈.... 수학자들이 다른 것을 생각해 내지 못했다고 생각하는 것은 순진한 것입니다. 이미 설명한 작업 외에도 벡터를 사용하는 여러 가지 작업이 있습니다. 즉: 벡터의 내적, 벡터의 벡터 곱그리고 벡터의 혼합곱. 벡터의 스칼라 곱은 학교에서 우리에게 친숙합니다. 다른 두 곱은 전통적으로 고등 수학 과정에 속합니다. 주제는 간단하고, 많은 문제를 해결하기 위한 알고리즘은 간단하고 이해하기 쉽습니다. 유일한 것. 정보의 양이 꽤 많기 때문에 모든 것을 한 번에 마스터하고 해결하려고 하는 것은 바람직하지 않습니다. 이것은 특히 인형의 경우에 해당됩니다. 저자는 수학에서 Chikatilo처럼 느껴지기를 절대 원하지 않습니다. 물론 수학도 아닙니다 =) 더 준비된 학생들은 어떤 의미에서 자료를 선택적으로 사용할 수 있으며, 어떤 의미에서는 누락된 지식을 "얻을" 수 있습니다. 저는 무해한 드라큘라 백작이 될 것입니다 =)

마침내 문을 열고 두 벡터가 서로 만날 때 무슨 일이 일어나는지 열정적으로 지켜봅시다...

벡터의 스칼라 곱의 정의.
스칼라 곱의 속성. 일반적인 작업

내적의 개념

먼저 벡터 사이의 각도. 벡터 사이의 각도가 무엇인지는 누구나 직관적으로 이해하고 있다고 생각합니다. 하지만 혹시 모르니 좀 더 자세히 설명하겠습니다. 0이 아닌 자유 벡터와 를 고려해 봅시다. 임의의 지점에서 이러한 벡터를 플로팅하면 많은 사람들이 이미 정신적으로 상상했던 그림을 얻을 수 있습니다.

나는 여기서 상황을 이해 수준에서만 설명했음을 인정합니다. 벡터 사이의 각도에 대한 엄격한 정의가 필요한 경우 실제 문제는 교과서를 참조하십시오. 원칙적으로는 쓸모가 없습니다. 또한 여기와 여기에서는 실용적인 중요성이 낮기 때문에 제로 벡터를 무시하겠습니다. 나는 일부 후속 진술의 이론적 불완전성에 대해 나를 비난할 수 있는 고급 사이트 방문자를 위해 특별히 예약했습니다.

0~180도(0~라디안)의 값을 사용할 수 있습니다. 분석적으로 이 사실이중 불평등으로 작성됨:

또는

(라디안 단위).

문헌에서는 각도 기호를 건너뛰고 간단히 쓰는 경우가 많습니다.

정의:두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인을 곱한 것과 같은 NUMBER입니다.

이제 이것은 매우 엄격한 정의입니다.

우리는 필수 정보에 중점을 둡니다.

지정:스칼라 곱은 또는 간단히 표시됩니다.

작업 결과는 NUMBER입니다.: 벡터에 벡터를 곱하면 결과가 숫자가 됩니다. 실제로 벡터의 길이가 숫자라면 각도의 코사인도 숫자이고 그 곱은 숫자이기도 합니다.

몇 가지 준비 예:

실시예 1

해결책:우리는 공식을 사용합니다 . 이 경우:

답변:

코사인 값은 다음에서 찾을 수 있습니다. 삼각법 테이블. 인쇄해 두는 것이 좋습니다. 타워의 거의 모든 섹션에 필요하며 여러 번 필요할 것입니다.

순전히 수학적 관점에서 보면 스칼라 곱은 무차원입니다. 즉, 이 경우 결과는 숫자일 뿐이고 그게 전부입니다. 물리학 문제의 관점에서 스칼라 곱은 항상 특정 값을 갖습니다. 물리적 의미, 즉, 결과 후에 둘 중 하나를 표시해야 합니다. 물리적 단위. 힘의 작용을 계산하는 표준적인 예는 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다(공식은 정확히 스칼라 곱입니다). 힘의 작용은 줄 단위로 측정되므로 답은 예를 들어 매우 구체적으로 작성됩니다.

실시예 2

찾기 , 벡터 사이의 각도는 와 같습니다.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정, 답은 수업이 끝나면 나옵니다.

벡터와 내적 값 사이의 각도

예 1에서는 스칼라 곱이 양수로 나타났고, 예 2에서는 음수로 나타났습니다. 스칼라곱의 부호가 무엇에 달려 있는지 알아봅시다. 공식을 살펴보겠습니다. . 길이 0이 아닌 벡터항상 양수이므로 부호는 코사인 값에만 의존할 수 있습니다.

메모: 아래 정보를 더 잘 이해하려면 매뉴얼의 코사인 그래프를 연구하는 것이 좋습니다 함수 그래프 및 속성. 세그먼트에서 코사인이 어떻게 작동하는지 확인하세요.

이미 언급했듯이 벡터 사이의 각도는 , 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1) 만일 모서리벡터 사이 매운: (0~90도), 그런 다음 , 그리고 내적은 양수일 것이다 공동 감독, 그 사이의 각도는 0으로 간주되고 스칼라 곱도 양수입니다. 이후 수식은 다음과 같이 단순화됩니다.

2) 경우 모서리벡터 사이 무딘: (90도에서 180도까지) 그런 다음 , 그리고 이에 따라, 내적은 음수입니다.: . 특별한 경우: 벡터인 경우 반대 방향, 그 사이의 각도가 고려됩니다. 퍼지는: (180도). 스칼라 곱도 음수입니다. 왜냐하면

반대의 진술도 마찬가지입니다.

1) 이면 이들 벡터 사이의 각도는 예각입니다. 또는 벡터는 방향이 동일합니다.

