Защо моделът хищник-плячка е неточен? Курсова работа: Качествено изследване на модела хищник-плячка

Федерална агенцияна образованието

Държавно учебно заведение

висше професионално образование

"Ижевски държавен технически университет"

Факултет по приложна математика

Катедра “Математическо моделиране на процеси и технологии”

Курсова работа

по дисциплината "Диференциални уравнения"

Тема: “Качествено изследване на модела хищник-плячка”

Ижевск 2010 г

ВЪВЕДЕНИЕ

1. ПАРАМЕТРИ И ОСНОВНО УРАВНЕНИЕ НА МОДЕЛА „ХИЩНИК-ЖЕРТВА“

2.2 Обобщени модели на Волтер от типа “хищник-плячка”.

3. ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ НА МОДЕЛА „ХИЩНИК-ЖЕРТВА“

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

ВЪВЕДЕНИЕ

В момента екологичните проблеми са от първостепенно значение. Важна стъпка в решаването на тези проблеми е развитието математически моделиекологични системи.

Една от основните задачи на екологията е модерен етапе изучаването на структурата и функционирането на природните системи, търсенето на общи модели. Голямо влияниеЕкологията беше повлияна от математиката, която допринесе за формирането на математическата екология, особено такива раздели като теорията на диференциалните уравнения, теорията на стабилността и теорията на оптималното управление.

Една от първите работи в областта на математическата екология е работата на A.D. Лотки (1880 - 1949), който пръв описва взаимодействието на различни популации, свързани чрез взаимоотношения хищник-плячка. Голям принос в изследването на модела хищник-жертва направиха V. Volterra (1860 - 1940), V.A. Костицин (1883-1963) Понастоящем уравненията, описващи взаимодействието на популациите, се наричат ​​уравнения на Лотка-Волтера.

Уравненията на Лотка-Волтера описват динамиката на средните стойности - размер на популацията. Понастоящем на тяхна основа са изградени по-общи модели на взаимодействие на популациите, описани с интегро-диференциални уравнения, и се изучават контролирани модели хищник-плячка.

Един от важни въпросиматематическата екология е проблемът за устойчивостта на екосистемите, управлението на тези системи. Управлението може да се извършва с цел прехвърляне на система от едно стабилно състояние в друго, с цел нейното използване или възстановяване.

1. ПАРАМЕТРИ И ОСНОВНО УРАВНЕНИЕ НА МОДЕЛА ХИЩНИК-ПРИМАТИ

Опити математическо моделиранединамика както на отделни биологични популации, така и на общности, включително взаимодействащи популации различни видове, са предприети от дълго време. Един от първите модели на изолиран растеж на населението (2.1) е предложен през 1798 г. от Томас Малтус:

Този модел се определя от следните параметри:

N - размер на популацията;

Разликата между раждаемостта и смъртността.

Интегрирайки това уравнение получаваме:

, (1.2)

където N(0) е размерът на популацията в момента t = 0. Очевидно моделът на Малтус при > 0 дава безкрайно нарастване на числеността, което никога не се наблюдава в естествените популации, където ресурсите, които осигуряват този растеж, винаги са ограничени. Промените в числеността на популациите на флората и фауната не могат да бъдат описани прост законМалтус, динамиката на растежа се влияе от много взаимосвързани причини - по-специално възпроизвеждането на всеки вид се саморегулира и модифицира, така че този вид да се запази в процеса на еволюция.

Математическото описание на тези модели се занимава с математическата екология - науката за взаимоотношенията на растителните и животинските организми и общностите, които те образуват помежду си и с околната среда.

Най-сериозното изследване на модели на биологични общности, включващи няколко популации от различни видове, е извършено от италианския математик Вито Волтера:

,

къде е размерът на популацията;

Коефициенти на естествен прираст (или смъртност) на населението; - коефициенти на междувидово взаимодействие. В зависимост от избора на коефициенти, моделът описва или борбата на видовете за споделен ресурс, или взаимодействие хищник-плячка, когато един вид е храна за друг. Ако произведенията на други автори се фокусираха върху изграждането на различни модели, тогава В. Волтера проведе задълбочено проучване на изградените модели на биологични общности. Именно с книгата на В. Волтера, според много учени, започва съвременната математическа екология.

2. КАЧЕСТВЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЕЛЕМЕНТАРНИЯ МОДЕЛ “ХИЩНИК-ЖЕРТВА”

2.1 Модел на трофично взаимодействие по типа “хищник-жертва”.

Нека разгледаме модела на трофично взаимодействие от типа "хищник-плячка", построен от V. Volterre. Нека има система, състояща се от два вида, единият от които яде другия.

Да разгледаме случая, когато единият от видовете е хищник, а другият е плячка, и ще приемем, че хищникът се храни само с плячката. Нека приемем следната проста хипотеза:

Темп на нарастване на жертвите;

Темп на растеж на хищника;

Размер на популацията на плячка;

Размер на популацията на хищниците;

Коефициент на естествен прираст на плячката;

Скоростта на консумация на плячка от хищник;

Смъртност на хищник при липса на плячка;

Коефициентът на „преработка“ на биомаса на плячка от хищник в собствена биомаса.

Тогава динамиката на популацията в системата хищник-жертва ще бъде описана чрез система от диференциални уравнения (2.1):

(2.1)

където всички коефициенти са положителни и постоянни.

Моделът има равновесно решение (2.2):

Според модел (2.1) делът на хищниците в общата маса на животните се изразява с формула (2.3):

(2.3)

Анализът на устойчивостта на равновесното състояние по отношение на малки смущения показа, че сингулярна точка(2.2) е "неутрално" стабилно (от типа "център"), т.е. всякакви отклонения от равновесието не изчезват, а прехвърлят системата в колебателен режим с амплитуда, зависеща от големината на смущението. Траекториите на системата на фазовата равнина имат формата на затворени криви, разположени на различни разстояния от точката на равновесие (фиг. 1).

