Еквипотенциални повърхности и силови линии на електростатичното поле. Еквипотенциални повърхности

Еквипотенциални повърхностиТова са повърхности, всяка от точките на които има еднакъв потенциал. Тоест на еквипотенциална повърхност електрическият потенциал има постоянна стойност. Такава повърхност е повърхността на проводниците, тъй като техният потенциал е еднакъв.

Нека си представим повърхност, за която потенциалната разлика ще бъде нула за две точки. Това ще бъде еквипотенциалната повърхност. Защото потенциалът на него е същият. Ако разгледаме еквипотенциална повърхност в двумерно пространство, да речем в чертеж, тогава тя ще има формата на линия. Работа на силите електрическо полеспоред движението на електрическия заряд по тази линия ще бъде равно на нула.

Едно от свойствата на еквипотенциалните повърхности е, че те винаги са перпендикулярни на силовите линии. Това свойство може да се формулира и обратно. Всяка повърхност, която е перпендикулярна във всички точки на линиите на електрическото поле, се нарича еквипотенциална.

Освен това такива повърхности никога не се пресичат една с друга. Тъй като това би означавало разлика в потенциала в рамките на една повърхност, което противоречи на определението. Освен това винаги са затворени. Повърхностите с еднакъв потенциал не могат да започнат и да стигнат до безкрайност, без да имат ясни граници.

По правило не е необходимо да се изобразяват цели повърхности в чертежите. По-често те изобразяват перпендикулярно сечение на еквипотенциални повърхности. Така те се израждат в линия. Това се оказва напълно достатъчно за оценка на разпределението на това поле. При графично изобразяване повърхностите се поставят на равни интервали. Тоест, между две съседни повърхности се наблюдава същата стъпка, да речем един волт. Тогава по плътността на линиите, образувани от напречното сечение на еквипотенциални повърхности, може да се прецени силата на електрическото поле.

Например, разгледайте полето, създадено от точков електрически заряд. Силовите линии на такова поле са радиални. Тоест те започват от центъра на заряда и сочат към безкрайност, ако зарядът е положителен. Или насочен към заряда, ако е отрицателен. Еквипотенциалните повърхности на такова поле ще имат формата на сфери, центрирани върху заряда и отклоняващи се от него. Ако изобразим двумерно сечение, тогава еквипотенциалните линии ще бъдат под формата на концентрични кръгове, чийто център също е разположен в заряда.

Фигура 1 - еквипотенциални линии на точков заряд

За еднородно поле, като например полето между плочите на електрически кондензатор, повърхностите с еднакъв потенциал ще имат формата на равнини. Тези равнини са разположени успоредно една на друга на същото разстояние. Вярно е, че в краищата на плочите картината на полето ще бъде изкривена поради ефекта на ръба. Но ще си представим, че плочите са безкрайно дълги.

Фигура 2 - еквипотенциални линииеднородно поле

За да се изобразят еквипотенциални линии за поле, създадено от два заряда с еднаква величина и противоположни по знак, не е достатъчно да се приложи принципът на суперпозицията. Тъй като в този случай, когато се наслагват две изображения на точкови заряди, ще има точки на пресичане на линиите на полето. Но това не може да бъде, тъй като полето не може да бъде насочено в две различни посоки едновременно. В този случай проблемът трябва да се реши аналитично.

Фигура 3 - Изображение на поле от две електрически заряди

> Еквипотенциални линии

Характеристики и свойства еквипотенциални повърхностни линии: състояние на електрическия потенциал на полето, статично равновесие, формула за точков заряд.

Еквипотенциални линииполетата са едномерни области, където електрическият потенциал остава непроменен.

Учебна цел

• Характеризирайте формата на еквипотенциалните линии за няколко конфигурации на заряда.

Главни точки

• За конкретен изолиран точков заряд потенциалът се основава на радиалното разстояние. Следователно еквипотенциалните линии изглеждат кръгли.
• Ако няколко дискретни заряда влязат в контакт, техните полета се пресичат и проявяват потенциал. В резултат на това еквипотенциалните линии се изкривяват.
• Когато зарядите се разпределят между две проводящи плочи в статичен баланс, еквипотенциалните линии са по същество прави.

Условия

• Еквипотенциал - участък, където всяка точка има еднакъв потенциал.
• Статичен баланс – физическо състояние, където всички компоненти са в покой и общата сила е равна на нула.

Еквипотенциалните линии представляват едномерни области, където електрическият потенциал остава непроменен. Тоест, за такъв заряд (без значение къде се намира на еквипотенциалната линия) не е необходимо да се извършва работа, за да се премести от една точка в друга в рамките на определена линия.

Линиите на еквипотенциалната повърхност могат да бъдат прави, криви или неправилни. Всичко това се основава на разпределението на таксите. Те са разположени радиално около зареденото тяло, така че остават перпендикулярни на силовите линии на електрическото поле.

