Praktiski uzdevumi par apgalvojumu matemātisko loģiku un operācijām ar tiem. Propozicionālās loģikas elementi

Plāns

Izteikumi ar ārēju noliegumu.

savienojošie apgalvojumi.

disjunktīvie apgalvojumi.

Stingri disjunktīvi apgalvojumi.

Paziņojumi par līdzvērtību.

Netieši apgalvojumi.

Izteikumi ar ārēju noliegumu.

Apgalvojums ar ārēju noliegumu ir apgalvojums (spriedums), kurā tiek apstiprināta noteiktas situācijas neesamība. Visbiežāk tas tiek izteikts teikumā, kas sākas ar frāzi “nav taisnība, ka...” vai “tas ir nepareizi, ka...”. Ārējo noliegumu norāda ar simbolu “ù”, ko sauc par nolieguma zīmi. Šo zīmi nosaka šāda patiesības tabula:

Izteikumos ar ārēju noliegumu situācija A tiek noliegta. Piemēram, ja A: “Volga ietek Melnajā jūrā”, tad ùA: “Nav taisnība, ka Volga ietek Melnajā jūrā.”

savienojošie apgalvojumi.

Konjunktīvie apgalvojumi ir tie, kuros tiek apstiprināta divu situāciju vienlaicīga esamība. Konjunktīvie apgalvojumi tiek veidoti no diviem apgalvojumiem, izmantojot savienības “un”, “a”, “bet”. Konjunktīvā izteikuma forma: (A&B). Katram apgalvojumam A un B var būt gan vērtība "true", gan vērtība "false". Šīs vērtības īsuma labad ir apzīmētas ar burtiem es, l. Konjunktīvo apgalvojumu patiesības tabula ir šāda:

Konjunktīvajos paziņojumos ir norādīts, ka A un B aprakstītā situācija notiek vienlaikus. Konjunktīvu apgalvojumu piemēri: “Zeme ir planēta, un Mēness ir satelīts”; “Petrovs labi apguva loģiku, bet Sidorovs slikti”; “Ārā ir tumšs, un auditorijā deg gaisma”; "Petrovs iedeva amatpersonai kukuli skaidrā naudā, bet Sidorovs - pudeli."

disjunktīvie apgalvojumi.

Disjunktīvie apgalvojumi ir apgalvojumi, kas apliecina, ka pastāv vismaz viena no divām situācijām, kas aprakstītas A un B. Disjunkciju apzīmē ar simbolu V un izsaka dabiskajā valodā ar savienību “vai”.

Disjunkcijas zīmes tabulas definīcija ir šāda:

Disjunktīva apgalvojuma piemērs: "Romans Sergejevičs Ivanovs ir skolotājs vai Romāns Sergejevičs Ivanovs ir maģistrants."

Stingri disjunktīvi apgalvojumi.

Stingri disjunktīvi apgalvojumi ir apgalvojumi, kas apliecina, ka pastāv tieši viena no divām situācijām, kas aprakstītas A un B. Šādi apgalvojumi visbiežāk tiek izpildīti, izmantojot teikumus ar savienojumu "vai ..., vai ..." ("vai nu ... vai ...”). Stingru disjunkciju apzīmē ar simbolu V* (lasiet “vai nu... vai...”).

Stingras disjunkcijas zīmes tabulas definīcija ir šāda:

Stingri disjunktīva apgalvojuma piemērs: "Vai nu ārā ir saulains laiks, vai arī līst."

Starp iespējamām lingvistiskā mainīgā patiesības vērtībām Patiesība divas vērtības piesaista īpašu uzmanību, proti, tukšā kopa un vienības intervāls, kas atbilst mazākajiem un lielākajiem elementiem (attiecībā uz iekļaušanu) izplūdušo intervālu apakškopu režģī. Šo patiesības vērtību nozīme ir saistīta ar to, ka tās var interpretēt kā patiesības vērtības nenoteikts un nezināms attiecīgi. Ērtības labad mēs apzīmēsim šīs patiesības vērtības ar simboliem un, saprotot, ka un nosaka izteicieni

Vērtības nezināms un nenoteikts, kas tiek interpretēti kā piederības pakāpes, tiek izmantoti arī 1. tipa izplūdušo kopu attēlošanai. Šajā gadījumā ir trīs iespējas izteikt piederības pakāpi punktam : 1) skaitlis no intervāla ; 2) ( nenoteikts); 3) (nezināms).

Apskatīsim vienkāršu piemēru. Ļaujiet

Paņemiet veidlapas kopas izplūdušo apakškopu

Šajā gadījumā elementa piederības pakāpe kopai ir nezināms, un dalības pakāpe ir nenoteikts. Vispārīgākā gadījumā tā var būt

kur tiek saprasts, ka kopas elementa piederības pakāpe ir daļēji nezināma, un dalībnieks tiek interpretēts šādi:

. (6.56)

Ir svarīgi skaidri saprast atšķirību starp un. Kad mēs sakām, ka kopas punkta piederības pakāpe ir , mēs domājam, ka piederības funkcija punktā nav definēts. Pieņemsim, ka, piemēram, tā ir reālu skaitļu kopa, un tā ir funkcija, kas definēta veselu skaitļu kopai un , ja - pāra, un , ja - nepāra. Tad skaitļa piederības pakāpe kopai ir , nevis 0. No otras puses, ja tas būtu definēts uz reālo skaitļu kopas un tad un tikai tad, ja ir pāra skaitlis, tad skaitļa piederības pakāpe komplektā būtu vienāds ar 0.

Tā kā mēs varam aprēķināt priekšlikumu patiesības vērtības un, vai un nēņemot vērā apgalvojumu lingvistiskās patiesības vērtības un , ir viegli aprēķināt vērtības , , , kad . Pieņemsim, piemēram, ka

, (6.57)

. (6.58)

Piemērojot vispārināšanas principu, kā (6.25), iegūstam

, (6.59)

Pēc vienkāršošanas (6.59) reducē līdz izteiksmei

. (6.61)

Citiem vārdiem sakot, apgalvojuma patiesuma vērtība un, kur , ir izplūdusi intervāla apakškopa, kuras punkta piederības pakāpe ir vienāda ar (dalības funkcija ) intervālā .

Rīsi. 6.4. Paziņojuma patiesības vērtību saistība un disjunkcija ar patiesības vērtību nav zināma ().

