Očigledno i nevjerovatno o broju pi. Broj pi - značenje, istorija, ko ga je izmislio

1. Pi je najpoznatija konstanta u matematičkom svijetu.

2. U epizodi Zvjezdanih staza “Vuk u toru”, Spok komanduje kompjuteru od staniolne folije da “izračuna do posljednje cifre vrijednost Pi”.

3. Komičar Džon Evans je jednom rekao: „Šta dobijate ako obim fenjera sa rupama za oči, nos i usta izrezane u njemu podelite njegovim prečnikom? Pumpkin π!

4. Naučnici u romanu Carla Sagana "The Bound" pokušali su otkriti prilično preciznu vrijednost Pi kako bi pronašli skrivene poruke od kreatora ljudska rasa i omogućiti ljudima pristup "dubljim nivoima univerzalnog znanja".

5. Simbol Pi (π) se koristi u matematičke formule već 250 godina.

6. Tokom čuvenog suđenja OJ Simpsonu, došlo je do spora između advokata Roberta Blasier-a i agenta FBI-a o stvarnom značenju Pi. Sve ovo imalo je za cilj otkrivanje nedostataka u nivou znanja službenika.

7. Muška kolonjska voda iz Givenchija, pod nazivom "Pi", namijenjena je atraktivnim i naprednim ljudima.

8. Nikada nećemo moći precizno izmjeriti obim ili površinu kruga jer ne znamo puno značenje Pi brojevi. Ovaj “magični broj” je iracionalan, odnosno njegovi brojevi se zauvijek mijenjaju u slučajnom nizu.

9. U grčkom (“π” (piwas)) i engleskom (“p”) pismu, ovaj simbol se nalazi na 16. poziciji.

10. U procesu mjerenja dimenzija Velike piramide u Gizi, ispostavilo se da ona ima isti omjer visine i obima svoje osnove kao polumjer kružnice i dužine, odnosno 1/2π

11. U matematici, π je određen omjerom obima kruga i njegovog prečnika. Drugim riječima, π koliko puta je prečnik kruga jednak njegovom perimetru.

12. Prva 144 decimalna mjesta broja Pi završavaju se sa 666, što se u Bibliji spominje kao “broj zvijeri”.

14. Godine 1995. Hiryuki Goto je uspio da reprodukuje 42.195 decimalnih mjesta Pi napamet, i još uvijek se smatra pravim šampionom u ovoj oblasti.

15. Ludolf van Zeijlen (r.1540 – u.1610) proveo većina njegov život radeći na proračunima prvih 36 decimalnih mjesta Pi (koja su se zvala "Ludolfove cifre"). Prema legendi, ovi brojevi su urezani na njegovu nadgrobnu ploču nakon njegove smrti.

16. William Shanks (r.1812-d.1882) je mnogo godina radio na pronalaženju prvih 707 cifara Pi. Kako se kasnije ispostavilo, napravio je grešku u 527. bitu.

17. Japanski naučnik je 2002. godine izračunao 1,24 triliona cifara u broju Pi koristeći moćni Hitachi SR 8000 računar.

18. Budući da su 360 stepeni u punom krugu i Pi usko povezani, neki matematičari su bili oduševljeni kada su saznali da su brojevi 3, 6 i 0 na tri stotine pedeset devetoj decimalnoj poziciji u Pi.

19. Jedno od prvih pominjanja broja Pi može se naći u tekstovima egipatskog pisara po imenu Ahmes (oko 1650. godine prije Krista), danas poznatog kao Ahmesov papirus (Rinda).

20. Ljudi proučavaju broj π već 4000 godina.

21. Ahmesov papirus bilježi prvi pokušaj izračunavanja Pi koristeći "kvadraturu kruga", koji je uključivao mjerenje prečnika kruga pomoću kvadrata stvorenih unutra.

22. Godine 1888, doktor po imenu Edvin Gudvin tvrdio je da ima "natprirodnu vrednost" tačne mere kruga. Ubrzo je u parlamentu predložen nacrt zakona prema kojem bi Edwin mogao objaviti autorska prava na svoje matematičke rezultate. Ali to se nikada nije dogodilo – zakon nije postao zakon, zahvaljujući profesoru matematike u zakonodavnom tijelu koji je dokazao da je Edwinova metoda dovela do još jedne netačne vrijednosti za Pi.

23. Prvi milion decimalnih mjesta u Pi se sastoji od: 99959 nula, 99758 jedinica, 100026 dvojki, 100229 trojki, 100230 četvorki, 100359 petica, 99548 šestica, 99800 sedmica, 9108.

24. Dan Pi se slavi 14. marta (izabran zbog sličnosti sa 3.14). Zvanična proslava počinje u 13.59 sati u skladu sa 14. 3.|13.59. Albert Einstein je rođen 3. marta 1879. (14.3.1879) u Ulmu (Kraljevina Württemberg), Njemačka.

25. Značenje prvih brojeva u Pi nakon što je prvi put ispravno izračunat jedan od najveći matematičari antički svijet, Arhimed iz Sirakuze (b.287 - d.212 pne). On je ovaj broj predstavio kao nekoliko razlomaka Prema legendi, Arhimed je bio toliko zanesen proračunima da nije primijetio kako su rimski vojnici zauzeli njegov rodni grad Sirakuzu. Kada mu je rimski vojnik prišao, Arhimed je viknuo na grčkom: "Ne diraj moje krugove!" Kao odgovor na to, vojnik ga je ubo mačem.

26. Tačnu vrijednost Pi je kineska civilizacija dobila mnogo ranije od zapadne civilizacije. Kinezi su imali dvije prednosti u odnosu na većinu drugih zemalja na svijetu: koristili su decimalni zapis i nulti simbol. Evropski matematičari, naprotiv, nisu koristili simboličku oznaku nule u sistemima brojanja sve do kasnog srednjeg veka, kada su došli u kontakt sa indijskim i arapskim matematičarima.

27. Al-Khwarizmi (osnivač algebre) je naporno radio na izračunavanju Pi i postigao prva četiri broja: 3,1416. Izraz “algoritam” potiče od imena ovog velikog srednjoazijskog naučnika, a iz njegovog teksta Kitab al-Jaber wal-Muqabala nastala je riječ “algebra”.

