Векторите i j k имат координати. Векторно произведение на вектори

Определение Подредена колекция от (x 1, x 2, ..., x n) n реални числа се нарича n-мерен вектори числата x i (i = ) - компоненти,или координати,

Пример. Ако например някои автомобилен заводтрябва да произведе 50 автомобила, 100 камиона, 10 автобуса, 50 комплекта резервни части за автомобили и 150 комплекта за камиони и автобуси на смяна, тогава производствена програматова растение може да бъде написано като вектор (50, 100, 10, 50, 150), който има пет компонента.

Нотация. Векторите се обозначават с удебелени малки букви или букви с лента или стрелка в горната част, напр. аили. Двата вектора се наричат равен, ако имат еднакъв брой компоненти и съответните им компоненти са равни.

Векторните компоненти не могат да се разменят, например (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции с вектори.Работата х= (x 1 , x 2 , ... ,x n) с реално числоλ наречен векторλ х= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Количествох= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и г= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарича вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Векторно пространство.н -дименсионално векторно пространство Р n се дефинира като набор от всички n-мерни вектори, за които са дефинирани операциите умножение с реални числа и събиране.

Икономическа илюстрация. Икономическа илюстрация на n-измерно векторно пространство: пространство на стоките (стоки). Под стокище разбираме някаква стока или услуга, която се продава в определено време на определено място. Да предположим, че има краен брой n налични стоки; количествата на всеки от тях, закупени от потребителя, се характеризират с набор от стоки

х= (x 1, x 2, ..., x n),

където x i означава количеството на i-тата стока, закупена от потребителя. Ще приемем, че всички стоки имат свойството на произволна делимост, така че всяко неотрицателно количество от всяка от тях може да бъде закупено. Тогава всички възможни набори от стоки са вектори на пространството за стоки C = ( х= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Линейна независимост. Система д 1 , д 2 , ... , д m n-мерни вектори се наричат линейно зависими, ако има такива числаλ 1 , λ 2 , ... , λ m , от които поне един е различен от нула, така че равенствотоλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ m д m = 0; в противен случай тази системавектори се нарича линейно независими, тоест посоченото равенство е възможно само в случай, когато всички . Геометричният смисъл на линейната зависимост на векторите в Р 3, интерпретирани като насочени отсечки, обясняват следните теореми.

Теорема 1. Система, състояща се от един вектор, е линейно зависима тогава и само ако този вектор е нула.

Теорема 2. За да са линейно зависими два вектора е необходимо и достатъчно те да са колинеарни (успоредни).

Теорема 3 . За да бъдат линейно зависими три вектора е необходимо и достатъчно те да са компланарни (да лежат в една равнина).

Лява и дясна тройка вектори. Тройка от некомпланарни вектори a, b, cНаречен точно, ако наблюдателят от общия им произход заобикаля краищата на векторите a, b, cв дадения ред изглежда се случва по посока на часовниковата стрелка. В противен случай a, b, c -остави три. Всички десни (или леви) тройки вектори се наричат същото ориентиран.

Основа и координати. Тройка д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектора в Р 3 се нарича база, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основен. Всеки вектор амогат да бъдат уникално разширени в базисни вектори, тоест представени във формата

А= x 1 д 1+x2 д 2 + х 3 д 3, (1.1)

се наричат ​​числата x 1 , x 2 , x 3 в разширението (1.1). координатиав основата д 1, д 2 , д 3 и са обозначени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Ако векторите д 1, д 2 , д 3 са по двойки перпендикулярни и дължината на всеки от тях е равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална, и координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоъгълен.Базисните вектори на ортонормална база ще бъдат означени с i, j, k.

Ще приемем, че в космоса Р 3 избрана е правилната система от декартови правоъгълни координати (0, i, j, k}.

Векторни произведения на изкуството. Векторни произведения на изкуството Акъм вектор bнаречен вектор ° С, което се определя от следните три условия:

1. Дължина на вектора ° Счислено равно на площта на успоредник, изграден върху вектори аИ б,т.е.
° С= |a||b|грях( а^b).

