Primjeri opšteg rješenja homogenog sistema linearnih jednačina. Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi

Da razumem šta je to fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom. Sada pređimo na stvarni opis svih potrebnih radova. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.

Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?

Uzmimo ovaj sistem kao primjer linearne jednačine:

Nađimo rješenje za ovaj linearni sistem jednačina. Za početak, mi potrebno je da napišete matricu koeficijenata sistema.

Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz petog reda i upisati razliku u peti red.

Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(32)$, trebate oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(42)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 2 iz četvrtog reda i upišete razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 3 iz petog reda i upišete razliku u peti red.

Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, oni će postati nula.

Prema ovoj matrici napisati novi sistem jednačina.

Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi moramo da pomerimo poslednje dve nepoznate udesno.

Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo rezultirajući rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazile kroz nepoznanice koje su na desnoj strani.

Tada umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.

Sistem m linearne jednačine c n zvane nepoznate sistem linearnih homogenih jednadžbe ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sistem izgleda ovako:

Gdje i ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dati brojevi; x i– nepoznato.

Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(). Uvijek ima najmanje nulu ( trivijalan) rješenje (0; 0; …; 0).

Razmotrimo pod kojim uslovima homogeni sistemi imaju rješenja različita od nule.

Teorema 1. Sistem linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manji broj nepoznato n, tj. r < n.

□ 1). Neka sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule. Pošto rang ne može premašiti veličinu matrice, onda je, očigledno, r ≤ n. Neka r = n. Zatim jedna od manjih veličina n n različito od nule. Dakle, odgovarajući sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje: . To znači da nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rešenje, To r < n.

2). Neka r < n. Tada je homogeni sistem, budući da je konzistentan, neizvjestan. To znači da ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Razmislite o homogenom sistemu n linearne jednačine c n nepoznato:

(2)

Teorema 2. Homogeni sistem n linearne jednačine c n nepoznanica (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njena determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sistem (2) ima rješenje različito od nule, onda je = 0. Jer kada sistem ima samo jedno nulto rješenje. Ako je = 0, onda rang r glavna matrica sistema je manja od broja nepoznatih, tj. r < n. I, prema tome, sistem ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rešenja sistema linearnih homogenih jednačina imaju sledeća svojstva:

1. Ako je linija je rješenje za sistem (1), onda je linija rješenje za sistem (1).

2. Ako su linije I - rješenja sistema (1), zatim za bilo koje vrijednosti With 1 i With 2 njihova linearna kombinacija je također rješenje za sistem (1).

Valjanost ovih svojstava može se provjeriti direktnom zamjenom u jednačine sistema.

Iz formulisanih svojstava proizilazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sistema linearnih homogenih jednačina također rješenje ovog sistema.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r pozvao fundamentalno, ako je svako rješenje sistema (1) linearna kombinacija ovih rješenja e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Ako rang r matrice koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednadžbi (1) manje su od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (1) sastoji od n–r odluke.

Zato opšte rešenje sistem linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

Gdje e 1 , e 2 , …, e r– bilo koji fundamentalni sistem rješenja sistema (9), With 1 , With 2 , …, sa str– proizvoljni brojevi, r = n–r.

Teorema 4. Opšte rješenje sistema m linearne jednačine c n nepoznanica jednaka je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg sistema linearnih homogenih jednačina (1) i proizvoljnog partikularnog rešenja ovog sistema (1).

Primjer. Riješite sistem

Rješenje. Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima samo trivijalno rješenje: x = y = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opšta i posebna rješenja sistema

2) Pronađite osnovni sistem rješenja.

Rješenje. 1) Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima rješenja različita od nule.

Pošto postoji samo jedna nezavisna jednačina u sistemu

x + y – 4z = 0,

onda ćemo iz njega izraziti x =4z- y. Gdje dobijamo beskonačan broj rješenja: (4 z- y, y, z) – ovo je opšte rešenje sistema.

At z= 1, y= -1, dobijamo jedno posebno rešenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, y= 2, dobijamo drugo posebno rešenje: (10, 2, 3), itd.

2) U opštem rješenju (4 z- y, y, z) varijable y I z su besplatni, a varijabla X- zavisi od njih. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, dodijelimo vrijednosti slobodnim varijablama: prvo y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Dobijamo parcijalna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1), koja čine osnovni sistem rješenja.

Ilustracije:

Rice. 1 Klasifikacija sistema linearnih jednačina

Rice. 2 Proučavanje sistema linearnih jednačina

Prezentacije:

· Rješenje SLAE_matrica metoda

· Rješenje SLAE_Cramer metoda

· Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi rješenja matematički problemi Mathematica, MathCad: traženje analitičkih i numeričkih rješenja sistema linearnih jednačina

Sigurnosna pitanja:

1. Definirajte linearnu jednačinu

2. Na koji tip sistema to izgleda? m linearne jednadžbe sa n nepoznato?

3. Šta se naziva rješavanjem sistema linearnih jednačina?

4. Koji se sistemi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji sistem se naziva nekompatibilnim?

6. Koji sistem se zove zglob?

7. Koji sistem se naziva definitivnim?

8. Koji sistem se naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

10. Navedite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teoremu o primjeni elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina

12. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem matrične metode?

13. Koji sistemi se mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji se sistemi mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

16. Opisati matričnu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

19. Kojim sistemima se može riješiti inverzna matrica?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode

Književnost:

1. Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: JEDINSTVO, 2005. – 471 str.

2. Opšti kurs visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 str.

3. Zbirka zadataka iz visoke matematike za ekonomiste: Tutorial/ Uredio V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 str.

