Допирателна повърхност и нормала към повърхността. Как да намерим уравненията на допирателната равнина и нормалата на повърхността в дадена точка

„Плоско“ Това упражнение е ефективно за изравняване на кръвното налягане. Основното е да се спазва умереността. Има прецеденти, когато човек понижи кръвното си налягане от 190 до 90 за половин час.Такава бърза промяна може да предизвика негативни реакции, така че трябва да

Тангентни равнини играят голяма роляв геометрията. Конструкцията на допирателни равнини е от практическо значение, тъй като тяхното присъствие позволява да се определи посоката на нормалата към повърхността в точката на контакт. Тази задача намира широко приложениев инженерната практика. Допирателните равнини се използват и за конструиране на скици. геометрични форми, ограничени от затворени повърхности. Теоретично равнините, допирателни към повърхността, се използват в диференциалната геометрия за изследване на свойствата на повърхността в областта на точката на контакт.

Основни понятия и определения

Равнината, допирателна към повърхността, трябва да се разглежда като гранично положение на секущата равнина (по аналогия с правата, допирателна към кривата, която също се определя като гранично положение на секущата).

Равнина, допирателна към повърхнина в дадена точка от повърхнината, е съвкупността от всички прави линии - допирателни, прекарани към повърхнината през дадена точка.

В диференциалната геометрия е доказано, че всички допирателни към повърхност, начертана в обикновена точка, са компланарни (принадлежат на една и съща равнина).

Нека разберем как да начертаем права линия, допирателна към повърхността. Допирателната t към повърхността β в точка M, посочена на повърхността (фиг. 203), представлява граничната позиция на секанса l j, пресичаща повърхността в две точки (MM 1, MM 2, ..., MM n), когато пресечните точки съвпадат (M ≡ M n , l n ≡ l M). Очевидно (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, тъй като g ⊂ β. От горното следва следното определение: допирателна към повърхност е права линия, допирателна към всяка крива, принадлежаща на повърхността.

Тъй като равнината се определя от две пресичащи се прави линии, за да се определи равнина, допирателна към повърхността в дадена точка, е достатъчно да се начертаят две произволни линии, принадлежащи на повърхността (за предпочитане проста форма) през тази точка и да се конструират допирателни към всяка от тях в точката на пресичане на тези линии. Построените тангенти еднозначно определят допирателната равнина. Визуално представяне на чертане на равнина α, допирателна към повърхността β в дадена точка M, е дадено на фиг. 204. Тази фигура също показва нормалата n към повърхността β.

Нормалната към повърхността в дадена точка е права линия, перпендикулярна на допирателната равнина и минаваща през точката на допиране.

Линията на пресичане на повърхността с равнина, минаваща през нормалата, се нарича нормално сечение на повърхността. В зависимост от вида на повърхността, допирателната равнина може да има една или много точки (линия) с повърхността. Линията на допиране може в същото време да бъде линията на пресичане на повърхността с равнината.

Има и случаи, когато на повърхността има точки, в които е невъзможно да се направи допирателна към повърхността; такива точки се наричат ​​сингулярни. Като пример за особени точки могат да се цитират точките, принадлежащи на обратния ръб на повърхността на торса, или точката на пресичане на меридиана на повърхността на въртене с нейната ос, ако меридианът и оста не се пресичат вдясно ъгли.

Видовете допир зависят от естеството на кривината на повърхността.

Повърхностна кривина

Въпросите на кривината на повърхността са изследвани от френския математик Ф. Дюпен (1784-1873), който предлага визуален начин за изобразяване на промените в кривината на нормалните участъци от повърхността.

За да направите това, в равнината, допирателна към разглежданата повърхност в точка M (фиг. 205, 206), сегменти, равни на квадратните корени от стойностите на съответните радиуси на кривина на тези секции, се полагат върху допирателните към нормалните участъци от двете страни на тази точка. Набор от точки - краищата на сегменти определят крива, наречена Индикатриса на Дюпен. Алгоритъмът за конструиране на индикатриса на Дюпен (фиг. 205) може да бъде написан:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

където R е радиусът на кривината.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) е индикатриса на Дюпен.

Ако индикатриса на Дюпен на повърхност е елипса, тогава точката M се нарича елиптична, а повърхността се нарича повърхност с елиптични точки(фиг. 206). В този случай допирателната равнина има само една обща точка с повърхността и всички линии, принадлежащи на повърхността и пресичащи се в разглежданата точка, са разположени от едната страна на допирателната равнина. Примери за повърхности с елиптични точки са: параболоид на въртене, елипсоид на въртене, сфера (в този случай индикатриса на Дюпен е кръг и т.н.).