2. Вектор ° Сперпендикулярно на всеки от векторите аИ b.

3. Вектори а, bИ ° С, взети в посочения ред, образуват дясна тройка.

За кръстосано произведение ° Ссе въвежда обозначението c =[аб] или
c = a × b.

Ако векторите аИ bса колинеарни, тогава sin( a^b) = 0 и [ аб] = 0, по-специално, [ аа] = 0. Векторни произведения на единични вектори: [ ij]=к, [jk] = аз, [ki]=й.

Ако векторите аИ bпосочени в основата i, j, kкоординати а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), тогава

Смесено парче. Ако векторното произведение на два вектора АИ bскаларно умножено по третия вектор ° С,тогава такова произведение на три вектора се нарича смесена работаи се обозначава със символа а b c.

Ако векторите а, бИ ° Св основата i, j, kзададени от техните координати
а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), ° С(c 1, c 2, c 3), тогава

.

Смесеното произведение има проста геометрична интерпретация - то е скалар, равен по абсолютна стойност на обема на паралелепипед, построен върху три дадени вектора.

Ако векторите образуват дясна тройка, тогава тяхното смесено произведение е положително число, равно на посочения обем; ако е тройка а, б, в -наляво, тогава a b c<0 и V = - a b c, следователно V =|a b c|.

Приема се, че координатите на векторите, срещани в задачите от първа глава, са дадени спрямо дясна ортонормална основа. Единичен вектор, съпосочен с вектор а,обозначен със символа АО. Символ r=ОМозначени с радиус-вектора на точка M, символи a, AB или|а|, | AB|са означени модули на вектори АИ AB.

Пример 1.2. Намерете ъгъла между векторите а= 2м+4нИ b= м-н, Където мИ н-единични вектори и ъгъл между тях мИ нравен на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = аб/аб ab =(2м+4н) (м-н) = 2м 2 - 4н 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; а = ; а 2 = (2м+4н) (2м+4н) =
= 4м 2 +16мн+16н 2 = 4+16(-0,5)+16=12, което означава a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(м-н) = м 2 -2мн+н 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, което означава b = . Накрая имаме: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Пример 1.3.Познаване на векторите AB(-3, -2,6) и пр.н.е.(-2,4,4),изчислете дължината на надморската височина AD на триъгълник ABC.

Решение. Означавайки площта на триъгълника ABC с S, получаваме:
S = 1/2 пр.н.е. Тогава AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, което означава вектор A.C.има координати
. .

Пример 1.4 . Дадени са два вектора а(11,10,2) и b(4,0,3). Намерете единичния вектор ° С,ортогонални на вектори аИ bи насочен така, че подредената тройка вектори a, b, cбеше прав.

Решение.Нека означим координатите на вектора ° Спо отношение на дадена дясна ортонормална основа по отношение на x, y, z.

Тъй като ° С ⊥ а, в ⊥b, Че ок= 0,cb= 0. Съгласно условията на задачата се изисква c = 1 и a b c >0.

Имаме система от уравнения за намиране на x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

От първото и второто уравнение на системата получаваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Замествайки y и z в третото уравнение, имаме: x 2 = 36/125, откъдето
x =± . Използване на условието a b c > 0, получаваме неравенството

Като вземем предвид изразите за z и y, пренаписваме полученото неравенство във формата: 625/6 x > 0, което означава, че x>0. И така, x = , y = - , z =- .

Определение. Векторното произведение на вектор a (умножено) и неколинеарен вектор (умножено) е третият вектор c (произведение), който се конструира, както следва:

1) неговият модул е ​​числено равна на площуспоредник на фиг. 155), изградена върху вектори, т.е. тя е равна на посоката, перпендикулярна на равнината на споменатия паралелограм;

3) в този случай посоката на вектора c се избира (от две възможни), така че векторите c да образуват дясна система (§ 110).

