Pronađite površinu paralelogramskog kalkulatora na mreži. Paralelogram i njegova svojstva

Paralelogram je četvorougaona figura čije su suprotne strane paralelne i jednake u paru. Njegovi suprotni uglovi su takođe jednaki, a tačka preseka dijagonala paralelograma ih deli na pola, istovremeno i centar simetrije figure. Posebni slučajevi paralelograma su geometrijski oblici kao što su kvadrat, pravougaonik i romb. Može se naći površina paralelograma na razne načine, ovisno o tome koji početni podaci prate formulaciju problema.

1. U najjednostavnijem slučaju, površina paralelograma se definira kao proizvod njegove osnove i visine.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   gdje je S površina paralelograma;
   a - baza;
   h je visina povučena do date baze.

   Ovu formulu je vrlo lako razumjeti i zapamtiti ako pogledate sljedeću sliku.

   

   Kao što možete vidjeti na ovoj slici, ako odsiječemo zamišljeni trokut lijevo od paralelograma i pričvrstimo ga desno, rezultat će biti pravougaonik. Kao što znate, površina pravokutnika se nalazi množenjem njegove dužine s visinom. Samo u slučaju paralelograma dužina će biti osnova, a visina pravougaonika će biti visina paralelograma spuštenog na datu stranu.

2. Područje paralelograma se također može naći množenjem dužina dviju susjednih baza i sinusa ugla između njih:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   gde su AD, AB susedne baze koje formiraju presek i ugao a između sebe;
   α je ugao između baza AD i AB.

   

3. Također možete pronaći površinu paralelograma tako što ćete podijeliti na pola proizvod dužina dijagonala paralelograma sa sinusom ugla između njih.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   gdje su AC, BD dijagonale paralelograma;
   β je ugao između dijagonala.

   

4. Postoji i formula za pronalaženje površine paralelograma kroz polumjer upisane kružnice. Napisano je kako slijedi:

Paralelogram naziva se četvorougao čije su suprotne strane jedna drugoj paralelne. Glavni zadaci u školi na ovu temu su izračunavanje površine paralelograma, njegovog perimetra, visine i dijagonala. Naznačene vrijednosti i formule za njihov izračun bit će navedene u nastavku.

Svojstva paralelograma

Suprotne strane paralelograma, kao i suprotni uglovi, jednaki su jedni drugima:
AB=CD, BC=AD,

Dijagonale paralelograma u tački presjeka podijeljene su na dva jednaka dijela:

AO=OC, OB=OD.

Uglovi susedni bilo kojoj strani (susedni uglovi) iznose do 180 stepeni.

Svaka od dijagonala paralelograma dijeli ga na dva trokuta jednake površine i geometrijskih dimenzija.

Još jedno izvanredno svojstvo koje se često koristi pri rješavanju problema je da je zbroj kvadrata dijagonala u paralelogramu jednak zbroju kvadrata svih strana:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Glavne karakteristike paralelograma:

1. Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima je paralelogram.
2. Četvorougao sa jednakim suprotnim stranama je paralelogram.
3. Četvorougao sa jednakim i paralelnim suprotnim stranama je paralelogram.
4. Ako su dijagonale četvorougla u tački preseka podeljene na pola, onda je to paralelogram.
5. Četvorougao čiji su suprotni uglovi jednaki u parovima je paralelogram

Simetrale paralelograma

Simetrale suprotnih uglova u paralelogramu mogu biti paralelne ili podudarne.

Simetrale susednih uglova (susednih jednoj strani) seku se pod pravim uglom (okomito).

Visina paralelograma

Visina paralelograma- ovo je segment izvučen iz ugla okomitog na osnovu. Iz ovoga slijedi da se iz svakog ugla mogu povući dvije visine.

Formula površine paralelograma

Površina paralelograma jednak je umnošku stranice i visine povučene na nju. Formula površine je sljedeća

Druga formula nije ništa manje popularna u proračunima i definirana je na sljedeći način: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih

Na osnovu gornjih formula, znat ćete izračunati površinu paralelograma.

Perimetar paralelograma

Formula za izračunavanje perimetra paralelograma je

odnosno obim je jednak udvostručiti vrijednost zbira strana. Problemi koji uključuju paralelograme će se raspravljati u susjednim materijalima, ali za sada proučite formule. Većina problema u izračunavanju stranica i dijagonala paralelograma je prilično jednostavna i svodi se na poznavanje teoreme sinusa i Pitagorine teoreme.

Površina paralelograma. U mnogim geometrijskim problemima koji se odnose na izračunavanje površina, uključujući zadatke na Jedinstvenom državnom ispitu, koriste se formule za površinu paralelograma i trokuta. Ima ih nekoliko, pogledaćemo ih ovde.

Bilo bi prejednostavno navesti ove formule već ih ima dovoljno u referentnim knjigama i na raznim web stranicama. Želio bih prenijeti suštinu - tako da ih ne trpate, već da ih razumijete i da ih možete lako zapamtiti u bilo kojem trenutku. Nakon proučavanja materijala u članku, shvatit ćete da uopće nema potrebe učiti ove formule. Objektivno govoreći, javljaju se toliko često u odlukama da dugo ostaju u sjećanju.