Когато начертаете допирателна равнина към повърхността на торса, равнината ще докосне тази повърхност по протежение на права образуваща. Точките на тази права се наричат параболичен, а повърхността е повърхност с параболични точки. Индикатриса на Дюпен в този случай са две успоредни прави (фиг. 207*).

На фиг. 208 показва повърхност, състояща се от точки, в които

* Крива от втори ред - парабола - при определени условия може да се раздели на две реални успоредни прави, две въображаеми успоредни прави, две съвпадащи прави. На фиг. 207 имаме работа с две реални успоредни прави.

Всяка допирателна равнина пресича повърхността. Такава повърхност се нарича хиперболичен, а точките, които му принадлежат, са хиперболични точки. Индикатриса на Дюпен в случая е хипербола.

Повърхнина, всички точки на която са хиперболични, има формата на седло (наклонена равнина, еднослоен хиперболоид, вдлъбнати повърхности на въртене и др.).

Една повърхност може да има точки различни видове, например, близо до повърхността на торса (фиг. 209) точката М е елипсовидна; точка N е параболична; точка К е хиперболична.

В хода на диференциалната геометрия е доказано, че нормалните сечения, в които стойностите на кривината K j = 1/ R j (където R j е радиусът на кривината на разглеждания участък), имат екстремни стойности, разположени в две взаимно перпендикулярни равнини.

Такива кривини K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min се наричат ​​основните стойности, а стойностите H = (K 1 + K 2)/2 и K = K 1 K 2 са съответно средната кривина на повърхността и общата ( Gaussian) кривина на повърхността в разглежданата точка. За елиптични точки K > 0, хиперболични точки K

Задаване на допирателна равнина към повърхност върху диаграма на Монж

По-долу конкретни примериЩе покажем конструкцията на равнина, допирателна към повърхнина с елиптични (пример 1), параболични (пример 2) и хиперболични (пример 3) точки.

ПРИМЕР 1. Построете равнина α, допирателна към повърхността на въртене β с елиптични точки. Нека разгледаме два варианта за решаване на този проблем: а) точка M ∈ β и б) точка M ∉ β

Вариант а (фиг. 210).

Допирателната равнина се определя от две допирателни t 1 и t 2, прекарани в точка M към паралела и меридиана на повърхността β.

Проекциите на допирателната t 1 към паралела h на повърхността β ще бъдат t" 1 ⊥ (S"M") и t" 1 || ос x Хоризонталната проекция на допирателната t" 2 към меридиана d на повърхността β, минаваща през точката M, ще съвпадне с хоризонталната проекция на меридиана. За да намерите фронталната проекция на допирателната t" 2, меридионалната равнина γ(γ ∋ M) се прехвърля в позиция γ чрез завъртане около оста на повърхността β 1, успоредна на равнината π 2. В този случай точка M → M 1 (M" 1, M" 1). Проекцията на допирателната t" 2 rarr; t" 2 1 се определя от (M" 1 S"). Ако сега върнем равнината γ 1 в първоначалното й положение, тогава точката S" ще остане на мястото си (като принадлежаща на оста на въртене), а M" 1 → M" и фронталната проекция на допирателната t" 2 ще бъде определен (M" S")

Две допирателни t 1 и t 2 , пресичащи се в точка M ∈ β, определят равнина α, допирателна към повърхността β.

Вариант b (фиг. 211)

За да се изгради равнина, допирателна към повърхност, минаваща през точка, която не принадлежи на повърхността, трябва да се изхожда от следните съображения: през точка извън повърхността, състояща се от елиптични точки, могат да бъдат начертани много равнини, допирателни към повърхността. Обвивката на тези повърхности ще бъде някаква конична повърхност. Следователно, ако няма допълнителни инструкции, проблемът има много решения и в този случай се свежда до изпълнение конична повърхностγ допирателна към дадена повърхност β.

На фиг. 211 показва конструкцията на конична повърхност γ, допирателна към сферата β. Всяка равнина α, допирателна към коничната повърхност γ, ще бъде допирателна към повърхността β.