Обозначение: или

Допълнение към определението. Ако векторите са колинеарни, тогава като се има предвид, че фигурата е (условно) успоредник, естествено е да се зададе нулева площ. Следователно векторното произведение на колинеарни вектори се счита за равно на нулевия вектор.

Тъй като на нулевия вектор може да бъде присвоена произволна посока, това споразумение не противоречи на параграфи 2 и 3 от дефиницията.

Забележка 1. В термина „векторно произведение“ първата дума показва, че резултатът от действието е вектор (за разлика от скаларно произведение; срв. § 104, забележка 1).

Пример 1. Намерете векторния продукт, където са главните вектори на дясната координатна система (фиг. 156).

1. Тъй като дължините на главните вектори са равни на една мащабна единица, площта на успоредника (квадрата) е числено равна на единица. Това означава, че модулът на векторното произведение е равен на единица.

2. Тъй като перпендикулярът към равнината е ос, желаното векторно произведение е вектор, колинеарен на вектора k; и тъй като и двете имат модул 1, желаното векторно произведение е равно на k или -k.

3. От тези два възможни вектора трябва да се избере първият, тъй като векторите k образуват дясна система (а векторите лява).

Пример 2. Намерете кръстосаното произведение

Решение. Както в пример 1, заключаваме, че векторът е равен на k или -k. Но сега трябва да изберем -k, тъй като векторите образуват дясна система (а векторите образуват лява система). Така,

Пример 3. Векторите имат дължини съответно 80 и 50 cm и сключват ъгъл 30°. Като вземем метъра за единица дължина, намерете дължината на векторното произведение a

Решение. Площта на успоредник, изграден върху вектори, е равна на Дължината на желания векторен продукт е равна на

Пример 4. Намерете дължината на векторното произведение на същите вектори, като вземете сантиметри за единица дължина.

Решение. Тъй като площта на успоредник, изграден върху вектори, е равна, дължината на векторния продукт е равна на 2000 cm, т.е.

От сравнението на примери 3 и 4 става ясно, че дължината на вектора зависи не само от дължините на факторите, но и от избора на единица за дължина.

Физическо значение на векторно произведение.От многото физични величини, представена от векторното произведение, разглеждаме само момента на силата.

Нека A е точката на прилагане на силата. Моментът на сила спрямо точка O се нарича векторен продукт. Тъй като модулът на този векторен продукт е числено равен на площта на успоредника (фиг. 157), тогава модулът на момента е равен на произведението на основата и височината, т.е. силата, умножена по разстоянието от точка О до правата линия, по която действа силата.

В механиката е доказано, че за равновесие твърдоНеобходимо е не само сумата от вектори, представящи силите, приложени към тялото, да бъде равна на нула, но и сумата от моментите на силите. В случай, когато всички сили са успоредни на една равнина, добавянето на вектори, представляващи моменти, може да бъде заменено със събиране и изваждане на техните величини. Но при произволни посоки на силите такава замяна е невъзможна. В съответствие с това векторното произведение се дефинира именно като вектор, а не като число.

Единичен вектор- Това вектор, чиято абсолютна стойност (модул) е равна на единица. За да обозначим единичен вектор, ще използваме долния индекс е. Така че, ако е даден вектор А, тогава неговият единичен вектор ще бъде векторът Ад. Този единичен вектор е насочен в същата посока като самия вектор Аи неговият модул е ​​равен на единица, тоест a e = 1.

очевидно, А= а Ад (а - векторен модул а). Това следва от правилото, по което се извършва операцията за умножаване на скалар по вектор.

Единични векторичесто се свързва с координатните оси на координатна система (по-специално с осите на декартова координатна система). Посоките на тези векторисъвпадат с посоките на съответните оси и техните начала често се комбинират с началото на координатната система.