28. Drevni matematičari su pokušavali da izračunaju Pi, svaki put upisujući mnogouglove sa velikim brojem stranica, koji se mnogo bliže uklapaju u površinu kruga. Arhimed je koristio 96-gon. Kineski matematičar Liu Hui upisao je 192-ugao, a zatim 3072-ugao. Tsu Chun i njegov sin uspjeli su uklopiti poligon sa 24576 strana

29. William Jones (r. 1675–d. 1749) uveo je simbol “π” 1706. godine, koji je kasnije popularizirao u matematičkoj zajednici Leonardo Euler (r. 1707–d. 1783).

30. Pi simbol "π" se u matematici koristio tek 1700-ih, Arapi su izmislili decimalni sistem 1000. godine, a znak jednakosti "=" pojavio se 1557. godine.

31. Leonardo da Vinci (r. 1452 – u. 1519) i umjetnik Albrecht Dürer (r. 1471 – u. 1528) su malo radili na „kvadraturi kruga“, odnosno znali su približnu vrijednost broj Pi.

32. Isaac Newton je izračunao Pi na 16 decimalnih mjesta.

33. Neki naučnici tvrde da su ljudi programirani da pronađu obrasce u svemu jer je to jedini način na koji možemo shvatiti svijet i sebe. I zato nas toliko privlači "nepravilan" broj Pi))

34. Pi se također može nazvati "kružna konstanta", "Arhimedova konstanta" ili "Ludolfov broj".

35. U sedamnaestom veku, Pi se proširio izvan kruga i počeo da se koristi u matematičkim krivuljama kao što su luk i hipocikloida. To se dogodilo nakon otkrića da se na ovim prostorima neke veličine mogu izraziti kroz sam broj Pi. U dvadesetom veku, Pi se već koristio u mnogim matematičkim oblastima, kao što su teorija brojeva, verovatnoća i haos.

36. Prvih šest cifara Pi (314159) obrnuto je najmanje šest puta među prvih 10 miliona decimalnih mjesta.

37. Mnogi matematičari tvrde da bi ispravna formulacija bila: “krug je figura s beskonačnim brojem uglova.”

38. Trideset devet decimalnih mjesta u Pi je dovoljno da se izračuna obim kruga koji okružuje poznate kosmičke objekte u Univerzumu, s greškom ne većom od radijusa atoma vodonika.

39. Platon (r. 427. - d. 348. pne) je dobio prilično tačnu vrijednost za broj Pi za svoje vrijeme: √ 2 + √ 3 = 3.146.

Broj 3,14 je fundamentalan za prirodu, gotovo je magičan. Kompozitor David MacDonald ju je preveo u forte klavirske note i reprodukovao njen zvuk, tačno na 122 decimalna mesta.

Najpopularnija i najčešće korištena konstanta na svijetu je PI broj. Pi je matematička konstanta. Beskonačan je i označava omjer obima kruga i dužine njegovog prečnika. Približno pi je jednako 3,14. Pi nije samo matematički koncept. Smatra se mističnim i misterioznim.

Ovdje sam želio da vas podsjetim na još nekoliko zabavnih činjenica o ovom broju.

14. mart je dan Pi. Američki fizičar Larry Shaw je 1987. godine izračunao da su 14. marta u 01:59 datum i vrijeme jednaki prvim ciframa Pi, odnosno 3,14159. Zanimljivo je da su briljantni fizičar Einstein i astronom Schiaparelli rođeni istog dana.

Broj Pi pojavio se 1706. godine, a izumio ga je naučnik William Jones.

Poznato je da broj Pi dolazi iz geometrije kruga. Smiješno je da se broj 360 (stepeni kruga) može vidjeti na 359. poziciji, nakon decimalne točke u Pi.

I na grčkom i na latinica Pi je šesto slovo.

49 decimalnih mjesta u Pi je dovoljno za izračunavanje obima svemira do veličine jednog atoma vodika.

U biblijskoj knjizi o kraljevima (7:23) ovaj broj je dat u opisu oltara Solomonovog hrama

Naučnici se ne umaraju određivanjem broja decimalnih mjesta. Tako je 2008. njihov broj bio 5 triliona, a 2011. već 10 triliona znakova.

Ljubitelji jedinstvenog broja Pi se međusobno takmiče ko može preciznije i bez grešaka zapamtiti sve brojeve iza decimalne točke. On trenutno Rekord pripada Kinezu Liu Chaou. U 2006. godini proveo je 24 sata reproducirajući skoro 68 hiljada decimalnih mjesta.

Godine 18888, dr Edvin Gudvin iz Indijane pokušao je da podnese patent za izračunavanje Pi, tvrdeći da je ovo znanje primio od određenih nebeskih sila. Na sreću, broj Pi nikada nije patentiran zahvaljujući drugom američkom profesoru koji je pronašao nepreciznost u svojim proračunima.

Neki biolozi tvrde da je ljudski mozak programiran da traži prirodne kombinacije koje proizvode omjer Pi, i zapravo je to jedan od kamena temeljaca ljudske evolucije.

U Sijetlu su odlučili da podignu spomenik posvećen broju Pi. Sada stoji na stepenicama Muzeja umjetnosti.

Mistično značenje broja Pi se otkriva kada se sabere prva 144 decimalna mjesta. Rezultat je "broj zvijeri" jednak 666.

U Velikoj Britaniji 2008. iznenada se pojavio na poljima misteriozni krugovi. Naučnici su u njima vidjeli obrazac. Iznenađujuće, prvih deset cifara Pi je šifrovano u krugovima.

Pi se također naziva Ludolfov broj u čast Ludolfa van Zeilena. Ovo je naučnik koji je svoj život posvetio izračunavanju i istraživanju prvih 36 cifara broja. Nadgrobni spomenik na grobu naučnika sa ovim ugraviranim brojevima misteriozno je nestao.

Za intelektualne i privlačni muškarci modna kuća Givenchy je izdao kolonjsku vodu pod lakonskim imenom "Pi"

Godine 1998. režiser Darren Anofsky snimio je film Pi: Faith in Chaos o tome kako izračunavanje svih znakova Pi može dovesti do ludila.

