Koncept matematičkog modela. Faze matematičkog modeliranja

Predavanje #1

Uvod. Pojam matematičkih modela i metoda

Odjeljak 1 Uvod

2. Metode konstruisanja matematičkih modela. Koncept sistematskog pristupa. jedan

3. Osnovni koncepti matematičkog modeliranja ekonomskih sistema.. 4

4. Metode analitičkog, simulacijskog i prirodnog modeliranja. 5

Sigurnosna pitanja.. 6

1. Sadržaj, ciljevi i zadaci discipline "Metode modeliranja"

Ova disciplina je posvećena proučavanju metoda modeliranja i praktična primjena stečeno znanje. Svrha discipline je da studente poduči opštim pitanjima teorije modeliranja, metodama za konstruisanje matematičkih modela i formalnog opisa procesa i objekata, upotrebi matematičkih modela za izvođenje računarskih eksperimenata i rešavanje optimizacijskih problema korišćenjem savremenih računarskih alata.

Zadaci discipline uključuju:

Upoznati studente sa osnovnim pojmovima teorije matematičkog modeliranja, teorije sistema, teorije sličnosti, teorije planiranja eksperimenata i obrade eksperimentalnih podataka koji se koriste za izgradnju matematičkih modela,

Davati studentima vještine iz oblasti postavljanja problema modeliranja, matematičkog opisa objekata/procesa/, numeričkih metoda za implementaciju matematičkih modela na računaru i rješavanja optimizacijskih problema.

Kao rezultat izučavanja discipline student mora ovladati metodama matematičkog modeliranja procesa i objekata od formulacije problema do implementacije matematičkih modela na računaru i prezentacije rezultata proučavanja modela.

Predmet discipline je predviđen za 12 predavanja i 12 praktičnih radova. Kao rezultat izučavanja discipline, student mora ovladati metodama matematičkog modeliranja od formulacije problema do implementacije matematičkih modela na računaru.

2. Metode konstruisanja matematičkih modela. Koncept sistematskog pristupa

5. Rješenje problema.

Dosljedna upotreba metoda istraživanja operacija i njihova primjena na savremenoj informacionoj i kompjuterskoj tehnologiji omogućava prevazilaženje subjektivizma, isključivanje takozvanih voljnih odluka zasnovanih ne na strogom i tačnom razmatranju objektivnih okolnosti, već na slučajnim emocijama i ličnim interesima menadžeri na različitim nivoima, koji se, štaviše, ne mogu složiti oko ovih voljnih odluka.

Analiza sistema omogućava da se uzmu u obzir i u upravljanju koriste sve raspoložive informacije o upravljanom objektu, da se koordiniraju odluke koje se donose u smislu objektivnog, a ne subjektivnog kriterijuma efektivnosti. Ušteda na proračunima tokom vožnje je ista kao ušteda na nišanju prilikom pucanja. Međutim, kompjuter ne samo da omogućava uzimanje u obzir svih informacija, već i čuva menadžera od nepotrebnih informacija i pušta sve potrebne informacije da zaobiđu osobu, dajući joj samo najopćenitije informacije, suštinu. Sistemski pristup u ekonomiji je efikasan sam po sebi, bez upotrebe računara, kao istraživačke metode, pri čemu ne mijenja ranije otkrivene ekonomske zakone, već samo uči kako ih bolje koristiti.

4. Metode analitičkog, simulacijskog i prirodnog modeliranja

Simulacija je moćna tehnika naučna saznanja, koji zamjenjuje predmet koji se proučava jednostavnijim objektom koji se zove model. Glavnim varijetetima procesa modeliranja mogu se smatrati njegove dvije vrste - matematičko i fizičko modeliranje. U fizičkom (prirodnom) modeliranju, sistem koji se proučava se zamjenjuje drugim materijalnim sistemom koji mu odgovara, koji reproducira svojstva sistema koji se proučava uz očuvanje njihove fizičke prirode. Primjer ovog tipa modeliranja je pilot mreža, koja se koristi za proučavanje fundamentalne mogućnosti izgradnje mreže zasnovane na određenim računarima, komunikacionim uređajima, operativnim sistemima i aplikacijama.

Mogućnosti fizičkog modeliranja su prilično ograničene. Omogućava rješavanje pojedinačnih problema specificiranjem malog broja kombinacija proučavanih parametara sistema. Zaista, u punoj simulaciji kompjuterske mreže, gotovo je nemoguće provjeriti njen rad za opcije koristeći različite vrste komunikacionih uređaja - rutera, prekidača, itd. Provjera u praksi desetak različitih tipova rutera je povezana ne samo uz veliki trud i vrijeme, ali i uz znatne materijalne troškove.