2) 이면, 이들 벡터 사이의 각도는 둔각입니다. 또는 벡터의 방향이 반대입니다.

그러나 세 번째 경우가 특히 흥미롭습니다.

3) 만일 모서리벡터 사이 똑바로: (90도), 그런 다음 스칼라 곱은 0입니다.: . 반대의 경우도 마찬가지입니다: if , then . 이 명령문은 다음과 같이 간결하게 공식화될 수 있습니다. 두 벡터의 스칼라 곱은 벡터가 직교인 경우에만 0입니다.. 짧은 수학 표기법:

! 메모 : 반복하자 수학적 논리의 기초: 양면 논리적 결과 아이콘은 일반적으로 "if and only if", "if and only if"로 읽습니다. 보시다시피 화살표는 양방향으로 향합니다. "이것은 다음과 같고 그 반대도 마찬가지입니다. 저것이 다음입니다." 그런데 단방향 팔로우 아이콘과의 차이점은 무엇인가요? 아이콘 상태 만, "이로부터 이것이 따른다"고 그 반대가 사실이라는 것은 사실이 아닙니다. 예: , 그러나 모든 동물이 표범인 것은 아니므로 이 경우 아이콘을 사용할 수 없습니다. 동시에 아이콘 대신 할 수 있다단면 아이콘을 사용하세요. 예를 들어, 문제를 해결하는 동안 벡터가 직교한다는 결론을 얻었습니다. - 그러한 항목은 정확하고 그보다 훨씬 더 적절할 것입니다. .

세 번째 경우에는 더 많은 내용이 있습니다. 실질적인 의미 , 벡터가 직교하는지 여부를 확인할 수 있기 때문입니다. 우리는 수업의 두 번째 섹션에서 이 문제를 해결할 것입니다.

내적의 속성

두 개의 벡터가 있는 상황으로 돌아가 보겠습니다. 공동 감독. 이 경우 둘 사이의 각도는 0이고 스칼라 곱 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

벡터 자체를 곱하면 어떻게 되나요? 벡터가 자체적으로 정렬되어 있음이 분명하므로 위의 단순화된 공식을 사용합니다.

번호가 불려요 스칼라 제곱벡터이며 로 표시됩니다.

따라서, 벡터의 스칼라 제곱은 주어진 벡터 길이의 제곱과 같습니다.

이 동등성으로부터 벡터의 길이를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.

지금까지는 불분명해 보이지만 수업의 목표는 모든 것을 제자리에 놓을 것입니다. 문제를 해결하려면 우리에게도 필요합니다. 내적의 속성.

임의의 벡터와 숫자의 경우 다음 속성이 적용됩니다.

1) - 교환 가능 또는 교환적스칼라 곱법.

2) – 배포 또는 분배적인스칼라 곱법. 간단하게 괄호를 열 수 있습니다.

3) – 연관 또는 연관스칼라 곱법. 상수는 스칼라 곱에서 파생될 수 있습니다.

종종 학생들은 모든 종류의 속성(증명도 필요함)을 다음과 같이 인식합니다. 불필요한 쓰레기, 시험 후 즉시 암기하고 안전하게 잊어 버리면됩니다. 여기서 중요한 것은 요소를 재배열해도 제품이 바뀌지 않는다는 것을 모두가 1학년 때 이미 알고 있다는 것입니다. 고등 수학에서는 그러한 접근 방식으로 문제를 망치기 쉽다는 점을 경고해야 합니다. 예를 들어, 교환 속성은 다음에 대해 참이 아닙니다. 대수 행렬. 또한 이는 사실이 아닙니다. 벡터의 벡터 곱. 따라서 할 수 있는 것과 할 수 없는 것을 이해하기 위해 최소한 고등 수학 과정에서 접하는 모든 속성을 탐구하는 것이 좋습니다.

실시예 3

해결책:먼저 벡터를 통해 상황을 명확히 해보겠습니다. 어쨌든 이것은 무엇입니까? 벡터의 합은 잘 정의된 벡터이며 로 표시됩니다. 벡터를 사용한 동작의 기하학적 해석은 기사에서 찾을 수 있습니다. 인형용 벡터. 벡터가 있는 동일한 파슬리는 벡터와 의 합입니다.

따라서 조건에 따라 스칼라곱을 구하는 과정이 필요하다. 이론적으로는 작업 공식을 적용해야 합니다. , 그러나 문제는 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도를 모른다는 것입니다. 그러나 조건은 벡터에 대해 유사한 매개변수를 제공하므로 다른 경로를 택하겠습니다.

(1) 벡터의 표현식을 대체하십시오.

(2) 다항식 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니 다. 저속한 혀 트위스터는 기사에서 찾을 수 있습니다. 복소수또는 분수-유리 함수 통합하기. 반복하지 않겠습니다 =) 그런데 스칼라 곱의 분배 속성을 사용하면 대괄호를 열 수 있습니다. 우리에게는 권리가 있습니다.

(3) 첫 번째 항과 마지막 항에서 벡터의 스칼라 제곱을 간결하게 작성합니다. . 두 번째 항에서는 스칼라 곱의 교환 가능성을 사용합니다.

(4) 비슷한 용어를 제시합니다.

(5) 첫 번째 항에서는 얼마 전에 언급한 스칼라 제곱 공식을 사용합니다. 따라서 마지막 항에서는 동일한 작업이 수행됩니다. 표준 공식에 따라 두 번째 항을 확장합니다. .

(6) 다음 조건으로 대체 , 그리고 최종 계산을 주의 깊게 수행하십시오.

답변:

부정적인 의미스칼라 곱은 벡터 사이의 각도가 둔하다는 사실을 나타냅니다.