Едноточково зареждане

За едноточков заряд потенциалната формула е:

Тук има радиална зависимост, тоест, независимо от разстоянието до точковия заряд, потенциалът остава непроменен. Следователно, еквипотенциалните линии вземат кръгла формас точков заряд в центъра.

Изолиран точков заряд с линии на електрическо поле (синьо) и еквипотенциални линии (зелено)

Множество такси

Ако няколко дискретни заряда са в контакт, тогава виждаме как техните полета се припокриват. Това припокриване причинява потенциала за комбиниране и еквипотенциалните линии да се изкривят.

Ако има няколко заряда, тогава еквипотенциалните линии се образуват неправилно. В точката между зарядите управлението може да усети ефектите и на двата заряда.

Непрекъснато зареждане

Ако зарядите са разположени върху две проводящи пластини при условия на статичен баланс, където зарядите не са прекъснати и са в права линия, тогава еквипотенциалните линии са изправени. Факт е, че непрекъснатостта на таксите предизвиква непрекъснати действия във всяка точка.

Ако зарядите са начертани в една линия и не са прекъснати, тогава еквипотенциалните линии отиват точно пред тях. Като изключение можем да си спомним само завоя близо до ръбовете на проводимите плочи

Непрекъснатостта се нарушава по-близо до краищата на плочите, поради което се създава кривина в тези области - ефектът на ръба.

За визуално представяне на векторни полета се използва картина на полеви линии. Силовата линия е въображаема математика крива в пространството, посоката на допирателната към която при всяка точката, през която минава, съвпада с посоката на вектора полета в една и съща точка(фиг. 1.17).
Ориз. 1.17:
Условието за успоредност на вектора E → и допирателната може да се запише като равенство на нула векторен продукт E → и дъгов елемент d r → силова линия:

Еквипотенциалът е повърхността, върху която за които електрическият потенциал е постояненϕ. В полето на точков заряд, както е показано на фиг. , сферичните повърхности с центрове на мястото на заряда са еквипотенциални; това може да се види от уравнението ϕ = q ∕ r = const.

Анализирайки геометрията на линиите на електрическото поле и еквипотенциалните повърхности, можем да посочим число общи свойствагеометрията на електростатичното поле.

първо, електропроводизапочнете с такси. Те или отиват до безкрайност, или завършват с други заряди, както на фиг. .

Второ, в потенциално поле линиите на полето не могат да бъдат затворени. В противен случай би било възможно да се определи такава затворена верига, че работата на електрическото поле при движение на заряд по тази верига да не е равна на нула.

Трето, силовите линии пресичат всеки еквипотенциал, нормален към него. Наистина ли, електрическо поленавсякъде е насочен към бързо намаляване на потенциала, а на еквипотенциалната повърхност потенциалът е постоянен по дефиниция (фиг. ).
Ориз. 1.20:
И накрая, линиите на полето не се пресичат никъде освен в точки, където E → = 0. Пресичането на полеви линии означава, че полето в пресечната точка е двусмислена функция на координатите и векторът E → няма определена посока. Единственият вектор, който има това свойство, е нулевият вектор. Структурата на електрическото поле в близост до нулевата точка ще бъде анализирана в задачи за ?? .

Методът на полевата линия е, разбира се, приложим за графично представяне на всякакви векторни полета. И така, в главата ?? ще се запознаем с концепцията за магнитните силови линии. Геометрията обаче магнитно поленапълно различна от геометрията на електрическото поле.

Ориз. 1.21:
Идеята за силови линии е тясно свързана с концепцията за силова тръба. Да вземем произволен затворен контур L и да начертаем електрическа силова линия през всяка точка от него (фиг. ). Тези линии образуват захранващата тръба. Нека разгледаме произволен участък от тръбата с повърхност S. Начертаваме положителната нормала в същата посока, в която са насочени силовите линии. Нека N е потокът на вектора E → през сечението S. Лесно се вижда, че ако вътре в тръбата няма електрически заряди, тогава потокът N остава същият по цялата дължина на тръбата. За да го докажем, трябва да вземем друго напречно сечение S ′. Според теоремата на Гаус, потокът на електрическото поле през затворена повърхност, ограничена от страничната повърхност на тръбата и секциите S, S′, е равен на нула, тъй като вътре в силовата тръба няма електрически заряди. Тече през странична повърхносте равно на нула, тъй като векторът E → докосва тази повърхност. Следователно потокът през сечението S ′ е числено равен на N, но противоположен по знак. Външната нормала към затворената повърхност на това сечение е насочена срещу n →. Ако нормалата е насочена в една и съща посока, тогава потоците през сеченията S и S ′ ще съвпадат както по големина, така и по знак. По-специално, ако тръбата е безкрайно тънка и сеченията S и S ′ са нормални към нея, тогава

E S = E ′ S ′ .