Tāpat mēs atklājam, ka apgalvojuma patiesuma vērtība vai izteikts kā

. (6.62)

Jāņem vērā, ka izteiksmes (6.61) un (6.62) ir viegli iegūt, izmantojot iepriekš aprakstīto grafisko procedūru (sk. (6.38) un tālāk). Piemērs, kas to ilustrē, ir parādīts attēlā. 6.4.

Pievēršoties lietai, mēs atklājam

(6.63)

un līdzīgi priekš .

Ir pamācoši sekot līdzi tam, kas notiek ar augstākminētajām attiecībām, kad tās attiecinām uz konkrētu divvērtību loģikas gadījumu, t.i., uz gadījumu, kad universālajai kopai ir forma

vai pazīstamākā formā

kur nozīmē taisnība, a - viltus. Tā kā ir , mēs varam noteikt patiesības vērtību nezināms ar nozīmi taisnība vai viltus, t.i.

Iegūtajai loģikai ir četras patiesības vērtības , un un ir divvērtību loģikas vispārinājums 6.5. piezīmes izpratnē.

Tā kā universālā patiesības vērtību kopa sastāv tikai no diviem elementiem, operācijām ir ieteicams izveidot patiesības tabulas, turklāt šajā četrvērtību loģikā tieši, t.i., neizmantojot vispārīgās formulas (6.25), (6.29) un ( 6.31). Tādējādi, piemērojot vispārināšanas principu darbībai , mēs nekavējoties iegūstam

no kurienes tas noteikti izriet

Pa ceļam mēs nonākam pie parastās savienojuma ⟹ definīcijas divu vērtību loģikā šādas patiesības tabulas veidā:

Kā parādīts iepriekš minētajā piemērā, patiesības vērtības jēdziens nezināms kombinācijā ar vispārināšanas principu palīdz izprast dažus parastās divvērtības un trīsvērtību loģikas jēdzienus un attiecības. Šīs loģikas, protams, var tikt uzskatītas par deģenerētiem izplūdušās loģikas gadījumiem, kuros patiesība ir vērtība nezināms ir viss vienības intervāls, nevis kopa 0 + 1.

Šeit: 1 - patiess, 0 - nepatiess.

• 1. X: trijstūris ABC - akūts. X: Tā nav taisnība, ka trīsstūris ABC ir akūts. Tas ir šādi: X: trijstūris ABC – taisns vai strups
• 2. A: Ivanova M. Eksāmenā matemātikā viņa saņēma 4. : Nav taisnība, ka Ivanova M. matemātikā saņēma 4.

Definīcija: apgalvojuma A un B disjunkcija ir apgalvojums AB, kas ir patiess, ja vismaz viens no apgalvojumiem A vai B ir patiess.

Tas ir nolasīts "A vai B".

Patiesības tabula AB

Piemērs: 1. Šoreiz ieradās apsūdzētais un notika tiesa. - patiesība

2. Iekš taisnleņķa trīsstūris jebkuru divu leņķu summa ir lielāka vai vienāda ar trešo leņķi, un hipotenūza ir mazāka par kāju. - Nepatiesi

Definīcija: apgalvojumu A un B implikācija ir apgalvojums AB, kas ir nepatiess tikai tad, ja A ir patiess un B ir nepatiess.

Tas skan: "Ja A, tad B."

patiesības tabula

Piemērs: 1. Ja es nokārtošu pārbaudījumu, es došos uz kino.

2. Ja trijstūris ir vienādsānu, tad tā pamatnes leņķi ir vienādi. Definīcija: apgalvojumu A un B ekvivalents ir apgalvojums AB, kas ir patiess tad un tikai tad, ja A un B ir vienāda patiesība (t.i., vai nu abi ir patiesi, vai abi ir nepatiesi).

Tie skan: "A tad un tikai tad, ja B" vai "A ir nepieciešams un pietiekams B"

patiesības tabula

Otrs uzdevums, kas tiek atrisināts ar propozicionāru algebru, ir noteikta priekšlikuma patiesuma noteikšana, pamatojoties uz tā formulas sastādīšanu (formalizācijas process) un patiesības tabulas sastādīšanu.

Piemērs: Ja Saratova atrodas Ņevas krastā, tad Āfrikā dzīvo leduslāči.

A: Saratova atrodas Ņevas upes krastā;

J: Polārlāči dzīvo Āfrikā

Definīcija: Formulu, kas ir patiesa neatkarīgi no tā, kādas vērtības ir tās priekšlikuma mainīgajiem, sauc par tautoloģiju vai identiski patiesu formulu.

Definīcija: Formulas F 1 un F 2 sauc par ekvivalentām, ja to ekvivalents ir tautoloģija.

Definīcija: Ja formulas F 1 un F 2 ir ekvivalentas, tad teikumus Р 1 un Р 2, kas ierosina šīs formulas, propozicionālajā loģikā sauc par ekvivalentiem.

Pamata, visizplatītākās ekvivalences sauc par loģikas likumiem. Mēs uzskaitām dažus no tiem:

• 1. X X - identitātes likums
• 2. X L - pretrunu likums
• 3. XI - trešās izslēgšanas likums
• 4. X - dubultās noliegšanas likums

• 5. komutativitātes likumi
• 6. X (Y Z) (X Y) Z asociativitātes likums

X (Y Z) (X Y) Z sadales likums

7. De Morgana likumi

8. mainīgā ar konstanti artikulācijas likumi

Izmantojot loģikas likumus, jūs varat pārveidot formulas.

4. Apsveriet divas no daudzajām formulām, kas ir līdzvērtīgas viena otrai. Tie ir ideāla konjunktīvā normālā forma (CKNF) un perfektā disjunktīvā normālā forma (PDNF). Tie ir izveidoti noteiktai formulai, pamatojoties uz tās patiesības tabulu.

SDNF izveide:

• - tiek atlasītas rindas, kas atbilst dotās formulas patiesības vērtībām (1);
• - katrai atlasītajai rindai mēs veidojam mainīgo lielumu vai to noliegumu konjunkciju, lai rindā uzrādīto mainīgo vērtību kopas atbilstu savienojuma patiesajām vērtībām (šim nolūkam ir jāņem mainīgie, kas šajā rindā pieņēmuši vērtības false (0) ar nolieguma zīmi, un mainīgie lielumi, ņemot patiesības vērtības (1) bez noliegšanas);
• -- tiek veikta iegūto saikļu disjunkcija.

