Как да изчислим въртящия момент. Въртящ момент

> Въртящ момент

Разгледайте въртящ моментпо физика. Разберете какво е момент въртеливо движение, сила и инерция, ролята на вектора, ъгловата скорост и ъглово движение.

Въртящ момент– сила, която кара обектите да се въртят или въртят около оста си.

Учебна цел

• Опишете ефекта на въртящия момент върху обект.

Главни точки

• Въртящият момент се намира чрез умножаване на активната сила по разстоянието до оста на въртене (лоста на въртящия момент).
• Въртящият момент се измества, защото силата представлява движение.
• Единицата е нютон на метър.

Условия

• Векторът е определена величина, характеризираща се с големина и посока (между две точки).
• Ъгловата скорост е векторна величина, която характеризира обект при кръгово движение.
• Ъгловото движение е преместването на тяло около статична точка или ос (като планети и махало). Равен на ъгъла, минаващ в точка или ос по протежение на линия, показана върху тялото.

Въртящият момент е тенденцията на силата да завърти или завърти движещ се обект. Може да се измери чрез въртящ момент. Въртящият момент при ъглово движение съответства на силата на изместване. В резултат на това получаваме ъгловото ускорение или ъгловото забавяне на частицата. Може да се измери с помощта на уравнението:

Процесът на въртене е специален случай за ъглово движение. Ротационният момент се изчислява спрямо оста, така че векторът r е ограничен да бъде перпендикулярен на оста на въртене. Тоест равнината на движение е перпендикулярна на оста на въртене.

Въртящият момент е напречната производна на силата на рамото на въртящия момент. Активира се всеки път, когато обектът се върти. Моментът може да се изрази и като ъглово ускорение на обект.

Много по-лесно е да се изчисли посоката на въртящия момент, отколкото ъгловата скорост. Защо? Просто самият ротационен момент се приравнява към векторния продукт на два вектора, а ъгловата скорост е един от двата обекта на векторно движение. Ако знаем посоката на два действащи обекта, тогава можем лесно да намерим посоката на въртеливия момент.

Зависи от силата, разстоянието и оста на въртене, така че единицата е нютон на метър.

Електромагнитен момент.

Електромагнитен въртящ момент М Емвъзниква под въздействието на сили, действащи върху проводниците на ротора, които се намират във въртящо се магнитно поле. Нека означим моментната стойност на тока на ротора с аз 2 с (фиг. 3.16), магнитна индукция в същата точка през IN и дължината на проводника през л (дължина на роторния пакет). Тогава силата, действаща върху проводника, е f = IN л аз 2 с

Индукция IN и ток на ротора аз 2 с във всеки този моментвремето се разпределят по обиколката на ротора приблизително по синусоидален закон, т.е.

Координатата, която определя позицията на проводника върху ротора (фиг. 3.16), и ψ 2 - ъгъл на фазово изместване между ЕМП д 2 с (съгласно клауза 3.4.1 EMF д 2 с във фаза с индукция IN ) и ток на ротора аз 2 с . По този начин,

Средната сила, действаща върху проводника, се определя като интеграл на силата по обиколката на ротора f , действащи на един проводник:

Заменяйки произведението на синусите с разликата на косинусите, получаваме:

Интегралът на втория член, като интеграл върху два периода на функцията косинус, е равен на нула. Тогава

Нека обозначим броя на проводниците на ротора с н 2 . Силата, действаща върху всички проводници, ще бъде Е = н 2 f ср. Въртящият момент е продукт на сила Е по радиуса на ротора, т.е. М = FD /2 . Знаейки, че делението на полюсите също е за синусоида , намираме момента:

Нека означим константата

Тогава

(3.20) В този израз, където Р 2 - активно съпротивление и х 2 с - индуктивно съпротивление на фазата на въртящия се ротор. Формула (3.20) показва, че въртящият момент на двигателя се създава поради взаимодействието на магнитния поток и тока в намотката на ротора.

