Пресичане на две равнини онлайн. Изграждане на линия на пресичане на равнини, определени по различни начини

Правата линия, получена от взаимното пресичане на две равнини, се определя напълно от две точки, всяка от които принадлежи на двете равнини.Така правата K 1 K 2 (фиг. 163), по която равнината, определена от триъгълника ABC и pl. β, дадена от правите DE и DF, минава през точките K 1 и K 2; но в тези точки правите AB и AC на първата равнина пресичат квадрата. β, т.е. точките K 1 и K 2 принадлежат на двете равнини.

следователно в общия случай, за да се построи линията на пресичане на две равнини, е необходимо да се намерят произволни две точки, всяка от които принадлежи и на двете равнини; тези точки определят линията на пресичане на равнините.

За да се намери всяка от тези две точки, обикновено е необходимо да се извършат специални конструкции. Но ако поне една от пресичащите се равнини е перпендикулярна на равнината на проекцията, тогава изграждането на проекции на пресечната линия е опростено. Да започнем с този случай.

На фиг. 164 показва пресичането на две равнини, едната от които (определена от триъгълника DEF) е разположена перпендикулярно на квадрата. π 2. Тъй като триъгълникът DEF се проектира върху квадрата π 2 под формата на права линия (D "F"), фронталната проекция на сегмента на правата линия, по която се пресичат двата триъгълника, е сегмент K " 1 K " 2 на проекцията D "F". По-нататъшната конструкция е ясна от чертежа.

Друг пример е даден на фиг. 165. Хоризонтално проектиращата се равнина α пресича равнината на триъгълник ABC. Хоризонталната проекция на линията на пресичане на тези равнини - отсечката M"N" - се определя върху следата α".

Сега нека помислим общ случай на построяване на линията на пресичане на две равнини. Нека една от равнините, β, е определена от две пресичащи се прави, а другата, γ, от две успоредни прави. Конструкцията е показана на фиг. 166. В резултат на взаимното пресичане на равнините β и γ се получава правата K 1 K 2. Нека изразим това, като напишем: β × γ = K 1 K 2.

За да определим позицията на точките K 1 и K 2, вземаме две помощни фронтално изпъкнали равнини (α 1 и α 2), пресичащи всяка от равнините β и γ. Когато равнините β и γ се пресичат с равнината α 1. получаваме прави линии с проекции 1"2", 1"2" и 3"4", 3"4". Тези прави линии, разположени на площада. α 1, в тяхното пресичане определят първата точка, K 1, пресечната линия на равнините β и γ.

След като получихме проекциите K" 1 и K" 2, намираме върху следите както α" 1, така и α" 2 проекциите K" 1 и K" 2. Това определя проекциите K" 1 K" 2 и K" 1 K" 2 на желаната права линия на пресичане на равнините β и γ (проекциите са начертани с тире-точка).

Когато конструирате, можете да имате предвид следното: тъй като спомагателните режещи равнини α 1 и α 2 са взаимно успоредни, тогава, след като са конструирани проекции 1"2" и 3"4", трябва да се вземе по една точка за проекции 5" 6" и 7"8", най-малко 5 и 8, тъй като 5"6"||1"2" и 7"8"||3"4".

В разглежданата конструкция две фронтално изпъкнали равнини са взети като помощни. Разбира се, възможно е да се вземат и други равнини, например две хоризонтални или една хоризонтална, другата фронтална и т.н. Същността на конструкциите не се променя от това. Такъв случай обаче може да се случи. Да приемем, че две хоризонтални равнини са взети като спомагателни и получени при пресичането им

хоризонталните равнини β и γ се оказаха взаимно успоредни. Но ориз. 167 показва, че β и γ се пресичат, въпреки че техните хоризонтални линии са успоредни. Следователно, след като са получени взаимно успоредни хоризонтални проекции на хоризонталите AB и CD и знаейки, че равнините не са непременно успоредни, но могат да се пресичат (по обща за тях хоризонтала), е необходимо да се тестват равнините β и γ, като се използва поне a хоризонтално изпъкнала равнина (виж фиг. 167); ако правите, по които тази спомагателна равнина σ пресича β и γ, също се оказват успоредни една на друга, тогава равнините β и γ не се пресичат, а са успоредни една на друга. На фиг. 167 тези прави се пресичат в точка K, през която пресечната линия на равнините β и γ минава успоредно на правите BA и CD.

