Kako naučiti rješavati jednostavne i složene jednadžbe. Primjeri rješavanja jednačina

Postoje trenuci u životu kada se pred vama pojavi naizgled beznadna situacija ili problem čije rješenje obećava da vam neće ići u prilog. Nemojte žuriti da odustanete od ostvarenja svojih snova, postizanja svojih ciljeva ili panike. Jedan drevni mudrac je rekao: "Odaberi vrijeme za razmišljanje - ovo je izvor snage." Pa, teško je ne složiti se s njim, jer um jeste moćno oružje. Čak i najsloženiji problem ima na desetine rješenja, a izmiče ga iz vida samo zato što su ljudi navikli razmišljati u određenim okvirima. Da biste riješili složen problem, morate koordinirati rad svijesti i podsvijesti - to će vam proširiti vidike i omogućiti vam da vidite nove mogućnosti.

Tehnika "100 ideja".

Da biste savladali tehniku ​​„100 ideja“, biće vam potrebno samo 1-2 sata slobodnog vremena, udoban lični kutak u kojem vas niko neće ometati, kao i papir i olovka. Zamolite svoje najmilije i poznanike unaprijed da vam ne odvlače pažnju tokom “meditacije”, isključite telefon i samo se opustite. Na vrhu komada papira formulirajte i zapišite svoje pitanje ili dilemu. Numerirajte listu od jedan do 100 i počnite generirati ideje.

U početku ideje dolaze jedna za drugom, iako one, nažalost, nisu nove - opisati ćete sve svoje „adute“, uključujući vještine, poznanstva, veze, finansijska sredstva, vrijeme koje možete posvetiti rješavanju problema. Tada će vam se i dalje činiti nemoguće pronaći sto odgovora, a ako se spotaknete na 20-30. tačku, osjećat ćete se praznim. Očekuje vas lagani zastoj, koji se prirodno javlja kada svijest, hodajući u začaranom krugu, iscrpi mogućnosti koje joj stoje na raspolaganju i prođe sve ono s čime se već susrela u ličnom iskustvu.

Druga faza vašeg putovanja do vaše podsvijesti je još 40 tačaka gdje još uvijek koristite svoj svjesni um, ali vaš skrivene sile počinju da se bude i dobijaju drugi vetar. U ovoj fazi se pojavljuje vaš način razmišljanja. Primijetit ćete da se vaše ideje počinju ponavljati i da sadrže razne klišeje i stavove. Vaš cilj nije da ih odbacite, već da ih pažljivo zapišete na papir, a evo i zašto: ove marke su okviri iza kojih ne možete otići i pogledati okolo. Moglo bi biti javno mnjenje, nezadovoljstvo nadređenima, nedostatak samopouzdanja i bilo koje druge „bruške“ u vašoj psihi. Istovremeno, možete otkriti svoje skriveni problemi ili strahovi koji vas sprečavaju da krenete naprijed. Ova faza će od vas zahtijevati najveću izdržljivost - uostalom, nije nimalo lako odbaciti prvih trideset tačaka, koje su očigledno u vašoj zoni udobnosti, i preuzeti nove, nepoznate i stoga ponekad zastrašujuće ideje - to je normalno , glavna stvar je ne odustati. Štaviše, ova unutrašnja borba samo pomaže da se pređe na treću fazu putovanja.

Poslednjih 30 tačaka će otvoriti Pandorinu kutiju pred vama, jer broj 100 nije slučajno izabran. To je ono što omogućava vašoj intuiciji da se potpuno otvori i iznenadi se neočekivanim “uvidima odozgo” - improviziranim izrazima vaše podsvijesti koja se budi, odakle se ideje pojavljuju bez ikakve obrade ili filtriranja od strane uma. U svojoj potrazi već ste napustili logiku, primjećujući koliko je ona zapravo kvadratna, i shvaćate da vaš način razmišljanja leži samo u jednoj ravni - a svijet je, ispostavilo se, trodimenzionalan (ne računajući vrijeme). Sada, kada um prestane da vam diktira šta je "moguće", a šta "nije", vrata podsvesti se otvaraju. Lako možete izmisliti nešto neobično i na prvi pogled potpuno apsurdno. Možda vam se čak čini da ne biste trebali zapisivati ​​ideju koja vam je očito neprikladna, ideju koja vam se iznenada pojavila u glavi. Međutim, čudne su, ponekad glupe fraze koje mogu ispasti neobrađeni dijamanti. Sjetite se kako su ljudi smatrali da je Zemlja ravna i plašili su se da padnu sa njene ivice, i kako se ideja da je planeta okrugla i rotira nekada nazivana herezom. Zabludne ideje vam možda u početku neće biti jasne, ali ćete osjetiti da u njima ima nečega – ovo će vam poslužiti kao slamka koja će vas uputiti u pravom smjeru.