Плъзгащ ефект с и фазово напрежение на статора за въртящ момент на двигателя. В (3.20) текущата стойност се определя от израза където д 2 с И аз 2 с - ЕМП и фазов ток на въртящия се ротор;

Заместващи стойности аз 2сИ cos Ψ 2 в (3.20), получаваме:

Като се има предвид това

тогава (3.21) може да се пренапише:


Константа

Където w 2 - брой обороти на ротора; на статорна фаза (броят на фазите е три).

Замествайки стойностите в (3.22), намираме:

Използвайки дадените стойности на активните и индуктивните съпротивления на фазата на ротора, получаваме:

Ако пренебрегнем спада на напрежението в намотката на статора, формулата приема формата

Грешката при определяне на въртящия момент при прилагане на формула (3.22а) не надвишава 5%, което е напълно приемливо за инженерни проблеми. От (3.22а) става ясно, че въртящият момент е пропорционален на квадрата на фазовото напрежение на статора. промяна U 1 значително влияе на момента. Така че, ако U 1 пада с 10%, тогава въртящият момент пада с 19%.

Формула (3.22a) също може да бъде получена от формулата механична мощностдвигател:

Където м - брой фази на двигателя. защото , където е ъгловата скорост на въртящото се поле, тогава

Където ω 1 - ъглова честота на тока в мрежата.

Като се има предвид формула (3.19) и означаване х 1 + х ` 2 , получаваме:

3.11.3. Характеристика на моментно приплъзване .

Характеристика на моментно приплъзване М ( с ) , построена съгласно (3.23) е показана на фиг. 3.17. Точка с = 0, М = 0 съответства на идеала празендвигател, точка М наз, с наз- номинален режим. Парцел ТОЙ графика - работна зона. В тази област зависимостта М ( с ) почти линеен. Наистина подхлъзване в тази област с = 0 + 0,08, следователно във формула (3.23) стойността (Х Да се) 2 може да се пренебрегне. Тогава (3.23) приема формата където е постоянна стойност за даден двигател.

Парцел НК , Графиката съответства на механично претоварване на двигателя. В точката ДА СЕ въртящият момент достига максимална стойности се нарича критичен момент. приплъзване с Да се, съответстващ на критичния момент, се нарича критично приплъзване.

Парцел Добре характеристики - участък от статично стабилна работа на двигателя (стабилна работа се разбира като способността на двигателя автоматично да компенсира малки отклонения в режима на работа поради собствените си характеристики). Нека, например, в стабилно състояние (М vr = М) по някаква причина съпротивителният момент ще се увеличи и ще стане равен М'>М . След това ще последва преходен процес: скорост на ротора П ще намалее, изплъзне с ще нарастне М vrпо спецификация М ( с ) ще се увеличи и двигателят ще достигне ново стабилно състояние, характеризиращо се с намалена скорост на въртене н ‘ и равенство на моментите Време е = М' .

Статично стабилно сечение се характеризира с положителна производна dM / ds >0 . Стойността на критичния момент МДа семоже да се намери от условието dM / ds

. (3.24)

Приравнявайки (3.24) на нула, получаваме стойността на критичното приплъзване

Заместване с Да сев (3.23), получаваме

(3.26)

Поведение МДа се ​​/ Миме =к мсе нарича кратно на максималния въртящ момент. За серийни двигатели к м=1,7/3,4 . .

Парцел КП - зона на нестабилна работа. Ако по някаква причина Мсще има още М vr , тогава анализ, подобен на този за стабилен сайт показва, че М vrняма да се увеличи, а напротив, ще намалее, което ще доведе до увеличаване на приплъзването и още по-голямо намаляване на въртящия момент - практически роторът на двигателя ще спре моментално (фиг. 3.17, точка П ). Областта на нестабилна работа се характеризира с отрицателна производна: dM / ds <0.

В точката П приплъзване с П=1 (н =0) .