Ali čak i u slučajevima kada optimizacija mreže ne menja tipove uređaja i operativnih sistema, već samo njihove parametre, eksperimenti u realnom vremenu za veliki iznos sve moguće kombinacije ovih parametara je praktično nemoguće u doglednoj budućnosti. Čak i jednostavna promjena maksimalne veličine paketa u bilo kojem protokolu zahtijeva rekonfiguraciju operativnog sistema na stotinama računara na mreži, što zahtijeva puno posla od mrežnog administratora.

Stoga je pri optimizaciji mreža u mnogim slučajevima poželjno koristiti matematičko modeliranje. Matematički model je skup odnosa (formule, jednačine, nejednačine, logički uslovi) koji određuju proces promjene stanja sistema u zavisnosti od njegovih parametara, ulaznih signala, početnih uslova i vremena.

Simulacijski modeli su posebna klasa matematičkih modela. Takvi modeli su kompjuterski programi koji, korak po korak, reprodukuju događaje koji se dešavaju u stvarnom sistemu. Što se tiče računarskih mreža, njihovi simulacioni modeli reproduciraju procese generisanja poruka od strane aplikacija, razdvajanja poruka u pakete i okvire određenih protokola, kašnjenja vezanih za obradu poruka, paketa i okvira unutar operativnog sistema, proces dobijanja pristupa putem kompjutera u zajedničko mrežno okruženje, proces obrade dolaznih paketa putem rutera itd. Prilikom simulacije mreže nije potrebna kupovina skupe opreme – njen rad simuliraju programi koji precizno reprodukuju sve glavne karakteristike i parametre takve oprema.

Prednost simulacionih modela je mogućnost da se proces promene događaja u sistemu koji se proučava u realnom vremenu zamene ubrzanim procesom promene događaja u tempu programa. Kao rezultat toga, za nekoliko minuta možete reproducirati rad mreže nekoliko dana, što omogućava procjenu performansi mreže u širokom rasponu varijabilnih parametara.

Rezultat simulacionog modela su statistički podaci prikupljeni tokom praćenja tekućih događaja o najvažnijim karakteristikama mreže: vremenu odziva, stopi iskorištenosti kanala i čvorova, vjerovatnoći gubitka paketa itd.

Postoje posebni jezici za simulaciju koji olakšavaju proces kreiranja softverskog modela u odnosu na korištenje univerzalnih programskih jezika. Primjeri jezika za simulaciju su jezici kao što su SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Postoje i sistemi za simulaciono modeliranje koji se fokusiraju na usku klasu sistema koji se proučavaju i koji vam omogućavaju da gradite modele bez programiranja.

test pitanja

PREDAVANJE 4

Definicija i svrha matematičkog modeliranja

Ispod model(od latinskog modulus - mjera, uzorak, norma) shvatit ćemo takav materijalno ili mentalno predstavljeni predmet koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje izvorni predmet, zadržavajući neke od njegovih tipičnih osobina koje su važne za ovo proučavanje. . Proces izgradnje i korištenja modela naziva se modeliranje.

esencija matematičko modeliranje (MM) je zamjena proučavanog objekta (procesa) adekvatnim matematičkim modelom, a zatim proučavanje svojstava ovog modela pomoću analitičkih metoda ili računskih eksperimenata.

Ponekad je korisnije, umjesto davanja strogih definicija, opisati određeni koncept konkretnim primjerom. Stoga ćemo gornje definicije MM ilustrirati na primjeru problema izračunavanja specifičnog impulsa. Početkom 1960-ih, naučnici su se suočili sa zadatkom da razviju raketno gorivo sa najvećim specifičnim impulsom. Princip kretanja rakete je sljedeći: tečno gorivo i oksidant iz raketnih rezervoara se unose u motor, gdje se spaljuju, a proizvodi sagorijevanja ispuštaju u atmosferu. Iz zakona održanja impulsa slijedi da će se u ovom slučaju raketa kretati brzinom.

Specifični impuls goriva je rezultujući impuls podijeljen sa masom goriva. Eksperimenti su bili veoma skupi i doveli su do sistematskog oštećenja opreme. Pokazalo se da je lakše i jeftinije izračunati termodinamičke funkcije idealnih plinova, izračunati uz njihovu pomoć sastav emitiranih plinova i temperaturu plazme, a zatim i specifični impuls. Odnosno, da se izvrši MM procesa sagorevanja goriva.

