Formula za izračunavanje bočne površine piramide. Piramida

Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbiru površina njenih bočnih strana. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je data pravilna piramida, u čijoj osnovi leži pravilan n-ugao sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apothem piramide. Površina jedne bočne strane je jednaka 1/2ah, a cijela bočna površina piramide ima površinu jednaku n/2ha Pošto je na obim osnove piramide, možemo zapisati pronađenu formulu u obliku:

Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njene apoteme i polovine perimetra osnove.

U vezi ukupna površina, onda jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.

Upisana i opisana sfera i lopta. Treba napomenuti da centar sfere upisane u piramidu leži na presjeku simetralnih ravni unutrašnjih diedralnih uglova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se na sjecištu ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide i okomite na njih.

Krnja piramida. Ako piramidu preseče ravan paralelna njenoj osnovici, tada se deo zatvoren između presečne ravni i baze naziva krnje piramide. Na slici je prikazana piramida odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobijamo skraćenu piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa centrom homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru visina: k=h 2 /h 1, ili bočnih rubova, ili drugih odgovarajućih linearnih dimenzija obje piramide. Znamo da su površine sličnih figura povezane kao kvadrati linearnih dimenzija; pa su površine osnova obe piramide (tj. površina osnova krnje piramide) povezane kao

Ovdje je S 1 površina donje baze, a S 2 površina gornje osnove skraćene piramide. Bočne površine piramida su u istom odnosu. Slično pravilo postoji za volumene.

Zapremine sličnih tijela povezani su kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, zapremine piramida su povezane kao proizvod njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobija naše pravilo. Ima apsolutno opšti karakter a to direktno proizilazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju trećeg stepena dužine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.

Neka je data skraćena piramida visine h i baza S 1 i S 2. Ako zamislimo da je proširena na punu piramidu, onda je koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina skraćene piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za zapreminu skraćene piramide (V 1 i V 2 označavaju zapremine pune i male piramide)

formula za zapreminu krnje piramide

Izvedemo formulu za površinu S bočne površine pravilne krnje piramide kroz perimetre P 1 i P 2 osnova i dužinu apoteme a. Razmišljamo na potpuno isti način kao kada izvodimo formulu za volumen. Dopunjavamo piramidu gornjim dijelom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su perimetri baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih površina cijele nastale piramide i njenog gornjeg dijela shodno tome. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apotemi piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za bočnu površinu pravilne skraćene piramide

• Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
• Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide

Problem 1. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide

Rješenje.

U osnovi pravilne trouglaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da riješimo problem, koristit ćemo svojstva pravilnog trokuta:

Znamo visinu trougla, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Otuda će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamjenu poznate vrednosti.

OK / MK = √2/2

Uzmimo u obzir da je OK jednako poluprečniku upisane kružnice. Onda
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Onda
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina bočne strane je tada jednaka polovini umnoška visine i osnove trokuta.
Strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovori: 3√3 + 18/√6

Problem 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide

Rješenje.

Budući da je osnova pravilne trouglaste piramide jednakostraničan trokut, AO je polumjer kružnice opisane oko baze.
(ovo proizilazi iz)

Iz njegovih svojstava nalazimo poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla

Otuda će dužina ivica pravilne trouglaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide je poznata pod uslovom (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Svaka strana piramide je jednakokraki trougao. Square jednakokraki trougao nalazimo iz prve formule predstavljene u nastavku

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 m² (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Pošto su sve tri strane pravilne piramide jednake, bočna površina će biti jednaka
3S = 48 √(91/3)

odgovor: 48 √(91/3)

Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Stranica pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Rješenje.
Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi postoji jednakostranični trougao. Dakle, površina baze je


Dakle = 9 * √3/4

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Hajde da iskoristimo prednost

Definicija. Bočna ivica- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).

Definicija. Bočna rebra- ovo su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.

Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.

Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina pada na sredinu baze.

Zapremina i površina piramide

Formula. Volumen piramide kroz površinu osnove i visinu:

Svojstva piramide

Ako sve bočna rebra su jednaki, tada se krug može opisati oko osnove piramide, a centar baze se poklapa sa centrom kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).

Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.

Bočne ivice su jednake kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.

Ako bočne strane su nagnuti u odnosu na ravan osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide je projektovan u njenom centru.

Ako su bočne strane nagnute prema ravni baze pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.

2. Sve bočne ivice su jednake.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim uglovima u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.

5. Površine svih bočnih strana su jednake.

6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.

7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.

8. Možete uklopiti sferu u piramidu. Središte upisane sfere biće tačka preseka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i osnove.

9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π/n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.

Veza između piramide i sfere

Sfera se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti presjek ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih rubova piramide.

Uvek je moguće opisati sferu oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.

Kugla se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

Veza piramide sa konusom

Za konus se kaže da je upisan u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.

Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.

Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.

Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.

Odnos između piramide i cilindra

Piramida se naziva upisanom u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.

Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju trouglasti ugao.

Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).

Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijani su podijeljeni na pola, a medijani su podijeljeni u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. Piramida sa oštrim uglom- piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice osnove.

Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.

Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar u kojem postoji pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a ivice su pravokutnih trouglova, a osnova je proizvoljan trokut. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su stranice jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trougao. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokraki trouglovi.

Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Definicija. Zvezdana piramida naziva se poliedar čija je osnova zvezda.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskom procedurom, u suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladinih agencija u Ruskoj Federaciji - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da je površina takva geometrijsko tijeloće se sastojati od zbira površina baze i cijele njene bočne površine.

Izračunavanje površine osnove piramide

Izbor formule za izračunavanje zavisi od oblika poligona koji leži ispod naše piramide. Može biti pravilna, odnosno sa stranicama iste dužine, ili nepravilna. Hajde da razmotrimo obe opcije.

Osnova je pravilan poligon

Od školski kurs poznato:

• površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
• Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenoj sa 4 i pomnoženoj s kvadratnim korijenom od tri.

Ali postoji također opšta formula, da biste izračunali površinu bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti obim ovog poligona (P) s polumjerom kružnice upisane u njega (r), a zatim rezultat podijeliti sa dva: Sn= 1/2P*r.

U osnovi je nepravilan poligon

Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a*h (gdje je a osnova trokuta, h visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih bočnih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.

1. Neka nam je proizvoljna piramida, tj. jedan sa nepravilnim poligonom u osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica posebno i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se vrši pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
2. Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njene osnove sa površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, hajde da algebarski izračunamo površine nekoliko piramida.

Površina trouglaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Koristeći formulu So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Istu formulu koristimo za pronalaženje površine svake strane piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobijamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Sabiranjem površina stranica i osnove dobijamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.

Površina četvorougaone piramide

Površina bočne površine je zbir 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.