Može se dogoditi i da nakon što iznesete toliko ideja, odjednom shvatite da to uopće nije bio problem - ili ste vidjeli samo vrh ledenog brijega, pa morate napraviti novu listu da biste odgovorili na potpuno drugačije pitanje.

Postoji još nekoliko pravila kojih se morate pridržavati pri radu s ovom tehnikom. Prije svega, lista se mora sastaviti odjednom, bez prekida - inače će vaše uspavane briljantne ideje ostati uspavane pod teretom svakodnevnog razmišljanja. Dok radite, ne biste trebali ponovo čitati listu i procjenjivati ​​koliko je već urađeno i koliko stvari je ostalo - to će vam odvratiti pažnju i spriječiti da se vaše misli prirodno ponavljaju - i stoga vam neće dozvoliti da vidite svoje kamene spoticanja . Spremite se odmah: procijenit ćete i kritizirati svoje ideje nakon što prikupite svih stotinu tačaka - i dok proces traje, trebate zapisati sve misli (ne morate nikome pokazati ovaj papir ako ne ne želim). Ako je posao u punom jeku, skratite riječi, glavno je da onda možete pročitati šta ste mislili. Možete, naravno, koristiti laptop umjesto olovke i papira, ali zapamtite: izvor elektromagnetnih talasa, barem u teoriji, sprječava vaš mozak, auru i, ako hoćete, čakre da se povežu s univerzalnim umom - i općenito funkcioniraju zdravo. Ali ovo je po ličnom nahođenju.

„Ukusni“ bonusi tehnike „100 ideja“ nisu samo u mogućnosti duboke samoanalize i pronalaženja originalnih rješenja za teške situacije, već i u činjenici da se uz nju možete raznoliko razvijati i planirati svoju budućnost, pronaći nove poticaje. za samorazvoj i rast iznad sebe. Da biste to učinili, u slobodno vrijeme razmislite o odgovorima na donje teme (ili bilo koje od vaših):

• Kako da se obrazujete
• Kako poboljšati odnose
• Kako poboljšati svoj život
• Kako zaraditi novac
• Kako poboljšati svoje poslovanje
• Kako pomoći ljudima
• Kako povećati ličnu efikasnost
• Kako postati zdraviji
• Stvari koje stalno odlažem za sutra
• Stvari koje radim najbolje
• Stvari koje me demotivišu
• Kvalitete koje želim da razvijem u sebi
• Pitanja na koja trebam odgovore
• Vrijednosti u koje vjerujem
• Stvari koje cijenim u životu
• Profesije u kojima želim da se okušam
• Stvari (ljudi) koje me usporavaju u postizanju mog cilja
• Stvari koje me razvesele
• Zaključci koje me je život naučio
• Stvari kojih se možete riješiti
• Mjesta koja bih volio posjetiti
• Greške za koje opraštam sebi (drugima)
• Načini da razmišljate kreativnije

Kako naučiti rješavati jednostavne i složene jednadžbe

Dragi roditelji!

Bez osnovne matematičke obuke obrazovanje je nemoguće savremeni čovek. U školi matematika služi kao prateći predmet za mnoge srodne discipline. U posliješkolskom životu to postaje stvarna potreba kontinuirano obrazovanje, što zahtijeva osnovnu opću školsku obuku, uključujući matematiku.

IN osnovna škola ne samo da se polaže, već se i razvija znanje o glavnim temama logičko razmišljanje, mašte i prostornih pojmova, kao i formiranje interesovanja za ovu temu.

Prateći princip kontinuiteta, fokusirat ćemo se na najvažniju temu, a to je „Odnos između komponenti radnji u rješavanju složenih jednačina“.

Korišćenjem ovu lekciju možete lako naučiti rješavati složene jednadžbe. U ovoj lekciji ćete naučiti detaljno o tome upute korak po korak rješavanje komplikovanih jednačina.