Koncept matematičkog modeliranja (MM) danas je jedan od najčešćih u naučnoj literaturi. Velika većina modernih teza i disertacija povezana je sa razvojem i upotrebom odgovarajućih matematičkih modela. Kompjuterski MM je danas sastavni dio mnogih oblasti ljudskog djelovanja (nauka, tehnologija, ekonomija, sociologija itd.). To je jedan od razloga današnjeg nedostatka stručnjaka iz oblasti informacionih tehnologija.

Brzi razvoj matematičkog modeliranja je rezultat brzog poboljšanja računarske tehnologije. Ako se i prije 20 godina samo mali broj programera bavio numeričkim proračunima, sada su količina memorije i brzina modernih računara, koji omogućavaju rješavanje problema matematičkog modeliranja, dostupni svim stručnjacima, uključujući i studente.

U svakoj disciplini prvo se daje kvalitativni opis fenomena. A zatim – kvantitativni, formulisani u obliku zakona koji uspostavljaju odnose između različitih veličina (jačina polja, intenzitet rasejanja, naboj elektrona,...) u obliku matematičkih jednačina. Stoga možemo reći da u svakoj disciplini postoji onoliko nauke koliko u njoj ima matematičara, a ta činjenica nam omogućava da uspješno rješavamo mnoge probleme koristeći metode matematičkog modeliranja.

Ovaj kurs je namenjen studentima smera primenjena matematika koji svoje teze završavaju pod nadzorom vodećih naučnika iz različitih oblasti. Stoga je ovaj predmet neophodan ne samo kao nastavni materijal, već i kao priprema za rad. Za proučavanje ovog predmeta biće nam potrebni sljedeći dijelovi matematike:

1. Jednadžbe matematičke fizike (Kantova mehanika, plin i hidrodinamika)

2. Linearna algebra (teorija elastičnosti)

3. Skalarna i vektorska polja (teorija polja)

4. Teorija vjerovatnoće ( kvantna mehanika, statistička fizika, fizička kinetika)

5. Posebne karakteristike.

6. Tenzorska analiza (teorija elastičnosti)

7. Matematička analiza

MM iz prirodnih nauka, inženjerstva i ekonomije

Razmotrimo prvo različite grane prirodnih nauka, tehnologije, ekonomije u kojima se koriste matematički modeli.

prirodna nauka

Fizika, koja uspostavlja osnovne zakone prirodnih nauka, dugo je bila podijeljena na teorijsku i eksperimentalnu. Izvođenje jednačina koje opisuju fizičke pojave, bavi se teorijskom fizikom. Dakle, teorijska fizika se takođe može smatrati jednom od oblasti matematičkog modeliranja. (Podsjetimo se da se naslov prve knjige o fizici - "Matematički principi prirodne filozofije" I. Newtona može prevesti na savremeni jezik kao "Matematički modeli prirodnih nauka".) Na osnovu dobijenih zakona izvode se inženjerski proračuni , koji se provode u raznim institutima, firmama, projektantskim biroima. Ove organizacije razvijaju tehnologije za proizvodnju savremenih proizvoda koji su naučno intenzivni, tako da koncept naučno intenzivnih tehnologija uključuje proračune pomoću odgovarajućih matematičkih modela.

Jedna od najobimnijih grana fizike - klasična mehanika(ponekad se ovaj dio naziva teorijska ili analitička mehanika). Ovaj dio teorijske fizike proučava kretanje i interakciju tijela. Proračuni po formulama teorijske mehanike neophodni su pri proučavanju rotacije tijela (proračun momenata inercije, žirostati - uređaji koji drže osi rotacije nepokretnima), analiziranje kretanja tijela u vakuumu itd. Jedan od odjeljaka teorijske mehanike naziva se teorijom stabilnosti i leži u osnovi mnogih matematičkih modela koji opisuju kretanje aviona, brodova, raketa. Sekcije praktične mehanike - kurseve "Teorija mašina i mehanizama", "Mašinski dijelovi", izučavaju studenti gotovo svih tehničkih univerziteta (uključujući MGIU).

Teorija elastičnosti- dio sekcije mehanika kontinuuma, koji pretpostavlja da je materijal elastičnog tijela homogen i kontinuirano raspoređen po volumenu tijela, tako da najmanji element izrezan iz tijela ima ista fizička svojstva kao i cijelo tijelo. Primjenu teorije elastičnosti - predmet "čvrstoća materijala", izučavaju studenti svih tehničkih univerziteta (uključujući i MGIU). Ovaj odjeljak je potreban za sve proračune čvrstoće. Ovdje je proračun čvrstoće trupa brodova, zrakoplova, projektila, proračun čvrstoće čeličnih i armiranobetonskih konstrukcija zgrada i još mnogo toga.

Plin i hidrodinamika, kao i teorija elastičnosti - dio presjeka mehanika kontinuuma, razmatra zakone kretanja tečnosti i gasa. Jednačine plina i hidrodinamike neophodne su pri analizi kretanja tijela u tečnom i plinovitom mediju (sateliti, podmornice, rakete, granate, automobili), pri proračunu oticanja plina iz mlaznica raketnih i avionskih motora. Praktična primjena dinamike fluida – hidraulika (kočnica, kormilo,…)

Prethodni dijelovi mehanike razmatrali su kretanje tijela u makrokosmosu, a fizički zakoni makrokosmosa nisu primjenjivi u mikrokosmosu, u kojem se kreću čestice materije - protoni, neutroni, elektroni. Ovdje djeluju potpuno drugačiji principi, a za opisivanje mikrosvijeta potrebno je kvantna mehanika. Osnovna jednačina koja opisuje ponašanje mikročestica je Schrödingerova jednačina: . Ovdje je Hamiltonov operator (Hamiltonian). Za jednodimenzionalnu jednačinu kretanja čestica https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potencijalna energija. Rješenje ove jednadžbe je skup vlastitih vrijednosti energije i svojstvenih funkcija..gif" width="55" height="24 src=">– gustoća vjerovatnoće. Kvantnomehanički proračuni su potrebni za razvoj novih materijala (mikrokrugova), stvaranje lasera, razvoj metoda spektralne analize itd.

Rešen je veliki broj zadataka kinetika opisuje kretanje i interakciju čestica. Ovdje i difuzija, prijenos topline, teorija plazme - četvrto stanje materije.

statistička fizika razmatra skupove čestica, omogućava vam da kažete o parametrima ansambla, na osnovu svojstava pojedinačnih čestica. Ako se ansambl sastoji od molekula gasa, onda su svojstva ansambla izvedena metodama statističke fizike jednačine gasnog stanja dobro poznate iz srednje škole: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molekularna težina gasa. K je Rydbergova konstanta. Statističke metode se također koriste za izračunavanje svojstava rastvora, kristala i elektrona u metalima. MM statističke fizike je teorijska osnova termodinamike koja je u osnovi proračuna motora, toplotnih mreža i stanica.

Teorija polja opisuje MM metodama jedan od glavnih oblika materije – polje. U ovom slučaju, elektromagnetna polja su od primarnog interesa. Jednačine elektromagnetno polje(elektrodinamiku) izveo je Maxwell:, , , . Ovdje i https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - gustina naboja, - gustina struje. Elektrodinamičke jednadžbe su u osnovi proračuna širenja elektromagnetnih talasa neophodno je opisati širenje radio talasa (radio, televizija, celularne komunikacije), objasniti rad radarskih stanica.

Hemija se može predstaviti u dva aspekta, ističući deskriptivnu hemiju – otkrivanje hemijskih faktora i njihov opis – i teorijsku hemiju – razvoj teorija koje omogućavaju generalizaciju utvrđenih faktora i njihovo predstavljanje u obliku specifičnog sistema (L. Pauling) . Teorijska hemija se još naziva i fizička hemija i u suštini je grana fizike koja proučava supstance i njihove interakcije. Dakle, sve što je rečeno o fizici u potpunosti važi i za hemiju. Sekcije fizičke hemije biće termohemija, koja proučava toplotne efekte reakcija, hemijska kinetika (brzine reakcija), kvantna hemija (struktura molekula). Istovremeno, problemi hemije su izuzetno složeni. Tako se, na primjer, za rješavanje problema kvantne hemije - nauke o strukturi atoma i molekula, koriste programi koji su po obimu usporedivi s programima protuzračne odbrane zemlje. Na primjer, da biste opisali molekulu UCl4, koja se sastoji od 5 atomskih jezgara i +17 * 4) elektrona, trebate zapisati jednadžbu kretanja - jednadžbe u parcijalnim derivatima.