Ориз. 1 – Фазов „портрет“ на класическата система Волтера „хищник-плячка“.

Разделяйки първото уравнение на системата (2.1) на второто, получаваме диференциално уравнение(2.4) за крива на фазовата равнина.

(2.4)

Интегрирайки това уравнение получаваме:

(2.5)

къде е константата на интегриране, къде

Лесно е да се покаже, че движението на точка по фазовата равнина ще се извършва само в една посока. За да направите това, е удобно да замените функциите и чрез преместване на началото на координатите в равнината до стационарна точка (2.2) и след това въвеждане на полярни координати:

(2.6)

В този случай, замествайки стойностите на системата (2.6) в система (2.1), ще имаме:

(2.7)

Умножавайки първото уравнение по и второто по и добавяйки ги, получаваме:

След подобни алгебрични трансформации получаваме уравнение за:

Количеството, както се вижда от (4.9), винаги е по-голямо от нула. Така той не променя знака и въртенето винаги е в една посока.

Интегрирайки (2.9), намираме периода:

Когато са малки, уравненията (2.8) и (2.9) се превръщат в уравнения на елипса. Периодът на обръщение в този случай е равен на:

(2.11)

Въз основа на периодичността на решенията на уравненията (2.1) можем да получим някои следствия. За да направим това, нека представим (2.1) във формата:

(2.12)

и интегрирайте за периода:

(2.13)

Тъй като заместванията от и поради периодичността изчезват, средните за периода се оказват равни на стационарните състояния (2.14):

(2.14)

Най-простите уравнения на модела "хищник-плячка" (2.1) имат редица съществени недостатъци. Така те предполагат неограничени хранителни ресурси за плячката и неограничен растеж на хищника, което противоречи на експерименталните данни. Освен това, както се вижда от фиг. 1 нито една от фазовите криви не е разграничена от гледна точка на стабилност. При наличие дори на малки смущаващи влияния, траекторията на системата ще се движи все по-далеч от равновесното положение, амплитудата на трептенията ще се увеличи и системата ще се срине доста бързо.

Въпреки недостатъците на модела (2.1), идеите за фундаментално осцилаторния характер на динамиката на системата „ хищник-плячка» са получили широко разпространение в екологията. Взаимодействията между хищник и жертва бяха използвани за обяснение на такива явления като колебания в броя на хищните и мирни животни в риболовните зони, колебания в популациите на риба, насекоми и т.н. Всъщност колебанията в числеността могат да бъдат причинени от други причини.

Да приемем, че в системата хищник-плячка има изкуствено унищожаване на индивиди от двата вида и да разгледаме въпроса как унищожаването на индивидите влияе върху средните стойности на техния брой, ако се извършва пропорционално на този брой с пропорционалност коефициенти и съответно за плячката и хищника. Като вземем предвид направените предположения, пренаписваме системата от уравнения (2.1) във формата:

(2.15)

Да приемем, че , т.е. коефициентът на унищожаване на плячката е по-малък от коефициента на нейния естествен прираст. В този случай също ще бъдат наблюдавани периодични трептениячисла. Нека изчислим средните числа:

(2.16)

Така, ако , тогава средният размер на популацията на плячката се увеличава, а този на хищника намалява.

Нека разгледаме случая, когато коефициентът на унищожаване на плячката е по-голям от коефициента на нейния естествен прираст, т.е. В такъв случай за всяко , и следователно решението на първото уравнение (2.15) е ограничено отгоре с експоненциално намаляваща функция , Аз ям .

Започвайки от определен момент t, в който , решението на второто уравнение (2.15) също започва да намалява и клони към нула. Така в случай, че и двата вида изчезват.

2.1 Обобщени модели на Волтер от типа „хищник-плячка”.

Първите модели на V. Volterra, естествено, не можеха да отразяват всички аспекти на взаимодействието в системата хищник-плячка, тъй като те бяха значително опростени спрямо реалните условия. Например, ако броят на хищника е нула, тогава от уравнения (1.4) следва, че броят на плячката нараства неограничено, което не е вярно. Въпреки това, стойността на тези модели се крие именно във факта, че те бяха основата, върху която с бързи темповезапочва да се развива математическата екология.

Появиха се голям брой изследвания върху различни модификации на системата хищник-жертва, където са изградени по-общи модели, които отчитат в една или друга степен реалната ситуация в природата.

През 1936 г. А.Н. Колмогоров предложи да се използва следната система от уравнения, за да се опише динамиката на системата хищник-жертва:

, (2.17)

където намалява с увеличаване на броя на хищниците и се увеличава с увеличаване на броя на плячката.

Тази система от диференциални уравнения, поради достатъчната си общност, позволява да се вземе предвид реално поведениепопулациите и в същото време провеждат качествен анализ на своите решения.

По-късно в своята работа Колмогоров изследва подробно един по-малко общ модел:

(2.18)

Различни специални случаи на системата от диференциални уравнения (2.18) са изследвани от много автори. Таблицата показва различни специални случаи на функциите , , .

Таблица 1 - Различни модели на общността хищник-плячка

			автори
			Волтера Лотка
			Гаузе
			Пийслоу
			дупка
			Ивлев
			Рояма
			Шимазу
			Може

математическо моделиране плячка на хищник

3. ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ НА МОДЕЛА ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Да разгледаме един математически модел на съвместното съществуване на два биологични вида (популации) от типа „хищник – плячка“, наречен модел на Волтера – Лотка.

