Формула за косинуса на ъгъла между ненулевите вектори. Как да изчислим ъглите между векторите

Ъгъл между два вектора , :

Ако ъгълът между два вектора е остър, тогава техният скаларно произведениеположително; ако ъгълът между векторите е тъп, тогава скаларното произведение на тези вектори е отрицателно. Скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула тогава и само ако тези вектори са ортогонални.

Упражнение.Намерете ъгъла между векторите и

Решение.Косинус на желания ъгъл

16. Изчисляване на ъгъл между прави, права и равнина

Ъгъл между права и равнина, пресичаща тази права, а не перпендикулярна на нея, е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина.

Определянето на ъгъла между права и равнина ни позволява да заключим, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между две пресичащи се линии: самата права и нейната проекция върху равнината. Следователно ъгълът между права линия и равнина е остър ъгъл.

Ъгълът между перпендикулярна права линия и равнина се счита за равен на , а ъгълът между успоредна права линия и равнина или изобщо не се определя, или се счита за равен на .

§ 69. Изчисляване на ъгъла между прави линии.

Задачата за изчисляване на ъгъла между две прави линии в пространството се решава по същия начин, както на равнина (§ 32). Нека означим с φ големината на ъгъла между линиите л 1 и л 2, а през ψ - големината на ъгъла между насочващите вектори А И b тези прави линии.

Тогава ако

ψ 90° (фиг. 206.6), тогава φ = 180° - ψ. Очевидно и в двата случая е вярно равенството cos φ = |cos ψ|. По формула (1) § 20 имаме

следователно,

Нека линиите са дадени от техните канонични уравнения

Тогава ъгълът φ между линиите се определя с помощта на формулата

Ако една от линиите (или и двете) е дадена от неканонични уравнения, тогава за да изчислите ъгъла, трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и след това да използвате формула (1).

17. Успоредни прави, Теореми за успоредни прави

Определение.Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки.

Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Ъгълът между два вектора.

От определението за точков продукт:

.

Условие за ортогоналност на два вектора:

Условие за колинеарност на два вектора:

.

Следва от Определение 5 - . Наистина, от дефиницията на произведението на вектор и число следва. Следователно, въз основа на правилото за равенство на векторите, ние пишем , , , което предполага . Но векторът, получен от умножаването на вектора по числото, е колинеарен на вектора.

Проекция на вектор върху вектор:

.

Пример 4. Дадени точки , , , .

Намерете точковия продукт.

Решение. намираме с помощта на формулата за скаларното произведение на вектори, зададени от техните координати. Тъй като

, ,

Пример 5.Дадени точки , , , .

Намерете проекция.

Решение. Тъй като

, ,

Въз основа на проекционната формула имаме

.

Пример 6.Дадени точки , , , .

Намерете ъгъла между векторите и .

Решение. Обърнете внимание, че векторите

, ,

не са колинеарни, защото техните координати не са пропорционални:

.

Тези вектори също не са перпендикулярни, тъй като тяхното скаларно произведение е .

Да намерим

Ъгъл намираме от формулата:

.

Пример 7.Определете при какви вектори и колинеарен.

Решение. В случай на колинеарност, съответните координати на векторите и трябва да бъде пропорционален, т.е.

.

Следователно и.

Пример 8. Определете при каква стойност на вектора И перпендикулярен.

Решение. вектор и са перпендикулярни, ако тяхното скаларно произведение е нула. От това условие получаваме: . Това е, .

Пример 9. намирам , Ако , , .

Решение. Поради свойствата на скаларното произведение имаме:

Пример 10. Намерете ъгъла между векторите и , където и - единични вектори и ъгълът между векторите и е равен на 120°.

Решение. Ние имаме: , ,

Накрая имаме: .

5 Б. Векторни произведения на изкуството.

Определение 21.Векторни произведения на изкуствотовектор по вектор се нарича вектор, или дефиниран от следните три условия:

1) Модулът на вектора е равен на , където е ъгълът между векторите и , т.е. .

От това следва, че модулът на векторното произведение е числено равна на площуспоредник, построен върху вектори и двете страни.