Ако равнините се определят от техните следи върху проекционните равнини, тогава е естествено да се търсят точките, които определят линията на пресичане на равнините в точките на пресичане на същите следи на равнините (фиг. 168): правата линия, минаваща през тези точки, е обща за двете равнини, т.е. техните пресечни точки.

Схемата за конструиране на линията на пресичане на две равнини (виж фиг. 166) може, разбира се, да бъде разширена до случая на определяне на равнини чрез техните следи. Тук ролята на спомагателни режещи равнини играят самите проекционни равнини:

α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; h" 0α × h" 0β =M;

α × π 2 =f" 0α ; β× π 2 =f" 0β ; f" 0α × f" 0β =N.

Пресечните точки на следи от равнини със същото име са следи от линията на пресичане на тези равнини. Следователно, за да се конструират проекции на линията на пресичане на равнините α и β (фиг. 168), е необходимо: ​​1) да се намери точка M" в пресечната точка на следи h" 0α и h" 0β

и точка N" в пресечната точка на f" 0α и f" 0β, а по тях - проекции M" и N"; 2) начертайте прави линии M"N" и M"N",

На фиг. 169-171 показват случаи, когато посоката на пресечната линия е известна. Следователно е достатъчно да имате само една точка от пресечната точка на следите и след това да начертаете права линия през тази точка, въз основа на позицията на равнините и техните следи.

Въпроси към §§ 22-24

1. Какво взаимно положение могат да заемат двете равнини?
2. Какъв е знакът за успоредност на две равнини?
3. Как са взаимно разположени фронталните следи на две успоредни фронтално изпъкнали равнини?
4. Как са разположени взаимно хоризонталните следи на две успоредни хоризонтално проектиращи се равнини?
5. Как са разположени едноименните следи на две успоредни една на друга равнини?
6. Пресичането на поне една двойка техни едноименни следи признак ли е за взаимно пресичане на две равнини?
7. Как да установя взаимното положение на права линия и равнина?
8. Как се построява пресечната точка на права с равнина, перпендикулярна на една или две проекционни равнини?
9. Коя точка измежду разположените на общ перпендикуляр на а) мн. π 1 б) мн.ч. π 2 се счита за видимо съответно на π 1, на π 2?
10. Как да построим линията на пресичане на две равнини, поне едната от които е перпендикулярна на квадрата. π 1 или към мн.ч. π 2?
11. Какво е общ методизграждане на линията на пресичане на две равнини?

Две равнини се пресичат по права линия. За да се конструира, е необходимо да се определят две точки, които едновременно принадлежат на всяка от дадени самолети. Нека да разгледаме как се прави това с помощта на следните примери.

Нека намерим пресечната линия на равнините обща позицияα и β за случая, когато pl. α е дадено от проекциите на триъгълник ABC, а pl. β – успоредни прави d и e. Решението на този проблем се осъществява чрез конструиране на точки L 1 и L 2, принадлежащи на пресечната линия.

Решение

1. Въвеждаме спомагателна хоризонтална равнина γ 1. Тя пресича α и β по права линия. Фронталните проекции на тези линии, 1""C"" и 2""3"", съвпадат с челната следа на квадрата. γ 1. Той е обозначен на фигурата като f 0 γ 1 и е разположен успоредно на оста x.
2. Определяме хоризонтални проекции 1"C" и 2"3" по комуникационните линии.
3. Намираме хоризонталната проекция на точка L 1 в пресечната точка на линиите 1 "C" и 2 "3". Фронталната проекция на точка L 1 лежи върху фронталната следа на равнината γ.
4. Въвеждаме спомагателна хоризонтална равнина γ 2. Използвайки конструкции, подобни на тези, описани в параграфи 1, 2, 3, намираме проекциите на точка L 2.
5. През L 1 и L 2 прекарваме желаната права линия l.