За да построим проекции на повърхността γ от точките M" и M" начертаваме допирателни към окръжностите h" и f" - проекциите на сферата. Маркирайте точки на допир 1 (1" и 1"), 2 (2" и 2"), 3 (3" и 3") и 4 (4" и 4"). Хоризонтална проекция на окръжност - линията на допиране на коничната повърхност и сферата се проектира в [ 1"2"] За да намерим точките на елипсата, в които тази окръжност ще бъде проектирана върху фронталната равнина на проекциите, ще използваме паралелите на сферата.

На фиг. 211 са определени по този начин фронтални проекцииточки E и F (E" и F"). Имайки конична повърхност γ, построяваме допирателна равнина α към нея. Естеството и последователността на графиката

Конструкциите, които трябва да бъдат направени за това, са дадени в следния пример.

ПРИМЕР 2 Да се ​​построи равнина α, допирателна към повърхността β с параболични точки

Както в пример 1, разглеждаме две решения: а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Вариант а (фиг. 212).

Конична повърхност се отнася до повърхности с параболични точки (виж Фиг. 207.) Равнина, допирателна към конична повърхност, я докосва по протежение на праволинейна образуваща , За да се построи, е необходимо:

1) през дадена точка N начертайте генератор SN (S"N" и S"N");

2) маркирайте точката на пресичане на образуващата (SN) с водача d: (SN) ∩ d = A;

3) също ще духа към допирателната t към d в точка A.

Образуващата (SA) и пресичащата я допирателна t определят равнината α, допирателна към коничната повърхност β в дадена точка N*.

Да се ​​начертае равнина α, допирателна към коничната повърхност β и минаваща през точка N, не принадлежи на

* Тъй като повърхността β се състои от параболични точки (с изключение на върха S), допирателната равнина α към нея ще има обща не една точка N, а права линия (SN).

жътва дадена повърхност, необходимо:

1) през дадена точка N и върха S на коничната повърхност β начертайте права линия a (a" и a") ;

2) определете хоризонталната следа на тази права линия H a;

3) през H a начертайте допирателните t" 1 и t" 2 на кривата h 0β - хоризонталната следа на коничната повърхност;

4) свържете допирателните точки A (A" и A") и B (B" и B") към върха на коничната повърхност S (S" и S").

Пресичащите се прави t 1, (AS) и t 2, (BS) определят желаните допирателни равнини α 1 и α 2

ПРИМЕР 3. Да се ​​построи равнина α, допирателна към повърхността β с хиперболични точки.

Точка K (фиг. 214) се намира на повърхността на глобоида ( вътрешна повърхностпръстени).

За да се определи позицията на допирателната равнина α е необходимо:

1) начертайте паралел на повърхността β h(h", h") през точка K;

2) през точката K" начертайте допирателна t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) за да се определят посоките на проекциите на допирателната към меридионалното сечение, е необходимо да се начертае равнината γ през точката K и оста на повърхността, хоризонталната проекция t" 2 ще съвпадне с h 0γ; да се изгради челната проекция на допирателната t" 2, първо преместваме равнината γ, като я завъртаме около оста на повърхността на въртене до позиция γ 1 || π 2. В този случай меридионалното сечение с равнина γ ще се изравни с лявата очертана дъга на фронталната проекция - полукръг g".

Точка K (K", K"), принадлежаща на кривата на меридионалното сечение, ще се премести в позиция K 1 (K" 1, K" 1). През K" 1 начертаваме фронтална проекция на допирателната t" 2 1, комбинирана с равнината γ 1 || π 2 позиция и маркирайте точката на нейното пресичане с фронталната проекция на оста на въртене S" 1. Връщаме равнината γ 1 в първоначалното й положение, точка K" 1 → K" (точка S" 1 ≡ S") , Фронталната проекция на допирателната t" 2 се определя от точките K" и S".

Допирателните t 1 и t 2 определят желаната допирателна равнина α, която пресича повърхността β по кривата l.

ПРИМЕР 4. Построете равнина α, допирателна към повърхността β в точка K. Точка K се намира на повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене (фиг. 215).

Този проблем може да бъде решен чрез придържане към алгоритъма, използван в предишния пример, но като се има предвид, че повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене е линейчата повърхност, която има две семейства праволинейни генератори и всеки от генераторите на един семейство пресича всички генератори на другото семейство (виж § 32, фиг. 138). През всяка точка от тази повърхност могат да се начертаят две пресичащи се прави линии - генератори, които едновременно ще бъдат допирателни към повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене.