2) Векторът е перпендикулярен на всеки от векторите и ( ; ), т.е. перпендикулярна на равнината на успоредник, построен върху векторите и .

3) Векторът е насочен по такъв начин, че ако се гледа от края му, най-краткият завой от вектор към вектор би бил обратно на часовниковата стрелка (векторите , , образуват дясна тройка).

Как да изчислим ъглите между векторите?

При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледаме ъглите между векторите, е необходимо да се запознаем с определението за вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите с количеството, с което един от векторите трябва да се премести около общата точка, докато посоките им съвпаднат.

Формула за решение

След като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. Според дефиницията той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се изчислява като сумата от съответните координати на факторните вектори, умножени един по друг. Дължината на вектора или неговият модул се изчислява като Корен квадратенот сумата на квадратите на неговите координати.

След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решаването на съответния проблем ще стане лесно и ясно. Като пример си струва да разгледаме простия проблем за намиране на стойността на ъгъл.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на векторните дължини и техния скаларен продукт, необходими за решението. Използвайки описанието, представено по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак:

За да запазите точността, крайният отговор може да бъде оставен такъв, какъвто е, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, това ще бъде желаният. Въпреки че във вектора има трета координата, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите; арккосинусът на тяхното частно ще бъде отговорът на тази задача.

В геометрията често има проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл е равен на 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След получаване на стойността на ъгъла от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. Ако се получат 180 градуса, векторите ще бъдат противоположно насочени.

Специфични вектори

След като намерите ъглите между векторите, можете да намерите един от специалните типове, в допълнение към съпосочените и противоположните, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​копланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, т.е. началото и краят му съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е единица, тогава единица.

Как да намерим ъгъла между векторите?

помогнете ми моля! Знам формулата, но не мога да я изчисля ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александър Титов

Ъгълът между векторите, определени от техните координати, се намира с помощта на стандартен алгоритъм. Първо трябва да намерите скаларното произведение на векторите a и b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Заменяме координатите на тези вектори тук и изчисляваме:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
След това определяме дължините на всеки вектор. Дължината или модулът на вектор е корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати:
|а| = корен от (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корен от (8^2 + 10^2 + 4^2) = корен от (64 + 100 + 16) = корен от 180 = 6 корен от 5
|b| = корен от (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корен от (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корен от (25 + 400 + 100) = корен от 525 = 5 корен от 21.
Умножаваме тези дължини. Получаваме 30 корена от 105.
И накрая, разделяме скаларното произведение на векторите на произведението на дължините на тези вектори. Получаваме -200/(30 корен от 105) или
- (4 корен от 105) / 63. Това е косинусът на ъгъла между векторите. А самият ъгъл е равен на арккосинуса на това число
f = arccos (-4 корен от 105) / 63.
Ако сметна всичко правилно.

Как да изчислим синуса на ъгъла между векторите, като използваме координатите на векторите

Михаил Ткачев

Нека умножим тези вектори. Тяхното скаларно произведение е равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях.
Ъгълът ни е неизвестен, но координатите са известни.
Нека го запишем математически по този начин.
Нека са дадени векторите a(x1;y1) и b(x2;y2).
Тогава

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Нека да говорим.
a*b-скаларно произведение на вектори е равно на сумата от произведенията на съответните координати на координатите на тези вектори, т.е. равно на x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-произведението на векторни дължини е равно на √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Това означава, че косинусът на ъгъла между векторите е равен на:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Като знаем косинуса на даден ъгъл, можем да изчислим неговия синус. Нека обсъдим как да направим това:

Ако косинусът на даден ъгъл е положителен, тогава този ъгъл лежи в 1 или 4 квадранта, което означава, че неговият синус е положителен или отрицателен. Но тъй като ъгълът между векторите е по-малък или равен на 180 градуса, тогава неговият синус е положителен. Разсъждаваме по подобен начин, ако косинусът е отрицателен.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Това е)))) Успех в разгадаването)))

Дмитрий Левищев

Фактът, че е невъзможно директно синусиране, не е вярно.
В допълнение към формулата:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Има и този:
||=|a|*|b|*sin A
Тоест, вместо скаларното произведение, можете да вземете модула на векторното произведение.

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениРазгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да сте запознати с термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за векторите и можете да решавате основни проблеми. Този уроке логично продължение на темата, като върху нея ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА дейност.. Опитайте се да не пропускате примерите; те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да станете по-добри в решаването на често срещани проблеми в аналитичната геометрия.

Събиране на вектори, умножение на вектор с число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече обсъдените действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори. Скаларното произведение на векторите ни е познато от училище, другите два продукта традиционно принадлежат към курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е ясен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО НАВЕДНЪЖ. Това важи особено за манекените; повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материали избирателно, в известен смисъл, да „получат“ липсващите знания; за вас аз ще бъда безвреден граф Дракула =)

Нека най-накрая отворим вратата и да гледаме с ентусиазъм какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече подробности. Нека разгледаме свободни ненулеви вектори и . Ако начертаете тези вектори от произволна точка, ще получите картина, която мнозина вече са си представили мислено:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от стриктна дефиниция на ъгъла между векторите, вижте учебника; за практически задачи по принцип не ни е от полза. Също така ТУК И ТУК ще игнорирам нулевите вектори на места поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои последващи твърдения.

В литературата символът за ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Сега това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто.

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Векторът се умножава по вектор и резултатът е число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъл е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще е необходимо в почти всички секции на кулата и ще е необходимо много пъти.

От чисто математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в този случай е просто число и това е. От гледна точка на физичните проблеми, скаларното произведение винаги има определено физически смисъл, тоест след резултата трябва да посочите едно или друго физическа единица. Каноничен пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно скаларен продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например, .

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е равен на .

Това е пример за независимо решение, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказва положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека да разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За да разберете по-добре информацията по-долу, е по-добре да проучите косинусната графика в ръководството Функционални графики и свойства. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , И точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларният продукт също ще бъде положителен. Тъй като , формулата опростява: .

2) Ако ъгълмежду вектори тъп: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако вектори противоположни посоки, тогава се разглежда ъгълът между тях разширена: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са съпосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са в противоположни посоки.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса), тогава скаларното произведение е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Твърдението може да се формулира компактно по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако векторите са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : Да повторим основи на математическата логика: Двустранна икона за логическо следствие обикновено се чете "ако и само ако", "ако и само ако". Както можете да видите, стрелките са насочени в двете посоки - "от това следва това и обратно - от това следва това." Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Иконата гласи само че, че „от това следва това“, и не е факт, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че в този случай не можете да използвате иконата. В същото време, вместо иконата Могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай има повече практическо значение , тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим този проблем във втория раздел на урока.

Свойства на точковия продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е подравнен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можем да получим формула за изчисляване на дължината на вектора:

Засега изглежда неясно, но целите на урока ще поставят всичко на мястото си. За решаване на проблемите, от които се нуждаем свойства на точковия продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) – комутативен или комутативензакон за скаларен продукт.

2) – разпространение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто можете да отворите скобите.

3) – асоциативни или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде получена от скаларното произведение.

Често всякакви имоти (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужен боклук, които просто трябва да запомните и безопасно да забравите веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че пренареждането на факторите не променя продукта: . Трябва да ви предупредя, че във висшата математика е лесно да се объркат нещата с такъв подход. Така, например, свойството комутативност не е вярно за алгебрични матрици. Също така не е вярно за векторно произведение на вектори. Следователно най-малкото е по-добре да се задълбочите във всички свойства, които срещате в курса по висша математика, за да разберете какво можете и какво не можете.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. Какво е това все пак? Сумата от вектори е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но условието дава подобни параметри за вектори, така че ще поемем по различен маршрут:

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарен език може да намерите в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Представяме подобни условия: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Разширяваме втория член според стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателно значениеСкаларното произведение посочва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Проблемът е типичен, ето пример как да го разрешите сами:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на вектори и ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължината на вектор. Нотацията тук ще бъде малко припокриваща се, така че за по-голяма яснота ще я пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме израза за вектора .

