Atrodiet matricas norādītās operatora īpatnējās vērtības. Lineārā operatora īpašvektori un īpašvērtības

Diagonālajām matricām ir visvienkāršākā struktūra. Rodas jautājums, vai ir iespējams atrast bāzi, kurā lineārā operatora matricai būtu diagonāla forma. Tāds pamats pastāv.
Dosim mums lineāru telpu R n un tajā darbojošos lineāru operatoru A; šajā gadījumā operators A ņem R n sevī, tas ir, A:R n → R n .

Definīcija. Nenulles vektoru x sauc par operatora A īpašvektoru, ja operators A pārveido x par kolineāru vektoru, tas ir. Skaitli λ sauc par operatora A īpašvērtību vai īpašvērtību, kas atbilst īpašvektoram x.
Atzīmēsim dažas īpašvērtību un īpašvektoru īpašības.
1. Jebkura lineāra īpašvektoru kombinācija operators A, kas atbilst vienai un tai pašai īpašvērtībai λ, ir īpašvektors ar tādu pašu īpašvērtību.
2. Pašvektori operators A ar pa pāriem atšķirīgām īpašvērtībām λ 1 , λ 2 , …, λ m ir lineāri neatkarīgi.
3. Ja īpašvērtības λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tad īpašvērtība λ atbilst ne vairāk kā m lineāri neatkarīgiem īpašvektoriem.

Tātad, ja ir n lineāri neatkarīgi īpašvektori , kas atbilst dažādām īpašvērtībām λ 1, λ 2, ..., λ n, tad tās ir lineāri neatkarīgas, tāpēc tās var ņemt par pamatu telpai R n. Atradīsim lineārā operatora A matricas formu uz tā īpašvektoru bāzes, kurai mēs darbosimies ar operatoru A uz bāzes vektoriem: Tad .
Tādējādi lineārā operatora A matricai tās īpašvektoru pamatā ir diagonāla forma, un operatora A īpašvērtības atrodas pa diagonāli.
Vai ir vēl kāds pamats, kurā matricai ir diagonāla forma? Atbildi uz šo jautājumu sniedz šāda teorēma.

Teorēma. Lineārā operatora A matricai bāzē (i = 1..n) ir diagonāla forma tad un tikai tad, ja visi bāzes vektori ir operatora A īpašvektori.

Noteikums īpašvērtību un īpašvektoru atrašanai

. (*)

(1)
Kur - lineārā operatora matrica.

Sistēmai (1) ir atrisinājums, kas atšķiras no nulles, ja tās determinants D ir vienāds ar nulli

12. piemērs. Lineārais operators A darbojas R 3 saskaņā ar likumu, kur x 1, x 2, .., x n ir bāzes vektora koordinātas. , , . Atrodiet šī operatora īpašvērtības un īpašvektorus.
Risinājums. Mēs veidojam šī operatora matricu:
.
Mēs izveidojam sistēmu īpašvektoru koordinātu noteikšanai:

Mēs sastādām raksturīgo vienādojumu un atrisinām to:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Sistēmā aizstājot λ = -1, mēs iegūstam:
vai
Jo , tad ir divi atkarīgi mainīgie un viens brīvais mainīgais.
Tad lai x 1 ir brīvs nezināmais Mēs risinām šo sistēmu jebkurā veidā un atrodam kopīgs lēmums no šīs sistēmas: Risinājumu pamatsistēma sastāv no viena risinājuma, jo n - r = 3 - 2 = 1.
Īpašo vektoru kopai, kas atbilst īpašvērtībai λ = -1, ir forma: , kur x 1 ir jebkurš skaitlis, kas nav nulle. Izvēlēsimies vienu vektoru no šīs kopas, piemēram, liekot x 1 = 1: .
Līdzīgi spriežot, mēs atrodam īpašvektoru, kas atbilst īpašvērtībai λ = 3: .
Telpā R 3 bāze sastāv no trim lineāri neatkarīgiem vektoriem, bet saņēmām tikai divus lineāri neatkarīgus īpašvektorus, no kuriem nevar izveidot bāzi R 3. Līdz ar to mēs nevaram reducēt lineārā operatora matricu A līdz diagonālajai formai.