No algoritma izriet, ka jebkurai formulai ir iespējams sastādīt SDNF, turklāt vienīgo, ja formula nav identiski nepatiesa, t.i. pieņemot tikai nepatiesas vērtības.

SKNF apkopošana tiek veikta saskaņā ar šādu algoritmu:

• -- atlasiet tās tabulas rindas, kurās formulas novērtējums ir nepatiess (0);
• - no mainīgajiem katrā šādā rindā veiciet disjunkciju, kurai vajadzētu ņemt vērtības - false (0). Lai to izdarītu, visiem mainīgajiem tas jāievada ar vērtību false, tāpēc tie, kas ir patiesi (1), jāaizstāj ar to noliegumu;
• - no iegūtajām disjunkcijām izveidot konjunkciju.

Acīmredzot jebkurai formulai, kas nav tautoloģija, ir SKNF.

SDNF un SKNF tiek izmantoti, lai iegūtu sekas no šīs formulas.

Piemērs: izveidojiet SDNF un SKNF patiesības tabulu formulai: .

SDNF un SKNF patiesības tabula

5. Apsveriet priekšlikuma formu "Upe ietek Melnajā jūrā." Tas satur vienu mainīgo, un to var attēlot kā "Upe x ietek Melnajā jūrā".

Atkarībā no mainīgā X vērtībām teikums ir patiess vai nepatiess, t.i. ir norādīta upju kopas kartēšana uz divu elementu kopu. Apzīmēsim šo kartēšanu, tad:

Tādējādi mums ir funkcija, kuras visas vērtības pieder kopai.

Definīcija: funkciju, kuras vērtības visas pieder kopai, sauc par predikātu.

Burtus, kas apzīmē predikātus, sauc par predikātu simboliem.

Predikātus var iestatīt:

a) priekšlikuma formula,

b) formula, t.i. precizējot predikāta simbola interpretāciju,

c) galds.

1) P - "ieplūst Melnajā jūrā".

Šī formula nozīmē, ka "upe a ietek Melnajā jūrā."

• 2) Predikātu P dod propozicionālā formula: “būt pirmskaitlis uz pirmo 15 naturālo skaitļu kopas.
• 3) Tabulas formā predikātam ir šāda forma:

Predikātu apjoms var būt jebkura kopa.

Ja predikāts zaudē savu nozīmi jebkurai ievades mainīgo kopai, tad parasti tiek pieņemts, ka šī kopa atbilst A vērtībai.

Ja predikāts satur vienu mainīgo, tad to sauc par unāru, divi mainīgie - divvietīgi, n mainīgie - n-vietas predikāts.

Lai tulkotu tekstus predikātu valodā un noteiktu to patiesumu, nepieciešams ieviest loģiskas operācijas ar predikatoriem un kvantoriem.

Operācijas ar predikātiem tiek veiktas vienādi: noliegumi, konjunkcijas, disjunkcijas, implikācijas, ekvivalences.

Definīcija: kopas M apakškopu, uz kuras ir dots predikāts P, kas sastāv no tiem un tikai tiem M elementiem, kas atbilst predikāta P vērtībai UN, sauc par predikāta P patiesības kopu.

Patiesības kopa ir apzīmēta.

Definīcija: Predikāta P noliegums ir predikāts, kas ir nepatiess tām mainīgo vērtību kopām, kas padara P patiesu, un patiess tām mainīgo vērtību kopām, kas padara P nepatiesas.

Ir norādīts negatīvs.

Esi ABC students.

Neesi ABiK students.

Ja, tad kopa, kur M ir kopa, uz kuras doti predikāti P un Q.

Definīcija: predikātu savienojums ir predikāts, kas ir patiess tām un tikai tām tajā iekļauto mainīgo vērtībām, kas padara abus predikātus arī patiesus.

esi futbolists

Būt studentam

: esi futbolists un esi students.

Definīcija: predikātu disjunkcija ir predikāts, kas ir nepatiess tām mainīgo kopām, kas padara abus predikātus par nepatiesiem.

būt vienmērīgam dabiskais skaitlis

ir nepāra naturāls skaitlis

: ir naturāls skaitlis.

Definīcija: Predikātu implikācija ir predikāts, kas ir nepatiess tām un tikai tām tajā iekļautajām mainīgo kopām, kuras pārvēršas par patiesu predikātu un - par nepatiesu.

Norādīts:

Esiet pirmskaitlis kopā N

būt nepāra skaitlim

Nepatiesi un patiesi citiem naturāliem skaitļiem.

Definīcija: predikātu ekvivalence ir predikāts, kas kļūst patiess, ja abi predikāti ir patiesi vai abi ir nepatiesi.

Norādīts:

- “uzvarēt”, t.i. x uzvar y

Labāk zināt šaha vēsturi, x zina labāk nekā y

nozīmē, ka x pārspēj y šahā tad un tikai tad, ja viņš labāk zina teoriju.

Definīcija: predikāts izriet no predikāta, ja implikācija ir patiesa jebkurai tajā iekļauto mainīgo vērtību vērtībai.

Tiek apzīmēti šādi: .

Būt studentam

iet koledžā

Ir 2 veidi, kā predikātu pārvērst paziņojumā:

1) dodot mainīgajam konkrētu vērtību

; x - students

Ivanovs ir students.

2) Piekārtie kvantori - jebkurš, jebkurš, katrs

Ir, ir.

Apzīmējums kur ir īpašība P nozīmē, ka katram objektam x ir īpašība P. Vai citiem vārdiem sakot, "visiem x ir īpašība P."

Apzīmējums nozīmē, ka ir objekts x, kuram ir īpašība P.

propozicionālā loģika , saukta arī par propozicionālo loģiku - matemātikas un loģikas nozare, kas pēta sarežģītu apgalvojumu loģiskās formas, kas veidotas no vienkāršiem vai elementāriem paziņojumiem, izmantojot loģiskās darbības.

Priekšlikumu loģika tiek abstrahēta no priekšlikumu jēgpilnas slodzes un pēta to patiesumu, tas ir, vai apgalvojums ir patiess vai nepatiess.