Svi su naišli na broj Pi na časovima matematike u školi, ali malo ko zna koliko je on zanimljiv, misteriozan, pa čak i mističan. Maksimum koji je deponovan masovna svijest prosječno školsko dijete je da je rezultat dijeljenja dužine bilo kojeg kruga njegovim vlastitim prečnikom. U stvari, ljudi pokušavaju da razumeju njenu suštinu i moć hiljadama godina, koristeći je i u najjednostavnijim i u najsloženijim matematičkim proračunima. U doba antike zanimao je ljude sa stanovišta geometrije, u srednjem vijeku se aktivno koristio u razvoju matematička analiza, nije izgubio na značaju u eri digitalnih kompjutera.

Koji zanimljive činjenice A koje tajne krije ovaj broj?

Apsolutno je beskonačan i iracionalan, jer niz brojeva koji ga čini nema kraja i ne ponavlja se ni sa kakvom frekvencijom. Dakle, ne postoji apsolutno tačna potpuna vrijednost π. U suštini, to je izraz haosa, njegov digitalni snimak.

Nije bilo isto u svim vremenima i nije bilo dozvoljeno kod svih naroda ozbiljne greške u određivanju njegovog značenja. Na primjer, stari Egipćani su smatrali Pi kao 3,1604, a stari Hindusi su ga smatrali 3,162. Najbliži istini u to vrijeme bili su Kinezi, koji su prihvatili njegovu vrijednost kao 3,1459. Prema mišljenju stručnjaka, upravo je ta greška, a ne Božji gnjev i zbrka jezika, postala razlogom neuspjeha u izgradnji biblijskih Vavilonska kula.

U svijetu postoji poseban Pi klub, u organizaciji matematičara različitim zemljama. Postati član nije tako lako za to morate imati ne samo izvanredno matematičko razmišljanje, već i odlično pamćenje. Pamćenje što dužeg niza cifara konstante Pi je ulaznica u ovaj elitni klub.

Postoje mnoge tehnike za pamćenje niza brojeva nakon decimalne zareze. To uključuje posebno sastavljene tekstove, pa čak i pjesme u kojima svaka sljedeća riječ ima potreban broj slova, i podjelu u grupe s određenom asocijacijom i drugo prikladno strukturiranje. Rekord u ovom smjeru trenutno pripada Japancu Haraguchiju, koji je uspio reproducirati 83 hiljade cifara iz memorije.

Njegov rekord je lako mogao oboriti kineski stanovnik po imenu Liu Chao, koji je zapamtio 93 hiljade, da nije napravio nesrećnu grešku u znaku 67890. Poznato je da mu je za hranu, spavanje i toalet trebalo tačno jedan dan i još 4 minuta, što je još više uvredljivo.

Postoje dva datuma za obilježavanje broja Pi u kalendaru praznika. Prvi, očekivano, odjekuje i slavi se 14. marta, formirajući početnu vrijednost broja (3,14). Matematičari i drugi naučnici u ovoj oblasti egzaktne nauke, naravno, ne propustite ovaj dan, proslavite ga veselo i kreativno. Za praznik je u cijelom svijetu uobičajeno da se pripremaju razne poslastice sa likom "rođendana" ili u njegovom obliku. Nakon degustacije slijede zabavni i, naravno, pametni kvizovi. Inače, na današnji dan rođen je Albert Ajnštajn, a umro Stephen Hawking.

Drugi datum je povezan sa evropskim formatom za snimanje kalendara i slavi se 22. jula (22/7). Poznato je da je vrijednost ovog razlomka približna vrijednost poznate konstante.

Banka Rusije izdala je novčić u apoenima „Pi“ rublja posvećen tom datumu. Numizmatičari ga, naravno, cijene mnogo više od 3 rublje 14 kopejki.

Prvi spomen broja π pronađen je na papirusu u Ahmesovim matematičkim proračunima 1650. godine prije Krista. Sada postoji drevni svitak s pokušajima da se izračuna konstanta koristeći "kvadraturu kruga". To uključuje mjerenje površine kruga upisivanjem mnogo kvadrata u njega.

Nekoliko nizova brojeva u zajedničkom lancu ima svoje ime. Na primjer, sadrži šest devetki za redom, nazvanih po američkom fizičaru Richardu Feynmanu. U jednom naučnoj zajednici izrazio je ideju da bi želio naučiti niz do ove tačke kako bi konačno šest puta izgovorio ili zapisao broj „9“, što bi zvučalo kao ulazak u tačku, a samim tim i racionalnost broja. Avaj, nakon šeste devetke (Feymanova tačka) slijedi osmica, a iracionalna beskonačnost se nastavlja.

Drevni matematičari su pokušali izračunati obim i površinu kruga tako što su u njega upisivali poligone (geometrijski jednakostranični poligon), čiji je perimetar izračunat na osnovu broja uglova. Što ih je bilo više, to je rezultat precizniji. Poznato je da je Arhimed u svojim proračunima koristio 96-ugao. Lako ga je pretekao Kinez Liu Hui, koji je u nacrtani krug uspio uklopiti poligon od 192, a potom i poligon od 3072. Upravo je njegova računica ostala najtačnija u sljedećem milenijumu.

Danas je uz pomoć kompjutera broj Pi izračunat nizom cifara od 13,3 triliona cifara. Ovo je granica za sada. Za dalje proračune potrebni su kvantni kompjuteri još veće snage i brzine.

Dokazano je da je poznata egipatska piramida u Gizi arhitektonsko oličenje vrijednosti konstante π. Omjer njegove visine i zbira stranica baze (perimetra) točno ponavlja ovaj broj (zlatni omjer).

Niz prvih 6 cifara javlja se u prvom lancu od 10 miliona. znakova 6 puta, ali obrnutim redoslijedom.
Ako koristite broj Pi za izračunavanje dužine Zemljinog ekvatora, greška će biti samo 6 mm.

Početkom novog veka u Velikoj Britaniji, na njenim misterioznim poljima, poznatim kao mesta moći, pojavili su se krugovi koje su naučnici pažljivo proučavali. Uspeli su da dešifruju niz od 10 cifara koji tačno ponavlja početak broja π.

Početkom 200-ih, poduzetni Indijac je uzeo naziv domene od maksimalno dozvoljena 63 znaka, u kojem je ponovio sekvencu konstante. Nakon toga ga je uspješno prodao njemačkom matematičaru Steffensu. Na svojoj web stranici objavio je prijedlog da izračuna ili nasumično pronađe stranicu koja prikazuje milion decimalnih mjesta Pi. Istovremeno, link na ovu stranicu bilo je nemoguće naći.