Нека ви го напомня Декартова координатна системав пространството традиционно се нарича трио от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в точка, наречена начало на координатите. Координатните оси обикновено се означават с буквите X, Y, Z и се наричат ​​съответно абсцисна ос, ординатна ос и апликативна ос. Самият Декарт използва само една ос, върху която са нанесени абсцисите. Достойнство за използване системиоси принадлежи на неговите ученици. Следователно фразата картезианска системакоординатиисторически погрешно. По-добре е да говорим правоъгълен координатна системаили ортогонална координатна система. Ние обаче няма да променим традициите и в бъдеще ще приемем, че декартовата и правоъгълната (ортогонална) координатна система са едно и също.

Единичен вектор, насочена по оста X, е означена аз, единичен вектор, насочена по оста Y, е означена й, А единичен вектор, насочена по оста Z, е означена к. Вектори аз, й, кса наречени orts(фиг. 12, вляво), те са с единични модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.

Брадви и единични вектори правоъгълна координатна системав някои случаи те имат различни имена и обозначения. По този начин абсцисната ос X може да се нарече допирателна ос, а нейният единичен вектор се обозначава τ (гръцка малка буква tau), ординатната ос е нормалната ос, нейният единичен вектор е означен н, приложимата ос е бинормална ос, нейният единичен вектор е означен b. Защо да променяме имената, ако същността остава същата?

Факт е, че например в механиката, когато се изучава движението на телата, правоъгълната координатна система се използва много често. Така че, ако самата координатна система е неподвижна и промяната в координатите на движещ се обект се проследява в тази неподвижна система, тогава обикновено осите се обозначават с X, Y, Z и техните единични векторисъответно аз, й, к.

Но често, когато обект се движи по някаква криволинейна траектория (например в кръг), е по-удобно да се разглеждат механичните процеси в координатната система, движеща се с този обект. Именно за такава подвижна координатна система се използват други имена на оси и техните единични вектори. Просто си е така. В този случай оста X е насочена тангенциално към траекторията в точката, в която този моменттози обект се намира. И тогава тази ос вече не се нарича ос X, а допирателна ос и нейният единичен вектор вече не се обозначава аз, А τ . Оста Y е насочена по радиуса на кривината на траекторията (при движение в кръг - към центъра на кръга). И тъй като радиусът е перпендикулярен на допирателната, оста се нарича нормална ос (перпендикуляр и нормал са едно и също нещо). Единичният вектор на тази ос вече не се означава й, А н. Третата ос (по-рано Z) е перпендикулярна на предходните две. Това е бинормал с орт b(Фиг. 12, вдясно). Между другото, в този случай такива правоъгълна координатна системачесто наричани "естествени" или естествени.

В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори (незабавна връзка за тези, които имат нужда). Всичко е наред, понякога се случва, че за пълно щастие, в допълнение към скаларно произведение на вектори, изискват се все повече и повече. Това е векторна зависимост. Може да изглежда, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това е грешно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-сложен от същия скаларно произведение, дори типични задачище има по-малко. Основното в аналитичната геометрия, както мнозина ще се убедят или вече са се убедили, е ДА НЕ СЕ ГРЕШИ В ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно; Опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа

Какво ще ви направи щастливи веднага? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори с три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма да ви се налага да жонглирате, тъй като ще помислим само пространствени вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече е по-лесно!

Тази операция, подобно на скаларното произведение, включва два вектора. Нека това са нетленни букви.

Самото действие обозначен спо следния начин: . Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам векторното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.

И то веднага въпрос: ако в скаларно произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Очевидната разлика е преди всичко в РЕЗУЛТАТА:

Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:

Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Затворен клуб. Всъщност от тук идва и името на операцията. В различни учебна литератураобозначенията също могат да варират, ще използвам буквата .

Дефиниция на кръстосано произведение

Първо ще има определение със снимка, след това коментари.

Определение: Векторен продукт неколинеарнивектори, взети в този ред, наречен ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на успоредника, изграден върху тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така, че основата да има правилна ориентация:

Нека разбием дефиницията част по част, тук има много интересни неща!