Biologija

Matematika je zaista ušla u biologiju tek u drugoj polovini 20. veka. Prvi pokušaji matematičkog opisa bioloških procesa vezani su za modele dinamike populacije. Populacija je zajednica jedinki iste vrste koja zauzima određeno područje na Zemlji. Ovo područje matematičke biologije, koje proučava promjenu veličine populacije u različitim uvjetima (prisustvo konkurentskih vrsta, grabežljivaca, bolesti, itd.), nastavilo je služiti kao poligon za matematičko testiranje na kojem su se „izvodili“ matematički modeli u raznim oblastima biologije. Uključujući modele evolucije, mikrobiologiju, imunologiju i druga područja koja se odnose na ćelijske populacije.
Prvi poznati model, formulisan u biološkoj formulaciji, je čuveni Fibonačijev niz (svaki sledeći broj je zbir prethodna dva), koji Leonardo iz Pize citira u svom delu u 13. veku. Ovo je niz brojeva koji opisuju broj parova zečeva koji se rađaju svakog mjeseca, ako zečevi počnu da se razmnožavaju od drugog mjeseca i proizvode par zečeva svakog mjeseca. Red predstavlja niz brojeva: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Drugi primjer je proučavanje procesa ionskog transmembranskog transporta na umjetnoj dvoslojnoj membrani. Ovdje je, da bi se proučavali zakoni nastajanja pora kroz koje ion prolazi kroz membranu u ćeliju, potrebno stvoriti modelni sistem koji se može eksperimentalno proučavati i za koji se može dobiti dobro razrađen fizički opis. korišteno.

Klasičan primjer MM je i populacija Drosophila. Još praktičniji model su virusi, koji se mogu razmnožavati u epruveti. Metode modeliranja u biologiji su metode dinamičke teorije sistema, a sredstva su diferencijalne i diferencijalne jednačine, metode kvalitativne teorije diferencijalnih jednačina, simulacijsko modeliranje.
Ciljevi modeliranja u biologiji:
3. Razjašnjavanje mehanizama interakcije između elemenata sistema
4. Identifikacija i provjera parametara modela korištenjem eksperimentalnih podataka.
5. Procjena stabilnosti sistema (modela).

6. Predviđanje ponašanja sistema pod raznim spoljnim uticajima, razne načine menadžment i tako dalje.
7. Optimalno upravljanje sistemom u skladu sa izabranim kriterijumom optimalnosti.

Tehnika

Unapređenjem tehnologije bavi se veliki broj stručnjaka koji se u svom radu oslanjaju na rezultate naučnih istraživanja. Prema tome, MM u tehnologiji su isti kao MM u prirodnim naukama, o kojima je bilo reči gore.

Ekonomija i društveni procesi

Općenito je prihvaćeno da je matematičko modeliranje kao metodu analize makroekonomskih procesa prvi upotrijebio liječnik kralja Luja XV, dr. François Quesnay, koji je 1758. objavio djelo "Ekonomska tabela". U ovom radu učinjen je prvi pokušaj da se kvantitativno opiše nacionalna ekonomija. I 1838. u knjizi O. Cournot Kvantitativne metode "Istraživanje matematičkih principa teorije bogatstva" prvo su korištene za analizu konkurencije na tržištu robe u različitim tržišnim situacijama.

Nadaleko je poznata i Malthusova teorija populacije u kojoj je predložio ideju da rast stanovništva nije uvijek poželjan i da je taj rast brži od rastućih mogućnosti obezbjeđenja stanovništva hranom. Matematički model takvog procesa je prilično jednostavan: Neka - rast populacije tokom vremena https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> broj bila jednaka ., a su koeficijenti koji uzimaju u obzir stope nataliteta i smrtnosti (osoba/godina).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentalne i matematičke metode" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matematičke metode analize (na primjer, u poslednjih decenija u humanističkim naukama pojavile su se matematičke teorije razvoja kulture, izgrađeni i proučavani matematički modeli mobilizacije, cikličkog razvoja sociokulturnih procesa, model interakcije naroda i vlasti, model trke u naoružanju itd. ).

Najopćenitije, MM proces društveno-ekonomskih procesa može se uslovno podijeliti u četiri faze:

formulisanje sistema hipoteza i razvoj konceptualnog modela; razvoj matematički model; analiza rezultata modelskih proračuna, što uključuje njihovo poređenje sa praksom; formulisanje novih hipoteza i usavršavanje modela u slučaju neslaganja između rezultata proračuna i praktičnih podataka.