Местоположение на PT приплъзване с > 1 . Това е възможно, когато посоката на въртене на ротора е противоположна на посоката на въртене на полето. Наистина, в този случай с = н 1 — (- н )/ н 1 > 1 . Стойност на приплъзване с > 1 характеризира режима на спиране на двигателя, разгледан подробно в § 3.16.

Изразяване на момент в о. д. (формула на Клос) За да изведем формулата за въртящ момент в относителни единици, използваме израз (3.25), т.е. в (3.23) вместо 3 П U 1 2 нека заместим стойността му 2ω 1 X k M k и вземете предвид това Р ‘ 2 = s k X k . В резултат на трансформацията получаваме формулата на Клос:

. (3.27)

Завъртането е типичен изглед механично движение, което често се среща в природата и техниката. Всяка ротация възниква в резултат на влиянието на някои външна силакъм разглежданата система. Тази сила създава т.нар Какво представлява, от какво зависи, се обсъжда в статията.

Процес на въртене

Преди да разгледаме концепцията за въртящ момент, нека характеризираме системите, към които тази концепция може да се приложи. Системата на въртене предполага наличието на ос, около която се извършва кръгово движение или въртене. Разстоянието от тази ос до материални точкисистема се нарича радиус на въртене.

От гледна точка на кинематиката процесът се характеризира с три ъглови величини:

• ъгъл на завъртане θ (измерен в радиани);
• ъглова скорост ω (измерена в радиани за секунда);
• ъглово ускорение α (измерено в радиани на квадратна секунда).

Тези количества са свързани помежду си със следните равенства:

Примери за въртене в природата са движенията на планетите по техните орбити и около осите им и движенията на торнадо. В бита и техниката въпросното движение е типично за мотори на двигатели, гаечни ключове, строителни кранове, отварящи се врати и др.

Определяне на момент на сила

Сега нека да преминем към непосредствената тема на статията. Според физическа дефиниция, представлява векторен продуктвекторът на прилагане на сила спрямо оста на въртене към вектора на самата сила. Съответният математически израз може да се запише по следния начин:

Тук векторът r¯ е насочен от оста на въртене към точката на приложение на силата F¯.

В тази формула за въртящия момент M¯, силата F¯ може да бъде насочена по произволен начин спрямо посоката на оста. Въпреки това, компонент на сила, успореден на оста, няма да доведе до въртене, ако оста е неподвижно фиксирана. В повечето задачи във физиката трябва да се вземат предвид силите F¯, които лежат в равнини, перпендикулярни на оста на въртене. В тези случаи абсолютната стойност на въртящия момент може да се определи по следната формула:

|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).

Където β е ъгълът между векторите r¯ и F¯.

Какво е ливъридж?

Силовият лост играе важна роля при определяне на големината на момента на силата. За да разберете за какво говорим, разгледайте следната фигура.

Тук е показана пръчка с дължина L, която е фиксирана в точката на въртене с единия си край. Върху другия край действа сила F, насочена под остър ъгъл φ. Според дефиницията на момент на сила можем да напишем:

M = F*L*sin(180 o -φ).

Ъгълът (180 o -φ) се появи, защото векторът L¯ е насочен от фиксирания край към свободния. Като се има предвид честотата тригонометрична функциясинус, можем да пренапишем това равенство, както следва:

Сега нека насочим вниманието си към правоъгълен триъгълник, изграден върху страните L, d и F. По дефиницията на функцията синус, произведението на хипотенузата L и синуса на ъгъла φ дава стойността на крака d. Тогава стигаме до равенство:

Линейната величина d се нарича лост на силата. То е равно на разстоянието от вектора на силата F¯ до оста на въртене. Както може да се види от формулата, концепцията за лост за сила е удобна за използване при изчисляване на момента M. Получената формула казва, че максималният въртящ момент за определена сила F ще се появи само когато дължината на радиус вектора r¯ ( L¯ на фигурата по-горе) е равно на лоста на силата, т.е. r¯ и F¯ ще бъдат взаимно перпендикулярни.