Така че могат да се подчертаят следните важни точки:

1) Оригиналните вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не е колинеарен. Ще бъде подходящо да разгледаме случая на колинеарни вектори малко по-късно.

2) Взети са вектори в строго определен ред: – "a" се умножава по "be", а не „бъди“ с „а“. Резултат от векторно умножениее ВЕКТОР, който е обозначен в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, се получава вектор с еднаква дължина и противоположна посока (цвят малина). Тоест равенството е вярно .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и, следователно, пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩТА на успоредника, изграден върху векторите. На фигурата този успоредник е оцветен в черно.

Забележка : чертежът е схематичен и, естествено, номиналната дължина на векторния продукт не е равна на площта на паралелограма.

Нека си припомним една от геометричните формули: Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на горното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторен продукт е валидна:

Подчертавам, че формулата е за ДЪЛЖИНАТА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е, че в проблемите на аналитичната геометрия площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Нека получим втората важна формула. Диагоналът на успоредник (червена пунктирана линия) го разделя на две равен триъгълник. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери с помощта на формулата:

4) Не по-малко важен факте, че векторът е ортогонален на векторите, т.е . Разбира се, противоположно насоченият вектор (малинова стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторът е насочен така, че базаТо има точноориентация. В урока за преход към нова основаГоворих достатъчно подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем какво е пространствена ориентация. Ще ти обясня на пръсти дясна ръка . Мислено комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстнатиснете го в дланта си. Като резултат палец – векторният продукт ще изглежда нагоре. Това е дясно ориентирана основа (това е тази на фигурата). Сега сменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места, в резултат на това палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може да имате въпрос: коя основа има лява ориентация? „Присвояване“ на същите пръсти лява ръкавектори и получаваме лявата основа и лявата ориентация на пространството (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „извиват” или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо пресилено или абстрактно - например ориентацията на пространството се променя от най-обикновеното огледало и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава в общия случай той няма да е възможно да го комбинирате с „оригинала“. Между другото, дръжте три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)

...колко е хубаво, че вече знаете за това дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои преподаватели за промяна на ориентацията са страшни =)

Кръстосано произведение на колинеарни вектори

Дефиницията беше обсъдена подробно, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такива, както казват математиците, изродениуспоредник е равен на нула. Същото следва и от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, ако , тогава . Строго погледнато, самото векторно произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че е просто равно на нула.

Специален случай– векторно произведение на вектор със себе си:

Използвайки векторния продукт, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.

За решаване на практически примери може да се нуждаете тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.

Е, нека запалим огъня:

Пример 1

а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако

б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако

Решение: Не, това не е печатна грешка, нарочно направих първоначалните данни в клаузите същите. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!

а) Според условието трябва да намерите дължинавектор (кръстосан продукт). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Ако сте били попитани за дължина, тогава в отговора посочваме измерението - единици.

б) Според условието трябва да намерите квадратуспоредник, изграден върху вектори. Площта на този паралелограм е числено равна на дължината на векторния продукт:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че отговорът изобщо не говори за векторния продукт, за който ни попитаха площ на фигурата, съответно размерът е квадратни единици.

Винаги гледаме КАКВО трябва да намерим според състоянието и на базата на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но има много буквалисти сред учителите и задачата има голям шанс да бъде върната за преработка. Въпреки че това не е особено пресилена гръмотевица - ако отговорът е грешен, тогава се създава впечатлението, че човекът не разбира елементарни неща и/или не е разбрал същината на задачата. Тази точка винаги трябва да се държи под контрол при решаването на всяка задача по висша математика, а и по други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип можеше да се прикачи допълнително към решението, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначение за едно и също нещо.

Популярен пример за независимо решение:

Пример 2

Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Формулата за намиране на площта на триъгълник чрез векторния продукт е дадена в коментарите към дефиницията. Решението и отговорът са в края на урока.