문제는 일반적입니다. 다음은 직접 해결하는 예입니다.

실시예 4

벡터의 스칼라 곱을 찾고 다음이 알려진 경우 .

이제 벡터 길이에 대한 새로운 공식에 대한 또 다른 일반적인 작업입니다. 여기서 표기법은 약간 겹치므로 명확성을 위해 다른 문자로 다시 작성하겠습니다.

실시예 5

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구합니다. .

해결책다음과 같습니다:

(1) 벡터 에 대한 표현식을 제공합니다.

(2) 길이 공식을 사용합니다: , 전체 표현식 ve는 벡터 "ve"로 작동합니다.

(3) 용도 학교 공식합의 제곱. 여기에서 이것이 어떻게 흥미로운 방식으로 작동하는지 주목하세요. – 사실, 그것은 차이의 제곱이고, 실제로는 그렇습니다. 원하는 사람은 벡터를 재배열할 수 있습니다. - 용어 재배열까지 동일한 일이 발생합니다.

(4) 다음은 앞의 두 문제에서 이미 친숙한 내용입니다.

답변:

길이에 대해 이야기하고 있으므로 "단위"라는 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

실시예 6

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구합니다. .

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

우리는 내적에서 유용한 것들을 계속해서 짜내고 있습니다. 다시 공식을 살펴보자 . 비례 법칙을 사용하여 벡터의 길이를 왼쪽의 분모로 재설정합니다.

부품을 교환해 봅시다:

이 공식의 의미는 무엇입니까? 두 벡터의 길이와 스칼라 곱을 알고 있으면 이러한 벡터 사이의 각도의 코사인, 결과적으로 각도 자체를 계산할 수 있습니다.

내적은 숫자인가요? 숫자. 벡터 길이는 숫자인가요? 숫자. 이는 분수도 숫자임을 의미합니다. 그리고 각도의 코사인이 알려진 경우: , 역함수를 사용하면 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. .

실시예 7

벡터 사이의 각도를 구하고, 알려진 경우 .

해결책:우리는 다음 공식을 사용합니다.

계산의 마지막 단계에서는 분모의 비합리성을 제거하는 기술 기법이 사용되었습니다. 불합리성을 없애기 위해 분자와 분모에 를 곱했습니다.

그래서 만약 , 저것:

역값 삼각함수에 의해 찾을 수 있습니다 삼각법 테이블. 이것은 거의 발생하지 않습니다. 분석기하학 문제에서는 와 같은 서투른 곰과 각도의 값을 대략적으로 계산기를 사용하여 구해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다. 사실 우리는 그런 그림을 두 번 이상 보게 될 것입니다.

답변:

다시 말하지만, 라디안과 도 등의 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오. 개인적으로, 나는 분명히 "모든 질문을 해결"하기 위해 두 가지를 모두 표시하는 것을 선호합니다(물론 조건이 라디안 또는 각도로만 답변을 표시하도록 요구하지 않는 한).

이제 더 많은 문제에 독립적으로 대처할 수 있습니다. 어려운 일:

예시 7*

벡터의 길이와 벡터 사이의 각도가 주어집니다. 벡터 , 사이의 각도를 구합니다.

작업은 여러 단계로 이루어지기 때문에 그리 어렵지 않습니다.
솔루션 알고리즘을 살펴보겠습니다.

1) 조건에 따라 벡터와 가 이루는 각도를 구해야 하므로 다음 공식을 이용해야 한다. .

2) 스칼라 곱을 구합니다(예제 3, 4 참조).

3) 벡터의 길이와 벡터의 길이를 구합니다(예제 5, 6 참조).

4) 솔루션의 끝은 예제 7과 일치합니다. 숫자를 알고 있습니다. 이는 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있음을 의미합니다.

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.

이번 강의의 두 번째 섹션에서는 동일한 스칼라 곱에 대해 다룹니다. 좌표. 첫 번째 부분보다 훨씬 쉬울 것입니다.

벡터의 내적,
정규 직교 기준으로 좌표로 제공됨

답변:

말할 필요도 없이 좌표를 다루는 것이 훨씬 더 즐겁습니다.

실시예 14

벡터의 스칼라 곱을 구하고 다음과 같은 경우

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 여기에서 연산의 연관성을 사용할 수 있습니다. 즉, 계산하지 않고 즉시 스칼라 곱 외부의 트리플을 가져와 마지막으로 곱합니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.

단락 끝에는 벡터 길이 계산에 대한 도발적인 예가 나와 있습니다.

실시예 15

벡터의 길이 찾기 , 만약에

해결책:이전 섹션의 방법이 다시 제안됩니다. 그러나 다른 방법도 있습니다.

벡터를 찾아봅시다:

그리고 간단한 공식에 따른 길이는 다음과 같습니다.

내적은 여기서 전혀 관련이 없습니다!

벡터의 길이를 계산할 때도 유용하지 않습니다.
멈추다. 벡터 길이의 명백한 속성을 활용해야 하지 않나요? 벡터의 길이에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 이 벡터는 벡터보다 5배 더 깁니다. 방향은 반대이지만 길이에 대해 이야기하고 있기 때문에 이것은 중요하지 않습니다. 분명히 벡터의 길이는 곱과 같습니다. 기준 치수벡터 길이당 수:
– 모듈러스 기호는 숫자의 가능한 마이너스를 "먹습니다".

따라서:

답변:

좌표로 지정된 벡터 사이의 각도 코사인 공식

이제 우리는 전체 정보, 벡터 사이의 각도의 코사인에 대해 이전에 파생된 공식이 벡터 좌표를 통해 표현:

평면 벡터 사이의 각도 코사인그리고 , 정규 직교 기준으로 지정됩니다. 공식으로 표현:
.