Нека два биологични вида живеят заедно в изолирана среда. Средата е неподвижна и осигурява неограничени количества от всичко необходимо за живот на един от видовете, които ще наречем жертва. Друг вид, хищник, също е в стационарни условия, но се храни само с индивиди от първия вид. Това могат да бъдат каракуди и щуки, зайци и вълци, мишки и лисици, микроби и антитела и т.н. За категоричност ще ги наречем каракуди и щуки.

Задават се следните начални параметри:

С течение на времето броят на каракудите и щуките се променя, но тъй като в езерото има много риба, няма да правим разлика между 1020 каракуди и 1021 и затова ще броим непрекъснати функциивреме t. Ще наречем двойка числа (,) състоянието на модела.

Очевидно е, че естеството на промяната в състоянието (,) се определя от стойностите на параметрите. Чрез промяна на параметрите и решаване на системата от уравнения на модела е възможно да се изследват моделите на промени в състоянието на екологичната система във времето.

В една екосистема скоростта на промяна на броя на всеки вид също ще се счита за пропорционална на неговия брой, но само с коефициент, който зависи от броя на индивидите от друг вид. Така че, за каракуда този коефициент намалява с увеличаване на броя на щуките, а за щуките се увеличава с увеличаване на броя на каракудите. Тази зависимост също ще считаме за линейна. Тогава получаваме система от две диференциални уравнения:

Тази система от уравнения се нарича модел на Волтера-Лотка. Числените коефициенти , , се наричат ​​параметри на модела. Очевидно е, че естеството на промяната в състоянието (,) се определя от стойностите на параметрите. Чрез промяна на тези параметри и решаване на системата от моделни уравнения е възможно да се изследват моделите на промени в състоянието на екологичната система.

Нека интегрираме двете уравнения на системата по отношение на t, което ще се промени от началния момент на време до , където T е периодът, през който настъпват промени в екосистемата. Нека в нашия случай периодът е 1 година. Тогава системата приема следния вид:

;

;

Вземайки = и = и привеждайки подобни членове, получаваме система, състояща се от две уравнения:

Замествайки първоначалните данни в получената система, получаваме популацията на щука и каракуда в езерото след една година:

Ситуационен модел хищник-жертва

Нека разгледаме математически модел на динамиката на съвместното съществуване на два биологични вида (популации), взаимодействащи помежду си според типа „хищник-плячка“ (вълци и зайци, щуки и каракуди и др.), наречен модел на Волтер-Лотка . За първи път е получен от А. Лотка (1925 г.), а малко по-късно и независимо от Лотка подобни и по-сложни модели са разработени от италианския математик В. Волтера (1926 г.), чиято работа всъщност поставя основите на т.нар. математическа екология.

Нека има два биологични вида, които живеят заедно в изолирана среда. Това предполага:

• 1. Жертвата може да намери достатъчно храна, за да оцелее;
• 2. Всеки път, когато плячка срещне хищник, последният убива жертвата.

За категоричност ще ги наречем каракуда и щука. Позволявам

състоянието на системата се определя от количествата x(t)И y(t)- броят на каракуди и щуки наведнъж Ж.За да получим математически уравнения, които приблизително описват динамиката (промяната във времето) на популация, ние процедираме както следва.

Както в предишния модел на растеж на населението (вижте раздел 1.1), за жертвите имаме уравнението

Където А> 0 (раждаемостта надвишава смъртността)

Коефициент Аувеличаването на плячката зависи от броя на хищниците (намалява с увеличаването им). В най-простия случай a- a - fjy (a>0, p>0).Тогава за размера на популацията плячка имаме диференциалното уравнение

За популация от хищници имаме уравнението

Където b>0 (смъртността надвишава раждаемостта).

Коефициент bСпадът на хищниците намалява, ако има плячка за хранене. В най-простия случай можем да вземем b - y -Sx (y > 0, С> 0). Тогава за размера на популацията на хищниците получаваме диференциалното уравнение

По този начин уравнения (1.5) и (1.6) представляват математически модел на разглеждания проблем за взаимодействието на населението. В този модел променливите x,yе състоянието на системата, а коефициентите характеризират нейната структура. Нелинейната система (1.5), (1.6) е моделът на Волтер-Лотка.

Уравнения (1.5) и (1.6) трябва да бъдат допълнени с начални условия - дадени стойностипървоначални популации.

Нека сега анализираме изградения математически модел.

Нека построим фазовия портрет на система (1.5), (1.6) (по смисъла на задачата х> 0, v > 0). Разделяйки уравнение (1.5) на уравнение (1.6), получаваме уравнение с разделими променливи

Използвайки това уравнение, имаме

Съотношението (1.7) дава уравнението на фазовите траектории в неявна форма. Система (1.5), (1.6) има стационарно състояние, определено от

От уравнения (1.8) получаваме (тъй като l* Е 0, y* Е 0)

Равенствата (1.9) определят равновесното положение (точка ОТНОСНО)(фиг. 1.6).

От тези съображения може да се определи посоката на движение по фазовата траектория. Нека има малко караси. напр. x ~ 0, тогава от уравнение (1.6) y

Всички фазови траектории (с изключение на точката 0) затворени криви, покриващи равновесното положение. Състоянието на равновесие съответства на постоянен брой x" и y" на каракуда и щука. Каракудите се размножават, щуките ги ядат, измират, но броят им и другите не се променя. „Затворените фазови траектории съответстват на периодична промяна в броя на каракуда и щука. Освен това траекторията, по която се движи фазовата точка, зависи от началните условия. Нека разгледаме как се променя състоянието по фазовата траектория. Нека точката бъде в позицията А(фиг. 1.6). Тук има малко каракуди, много щуки; щуките нямат какво да ядат и постепенно измират и почти

напълно изчезват. Но броят на каракудите също намалява почти до нула и

едва по-късно, когато имаше по-малко щуки от при, броят на каракудите започва да се увеличава; скоростта им на растеж се увеличава и броят им се увеличава - това се случва до момента IN.Но увеличаването на броя на каракудите води до забавяне на процеса на изчезване на шука и техният брой започва да расте (има повече храна) - парцел слънцеСлед това има много щуки, те ядат каракуди и ядат почти всички (раздел CD).След това щуката започва отново да измира и процесът се повтаря с период от около 5-7 години. На фиг. 1.7 качествено изградени криви на промени в броя на каракуди и щуки в зависимост от времето. Максимумите на кривите се редуват, като максималните бройки на щуките изостават от максимумите на каракудите.