На практика задачата е наистина много често срещана, триъгълниците като цяло могат да ви измъчват.

За решаване на други проблеми ще ни трябва:

Свойства на векторното произведение на векторите

Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:

1) В други източници на информация този елемент обикновено не е маркиран в свойствата, но е много важен в в практически план. Така че нека бъде.

2) – свойството също е разгледано по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.

3) – асоциативни или асоциативензакони за векторни продукти. Константите могат лесно да бъдат преместени извън векторния продукт. Наистина, какво да правят там?

4) – разпределение или разпределителензакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скобите.

За да демонстрираме, нека разгледаме кратък пример:

Пример 3

Намерете дали

Решение:Условието отново изисква намиране на дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра:

(1) Съгласно асоциативните закони, ние извеждаме константите извън обхвата на векторното произведение.

(2) Преместваме константата извън модула и модулът „изяжда“ знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Останалото е ясно.

Отговор:

Време е да добавите още дърва в огъня:

Пример 4

Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Решение: Намерете площта на триъгълника, като използвате формулата . Уловката е, че самите вектори „tse“ и „de“ са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери № 3 и 4 от урока Точково произведение на вектори. За по-голяма яснота ще разделим решението на три етапа:

1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност, нека изразим вектор чрез вектор. Все още няма дума за дължините!

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Използвайки законите за разпределение, отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми.

(3) Използвайки асоциативни закони, ние преместваме всички константи извън векторните продукти. С малко опит стъпки 2 и 3 могат да бъдат извършени едновременно.

(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради свойството nice. Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторен продукт:

(5) Представяме подобни условия.

В резултат на това векторът се оказа изразен чрез вектор, което е необходимо да се постигне:

2) Във втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на Пример 3:

3) Намерете площта на необходимия триъгълник:

Етапи 2-3 от решението можеха да бъдат записани в един ред.

Отговор:

Разглежданият проблем е доста често срещан в тестове, ето пример за независимо решение:

Пример 5

Намерете дали

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)

Напречно произведение на вектори в координати

Формулата е много проста: в горния ред на детерминанта записваме координатните вектори, във втория и третия ред „поставяме“ координатите на векторите и поставяме в строг ред– първо координатите на вектора „ve“, след това координатите на вектора „double-ve“. Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете трябва да бъдат разменени:

Пример 10

Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б)

Решение: Проверката се основава на едно от твърденията този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното векторно произведение е равно на нула (нулев вектор): .

а) Намерете векторното произведение:

Следователно векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторното произведение:

Отговор: а) не е колинеарен, б)

Тук може би е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.

Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, при които се използва смесеното произведение на вектори. Всъщност всичко ще зависи от определението, геометричен смисъли няколко работещи формули.

Смесено произведение от вектори е произведение от три вектора:

Така че те се наредиха като влак и нямат търпение да бъдат идентифицирани.

Първо, отново определение и снимка:

Определение: Смесена работа некомпланарнивектори, взети в този ред, Наречен обем на паралелепипед, изградени върху тези вектори, оборудвани със знак „+“, ако основата е дясна, и знак „–“, ако основата е лява.

Да направим чертежа. Невидимите за нас линии се рисуват с пунктирани линии:

Нека се потопим в определението:

2) Взети са вектори в определен ред, тоест пренареждането на векторите в продукта, както може би се досещате, не става без последствия.

3) Преди да коментирам геометричния смисъл, отбелязвам очевиден факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен; Свикнал съм да обозначавам смесен продукт с , а резултатът от изчисленията с буквата „pe“.

А-приори смесеният продукт е обемът на паралелепипеда, построен върху вектори (фигурата е начертана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на даден паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Нека не се тревожим отново за концепцията за ориентация на основата и пространството. Смисълът на последната част е, че към силата на звука може да се добави знак минус. С прости думи, смесеното произведение може да бъде отрицателно: .

Директно от определението следва формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори.