Какъв е продуктът на векторните координати. Вектори за манекени

Определение Подредена колекция от (x 1, x 2, ..., x n) n реални числа се нарича n-мерен вектори числата x i (i = ) - компоненти,или координати,

Пример. Ако например някои автомобилен заводтрябва да произведе 50 автомобила, 100 камиона, 10 автобуса, 50 комплекта резервни части за автомобили и 150 комплекта за камиони и автобуси на смяна, тогава производствена програматова растение може да бъде написано като вектор (50, 100, 10, 50, 150), който има пет компонента.

Нотация. Векторите се обозначават с удебелени малки букви или букви с лента или стрелка в горната част, напр. аили. Двата вектора се наричат равен, ако имат еднакъв брой компоненти и съответните им компоненти са равни.

Векторните компоненти не могат да се разменят, например (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции с вектори.Работата х= (x 1 , x 2 , ... ,x n) с реално числоλ наречен векторλ х= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Количествох= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и г= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарича вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Векторно пространство.н -дименсионално векторно пространство Р n се дефинира като набор от всички n-мерни вектори, за които са дефинирани операциите умножение с реални числа и събиране.

Икономическа илюстрация. Икономическа илюстрация на n-измерно векторно пространство: пространство на стоките (стоки). Под стокище разбираме някаква стока или услуга, която се продава в определено време на определено място. Да предположим, че има краен брой n налични стоки; количествата на всеки от тях, закупени от потребителя, се характеризират с набор от стоки

х= (x 1, x 2, ..., x n),

където x i означава количеството на i-тата стока, закупена от потребителя. Ще приемем, че всички стоки имат свойството на произволна делимост, така че всяко неотрицателно количество от всяка от тях може да бъде закупено. Тогава всички възможни набори от стоки са вектори на пространството за стоки C = ( х= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Линейна независимост. Система д 1 , д 2 , ... , д m n-мерни вектори се наричат линейно зависими, ако има такива числаλ 1 , λ 2 , ... , λ m , от които поне един е различен от нула, така че равенствотоλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ m д m = 0; в противен случай тази системавектори се нарича линейно независими, тоест посоченото равенство е възможно само в случай, когато всички . Геометричният смисъл на линейната зависимост на векторите в Р 3, интерпретирани като насочени отсечки, обясняват следните теореми.

Теорема 1. Система, състояща се от един вектор, е линейно зависима тогава и само ако този вектор е нула.

Теорема 2. За да са линейно зависими два вектора е необходимо и достатъчно те да са колинеарни (успоредни).

Теорема 3 . За да бъдат линейно зависими три вектора е необходимо и достатъчно те да са компланарни (да лежат в една равнина).

Лява и дясна тройка вектори. Тройка от некомпланарни вектори a, b, cНаречен точно, ако наблюдателят от общия им произход заобикаля краищата на векторите a, b, cв дадения ред изглежда се случва по посока на часовниковата стрелка. В противен случай a, b, c -остави три. Всички десни (или леви) тройки вектори се наричат същото ориентиран.

Основа и координати. Тройка д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектора в Р 3 се нарича база, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основен. Всеки вектор амогат да бъдат уникално разширени в базисни вектори, тоест представени във формата

А= x 1 д 1+x2 д 2 + х 3 д 3, (1.1)

се наричат ​​числата x 1 , x 2 , x 3 в разширението (1.1). координатиав основата д 1, д 2 , д 3 и са обозначени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Ако векторите д 1, д 2 , д 3 са по двойки перпендикулярни и дължината на всеки от тях е равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална, и координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоъгълен.Базисните вектори на ортонормална база ще бъдат означени с i, j, k.

Ще приемем, че в космоса Р 3 избрана е правилната система от декартови правоъгълни координати (0, i, j, k}.

Векторни произведения на изкуството. Векторни произведения на изкуството Акъм вектор bнаречен вектор ° С, което се определя от следните три условия:

1. Дължина на вектора ° Счислено равно на площта на успоредник, изграден върху вектори аИ б,т.е.
° С= |a||b|грях( а^b).

2. Вектор ° Сперпендикулярно на всеки от векторите аИ b.

3. Вектори а, bИ ° С, взети в посочения ред, образуват дясна тройка.

За кръстосано произведение ° Ссе въвежда обозначението c =[аб] или
c = a × b.