Заслужава да се отбележи, че като мн. γ е удобно да се използват както нивелирни равнини, така и проекционни равнини.

Нека намерим пресечната линия на равнините α и β, определени от следите. Тази задача е много по-проста от предишната. Не изисква въвеждането на спомагателни равнини. Тяхната роля се играе от проекционните равнини P 1 и P 2.

Алгоритъм за изграждане

1. Намираме точката L" 1, разположена в пресечната точка на хоризонталните следи h 0 α и h 0 β. Точката L"" 1 лежи на оста x. Нейната позиция се определя с помощта на линия на свързване, изчертана от L" 1 .
2. Намираме точка L"" 2 в пресечната точка на фронталните следи pl. α и β. Точка L" 2 лежи на оста x. Нейната позиция се определя по линията на свързване, прекарана от L"" 2.
3. Начертаваме прави линии l" и l"" през съответните проекции на точки L 1 и L 2, както е показано на фигурата.

Така правата l, минаваща през пресечните точки на следите на равнините, е желаната.

Пресичане на равнини на триъгълници

Нека да разгледаме изграждането на линията на пресичане на равнините, дефинирани от триъгълници ABC и DEF, и определяне на тяхната видимост с помощта на метода на конкурентните точки.

Алгоритъм за изграждане

1. През правата DE начертаваме фронтално проектиращата се равнина σ: нейната следа f 0σ е посочена на чертежа. Равнината σ се пресича триъгълник ABCпо права линия 35. След като маркираме точките 3""=A""B""∩f 0σ и 5""=A""C""∩f 0σ, определяме положението на (∙)3" и (∙ )5" по комуникационните линии до ΔA"B"C".
2. Намираме хоризонталната проекция N"=D"E"∩3"5" на точката N на пресечната точка на прави линии DE и 35, които лежат в спомагателната равнина σ. Проекцията N"" е разположена върху челната следа f 0σ на същата свързваща линия с N".

През правата BC начертаваме фронтално проектираната равнина τ: нейната следа f 0τ е посочена на чертежа. Използвайки конструкции, подобни на тези, описани в параграфи 1 и 2 на алгоритъма, намираме проекциите на точка K.

3. През N и K прекарваме желаната права NK - пресечната линия на ΔABC и ΔDEF.

Определение за видимост

Фронтално конкуриращи се точки 4 и 5, принадлежащи съответно на ΔDEF и ΔABC, са на една и съща фронтално проектирана права линия, но разположени на различни разстояния от проекционната равнина π 2 . Тъй като (∙)5" е по-близо до наблюдателя, отколкото (∙)4", отделението ΔABC с неговото (∙)5 се вижда в проекцията върху квадрата. π 2. От противоположната страна на линията N""K"", видимостта на триъгълниците се променя.

Хоризонтално конкуриращите се точки 6 и 7, принадлежащи съответно на ΔABC и ΔDEF, са на една и съща хоризонтално проектирана права линия, но разположени на различни разстояния от проекционната равнина π 1 . Тъй като (∙)6"" се намира по-високо от (∙)7"", тогава отделение ΔABC със своите (∙)6) се вижда в проекцията върху квадрата. π 1. От другата страна на линията N"K" видимостта на триъгълниците се променя.

Две равнини в пространството могат да бъдат успоредни или пресичащи се; специален случай на пресичащи се равнини са взаимно перпендикулярните равнини.

Конструирането на линията на пресичане на равнините е една от основните задачи на дескриптивната геометрия, която има голям практическо значение. Принадлежи към т.нар позиционензадачи.