Imajte na umu da je, po pravilu, proces matematičkog modeliranja cikličan, jer čak iu proučavanju relativno jednostavnim procesima rijetko je moguće izgraditi adekvatan matematički model od prvog koraka i odabrati njegove točne parametre.

Ekonomija se trenutno posmatra kao složen sistem u razvoju, za čiji kvantitativni opis se koriste dinamički matematički modeli različitog stepena složenosti. Jedna od oblasti istraživanja makroekonomske dinamike povezana je sa konstrukcijom i analizom relativno jednostavnih nelinearnih simulacionih modela koji odražavaju interakciju različitih podsistema – tržišta rada, tržišta roba, finansijskog sistema, prirodnog okruženja itd.

Teorija katastrofa se uspješno razvija. Ova teorija razmatra pitanje uslova pod kojima promena parametara nelinearnog sistema uzrokuje da se tačka u faznom prostoru koja karakteriše stanje sistema pomeri iz oblasti privlačenja u početnu ravnotežnu poziciju u oblast privlačenja. u drugi ravnotežni položaj. Ovo poslednje je veoma važno ne samo za analizu tehničkih sistema, već i za razumevanje održivosti društveno-ekonomskih procesa. S tim u vezi, nalazi o značaju proučavanja nelinearnih modela za menadžment. U knjizi "Teorija katastrofa", objavljenoj 1990., on, posebno, piše: "... sadašnje restrukturiranje je u velikoj mjeri posljedica činjenice da su barem neki mehanizmi povratnih informacija (strah od ličnog uništenja) počeli djelovati ."

(parametri modela)

Prilikom izgradnje modela stvarnih objekata i pojava često se susrećemo sa nedostatkom informacija. Za predmet koji se proučava, distribucija svojstava, parametri udara i početno stanje poznati su sa različitim stepenom nesigurnosti. Prilikom izgradnje modela moguće su sljedeće opcije za opisivanje nesigurnih parametara:

Klasifikacija matematičkih modela

(metode implementacije)

Metode implementacije MM mogu se klasificirati prema donjoj tabeli.

Pod matematičkim modeliranjem, u užem smislu riječi, podrazumijevaju opis u obliku jednačina i nejednakosti realnih fizičkih, hemijskih, tehnoloških, bioloških, ekonomskih i drugih procesa. Da bismo koristili matematičke metode za analizu i sintezu različitih procesa, potrebno je te procese moći opisati jezikom matematike, odnosno opisati ih u obliku sistema jednačina i nejednačina.

Matematičke metode djeluju kao način dobivanja novih znanja o objektu. Ovo se ne odnosi samo na sisteme. Osvrćući se unazad, okrećući se istoriji nauke, istraživač vidi da se celokupna dinamika nauke može posmatrati kao kontinuirani proces izgradnje novih, naprednijih i moćnijih modela. Ideja da je „svako znanje simulacija“ (N.Amosov) se ukorijenila. Pod uticajem opšte teorije sistema došlo je do preispitivanja, preispitivanja i klasičnih ideja. Koncept matematičkog modeliranja počeo se tumačiti tako široko da je uključivao svu formalizaciju i matematizaciju znanja. " Matematički model je samo posebna metoda opisa koja omogućava korištenje formalnog logičkog aparata matematike za analizu.(Moiseev N.N., 1973).

Ali modeli složenih i velikih sistema su nešto drugo fundamentalno i kvalitativno. Ovdje više nije dovoljan analitički, formalno-logički aparat. U okviru ovog rada, pod matematičkim modelom se podrazumijeva svaka matematička konstrukcija koja je veliki i/ili složeni dinamički sistem i ima svojstvo strukturno-funkcionalnog izomorfizma u odnosu na sistem koji se proučava (izvorni sistem).

Postoji duboka razlika između modeliranja i dobijanja kvantitativnog ili kvalitativnog rezultata matematičkim metodama. Upotreba matematike postaje moguća kada postane jasno šta i u koju svrhu odrediti, procijeniti, mjeriti, šta i kako obraditi matematičkim metodama. Model ne služi u ove svrhe. Matematičko modeliranje nije primjena matematičkog alata na objekt, nije rješenje specifičnih problema matematičkim sredstvima. To je konstrukcija formalnim metodama i sredstvima apstraktnog objekta izofunkcionalnog prema predmetu koji se proučava za naknadnu primjenu matematičkih metoda kvantitativne i kvalitativne analize. Istovremeno, upotreba matematike kao jezika (metateorije) u modeliranju daje dobijenim zaključcima dokaznu snagu. Djelatnost izgradnje modela ne spada u matematiku i obavljaju je (trebalo bi da je obavljaju) ne matematičari, već stručnjaci iz određene oblasti znanja.