Mnogi roditelji su zbunjeni pitanjem kako navesti svoju djecu da nauče rješavati jednostavne i složene jednačine. Ako su jednadžbe jednostavne, to je pola problema, ali postoje i složene - na primjer integralne. Inače, za informaciju, postoje i jednadžbe koje se ljudi muče riješiti najbolji umovi naše planete i za čije se rješavanje dodjeljuju veoma značajne novčane nagrade. Na primjer, ako se sjećatePerelmani nepretraženi novčani bonus od nekoliko miliona.

Međutim, vratimo se najprije jednostavnim matematičkim jednadžbama i ponovimo vrste jednačina i imena komponenti. Malo zagrevanje:

_________________________________________________________________________

WARM-UP

Pronađite dodatni broj u svakoj koloni:

2) Koja riječ nedostaje u svakoj koloni?

3) Povežite riječi iz prve kolone sa riječima iz druge kolone.

"Jednakost" "Jednakost"

4) Kako objašnjavate šta je „jednakost“?

5) Šta je sa “jednačinom”? Je li ovo jednakost? Šta je tu posebno?

zbirni termin

minus razlika

subtraktivan proizvod

faktorjednakost

dividenda

jednačina

Zaključak: Jednačina je jednakost sa varijablom čija vrijednost mora biti pronađena.

_______________________________________________________________________

Pozivam svaku grupu da flomasterom napiše jednačine na komadu papira: (na tabli)

Jedan iz grupe mora pročitati svoju jednačinu na matematičkom jeziku i prokomentarisati njeno rješenje, odnosno izgovoriti operaciju koja se izvodi sa poznatim komponentama radnji (algoritam).

Zaključak: Možemo rješavati jednostavne jednadžbe svih vrsta koristeći algoritam, čitati i pisati literalne izraze.

Predlažem da se riješi problem u kojem se pojavljuje nova vrsta jednadžbe.

Zaključak: Upoznali smo se sa rješenjem jednačina čiji jedan dio sadrži numerički izraz, čija vrijednost se mora naći i dobiti jednostavna jednačina.

________________________________________________________________________

Razmotrimo drugu verziju jednadžbe, čije se rješenje svodi na rješavanje lanca jednostavnih jednadžbi. Evo jednog uvoda u složene jednadžbe.

Predlažem svima da napišu rečenicu matematičkim jezikom:

Proizvod razlike između brojeva x i 4 i broja 3 je 15.

ZAKLJUČAK: Pojava problematičnoj situaciji motiviše postavljanje cilja časa: naučiti rješavati jednačine u kojima je nepoznata komponenta izraz. Takve jednačine su složene jednačine.

__________________________________________________________________________

Ili će nam možda pomoći vrste jednačina koje smo već proučavali? (algoritmi)

Kojoj je od poznatih jednačina naša jednačina slična? X * a = b

VEOMA VAŽNO PITANJE: Koji je izraz na lijevoj strani - zbir, razlika, proizvod ili količnik?

(x - 4) * 3 = 15 (Proizvod)

Zašto? (pošto je zadnja radnja množenje)

zaključak:Takve jednačine još nisu razmatrane. Ali možemo to riješiti ako izrazx - 4stavite karticu (y - igrek), i dobijete jednačinu koja se lako može riješiti korištenjem jednostavnog algoritma za pronalaženje nepoznate komponente.

Prilikom rješavanja složenih jednačina potrebno je u svakom koraku odabrati radnju na automatiziranom nivou, komentirati, imenovati komponente radnje.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

zaključak:U odeljenjima sa različitim obrazovanjem ovaj rad se može drugačije organizovati. U pripremljenijim klasama, čak i za primarnu konsolidaciju, mogu se koristiti izrazi u kojima nisu dvije, već tri ili više radnji, ali njihovo rješavanje zahtijeva više korake, svaki korak pojednostavljuje jednačinu dok ne dobijete jednostavnu jednačinu. I svaki put možete promatrati kako se mijenja nepoznata komponenta radnji.

_____________________________________________________________________________

ZAKLJUČAK:

Kada govorimo o nečemu vrlo jednostavnom i razumljivom, često kažemo: „Stvar je jasna kao što su dva i dva četiri!“

Ali prije nego što su shvatili da su dva i dva jednako četiri, ljudi su morali učiti mnogo, mnogo hiljada godina.

Mnoga pravila iz školskih udžbenika iz aritmetike i geometrije bila su poznata starim Grcima prije više od dvije hiljade godina.

Gdje god treba nešto da prebrojite, izmjerite, uporedite, ne možete bez matematike.