Augšējā attēlā ir ilustrēts fenomens, kas pazīstams kā Melu paradokss. Tajā pašā laikā, pēc projekta autora domām, šādi paradoksi iespējami tikai no politiskām problēmām nebrīvās vidēs, kur kādu a priori var apzīmēt par meli. Dabiskajā slāņveida pasaulē uz "patiesības" vai "melu" subjekts tiek vērtēts tikai atsevišķi ņemti apgalvojumi . Un vēlāk šajā nodarbībā jūs tiksiet iepazīstināts ar iespēja novērtēt daudzus apgalvojumus par šo tēmu (un tad apskatiet pareizās atbildes). Tostarp sarežģīti apgalvojumi, kuros vienkāršāki ir savstarpēji saistīti ar loģisku darbību pazīmēm. Bet vispirms apskatīsim šīs darbības ar pašiem priekšlikumiem.

Propozicionālā loģika tiek izmantota datorzinātnēs un programmēšanā, deklarējot loģiskos mainīgos un piešķirot tiem loģiskās vērtības "false" vai "true", no kurām ir atkarīga programmas turpmākās izpildes gaita. Mazās programmās, kurās ir iesaistīts tikai viens Būla mainīgais, šim Būla mainīgajam bieži tiek dots nosaukums, piemēram, "karogs", un "karogs" tiek nozīmēts, ja šī mainīgā vērtība ir "true" un "flag is down", ja vērtība ir šis mainīgais ir "false". Lielajās programmās, kurās ir vairāki vai pat daudz loģisko mainīgo, profesionāļiem ir jāizdomā loģisko mainīgo nosaukumi, kuriem ir paziņojumu forma un semantiskā slodze, kas tos atšķir no citiem loģiskajiem mainīgajiem un ir saprotami citiem. profesionāļi, kas lasīs šīs programmas tekstu.

Tātad var deklarēt loģisko mainīgo ar nosaukumu "UserRegistered" (vai tā ekvivalentu angļu valodā), kuram ir paziņojuma forma, kuram var piešķirt loģisko vērtību "true", ja ir izpildīti nosacījumi, ka tiek nosūtīti reģistrācijas dati. lietotājs, un programma atzīst šos datus par derīgiem. Turpmākajos aprēķinos mainīgo lielumu vērtības var mainīties atkarībā no tā, kāda loģiskā vērtība ("true" vai "false") ir mainīgajam "UserLogged in". Citos gadījumos mainīgajam, piemēram, ar nosaukumu "Vairāk nekā trīs dienas līdz dienai", līdz noteiktam aprēķinu blokam var piešķirt vērtību "True", un turpmākās programmas izpildes laikā šo vērtību var iegūt. saglabāts vai mainīts uz "false", un turpmākās izpildes gaita ir atkarīga no šī mainīgā programmu vērtības.

Ja programma izmanto vairākus loģiskos mainīgos, kuru nosaukumiem ir priekšlikumu forma, un no tiem tiek veidoti sarežģītāki priekšlikumi, tad programmu ir daudz vieglāk izstrādāt, ja pirms tās izstrādes visas darbības no priekšlikumiem tiek uzrakstītas formulu veidā. izmanto propozicionālajā loģikā, nekā mēs to darām šīs nodarbības laikā, un darīsim to.

Loģiskās operācijas ar apgalvojumiem

Matemātiskiem apgalvojumiem vienmēr var izvēlēties starp divām dažādām alternatīvām "patiess" un "nepatiess", bet apgalvojumiem, kas izteikti "verbālajā" valodā, jēdzieni "patiess" un "nepatiess" ir nedaudz neskaidri. Taču, piemēram, tādas verbālās formas kā “Ej mājās” un “Vai līst?” nav izteikumi. Tāpēc ir skaidrs, ka izteikumi ir verbālas formas, kurās kaut kas tiek pateikts . Prasojoši vai izsaukuma teikumi, aicinājumi, kā arī vēlējumi vai prasības nav apgalvojumi. Tos nevar novērtēt pēc vērtībām "patiess" un "nepatiess".

No otras puses, priekšlikumus var uzskatīt par lielumu, kas var iegūt divas vērtības: "patiess" un "nepatiess".

Piemēram, tiek sniegti spriedumi: "suns ir dzīvnieks", "Parīze ir Itālijas galvaspilsēta", "3

Pirmais no šiem apgalvojumiem ir vērtējams ar simbolu "patiess", otrais - "nepatiess", trešais - "patiess", bet ceturtais - "nepatiess". Šāda priekšlikumu interpretācija ir propozicionālās algebras priekšmets. Izteikumus apzīmēsim ar lielajiem latīņu burtiem A, B, ... un to vērtības, tas ir, attiecīgi patiesas un nepatiesas Un un L. Parastā runā tiek izmantoti savienojumi starp apgalvojumiem "un", "vai" un citiem.

Šīs sakarības ļauj, apvienojot dažādus apgalvojumus, veidot jaunus apgalvojumus - sarežģīti apgalvojumi . Piemēram, ķekars "un". Ļaujiet sniegt apgalvojumus: π lielāks par 3" un paziņojums " π mazāk nekā 4. Jūs varat organizēt jaunu - sarežģītu paziņojumu " π vairāk nekā 3 un π mazāks par 4". Paziņojums "ja π tad neracionāli π ² ir arī iracionāls" tiek iegūts, sasaistot divus apgalvojumus ar saiti "ja - tad". Visbeidzot, mēs varam iegūt jaunu - sarežģītu apgalvojumu - no jebkura apgalvojuma, kas noliedz sākotnējo apgalvojumu.

Uzskatot priekšlikumus kā lielumus, kas iegūst vērtības Un un L, mēs definējam sīkāk loģiskās operācijas ar apgalvojumiem , kas ļauj no šiem apgalvojumiem iegūt jaunus - sarežģītus apgalvojumus.

Doti divi patvaļīgi apgalvojumi A un B.

1 . Pirmā loģiskā darbība ar šiem apgalvojumiem - konjunkcija - ir jauna paziņojuma veidošana, ko mēs apzīmēsim A ∧ B un kas ir taisnība tad un tikai tad A un B taisnība. Parastā runā šī darbība atbilst apgalvojumu savienošanai ar "un" ķekaru.

Patiesības tabula savienojumam:

2 . Otrā loģiskā operācija ar apgalvojumiem A un B- disjunkcija izteikta kā A ∨ B, ir definēts šādi: tā ir patiesa tad un tikai tad, ja vismaz viens no sākotnējiem apgalvojumiem ir patiess. Parastā runā šī darbība atbilst apgalvojumu savienošanai ar "vai" ķekaru. Tomēr šeit mums ir neatdalošs "vai", kas tiek saprasts "vai nu-vai" nozīmē, kad A un B abi nevar būt patiesi. Propozicionālās loģikas definīcijā A ∨ B patiess, ja patiess ir tikai viens no apgalvojumiem un abi apgalvojumi ir patiesi A un B.