Ако векторите аИ bса колинеарни, тогава sin( a^b) = 0 и [ аб] = 0, по-специално, [ аа] = 0. Векторни произведения на единични вектори: [ ij]=к, [jk] = аз, [ki]=й.

Ако векторите аИ bпосочени в основата i, j, kкоординати а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), тогава

Смесена работа. Ако векторното произведение на два вектора АИ bскаларно умножено по третия вектор ° С,тогава такова произведение на три вектора се нарича смесена работаи се обозначава със символа а b c.

Ако векторите а, бИ ° Св основата i, j, kзададени от техните координати
а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), ° С(c 1, c 2, c 3), тогава

.

Смесеното произведение има проста геометрична интерпретация - то е скалар, равен по абсолютна стойност на обема на паралелепипед, построен върху три дадени вектора.

Ако векторите образуват дясна тройка, тогава тяхното смесено произведение е положително число, равно на посочения обем; ако е тройка а, б, в -наляво, тогава a b c<0 и V = - a b c, следователно V =|a b c|.

Приема се, че координатите на векторите, срещани в задачите от първа глава, са дадени спрямо дясна ортонормална основа. Единичен вектор, съпосочен с вектор а,обозначен със символа АО. Символ r=ОМозначени с радиус-вектора на точка M, символи a, AB или|а|, | AB|са означени модули на вектори АИ AB.

Пример 1.2. Намерете ъгъла между векторите а= 2м+4нИ b= м-н, Където мИ н-единични вектори и ъгъл между тях мИ нравен на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = аб/аб ab =(2м+4н) (м-н) = 2м 2 - 4н 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; а = ; а 2 = (2м+4н) (2м+4н) =
= 4м 2 +16мн+16н 2 = 4+16(-0,5)+16=12, което означава a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(м-н) = м 2 -2мн+н 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, което означава b = . Накрая имаме: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Пример 1.3.Познаване на векторите AB(-3, -2,6) и пр.н.е.(-2,4,4),изчислете дължината на надморската височина AD на триъгълник ABC.

Решение. Означавайки площта на триъгълника ABC с S, получаваме:
S = 1/2 пр.н.е. Тогава AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, което означава вектор A.C.има координати
. .

Пример 1.4 . Дадени са два вектора а(11,10,2) и b(4,0,3). Намерете единичния вектор ° С,ортогонални на вектори аИ bи насочен така, че подредената тройка вектори a, b, cбеше прав.

Решение.Нека означим координатите на вектора ° Спо отношение на дадена дясна ортонормална основа по отношение на x, y, z.

Тъй като ° С ⊥ а, в ⊥b, Че ок= 0,cb= 0. Съгласно условията на задачата се изисква c = 1 и a b c >0.

Имаме система от уравнения за намиране на x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

От първото и второто уравнение на системата получаваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Замествайки y и z в третото уравнение, имаме: x 2 = 36/125, откъдето
x =± . Използване на условието a b c > 0, получаваме неравенството

Като вземем предвид изразите за z и y, пренаписваме полученото неравенство във формата: 625/6 x > 0, което означава, че x>0. И така, x = , y = - , z =- .

Най-накрая се докопах до тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченили методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без чертежи изобщо, а освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно в практически план. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназия, ще имаш нужда първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и урокще окаже безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, и също Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Концепцията за вектор е удобно идентифицирана с движение физическо тяло: Съгласете се, влизането през вратите на института или излизането от вратите на института са съвсем различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. Защо? Очевидно този навик се е развил по практически причини, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. IN учебна литературапонякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модул ненулев векторсе нарича дължина на отсечката. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в процеса на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си вектор с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В края на краищата това не е просто остроумна рима, всичко е математически правилно - векторът може да бъде прикрепен и там. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

Така, безплатен вектор- Това няколко еднакви насочени сегменти. Определение за училищевектор, даден в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение на вектора. Наистина, един директен удар с еднаква сила по носа или челото, колкото да развия глупавия си пример, води до различни последствия. Въпреки това, несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

IN училищен курсгеометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да включите физически смисъл: нека някакво тяло пътува по вектор, а след това по вектор. Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначаване:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Какво е основа, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, повече подробна информацияможете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите.С прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, Където - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз Наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се начертават от началото, единият може да се начертае например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени! Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула; можете педантично да го напишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Пренаредете членовете и вижте на чертежа колко добре работи доброто старо събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор; следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единствения начин разширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се психически да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и дефиниции, така че препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат тази информацияотново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Бих искал да отбележа, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест или колоквиум по геометрия, тъй като внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научен стилпрезентация, но плюс към разбирането ви по темата. За да получите подробна теоретична информация, моля да се поклоните на проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

Отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че ако е необходимо, можем лесно да го отдалечим от друга точка в равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различен, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери за независимо решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точкикоето бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:

обръщам внимание на важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, беше напълно разделено, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

По време на решението различни задачикорените са често срещани, винаги се опитвайте да извличате фактори от корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правила за действия със степени в общ изгледможе да се намери в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори (незабавна връзка за тези, които имат нужда). Всичко е наред, понякога се случва, че за пълно щастие, в допълнение към скаларно произведение на вектори, изискват се все повече и повече. Това е векторна зависимост. Може да изглежда, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това е грешно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-сложен от същия скаларно произведение, дори типични задачище има по-малко. Основното в аналитичната геометрия, както мнозина ще се убедят или вече са се убедили, е ДА НЕ СЕ ГРЕШИ В ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно; Опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа

Какво ще ви направи щастливи веднага? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори с три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма да ви се налага да жонглирате, тъй като ще помислим само пространствени вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече е по-лесно!

Тази операция, подобно на скаларното произведение, включва два вектора. Нека това са нетленни букви.

Самото действие обозначен спо следния начин: . Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам векторното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.

И то веднага въпрос: ако в скаларно произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Очевидната разлика е преди всичко в РЕЗУЛТАТА:

Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:

Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Затворен клуб. Всъщност от тук идва и името на операцията. В различна образователна литература обозначенията също могат да варират; аз ще използвам буквата.

Дефиниция на кръстосано произведение

Първо ще има определение със снимка, след това коментари.

Определение: Векторен продукт неколинеарнивектори, взети в този ред, наречен ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на успоредника, изграден върху тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така, че основата да има правилна ориентация:

Нека разбием дефиницията част по част, тук има много интересни неща!

Така че могат да се подчертаят следните важни точки:

1) Оригиналните вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не е колинеарен. Ще бъде подходящо да разгледаме случая на колинеарни вектори малко по-късно.

2) Взети са вектори в строго определен ред: – "a" се умножава по "be", а не „бъди“ с „а“. Резултат от векторно умножениее ВЕКТОР, който е обозначен в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, се получава вектор с еднаква дължина и противоположна посока (цвят малина). Тоест равенството е вярно .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и, следователно, пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩТА на успоредника, изграден върху векторите. На фигурата този успоредник е оцветен в черно.

Забележка : чертежът е схематичен и, естествено, номиналната дължина на векторния продукт не е равна на площта на паралелограма.

Нека си припомним една от геометричните формули: Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на горното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторен продукт е валидна:

Подчертавам, че формулата е за ДЪЛЖИНАТА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е, че в проблемите на аналитичната геометрия площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Нека получим втората важна формула. Диагоналът на успоредник (червена пунктирана линия) го разделя на две равен триъгълник. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери с помощта на формулата:

4) Не по-малко важен факте, че векторът е ортогонален на векторите, т.е . Разбира се, противоположно насоченият вектор (малинова стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторът е насочен така, че базаТо има точноориентация. В урока за преход към нова основаГоворих достатъчно подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем какво е пространствена ориентация. Ще ти обясня на пръсти дясна ръка . Мислено комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстнатиснете го в дланта си. Като резултат палец – векторният продукт ще изглежда нагоре. Това е дясно ориентирана основа (това е тази на фигурата). Сега сменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места, в резултат на това палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може да имате въпрос: коя основа има лява ориентация? „Присвояване“ на същите пръсти лява ръкавектори и получаваме лявата основа и лявата ориентация на пространството (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „извиват” или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо пресилено или абстрактно - например ориентацията на пространството се променя от най-обикновеното огледало и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава в общия случай той няма да е възможно да го комбинирате с „оригинала“. Между другото, дръжте три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)

...колко е хубаво, че вече знаете за това дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои преподаватели за промяна на ориентацията са страшни =)

Кръстосано произведение на колинеарни вектори

Дефиницията беше обсъдена подробно, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такива, както казват математиците, изродениуспоредник е равен на нула. Същото следва и от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, ако , тогава . Строго погледнато, самото векторно произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че е просто равно на нула.