Посока на действие на величината M¯

По-горе беше показано, че въртящият момент е векторна характеристика за дадена система. Накъде е насочен този вектор? Отговорът на този въпрос не е особено труден, ако си спомним, че резултатът от произведението на два вектора е трети вектор, който лежи на ос, перпендикулярна на равнината на местоположението на оригиналните вектори.

Остава да решим дали моментът на сила ще бъде насочен нагоре или надолу (към или далеч от четеца) спрямо споменатата равнина. Това може да се определи или чрез правилото на gimlet, или с помощта на правилото дясна ръка. Ето и двете правила:

• Правило на дясната ръка. Ако поставите дясната ръка по такъв начин, че нейните четири пръста да се движат от началото на вектора r¯ до неговия край, а след това от началото на вектора F¯ до неговия край, тогава палец, изпъкнал, ще покаже посоката на момента M¯.
• Правилото на гимлета. Ако посоката на въртене на въображаем гимлет съвпада с посоката на въртеливо движение на системата, тогава движение напредДжимлетът ще сочи в посоката на вектора M¯. Не забравяйте, че се върти само по часовниковата стрелка.

И двете правила са равностойни, така че всеки може да използва това, което му е по-удобно.

При решаване на практически задачи се вземат предвид различните посоки на въртящия момент (нагоре - надолу, наляво - надясно) с помощта на знаците "+" или "-". Трябва да се помни, че положителната посока на момента M¯ се счита за тази, която води до въртене на системата обратно на часовниковата стрелка. Съответно, ако определена сила кара системата да се върти по посока на часовника, тогава моментът, който създава, ще има отрицателна стойност.

Физически смисъл на величината M¯

Във физиката и механиката на въртенето стойността M¯ определя способността на сила или сума от сили да извършва въртене. Тъй като математическата дефиниция на стойността M¯ включва не само силата, но и радиус вектора на нейното приложение, последният до голяма степен определя отбелязаната ротационна способност. За да стане по-ясно за каква способност говорим, ето няколко примера:

• Всеки човек, поне веднъж в живота си, се е опитвал да отвори врата, не като хване дръжката, а като я натисне близо до пантите. Във втория случай трябва да положите значителни усилия, за да постигнете желания резултат.
• За да развиете гайката от болт, използвайте специални гаечни ключове. Колкото по-дълъг е ключът, толкова по-лесно е да развиете гайката.
• За да усетите значението на лоста на силата, каним читателите да направят следния експеримент: вземете стол и се опитайте да го задържите окачен с една ръка, в един случай облегнете ръката си на тялото си, в друг - изпълнете задачата с права ръка. Последното ще бъде непосилна задача за мнозина, въпреки че теглото на стола остава същото.

Единици за въртящ момент

Трябва да се кажат няколко думи и за единиците SI, в които се измерва въртящият момент. Според формулата, записана за него, се измерва в нютони на метър (N*m). Тези единици обаче също измерват работата и енергията във физиката (1 N*m = 1 джаул). Джаулът за момента M¯ не се прилага, тъй като работата е скаларна величина, докато M¯ е вектор.

Но съвпадението на единиците момент на сила с единиците енергия не е случайно. Работата, извършена за въртене на системата, извършена от момента M, се изчислява по формулата:

От това откриваме, че M може да се изрази и в джаули на радиан (J/rad).

Динамика на въртене

В началото на статията записахме кинематичните характеристики, които се използват за описание на въртеливото движение. В ротационната динамика основното уравнение, което използва тези характеристики, е следното:

Действието на момента M върху система с инерционен момент I води до появата на ъглово ускорение α.

Тази формулаизползвани за определяне на ъгловите честоти на въртене в технологиите. Например, знаейки въртящия момент на асинхронен двигател, който зависи от честотата на тока в бобината на статора и от големината на промяната магнитно поле, а също така знаейки инерционните свойства на въртящия се ротор, е възможно да се определи до каква скорост на въртене ω роторът на двигателя се върти в известно време T.