Da bi se izgradio model sistema, potrebne su te smislene empirijske ideje, one deskriptivne nauke koje prethode pojavi formalizovanih nauka. Ovi opisi nisu uključeni u obliku komponenti u formalizovanu nauku, već samo olakšavaju proces formalizacije, obogaćuju heurističke mogućnosti formalizacije. Model ne zahtijeva preliminarni opis modeliranog objekta, jer je i sam oblik opisa.

Odnos modela i stvarnosti je drugačiji od odnosa stvarnosti i matematička formula. Formula je hijeroglif, znak stvarnosti. Model je sama stvarnost. Može se prigovoriti da fizičar ili matematičar savršeno osjeća dinamiku, stvarne odnose koji se kriju iza formule, ne doživljava je kao hijeroglif, a, štoviše, moderna matematika je daleko od jednostavne i ne samo formule. Pa ipak, naučnik ne može razmišljati formulama. Druga stvar je model. Ona ima dinamiku, ona živi (ne samo figurativno, ponekad u bukvalno riječi). Istraživač može razmišljati u modelima, dobija priliku figurativnog razmišljanja. U svijetu modela spajaju se umjetnička i logička percepcija stvarnosti.

Matematičko modeliranje ne isključuje upotrebu klasične matematike, štoviše, kao dio modela, matematika dobiva moć i univerzalnost prodora, koje joj je u klasično doba bila lišena.

Ako posmatramo neki objekat kao celinu, dat njegovim spoljašnjim svojstvima, možemo efikasno koristiti analitičke metode opisa za procese koji se dešavaju izvan ove celine. Ali čim postavimo zadatak da opišemo unutrašnji opis velikog i/ili složenog sistema, opišemo interakcije između njegovih delova, elemenata i podsistema metodama klasične matematike, odmah nailazimo na nepremostive poteškoće.

S druge strane, pokušaj da se određeni sistem opiše proceduralnim metodama, općenito, bez prodiranja u njegovu unutrašnju strukturu, u njegovu strukturu i funkcije elemenata, po pravilu neće dovesti do značajnog rezultata. Svaka metoda ima svoje mjesto.

U matematici analitičkih struktura, prvo moramo razumjeti, a zatim opisati. U modeliranju, u matematici algoritamskih procesa, sam proces opisivanja onoga što još nije shvaćeno često postaje sredstvo razumijevanja.

Kao metodologija naučnog istraživanja, matematičko modeliranje kombinuje iskustva različitih grana nauke o prirodi i društvu, primenjenu matematiku, računarstvo i sistemsko programiranje za rešavanje fundamentalnih problema. Matematičko modeliranje objekata složene prirode - jedan ciklus razvoja od kraja do kraja fundamentalno istraživanje problemi specifičnih numeričkih proračuna pokazatelja performansi objekta. Rezultat razvoja je sistem matematičkih modela koji opisuju kvalitativno heterogene obrasce funkcionisanja objekta i njegovu evoluciju u cjelini kao složenog sistema u različitim uvjetima. Računski eksperimenti sa matematičkim modelima daju početne podatke za procenu pokazatelja performansi objekta. Stoga je matematičko modeliranje kao metodologija organizovanja naučne ekspertize velikih problema neophodno u razvoju nacionalnih ekonomskih rješenja. (Prije svega, ovo se odnosi na modeliranje ekonomskih sistema). U svojoj srži, matematičko modeliranje je metoda za rješavanje novih složenih problema, tako da istraživanje matematičkog modeliranja treba biti ispred krivulje. Potrebno je unaprijed razviti nove metode, osposobiti kadrove koji znaju da primjene ove metode sa znanjem za rješavanje novih praktičnih problema. Matematički model može nastati na tri načina:1. Kao rezultat direktnog proučavanja stvarnog procesa. Takvi modeli se nazivaju fenomenološki.2. Kao rezultat procesa dedukcije. Novi model je poseban slučaj nekog opšteg modela. Takvi modeli se nazivaju asimptotički.3. Kao rezultat procesa indukcije. Novi model je generalizacija elementarnih modela. Takvi modeli se nazivaju modeli ansambla. Proces modeliranja počinje modeliranjem pojednostavljenog procesa, koji, s jedne strane, odražava glavne kvalitativne pojave, a s druge strane omogućava prilično jednostavan matematički opis. Kako se istraživanje produbljuje, grade se novi modeli koji detaljnije opisuju ovaj fenomen. Faktori koji se u ovoj fazi smatraju sekundarnim se odbacuju. Međutim, u narednim fazama studije, kako model postaje složeniji, oni se mogu uključiti u razmatranje. U zavisnosti od svrhe istraživanja, isti faktor se može smatrati glavnim ili sekundarnim faktorom.Matematički model i stvarni proces nisu identični. U pravilu se matematički model gradi uz izvjesno pojednostavljenje i uz određenu idealizaciju. Ona samo približno odražava stvarni predmet proučavanja, a rezultati proučavanja stvarnog objekta matematičkim metodama su približni. Tačnost studije zavisi od stepena adekvatnosti modela i objekta i od tačnosti primenjenih metoda računske matematike. Šema za konstruisanje matematičkih modela je sljedeća:1. Odabir parametra ili funkcije koju treba istražiti.2. Izbor zakona kojem se ova vrijednost povinuje.3. Izbor oblasti u kojoj želite da proučavate ovaj fenomen.