Специален случай– векторно произведение на вектор със себе си:

Използвайки векторния продукт, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.

За решаване на практически примери може да се нуждаете тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.

Е, нека запалим огъня:

Пример 1

а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако

б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако

Решение: Не, това не е печатна грешка, нарочно направих първоначалните данни в клаузите същите. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!

а) Според условието трябва да намерите дължинавектор (кръстосан продукт). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Ако сте били попитани за дължина, тогава в отговора посочваме измерението - единици.

б) Според условието трябва да намерите квадратуспоредник, изграден върху вектори. Площта на този паралелограм е числено равна на дължината на векторния продукт:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че отговорът изобщо не говори за векторния продукт, за който ни попитаха площ на фигурата, съответно размерът е квадратни единици.

Винаги гледаме КАКВО трябва да намерим според състоянието и на базата на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но има много буквалисти сред учителите и задачата има голям шанс да бъде върната за преработка. Въпреки че това не е особено пресилена гръмотевица - ако отговорът е грешен, тогава се създава впечатлението, че човекът не разбира елементарни неща и/или не е разбрал същината на задачата. Тази точка винаги трябва да се държи под контрол при решаването на всяка задача по висша математика, а и по други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип можеше да се прикачи допълнително към решението, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначение за едно и също нещо.

Популярен пример за решение „Направи си сам“:

Пример 2

Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Формулата за намиране на площта на триъгълник чрез векторния продукт е дадена в коментарите към дефиницията. Решението и отговорът са в края на урока.

На практика задачата е наистина много често срещана, триъгълниците като цяло могат да ви измъчват.

За решаване на други проблеми ще ни трябва:

Свойства на векторното произведение на векторите

Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:

1) В други източници на информация този елемент обикновено не е подчертан в свойствата, но е много важен от практическа гледна точка. Така че нека бъде.

2) – свойството също е разгледано по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.

3) – асоциативни или асоциативензакони за векторни продукти. Константите могат лесно да бъдат преместени извън векторния продукт. Наистина, какво да правят там?

4) – разпределение или разпределителензакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скобите.

За да демонстрираме, нека разгледаме кратък пример:

Пример 3

Намерете дали

Решение:Условието отново изисква намиране на дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра:

(1) Съгласно асоциативните закони, ние извеждаме константите извън обхвата на векторното произведение.

(2) Преместваме константата извън модула и модулът „изяжда“ знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Останалото е ясно.

Отговор:

Време е да добавите още дърва в огъня:

Пример 4

Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Решение: Намерете площта на триъгълника, като използвате формулата . Уловката е, че самите вектори „tse“ и „de“ са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери № 3 и 4 от урока Точково произведение на вектори. За по-голяма яснота ще разделим решението на три етапа:

1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност, нека изразим вектор чрез вектор. Все още няма дума за дължините!

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Използвайки законите за разпределение, отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми.

(3) Използвайки асоциативни закони, ние преместваме всички константи извън векторните продукти. С малко опит стъпки 2 и 3 могат да бъдат извършени едновременно.

(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради свойството nice. Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторен продукт:

(5) Представяме подобни условия.

В резултат на това векторът се оказа изразен чрез вектор, което е необходимо да се постигне:

2) Във втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на Пример 3:

3) Намерете площта на необходимия триъгълник:

Етапи 2-3 от решението можеха да бъдат записани в един ред.

Отговор:

Разглежданият проблем е доста често срещан в тестове, ето пример за независимо решение:

Пример 5

Намерете дали

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)

Напречно произведение на вектори в координати

Формулата е много проста: в горния ред на детерминанта записваме координатните вектори, във втория и третия ред „поставяме“ координатите на векторите и поставяме в строг ред– първо координатите на вектора „ve“, след това координатите на вектора „double-ve“. Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете трябва да бъдат разменени:

Пример 10

Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б)

Решение: Проверката се основава на едно от твърденията този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното векторно произведение е равно на нула (нулев вектор): .

а) Намерете векторното произведение:

Следователно векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторното произведение:

Отговор: а) не е колинеарен, б)

Тук може би е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.

Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, при които се използва смесеното произведение на вектори. Всъщност всичко ще зависи от определението, геометричен смисъли няколко работещи формули.

Смесено произведение от вектори е произведение от три вектора:

Така че те се наредиха като влак и нямат търпение да бъдат идентифицирани.