Пример за решение на проблем

Безтегловният лост, който е дълъг 2 метра, има опора в средата. Каква тежест трябва да се постави в единия край на лоста, така че да е в състояние на равновесие, ако товар с тегло 10 kg лежи от другата страна на опората на разстояние 0,5 метра от нея?

Очевидно какво ще се случи, ако моментите на сила, създадени от товарите, са еднакви по големина. Силата, създаваща момента в тази задача, е теглото на тялото. Лостовете на силата са равни на разстоянията от товарите до опората. Нека запишем съответното равенство:

m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>

P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .

Получаваме теглото P 2, ако заместим от условията на проблема стойностите m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Написаното равенство дава отговора: P 2 = 49,05 нютона.

Определение 1

Силовият момент се представя чрез въртящ момент или ротационен момент, който е векторна физическа величина.

Дефинира се като векторен продукт на вектора на силата, както и радиус вектора, който е изтеглен от оста на въртене до точката на прилагане на определената сила.

Силовият момент е характеристика на въртеливото въздействие на силата върху твърдо. Понятията моменти на „въртене“ и „въртящ момент“ няма да се считат за идентични, тъй като в технологията концепцията за „въртящ“ момент се разглежда като външна сила, приложена към обект.

В същото време понятието „въртящ момент“ се разглежда във формата на вътрешна сила, която възниква в обект под въздействието на определени приложени натоварвания (подобна концепция се използва за съпротивлението на материалите).

Понятие за момент на сила

Моментът на сила във физиката може да се разглежда под формата на така наречената „ротационна сила“. Мерната единица SI е нютон метър. Моментът на сила може също да се нарече "момент на двойка сили", както е отбелязано в работата на Архимед за лостовете.

Бележка 1

IN прости примери, когато сила се приложи към лоста перпендикулярно на него, моментът на сила ще се определи като произведение от големината на определената сила и разстоянието до оста на въртене на лоста.

Например сила от три нютона, приложена на разстояние два метра от оста на въртене на лоста, създава момент, еквивалентен на сила от един нютон, приложена на разстояние 6 метра към лоста. По-точно моментът на силата на частица се определя във формата на векторен продукт:

$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, където:

• $\vec (F)$ представлява силата, действаща върху частицата,
• $\vec (r)$ е радиусът на вектора на частицата.

Във физиката енергията трябва да се разбира като скаларна величина, докато въртящият момент би се считал за (псевдо) векторна величина. Съвпадението на размерите на такива величини няма да бъде случайно: момент на сила от 1 Nm, който се прилага през цял оборот, което прави механична работа, отчита енергия от 2 $\pi$ джаула. Математически изглежда така:

$E = M\theta$, където:

• $E$ представлява енергия;
• $M$ се счита за въртящ момент;
• $\theta$ ще бъде ъгълът в радиани.

Днес измерването на момента на силата се извършва с помощта на специални датчици за натоварване от тензометричен, оптичен и индуктивен тип.

Формули за изчисляване на момент на сила

Интересно нещо във физиката е изчисляването на момента на силата в поле, произведено по формулата:

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, където:

• $\vec(M_1)$ се счита за момент на лоста;
• $\vec(F)$ представлява величината на действащата сила.

Недостатъкът на такова представяне е фактът, че не определя посоката на момента на силата, а само неговата величина. Ако силата е перпендикулярна на вектора $\vec(r)$, моментът на лоста ще бъде равен на разстоянието от центъра до точката на приложената сила. В този случай моментът на сила ще бъде максимален:

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

Когато е извършено със сила определено действиена всяко разстояние, той ще извърши механична работа. По същия начин моментът на сила (при извършване на действие през ъглово разстояние) ще върши работа.

$P = \vec (M)\omega $

В съществуващото международна системаизмервания, мощността $P$ ще бъде измерена във ватове, а самият момент на сила ще бъде измерен в нютон метри. В този случай ъгловата скорост се определя в радиани в секунда.