(2) Използваме формулата за дължина: и целият израз ve действа като вектор „ve“.

(3) Използвайте училищна формулаквадрат на сумата. Забележете как работи тук по любопитен начин: – всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Желаещите могат да пренаредят векторите: - случва се същото, до пренареждането на членовете.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - „единици“.

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от точковия продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . Използвайки правилото на пропорцията, нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение са известни, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и, следователно, самият ъгъл.

Точковият продукт число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Това означава, че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията е използван технически похват - елиминиране на ирационалност в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , Че:

Обратни стойности тригонометрични функцииможе да се намери от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия, много по-често някоя тромава мечка като , и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще видим такава картина повече от веднъж.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерите - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „разреша всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако условието, разбира се, не изисква представяне на отговора само в радиани или само в градуси).

Сега можете самостоятелно да се справите с повече трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото е многоетапна.
Нека да разгледаме алгоритъма за решение:

1) Според условието трябва да намерите ъгъла между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намерете скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същото скаларно произведение. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример, който можете да решите сами. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест не броете, а веднага извадете тройката извън скаларното произведение и я умножете по нея последна. Решението и отговорът са в края на урока.

В края на раздела, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължините на векторите , Ако

Решение:Методът от предишния раздел се предлага отново: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му според тривиалната формула:

Точковият продукт тук изобщо не е от значение!

Също така не е полезно при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Не трябва ли да се възползваме от очевидното свойство на дължината на вектора? Какво можете да кажете за дължината на вектора? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
– знакът за модул „изяжда” възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формула за косинуса на ъгъла между векторите, които са зададени с координати

сега имаме пълна информация, така че получената преди това формула за косинуса на ъгъла между векторите изрази чрез векторни координати:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории , определени в ортонормална основа, изразено с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, определени в ортонормална основа, изразено с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:Според условията чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Нека веднага да си спомним училищното обозначение на ъгъл: – специално внимание на средно аритметичнобуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост можете също да напишете просто .

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и, с други думи: .

Препоръчително е да се научите как да извършвате анализа психически.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус от ъгъл:

Точно това е редът на изпълнение на задачата, който препоръчвам за манекени. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията „на един ред“:

Ето пример за „лоша“ косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим самия ъгъл:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка ъгълът може да се измери и с транспортир. Не повреждайте капака на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяме това попита за ъгъла на триъгълник(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: , намерено с помощта на калкулатор.

Тези, които са се насладили на процеса, могат да изчислят ъглите и да проверят валидността на каноничното равенство

Пример 17

Триъгълникът се определя в пространството от координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока

Кратък последен раздел ще бъде посветен на прогнозите, които също включват скаларен продукт:

Проекция на вектор върху вектор. Проекция на вектор върху координатни оси.
Насочващи косинуси на вектор

Помислете за векторите и:

Нека проектираме вектора върху вектора; за да направим това, от началото и края на вектора пропускаме перпендикулярикъм вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че лъчите светлина падат перпендикулярно на вектора. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде „сянката“ на вектора. В този случай проекцията на вектора върху вектора е ДЪЛЖИНАТА на сегмента. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: „голям вектор“ означава вектора КОЙТОпроект, „вектор с малък индекс“ означава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекция на вектор „a“ върху вектор „be“.“

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И вектор „а“ вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - към правата линия, съдържаща вектора "be". Същото ще се случи, ако векторът „а“ бъде отложен в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата линия, съдържаща вектора „бе“.

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се считат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори тъп(на фигурата мислено пренаредете векторната стрелка), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Нека начертаем тези вектори от една точка:

Очевидно, когато един вектор се движи, неговата проекция не се променя

Инструкции

Нека на равнината са дадени два ненулеви вектора, начертани от една точка: вектор A с координати (x1, y1) B с координати (x2, y2). Ъгълмежду тях се обозначава като θ. За да намерите градусната мярка на ъгъла θ, трябва да използвате дефиницията на скаларното произведение.

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е число, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях, което е (A,B)=|A|*|B|*cos(θ ). Сега трябва да изразите косинуса на ъгъла от това: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Скаларното произведение може да се намери и с помощта на формулата (A,B)=x1*x2+y1*y2, тъй като произведението на два ненулеви вектора е равно на сумата от продуктите на съответните им вектори. Ако скаларното произведение на ненулевите вектори е равно на нула, тогава векторите са перпендикулярни (ъгълът между тях е 90 градуса) и по-нататъшните изчисления могат да бъдат пропуснати. Ако скаларното произведение на два вектора е положително, тогава ъгълът между тях векториостър, а ако е отрицателен, тогава ъгълът е тъп.

Сега изчислете дължините на векторите A и B, като използвате формулите: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Дължината на вектор се изчислява като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати.

Заместете намерените стойности на скаларното произведение и дължините на вектора във формулата за ъгъла, получен в стъпка 2, тоест cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Сега, знаейки стойността на , за да намерим градусната мярка на ъгъла между векторитрябва да използвате таблицата на Bradis или да вземете от това: θ=arccos(cos(θ)).

Ако векторите A и B са дадени в триизмерно пространство и имат съответно координати (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), тогава при намиране на косинуса на ъгъла се добавя още една координата. В този случай косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Полезен съвет

Ако два вектора не са начертани от една и съща точка, тогава, за да намерите ъгъла между тях чрез паралелна транслация, трябва да комбинирате началото на тези вектори.
Ъгълът между два вектора не може да бъде повече от 180 градуса.

източници:

• как да изчислим ъгъла между векторите
• Ъгъл между права и равнина

За решаването на много задачи, както приложни, така и теоретични, във физиката и линейната алгебра е необходимо да се изчисли ъгълът между векторите. Тази на пръв поглед проста задача може да създаде много трудности, ако не разбирате ясно същността на скаларния продукт и каква стойност се появява в резултат на този продукт.

Инструкции

Ъгълът между векторите във векторно линейно пространство е минималният ъгъл, при който се постига еднаква посока на векторите. Чертае един от векторите около началната му точка. От определението става очевидно, че стойността на ъгъла не може да надвишава 180 градуса (вижте стъпката).

В този случай съвсем правилно се приема, че в линейното пространство, когато се извършва паралелно прехвърляне на вектори, ъгълът между тях не се променя. Следователно за аналитичното изчисляване на ъгъла пространствената ориентация на векторите няма значение.

Резултатът от точковия продукт е число, в противен случай скаларен. Не забравяйте (това е важно да знаете), за да избегнете грешки при по-нататъшни изчисления. Формулата за скаларния продукт, разположен на равнината или в пространството на векторите, има формата (вижте фигурата за стъпката).

Ако векторите са разположени в пространството, извършете изчислението по подобен начин. Единственото появяване на условие в дивидента ще бъде срокът за кандидата, т.е. третият компонент на вектора. Съответно, когато се изчислява модулът на векторите, трябва да се вземе предвид и z компонентът, след което за вектори, разположени в пространството, последният израз се трансформира, както следва (вижте Фигура 6 за стъпка).

Векторът е отсечка с дадена посока. Ъгълът между векторите има физическо значение, например при намиране на дължината на проекцията на вектора върху оста.

Инструкции

Ъгълът между два ненулеви вектора чрез изчисляване на точковия продукт. По дефиниция произведението е равно на произведението на дължините и ъгъла между тях. От друга страна, се изчислява скаларното произведение за два вектора a с координати (x1; y1) и b с координати (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. От тези два метода точковият продукт лесно е ъгълът между векторите.

Намерете дължините или големините на векторите. За нашите вектори a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Намерете скаларното произведение на векторите, като умножите координатите им по двойки: ab = x1x2 + y1y2. От дефиницията на скаларното произведение ab = |a|*|b|*cos α, където α е ъгълът между векторите. Тогава получаваме, че x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогава cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Намерете ъгъл α с помощта на таблиците на Брадис.