공간 벡터 사이의 각도 코사인, 정규 직교 기준으로 지정됨, 공식으로 표현:

실시예 16

삼각형의 세 꼭짓점이 주어졌습니다. (정점 각도)를 찾습니다.

해결책:조건에 따라 도면이 필요하지 않지만 여전히 다음과 같습니다.

필요한 각도는 녹색 호로 표시됩니다. 각도의 학교 지정을 즉시 기억해 봅시다. – 특별한 주의 평균문자 - 이것은 우리가 필요로 하는 각도의 꼭지점입니다. 간결하게 하기 위해 간단히 .

그림을 보면 삼각형의 각도가 벡터 사이의 각도와 일치한다는 것이 분명합니다. 즉, 다음과 같습니다. .

정신적으로 분석을 수행하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.

벡터를 찾아봅시다:

스칼라 곱을 계산해 보겠습니다.

그리고 벡터의 길이는 다음과 같습니다.

각도의 코사인:

이것이 바로 제가 인형에게 추천하는 작업을 완료하는 순서입니다. 고급 독자는 "한 줄에" 계산을 작성할 수 있습니다.

다음은 "나쁜" 코사인 값의 예입니다. 결과 값은 최종 값이 아니므로 분모의 비합리성을 제거하는 것은 거의 의미가 없습니다.

각도 자체를 찾아 보겠습니다.

그림을 보면 그 결과가 꽤 그럴듯하다. 확인하기 위해 각도기로 각도를 측정할 수도 있습니다. 모니터 커버를 손상시키지 마세요 =)

답변:

대답에서 우리는 그것을 잊지 않습니다 삼각형의 각도에 대해 질문드립니다(벡터 사이의 각도가 아님) 정확한 답과 각도의 대략적인 값을 표시하는 것을 잊지 마십시오. , 계산기를 사용하여 찾았습니다.

이 과정을 즐긴 사람들은 각도를 계산하고 정식 평등의 타당성을 확인할 수 있습니다.

실시예 17

삼각형은 정점의 좌표로 공간에서 정의됩니다. 측면과 측면 사이의 각도를 찾으십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 수업이 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

짧은 마지막 섹션에서는 스칼라 곱과 관련된 예측에 대해 설명합니다.

벡터에 벡터를 투영합니다. 좌표축에 벡터를 투영합니다.
벡터의 방향 코사인

벡터와 다음을 고려하십시오.

벡터를 벡터에 투영해 보겠습니다. 이를 위해 벡터의 시작과 끝을 생략합니다. 수직벡터로(녹색 점선). 광선이 벡터에 수직으로 떨어지는 것을 상상해보십시오. 그러면 세그먼트(빨간색 선)가 벡터의 "그림자"가 됩니다. 이 경우 벡터에 대한 벡터의 투영은 세그먼트의 LENGTH입니다. 즉, 투영은 숫자입니다.

이 NUMBER는 다음과 같이 표시됩니다. , "큰 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 어느프로젝트에서 "작은 첨자 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 에예상되는 것.

항목 자체는 다음과 같습니다: "벡터 "a"를 벡터 "be"로 투영."

"be" 벡터가 "너무 짧으면" 어떻게 되나요? 벡터 "be"를 포함하는 직선을 그립니다. 그리고 벡터 "a"는 이미 투영될 것입니다. 벡터 "be" 방향으로, 간단히 - 벡터 "be"를 포함하는 직선으로. 벡터 "a"가 30번째 왕국에서 연기되는 경우에도 동일한 일이 일어날 것입니다. 이는 여전히 벡터 "be"를 포함하는 직선에 쉽게 투영될 것입니다.

만약 각도벡터 사이 매운(그림과 같이) 그런 다음

벡터라면 직교, 그런 다음 (투영은 치수가 0으로 간주되는 점입니다).

만약 각도벡터 사이 무딘(그림에서 벡터 화살표를 정신적으로 재정렬), 그런 다음 (동일한 길이이지만 빼기 기호로 표시).

한 지점에서 이러한 벡터를 플로팅해 보겠습니다.

분명히 벡터가 움직일 때 그 투영은 변하지 않습니다.

지침

두 개의 0이 아닌 벡터가 평면에 주어지고 한 점에서 플롯됩니다. 좌표가 (x1, y1)인 벡터 A B 좌표가 (x2, y2)입니다. 모서리그 사이는 θ로 지정됩니다. 각도 θ의 각도 측정값을 찾으려면 스칼라 곱의 정의를 사용해야 합니다.

0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같은 숫자입니다. 즉, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). 이제 cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)에서 각도의 코사인을 표현해야 합니다.

스칼라 곱은 (A,B)=x1*x2+y1*y2 공식을 사용하여 찾을 수도 있습니다. 0이 아닌 두 벡터의 곱은 해당 벡터의 곱의 합과 같기 때문입니다. 0이 아닌 벡터의 스칼라 곱이 0과 같으면 벡터는 수직이며(두 벡터 사이의 각도는 90도임) 추가 계산을 생략할 수 있습니다. 두 벡터의 스칼라 곱이 양수이면 이들 사이의 각도는 벡터예각이고 음수이면 각도가 둔각입니다.

이제 |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) 공식을 사용하여 벡터 A와 B의 길이를 계산합니다. 벡터 길이는 다음과 같이 계산됩니다. 제곱근좌표의 제곱의 합으로부터.

스칼라 곱과 벡터 길이의 발견된 값을 2단계에서 구한 각도의 공식, 즉 cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+에 대입합니다. √(x2²+y2²)). 이제 값을 알고 사이의 각도 측정값을 구합니다. 벡터 Bradis 테이블을 사용하거나 θ=arccos(cos(θ))에서 가져와야 합니다.