Patiesības tabula disjunkcijai:

3 . Trešā loģiskā operācija ar apgalvojumiem A un B, izteikts kā A → B; iegūtais apgalvojums ir nepatiess tad un tikai tad A taisnība, un B viltus. A sauca paku , B - sekas , un paziņojums A → B - sekojošs , ko sauc arī par implikāciju. Parastā runā šī darbība atbilst saitei "ja - tad": "ja A, tad B Bet propozicionālās loģikas definīcijā šis apgalvojums vienmēr ir patiess, neatkarīgi no tā, vai priekšlikums ir patiess vai nepatiess B. Šo apstākli var īsi formulēt šādi: "no viltus izriet viss, kas jums patīk." Savukārt, ja A taisnība, un B nepatiess, tad viss apgalvojums A → B viltus. Tā būs taisnība tad un tikai tad A, un B taisnība. Īsumā to var formulēt šādi: "nepatiess nevar izrietēt no patiesā".

Patiesības tabula, kas jāievēro (implikācija):

4 . Ceturto loģisko darbību ar apgalvojumiem, precīzāk ar vienu apgalvojumu, sauc par apgalvojuma noliegšanu. A un apzīmē ar ~ A(var atrast arī nevis simbola ~, bet simbola ¬ lietojumu, kā arī pārslēgšanu A). ~ A ir apgalvojums, kas ir nepatiess, kad A patiesība un patiesība, kad A viltus.

Patiesības tabula noliegumam:

5 . Un, visbeidzot, piektā loģiskā darbība ar priekšlikumiem tiek saukta par ekvivalenci un tiek apzīmēta A ↔ B. Iegūtais paziņojums A ↔ B ir patiess apgalvojums tad un tikai tad A un B abas patiesas vai abas nepatiesas.

Patiesības tabula līdzvērtībai:

Lielākajai daļai programmēšanas valodu ir īpaši simboli apgalvojumu loģiskajām vērtībām, gandrīz visās valodās tie ir rakstīti kā patiesi (patiesi) un nepatiesi (nepatiesi).

Apkoposim iepriekš minēto. propozicionālā loģika pēta sakarības, kuras pilnībā nosaka veids, kādā daži apgalvojumi tiek veidoti no citiem, ko sauc par elementārajiem. Elementārie apgalvojumi tiek uzskatīti par veseliem, nav sadalāmi daļās.

Zemāk esošajā tabulā sistematizējam apgalvojumu loģisko darbību nosaukumus, apzīmējumus un nozīmi (drīz mums tie atkal būs nepieciešami piemēru risināšanai).

Jo loģiskās darbības ir patiesas loģikas algebras likumi, ko var izmantot Būla izteiksmju vienkāršošanai. Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka priekšlikumu loģikā tie ir abstrahēti no priekšlikuma semantiskā satura un aprobežojas ar to, ka tas ir vai nu patiess, vai nepatiess.

1. piemērs

1) (2 = 2) UN (7 = 7) ;

2) nē(15;

3) ("Pride" = "Ozols") VAI ("Ķirsis" = "kļava");

4) Not("Prie" = "Ozols") ;

5) (Nav(15 20) ;

6) ("Acis ir dotas redzēt") un ("Zem trešā stāva atrodas otrais stāvs");

7) (6/2 = 3) VAI (7*5 = 20) .

1) Izteikuma vērtība pirmajās iekavās ir "true", arī izteiksmes vērtība otrajās iekavās ir patiesa. Abus apgalvojumus savieno loģiskā darbība "UN" (sk. šīs darbības noteikumus iepriekš), tāpēc visa šī priekšraksta loģiskā vērtība ir "true".

2) Iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir "nepatiess". Pirms šī apgalvojuma ir loģiskās noliegšanas operācija, tāpēc visa šī apgalvojuma loģiskā vērtība ir "true".

3) Pirmajās iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir "nepatiess", otrajās iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir arī "nepatiesa". Paziņojumus savieno loģiskā darbība "OR" un nevienam no apgalvojumiem nav vērtības "true". Tāpēc visa šī apgalvojuma loģiskā nozīme ir "nepatiesa".

4) Iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir "nepatiess". Pirms šī paziņojuma tiek veikta loģiskās noliegšanas darbība. Tāpēc visa dotā apgalvojuma loģiskā nozīme ir "patiesa".

5) Pirmajās iekavās apgalvojums iekšējās iekavās ir noliegts. Šis apgalvojums iekavās tiek novērtēts kā "false", tāpēc tā noliegums tiks novērtēts ar loģisko vērtību "true". Paziņojumam otrajās iekavās ir vērtība "false". Šos divus apgalvojumus savieno loģiskā darbība "UN", tas ir, tiek iegūts "patiess UN nepatiess". Tāpēc visa dotā apgalvojuma loģiskā nozīme ir "nepatiesa".

6) Pirmajās iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir "patiess", otrajās iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir arī "patiesa". Šos divus apgalvojumus savieno loģiskā darbība "UN", tas ir, tiek iegūta "patiesa UN patiesība". Tāpēc visa dotā apgalvojuma loģiskā nozīme ir "patiesa".

7) Apgalvojuma nozīme pirmajās iekavās ir "patiess". Otrajās iekavās esošā apgalvojuma nozīme ir "nepatiess". Šos divus apgalvojumus savieno loģiskā darbība "OR", tas ir, tiek iegūts "patiess VAI nepatiess". Tāpēc visa dotā apgalvojuma loģiskā nozīme ir "patiesa".

2. piemērs Pierakstiet šādus sarežģītus paziņojumus, izmantojot loģiskās darbības:

1) "Lietotājs nav reģistrēts";

2) "Šodien ir svētdiena un daži darbinieki ir darbā";

3) "Lietotājs tiek reģistrēts tad un tikai tad, kad tiek atzīts, ka lietotāja nosūtītie dati ir derīgi."

1) lpp- viens paziņojums "Lietotājs ir reģistrēts", loģiskā darbība: ;

2) lpp- viens paziņojums "Šodien ir svētdiena", q- "Daži darbinieki ir darbā", loģiskā darbība: ;

3) lpp- viens paziņojums "Lietotājs ir reģistrēts", q- "Lietotāja nosūtītie dati ir derīgi", loģiskā darbība: .