Резултатът е пълна аналогия с потока на несвиваем флуид. В онези места, където тръбата е по-тънка, полето E → е по-силно. В онези места, където е по-широко, полето E → е по-силно. Следователно, плътността на линиите на полето може да се използва, за да се прецени силата на електрическото поле.

Преди изобретяването на компютрите, за експериментално възпроизвеждане на силовите линии се вземаше стъклен съд с плоско дъно и в него се наливаше непроводима течност, като рициново масло или глицерин. Прахообразни кристали от гипс, азбест или други продълговати частици бяха равномерно разбъркани в течността. Метални електроди бяха потопени в течността. Когато са свързани към източници на електричество, електродите възбуждат електрическо поле. В това поле частиците се наелектризират и, привлечени една към друга от срещуположно наелектризирани краища, се подреждат във вид на вериги по силовите линии. Картината на линиите на полето се изкривява от потоци течност, причинени от сили, действащи върху нея в нееднородно електрическо поле.

Предстои да бъде свършено още
Ориз. 1.22:
Най-добри резултати се получават от метода, използван от Robert W. Pohl (1884-1976). Електродите Staniol се залепват върху стъклена плоча, между които се създава електрическо напрежение. След това с леко потупване върху плочата се изсипват продълговати частици, например кристали от гипс. Те са разположени по протежение на силовите линии. На фиг. ?? Изобразена е така получената картина на силови линии между два противоположно заредени кръга от станиол.

▸ Задача 9.1

Запишете уравнението на силовите линии в произволен ортогоналкоординати

▸ Задача 9.2

Запишете уравнението на силови линии в сферични координати.

Електростатичното поле може да се характеризира с набор от силови и еквипотенциални линии.

електропровод - това е линия, начертана мислено в полето, започваща от положително заредено тяло и завършваща с отрицателно заредено тяло, начертана по такъв начин, че допирателната към нея във всяка точка на полето дава посоката на напрежението в тази точка .

Силовите линии се затварят при положителни и отрицателни заряди и не могат да се затворят сами.

Под еквипотенциална повърхност разберете набор от полеви точки, които имат същия потенциал ().

Ако изрежете електростатичното поле със секуща равнина, тогава в сечението ще се виждат следи от пресичането на равнината с еквипотенциални повърхности. Тези следи се наричат ​​еквипотенциални линии.

Еквипотенциалните линии са затворени сами по себе си.

Линиите на полето и еквипотенциалните линии се пресичат под прав ъгъл.

Р
Нека да разгледаме еквипотенциалната повърхност:

(тъй като точките лежат на еквипотенциална повърхност).

- скаларно произведение

Линиите на напрегнатост на електростатичното поле проникват през еквипотенциалната повърхност под ъгъл от 90 0, след това ъгълът между векторите
е равно на 90 градуса, а тяхното скаларно произведение е равно на 0.

Уравнение на еквипотенциалната линия

Помислете за силовата линия:

н
интензитетът на електростатичното поле е насочен тангенциално към силовата линия (вижте определението за силова линия), а елементът на пътя също е насочен , така че ъгълът между тези два вектора е нула.

или

Уравнение на полевата линия

Потенциален градиент

Потенциален градиент е скоростта на нарастване на потенциала в най-късата посока между две точки.

Има някаква потенциална разлика между две точки. Ако тази разлика се раздели на най-късото разстояние между взетите точки, тогава получената стойност ще характеризира скоростта на промяна на потенциала в посока на най-късото разстояние между точките.

Градиентът на потенциала показва посоката на най-голямото увеличение на потенциала, числено е равен на модула на напрежението и е отрицателно насочен спрямо него.

При определянето на градиента са съществени две разпоредби:

Посоката, в която се вземат две близки точки, трябва да бъде такава, че скоростта на промяна да е максимална.

Посоката е такава скаларна функциясе увеличава в тази посока.

За декартова координатна система:

Скорост на промяна на потенциала по посока на оста X, Y, Z:

;
;

Два вектора са равни само ако техните проекции са равни една на друга. Проекция на вектора на опън върху оста хравна на проекцията на скоростта на изменение на потенциала по оста х, взети с обратен знак. Същото и за брадвите YИ З.

;
;
.

В цилиндрична координатна система изразът за потенциалния градиент ще има следния вид.

Връзката между напрежение и потенциал.

За потенциално поле, между потенциалната (консервативна) сила и потенциална енергияима връзка

където ("nabla") е хамилтоновият оператор.

Тъй като Че

Знакът минус показва, че вектор Е е насочен към намаляващ потенциал.

За графично представяне на разпределението на потенциала се използват еквипотенциални повърхности - повърхности, във всички точки на които потенциалът има една и съща стойност.

Еквипотенциалните повърхности обикновено се чертаят така, че потенциалните разлики между две съседни еквипотенциални повърхности да са еднакви. Тогава плътността на еквипотенциалните повърхности ясно характеризира силата на полето в различни точки. Когато тези повърхности са по-плътни, силата на полето е по-голяма. На фигурата пунктираните линии показват силовите линии, плътните линии показват участъци от еквипотенциални повърхности за: положителен точков заряд (a), дипол (b), два заряда със същото име (c), зареден метал диригент сложна конфигурация(G).

За точков заряд потенциалът следователно еквипотенциалните повърхности са концентрични сфери. От друга страна, линиите на напрежение са радиални прави линии. Следователно линиите на опън са перпендикулярни на еквипотенциалните повърхности.

Може да се покаже, че във всички случаи векторът E е перпендикулярен на еквипотенциалните повърхности и винаги е насочен в посока на намаляване на потенциала.

Примери за изчисления на най-важните симетрични електростатични полета във вакуум.

1. Електростатично поле на електрически дипол във вакуум.

Електрически дипол (или двоен електрически полюс) е система от два еднакви по големина противоположни точкови заряда (+q,-q), разстоянието l между които е значително по-малко от разстоянието до разглежданите точки на полето (l<< r).

Рамото на дипола l е вектор, насочен по оста на дипола от отрицателния към положителния заряд и равен на разстоянието между тях.

Електричният момент на дипола re е вектор, съвпадащ по посока с рамото на дипола и равен на произведението на модула на заряда |q| на рамото аз:

Нека r е разстоянието до точка А от средата на оста на дипола. Тогава, предвид това

2) Напрегнатост на полето в точка В на перпендикуляра, възстановен към оста на дипола от центъра му при

Точка B е на еднакво разстояние от +q и -q зарядите на дипола, така че потенциалът на полето в точка B е нула. Векторът Ёв е насочен срещуположно на вектора l.

3) Във външно електрическо поле върху краищата на дипола действа двойка сили, която се стреми да завърти дипола по такъв начин, че електрическият момент re на дипола да се завърти по посока на полето E (фиг. ( а)).

Във външно равномерно поле моментът на двойка сили е равен на M = qElsin a или Във външно нехомогенно поле (фиг. (c)) силите, действащи върху краищата на дипола, не са идентични и техният резултат се стреми да премести дипола в област на поле с по-висок интензитет - диполът се изтегля в област с по-силно поле.

2. Поле на равномерно заредена безкрайна равнина.

Безкрайна равнина е заредена с постоянна повърхностна плътност Линиите на напрежение са перпендикулярни на разглежданата равнина и насочени от нея в двете посоки.

Като гаусова повърхност приемаме повърхността на цилиндър, чиито образуващи са перпендикулярни на заредената равнина, а основите са успоредни на заредената равнина и лежат от противоположните й страни на равни разстояния.

Тъй като генераторите на цилиндъра са успоредни на линиите на напрежение, потокът на вектора на напрежение през страничната повърхност на цилиндъра е нула, а общият поток през цилиндъра е равен на сумата от потоците през неговите основи 2ES. Зарядът, съдържащ се в цилиндъра, е равен на. По теоремата на Гаус където:

E не зависи от дължината на цилиндъра, т.е. Силата на полето на всяко разстояние е еднаква по големина. Такова поле се нарича хомогенно.

Потенциалната разлика между точките, разположени на разстояния x1 и x2 от равнината, е равна на

3. Полето на две безкрайни успоредни противоположно заредени равнини с еднаква по абсолютна стойност повърхностна плътност на заряда σ>0 и - σ.

От предишния пример следва, че векторите на напрежение E 1 и E 2 на първата и втората равнина са равни по големина и навсякъде са насочени перпендикулярно на равнините. Следователно в пространството извън равнините те взаимно се компенсират, а в пространството между равнините общото напрежение . Следователно между самолетите

(в диелектрик.).

Полето между равнините е еднородно. Потенциална разлика между равнините.
(в диелектрик ).

4.Поле на равномерно заредена сферична повърхност.

Сферична повърхност с радиус R с общ заряд q е заредена равномерно с повърхностна плътност

Тъй като системата от заряди и следователно самото поле е централно симетрично спрямо центъра на сферата, линиите на напрежение са насочени радиално.

Като гаусова повърхност избираме сфера с радиус r, която има общ център със заредената сфера. Ако r>R, тогава целият заряд q попада вътре в повърхността. По теоремата на Гаус, откъдето

На r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Потенциална разлика между две точки, разположени на разстояния r 1 и r 2 от центъра на сферата

(r1 >R,r2 >R), е равно на

Извън заредената сфера полето е същото като полето на точков заряд q, разположен в центъра на сферата. Вътре в заредената сфера няма поле, така че потенциалът е еднакъв навсякъде и същият като на повърхността