13. piemērs. Dota matrica .
1. Pierādīt, ka vektors ir matricas A īpašvektors. Atrodiet šim īpašvektoram atbilstošo īpašvērtību.
2. Atrast bāzi, kurā matricai A ir diagonāla forma.
Risinājums.
1. Ja , tad x ir īpašvektors

.
Vektors (1, 8, -1) ir īpašvektors. Pašvērtība λ = -1.
Matricai ir diagonāla forma bāzē, kas sastāv no īpašvektoriem. Viens no tiem ir slavens. Atradīsim pārējo.
Mēs meklējam īpašvektorus no sistēmas:

Raksturīgais vienādojums: ;
(3 + λ) [-2 (2-λ) (2 + λ) + 3] = 0; (3+λ)(λ 2–1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Atradīsim īpašvektoru, kas atbilst īpašvērtībai λ = -3:

Šīs sistēmas matricas rangs ir divi un vienāds ar nezināmo skaitu, tāpēc šai sistēmai ir tikai nulles risinājums x 1 = x 3 = 0. x 2 šeit var būt jebkas, kas nav nulle, piemēram, x 2 = 1. Tādējādi vektors (0 ,1,0) ir īpašvektors, kas atbilst λ = -3. Pārbaudīsim:
.
Ja λ = 1, tad iegūstam sistēmu
Matricas rangs ir divi. Mēs izsvītrojam pēdējo vienādojumu.
Lai x 3 ir brīvs nezināmais. Tad x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Pieņemot, ka x 3 = 1, mums ir (-3,-9,1) - īpašvektors, kas atbilst īpašvērtībai λ = 1. Pārbaudiet:

.
Tā kā īpašvērtības ir reālas un atšķirīgas, tām atbilstošie vektori ir lineāri neatkarīgi, tāpēc tos var ņemt par pamatu R 3 . Tādējādi pamatā , , matricai A ir šāda forma:
.
Ne katru lineārā operatora A:R n → R n matricu var reducēt līdz diagonālai formai, jo dažiem lineārajiem operatoriem var būt mazāk par n lineāriem neatkarīgiem īpašvektoriem. Tomēr, ja matrica ir simetriska, tad daudzkārtības m raksturīgā vienādojuma sakne atbilst tieši m lineāri neatkarīgiem vektoriem.

Definīcija. Tiek saukta simetriska matrica kvadrātveida matrica, kurā elementi simetriski ap galveno diagonāli ir vienādi, tas ir, kurā .
Piezīmes. 1. Visas simetriskas matricas īpašvērtības ir reālas.
2. Simetriskas matricas īpašvektori, kas atbilst pa pāriem dažādām īpašvērtībām, ir ortogonāli.
Kā vienu no daudzajiem pētītā aparāta pielietojumiem mēs uzskatām otrās kārtas līknes veida noteikšanas problēmu.

Definīcija: Lai L ir dota n- dimensiju lineārā telpa. Tiek izsaukts vektors L, kas nav nulle īpašvektors lineārā transformācija A, ja ir tāds skaitlis, kuram ir spēkā vienādība:

A
(7.1)

Šajā gadījumā tiek izsaukts skaitlis  īpašvērtība (raksturīgs skaitlis) vektoram atbilstošā lineārā transformācija A .

Pārvietojot (7.1) labo pusi pa kreisi un ņemot vērā attiecību
, mēs pārrakstām (7.1) formā

(7.2)

Vienādojums (7.2) ir ekvivalents lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai:

(7.3)

Lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmas (7.3) atrisinājuma pastāvēšanai, kas nav vienāds ar nulli, ir nepieciešams un pietiekami, lai šīs sistēmas koeficientu determinants būtu vienāds ar nulli, t.i.

|A-λE|=
(7.4)

Šis determinants ir n-tās pakāpes polinoms attiecībā pret λ un tiek saukts raksturīgs polinoms lineārā transformācija A un vienādojums (7.4) - raksturīgais vienādojums matricas A.