1. Dakle, pogledajmo paralelogram. Definicija glasi:

Zašto je to tako? To je jednostavno! Da bismo jasno pokazali značenje formule, izvršimo neke dodatne konstrukcije, naime, konstruiramo visine:

Površina trokuta (2) jednaka je površini trokuta (1) - drugi znak jednakosti pravokutnih trokuta "duž kraka i hipotenuze". Sada mentalno "odsećimo" drugi i premjestimo ga tako da ga prekrijemo s prvim - dobićemo pravougaonik čija će površina biti jednaka površini originalnog paralelograma:

Poznato je da je površina pravokutnika jednaka umnošku njegovih susjednih stranica. Kao što se može vidjeti iz skice, jedna strana rezultirajućeg pravokutnika jednaka je strani paralelograma, a druga je jednaka visini paralelograma. Dakle, dobijamo formulu za površinu paralelograma S = a∙h a

2. Nastavimo, još jedna formula za njegovu površinu. imamo:

Površina formule paralelograma

Označimo stranice kao a i b, ugao između njih je γ "gama", visina je h a. Hajde da razmotrimo pravougaonog trougla:

Kao što su u euklidskoj geometriji tačka i prava linija glavni elementi teorije ravni, tako je i paralelogram jedan od ključne figure konveksnih četvorouglova. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravougaonika", "kvadrata", "romba" i drugih geometrijskih veličina.

Definicija paralelograma

konveksan četvorougao, koji se sastoji od pravih segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram prikazan je četverouglom ABCD. Stranice se nazivaju osnovice (AB, BC, CD i AD), okomice povučene iz bilo kog vrha na stranu suprotnu ovom vrhu se nazivaju visina (BE i BF), prave AC i BD se nazivaju dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravougaonik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i uglovi: karakteristike odnosa

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određeno samom oznakom, dokazani su teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Strane koje su suprotne su identične u paru.
2. Uglovi jedan naspram drugog jednaki su u parovima.

Dokaz: Razmotrimo ∆ABC i ∆ADC, koji se dobijaju dijeljenjem četvorougla ABCD sa pravom linijom AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, pošto im je AC uobičajen (vertikalni uglovi za BC||AD i AB||CD, respektivno). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi znak jednakosti trouglova).

Segmenti AB i BC u ∆ABC u paru odgovaraju pravima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Pošto su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su takođe parovi identični, onda je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna karakteristika ovih linija paralelograma: tačka preseka ih deli na pola.

Dokaz: Neka je točka presjeka dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni formiraju dva srazmerna trougla - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotnosti. Prema linijama i sekanti, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom kriteriju jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i istovremeno su proporcionalni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.

Karakteristike susjednih uglova

Susjedne strane imaju zbir uglova jednak 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih linija i transverzale. Za četvorougao ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spuštene na jednu stranu, su okomite;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobijen crtanjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakteristika paralelograma pomoću teoreme

Karakteristike ove figure proizlaze iz njene glavne teoreme, koja kaže sljedeće: četvorougao se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova tačka ih dijeli na jednake segmente.

Dokaz: neka se prave AC i BD četverougla ABCD sijeku u tj. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (na osnovu prvog kriterijuma za jednakost trouglova). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su takođe unutrašnji poprečni uglovi sekante AC za prave AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || B.C. Slično svojstvo linija BC i CD je također izvedeno. Teorema je dokazana.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure pronađeno na nekoliko metoda jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove na koju je nacrtana.

Dokaz: povući okomite BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki, jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je po veličini jednak pravokutniku EBCF, jer se sastoje od srazmjernih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga slijedi da je područje ovog geometrijska figura nalazi se na isti način kao pravougaonik:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Odrediti opšta formula Površina paralelograma je označena visinom kao hb, a sa strane - b. odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Proračuni površine kroz stranice paralelograma i ugla, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α je ugao između segmenata a i b.

Ova metoda se praktično zasniva na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravougaoni trougao čiji se parametri nalaze trigonometrijskih identiteta, odnosno . Transformirajući odnos, dobijamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim proizvodom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se ukrštaju, možete pronaći i područje.

Dokaz: AC i BD se seku i formiraju četiri trougla: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbir je jednak površini ovog četvorougla.

Površina svakog od ovih ∆ može se naći izrazom , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da , proračuni koriste jednu vrijednost sinusa. to je . Pošto AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2, formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Karakteristike sastavnih delova ovog četvorougla našle su primenu u vektorskoj algebri, odnosno sabiranju dva vektora. Pravilo paralelograma to kaže Ako dati vektori INesu kolinearni, onda će njihov zbir biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: sa proizvoljno odabranog početka - tj. - konstruisati vektore i . Zatim konstruiramo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbiru.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sledećim uslovima:

1. a i b, α - stranice i ugao između njih;
2. d 1 i d 2, γ - dijagonale i u tački njihovog preseka;
3. h a i h b - visine spuštene na strane a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
duž dijagonala i kosinusa ugla između njih
duž dijagonala i stranica
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje dužine dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih

Video kurs “Stekni A” uključuje sve teme koje su vam potrebne uspješan završetak Jedinstveni državni ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila u matematici. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Tricky Tricks rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.