Първо, отново определение и снимка:

Определение: Смесена работа некомпланарнивектори, взети в този ред, Наречен обем на паралелепипед, изградени върху тези вектори, оборудвани със знак „+“, ако основата е дясна, и знак „–“, ако основата е лява.

Да направим чертежа. Невидимите за нас линии се рисуват с пунктирани линии:

Нека се потопим в определението:

2) Взети са вектори в определен ред, тоест пренареждането на векторите в продукта, както може би се досещате, не става без последствия.

3) Преди да коментирам геометричния смисъл, отбелязвам очевиден факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен; Свикнал съм да обозначавам смесен продукт с , а резултатът от изчисленията с буквата „pe“.

А-приори смесеният продукт е обемът на паралелепипеда, построен върху вектори (фигурата е начертана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на даден паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Нека не се тревожим отново за концепцията за ориентация на основата и пространството. Смисълът на последната част е, че към силата на звука може да се добави знак минус. С прости думи, смесен продукт може да бъде отрицателен: .

Директно от определението следва формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори.

Единичен вектор- Това вектор, чиято абсолютна стойност (модул) е равна на единица. За да обозначим единичен вектор, ще използваме долния индекс е. Така че, ако е даден вектор А, тогава неговият единичен вектор ще бъде векторът Ад. Този единичен вектор е насочен в същата посока като самия вектор Аи неговият модул е ​​равен на единица, тоест a e = 1.

очевидно, А= а Ад (а - векторен модул а). Това следва от правилото, по което се извършва операцията умножаване на скалар по вектор.

Единични векторичесто се свързва с координатните оси на координатна система (по-специално с осите на декартова координатна система). Посоките на тези векторисъвпадат с посоките на съответните оси и техните начала често се комбинират с началото на координатната система.

Нека ви го напомня Декартова координатна системав пространството традиционно се нарича трио от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в точка, наречена начало на координатите. Координатните оси обикновено се означават с буквите X, Y, Z и се наричат ​​съответно абсцисна ос, ординатна ос и апликативна ос. Самият Декарт използва само една ос, върху която са нанесени абсцисите. Достойнство за използване системиоси принадлежи на неговите ученици. Следователно фразата картезианска системакоординатиисторически погрешно. По-добре е да говорим правоъгълен координатна системаили ортогонална координатна система. Ние обаче няма да променим традициите и в бъдеще ще приемем, че декартовата и правоъгълната (ортогонална) координатна система са едно и също.

Единичен вектор, насочена по оста X, е означена аз, единичен вектор, насочена по оста Y, е означена й, А единичен вектор, насочена по оста Z, е означена к. Вектори аз, й, кса наречени orts(фиг. 12, вляво), те са с единични модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.

Брадви и единични вектори правоъгълна координатна системав някои случаи те имат различни имена и обозначения. По този начин абсцисната ос X може да се нарече допирателна ос, а нейният единичен вектор се обозначава τ (гръцка малка буква tau), ординатната ос е нормалната ос, нейният единичен вектор е означен н, приложимата ос е бинормална ос, нейният единичен вектор е означен b. Защо да променяме имената, ако същността остава същата?

Факт е, че например в механиката, когато се изучава движението на телата, правоъгълната координатна система се използва много често. Така че, ако самата координатна система е неподвижна и промяната в координатите на движещ се обект се проследява в тази неподвижна система, тогава обикновено осите се обозначават с X, Y, Z и техните единични векторисъответно аз, й, к.

Но често, когато обект се движи по някаква криволинейна траектория (например в кръг), е по-удобно да се разглеждат механичните процеси в координатната система, движеща се с този обект. Именно за такава подвижна координатна система се използват други имена на оси и техните единични вектори. Просто си е така. В този случай оста X е насочена тангенциално към траекторията в точката, в която този моменттози обект се намира. И тогава тази ос вече не се нарича ос X, а допирателна ос и нейният единичен вектор вече не се обозначава аз, А τ . Оста Y е насочена по радиуса на кривината на траекторията (при движение в кръг - към центъра на кръга). И тъй като радиусът е перпендикулярен на допирателната, оста се нарича нормална ос (перпендикуляр и нормал са едно и също нещо). Единичният вектор на тази ос вече не се означава й, А н. Третата ос (по-рано Z) е перпендикулярна на предходните две. Това е бинормал с орт b(Фиг. 12, вдясно). Между другото, в този случай такива правоъгълна координатна системачесто наричани "естествени" или естествени.