Definīcija: Ja lineāra transformācija A kādā bāzē ,,…,ir matrica A =
, tad lineārās transformācijas A īpašvērtības var atrast kā raksturīgā vienādojuma saknes  1 ,  2 , … ,  n:

Apsvērsim īpašs gadījums . Lai A ir plaknes lineāra transformācija, kuras matrica ir vienāda ar
. Tad transformāciju A var dot ar formulām:

;

uz kāda pamata
.

Ja transformācijai A ir īpašvektors ar īpašvērtību , tad A
.

vai

Jo īpašvektors nav nulle, tad x 1 un x 2 vienlaikus nav vienādi ar nulli. Jo Ja šī sistēma ir viendabīga, tad, lai tai būtu netriviāls risinājums, sistēmas determinantam jābūt vienādam ar nulli. Citādi, saskaņā ar Krāmera likumu, sistēmai ir unikāls risinājums – nulle, kas nav iespējams.

Iegūtais vienādojums ir Lineārās transformācijas A raksturīgais vienādojums.

Tādējādi var atrast īpašvektoru (x 1, x 2) lineāra transformācija A ar īpašvērtību, kur ir raksturīgā vienādojuma sakne, un x 1 un x 2 ir vienādojumu sistēmas saknes, kad tajā tiek aizvietota vērtība.

Ir skaidrs, ka, ja raksturīgā vienādojumam nav reālu sakņu, tad lineārajai transformācijai A nav īpašvektoru.

Jāpiebilst, ja ir transformācijas A īpašvektors, tad jebkurš tam kolineārs vektors ir arī īpašvektors ar tādu pašu īpašvērtību.

Tiešām,. Ja ņemam vērā, ka vektoriem ir viena izcelsme, tad šie vektori veido t.s savu virzienu vai sava līnija.

Jo raksturojošajam vienādojumam var būt divas dažādas reālās saknes  1 un  2, tad šajā gadījumā, aizvietojot tās vienādojumu sistēmā, iegūstam bezgalīgi daudz atrisinājumu. (Jo vienādojumi ir lineāri atkarīgi). Šis risinājumu kopums nosaka divus savas līnijas.

Ja raksturojošajam vienādojumam ir divas vienādas saknes 1 = 2 =, tad vai nu ir tikai viena īstā taisne, vai arī, ja, aizvietojot sistēmā, tā pārvēršas par sistēmas formu:
. Šī sistēma atbilst visām x1 un x2 vērtībām. Tad visi vektori būs īpašvektori, un šādu transformāciju sauc līdzības transformācija.

Piemērs.
.

Piemērs. Atrast raksturīgos skaitļus un īpašvektorus lineārai transformācijai ar matricu A =
.

Rakstīsim lineāro transformāciju formā:

Izveidosim raksturīgo vienādojumu:

 2 - 4+ 4 = 0;

Raksturīgā vienādojuma saknes:  1 = 2 = 2;

Mēs iegūstam:

Sistēma rada atkarību: x 1 – x 2 = 0. Raksturīgā vienādojuma pirmās saknes īpašvektoriem ir koordinātas: ( t ; t ) Kur t- parametrs.

Īpatnējo vektoru var uzrakstīt:
.

Apsvērsim citu īpašs gadījums. Ja ir lineārās transformācijas A īpašvektors, kas norādīts trīsdimensiju lineārā telpā, un x 1, x 2, x 3 ir šī vektora sastāvdaļas noteiktā bāzē
, Tas

kur  ir transformācijas A īpašvērtība (raksturīgais skaitlis).

Ja lineārās transformācijas matricai A ir šāda forma:

, Tas

Raksturīgais vienādojums:

Paplašinot determinantu, iegūstam kubisko vienādojumu . Jebkuram kubiskā vienādojumam ar reāliem koeficientiem ir viena vai trīs reālas saknes.

Tad jebkurai lineārai transformācijai trīsdimensiju telpā ir īpašvektori.