Druga stranica s imenom domene pi.com nema ništa osim određene sekvence Pi. Vlasnika možete kontaktirati samo transferom 3 dolara prema navedenim podacima.

Čuveni broj zabilježen je i u umjetnosti. Godine 1998. objavljen je film “Pi: Faith in Chaos”. Glavni lik pokušao je pronaći jednostavne odgovore na misteriozne stvari, posebno na "ključni broj" koji je u osnovi svih prirodnih obrazaca, zbog čega je poludio. Darren Aronofosky, koji je režirao film, nagrađen je na Sundance Film Festivalu za najbolju režiju.

Naučnici koji su odlučili da pojednostave tajanstveni broj i formule povezane s njim uveli su alternativnu konstantu, tau, gdje se promjer kruga zamjenjuje njegovim radijusom. Predloženo je, prema proračunima, da se Dan rivala slavi 28. juna. usput, engleska fraza“Više volim pi” se čita isto od početka i od kraja (više volim pi).

Izračunavanje Pi konstante je standard za testiranje računarske snage drugog računarskog uređaja ovo je njegov takozvani “digitalni kardiogram”.

U ogledalu, prve tri cifre liče engleska riječ pita PIE, koja se izgovara potpuno isto - .

Ovo je samo dio neverovatne činjenice o broju Pi, razumljivom prostom laiku, daleko od nauke. Što se tiče matematičkih umova, za njih mistična konstanta otvara zaista nevjerovatne horizonte za istraživanja, otkrića i nevjerojatne slučajnosti, koje će im jednog dana možda otkriti svoje misteriozne obrasce.

Abstract

Nevjerovatan broj pi

Uvod

marta, Dan broja broja Pi se obilježava u cijelom svijetu. Ovaj praznik je 1987. godine izmislio fizičar iz San Francisca Larry Shaw, koji je primijetio da Američki sistem datum beleži (mesec/dan) datum 14. mart (3.14) i vreme 1:59 poklapa se sa prvim ciframa datuma π = 3,14159). Tipično, Dan Pi se slavi u 13:59 po lokalnom vremenu (12-satni sat). Za praznik peku (ili kupuju) pite (kolače), jer na engleskom π Izgovara se "pita", što zvuči isto kao i riječ pita ("pita"). Posebne proslave se održavaju u naučna društva I obrazovne institucije. Zanimljivo je da se praznik Pi, koji se slavi 14. marta, poklapa sa rođendanom jednog od najistaknutijih fizičara našeg vremena, Alberta Ajnštajna.

Zanimao nas je ovaj broj. Ko je prvi pogodio odnos između obima kruga i njegovog prečnika? Ko je prvi izračunao njegovu vrijednost? Kakva je istorija ovog broja? Zašto se ovaj broj zvao " π»?

Svrha rada: upoznati broj π, proučavati istoriju njegovog otkrića, metode pronalaženja

proučavaju istoriju otkrića broja π;

Naučite metode za pronalaženje brojeva π;

Izvucite zaključke.

1. Oznaka brojaπ

Znamo ko je napravio prvi avion, ko je izumeo radio, ali niko ne zna ko je prvi pogodio vezu između dužine kruga i njegovog prečnika. Ali poznato je kada se pojavila prva oznaka ovog broja slovom. Smatra se da je ovu oznaku prvi uveo učitelj engleskog jezika William Johnson (1675-1749) u svom djelu “Pregled dostignuća matematike”, objavljenom 1706. godine. Još ranije, 1647. godine, engleski matematičar Oughtred je koristio pismo π da označi obim kruga. Pretpostavlja se da ga je na ovu oznaku potaknulo prvo slovo grčke abecede riječi περιφερια - krug. Ali međunarodna standardna oznaka π za broj 3, 141592 ... postao je nakon što ga je koristio poznati ruski akademik, matematičar Leonhard Euler u svojim radovima 1737. godine. Napisao je: „Postoji mnogo drugih načina za pronalaženje dužina ili površina odgovarajuće krive ili ravna figura, što može uvelike olakšati praksu.

. Istorija brojaπ

Vjeruje se da je broj π prvi su otkrili vavilonski mađioničari. Korišćen je u izgradnji čuvene Vavilonske kule, čija je istorija uključena u Bibliju. Međutim, nedovoljno precizni proračuni doveli su do propasti cijelog projekta. Također se vjeruje da je broj Pi bio osnova za izgradnju čuvenog Hrama kralja Solomona. Istorija brojeva π išao paralelno sa razvojem celokupne matematike. Neki autori ceo proces dele na 3 perioda: antički period, tokom kojeg π proučavao iz perspektive geometrije, klasičnog doba, koje je pratilo razvoj računa u Evropi u 17. veku, i ere digitalnih računara.

Antički period

Svaki školarac sada mnogo preciznije izračunava obim kruga po prečniku od najmudrijeg sveštenika drevna zemlja piramide ili najveštiji arhitekta velikog Rima. U antičko doba se vjerovalo da je obim tačno 3 puta duži od prečnika. Ove informacije sadržane su u klinastim pločama iz Drevnog međurječja. Isto značenje može se vidjeti i u tekstu Biblije: „I načini morsku izlivu od bakra, deset lakata od ruba do ruba, potpuno okrugla... i niz od trideset lakata zagrli ga okolo.“ Međutim, već u 2. milenijumu pr. matematičari Drevni Egipat pronašao tačniju vezu. U papirusu Rhind, koji datira oko 1650. godine p.n.e. za broj π data vrijednost je (16/9) 2, što je otprilike 3,16. Stari Rimljani su vjerovali da je krug 3,12 duži od svog prečnika, dok je tačan omjer 3,14159... Egipatski i rimski matematičari su utvrdili odnos obima i prečnika ne strogim geometrijskim proračunom, kao kasniji matematičari, već su ga jednostavno utvrdili iz iskustva. Ali zašto su napravili takve greške? Zar ne bi mogli samo omotati konac oko nečega okruglog, a zatim ispraviti konac i samo ga izmjeriti?