Teško je zamisliti kako bi ljudi živjeli da ne znaju računati, mjeriti i porediti. Matematika to uči.

Danas ste zaronili u školski život, igrali ulogu učenika i pozivam vas, dragi roditelji, da ocijenite svoje vještine na skali.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj, kada je to moguće, jednačina se svodi na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearne jednačine. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, od samog jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova šema ne funkcionira uvijek u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične pojmove predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekih sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste učinili nešto pogrešno.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenicaće vam omogućiti da izbjegnete glupe i uvredljive greške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, tada će se tokom procesa transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno poništiti.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenje, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, od kojih obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Nećete više morati da izvodite toliko transformacija svaki put; Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekih sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne tačke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Ostanite sa nama, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

52. Više složeni primjeri jednačine.
Primjer 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Zajednički imenilac je x 2 – 1, jer je x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Pomnožimo obje strane ove jednačine sa x 2 – 1. Dobijamo:

ili, nakon smanjenja,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 i x = 3½

Razmotrimo još jednu jednačinu:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Rješavajući kao gore, dobijamo:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ili 2x = 2 i x = 1.

Pogledajmo da li su naše jednakosti opravdane ako x u svakoj od razmatranih jednačina zamijenimo pronađenim brojem.

Za prvi primjer dobijamo:

Vidimo da nema mjesta sumnji: našli smo broj za x takav da je tražena jednakost opravdana.

Za drugi primjer dobijamo:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ili 5/0 – 3/2 = 15/0

Ovdje se pojavljuju sumnje: suočeni smo s podjelom na nulu, što je nemoguće. Ako u budućnosti uspijemo dati određeno, iako indirektno, značenje ovoj podjeli, onda se možemo složiti da pronađeno rješenje x – 1 zadovoljava našu jednačinu. Do tada moramo priznati da naša jednadžba nema rješenje koje ima direktno značenje.

Slični slučajevi se mogu dogoditi kada je nepoznata na neki način uključena u nazivnike razlomaka prisutnih u jednadžbi, a neki od ovih nazivnika, kada se nađe rješenje, okrenu se na nulu.

Primjer 2.

Odmah možete vidjeti da ova jednačina ima oblik proporcije: odnos broja x + 3 prema broju x – 1 jednak je omjeru broja 2x + 3 i broja 2x – 2. Neka neko u S obzirom na ovu okolnost, odlučite primijeniti ovdje kako biste oslobodili jednačinu od razlomaka, glavno svojstvo proporcije (proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova). Tada će dobiti:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Ovdje strah da se nećemo nositi s ovom jednačinom može izazvati činjenica da jednačina uključuje članove sa x 2. Međutim, možemo oduzeti 2x 2 sa obe strane jednačine - to neće razbiti jednačinu; tada su članovi sa x 2 uništeni i dobijamo:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Pomerimo nepoznate pojmove ulevo, a poznate udesno - dobićemo:

3x = 3 ili x = 1

Sjećanje na ovu jednačinu

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Odmah ćemo primijetiti da pronađena vrijednost za x (x = 1) čini da imenioci svakog razlomka nestanu; Moramo napustiti takvo rješenje dok ne razmotrimo pitanje dijeljenja sa nulom.

Ako još primetimo da je primena svojstva proporcije zakomplikovala stvar i da bi se jednostavnija jednačina mogla dobiti množenjem obe strane datog zajedničkim imeniocem, naime 2(x – 1) – na kraju krajeva, 2x – 2 = 2 (x – 1) , tada dobijamo:

2(x + 3) = 2x – 3 ili 2x + 6 = 2x – 3 ili 6 = –3,

što je nemoguće.

Ova okolnost ukazuje da ova jednadžba nema rješenja koja imaju direktno značenje koje ne bi pretvorilo nazivnike ove jednačine na nulu.
Hajde sada da rešimo jednačinu:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Pomnožimo obje strane jednačine 2(x – 1), tj. zajedničkim nazivnikom, dobićemo:

6x + 10 = 2x + 18

Pronađeno rješenje ne čini da nazivnik nestaje i ima direktno značenje:

ili 11 = 11

Ako bi neko, umjesto da pomnoži oba dijela sa 2(x – 1), koristi svojstvo proporcije, dobio bi:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) ili
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Ovdje pojmovi sa x 2 ne bi bili uništeni. Premještajući sve nepoznate pojmove na lijevu stranu, a poznate na desnu, dobili bismo