Piemērs. Atrodiet lineārās transformācijas A, lineārās transformācijas matricas A = raksturīgos skaitļus un īpašvektorus .

Piemērs. Atrodiet lineārās transformācijas A, lineārās transformācijas matricas A = raksturīgos skaitļus un īpašvektorus
.

Izveidosim raksturīgo vienādojumu:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Ja  1 = 0:

Ja ņemam x 3 = 1, iegūstam x 1 = 0, x 2 = -2

Pašvektori
t, kur t ir parametrs.

Līdzīgi jūs varat atrast Un  2 un  3 .

Tiek izsaukts vektors X ≠ 0 īpašvektors lineārs operators ar matricu A, ja ir tāds skaitlis, ka AX =X.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs  īpašvērtība operatoram (matrica A), kas atbilst vektoram x.

Citiem vārdiem sakot, īpašvektors ir vektors, kas lineāra operatora iedarbībā pārvēršas par kolineāru vektoru, t.i. vienkārši reiziniet ar kādu skaitli. Turpretim nepareizus vektorus ir sarežģītāk pārveidot.

Pierakstīsim īpašvektora definīciju vienādojumu sistēmas veidā:

Pārvietosim visus terminus uz kreiso pusi:

Pēdējo sistēmu var uzrakstīt matricas formā šādi:

(A - E)X = O

Iegūtajai sistēmai vienmēr ir nulles risinājums X = O. Tādas sistēmas, kurās visi brīvie termini ir vienādi ar nulli, sauc viendabīgs. Ja šādas sistēmas matrica ir kvadrāta un tās determinants nav vienāds ar nulli, tad, izmantojot Krāmera formulas, mēs vienmēr iegūsim unikālu risinājumu – nulli. Var pierādīt, ka sistēmai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tad un tikai tad, ja šīs matricas determinants ir vienāds ar nulli, t.i.

|A - E| = = 0

Šo vienādojumu ar nezināmo sauc raksturīgais vienādojums(raksturīgs polinoms) matrica A (lineārais operators).

Var pierādīt, ka lineāra operatora raksturīgais polinoms nav atkarīgs no bāzes izvēles.

Piemēram, atradīsim lineārā operatora īpašvērtības un īpašvektorus, ko nosaka matrica A = .

Lai to izdarītu, izveidosim raksturīgo vienādojumu |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 – 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; īpašvērtības 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Lai atrastu īpašvektorus, mēs atrisinām divas vienādojumu sistēmas

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Pirmajam no tiem izvērsta matrica iegūst formu

,

no kurienes x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, t.i. X (1) = (-(2/3) s; s).

Otrajam no tiem izvērstā matrica iegūst formu

,

no kur x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, t.i. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Tādējādi šī lineārā operatora īpašvektori ir visi formas (-(2/3)с; с) vektori ar īpašvērtību (-5) un visi formas ((2/3)с 1 ; с 1) vektori ar īpašvērtība 7 .

Var pierādīt, ka operatora A matrica bāzē, kas sastāv no tā īpašvektoriem, ir diagonāla un tai ir forma:

,

kur  i ir šīs matricas īpašvērtības.

Ir arī otrādi: ja matrica A kādā bāzē ir diagonāla, tad visi šīs bāzes vektori būs šīs matricas īpašvektori.

Var arī pierādīt, ka, ja lineāram operatoram ir n pāros atšķirīgas īpašvērtības, tad attiecīgie īpašvektori ir lineāri neatkarīgi, un šī operatora matricai attiecīgajā bāzē ir diagonāla forma.

Pašvērtības (skaitļi) un īpašvektori.
Risinājumu piemēri

Esi tu pats

No abiem vienādojumiem izriet, ka .

Tad liksim: .

Rezultātā: – otrais īpašvektors.

Atkārtosim svarīgi punkti risinājumi:

– iegūtajai sistēmai noteikti ir vispārīgs risinājums (vienādojumi ir lineāri atkarīgi);

– “y” izvēlamies tā, lai tas būtu vesels skaitlis un pirmā “x” koordināte būtu vesels skaitlis, pozitīva un pēc iespējas mazāka.