Позиционенсе наричат ​​задачи за определяне на общите елементи на различни спрегнати геометрични форми. Те включват задачи за принадлежностгеометрични елементи и на кръстовищетогеометрични обекти, например пресичането на права и равнина с повърхност, пресичането на две повърхности и по-специално проблемът за пресичането на две равнини.

Линията на пресичане на две равнини е права линия, която принадлежи едновременно на двете пресичащи се равнини. Следователно, за да се изгради линия на пресичане на равнини, е необходимо да се определят две точки от тази линия или една точка и посоката на линията на пресичане.

Нека помислим специален случай пресичане на равнини, когато една от тях се проектира. На фиг. 3.6 показва равнина в общо положение, определена от триъгълника ABC и хоризонтално проектираната P. Двете общи точки, принадлежащи на двете равнини, са точките D и E, които определят линията на пресичане.

За определяне на тези точки са намерени пресечните точки на страните AB и BC с проектиращата равнина. Конструирането на точки D и E както на пространствения чертеж (фиг. 3.6, а), така и на диаграмата (фиг. 3.6, b) не създава затруднения, т.к. въз основа на колективното свойство за проектиране на следи от равнини, обсъдени по-горе.

Свързвайки същите проекции на точки D и E, получаваме проекциите на линията на пресичане на равнината на триъгълника ABC и равнината P. По този начин хоризонталната проекция D 1 E 1 на линията на пресичане на дадените равнини съвпада с хоризонталната проекция на проектиращата равнина P - с нейната хоризонтална следа.

Нека помислим общ случайпресичане, когато двете равнини са в общо положение. На фиг. 3.7. показва две общи равнини, определени от триъгълник и две успоредни прави. За да определим две общи точки на линията на пресичане на равнини, начертаваме две спомагателни (хоризонтални) равнини на ниво R и T. Помощната равнина R пресича дадените равнини по две хоризонтали h и h 1, които при пресичането им определят точка 1, общи за равнините P и Q, така че те едновременно принадлежат на спомагателната сечаща равнина R. Втората равнина - медиаторът T също пресича всяка от дадените равнини по хоризонталите h 2 и h 3, които са успоредни на първите две хоризонтали . В пресечната точка на хоризонталните прави получаваме втората обща точка на 2 дадени равнини. Свързвайки проекциите на тези едноименни точки на диаграмата (фиг. 3.8, b), получаваме проекциите на линията на пресичане на равнините.

На фиг. Фигура 3.8 показва две равнини, определени от следи. Общите точки на равнините са пресечните точки на M и N на едни и същи следи. Като съединих проекциите на тези едноименни точки с права линия, получих проекциите на пресечната линия на равнините.

Ако пресечните точки на едни и същи следи са извън чертожното поле (вижте пример 5), както и в случаите, когато равнините са определени не от следи, а от други геометрични елементи, тогава за да определите линията на пресичане на равнините, вие трябва да използва спомагателни нивелирни равнини– хоризонтална или фронтална. Трябва да се отбележи, че при конструирането на линията на пресичане на равнините, определени от следите, ролята на спомагателни режещи равнини играят проекционните равнини P 1 и P 2.

На фиг. Фигура 3.9 показва случая на пресичане на две равнини, когато посоката на пресечната линия е известна, т.к. равнина P е равнината на нивото (P||P 1). Следователно е достатъчно да имате само една пресечна точка на следите и след това да начертаете права линия през тази точка въз основа на позицията на равнините и техните следи. В нашия случай пресечната линия е общата хоризонтална NA на равнините P и T.

Правата линия в пространството може да се дефинира като пресечната линия на две неуспоредни равнини, т.е. като набор от точки, удовлетворяващи системата от две линейни уравнения

(V.5)

Обратното твърдение също е вярно: система от две независими линейни уравнения от вида (V.5) определя права линия като линия на пресичане на равнини (ако не са успоредни). Уравненията на системата (V.5) се наричат общо уравнениеправа линия в пространството
.