Atrisiniet ierosinājumu loģikas piemērus pats un pēc tam apskatiet risinājumus

3. piemērs Aprēķiniet Būla vērtības šādiem apgalvojumiem:

1) ("Minūtē ir 70 sekundes") VAI ("Skrienošs pulkstenis rāda laiku");

2) (28 > 7) UN (300/5 = 60) ;

3) ("TV — elektroierīce") un ("Stikls — koks");

4) Nē ((300 > 100) VAI ("Slāpes var remdēt ar ūdeni"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

4. piemērs Pierakstiet šādus sarežģītus paziņojumus, izmantojot loģiskās darbības, un aprēķiniet to loģiskās vērtības:

1) "Ja pulkstenis nerāda pareizi laiku, tad uz nodarbību var nākt nelaikā";

2) "Spogulī var redzēt savu atspulgu un Parīzi - ASV galvaspilsētu";

5. piemērs Nosakiet Būla izteiksmi

(lpp → q) ↔ (r → s) ,

lpp = "278 > 5" ,

q= "Ābols = apelsīns",

lpp = "0 = 9" ,

s= "Cepure sedz galvu".

Propozīcijas loģikas formulas

koncepcija loģiskā forma komplekss apgalvojums tiek precizēts ar jēdziena palīdzību propozicionālās loģikas formulas .

1. un 2. piemērā mēs iemācījāmies rakstīt sarežģītus paziņojumus, izmantojot loģiskās darbības. Patiesībā tās sauc par propozicionālās loģikas formulām.

Lai apzīmētu paziņojumus, tāpat kā iepriekš minētajā piemērā, mēs turpināsim izmantot burtus

lpp, q, r, ..., lpp 1 , q 1 , r 1 , ...

Šie burti spēlēs mainīgo lomu, kas kā vērtības pieņem patiesības vērtības "true" un "false". Šos mainīgos sauc arī par propozicionālajiem mainīgajiem. Mēs turpmāk tos sauksim elementāras formulas vai atomi .

Propozīcijas loģikas formulu konstruēšanai papildus iepriekšminētajiem burtiem tiek izmantotas loģisko darbību zīmes

~, ∧, ∨, →, ↔,

kā arī simboli, kas nodrošina formulu nepārprotamas nolasīšanas iespēju - kreisās un labās iekavas.

koncepcija propozicionālās loģikas formulas definēt šādi:

1) elementārās formulas (atomi) ir propozicionālās loģikas formulas;

2) ja A un B- propozicionālās loģikas formulas, tad ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) ir arī propozicionālās loģikas formulas;

3) tikai tās izteiksmes ir propozicionālās loģikas formulas, kurām tas izriet no 1) un 2).

Propozicionālās loģikas formulas definīcija satur šo formulu veidošanas noteikumu uzskaitījumu. Saskaņā ar definīciju katra propozicionālās loģikas formula ir vai nu atoms, vai arī veidojas no atomiem 2. noteikuma secīgas piemērošanas rezultātā.

6. piemērsĻaujiet lpp- viens apgalvojums (atoms) "Visi racionālie skaitļi ir reāli", q- "Daži reālie skaitļi ir racionāli skaitļi", r- "daži racionāli skaitļi ir reāli". Tulkojiet verbālo priekšlikumu formā šādas propozicionālās loģikas formulas:

6) .

1) "nav reālu skaitļu, kas būtu racionāli";

2) "ja ne visi racionālie skaitļi ir reāli, tad nē racionālie skaitļi, kas ir derīgi”;

3) "ja visi racionālie skaitļi ir reāli, tad daži reālie skaitļi ir racionālie skaitļi un daži racionālie skaitļi ir reāli";

4) "visi reālie skaitļi ir racionālie skaitļi un daži reālie skaitļi ir racionālie skaitļi un daži racionālie skaitļi ir reāli skaitļi";

5) "visi racionālie skaitļi ir reāli tad un tikai tad, ja nav tā, ka ne visi racionālie skaitļi ir reāli";

6) "nav tā, ka nav tā, ka ne visi racionālie skaitļi ir reāli un nav reālu skaitļu, kas būtu racionāli, vai nav racionālu skaitļu, kas būtu reāli."

7. piemērs Izveidojiet propozicionālās loģikas formulas patiesības tabulu , ko tabulā var apzīmēt f .

Risinājums. Mēs sākam sastādīt patiesības tabulu, ierakstot vērtības ("patiesa" vai "nepatiesa") atsevišķiem apgalvojumiem (atomiem). lpp , q un r. Visas iespējamās vērtības ir ierakstītas astoņās tabulas rindās. Turklāt, nosakot implicēšanas darbības vērtības un pārejot pa labi tabulā, atcerieties, ka vērtība ir vienāda ar "false", kad "true" nozīmē "false".

Ņemiet vērā, ka nevienam atomam nav formas ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Tās ir sarežģītas formulas.

Iekavu skaitu propozicionālās loģikas formulās var samazināt, pieņemot, ka

1) kompleksā formulā mēs izlaidīsim ārējo iekavu pāri;

2) sakārtot loģisko operāciju zīmes "pēc darba stāža":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Šajā sarakstā zīmei ↔ ir vislielākais tvērums, bet zīmei ~ ir mazākais. Darbības zīmes tvērums tiek saprasts kā tās propozicionālās loģikas formulas daļas, kurām tiek attiecināts (darbojies) šīs zīmes izskatāmais gadījums. Tādējādi jebkurā formulā ir iespējams izlaist tos iekavu pārus, kurus var atjaunot, ņemot vērā "prioritātes secību". Un, atjaunojot iekavas, vispirms tiek liktas visas iekavas, kas attiecas uz visiem ~ zīmes gadījumiem (šajā gadījumā mēs virzāmies no kreisās puses uz labo), tad uz visiem zīmes ∧ gadījumiem utt.

8. piemērs Atjaunot iekavas priekšlikuma loģikas formulā B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Risinājums. Kronšteini tiek atjaunoti soli pa solim šādi:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Ne katru ierosinājumu loģikas formulu var uzrakstīt bez iekavām. Piemēram, formulās BET → (B → C) un ~( A → B) nav iespējama turpmāka iekavu dzēšana.