Това поведение е типично за различни системи хищник-плячка. Нека сега интерпретираме получените резултати.

Въпреки факта, че разглежданият модел е най-простият и в действителност всичко се случва много по-сложно, той даде възможност да се обяснят някои от мистериозните неща, които съществуват в природата. Разбираеми са разказите на рибарите за периоди, когато „щуките сами скачат в ръцете им“, обяснена е честотата на хроничните заболявания и др.

Нека отбележим още едно интересно заключение, което може да се направи от фиг. 1.6. Ако в точката Рима бързо улавяне на щуки (в друга терминология - стрелба на вълци), след което системата „скача“ до точката Q,и по-нататъшното движение се извършва по затворена траектория с по-малък размер, което се очаква интуитивно. Ако намалим броя на пиките в точка R,тогава системата ще премине към точката С,и по-нататъшно движение ще се случи по траекторията по-голям размер. Амплитудите на трептенията ще се увеличат. Това е контраинтуитивно, но обяснява точно този феномен: в резултат на отстрела на вълци броят им се увеличава с времето. Следователно изборът на момента на заснемане е важен в случая.

Да предположим, че две популации насекоми (например листна въшка и калинка, която яде листни въшки) са били в естествено равновесие x-x*,y = y*(точка ОТНОСНОна фиг. 1.6). Помислете за ефекта от еднократно прилагане на инсектицид, който убива x> 0 от жертвите и y > 0 от хищниците, без да ги унищожи напълно. Намаляването на броя на двете популации води до факта, че представляващата точка от позицията ОТНОСНОще „скочи“ по-близо до началото на координатите, където x > 0, y 0 (фиг. 1.6) От това следва, че в резултат на действието на инсектицид, предназначен да унищожи жертви (листни въшки), броят на жертвите (листни въшки) се увеличава и броят на хищниците ( калинки) намалява. Оказва се, че броят на хищниците може да стане толкова малък, че да се уплашат пълно изчезванено по други причини (суша, болест и др.). Следователно използването на инсектициди (освен ако не убиват вредни насекомипочти напълно) в крайна сметка води до увеличаване на популацията на онези насекоми, чийто брой е бил контролиран от други насекоми-хищници. Такива случаи са описани в книги по биология.

Като цяло темпът на нарастване на броя на жертвите Азависи както от "L", така и от y: А= a(x, y) (поради присъствието на хищници и поради ограниченията на храната).

С малка промяна в модела (1.5), (1.6), малки членове се добавят към дясната страна на уравненията (като се вземе предвид, например, конкуренцията на каракуда за храна и щука за каракуда)

тук 0 f.i « 1.

В този случай изводът за периодичността на процеса (връщането на системата в първоначалното й състояние), валиден за модел (1.5), (1.6), губи своята валидност. В зависимост от вида на малките изменения/ и жВъзможни са ситуациите, показани на фиг. 1.8.

В случай (1) равновесно състояние ОТНОСНОустойчиви. За всякакви други начални условия, след достатъчно многоТова е инсталираното.

В случай (2) системата „изпада в безпорядък“. Стационарното състояние е нестабилно. Такава система в крайна сметка попада в такъв диапазон от стойности хи y че моделът престава да бъде приложим.

В случай (3) в система с неустойчиво стационарно състояние ОТНОСНОВъв времето се установява периодичен режим. За разлика от оригиналния модел (1.5), (1.6), в този модел стационарният периодичен режим не зависи от началните условия. Първоначално малко отклонение от стабилно състояние ОТНОСНОне води до малки колебания около ОТНОСНО, както в модела на Volterra-Lotka, но до трептения с добре дефинирана (и независима от малката отклонение) амплитуда.

В И. Арнолд нарича модела Волтера-Лотка твърд, защото малката му промяна може да доведе до изводи, различни от дадените по-горе. За да прецените коя от ситуациите, показани на фиг. 1.8, е внедрена в тази система, допълнителна информация за системата (за вида на малките корекции/ и ж).

система PA88, която едновременно прогнозира вероятността от повече от 100 фармакологични ефекта и механизма на действие на дадено вещество въз основа на неговата структурна формула. Ефективността на този подход за планиране на скрининга е около 800%, а точността на компютърната прогноза е с 300% по-висока от прогнозата на експертите.

И така, един от конструктивните инструменти за получаване на нови знания и решения в медицината е методът на математическото моделиране. Процесът на математизация на медицината е честа проява на взаимно проникване научно познание, повишаване ефективността на лечебната и превантивната работа.

4. Математически модел “хищник-плячка”

За първи път в биологията италианският математик В. Волтера и неговите колеги предложиха математически модел на периодични промени в броя на антагонистичните животински видове. Моделът, предложен от Волтера, е развитие на идеята, очертана през 1924 г. от А. Лотка в книгата „Елементи на физическата биология“. Следователно този класически математически модел е известен като модела на „Лотки-Волтера“.

Въпреки че в природата взаимоотношенията на антагонистичните видове са по-сложни, отколкото в модела, те все пак са добър учебен модел, върху който да се изучават основните идеи на математическото моделиране.