– pārbaudām, vai konkrētais risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Atbilde .

Starpposma “kontrolpunktu” bija pietiekami daudz, tāpēc vienlīdzības pārbaude principā ir lieka.

Dažādos informācijas avotos īpašvektoru koordinātas bieži raksta nevis kolonnās, bet rindās, piemēram: (un, godīgi sakot, es pats esmu pieradis tos rakstīt rindās). Šī iespēja ir pieņemama, taču, ņemot vērā tēmu lineārās transformācijas tehniski ērtāk lietojams kolonnu vektori.

Iespējams, risinājums jums šķita ļoti garš, bet tas ir tikai tāpēc, ka es ļoti detalizēti komentēju pirmo piemēru.

2. piemērs

Matricas

Trenēsimies paši! Aptuvens gala uzdevuma piemērs nodarbības beigās.

Dažreiz jums ir jāveic papildu uzdevums, proti:

uzrakstiet kanoniskās matricas dekompozīcijas

Kas tas ir?

Ja matricas īpašvektori veido pamats, tad to var attēlot šādi:

Kur ir matrica, kas sastāv no īpašvektoru koordinātām, - diagonāli matrica ar atbilstošām īpašvērtībām.

Šo matricas sadalīšanu sauc kanonisks vai diagonāli.

Apskatīsim pirmā piemēra matricu. Tās īpašvektori lineāri neatkarīgs(nekolineārs) un veido pamatu. Izveidosim to koordinātu matricu:

Ieslēgts galvenā diagonāle matricas atbilstošā secībāīpašvērtības atrodas, un pārējie elementi ir vienādi ar nulli:
– Vēlreiz uzsveru kārtības nozīmi: “divi” atbilst 1. vektoram un tāpēc atrodas 1. kolonnā, “trīs” – 2. vektoram.

Izmantojot parasto atrašanas algoritmu apgrieztā matrica vai Gausa-Jordānas metode mēs atradām . Nē, tā nav drukas kļūda! - pirms jums ir reti, piemēram saules aptumsums notikums, kad apgrieztais sakrīt ar sākotnējo matricu.

Atliek pierakstīt matricas kanonisko sadalījumu:

Sistēmu var atrisināt, izmantojot elementāras transformācijas, un turpmākajos piemēros mēs to izmantosim šī metode. Bet šeit “skolas” metode darbojas daudz ātrāk. No 3. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar otro vienādojumu:

Tā kā pirmā koordināta ir nulle, mēs iegūstam sistēmu no katra vienādojuma, no kura izriet, ka .

Un atkal pievērsiet uzmanību obligātai lineāras attiecības klātbūtnei. Ja tiek iegūts tikai triviāls risinājums , tad vai nu īpašvērtība tika atrasta nepareizi, vai arī sistēma tika apkopota/atrisināta ar kļūdu.

Vērtību dod kompaktās koordinātas

Pašvektors:

Un vēlreiz pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu. Nākamajos punktos un turpmākajos uzdevumos iesaku šo vēlmi uzskatīt par obligātu noteikumu.

2) Pašvērtībai, izmantojot to pašu principu, mēs iegūstam šādu sistēmu:

No sistēmas 2. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar trešo vienādojumu:

Tā kā “zeta” koordināte ir vienāda ar nulli, no katra vienādojuma iegūstam sistēmu, no kuras izriet lineāra atkarība.

Ļaujiet

Pārbaudot, vai risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Tādējādi īpašvektors ir: .

3) Un visbeidzot, sistēma atbilst īpašvērtībai:

Otrais vienādojums izskatās visvienkāršākais, tāpēc izteiksim to un aizvietosim ar 1. un 3. vienādojumu:

Viss ir kārtībā - ir izveidojusies lineāra sakarība, ko mēs aizstājam ar izteiksmi:

Rezultātā “x” un “y” tika izteikti ar “z”: . Praksē nav nepieciešams panākt tieši šādas attiecības, dažos gadījumos ir ērtāk izteikt gan caur, gan caur . Vai pat “vilciens” — piemēram, no “X” līdz “I” un “I” līdz “Z”

Tad liksim:

Mēs pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu un raksta trešo īpašvektoru

Atbilde: īpašvektori:

Ģeometriski šie vektori definē trīs dažādus telpiskos virzienus ("Tur un atkal atpakaļ"), saskaņā ar kuru lineārā transformācija pārvērš nulles vektorus (pašvektorus) kolineāros vektoros.