Тези допирателни определят допирателната равнина, т.е. равнината, допирателна към повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене, пресича тази повърхност по две прави линии g 1 и g 2. За да се конструират проекции на тези линии, достатъчно е да се пренесе хоризонталната проекция на точка K и допирателните t" 1 и t" 2 към хоризонталата

тална проекция на окръжността d" 2 - гърлото на повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене; определете точки 1" и 2, в които t" 1 и t" 2 пресичат една и насочващите повърхности d 1. От 1" и 2" намираме 1" и 2", които заедно с K" определят челните проекции на търсените линии.

Повърхността се дефинира като набор от точки, чиито координати отговарят на определен тип уравнение:

Ако функцията F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))е непрекъсната в дадена точка и има непрекъснати частични производни в нея, поне една от които не изчезва, тогава в близост до тази точка повърхността, дадена от уравнение (1), ще бъде дясната повърхност.

В допълнение към горното имплицитен начин за уточняване, повърхността може да бъде дефинирана очевидно, ако една от променливите, например z, може да бъде изразена чрез другите:

По-стриктно проста повърхност се нарича образ на хомеоморфно картографиране (т.е. едно към едно и взаимно непрекъснато картографиране) на вътрешността на единичен квадрат. На това определение може да се даде аналитичен израз.

Нека е даден квадрат на равнина с правоъгълна координатна система u и v, чиито координати на вътрешните точки удовлетворяват неравенствата 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Пример проста повърхносте полукълбо. Цялата сфера не е проста повърхност. Това налага допълнително обобщаване на понятието повърхност.

Подмножество от пространство, всяка точка от което има квартал, който е проста повърхност, Наречен дясната повърхност .

Повърхнина в диференциалната геометрия

Хеликоид

Катеноид

Метриката не определя еднозначно формата на повърхността. Например метриките на хеликоид и катеноид, съответно параметризирани, съвпадат, тоест има съответствие между техните региони, което запазва всички дължини (изометрия). Свойствата, които се запазват при изометрични трансформации, се наричат вътрешна геометрияповърхности. Вътрешната геометрия не зависи от положението на повърхността в пространството и не се променя, когато се огъва без напрежение или компресия (например, когато цилиндърът се огъва в конус).

Метрични коефициенти E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)определят не само дължините на всички криви, но и като цяло резултатите от всички измервания вътре в повърхността (ъгли, площи, кривина и т.н.). Следователно всичко, което зависи само от метриката, се отнася до вътрешна геометрия.

Нормален и нормален участък

Нормални вектори в точки на повърхността

Една от основните характеристики на повърхността е нейната нормално- единичен вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в дадена точка:

Знакът на нормалата зависи от избора на координати.

Разрез на повърхнина с равнина, съдържаща повърхностната нормала в дадена точка, образува определена крива, наречена нормална секцияповърхности. Основната норма за нормално сечение съвпада с нормалата към повърхността (до знака).

Ако кривата на повърхнината не е нормално сечение, тогава нейната главна нормала образува определен ъгъл с нормалата на повърхнината θ (\displaystyle \theta ). След това кривината k (\displaystyle k)крива, свързана с кривина k n (\displaystyle k_(n))нормално сечение (със същата допирателна) по формулата на Мюние:

Координати на нормалния единичен вектор за различни начиниразпределението на повърхността е дадено в таблицата:

Тук D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Всички производни се вземат в точката (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

кривина

За различни посоки в дадена точка от повърхността се получава различна кривина на нормалното сечение, което се нарича нормална кривина; присвоява му се знак плюс, ако главната нормала на кривата върви в същата посока като нормалата към повърхността, или знак минус, ако посоките на нормалите са противоположни.

Най-общо казано, във всяка точка на повърхността има две перпендикулярни посоки e 1 (\displaystyle e_(1))И e 2 (\displaystyle e_(2)), при които нормалната кривина отнема минимум и максимална стойност; тези направления се наричат основен. Изключение прави случаят, когато нормалната кривина във всички посоки е една и съща (например близо до сфера или в края на елипсоид на въртене), тогава всички посоки в дадена точка са главни.

Повърхнини с отрицателна (вляво), нулева (в центъра) и положителна (вдясно) кривина.