Tautoloģijas un pretrunas

Loģiskās tautoloģijas (vai vienkārši tautoloģijas) ir tādas propozicionālās loģikas formulas, ka, ja burti patvaļīgi tiek aizstāti ar priekšlikumiem (patiess vai nepatiess), tad rezultāts vienmēr būs patiess priekšlikums.

Tā kā sarežģītu apgalvojumu patiesums vai nepatiesums ir atkarīgs tikai no izteikumu nozīmes, nevis satura, katrs no tiem atbilst noteiktam burtam, tad pārbaudi, vai dotais apgalvojums ir tautoloģija, var aizstāt šādi. Pētītajā izteiksmē burti tiek aizstāti ar vērtībām 1 un 0 (attiecīgi "patiess" un "false"), un, izmantojot loģiskās darbības, tiek aprēķinātas izteiksmju loģiskās vērtības. Ja visas šīs vērtības ir vienādas ar 1, tad pētāmā izteiksme ir tautoloģija, un, ja vismaz viena aizstāšana dod 0, tad tā nav tautoloģija.

Tādējādi tiek saukta priekšlikuma loģikas formula, kas ņem vērtību "true" jebkuram šajā formulā iekļauto atomu vērtību sadalījumam identiski patiesa formula vai tautoloģija .

Pretēja nozīme ir loģiska pretruna. Ja visas priekšlikuma vērtības ir 0, tad izteiksme ir loģiska pretruna.

Tādējādi tiek saukta priekšlikuma loģikas formula, kas ņem vērtību "false" jebkuram šajā formulā iekļauto atomu vērtību sadalījumam. identiski nepatiesa formula vai pretruna .

Papildus tautoloģijām un loģiskajām pretrunām ir arī propozicionālās loģikas formulas, kas nav ne tautoloģijas, ne pretrunas.

9. piemērs Izveidojiet propozicionālās loģikas formulas patiesības tabulu un nosakiet, vai tā ir tautoloģija, pretruna vai nē.

Risinājums. Mēs izveidojam patiesības tabulu:

Implikācijas nozīmēs mēs nesaskaramies ar rindu, kurā "patiess" nozīmē "nepatiess". Visas sākotnējā paziņojuma vērtības ir vienādas ar "true". Sekojoši, dotā formula propozicionālā loģika ir tautoloģija.

Valodu praksē bieži tiek izmantoti nepatiesi un patiesi apgalvojumi. Pirmais novērtējums tiek uztverts kā patiesības (nepatiesības) noliegums. Reāli tiek izmantoti arī citi vērtēšanas veidi: nenoteiktība, nepierādāmība (pierādījamība), neatrisināmība. Strīdoties par to, par kādu skaitli x apgalvojums ir patiess, ir jāņem vērā loģikas likumi.

"Daudzvērtīgās loģikas" rašanās noveda pie neierobežota patiesības rādītāju izmantošanas. Situācija ar patiesības elementiem ir mulsinoša, sarežģīta, tāpēc ir svarīgi to noskaidrot.

Teorijas principi

Patiess apgalvojums ir īpašuma (iezīmes) vērtība, par to vienmēr tiek ņemta vērā noteikta darbība. Kas ir patiesība? Shēma ir šāda: "Priekšlikumam X ir patiesības vērtība Y gadījumā, ja priekšlikums Z ir patiess."

Apskatīsim piemēru. Jāsaprot, kuram no dotajiem apgalvojumiem ir patiess apgalvojums: "Objektam a ir zīme B". Šis apgalvojums ir nepatiess, jo objektam ir atribūts B, un nepatiess, jo a nav atribūta B. Termins "nepatiess" šajā gadījumā tiek izmantots kā ārējs noliegums.

Patiesības definīcija

Kā tiek noteikts patiess apgalvojums? Neatkarīgi no paziņojuma X struktūras ir atļauta tikai šāda definīcija: "Paziņojums X ir patiess, ja ir X, tikai X."

Šī definīcija ļauj valodā ieviest terminu "patiess". Tas definē vienošanos vai izteikuma pieņemšanu ar to, ko tas saka.

Vienkārši teicieni

Tie satur patiesu apgalvojumu bez definīcijas. Jūs varat ierobežot sevi, sakot “Not-X” kopīga definīcija ja šis apgalvojums nav patiess. Saiklis "X un Y" ir patiess, ja gan X, gan Y ir patiesi.

Sakot piemēru

Kā saprast, kuram x apgalvojums ir patiess? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mēs izmantojam izteicienu: "Daļiņa a atrodas telpas b reģionā". Apsveriet šādus gadījumus šim apgalvojumam:

• daļiņu nav iespējams novērot;
• var novērot daļiņu.

Otrā iespēja ietver dažas iespējas:

• daļiņa faktiski atrodas noteiktā telpas reģionā;
• tas neatrodas domājamajā telpas daļā;
• daļiņa pārvietojas tā, ka ir grūti noteikt tās atrašanās vietas laukumu.

Šajā gadījumā varat izmantot četrus patiesības vērtību terminus, kas atbilst dotajām iespējām.

Sarežģītām struktūrām ir lietderīgi izmantot vairāk terminu. Tas norāda, ka patiesības vērtības ir neierobežotas. Kādam skaitlim apgalvojums ir patiess, ir atkarīgs no praktiskā lietderības.

Neskaidrības princips

Saskaņā ar to jebkurš apgalvojums ir nepatiess vai patiess, tas ir, to raksturo viena no divām iespējamām patiesības vērtībām - “nepatiesa” un “patiesa”.

Šis princips ir klasiskās loģikas pamatā, ko sauc par divu vērtību teoriju. Neskaidrības principu izmantoja Aristotelis. Šis filozofs, strīdēdamies par to, kādam skaitlim x apgalvojums ir patiess, uzskatīja to par nepiemērotu tiem apgalvojumiem, kas attiecas uz nākotnes nejaušiem notikumiem.

Viņš izveidoja loģiskas attiecības starp fatālismu un neskaidrības principu, jebkuras cilvēka darbības predestināciju.

Turpmākajos vēstures laikmetos ierobežojumi, kas tika uzlikti šis princips, tika skaidroti ar to, ka tas būtiski apgrūtina apgalvojumu analīzi par plānotajiem notikumiem, kā arī par neesošiem (nevērojamiem) objektiem.

Domājot par to, kuri apgalvojumi ir patiesi, ar šo metodi ne vienmēr bija iespējams atrast viennozīmīgu atbildi.

Radušās šaubas par loģiskajām sistēmām tika kliedētas tikai pēc mūsdienu loģikas izstrādes.