И така, проблемът: в някаква екологично затворена зона живеят два вида животни (например рисове и зайци). Зайците (плячка) се хранят с растителна храна, която винаги е налична в достатъчно количество (този модел не отчита ограничените ресурси на растителна храна). Рисовете (хищници) могат да ядат само зайци. Необходимо е да се определи как броят на плячката и хищниците ще се промени с течение на времето в такава екологична система. Ако популацията на плячката се увеличи, вероятността от срещи между хищници и плячка се увеличава и съответно след известно забавяне популацията на хищниците се увеличава. Този е достатъчен прост моделдоста адекватно описва взаимодействието между реални популации на хищници и плячка в природата.

Сега да започвамесъставяне на диференциални уравнения. относно

нека означим броя на плячката с N, а броя на хищниците с M. Числата N и M са функции на времето t. В нашия модел вземаме предвид следните фактори:

а) естествено възпроизводство на жертвите; б) естествена смърт на жертвите;

в) унищожаване на жертвите чрез изяждането им от хищници; г) естествено изчезване на хищници;

д) увеличаване на броя на хищниците поради размножаване в присъствието на храна.

Тъй като говорим за математически модел, задачата е да се получат уравнения, които да включват всички предвидени фактори и да описват динамиката, тоест промяната в броя на хищниците и плячката във времето.

Нека броят на плячката и хищниците се промени с ∆N и ∆M за известно време t. Промяната в броя на жертвите ∆N във времето ∆t се определя, първо, от увеличението в резултат на естественото възпроизводство (което е пропорционално на наличния брой жертви):

където B е коефициентът на пропорционалност, характеризиращ скоростта на естествено изчезване на жертвите.

Извеждането на уравнението, описващо намаляването на броя на плячката поради консумацията им от хищници, се основава на идеята, че колкото по-често се срещат, толкова по-бързо намалява броят на плячката. Също така е ясно, че честотата на срещите между хищници и плячка е пропорционална както на броя на жертвите, така и на броя на хищниците, тогава

Разделяйки лявата и дясната страна на уравнение (4) на ∆t и преминавайки към границата при ∆t→0, получаваме диференциално уравнение от първи ред:

За да решите това уравнение, трябва да знаете как броят на хищниците (M) се променя с времето. Промяната в броя на хищниците (∆M) се определя от увеличение поради естествено възпроизводство при наличие на достатъчно храна (M 1 = Q∙N∙M∙∆t) и намаляване поради естественото изчезване на хищници ( M 2 = - P∙M∙∆ t):

От уравнение (6) можем да получим диференциалното уравнение:

Диференциалните уравнения (5) и (7) представляват математически модел "хищник-плячка". Достатъчно е да се определят стойностите на коефициента

елементи A, B, C, Q, P и математически модел могат да бъдат използвани за решаване на проблема.

Проверка и настройка на математическия модел. В тази лаборатория

В допълнение към изчисляването на най-пълния математически модел (уравнения 5 и 7), се предлага да се изследват по-прости, в които нещо не се взема предвид.

След като разгледате петте нива на сложност на математическия модел, можете да „усетите“ етапа на проверка и настройка на модела.

1-во ниво – в модела за „плячки“ се отчита само естественото им размножаване, няма „хищници“;

Ниво 2 – моделът отчита естественото изчезване на „плячките“, няма „хищници“;

Ниво 3 – моделът отчита естественото възпроизводство на „жертвите“

И изчезване, без „хищници“;

4-то ниво – моделът отчита естественото възпроизводство на „жертвите“

И изчезване, както и изяждане от „хищници“, но броят на „хищниците“ остава непроменен;

Ниво 5 – моделът взема предвид всички обсъждани фактори.

И така, имаме следната система от диференциални уравнения:

където M е броят на „хищниците“; N – брой „жертви”;

t – текущо време;

A – скорост на възпроизвеждане на „жертви”; C – честота на срещи хищник-жертва; B – скорост на изчезване на „жертви”;

Q – размножаване на „хищници”;

P – изчезване на „хищници“.

1-во ниво: M = 0, B = 0; 2-ро ниво: M = 0, A = 0; 3-то ниво: M = 0; 4-то ниво: Q = 0, P = 0;

5-то ниво: цялостна системауравнения.

Замествайки стойностите на коефициентите във всяко ниво, ще получим различни решения, например:

За 3-то ниво стойността на коефициента М=0, т.е

решаване на полученото уравнение

По същия начин за нива 1 и 2. Що се отнася до 4-то и 5-то ниво, тук е необходимо да се реши системата от уравнения по метода на Runge-Kutta. В резултат на това получаваме решение на математическите модели на тези нива.

II. РАБОТА НА УЧЕНИЦИТЕ ПО ВРЕМЕ НА ПРАКТИЧЕСКИ ЗАНЯТИЯ

Упражнение 1 . Контрол на устната реч и корекция на усвояването на теоретичния материал от урока. Преминаване на допускане до класове.

Задача 2. Провеждане на лабораторна работа, обсъждане на получените резултати, писане на бележки.

Завършване на работата

1. От работния плот на компютъра извикайте програмата “Лаборатория № 6”, като щракнете два пъти върху съответния пряк път с левия бутон на мишката.

2. Щракнете два пъти с левия бутон на мишката върху прекия път "PREDATOR".

3. Изберете прекия път "PRED" и повторете извикването на програмата с левия бутон на мишката (с двойно щракване).

4. След заглавния екран натиснете "ENTER".

5. Моделирането започва с 1-во ниво.

6. Въведете годината, от която моделът ще бъде анализиран: например 2000 г

7. Изберете интервали от време, например в рамките на 40 години, след 1 година (след това след 4 години).