Ja nosacījums prasīja atrast kanonisko sadalījumu, tad šeit tas ir iespējams, jo dažādas īpašvērtības atbilst dažādiem lineāri neatkarīgiem īpašvektoriem. Matricas veidošana no to koordinātām diagonālā matrica no atbilstošsīpašvērtības un atrast apgrieztā matrica .

Ja ar nosacījumu, jums ir nepieciešams rakstīt lineārās transformācijas matrica īpašvektoru bāzē, tad sniedzam atbildi formā . Ir atšķirība, un atšķirība ir būtiska! Tā kā šī matrica ir “de” matrica.

Problēma ar vienkāršākiem aprēķiniem par neatkarīgs lēmums:

5. piemērs

Atrodiet matricas dotās lineārās transformācijas īpašvektorus

Atrodot savus skaitļus, mēģiniet nepāriet līdz 3. pakāpes polinomam. Turklāt jūsu sistēmas risinājumi var atšķirties no maniem risinājumiem - šeit nav pārliecības; un atrastie vektori var atšķirties no parauga vektoriem līdz to attiecīgo koordinātu proporcionalitātei. Piemēram, un. Estētiskāk ir sniegt atbildi veidlapā, taču tas ir labi, ja apstājaties pie otrās iespējas. Tomēr visam ir saprātīgas robežas, versija vairs neizskatās īpaši laba.

Aptuvenais galīgais uzdevuma paraugs nodarbības beigās.

Kā atrisināt problēmu vairāku īpašvērtību gadījumā?

Vispārējs algoritms paliek nemainīgs, taču tam ir savas īpašības, un dažas risinājuma daļas ieteicams saglabāt stingrākā akadēmiskā stilā:

6. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Risinājums

Protams, rakstīsim ar lielo burtu pasakaino pirmo kolonnu:

Un pēc kvadrātiskā trinoma ieskaitīšanas:

Rezultātā tiek iegūtas īpašvērtības, no kurām divas ir daudzkārtējas.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Tiksim galā ar vientuļo karavīru pēc “vienkāršotas” shēmas:

No pēdējiem diviem vienādojumiem ir skaidri redzama vienādība, kas, protams, ir jāaizstāj ar sistēmas 1. vienādojumu:

Labākā kombinācija nevar atrast:
Pašvektors:

2-3) Tagad mēs noņemam pāris sargsargus. Šajā gadījumā tas var izrādīties vai nu divi vai viensīpašvektors. Neatkarīgi no sakņu daudzveidības mēs vērtību aizstājam ar determinantu kas mums nes nākamo viendabīga lineāro vienādojumu sistēma:

Pašvektori ir tieši vektori
pamata risinājumu sistēma

Patiesībā visas nodarbības laikā mēs neko nedarījām, kā tikai atradām pamatsistēmas vektorus. Vienkārši pagaidām šis termins nebija īpaši pieprasīts. Starp citu, tie gudrie skolēni, kuri palaida garām tēmu maskēšanās uzvalkos viendabīgi vienādojumi, tagad būs spiests to uzpīpēt.

Vienīgā darbība bija papildu līniju noņemšana. Rezultāts ir matrica pa vienam ar trīs, kuras vidū ir formāls “solis”.
– pamata mainīgais, – brīvie mainīgie. Tāpēc ir divi brīvi mainīgie ir arī divi pamatsistēmas vektori.

Izteiksim pamatmainīgo brīvo mainīgo izteiksmē: . Nulles koeficients “X” priekšā ļauj tam iegūt absolūti jebkuras vērtības (kas ir skaidri redzams no vienādojumu sistēmas).