Uzmimo, na primjer, vazu s okruglim dnom promjera 100 mm. Obim bi trebao biti 314 mm. Međutim, u praksi, mjereći navojem, malo je vjerovatno da ćemo dobiti ovu dužinu: lako je pogriješiti za jedan milimetar, a zatim π biće jednako 3,13 ili 3,15. A ako uzmemo u obzir da se prečnik vaze ne može sasvim precizno izmeriti, da je i ovde vrlo verovatna greška od 1 mm, onda za π Ovo rezultira prilično širokim rasponima između 3,09 i 3,18.

Odlučili smo provesti nekoliko eksperimenata. Da bismo to učinili, nacrtali smo nekoliko krugova. Koristeći navoj i ravnalo izmjerili smo dužinu svakog kruga i njegov prečnik. Zatim podijelite obim sa njegovim prečnikom. Dobili smo sljedeće rezultate.

br. Prečnik opsega π 114.5 cm5 cm2.9231 cm10 cm3.1310 cm3 cm3, (3)419.5 cm6.5 cm3516.5 cm5 cm3.5618 cm6 cm3735 cm11 cm3, (18)820.5 cm6.5 cm3.15922 cm3.15922 cm3.1 cm3 cm6.9 cm3 cm3,25126 cm1,7 cm3,51312 cm4 cm31412,5 cm4 cm3, 1251526 cm8 cm3,251638 cm12 cm3,2 matematička znamenka broja pi

Prosjek - 3.168

Definisanje π koristeći naznačenu metodu, možete dobiti rezultat koji se ne poklapa sa 3,14: jednom dobijemo 3,1, drugi put 3,12, treći put 3,17, itd. Igrom slučaja, 3,14 je možda među njima, ali u očima kalkulatora ovaj broj neće imati veću težinu od ostalih.

Ova vrsta eksperimentalnog puta ne može dati nikakvu prihvatljivu vrijednost za π. S tim u vezi, postaje razumljivije zašto drevni svijet nije znao tačan omjer opsega i prečnika.

Od 4. veka pne matematičke nauke brzo se razvila u Ancient Greece. Drevni grčki geometri strogo su dokazali da je obim kruga proporcionalan njegovom prečniku, a površina kruga jednaka je polovini proizvoda obima i poluprečnika S = Ẑ S R = π R2 . Ovaj dokaz se pripisuje Euklidu iz Knida i Arhimedu.

Arhimed je u svom eseju “O mjerenju kruga” izračunao perimetre upisanih i opisanih krugova. pravilni poligoni- od 6 do 96-gon. Uzimajući prečnik kruga za jedan, Arhimed je smatrao obim upisanog poligona donjom granicom za obim kruga, a perimetar opisanog poligona gornjom granicom. Uzimajući u obzir običan 96-gon, Arhimed je došao do procjene

Tako je ustanovio da je broj π sadržano unutar

3,1408 < π < 3,1428. Vrijednost 22/7 se još uvijek smatra prilično dobrom aproksimacijom broja π za primenjene zadatke.

U “Algebri” drevnog arapskog matematičara Mohammeda ben Muza o izračunavanju obima kruga čitamo sljedeće redove: “Najbolji način je pomnožiti prečnik sa 3 1/7. Ovo je najbrži i najlakši način. Bog zna najbolje."

Zhang Heng je pojasnio značenje broja u 2. vijeku π, nudeći dva ekvivalenta: 1) 92/29 ≈ 3,1724..., 2) √10.

U Indiji, Aryabhata i Bhaskara koristili su aproksimaciju 3,1416.

Brahmagupta je u 7. veku predložio √10 kao aproksimaciju.

Oko 265. godine nove ere matematičar Liu Hui iz kraljevstva Wei pružio je jednostavan i precizan algoritam za izračunavanje π sa bilo kojim stepenom tačnosti. On je samostalno izvršio proračune za 3072-gon i dobio približnu vrijednost za π, π ≈3,14159.

Kasnije je to smislio Liu Hui brza metoda kalkulacije π i dobio je približnu vrijednost od 3,1416 sa samo 96-kutom, koristeći prednost činjenice da se razlika u površini uzastopnih poligona formira geometrijska progresija sa imeniocem 4.

480-ih godina, kineski matematičar Zu Chongzhi je to pokazao π ≈355/113, i pokazao da je 3,1415926< π < 3,1415927, koristeći Liu Hui algoritam primijenjen na 12288-gon. Ova vrijednost je ostala najbliža aproksimacija broja π u narednih 900 godina.

Prije 2. milenijuma nije bilo poznato više od 10 cifara π.

Klasični period

Daljnji veliki napredak u studiji π povezan s razvojem matematičke analize, posebno s otkrivanjem serija koje omogućavaju izračunavanje π sa bilo kojom tačnošću, sumirajući odgovarajući broj pojmova serije. U 1400-ima Madhava iz Sangamagrama je pronašao prvu od ovih serija

Ovaj rezultat je poznat kao serija Madhava-Leibniz, ili serija Gregory-Leibniz (nakon što su je ponovo otkrili James Gregory i Gottfried Leibniz u 17. stoljeću). Međutim, ova serija se približava π vrlo sporo, što dovodi do poteškoća u izračunavanju mnogih cifara broja u praksi — oko 4.000 članova niza mora se dodati da bi se poboljšala Arhimedova procjena. Međutim, transformacijom ove serije u

Madhava je bio u stanju da izračuna π kao 3.14159265359, tačno identifikujući 11 cifara u broju. Ovaj rekord je 1424. oborio perzijski matematičar Džamšid al-Kaši, koji je u svom delu pod naslovom “Treatise on the Circle” naveo 17 cifara broja π, od kojih je 16 tačnih.

Prvi veliki evropski doprinos od Arhimeda bio je holandski matematičar Ludolf van Zeijlen, koji je proveo deset godina računajući broj π sa 20 decimalnih cifara (ovaj rezultat je objavljen 1596. godine). Koristeći Arhimedovu metodu, doveo je udvostručenje do n-ugla, gdje je n = 60 229. Iznevši svoje rezultate u eseju “O krugu” (“Van den Circkel”), Ludolf ga je završio riječima: “Ko ima želju, neka ide dalje.” Nakon njegove smrti, u njegovim rukopisima otkriveno je još 15 tačnih cifara tog broja π. Ludolf je ostavio da znaci koje je pronašao budu uklesani na njegovom nadgrobnom spomeniku. Postoji broj u njegovu čast π koji se ponekad naziva "Ludolfov broj", ili "Ludolfova konstanta".