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Sada nećemo moći riješiti ovu jednačinu. U budućnosti ćemo naučiti kako riješiti takve jednadžbe i pronaći dva rješenja za njih: 1) možete uzeti x = 2 i 2) možete uzeti x = 1. Lako je provjeriti oba rješenja:

1) 2 2 – 3 2 = –2 i 2) 1 2 – 3 1 = –2

Ako se sjetimo početne jednačine

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

tada ćemo vidjeti da sada dobijamo oba njegova rješenja: 1) x = 2 je rješenje koje ima direktno značenje i ne pretvara imenilac na nulu, 2) x = 1 je rješenje koje pretvara imenilac na nulu i nema direktno značenje.

Primjer 3.

Pronađimo zajednički imenilac razlomaka uključenih u ovu jednačinu tako što ćemo svaki od imenilaca činiti faktore:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Zajednički imenilac je (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Pomnožimo obje strane ove jednačine (i sada je možemo prepisati kao:

zajedničkim nazivnikom (x – 3) (x – 2) (x + 1). Zatim, nakon smanjenja svakog razlomka dobijamo:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ili
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Odavde dobijamo:

–x = –13 i x = 13.

Ovo rješenje ima direktno značenje: ono ne dovodi do nestanka bilo kojeg imenioca.

Ako uzmemo jednačinu:

onda, radeći potpuno isto kao gore, dobili bismo

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

odakle bi ga nabavio?

što je nemoguće. Ova okolnost pokazuje da je nemoguće naći rješenje za posljednju jednačinu koje ima direktno značenje.

Naučnici su proučavali ritmove moždane aktivnosti i identificirali onaj koji je najprikladniji za kreativni uvid i traženje. korisne ideje

Naučnici su proučavali ritmove moždane aktivnosti i identificirali onaj koji je najprikladniji za kreativni uvid i potragu za korisnim idejama.

Jedi. Spavaj. Riješite probleme. Ponovi. Najvjerovatnije, ne računajući noćni san, potrošite većina Vašeg vremena za rješavanje raznih problema – posebno na poslu.

Nije da je to loša stvar. Mnogi od najbolji preduzetnici od Sarah Blakely do Richarda Bransona, svoj uspjeh duguju njihovoj sposobnosti da identifikuju probleme (u ovom slučaju, nezadovoljene potrebe potrošača) i daju rješenja.

Ali kako god važan deo naši životi se ne bave rješavanjem problema, to je ipak stres i čini se da se neki ljudi s njim nose bolje od drugih.

Stoga, za one koji žele postati uspješniji u ovoj igri, možete isprobati nešto novo: tražiti rješenja u snu. Doslovno. To se zove “uhvati svoj theta ritam”. Ne, ne govorimo o samohipnozi ili meditaciji: to je čista nauka i djeluje.

Ali hajde da prvo shvatimo:

Šta su moždani ritmovi?

Kako učitelj Ned Herrmann objašnjava, ovo ritmove koji upravljaju električnom aktivnošću mozga. U zavisnosti od vašeg nivoa aktivnosti Mogu se razlikovati četiri različita ritma. Navodimo ih po opadajućoj frekvenciji talasa.

• Tokom perioda maksimalne aktivnosti (na primjer, tokom važnog intervjua), vaš mozak radi beta ritam.
• Kada ste opušteni, na primer kada ste upravo završili veliki projekat i konačno možete izdahnuti, - prebacuje se mozak na alfa ritam.
• Sada skočimo naprijed: četvrti ritam je označen slovom "delta" i snima se kada ste u dubokom snu.

Preskočili smo treću fazu, teta ritam, jer je ona najprikladnija za rješavanje problema. Herrmann kaže:

“Ljudi koji provode dosta vremena vozeći često padaju na pamet u ovim periodima kada su u teta ritmu... To se može dogoditi pod tušem ili kadom, pa čak i dok se briju ili češljaju. Ovo je stanje u kojem rješavanje problema postaje toliko automatsko da se možete mentalno apstrahirati od njega. Kod teta ritma se često čini da tok misli nije ničim ograničen – ni unutrašnjom cenzurom, ni osjećajem krivice.”

Mozak ulazi u ovo stanje, uključujući i kada zaspite ili se probudite, kada balansirate između budnosti i dubokog sna. Herrmann objašnjava:

“Kada se probudi, mozak može održavati teta ritam duži period, recimo 5 do 15 minuta, a ovo vrijeme se može iskoristiti za slobodno razmišljanje o jučerašnjim događajima ili onome što je pred nama u novom danu. Ovaj period može biti vrlo produktivan i donijeti mnogo smislenih i kreativnih ideja.”