Šīs problēmas kontekstā vispārīgo risinājumu ērtāk ir rakstīt nevis rindā, bet kolonnā:

Pāris atbilst īpašvektoram:
Pāris atbilst īpašvektoram:

Piezīme : sarežģīti lasītāji var atlasīt šos vektorus mutiski – vienkārši analizējot sistēmu , taču šeit ir vajadzīgas dažas zināšanas: ir trīs mainīgie, sistēmas matricas rangs- viens, kas nozīmē pamata lēmumu sistēma sastāv no 3 – 1 = 2 vektoriem. Taču atrastie vektori ir skaidri redzami arī bez šīm zināšanām, tīri intuitīvā līmenī. Šajā gadījumā trešais vektors tiks uzrakstīts vēl “skaistāk”: . Tomēr brīdinu, ka citā piemērā vienkārša atlase var nebūt iespējama, tāpēc klauzula ir paredzēta pieredzējušiem cilvēkiem. Turklāt, kāpēc neņemt, teiksim, trešo vektoru? Galu galā arī tās koordinātas apmierina katru sistēmas vienādojumu un vektorus lineāri neatkarīgs. Šī opcija principā ir piemērota, taču “greiza”, jo “cits” vektors ir lineāra pamatsistēmas vektoru kombinācija.

Atbilde: īpašvērtības: , īpašvektori:

Līdzīgs piemērs neatkarīgam risinājumam:

7. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Aptuvenais gala dizaina paraugs nodarbības beigās.

Jāatzīmē, ka gan 6., gan 7. piemērā tiek iegūts lineāri neatkarīgu īpašvektoru trīskāršs, un tāpēc sākotnējā matrica ir attēlojama kanoniskajā sadalīšanā. Bet šādas avenes nenotiek visos gadījumos:

8. piemērs

Risinājums: Izveidosim un atrisināsim raksturīgo vienādojumu:

Izvērsīsim determinantu pirmajā kolonnā:

Tālākos vienkāršojumus veicam pēc aplūkotās metodoloģijas, izvairoties no 3. pakāpes polinoma:

- īpašvērtības.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Ar sakni nav grūtību:

Nebrīnieties, papildus komplektam tiek izmantoti arī mainīgie - šeit nav nekādas atšķirības.

No 3. vienādojuma mēs to izsakām un aizstājam ar 1. un 2. vienādojumu:

No abiem vienādojumiem izriet:

Ļaujiet tad:

2-3) Vairākām vērtībām mēs iegūstam sistēmu .

Pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Vienkāršākais lineārais operators ir vektora reizināšana ar skaitli \(\lambda\). Šis operators vienkārši izstiepj visus vektorus \(\lambda \) reizes. Tās matricas forma jebkurā bāzē ir \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Noteiktības labad mēs nofiksējam bāzi \(\(e\)\) vektoru telpā \(\mathit(L)\) un šajā bāzē aplūkojam lineāro operatoru ar diagonālās matricas formu, \(\alpha = diag( \lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Šis operators saskaņā ar matricas formas definīciju stiepjas \(e_k\) par \(\lambda _k\) reizes, t.i. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) visiem \(k=1,2,...,n\). Ir ērti strādāt ar diagonālajām matricām, un tām ir vienkārši izveidot funkcionālo aprēķinu: jebkurai funkcijai \(f(x)\) varam ievietot \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,..., \lambda _n))= diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Tā rodas dabisks jautājums: lai ir lineārs operators \(A\), vai vektortelpā var izvēlēties tādu bāzi, lai operatora \(A\) matricas forma šajā bāzē būtu diagonāla? Šis jautājums noved pie īpašvērtību un īpašvektoru definīcijas.

Definīcija. Ļaujiet, lai lineārais operators \(A\) pastāv vektors, kas nav nulle\(u\) un skaitli \(\lambda \), lai \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Tad tiek izsaukts vektors \(u\). īpašvektors operators \(A\), un skaitlis \(\lambda \) - atbilstošais īpašvērtība operators \(A\). Tiek izsaukta visu īpašvērtību kopa lineārā operatora spektrs \(A\).