Otprilike u isto vrijeme u Evropi su se počele razvijati metode za analizu i određivanje beskonačnih serija. Prvi takav prikaz bila je Vièteova formula, koju je pronašao François Viète 1593. godine.

Za druge poznati rezultat postala Wallisova formula: koju je izveo John Wallis 1655. Leibnizova serija, koju je prvi pronašao Madhava iz Sangamagrama 1400. godine u moderno doba za proračun π koriste se analitičke metode zasnovane na identitetima. Euler, autor notacije π, dobio 153 ispravna znaka. Najbolji rezultat za kraj 19. veka veka dobio je Englez William Shanks, kome je trebalo 15 godina da izračuna 707 cifara, iako je zbog greške samo prvih 527 bilo tačnih. Da bi se izbjegle takve greške, moderni proračuni ove vrste izvode se dva puta. Ako se rezultati poklapaju, onda je velika vjerovatnoća da će biti tačni.

Era digitalnih kompjutera

Shanksovu grešku je otkrio jedan od prvih kompjutera 1948. godine; izbrojao je 808 znakova za nekoliko sati π.

Sa pojavom kompjutera, tempo se povećao:

godina - 2037 decimalnih mjesta (John von Neumann, ENIAC),

godina - 10.000 decimalnih mjesta (F. Genuis, IBM-704),

godina - 100.000 decimalnih mjesta (D. Shanks, IBM-7090),

godina - 10.000.000 decimalnih mjesta (J. Guillou, M. Bouyer, CDC-7600),

godina - 29360000 decimalnih mjesta (D. Bailey, Cray-2),

godina - 134217000 decimalnih mjesta (T. Kanada, NEC SX2),

godina - 1011196691 decimalnih mjesta (D. Chudnowski i G. Chudnowski, Cray-2+IBM-3040). Postigli su 2260000000 znakova 1991. godine i 4044000000 znakova 1994. godine. Daljnji zapisi pripadaju japanskom Tamura Canada: 1995. godine 4294967286 znakova, 1997. godine - 51539600000. Do 2011. godine naučnici su uspjeli izračunati vrijednost broja π sa tačnošću od 10 triliona decimala!

3. Poezija brojevaπ

Pogledajmo izbliza njegovih prvih hiljadu likova, budimo prožeti poezijom ovih brojeva, jer iza njih stoje sjene najvećih mislilaca antičkog svijeta i srednjeg vijeka, Novog i sadašnjosti.

8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Zanimljivi podaci o raspodjeli cifara broja π. Neko nije bio previše lijen i izračunao (za milion decimalnih mjesta):

nule - 99959,

jedinice -99758,

dvojke -100026,

trojke - 100229,

četvorke - 100230,

petice - 100359,

šestice - 99548,

sedam - 99800,

osam - 99985,

devetke -100106.

Decimalne cifre π prilično nasumično. Sadrži bilo koji niz brojeva, samo ga trebate pronaći. Ovaj broj sadrži u kodiranom obliku sve pisane i nepisane knjige koje su već uključene π. Samo trebate pogledati više znakova, pronaći pravo područje i dešifrirati ga. Ovdje svako može pronaći svoj broj telefona, datum rođenja ili kućnu adresu.

Pošto u nizu znakova pi nema ponavljanja, to znači da je niz znakova pi pokoran teoriji haosa, tačnije, broj pi je haos napisan brojevima.

Štaviše, po želji, ovaj haos se može prikazati grafički, a postoji pretpostavka da je taj haos inteligentan. Godine 1965., američki matematičar M. Ulam, sjedeći na jednom dosadnom sastanku, bez ikakvog posla, počeo je pisati brojeve uključene u pi na karirani papir. Stavljajući 3 u centar i krećući se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u spirali, ispisao je 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 i druge brojeve nakon decimalnog zareza. Usput je sve zaokružio prosti brojevi u krugovima. Zamislite njegovo iznenađenje i užas kada su se krugovi počeli nizati duž pravih linija! Kasnije je generisao sliku u boji na osnovu ovog crteža koristeći poseban algoritam.

Dugi brojevi koji imaju približno značenje π, nemaju ni praktičnu ni teorijsku vrijednost. Ako bismo, na primjer, hteli da izračunamo dužinu Zemljinog ekvatora sa tačnošću od 1 cm, uz pretpostavku da je dužina njegovog prečnika tačna, za to bi nam bilo dovoljno da uzmemo samo 9 cifara iza decimalnog zareza u broju π. A uzimajući duplo više brojeva (18), mogli bismo izračunati dužinu kruga poluprečnika udaljenosti od Zemlje do Sunca, sa greškom ne većom od 0,0001 mm (100 puta manje od debljine vlasi !).

Za obične proračune sa brojevima π Sasvim je dovoljno popuniti dvije decimale (3.14), a za preciznije četiri decimale (3.1416: posljednju cifru uzimamo 6 umjesto 5 jer slijedi cifra veća od 5).

Mnemoničari vole da pamte brojeve π. I oni se takmiče u broju memorisanih cifara ovog beskonačnog broja. U knjigu rekorda uvršteni su rekorderi iz različitih zemalja. Tako japanski Hideaki Tomoyori može reprodukovati broj PI do 40.000 znakova. Trebalo mu je oko 10 godina da zapamti ovaj broj brojeva. Ruski rekord u smislu pamćenja PI broja, on je mnogo skromniji. Aleksandar Beljajev je reprodukovao 2500 cifara broja PI. Trebalo mu je sat i po da zapamti brojeve. Vrijeme pamćenja - mjesec i po. Rekord za pamćenje broja Pi pripada Ukrajincu Andreju Sljusarčuku, koji je upamtio 30 miliona decimalnih mjesta. Budući da bi jednostavno nabrajanje ovoga trajalo cijelu godinu, sudije su Sljusarčuka testirale na sljedeći način - zamolile su ga da imenuje proizvoljne nizove broja Pi iz bilo koje od 30 miliona cifara. Odgovor je provjeren na osnovu ispisa od 20 tomova. Mnemoničari pamte broj π iz jednog jednostavnog razloga. Ako bi jednostavno reproducirali niz nasumičnih brojeva, onda bi se mogle pojaviti sumnje da osoba nije zapamtila te brojeve, već ih je reprodukovala prema nekom sistemu. Ali kada osoba reprodukuje beskonačan broj π, tada nestaje svaka sumnja u nepoštenje, jer nema uzorka u nizu brojeva u broju π br. I jedini način da se ovi brojevi reprodukuju je da ih zapamtite.