벡터 A와 B가 3차원 공간에 주어지고 각각 (x1, y1, z1) 및 (x2, y2, z2) 좌표를 갖는 경우 각도의 코사인을 찾을 때 좌표가 하나 더 추가됩니다. 이 경우 코사인: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

유용한 조언

두 벡터가 동일한 점에서 플롯되지 않은 경우 평행 이동을 통해 두 벡터 사이의 각도를 찾으려면 이러한 벡터의 원점을 결합해야 합니다.
두 벡터 사이의 각도는 180도를 초과할 수 없습니다.

출처:

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법
직선과 평면 사이의 각도

물리학과 선형 대수학의 응용 문제와 이론 문제를 모두 해결하려면 벡터 사이의 각도를 계산해야 합니다. 이렇게 간단해 보이는 작업도 스칼라 상품의 본질과 이 상품이 어떤 가치를 나타내는지 명확하게 이해하지 못하면 많은 어려움을 초래할 수 있습니다.

지침

벡터 선형 공간에서 벡터 사이의 각도는 벡터의 동일한 방향이 달성되는 최소 각도입니다. 시작점 주위에 벡터 중 하나를 그립니다. 정의를 보면 각도 값이 180도를 초과할 수 없다는 것이 분명해졌습니다(단계 참조).

이 경우 선형 공간에서 벡터의 병렬 전송을 수행할 때 벡터 사이의 각도가 변하지 않는다고 가정하는 것이 매우 옳습니다. 따라서 각도를 분석적으로 계산할 때 벡터의 공간적 방향은 중요하지 않습니다.

내적의 결과는 숫자이고, 그렇지 않으면 스칼라입니다. 추가 계산에서 실수를 방지하려면 (이것을 아는 것이 중요합니다) 기억하십시오. 평면이나 벡터 공간에 위치한 스칼라 곱의 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다(단계는 그림 참조).

벡터가 공간에 있는 경우 비슷한 방식으로 계산을 수행합니다. 배당금에 나타나는 유일한 용어는 신청인의 용어입니다. 벡터의 세 번째 구성 요소입니다. 따라서 벡터의 계수를 계산할 때 z 구성요소도 고려해야 하며, 공간에 있는 벡터의 경우 마지막 표현식은 다음과 같이 변환됩니다(단계는 그림 6 참조).

벡터는 주어진 방향을 가진 선분입니다. 벡터 사이의 각도는 예를 들어 축에 대한 벡터 투영 길이를 찾을 때 물리적 의미를 갖습니다.

지침

내적을 계산하여 0이 아닌 두 벡터 사이의 각도입니다. 정의에 따르면, 곱은 길이와 그 사이의 각도의 곱과 같습니다. 반면에 좌표(x1; y1)가 있는 두 벡터 a와 좌표(x2; y2)가 있는 b에 대한 스칼라 곱은 ab = x1x2 + y1y2로 계산됩니다. 이 두 가지 방법 중 내적은 쉽게 벡터 사이의 각도입니다.

벡터의 길이나 크기를 구합니다. 벡터 a와 b의 경우: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

ab = x1x2 + y1y2 쌍으로 좌표를 곱하여 벡터의 스칼라 곱을 찾습니다. 스칼라 곱 ab = |a|*|b|*cos α의 정의에 따르면, 여기서 α는 벡터 사이의 각도입니다. 그런 다음 x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α를 얻습니다. 그러면 cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2입니다.

Bradis 테이블을 사용하여 각도 α를 찾습니다.

주제에 관한 비디오

메모

스칼라 곱은 벡터 길이와 벡터 사이의 각도의 스칼라 특성입니다.

평면은 기하학의 기본 개념 중 하나입니다. 평면은 다음 진술이 적용되는 표면입니다. 두 점을 연결하는 모든 직선은 전적으로 이 표면에 속합니다. 평면은 일반적으로 그리스 문자 α, β, γ 등으로 표시됩니다. 두 평면은 항상 두 평면에 속하는 직선을 따라 교차합니다.

지침

의 교차점에 의해 형성된 반평면 α와 β를 고려해 봅시다. 직선 a와 두 개의 반평면 α 및 β가 2면각에 의해 형성된 각도입니다. 이 경우, 면과 2면각을 형성하는 반면, 평면이 교차하는 직선 a를 2면각의 가장자리라고 합니다.

평면 각도와 마찬가지로 2면각은 도 단위입니다. 2면체 각도를 만들려면 면에서 임의의 점 O를 선택해야 합니다. 두 광선 모두 점 O를 통해 그려집니다. 형성된 각도 AOB를 선형 2면각 a라고 합니다.

따라서 벡터 V = (a, b, c)와 평면 A x + B y + C z = 0이 주어집니다. 여기서 A, B 및 C는 법선 N의 좌표입니다. 그런 다음 각도의 코사인 벡터 V와 N 사이의 α는 cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))와 같습니다.

각도를 도 또는 라디안 단위로 계산하려면 결과 표현식에서 코사인 함수의 역함수를 계산해야 합니다. 즉, 아크코사인:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

예: 찾기 모서리~ 사이 벡터(5, -3, 8) 및 비행기, 주어진 일반 방정식 2 x – 5 y + 3 z = 0. 풀이: 평면 N = (2, -5, 3)의 법선 벡터 좌표를 적어 두십시오. 모든 것을 대체하다 알려진 값주어진 공식으로: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≒ 0.8 → α = 36.87°.

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평등을 구성하고 그것으로부터 코사인을 분리합니다. 한 공식에 따르면, 벡터의 스칼라 곱은 길이에 서로 곱하고 코사인을 곱한 것과 같습니다. 각도, 그리고 다른 하나는 각 축을 따른 좌표 곱의 합계입니다. 두 공식을 동일시하면 코사인이 다음과 같다는 결론을 내릴 수 있습니다. 각도벡터 길이의 곱에 대한 좌표 곱의 합 비율과 같아야 합니다.

결과 평등을 기록하십시오. 이렇게 하려면 두 벡터를 모두 지정해야 합니다. 3차원으로 주어진다고 가정하자 데카르트 시스템좌표 격자의 시작점입니다. 첫 번째 벡터의 방향과 크기는 점 (X₁,Y₁,Z₁)으로 지정되고 두 번째 벡터는 (X2,Y2,Z2)로 지정되며 각도는 문자 γ로 지정됩니다. 그런 다음 각 벡터의 길이는 예를 들어 에 대한 피타고라스 정리를 사용하여 각 좌표축에 대한 투영으로 형성될 수 있습니다: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) 및 √(X²² + Y²² + Z²²). 이러한 표현식을 이전 단계에서 공식화한 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. cos(γ) = (X₁*X² + Y₁*Y² + Z₁*Z²) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X²² + Y²² + Z²² )).

제곱의 합이라는 사실을 이용하세요. 사인그리고 공동 사인~에서 각도같은 양이면 항상 하나를 줍니다. 즉, 이전 단계에서 얻은 것을 올려서 사인제곱하고 하나에서 뺀 다음

두 벡터 사이의 각도 , :

두 벡터 사이의 각도가 예각이면 스칼라 곱은 양수입니다. 벡터 사이의 각도가 둔각인 경우 이러한 벡터의 스칼라 곱은 음수입니다. 0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터가 직교인 경우에만 0과 같습니다.

운동.벡터와 사이의 각도를 구합니다.

해결책.원하는 각도의 코사인

16. 직선, 직선, 평면 사이의 각도 계산

직선과 평면 사이의 각도, 이 선과 수직이 아닌 교차하는 각도는 선과 이 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다.

선과 평면 사이의 각도를 결정하면 선과 평면 사이의 각도가 교차하는 두 선, 즉 직선 자체와 평면에 대한 투영 사이의 각도라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 직선과 평면이 이루는 각은 예각이다.

수직 직선과 평면 사이의 각도는 로 간주되고, 평행 직선과 평면 사이의 각도는 전혀 결정되지 않거나 로 간주됩니다.

§ 69. 직선 사이의 각도 계산.

공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다(§ 32). 선 사이의 각도의 크기를 ψ로 표시하겠습니다. 엘 1과 엘 2 및 ψ를 통해 - 방향 벡터 사이의 각도 크기 ㅏ 그리고 비 이 직선들.

그렇다면 만약

ψ 90°(그림 206.6), 그러면 ψ = 180° - ψ. 분명히 두 경우 모두 cos ψ = |cos ψ|가 동일합니다. 공식 (1) § 20에 따르면

따라서,

표준 방정식으로 선을 제공하십시오.

그런 다음 선 사이의 각도 ψ는 공식을 사용하여 결정됩니다.

선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.

17. 평행선, 평행선의 정리

정의.평면에 있는 두 개의 선을 호출합니다. 평행한, 공통점이 없는 경우.

3차원 공간에 있는 두 개의 선을 이라고 합니다. 평행한, 동일한 평면에 있고 공통점이 없는 경우.

두 벡터 사이의 각도입니다.

내적의 정의로부터:

두 벡터의 직교성의 조건:

두 벡터의 공선성에 대한 조건:

정의 5에서 따름 - . 실제로 벡터와 숫자의 곱의 정의는 다음과 같습니다. 따라서 벡터의 동등성 규칙에 따라 , , 를 씁니다. . 그러나 벡터에 숫자를 곱하여 생성된 벡터는 벡터와 동일선상에 있습니다.

벡터를 벡터로 투영:

실시예 4. 주어진 포인트 , , , .

내적을 찾아보세요.

해결책. 좌표로 지정된 벡터의 스칼라 곱에 대한 공식을 사용하여 찾습니다. 왜냐하면

, ,

실시예 5.주어진 포인트 , , , .

투영을 찾아보세요.

해결책. 왜냐하면

, ,

투영 공식을 바탕으로 우리는

실시예 6.주어진 포인트 , , , .

벡터와 사이의 각도를 구합니다.

해결책. 벡터는

, ,

좌표가 비례하지 않기 때문에 동일선상에 있지 않습니다.

이 벡터의 스칼라 곱은 이므로 수직이 아닙니다.

찾아보자

모서리 우리는 공식에서 다음을 찾습니다.

실시예 7.어떤 벡터와 동일선상.

해결책. 공선성의 경우 벡터의 해당 좌표 비례해야 합니다. 즉,

그러므로 그리고.

실시예 8. 벡터의 어느 값인지 결정 그리고 수직.

해결책. 벡터 스칼라 곱이 0이면 수직입니다. 이 조건으로부터 우리는 다음을 얻습니다: . 그건, .

실시예 9. 찾다 , 만약에 , , .

해결책. 스칼라 곱의 특성으로 인해 다음과 같은 이점이 있습니다.

실시예 10. 벡터와 , 여기서 과 사이의 각도를 구합니다. - 단위 벡터와 벡터 사이의 각도는 120°와 같습니다.

해결책. 우리는: , ,

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다: .

5B. 벡터 아트웍.

정의 21.벡터 아트웍벡터 대 벡터를 벡터라고 하며 다음 세 가지 조건으로 정의됩니다.

1) 벡터의 계수는 와 같습니다. 여기서 는 벡터와 , 즉 .

벡터 곱의 계수는 수치적으로 다음과 같습니다. 면적과 동일벡터와 양변에 구성된 평행사변형.

2) 벡터는 각 벡터와 ( ; )에 수직입니다. 즉, 벡터와 에 구성된 평행사변형의 평면에 수직입니다.