2-ро ниво: B = 0,05; N0 = 200;

3-то ниво: A = 0,02; В = 0,05; N = 200;

4-то ниво: A = 0,01; В = 0,002; С = 0,01; N0 = 200; М = 40; 5-то ниво: A = 1; В = 0,5; С = 0,02; Q = 0,002; Р = 0,3; N0 = 200;

9. Подгответе писмен доклад за работата, който трябва да съдържа уравнения, графики, резултати от изчисляване на характеристиките на модела, заключения за извършената работа.

Задача 3. Проследяване на крайното ниво на знания:

а) устен отчет за свършената работа лабораторна работа; б) решаване на ситуационни проблеми; в) компютърно тестване.

Задача 4. Задача за следващия урок: раздел и тема на урока, координиране на темите за абстрактни доклади (дължина на доклада 2-3 страници, времеви лимит 5-7 минути).

Предположения:

1. Средата е хомогенна.

2. Изобилието на даден вид се описва с една променлива, т.е. пренебрегваме възрастта, пола и генетичните различия.

3. Пренебрегваме случайните колебания.

4. Взаимодействието е моментално.

В биологичната литература има огромен брой изследвания, в които такива системи са наблюдавани в природата или симулирани върху „моделни“ популации в лабораторни условия.

Резултатите им обаче са често противоречатвзаимно:

− в някои експерименти се наблюдават на пръв поглед неразбираеми явления на периодични промени в числеността на популацията в хомогенна среда;

- при други наблюдения системите се сриват доста бързо: или хищникът умира, но плячката остава, или плячката умира, последвана от хищника.

Моделът на Вито Волтер за общността хищник-плячка, разработен през 1920 г., обяснява много от тези характеристики.

Това е първият успех на математическата екология.

Когато разглеждаме тази система, ще разгледаме въпросите на устойчивостта: условия за устойчивост и механизми за устойчивост.

Класически модел Volterra

Броят на жертвите

Броят на хищниците.

Допълнителни предположения.

1. Единственият ограничаващ фактор, ограничаващ размножаването на плячката, е натискът върху тях от хищници. Не се вземат предвид ограничените ресурси на средата за жертвата (както в модела на Малтус).

2. Размножаването на хищниците е ограничено от количеството храна, която получават (броя на жертвите).

− коефициент на естествен прираст на жертвата;

− коефициент на естествена смъртност на хищника;

− брой (биомаса) плячка, консумирана от един хищник за единица време (трофична функция);

− част от енергията, получена от биомаса, която се изразходва от хищника за размножаване. Останалата част от енергията се изразходва за поддържане на основния метаболизъм и ловната активност.

Уравнения на системата хищник-жертва

Функцията се определя в експериментална работа. Сега е установено, че тези функции принадлежат към един от следните три типа.

Този тип е характерен за безгръбначните и някои видове хищни риби.

Трофична функция с ясно изразен праг на насищане е характерна за хищници - филтърни хранилки (мекотели).

Този тип е характерен за гръбначните животни - организми, способни да учат.

При ниска численост на плячката почти цялата плячка става плячка на хищник, който винаги е гладен и не се засища. Трофичната функция може да се счита за линейна:

Класически модел Volterra:

Начални условия

Система (2) е автономна, т.к няма от дясната страна. Промяната в състоянието на системата е изобразена на фазовата равнина и е решение на уравнението

Нека намерим точките на покой на система (2).

Нетривиалната точка на покой на система (4) има формата

Нека определим естеството на точката на покой (5).

Да направим замяна

Нека отворим скобите и да вземем системата

Отхвърляйки нелинейните членове, получаваме системата

Характеристичното уравнение има формата

Корените са чисто въображаеми числа. Точката на почивка е центърът. В началните променливи фазовите траектории имат формата

Стрелките показват посоката на промяна в състоянието на системата във времето.

Съгласно това движение по траекторията, числеността на популацията на хищника и жертвата претърпява незатихващи периодични колебания, а колебанията в числеността на хищника изостават по фаза от колебанията в числеността на плячката (с една четвърт от периода) .

Фазовият портрет на решението има формата на спирала:

В системата “хищник-плячка” има затихващи трептения. Броят на плячката и хищниците клони към техните равновесни стойности (8).

Графики на изобилието на видовете.

Взаимодействие на индивидите в системата хищник-жертва

5 курс 51 А група

Катедра по биоекология

Назарова А. А.

Научен ръководител:

Подшивалов А. А.

Оренбург 2011 г

ВЪВЕДЕНИЕ

ВЪВЕДЕНИЕ

В нашите ежедневни разсъждения и наблюдения, ние, без да го знаем, а често дори и без да го осъзнаваме, се ръководим от закони и идеи, открити преди много десетилетия. Имайки предвид проблема хищник-плячка, предполагаме, че жертвата също косвено влияе върху хищника. Какво щеше да вечеря един лъв, ако нямаше антилопи; какво биха направили мениджърите, ако нямаше работници; как да развием бизнес, ако клиентите нямат средства...

Системата „хищник-плячка“ е сложна екосистема, за която се реализират дълготрайни взаимоотношения между видовете хищник и плячка, типичен пример за коеволюция. Връзката между хищниците и тяхната плячка се развива циклично, илюстрирайки неутрално равновесие.

Изучаването на тази форма на междувидови взаимоотношения, в допълнение към получаването на интересни научни резултати, ни позволява да решим много практически проблеми:

оптимизиране на биотехническите мерки както по отношение на видовете плячка, така и по отношение на хищниците;

подобряване на качеството на териториалната защита;

регулиране на ловния натиск в ловните полета и др.

Горното определя актуалността на избраната тема.

Целта на курсовата работа е да се проучи взаимодействието на индивидите в системата „хищник-жертва”. За постигане на целта се поставят следните задачи:

хищничеството и неговата роля при формирането на трофични връзки;

основни модели на връзката хищник-жертва;

влиянието на социалния начин на живот върху стабилността на системата „хищник-плячка”;

лабораторно моделиране на системата хищник-жертва.