ПримерV.12 . Съставете канонично уравнение на права линия, дадено от общите уравнения на равнините

Решение. За да напишете каноничното уравнение на права или, което е същото, уравнението на права, минаваща през две дадени точки, трябва да намерите координатите на произволни две точки от правата. Те могат да бъдат точките на пресичане на права линия с произволни две координатни равнини, например ОйзИ Oxz.

Пресечна точка на права и равнина Ойзима абсциса
. Следователно, приемайки в тази система от уравнения
, получаваме система с две променливи:

Нейното решение
,
заедно с
определя точка
желаната права линия. Ако приемем в тази система от уравнения
, получаваме системата

решението на което
,
заедно с
определя точка
пресичане на права с равнина Oxz.

Сега нека напишем уравненията на правата, минаваща през точките
И
:
или
, Където
ще бъде насочващият вектор на тази права линия.

ПримерV.13. Правата линия е дадена от каноничното уравнение
. Съставете общо уравнениетази права линия.

Решение.Каноничното уравнение на линия може да бъде написано като система от две независими уравнения:



Получихме общото уравнение на права линия, което сега е дадено от пресечната точка на две равнини, едната от които
успоредна на оста Оз (
), и другият
- брадви OU (
).

Тази права линия може да бъде представена като линия на пресичане на две други равнини, като напишете нейното канонично уравнение под формата на друга двойка независими уравнения:



Коментирайте . Една и съща права линия може да бъде определена от различни системи от две линейни уравнения (т.е. чрез пресичане на различни равнини, тъй като през една права линия могат да бъдат начертани безкраен брой равнини), както и от различни канонични уравнения (в зависимост от изборът на точка от правата линия и нейния насочващ вектор).

Ненулев вектор, успореден на права линия, ще го наричаме водещ вектор .

Пуснете в триизмерното пространство дадена е права линия л, минаваща през точката
, и неговия вектор на посоката
.

Всеки вектор
, Където
, лежащ на права, е колинеарен на вектора , следователно техните координати са пропорционални, т.е

. (V.6)

Това уравнение се нарича канонично уравнение на правата. В специалния случай, когато ﻉ е равнина, получаваме уравнението на права линия в равнината

. (V.7)

ПримерV.14. Намерете уравнението на права, минаваща през две точки
,
.

,

Където
,
,
.

Удобно е уравнение (V.6) да се напише в параметрична форма. Тъй като координатите на насочващите вектори на успоредни прави са пропорционални, тогава, ако приемем

,

Където T - параметър,
.

Разстояние от точка до линия

Помислете за двумерно евклидово пространство ﻉ с декартова координатна система. Нека точката
ﻉ и лﻉ. Нека намерим разстоянието от тази точка до правата. Да сложим
, и направо лдадено от уравнението
(Фиг.V.8).

Разстояние
, вектор
, Където
– вектор на нормална линия л,
И – колинеарни, така че техните координати са пропорционални, т.е
, следователно,
,
.

Оттук
или умножавайки тези уравнения по АИ бсъответно и добавяйки ги, намираме
, оттук

.

(V.8)

определя разстоянието от точка
към права линия
.

ПримерV.15. Намерете уравнението на права, минаваща през точка
перпендикулярно на права линия л:
и намерете разстоянието от
към права линия л.

От фиг. V.8 имаме
, а нормалният вектор е прав л
. От условието за перпендикулярност, което имаме

защото
, Че

. (V.9)

Това е уравнението на права, минаваща през точка
, перпендикулярна на права линия
.

Нека имаме уравнението на правата (V.9), минаваща през точката
, перпендикулярна на правата л:
. Намерете разстоянието от точката
към права линия л, използвайки формула (V.8).

За да намерите необходимото разстояние, достатъчно е да намерите уравнението на права линия, минаваща през две точки
и точка
лежаща на правата в основата на перпендикуляра. Позволявам
, Тогава

защото
, и векторът
, Че

. (V.11)

Тъй като точката
лежи на права линия л, тогава имаме друго равенство
или

Нека редуцираме системата до вид, удобен за прилагане на метода на Крамер

Неговото решение има формата

,

. (V.12)

Замествайки (V.12) в (V.10), получаваме първоначалното разстояние.