Момент на няколко сили

Бележка 2

Когато едно тяло е изложено на две равни и противоположно насочени сили, които не лежат на една и съща права линия, се наблюдава отсъствието на това тяло в състояние на равновесие. Това се обяснява с факта, че резултантният момент на посочените сили спрямо никоя от осите няма нулева стойност, тъй като и двете представени сили имат моменти, насочени в една и съща посока (двойка сили).

В ситуация, в която тялото е фиксирано върху ос, то ще се върти под въздействието на няколко сили. Ако към свободно тяло се приложи двойка сили, то ще започне да се върти около ос, минаваща през центъра на тежестта на тялото.

Моментът на двойка сили се счита за еднакъв по отношение на всяка ос, която е перпендикулярна на равнината на двойката. В този случай общият момент $M$ на двойката винаги ще бъде равен на произведението на една от силите $F$ и разстоянието $l$ между силите (рамото на двойката), независимо от видовете сегменти в която разделя позицията на оста.

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

В ситуация, при която резултантният момент на няколко сили е равен на нула, той ще се счита за еднакъв по отношение на всички оси, успоредни една на друга. Поради тази причина действието върху тялото на всички тези сили може да се замени с действието само на една двойка сили със същия момент.

Което е равно на произведението на силата от нейното рамо.

Моментът на силата се изчислява по формулата:

Където Е- сила, л- рамо на силата.

Рамо на властта- това е най-късото разстояние от линията на действие на силата до оста на въртене на тялото. Фигурата по-долу показва твърдо тяло, което може да се върти около ос. Оста на въртене на това тяло е перпендикулярна на равнината на фигурата и минава през точката, която е обозначена с буквата О. Рамото на силата Ftето разстоянието л, от оста на въртене до линията на действие на силата. Дефинира се така. Първата стъпка е да начертаете линия на действие на силата, след което от точка О, през която минава оста на въртене на тялото, спуснете перпендикуляр към линията на действие на силата. Дължината на този перпендикуляр се оказва рамото на дадена сила.

Силовият момент характеризира въртеливото действие на силата. Това действие зависи както от силата, така и от ливъриджа. Колкото по-голямо е рамото, толкова по-малка сила трябва да се приложи, за да се получи желаният резултат, тоест същия момент на сила (вижте фигурата по-горе). Ето защо е много по-трудно да отворите врата, като я натиснете близо до пантите, отколкото като хванете дръжката, и е много по-лесно да развиете гайка с дълъг, отколкото с къс гаечен ключ.

Единицата SI за момент на сила се приема за момент на сила от 1 N, чието рамо е равно на 1 m - нютон метър (N m).

Правило на моментите.

Твърдо тяло, което може да се върти около фиксирана ос, е в равновесие, ако моментът на сила М 1въртенето му по посока на часовниковата стрелка е равно на момента на силата М 2 , което го завърта обратно на часовниковата стрелка:

Правилото на моментите е следствие от една от теоремите на механиката, която е формулирана от френския учен П. Вариньон през 1687 г.

Няколко сили.

Ако върху едно тяло действат 2 равни и противоположно насочени сили, които не лежат на една и съща права линия, тогава такова тяло не е в равновесие, тъй като резултантният момент на тези сили спрямо която и да е ос не е равен на нула, тъй като и двете сили имат моменти, насочени в една и съща посока. Две такива сили, действащи едновременно върху тялото, се наричат няколко сили. Ако тялото е фиксирано върху ос, тогава под действието на двойка сили то ще се върти. Ако се приложат няколко сили " свободно тяло, тогава ще се върти около оста. преминаващ през центъра на тежестта на тялото, фигура b.

Моментът на двойка сили е еднакъв за всяка ос, перпендикулярна на равнината на двойката. Тотален момент Мдвойки винаги е равна на произведението на една от силите Ена разстояние лмежду силите, което се нарича рамото на двойката, без значение какви сегменти л, и споделя позицията на оста на рамото на двойката:

Моментът на няколко сили, чийто резултат е нула, ще бъде еднакъв спрямо всички успоредни една на друга оси, следователно действието на всички тези сили върху тялото може да бъде заменено с действието на една двойка сили със същото момент.