Влиянието на хищниците върху броя на плячката и обратно е доста очевидно, но определянето на механизма и същността на това взаимодействие е доста трудно. Възнамерявам да разгледам тези въпроси в моята курсова работа.

ГЛАВА 4. ЛАБОРАТОРНО МОДЕЛИРАНЕ НА СИСТЕМАТА “ХИЩНИК - ПРИМИТ”

Учените от университета Дюк, в сътрудничество с колеги от Станфордския университет, Медицинския институт Хауърд Хюз и Калифорнийския технологичен институт, работещи под ръководството на д-р Лингчонг Ю, разработиха жива системаот генетично модифицирани бактерии, което ще ни позволи да проучим по-подробно взаимодействията между хищник и плячка на популационно ниво.

Новият експериментален модел е пример за изкуствена екосистема, в която изследователите програмират бактериите да изпълняват нови функции. Такива препрограмирани бактерии могат да намерят широко приложение в медицината, почистването заобикаляща средаи създаването на биокомпютри. Като част от тази работа учените пренаписаха „софтуера“ на E. coli (Escherichia coli) по такъв начин, че две различни бактериални популации формираха в лабораторията типична система от взаимодействия хищник-плячка, чиято особеност беше, че бактериите не се поглъщали един друг, но контролирали броя на противниковата популация чрез промяна на честотата на „самоубийствата“.

Областта на изследване, известна като синтетична биология, се появи около 2000 г. и повечето системи, създадени оттогава, разчитат на препрограмиране на една единствена бактерия. Моделът, разработен от авторите, е уникален с това, че се състои от две бактериални популации, живеещи в една и съща екосистема, чието оцеляване зависи една от друга.

Ключът към успешното функциониране на такава система е способността на двете популации да взаимодействат помежду си. Авторите създадоха два щама бактерии - „хищници“ и „тревопасни“, които в зависимост от ситуацията отделят токсични или защитни съединения в общата екосистема.

Принципът на работа на системата се основава на поддържане на съотношението на броя на хищниците и плячката в контролирана среда. Промените в броя на клетките в една от популациите активират препрограмирани гени, което задейства синтеза на определени химични съединения.

По този начин малък брой плячка в околната среда причинява активиране на гена за самоунищожение в клетките на хищника и тяхната смърт. С нарастването на броя на жертвите обаче съединението, което отделят в околната среда, достига критична концентрация и активира гена на хищника, който осигурява синтеза на „противоотрова“ на гена на самоубийството. Това води до увеличаване на популацията на хищници, което от своя страна води до натрупване в околната среда на съединение, синтезирано от хищници, което тласка жертвите към самоубийство.

Използвайки флуоресцентна микроскопия, учените документираха взаимодействията между хищници и плячка.

Клетките на хищници, оцветени в зелено, предизвикват самоубийство на клетките на плячката, оцветени в червено. Удължаването и разкъсването на клетката на плячката показва нейната смърт.

Тази система не е точно представяне на взаимодействията хищник-плячка в природата, т.к хищните бактерии не се хранят с плячка бактерии и двете популации се конкурират за едни и същи хранителни ресурси. Въпреки това авторите смятат, че разработената от тях система е полезен инструмент за биологични изследвания.

Новата система демонстрира ясна връзка между генетиката и динамиката на популацията, което ще помогне в бъдещи изследвания на влиянието на молекулярните взаимодействия върху промяната на популацията, централна тема в екологията. Системата предоставя практически неограничени възможности за променлива манипулация за подробно изследване на взаимодействията между околната среда, генната регулация и динамиката на популацията.

По този начин, чрез контролиране на генетичния апарат на бактериите, е възможно да се имитират процесите на развитие и взаимодействие на по-сложни организми.

ГЛАВА 3

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ НА СОЦИАЛНИЯ НАЧИН НА ЖИВОТ ВЪРХУ СТАБИЛНОСТТА НА СИСТЕМАТА „ХИЩНИК-ЖЕРТВА“

Еколози от САЩ и Канада показаха, че груповият начин на живот на хищниците и тяхната плячка коренно променя поведението на системата хищник-плячка и й придава повишена стабилност. Този ефект, потвърден от наблюдения върху динамиката на популацията на лъвове и антилопи гну в парка Серенгети, се основава на простия факт, че при групов начин на живот честотата на случайните срещи между хищници и потенциални жертви е намалена.

Еколозите са разработили редица математически модели, които описват поведението на системата хищник-плячка. Тези модели, по-специално, добре обясняват понякога наблюдаваните последователни периодични колебания в изобилието на хищници и плячка.

За такива модели обикновено е характерно високо нивонестабилност. С други думи, когато широк обхватвходни параметри (като смъртност на хищници, ефективност на превръщане на биомасата на плячката в биомаса на хищници и т.н.) в тези модели рано или късно всички хищници или измират, или първо изяждат всички жертви, а след това все още умират от глад.

В естествените екосистеми, разбира се, всичко е по-сложно, отколкото в математическия модел. Очевидно има много фактори, които могат да увеличат стабилността на системата хищник-плячка, и в действителност рядко води до такива резки скокове в числеността, както при канадските рисове и зайци.

Еколози от Канада и САЩ публикуваха в последния брой на списанието “ природа"статия, която привлече вниманието към един прост и очевиден фактор, който може драматично да промени поведението на системата хищник-плячка. Става дума за групов живот.