Видео по темата

Забележка

Скаларното произведение е скаларна характеристика на дължините на векторите и ъгъла между тях.

Равнината е едно от основните понятия в геометрията. Равнината е повърхност, за която е вярно следното твърдение: всяка права линия, свързваща две нейни точки, принадлежи изцяло на тази повърхност. Равнините обикновено се означават с гръцките букви α, β, γ и т.н. Две равнини винаги се пресичат по права линия, която принадлежи и на двете равнини.

Инструкции

Нека разгледаме полуравнините α и β, образувани от пресичането на . Ъгълът, образуван от права a и две полуравнини α и β от двустенен ъгъл. В този случай полуравнините, образуващи с лицата си двустенен ъгъл, правата a, по която се пресичат равнините, се нарича ръб на двустенния ъгъл.

Двустенният ъгъл, подобно на равнинния ъгъл, е в градуси. За да направите двустенен ъгъл, трябва да изберете произволна точка O на лицето му.И в двата два лъча a са начертани през точка O. Образуваният ъгъл AOB се нарича линеен двустенен ъгъл a.

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е равно на: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

За да изчислите ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите обратната на косинус функция от получения израз, т.е. аркосинус:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено общо уравнение 2 x – 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всичко известни стойностив дадената формула: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Видео по темата

Съставете равенство и изолирайте косинуса от него. Според една формула скаларното произведение на векторите е равно на техните дължини, умножени една по друга и по косинус ъгъл, а от друга - сумата от произведенията на координатите по всяка от осите. Приравнявайки двете формули, можем да заключим, че косинусът ъгълтрябва да бъде равно на съотношението на сумата от произведенията на координатите към произведението на дължините на векторите.

Запишете полученото равенство. За да направите това, трябва да посочите и двата вектора. Да предположим, че са дадени в три измерения Декартова системаи началните им точки в координатната мрежа. Посоката и големината на първия вектор ще бъдат дадени от точката (X₁,Y₁,Z₁), вторият - (X₂,Y₂,Z₂), а ъгълът ще бъде обозначен с буквата γ. Тогава дължините на всеки от векторите могат да бъдат, например, с помощта на Питагоровата теорема за , образувани от техните проекции върху всяка от координатните оси: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Заместете тези изрази във формулата, формулирана в предишната стъпка, и ще получите равенството: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Използвайте факта, че сумата от на квадрат синуси ко синусот ъгълот едно и също количество винаги дава едно. Това означава, че чрез повишаване на полученото на предишната стъпка за синусна квадрат и изваден от едно, и след това

При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледаме ъглите между векторите, е необходимо да се запознаем с определението за вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите с количеството, с което един от векторите трябва да се премести около общата точка, докато посоките им съвпаднат.

Формула за решение

След като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. Според дефиницията той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се изчислява като сумата от съответните координати на факторните вектори, умножени един по друг. Дължината на вектор или неговият модул се изчислява като квадратен корен от сумата от квадратите на неговите координати.

След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решаването на съответния проблем ще стане лесно и ясно. Като пример си струва да разгледаме простия проблем за намиране на стойността на ъгъл.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на векторните дължини и техния скаларен продукт, необходими за решението. Използвайки описанието, представено по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак:

За да запазите точността, крайният отговор може да бъде оставен такъв, какъвто е, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, това ще бъде желаният. Въпреки че във вектора има трета координата, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите; арккосинусът на тяхното частно ще бъде отговорът на тази задача.

В геометрията често има проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл е равен на 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След получаване на стойността на ъгъла от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. Ако се получат 180 градуса, векторите ще бъдат противоположно насочени.

Специфични вектори

След като намерите ъглите между векторите, можете да намерите един от специалните типове, в допълнение към съпосочените и противоположните, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​копланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, т.е. началото и краят му съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е единица, тогава единица.

По Ваше желание!