4. Gmurman V. E. Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: postdiplomske škole, 2005. – 400 str.

5. Gmurman. V.E Teorija vjerovatnoće i matematičke statistike. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i problemima. Dio 1, 2. – M.: Oniks 21. vijek: Mir i obrazovanje, 2005. – 304 str. dio 1; – 416 str. dio 2.

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: U 2 dijela / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finansije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik za studente. univerziteti - M.: Viša škola, 2007. - 479 str.

Povezane informacije.

Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :

Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.

Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznanica.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l na kojima sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:

Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:

Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a I z=b, dobijamo x=b-a, tj.

Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući minor kao osnovu:

dobijamo pojednostavljeni sistem

Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Believing z=4a, dobijamo

Skup svih rješenja homogenog sistema ima veoma važnu linearno svojstvo : ako kolone X 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1 + b X 2 će također biti rješenje za ovaj sistem. Zaista, pošto AX 1 = 0 I AX 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će postojati beskonačan broj ovih rješenja.

Linearno nezavisni stupovi E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, nazivaju se fundamentalni sistem rješenja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:

Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, To k = n-r.

Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:

Rješenje. Nađimo rang glavne matrice sistema:

Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n-r= 5 - 2 = 3. Odaberimo minor kao bazu

.

Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable pomjeramo udesno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:

Believing x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nalazimo

, .

Believing a= 1, b = c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; vjerujući b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; vjerujući c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja će poprimiti oblik

Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.

Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, And Y- opšte rešenje heterogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema AX=0. dakle, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opšte rešenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearni sistemi(algebarski, diferencijalni, funkcionalni, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip superpozicije. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struje uzrokovane svakim izvorom energije posebno.

Zadane matrice

Pronađite: 1) aA - bB,

Rješenje: 1) Nalazimo ga sekvencijalno, koristeći pravila množenja matrice brojem i sabiranja matrica.

2. Pronađite A*B ako

Rješenje: Koristimo pravilo množenja matrice

odgovor:

3. Za zadata matrica naći minor M 31 i izračunati determinantu.

Rješenje: Minor M 31 je determinanta matrice koja se dobija iz A

nakon precrtavanja reda 3 i kolone 1. Nalazimo

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformirajmo matricu A bez promjene njene determinante (napravimo nule u redu 1)

Sada izračunavamo determinantu matrice A proširenjem duž reda 1

Odgovor: M 31 = 0, detA = 0

Riješite Gaussovom metodom i Cramerovom metodom.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Rješenje: Hajde da proverimo

Možete koristiti Cramerovu metodu

Rješenje sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Primijenimo Gaussovu metodu.

Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.

Radi lakšeg izračunavanja, zamijenimo redove:

Pomnožite 2. red sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodajte trećem:

Pomnožite prvi red sa (k = -2 / 2 = -1 ) i dodajte u 2.:

Sada se originalni sistem može napisati kao:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Iz 2. reda izražavamo

Od 1. reda izražavamo

Rješenje je isto.

Odgovor: (2; -5; 3)

Naći opće rješenje sistema i FSR-a

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Rješenje: Primijenimo Gaussovu metodu. Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.

Pomnožite prvi red sa (-11). Pomnožimo 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:

Pomnožite 2. red sa (-5). Pomnožimo 3. red sa (11). Dodajmo 3. red u 2.:

Pomnožite 3. red sa (-7). Pomnožimo 4. red sa (5). Dodajmo 4. red u 3.:

Druga jednačina je linearna kombinacija ostalih

Nađimo rang matrice.

Istaknuti minor ima najviši red(od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na obrnutoj dijagonali), stoga rang(A) = 2.

Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1 , x 2 , što znači da su nepoznate x 1 , x 2 zavisne (osnovne), a x 3 , x 4 , x 5 su slobodne.

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo opšte rešenje:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Pronalazimo fundamentalni sistem rješenja (FSD), koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.

Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata reda bude jednak broju redova, odnosno 3.

Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 , x 4 , x 5 vrijednosti iz linija determinante 3. reda, različite od nule, i izračunati x 1 , x 2 .

Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.

Ali zgodnije je uzeti ovdje

Pronalazimo koristeći opće rješenje:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I odluka FSR-a: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR rješenje: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III odluka FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Dato je: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Pronađite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Rješenje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina

U sklopu nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, Gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) barem jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. na primjer:

To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:

Primjer 1

Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati ​​okomitu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira što radite s nulama, one će ostati nule:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) jednako je broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).

Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Iz članka Kako pronaći rang matrice? Prisjetimo se racionalne tehnike istovremenog smanjivanja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati rezati veliku ribu koja često grize. Približan primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi sistemske matrice linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik. Prva radnja je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodan prvom redu, pomnožen sa –1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. U gornjem lijevom kutu dobio sam jedinicu sa „minusom“, koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.

(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je obrisan. Iskreno, nisam forsirao rješenje - ispalo je tako. Ako transformacije izvodite na šablonski način, onda linearna zavisnost linije bi se otkrile nešto kasnije.

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 3.

(4) Promijenjen je predznak prvog reda.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem:

Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable “sjedi na stepenicama” su glavne, varijabla koja nije dobila “korak” je besplatna.

Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:

Odgovori: generalno rješenje:

Trivijalno rješenje je uključeno u opšta formula, i nepotrebno ga je posebno zapisivati.

Provjera se također vrši prema uobičajenoj šemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i za sve zamjene mora se dobiti zakonska nula.

To bi bilo moguće završiti tiho i mirno, ali rješenje za homogeni sistem jednačina često treba biti predstavljeno u vektorskom obliku korišćenjem fundamentalni sistem rješenja. Molim vas, zaboravite na to za sada analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o matrični rang. Nema potrebe prekrivati ​​terminologiju, sve je prilično jednostavno.