Повечето налични модели предполагат равномерно разпределение на хищниците и тяхната плячка в дадена област. На това се основават изчисленията за честотата на техните срещи. Ясно е, че колкото по-висока е плътността на плячката, толкова по-често хищниците ги срещат. От това зависи броят на атаките, включително успешните, и в крайна сметка интензивността на хищничеството от хищници. Например, ако има излишък от плячка (ако няма нужда да губите време в търсене), скоростта на потребление ще бъде ограничена само от времето, необходимо на хищника да хване, убие, изяде и смила следващата жертва. Ако плячката се среща рядко, основният фактор, определящ скоростта на паша, е времето, необходимо за търсене на жертвата.

В екологичните модели, използвани за описание на системите хищник-плячка, ключова роля играе естеството на зависимостта на интензивността на пашата (броя плячка, изядена от един хищник за единица време) от плътността на популацията на плячката. Последният се изчислява като брой животни на единица площ.

Трябва да се отбележи, че при групов начин на живот както на плячка, така и на хищници, първоначалното предположение за равномерно пространствено разпределение на животните не е изпълнено и следователно всички по-нататъшни изчисления стават неправилни. Например, при стаден начин на живот на плячка, вероятността да срещнете хищник всъщност ще зависи не от броя на отделните животни на квадратен километър, а от броя на стадата на една и съща единица площ. Ако плячката беше разпределена равномерно, хищниците биха се натъкнали на тях много по-често, отколкото при стаден начин на живот, тъй като между стадата се образуват огромни пространства, където няма плячка. Подобен резултат се получава и при груповия начин на живот на хищниците. Прайд от лъвове, скитащи се из саваната, няма да забележат много повече потенциална плячка, отколкото би забелязал самотен лъв, който върви по същия път.

В продължение на три години (от 2003 до 2007 г.) учените проведоха внимателни наблюдения на лъвове и тяхната плячка (предимно антилопи гну) в обширна зона на парка Серенгети (Танзания). Плътността на населението се записва ежемесечно; Редовно се оценява и интензивността на консумацията на различни видове копитни животни от лъвовете. Както самите лъвове, така и седемте основни вида от тяхната плячка водят групов начин на живот. Авторите въведоха необходимите изменения в стандартните екологични формули, за да отчетат това обстоятелство. Моделите са параметризирани въз основа на реални количествени данни, получени по време на наблюдения. Бяха разгледани четири варианта на модела: в първия груповият начин на живот на хищниците и плячката беше игнориран, във втория той беше взет предвид само за хищниците, в третия - само за плячката, а в четвъртия - и за двете .

Както може да се очаква, четвъртият вариант най-добре отговаряше на реалността. Той се оказа и най-стабилен. Това означава, че с широк диапазон от входни параметри в този модел е възможно дългосрочно стабилно съвместно съществуване на хищници и плячка. Данните от дългогодишни наблюдения показват, че и в това отношение моделът отразява адекватно реалността. Числеността на лъвовете и тяхната плячка в парка Серенгети е доста стабилна, като не се наблюдава нищо подобно на периодични координирани колебания (какъвто е случаят с рисовете и зайците).

Резултатите показват, че ако лъвовете и антилопите гну живеят сами, увеличаването на броя на плячката би довело до бързо ускоряване на хищничеството. Благодарение на груповия начин на живот това не се случва; активността на хищниците се увеличава сравнително бавно и общото ниво на паша остава ниско. Според авторите, подкрепени от редица косвени доказателства, броят на жертвите в парка Серенгети е ограничен не от лъвове, а от хранителни ресурси.

Ако ползите от колективизма за жертвите са съвсем очевидни, то по отношение на лъвовете въпросът остава открит. Това проучване ясно показа, че груповият начин на живот за хищника има сериозен недостатък - всъщност поради него всеки отделен лъв получава по-малко плячка. Очевидно този недостатък трябва да бъде компенсиран с някои много съществени предимства. Традиционно се смяташе, че социалният начин на живот на лъвовете е свързан с лов на големи животни, с които дори лъвът трудно може да се справи сам. Въпреки това, в напоследъкмного експерти (включително авторите на обсъжданата статия) започнаха да се съмняват в правилността на това обяснение. Според тях лъвовете се нуждаят от колективни действия само когато ловуват биволи, докато лъвовете предпочитат да се справят с други видове плячка сами.

Предположението, че прайдите са необходими за регулиране на чисто вътрешни проблеми, каквито има много в живота на лъва, изглежда по-правдоподобно. Например сред тях е разпространено детеубийството - убийството на чужди малки от мъжките. За жените, които остават в група, е по-лесно да защитят децата си от агресори. Освен това е много по-лесно за един прайд, отколкото за самотен лъв да защитава ловния си район от съседните прайдове.

Източник: Джон М. Фриксел, Анна Мосер, Антъни Р. Е. Синклер, Крейг Пакър. Образуването на групи стабилизира динамиката хищник-плячка // Природата. 2007. Т. 449. С. 1041–1043.

1. Симулационно моделиране системи "Хищник-жертва"

   Резюме >> Икономическо и математическо моделиране

   ... системи « Хищник-жертва"Изпълнен от Gizyatullin R.R gr.MP-30 Проверен от Лисовец Y.P. МОСКВА 2007 г. Въведение Взаимодействие...модел взаимодействия хищнициИ жертвина повърхността. Опростяване на предположенията. Нека се опитаме да сравним към жертватаИ хищникнякои...

2. Хищник-Жертва

   Резюме >> Екология

   Приложенията на математическата екология са система хищник-жертва. Цикличното поведение на това системив стационарна среда беше... чрез въвеждане на допълнителна нелинейна взаимодействиямежду хищникИ жертва. Полученият модел има на своя...

3. Реферат по екология

   Резюме >> Екология

   фактор за жертви. Ето защо взаимодействие « хищник–жертва"има периодичен характер и се описва системаУравнения на Лотка... изместването е значително по-малко, отколкото в система « хищник–жертва". Подобен взаимодействиясъщо се наблюдават в мимикрията на Батес. ...