Postoje li stvarni dokazi da ovo funkcionira?

Iskoristite trenutak kada vam je mozak spreman dati najbolje ideje, - tehnika koja uspješni ljudi prati se stotinama godina.

Umjetnici, pisci i veliki mislioci odavno su primijetili da oni trenuci kada "kimamo" - odnosno upravo kada u mozgu prevladava theta ritam - najbolje vrijeme da probudi kreativnost.

Albert Ajnštajn i Tomas Edison su imali naviku rešavanja složenih problema dok su poluspali. Brz, kreativan um je izgrađen za rješavanje problema, zbog čega čak i kratko razmišljanje o dnevnim izazovima rano ujutro dok ste još u tom stanju (ili čak noću kada počinjete da zaspite) može proizvesti zadivljujuće rezultate. Ono što je uspjelo Ajnštajnu može i vama – iako ne obećavamo da ćete postati autor nova teorija relativnost.

Kako koristiti svoj theta ritam?

Ovo će potrajati. Ali ako ovu praksu radite redovno, imat ćete dobra navikašto će povećati vašu produktivnost novi nivo. Evo šta vam je potrebno za ovo:

1. Odaberite zadatak

Ujutro, kada ste se već počeli buditi, ali su vam oči još uvijek zatvorene, a mozak još uvijek u polusnu, razmislite o najhitnijem problemu ili zadatku s kojim ćete se danas suočiti. Možda će to biti lukav razgovor, važan pregovor s klijentom, pisanje izvještaja ili razvoj nove marketinške kampanje. Ali bez obzira koliko zadataka lebdi u vašem umu, morate odabrati jedan - i pustiti vaš mozak da radi na tome.

Ne pokušavajte nekako usmjeriti ili ograničiti svoje misli, samo pazite da ne idu predaleko od njih zadata tema. Najvjerovatnije će vaš mozak nesvjesno početi birati rješenje.

Često ćete na kraju dobiti nekoliko korisnih ideja. Ponekad je to čak i briljantan uvid. Najvjerovatnije ćete u početku zaboraviti da koristite ovu metodu svaki dan, ali će s vremenom to postati još jedna navika, dio vaših jutarnjih rituala.

2. Vodite beleške

Možda je za vas najfrustrirajući dio rješavanja theta problema to što ćete zaboraviti te inspirirane ideje čim vam glava napusti jastuk. Razbijat ćete mozak pod tušem, pokušavajući izvući taj briljantni plan u tri tačke koji ste upravo mentalno skicirali. Zato morate zapisati svoje odluke čim se probudite dovoljno da otvorite oči.

Zgrabite svoj pametni telefon (i dalje se puni na uzglavlju kreveta, zar ne?) i odmah snimite svoje misli - u tekstu ili na diktafonu. Ne gubite vrijeme. Ograničite se na ključne riječi, opise i fraze koji će vam pokrenuti pamćenje kasnije kada budete spremni koristiti informacije.

Dodatna prednost: plavo svjetlo sa ekrana vašeg telefona pomoći će vam da se probudite. A ako želite da se poslužite istom metodom uveče, dok zaspite, bolje je da koristite olovku i papir - tako vam veštačko svetlo neće ometati san.

3. Analizirajte iskustvo

Vodite dnevnik svojih "theta misli" - s vremenom će vam to pomoći da pronađete tipična rješenja i oblasti njihove primene. Možda ćete otkriti da je ova metoda najefikasnija za vas kada rješavate kreativne probleme ili primijetite da vam daje prednost u komunikaciji s ljudima ili planiranju. Ovo će vam pomoći da shvatite koje probleme treba rješavati korištenjem theta ritma u budućnosti.

Inspiracija može doći s bilo kojeg mjesta.

Ali isto važi i za prepreke.

Theta razmišljanje koristi univerzalnu sposobnost mozga za rješavanje problema tako da možete zapamtiti ta rješenja i koristiti ih. Često vam može pomoći da zaobiđete sljedeću prepreku na vašem putu ili premostite jaz između napola pripremljene ideje i zaista korisnog rješenja, a zašto to ne iskoristiti? Ne morate čak ni da ustanete iz kreveta da biste ovo uradili! objavljeno