Male pjesme ili šarene fraze ostaju u pamćenju duže od brojeva, tako da ih zapamtite numerička vrijednost π smišljaju posebne pjesme ili pojedinačne fraze. U djelima ove vrste "matematičke poezije" riječi se biraju tako da se broj slova u svakoj riječi uzastopno poklapa s odgovarajućom znamenkom broja π. Postoji poznata pesma engleski- u 13 riječi, dakle daje 12 decimalnih mjesta u broju π

Vidite, imam rimu koja pomaže slabašnom mozgu, odolijeva svojim zadacima van vremena;

on njemački- u 24 reči, i dalje francuski u 30 reči. Radoznali su, ali preveliki i teški. Postoje takve pjesme i rečenice na ruskom.

na primjer,

“Znam ovo i savršeno se sećam.”

“I mnogi znakovi su mi nepotrebni, uzalud.”

"Šta ja znam o krugovima?" - pitanje koje skriveno sadrži odgovor: 3.1416.

“Učite i znajte u broju poznatom iza figure, zabilježite figuru kao sreću” (=3,14159265358).

Arhimedov broj

„Dvadeset i dve sove su se dosađivale

Na velikim suvim granama.

Sanjale su dvadeset i dve sove

O sedam velikih miševa."

„Samo morate pokušati

I zapamtite sve kako jeste:

Tri, četrnaest, petnaest,

Devedeset dva i šest.

U svijetu postoji spomenik broju π - postavljena je u Sijetlu ispred Muzeja umetnosti.

Postoje i Pi klubovi, čiji članovi, kao ljubitelji misteriozne matematičke pojave, prikupljaju nove informacije o broju Pi i pokušavaju da razotkriju njegovu misteriju. 2005. godine pjevačica Kate Bush objavila je album Aerial, koji je uključivao pjesmu o tom broju π. U pesmi, koju je pevač nazvao "Pi", čula su se 124 broja iz čuvene serije brojeva. Ali u njenoj pesmi je 25. broj niza pogrešno nazvan, a čak 22 broja su negde nestala.

Zaključak

Radeći na sažetku, naučili smo mnogo novih i zanimljivih stvari o broju π.

Broj π zaokuplja umove naučnika od davnina do danas. Ali nije poznato ko je prvi pogodio vezu između dužine kruga i njegovog prečnika. Međunarodni standard oznaka π za broj 3, 141592 je postao nakon što ga je koristio poznati ruski akademik, matematičar Leonhard Euler u svojim radovima 1737. godine. Istorija brojeva π mogu se podijeliti u 3 perioda: antičko razdoblje, klasično doba i doba digitalnih kompjutera. Za njegovo izračunavanje korištene su različite metode. Broj π Naziva se i "Ludolfo broj". Broj π beskonačan neperiodični razlomak. Brojevi u njegovom decimalnom prikazu su prilično nasumični. Nijedan drugi broj nije tako misteriozan kao "Pi" sa svojim čuvenim beskonačnim nizom brojeva. U mnogim oblastima matematike i fizike, naučnici koriste ovaj broj i njegove zakone.

Neki naučnici ga čak smatraju jednim od pet najvažniji brojevi u matematici.

Na broju π mnogo obožavatelja ne samo među naučnicima. Postoje

Pi - klubovi za ljubitelje ovog broja, mnoge stranice na internetu posvećene su ovom neverovatnom broju.

„Gdje god okrenemo pogled, vidimo okretan i marljiv broj: on je sadržan u najjednostavnijem kotaču i u najsloženijoj automatskoj mašini.” Kimpan F.

Spisak korištenih izvora

1.Žukov A.V. „Sveprisutni broj π». - M: Uredništvo URSS, 2004, - 216s

Pi je najpoznatija konstanta u svetu matematike i jednaka je 3,1415926535...

U epizodi "Zvjezdanih staza" "Vuk u pastiru", Spock naređuje kompjuteru od staniol-a da "izračuna do posljednje cifre vrijednost Pi".

Komičar Džon Evans je jednom rekao: „Šta ćete dobiti ako obim lampiona sa rupama za oči, nos i usta izrezane u njega podelite njegovim prečnikom? Pumpkin π!

Naučnici su u romanu Carla Sagana The Bound nastojali da razotkriju prilično preciznu vrijednost Pi kako bi pronašli skrivene poruke od kreatora ljudske rase i omogućili ljudima pristup "dubljim nivoima univerzalnog znanja".

Simbol Pi (π) se koristi u matematičkim formulama već 250 godina.

Tokom čuvenog suđenja OJ Simpsonu, došlo je do spora između advokata Roberta Blasier-a i agenta FBI-a o stvarnom značenju Pi. Sve ovo imalo je za cilj otkrivanje nedostataka u nivou znanja službenika.

Muška kolonjska voda iz Givenchija, pod nazivom "Pi", namijenjena je atraktivnim i naprednim ljudima.

Nikada nećemo moći precizno izmjeriti obim ili površinu kruga, jer ne znamo punu vrijednost Pi. Ovaj „magični broj“ je iracionalan, odnosno njegovi brojevi se zauvek menjaju u slučajnom nizu.

U grčkom (“π” (piwas)) i engleskom (“p”) pismu ovaj simbol se nalazi na poziciji 16.

U procesu mjerenja dimenzija Velike piramide u Gizi, pokazalo se da ona ima isti omjer visine i obima svoje osnove kao polumjer kružnice i dužine, odnosno 1/2π

U matematici, π je definiran kao omjer obima kruga i njegovog prečnika. Drugim riječima, π koliko puta je prečnik kruga jednak njegovom perimetru.

Prva 144 decimalna mjesta broja Pi završavaju se sa 666, što se u Bibliji spominje kao “broj zvijeri”.