Нар. нормални кривини в главните посоки основни кривини; да ги обозначим κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))И κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). размер:

наречена Гаусова кривина, пълна кривина или просто повърхностна кривина. Съществува и терминът скаларна кривина, което предполага резултат от конволюция на тензора на кривината; в този случай скаларът на кривината е два пъти по-голям от кривината на Гаус.

Гаусовата кривина може да се изчисли чрез метрика и следователно е обект на присъщата геометрия на повърхностите (обърнете внимание, че основните кривини не принадлежат на присъщата геометрия). Можете да класифицирате повърхностните точки въз основа на знака на кривина (вижте фигурата). Кривината на равнината е нула. Кривината на сфера с радиус R е еднаква навсякъде 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Има и повърхност с постоянна отрицателна кривина -

Нека имаме повърхност, дефинирана от уравнение от вида

Нека въведем следното определение.

Определение 1. Права линия се нарича допирателна към повърхността в дадена точка, ако е така

допирателна към всяка крива, лежаща на повърхността и минаваща през точката.

Тъй като безкраен брой различни криви, лежащи на повърхността, преминават през точката P, тогава, най-общо казано, ще има безкраен брой допирателни към повърхността, минаващи през тази точка.

Нека въведем концепцията за сингулярни и обикновени точки на повърхността

Ако в дадена точка и трите производни са равни на нула или поне една от тези производни не съществува, тогава точката M се нарича особена точка на повърхността. Ако в дадена точка и трите производни съществуват и са непрекъснати и поне една от тях е различна от нула, тогава точката М се нарича обикновена точка на повърхността.

Сега можем да формулираме следната теорема.

Теорема. Всички допирателни към дадена повърхност (1) в нейната обикновена точка P лежат в една и съща равнина.

Доказателство. Нека разгледаме определена линия L на повърхността (фиг. 206), минаваща през дадена точка P от повърхността. Нека разглежданата крива е дадена чрез параметрични уравнения

Допирателната към кривата ще бъде допирателната към повърхността. Уравненията на тази допирателна имат формата

Ако изрази (2) се заменят в уравнение (1), тогава това уравнение ще се превърне в идентичност по отношение на t, тъй като крива (2) лежи върху повърхност (1). Разграничавайки го, като получаваме

Проекциите на този вектор зависят от - координатите на точка Р; имайте предвид, че тъй като точка P е обикновена, тези проекции в точка P не изчезват едновременно и следователно

допирателна към крива, минаваща през точка P и лежаща на повърхността. Проекциите на този вектор се изчисляват въз основа на уравнения (2) при стойността на параметъра t, съответстваща на точка P.

Нека изчислим скаларно произведениевектори N и което е равно на сумата от продуктите на проекции със същото име:

Въз основа на равенство (3), изразът от дясната страна е равен на нула, следователно,

От последното равенство следва, че векторът LG и допирателният вектор към крива (2) в точка P са перпендикулярни. Горното разсъждение е валидно за всяка крива (2), минаваща през точка P и лежаща на повърхността. Следователно всяка допирателна към повърхността в точка P е перпендикулярна на един и същ вектор N и следователно всички тези допирателни лежат в една и съща равнина, перпендикулярна на вектора LG. Теоремата е доказана.

Определение 2. Равнината, в която са разположени всички допирателни към правите на повърхнината, минаващи през дадената й точка P, се нарича допирателна равнина към повърхнината в точка P (фиг. 207).

Имайте предвид, че в специални точкиВъзможно е да няма допирателна равнина към повърхността. В такива точки допирателните към повърхността може да не лежат в една и съща равнина. Например върхът на конична повърхност е особена точка.

Допирателните към коничната повърхнина в тази точка не лежат в една равнина (самите те образуват конична повърхнина).

Нека напишем уравнението на допирателната равнина към повърхността (1) в обикновена точка. Тъй като тази равнина е перпендикулярна на вектор (4), следователно нейното уравнение има формата

Ако уравнението на повърхността е дадено във формата или уравнението на допирателната равнина в този случай приема формата

Коментирайте. Ако поставим формула (6), тогава тази формула ще приеме формата

дясната му страна е пълният диференциал на функцията. Следователно, . По този начин общият диференциал на функция на две променливи в точка, съответстваща на нарастванията на независимите променливи x и y, е равен на съответното нарастване на приложението на допирателната равнина към повърхността, която е графиката на тази функция.

Определение 3. Права линия, прекарана през точка на повърхността (1), перпендикулярна на допирателната равнина, се нарича нормала към повърхността (фиг. 207).