3) 벡터는 끝에서 볼 때 벡터에서 벡터로의 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향이 되는 방식으로 방향이 지정됩니다(벡터 , , 는 오른쪽 트리플을 형성함).

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법은 무엇입니까?

기하학을 공부하다 보면 벡터에 관해 많은 질문이 생깁니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.

기본 용어

벡터 사이의 각도를 살펴보기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도 개념을 숙지할 필요가 있습니다.

벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.

공통 원점을 갖는 평면 위의 두 벡터 사이의 각도는 방향이 일치할 때까지 벡터 중 하나가 공통 점 주위로 이동해야 하는 각도만큼 작은 각도입니다.

솔루션 공식

벡터가 무엇인지, 각도가 어떻게 결정되는지 이해하면 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이에 대한 해법 공식은 매우 간단하며 적용 결과는 각도의 코사인 값이 됩니다. 정의에 따르면 벡터의 스칼라 곱과 길이의 곱의 몫과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱은 요소 벡터의 해당 좌표에 서로 곱한 합으로 계산됩니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 해당 좌표의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.

각도의 코사인 값을 받으면 계산기나 삼각법 표를 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.

예

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알아내면 해당 문제를 해결하는 것이 간단하고 명확해집니다. 예를 들어, 각도의 값을 찾는 간단한 문제를 고려해 볼 가치가 있습니다.

우선, 해법에 필요한 벡터 길이의 값과 그 스칼라 곱을 계산하는 것이 더 편리할 것입니다. 위에 제시된 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.

얻은 값을 공식에 대입하여 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.

이 숫자는 5가지 일반적인 코사인 값 중 하나가 아니므로 각도를 얻으려면 계산기나 Bradis 삼각법 테이블을 사용해야 합니다. 그러나 벡터 사이의 각도를 구하기 전에 공식을 단순화하여 추가 음수 기호를 제거할 수 있습니다.

정확성을 유지하기 위해 최종 답은 그대로 두거나 각도 값을 도 단위로 계산할 수 있습니다. Bradis 테이블에 따르면 그 값은 약 116도 70분이며 계산기에는 116.57도의 값이 표시됩니다.

n차원 공간에서 각도 계산

3차원 공간에서 두 벡터를 고려할 때 동일한 평면에 있지 않으면 우리가 말하는 각도를 이해하기가 훨씬 더 어렵습니다. 인식을 단순화하기 위해 두 개의 교차 세그먼트를 그려서 두 세그먼트 사이에 가장 작은 각도를 형성할 수 있습니다. 벡터에 세 번째 좌표가 있더라도 벡터 사이의 각도를 계산하는 과정은 변하지 않습니다. 벡터의 스칼라 곱과 모듈러스를 계산하면 해당 몫의 아크 코사인이 이 문제에 대한 답이 됩니다.

기하학에서는 3차원 이상의 공간에 문제가 있는 경우가 많습니다. 하지만 그들에게는 답을 찾는 알고리즘이 비슷해 보입니다.

0도와 180도의 차이

벡터 사이의 각도를 계산하기 위해 고안된 문제에 대한 답을 작성할 때 흔히 저지르는 실수 중 하나는 벡터가 평행하다고, 즉 원하는 각도가 0도 또는 180도라고 작성하는 것입니다. 이 답변은 올바르지 않습니다.

솔루션의 결과로 각도 값이 0도인 경우 정답은 벡터를 동일한 방향으로 지정하는 것입니다. 즉, 벡터는 동일한 방향을 갖습니다. 180도를 얻으면 벡터의 방향이 반대가 됩니다.

특정 벡터

벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 동일 방향 및 반대 방향 유형 외에도 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.

한 평면에 평행한 여러 벡터를 동일 평면이라고 합니다.
길이와 방향이 동일한 벡터를 동일 벡터라고 합니다.
방향에 관계없이 동일한 직선 위에 있는 벡터를 동일선상이라고 합니다.
벡터의 길이가 0이면, 즉 시작과 끝이 일치하면 0이라고 하고, 1이면 단위라고 합니다.

벡터 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?

도와주세요, 제발! 공식은 알지만 계산을 못해요((
벡터 a(8; 10; 4) 벡터 b(5; -20; -10)

알렉산더 티토프

좌표로 지정된 벡터 사이의 각도는 표준 알고리즘을 사용하여 구합니다. 먼저 벡터 a와 b의 스칼라 곱((a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2)을 찾아야 합니다. 여기서 이 벡터의 좌표를 대체하고 다음을 계산합니다.
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
다음으로 각 벡터의 길이를 결정합니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 해당 좌표의 제곱합의 제곱근입니다.
|아| = (x1^2 + y1^2 + z1^2)의 근 = (8^2 + 10^2 + 4^2)의 근 = (64 + 100 + 16)의 근 = 180의 근 = 6개의 근 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2)의 근 = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2)의 근 = (25 + 400 + 100)의 근 = 근 525 = 21의 5근입니다.
우리는 이 길이를 곱합니다. 105개 중 30개의 근을 얻습니다.
그리고 마지막으로 벡터의 스칼라 곱을 벡터 길이의 곱으로 나눕니다. 우리는 -200/(105의 30근) 또는
- (105의 4근) / 63. 이것은 벡터 사이의 각도의 코사인입니다. 그리고 각도 자체는 이 숫자의 아크코사인과 같습니다.
f = arccos(105의 -4근) / 63.
내가 모든 것을 올바르게 계산했다면.