Godine 1995. Hiryuki Goto je uspio da reprodukuje 42.195 decimalnih mjesta Pi iz memorije, i još uvijek se smatra pravim šampionom u ovoj oblasti.

Ludolf van Zeijlen (r. 1540 – d. 1610) proveo je veći dio svog života računajući prvih 36 decimalnih mjesta Pi (koja su se zvala "Ludolfove cifre"). Prema legendi, ovi brojevi su urezani na njegovu nadgrobnu ploču nakon njegove smrti.

William Shanks (r.1812-d.1882) je mnogo godina radio na pronalaženju prvih 707 cifara Pi. Kako se kasnije ispostavilo, napravio je grešku u 527. bitu.

Japanski naučnik je 2002. godine izračunao 1,24 triliona cifara u broju Pi koristeći moćni Hitachi SR 8000 računar.

Budući da su 360 stepeni u punom krugu i Pi usko povezani, neki matematičari su bili oduševljeni kada su saznali da su brojevi 3, 6 i 0 na tri stotine pedeset devetoj decimalnoj poziciji u Pi.

Jedno od prvih pominjanja broja Pi može se naći u tekstovima egipatskog pisara po imenu Ahmes (oko 1650. godine prije Krista), danas poznatog kao Ahmesov papirus (Rinda).

Ljudi proučavaju broj pi već 4.000 godina.

Ahmesov papirus bilježi prvi pokušaj izračunavanja Pi koristeći "kvadraturu kruga", što je uključivalo mjerenje prečnika kruga pomoću kvadrata kreiranih unutra.

Godine 1888, doktor po imenu Edvin Gudvin tvrdio je da ima "natprirodnu vrednost" preciznog merenja kruga. Ubrzo je u parlamentu predložen nacrt zakona prema kojem bi Edwin mogao objaviti autorska prava na svoje matematičke rezultate. Ali to se nikada nije dogodilo – zakon nije postao zakon, zahvaljujući profesoru matematike u zakonodavnom tijelu koji je dokazao da je Edwinova metoda dovela do još jedne netačne vrijednosti za Pi.

Prvi milion decimalnih mjesta u Pi se sastoji od: 99959 nula, 99758 jedinica, 100026 dvojki, 100229 trojki, 100230 četvorki, 100359 petica, 99548 šestica, 99800 sedmica, 99985 ni1010.

Dan Pi se slavi 14. marta (odabrano jer je sličan 3.14). Zvanična proslava počinje u 13.59 časova u skladu sa 14. 3.|13.59 časova.

Vrijednost prvih brojeva u Pi je prvi ispravno izračunao jedan od najvećih matematičara antičkog svijeta, Arhimed iz Sirakuze (r. 287. - d. 212. pne.). On je ovaj broj predstavio kao nekoliko razlomaka Prema legendi, Arhimed je bio toliko zanesen proračunima da nije primijetio kako su rimski vojnici zauzeli njegov rodni grad Sirakuzu. Kada mu je rimski vojnik prišao, Arhimed je viknuo na grčkom: "Ne diraj moje krugove!" Kao odgovor na to, vojnik ga je ubo mačem.

Tačnu vrijednost Pi je kineska civilizacija dobila mnogo ranije od zapadne civilizacije. Kinezi su imali dvije prednosti u odnosu na većinu drugih zemalja na svijetu: koristili su decimalni zapis i nulti simbol. Evropski matematičari, naprotiv, nisu koristili simboličku oznaku nule u sistemima brojanja sve do kasnog srednjeg veka, kada su došli u kontakt sa indijskim i arapskim matematičarima.

Al-Khwarizmi (osnivač algebre) je naporno radio da izračuna Pi i postigao je prva četiri broja: 3,1416. Izraz “algoritam” potiče od imena ovog velikog srednjoazijskog naučnika, a iz njegovog teksta Kitab al-Jaber wal-Muqabala nastala je riječ “algebra”.

Drevni matematičari su pokušavali da izračunaju Pi tako što su upisivali poligone sa više strana, koje se mnogo bliže uklapaju u područje kruga. Arhimed je koristio 96-gon. Kineski matematičar Liu Hui upisao je 192-ugao, a zatim 3072-ugao. Tsu Chun i njegov sin uspjeli su uklopiti poligon sa 24.576 strana.

William Jones (r. 1675–d. 1749) uveo je simbol “π” 1706. godine, koji je kasnije popularizirao u matematičkoj zajednici Leonardo Euler (r. 1707–d. 1783).

Simbol Pi "π" ušao je u upotrebu u matematici tek 1700-ih, Arapi su izmislili decimalni sistem 1000. godine, a znak jednakosti "=" pojavio se 1557. godine.

Leonardo da Vinci (r. 1452 - u. 1519) i umjetnik Albrecht Dürer (r. 1471 - u. 1528) su malo radili na "kvadraturi kruga", odnosno znali su približnu vrijednost broja Pi .

Isaac Newton je izračunao Pi na 16 decimalnih mjesta.
Neki naučnici tvrde da su ljudi programirani da pronađu obrasce u svemu jer je to jedini način na koji možemo shvatiti svijet i sebe. I zato nas toliko privlači "nepravilan" broj Pi))

Pi se također može nazvati "kružna konstanta", "Arhimedova konstanta" ili "Ludolfov broj".

U sedamnaestom veku, Pi se proširio izvan kruga i počeo da se koristi u matematičkim krivuljama kao što su luk i hipocikloida. To se dogodilo nakon otkrića da se na ovim prostorima neke veličine mogu izraziti kroz sam broj Pi. U dvadesetom veku, Pi se već koristio u mnogim matematičkim oblastima, kao što su teorija brojeva, verovatnoća i haos.

Prvih šest cifara Pi (314159) obrće se najmanje šest puta među prvih 10 miliona decimalnih mjesta.

Mnogi matematičari tvrde da bi ispravna formulacija bila: „krug je figura s beskonačnim brojem uglova“.
Trideset devet decimalnih mjesta u Pi je dovoljno da se izračuna obim kruga koji okružuje poznate kosmičke objekte u Univerzumu, s greškom ne većom od radijusa atoma vodika.

Platon (r. 427 - d. 348 pne) je dobio prilično tačnu vrijednost za broj Pi za svoje vrijeme: √ 2 + √ 3 = 3,146.