ПримерV.16. Дадена е точка в двумерно пространство
и прав
. Намерете разстоянието от точка
до права линия; напишете уравнението на права, минаваща през точка
перпендикулярна на дадена права и намерете разстоянието от точката
до основата на перпендикуляра на оригиналната линия.

По формула (V.8) имаме

Намираме уравнението на права, съдържаща перпендикуляр като права, минаваща през две точки
И
, използвайки формула (V.11). защото
, тогава, като се има предвид фактът, че
, А
, ние имаме

.

За намиране на координати
имаме система, отчитаща факта, че точката
лежи на оригиналната линия

следователно
,
, оттук.

Помислете за триизмерно евклидово пространство ﻉ. Нека точката
ﻉ и равнина ﻉ. Нека намерим разстоянието от тази точка
към равнината , дадена от уравнението (фиг. V.9).

Аналогично на двумерното пространство, което имаме
и вектор
, а, от тук

. (V.13)

Записваме уравнението на права, съдържаща перпендикуляр към равнината  като уравнение на права, минаваща през две точки
И
, лежащ в самолета:

. (V.14)

За намиране на координатите на точка
към всеки две равенства на формула (V.14) добавяме уравнението

Решавайки системата от три уравнения (V.14), (V.15), намираме ,,– координати на точки
. Тогава уравнението на перпендикуляра ще бъде записано във формата

.

Да се ​​намери разстоянието от точка
към равнината вместо формула (V.13) използваме

Използвайки дадените координати на точки A, B, C, D, E, F (Таблица 2), изградете хоризонтални и фронтални проекции на триъгълници ∆ABC и ∆DEF, намерете линията на тяхното пресичане и определете видимостта на елементите на триъгълника.

2.2. Пример за задача No2

Втората задача представя набор от задачи по следните теми:

1. Ортогонална проекция, диаграма на Монж, точка, права, равнина: по известни координати на шест точки А Б В Г Д Епострояване на хоризонтални и фронтални проекции на 2 равнини, дадени с ∆ ABCи ∆ DEF;

2. Общи и частни равнини, пресичане на права и равнина, пресичане на равнини, конкуриращи се точки: построява линия на пресичане на дадени равнини и определя видимостта на елементите им.

Построяване на хоризонтални и фронтални проекции на дадени равнини ∆ ABCи ∆ DEF(Фигура 2.1).

За да конструирате желаната линия на пресичане на дадени равнини, трябва:

1. Изберете една от страните на триъгълника и изградете пресечната точка на тази страна с равнината на другия триъгълник: точка е конструирана на Фигура 2.1 Мпресечна точка на права линия Е.Ф.с равнина ∆ ABC; за това директно Е.Ф.заградена в спомагателна хоризонтална проекционна равнина δ;

2. Постройте фронтална проекция 1 2 2 2 пресечни линии на равнината δ с равнината ∆ ABC;

3. Намерете фронталната проекция М 2 точки за търсене Мв пресечната фронтална проекция 1 2 2 2 сек фронтална проекция д 2 Е 2 прави Е.Ф.;

4. Намерете хоризонталната проекция М 1 точки Мизползване на проекционна комуникационна линия;

5. Конструирайте втората точка по същия начин н, принадлежащи на желаната линия на пресичане на дадените равнини: оградете права линия във фронтално изпъкналата равнина β слънце; намерете линията на пресичане 34 равнина с равнина ∆ DEF; в пресечната точка на линията 34 и прав слънценамери точка н;

6. Използвайки конкурентни точки, за всяка равнина поотделно, определете видимите сечения на триъгълниците.

Фигура 2.1 – Построяване на линията на пресичане на две равнини, определени от триъгълници

Фигура 2.2 – Пример за задание 2

Видео пример за изпълнение на задача № 2

2.3. Варианти на задачите 2

Таблица 2 – Стойности на координатите на точката