벡터 좌표를 사용하여 벡터 간 각도의 사인을 계산하는 방법

미하일 트카체프

이 벡터들을 곱해 봅시다. 이들의 스칼라 곱은 이들 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.
각도는 우리에게 알려지지 않았지만 좌표는 알려져 있습니다.
수학적으로 이렇게 적어보자.
벡터 a(x1;y1) 및 b(x2;y2)가 주어집니다.
그 다음에

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

얘기하자.
벡터의 a*b-스칼라 곱은 이러한 벡터 좌표의 해당 좌표 곱의 합과 같습니다. 즉, x1*x2+y1*y2와 같습니다.

|a|*|b|-벡터 길이의 곱은 √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)와 같습니다.

이는 벡터 사이의 각도의 코사인이 다음과 같음을 의미합니다.

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

각도의 코사인을 알면 사인을 계산할 수 있습니다. 이를 수행하는 방법에 대해 논의해 보겠습니다.

각도의 코사인이 양수이면 이 각도는 1사분면 또는 4사분면에 있으며, 이는 사인이 양수이거나 음수임을 의미합니다. 그러나 벡터 사이의 각도가 180도보다 작거나 같으므로 사인은 양수입니다. 코사인이 음수인 경우에도 비슷하게 추론합니다.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

그게 다입니다)))) 행운을 빌어요))))

드미트리 레비셰프

직접 사인하는 것이 불가능하다는 사실은 사실이 아닙니다.
공식 외에도:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
이런 것도 있습니다:
||=|a|*|b|*죄 A
즉, 스칼라 곱 대신 벡터 곱의 모듈을 사용할 수 있습니다.

귀하의 요청에 따라!

1. 분모의 비합리성을 제거합니다.

3. 지수 방정식을 푼다:

4. 불평등 해결:

산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자로만 존재하며 항상 음수가 아닌 숫자로 표현됩니다.따라서 이러한 불평등은 모든 사람에게 해당됩니다. 엑스, 조건: 2-х≥0을 만족합니다. 여기에서 우리는 다음을 얻습니다: x≤2. 우리는 숫자 간격의 형태로 답을 씁니다: (-무한대; 2].

5. 부등식을 푼다: 7 x > -1.

우선순위: y = a x 형식의 함수를 지수라고 하며, 여기서 a >0, a≠1, x는 임의의 숫자입니다. 지수 함수의 값 범위는 모든 양수의 집합입니다., 어떤 거듭제곱에 대한 양수는 양수가 되기 때문입니다. 이것이 모든 x에 대해 7 x >0이고, 더욱이 7 x > -1인 이유입니다. 즉, 부등식은 모든 x ∈ (-무한대; +무한대)에 대해 참입니다.

6. 제품으로 전환:

사인 합 공식을 적용해 보겠습니다. 두 각도의 사인 합은 이 각도의 절반 합의 사인과 절반 차이의 코사인을 곱한 값의 두 배와 같습니다.

8. f(x) = -15x+3으로 알려져 있습니다. x의 어떤 값에 대해 f(x)=0이 됩니까?

f(x) 대신 숫자 0을 대입하고 방정식을 풉니다.

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . 첫 번째와 두 번째 합금에서는 구리와 아연의 비율이 5:2와 3:4입니다. 구리와 아연의 함량이 동일한 새 합금 28kg을 얻으려면 각 합금의 양을 얼마나 취해야 합니까?

우리는 새 합금에 14kg의 구리와 14kg의 아연이 포함된다는 것을 알고 있습니다. 유사한 문제는 모두 같은 방식으로 해결됩니다. 왼쪽과 오른쪽에 동일한 양의 물질(구리를 예로 들겠습니다)이 포함되어 있고(문제의 특정 조건에 따라) 다르게 작성된 방정식을 만듭니다. 새로운 합금의 구리 14kg은 이 두 합금의 구리로 구성됩니다. 첫 번째 합금의 질량을 엑스 kg이면 두 번째 합금의 질량은 ( 28대)킬로그램. 첫 번째 합금에는 구리 5부분과 아연 2부분이 포함되어 있으므로 구리는 x kg에서 (5/7)이 됩니다. 숫자의 분수를 찾으려면 분수에 주어진 숫자를 곱해야 합니다. 두 번째 합금은 구리 3부분과 아연 4부분을 포함합니다. 구리에는 (28)kg의 (3/7)이 포함되어 있습니다. 그래서:

12. 방정식을 푼다: log 2 8 x = -1.

로그의 정의에 따르면:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. 함수 f(x) = -ln cosx 2 의 도함수를 구합니다.

20. 표현의 의미를 찾으십시오.

숫자의 모듈러스는 음수가 아닌 숫자로만 표현될 수 있습니다.모듈러스 기호 아래에 음수 표현이 있는 경우 모듈러스 괄호를 열 때 모든 용어는 반대 기호로 작성됩니다.

22. 불평등 시스템을 해결합니다.

먼저, 각 부등식을 개별적으로 해결합니다.

이러한 함수의 최소 공통 기간은 다음과 같습니다. 2π,그러므로 왼쪽과 오른쪽 모두 귀속되었습니다. 2πn. 답 C).

23. 함수 y=3-|x-3|의 그래프로 둘러싸인 그림의 면적을 구합니다. 그리고 직선 y=0입니다.

이 함수의 그래프는 한 지점에서 나오는 두 개의 반선으로 구성됩니다. 선의 방정식을 적어 봅시다. x≥3인 경우 모듈식 괄호를 열고 다음을 얻습니다: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. x에<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

함수 그래프와 Ox축의 선분으로 둘러싸인 삼각형은 면적을 구해야 하는 도형입니다. 물론 여기서는 적분 없이도 할 수 있습니다. 밑변과 밑변에 그려진 높이의 곱의 절반으로 삼각형의 면적을 구해 봅시다. 우리의 베이스는 6개의 단위 세그먼트와 같고, 이 베이스에 그려진 높이는 3개의 단위 세그먼트와 같습니다. 면적은 9 평방 미터입니다. 단위