1. Елиминирайте ирационалността в знаменателя:

3. Решете експоненциалното уравнение:

4. Решете неравенство:

Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число и винаги се изразява като неотрицателно число, следователно това неравенство ще е вярно за всички х, отговарящи на условието: 2-х≥0. От тук получаваме: x≤2. Записваме отговора под формата на числов интервал: (-∞; 2].

5. Решете неравенството: 7 x > -1.

A-приори: Функция от вида y = a x се нарича експоненциална, където a >0, a≠1, x е произволно число. Диапазонът от стойности на експоненциална функция е множеството от всички положителни числа, тъй като положително число на произволна степен ще бъде положително. Ето защо 7 x >0 за всяко x и още повече 7 x > -1, т.е. неравенството е вярно за всички x ∈ (-∞; +∞).

6. Преобразуване в продукт:

Нека приложим формулата за сумата от синусите: сумата от синусите на два ъгъла е равна на удвоения продукт на синуса на полусумата на тези ъгли и косинуса на тяхната полуразлика.

8. Известно е, че f(x) = -15x+3. За какви стойности на x f(x)=0?

Заместете числото 0 вместо f(x) и решете уравнението:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . В първата и втората сплави медта и цинкът са в съотношение 5:2 и 3:4. Колко от всяка сплав трябва да се вземе, за да се получат 28 kg нова сплав с еднакво съдържание на мед и цинк.

Разбираме, че новата сплав ще съдържа 14 кг мед и 14 кг цинк. Всички подобни проблеми се решават по един и същи начин: те създават уравнение, в което лявата и дясната страна съдържат едно и също количество вещество (да вземем мед), написано по различен начин (въз основа на специфичните условия на проблема). Нашите 14 кг мед в новата сплав ще бъдат съставени от мед от двете сплави. Нека масата на първата сплав х kg, тогава масата на втората сплав е ( 28-ми)килограма. Първата сплав съдържа 5 части мед и 2 части цинк, следователно медта ще бъде (5/7) от x kg. За да намерите дроб от число, трябва да умножите дробта по даденото число. Втората сплав съдържа 3 части мед и 4 части цинк, т.е. мед съдържа (3/7) от (28) кг. Така:

12. Решете уравнението: log 2 8 x = -1.

По дефиниция на логаритъм:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Намерете производната на функцията f(x) = -ln cosx 2 .

20. Намерете значението на израза:

Модулът на числото може да бъде изразен само като неотрицателно число.Ако под знака за модул има отрицателен израз, тогава при отваряне на модулните скоби всички термини се записват с противоположни знаци.

22. Решете системата от неравенства:

Първо, решаваме всяко неравенство поотделно.

Обърнете внимание, че най-малкият общ период за тези функции ще бъде 2π,следователно бяха приписани както ляво, така и дясно 2πn. Отговор C).

23. Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията y=3-|x-3| и права линия y=0.

Графиката на тази функция ще се състои от две полулинии, излизащи от една точка. Нека напишем уравненията на правите. За x≥3 отваряме модулните скоби и получаваме: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.При х<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Триъгълник, ограничен от графиката на функция и сегмент от оста Ox, е фигура, чиято площ трябва да се намери. Разбира се, тук можем и без интеграли. Нека намерим площта на триъгълник като половината от произведението на неговата основа и височината, начертана към тази основа. Нашата основа е равна на 6 единични сегмента, а височината, начертана към тази основа, е равна на 3 единични сегмента. Площта ще бъде 9 кв.м. единици

24. Намерете косинуса на ъгъл A на триъгълник с върхове в точки A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

За да намерите координатите на вектор, даден от координатите на неговите краища, трябва да извадите координатите на началото от координатите на края.

Ъгъл А се образува от векторите:

25. В кутия има 23 топки: червена, бяла и черна. Има 11 пъти повече бели топки отколкото червени топки. Колко черни топки?

Оставете го да лежи в кутията хчервени топки. След това бяло 11xтопки.

Червено и бяло x+11x= 12xтопки. Следователно, черни топки 23-12x.Тъй като това е цяло число топки, единствената възможна стойност е х=1. Оказва се: 1 червена топка, 11 бели топки и 11 черни топки.