Lai saprastu, kuram no dotajiem skaitļiem apgalvojums ir patiess, der divvērtību loģika.

Neskaidrības princips

Ja mēs pārformulēsim divu vērtību apgalvojuma versiju, lai atklātu patiesību, mēs varam to pārvērst īpašs gadījums polisēmija: jebkuram apgalvojumam būs viena n patiesības vērtība, ja n ir lielāks par 2 vai mazāks par bezgalību.

Daudzas loģiskās sistēmas, kuru pamatā ir neskaidrības princips, darbojas kā izņēmumi papildu patiesības vērtībām (virs "nepatiesa" un "patiesa"). Divu vērtību klasiskā loģika raksturo dažu loģisko zīmju tipiskos lietojumus: "vai", "un", "nē".

Daudzvērtīga loģika, kas apgalvo, ka tās padara konkrētus, nedrīkst būt pretrunā ar divu vērtību sistēmas rezultātiem.

Uzskats, ka neskaidrības princips vienmēr noved pie fatālisma un determinisma apgalvojuma, tiek uzskatīts par kļūdainu. Nepareizs ir arī uzskats, ka daudzkārtēja loģika tiek uzskatīta par nepieciešamu līdzekli indeterministiskas spriešanas veikšanai, ka tās pieņemšana atbilst stingrā determinisma lietošanas noraidīšanai.

Loģisko zīmju semantika

Lai saprastu, kādam skaitlim X apgalvojums ir patiess, varat bruņoties ar patiesības tabulām. Loģiskā semantika ir metaloģijas nozare, kas pēta saistību ar apzīmētajiem objektiem, to dažādu lingvistisko izteiksmju saturu.

Šī problēma tika aplūkota jau antīkajā pasaulē, taču pilnvērtīgas neatkarīgas disciplīnas veidā tā tika formulēta tikai 19.-20.gadsimta mijā. G. Freges, K. Pīrsa, R. Karnapa, S. Kripkes darbi ļāva atklāt šīs teorijas būtību, tās reālismu un lietderību.

Ilgu laiku semantiskā loģika galvenokārt balstījās uz formalizētu valodu analīzi. Tikai iekšā pēdējie laiki Lielākā daļa pētniecību sāka veltīt dabiskajai valodai.

Šajā metodoloģijā ir divas galvenās jomas:

• apzīmējumu teorija (atsauce);
• jēgas teorija.

Pirmais ir saistīts ar dažādu lingvistisko izteicienu saistību ar norādītajiem objektiem izpēti. Kā galvenās kategorijas var iedomāties: "apzīmējums", "nosaukums", "modelis", "interpretācija". Šī teorija ir mūsdienu loģikas pierādījumu pamats.

Nozīmes teorija ir saistīta ar atbildes atrašanu uz jautājumu par to, kāda ir valodas izteiksmes nozīme. Viņa izskaidro viņu identitāti ar nozīmi.

Nozīmes teorijai ir nozīmīga loma semantisko paradoksu diskusijās, kuru risināšanā par svarīgu un būtisku tiek uzskatīts jebkurš pieņemamības kritērijs.

Būla vienādojums

Šo terminu lieto metavalodā. Zem loģiskā vienādojuma varam attēlot ierakstu F1=F2, kurā F1 un F2 ir loģisko priekšlikumu paplašinātās valodas formulas. Atrisināt šādu vienādojumu nozīmē noteikt tās mainīgo patieso vērtību kopas, kas tiks iekļautas vienā no formulām F1 vai F2, saskaņā ar kurām tiks ievērota piedāvātā vienlīdzība.

Vienādības zīme matemātikā dažās situācijās norāda uz sākotnējo objektu vienlīdzību, un dažos gadījumos to izmanto, lai demonstrētu to vērtību vienlīdzību. Ieraksts F1=F2 var norādīt, ka runa ir par vienu un to pašu formulu.

Literatūrā diezgan bieži formālā loģika tiek saprasta kā sinonīms vārdam "loģisko priekšlikumu valoda". Kā " pareizie vārdi» ir formulas, kas kalpo kā semantiskās vienības, ko izmanto argumentācijas veidošanai neformālā (filozofiskā) loģikā.

Paziņojums darbojas kā teikums, kas izsaka konkrētu priekšlikumu. Citiem vārdiem sakot, tas pauž domu par noteikta lietu stāvokļa esamību.

Šis fakts kļuva par propozicionālās loģikas pamatu. Pastāv apgalvojumu iedalījums vienkāršās un sarežģītās grupās.

Formalizējot vienkāršus apgalvojumu variantus, tiek izmantotas nulles kārtas valodas elementārās formulas. Sarežģītu apgalvojumu apraksts ir iespējams, tikai izmantojot valodas formulas.

Loģiskie savienojumi ir nepieciešami, lai apzīmētu savienības. Ja tos piemēro, vienkārši apgalvojumi pārvēršas sarežģītos veidos:

• "nē",
• "Tā nav taisnība, ka..."
• "vai".

Secinājums

Formālā loģika palīdz noskaidrot, kuram vārdam apgalvojums ir patiess, ietver noteikumu konstruēšanu un analīzi noteiktu izteicienu pārveidošanai, kas saglabā savu patieso nozīmi neatkarīgi no satura. Kā atsevišķa filozofijas zinātnes sadaļa tā parādījās tikai deviņpadsmitā gadsimta beigās. Otrs virziens ir neformālā loģika.

Šīs zinātnes galvenais uzdevums ir sistematizēt noteikumus, kas ļauj iegūt jaunus apgalvojumus, pamatojoties uz pārbaudītiem apgalvojumiem.

Loģikas pamats ir iespēja iegūt dažas idejas kā citu apgalvojumu loģiskas sekas.

Šāds fakts ļauj adekvāti aprakstīt ne tikai noteiktu matemātikas zinātnes problēmu, bet arī pārnest loģiku uz māksliniecisko jaunradi.

Loģiskā izpēte paredz attiecības, kas pastāv starp premisām un no tām izdarītajiem secinājumiem.

To var attiecināt uz sākotnējo, fundamentālo mūsdienu loģikas jēdzienu skaitu, ko bieži sauc par zinātni par "no tā izriet".

Grūti iedomāties teorēmu pierādīšanu ģeometrijā bez šādas argumentācijas, skaidrošanas fiziskas parādības, ķīmijas reakciju mehānismu skaidrojums.