Rodas dabiska problēma: atrodiet noteiktam lineāram operatoram tā īpašvērtības un atbilstošos īpašvektorus. Šo problēmu sauc par lineārā operatora spektra problēmu.

Noteiktības labad mēs fiksējam bāzi vektoru telpā, t.i. Mēs pieņemsim, ka tas tiek dots vienreiz un uz visiem laikiem. Tad, kā minēts iepriekš, lineāro operatoru apsvēršanu var reducēt uz matricu - lineāro operatoru matricu formu - apsvēršanu. Mēs pārrakstām vienādojumu (59) formā \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Šeit \(E\) ir identitātes matrica, un \(\alpha\) ir mūsu lineārā operatora \(A\) matricas forma. Šo sakarību var interpretēt kā \(n\) lineāru vienādojumu sistēmu \(n\) nezināmajiem — vektora \(u\) koordinātām. Un šī viendabīga sistēma vienādojumi, un mums tas jāatrod nav triviāls risinājums. Iepriekš tika dots nosacījums šāda risinājuma pastāvēšanai - tam ir nepieciešams un pietiek, lai sistēmas rangs būtu mazāks skaitlis nezināms. Tas nozīmē īpašvērtību vienādojumu: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Definīcija. Tiek izsaukts vienādojums (60). raksturīgais vienādojums lineārajam operatoram \(A\).

Aprakstīsim šī vienādojuma īpašības un tā risinājumus. Ja mēs to izrakstām tieši, mēs iegūstam vienādojumu formā \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] Kreisajā pusē ir polinoms mainīgajā \(\lambda \). Šādus vienādojumus sauc par \(n\) pakāpes algebrisko. Dosim nepieciešamo informāciju par šiem vienādojumiem.

Palīdzība par algebriskajiem vienādojumiem.

Teorēma. Lai visas lineārā operatora \(A\) īpašvērtības ir primārās. Tad īpašvektoru kopa, kas atbilst šīm īpašvērtībām, veido vektoru telpas pamatu.

No teorēmas nosacījumiem izriet, ka visas operatora \(A\) īpašvērtības ir atšķirīgas. Pieņemsim, ka īpašvektoru kopa ir lineāri atkarīga, tātad ir konstantes \(c_1,c_2,...,c_n\), kuras ne visas ir nulle, izpildot nosacījumu: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

No šādām formulām apskatīsim vienu, kas ietver minimālo terminu skaitu, un rīkosimies saskaņā ar operatoru \(A\). Tā linearitātes dēļ mēs iegūstam: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Precizitātes labad pieņemsim \(c_1 \neq 0\). Reizinot (62) ar \(\lambda _1\) un atņemot no (63), iegūstam formas (62) relāciju, kas satur vienu vārdu mazāk. Pretruna pierāda teorēmu.

Tātad teorēmas apstākļos parādās bāze, kas saistīta ar doto lineāro operatoru - tā īpašvektoru bāzi. Apskatīsim operatora matricas formu šādā bāzē. Kā minēts iepriekš, šīs matricas \(k\) kolonna ir vektora \(Au_k\) sadalīšana attiecībā pret bāzi. Taču pēc definīcijas \(Au_k=\lambda _ku_k\), tāpēc šis paplašinājums (kas rakstīts labajā pusē) satur tikai vienu terminu un konstruētā matrica izrādās diagonāla. Rezultātā mēs atklājam, ka teorēmas apstākļos operatora matricas forma tā īpašvektoru pamatā ir vienāda ar \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\ ). Tāpēc, ja ir nepieciešams izstrādāt funkcionālo aprēķinu lineāram operatoram, ir saprātīgi strādāt uz tā īpašvektoru bāzes.

Ja starp lineārā operatora īpatnējām vērtībām ir daudzkārtņi, situācijas apraksts kļūst sarežģītāks un var ietvert tā sauktās Jordānas šūnas. Mēs atsaucamies lasītājam uz sarežģītākām pamācībām attiecīgajām situācijām.