Teorijska disciplina postaje egzaktna nauka kada posluje s kvantitativnim karakteristikama. Nakon kvalitativnog opisa modela slijedi druga faza apstrakcije – kvantitativni opis modela. Čak je i Galileo Galilej rekao da je knjiga prirode napisana jezikom matematike. Imanuel Kant je proglasio da "u svakoj nauci ima istine koliko i matematike". A David Hilbert posjeduje riječi: „Matematika − osnova svih egzaktnih prirodnih nauka.

Matematičko modeliranje je teorijska i eksperimentalna metoda kognitivne i stvaralačke aktivnosti, metoda je istraživanja i objašnjenja pojava, procesa i sistema (originalnih objekata) zasnovana na stvaranju novih objekata – matematičkih modela.

Matematički model se obično shvata kao skup relacija (jednačina, nejednačina, logičkih uslova, operatora, itd.) koji određuju karakteristike stanja objekta modeliranja, a preko njih i izlazne vrednosti - reakcije, u zavisnosti od parametri originalnog objekta, ulazne akcije , početni i granični uslovi i vrijeme.

Matematički model, po pravilu, uzima u obzir samo ona svojstva (atribute) originalnog objekta koja odražavaju, određuju i koja su od interesa sa stanovišta ciljeva i zadataka određene studije. Stoga, ovisno o ciljevima modeliranja, kada se isti originalni objekt razmatra sa različitih stajališta i u različitim aspektima, potonji mogu imati različite matematičke opise i, kao rezultat, biti predstavljen različitim matematičkim modelima.

Uzimajući u obzir gore navedeno, daćemo najopštiju, ali istovremeno rigoroznu konstruktivnu definiciju matematičkog modela, koju je formulisao P.J. Cohen.

Definicija 4.1. Matematički model je formalni sistem koji je konačna kolekcija simbola i potpuno je stroga pravila operiranje ovim simbolima u sprezi sa interpretacijom svojstava određenog objekta nekim relacijama, simbolima ili konstantama.

Kao što slijedi iz gornje definicije, konačna zbirka simbola (abeceda) i potpuno stroga pravila za rad sa ovim simbolima ("gramatika" i "sintaksa" matematičkih izraza) dovode do formiranja apstraktnih matematičkih objekata (AMO). Samo interpretacija čini ovaj apstraktni objekt matematičkim modelom.

Matematički model je kvantitativna formalizacija apstraktnih ideja o fenomenu ili objektu koji se proučava.

Matematički modeli se mogu predstaviti različitim matematičkim sredstvima:

· stvarne ili kompleksne veličine;

· vektori, matrice;

· geometrijske slike;

· nejednakosti;

· funkcije i funkcionalnosti;

· skupovi, razne jednačine;

· funkcije raspodjele vjerovatnoće, statistika itd.

„U fizici − Thompson je napisao, − u proučavanju bilo kojeg objekta, prvi i najvažniji korak je pronalaženje principa numeričke evaluacije i praktičnih metoda za mjerenje neke veličine svojstvene ovom objektu.

Prijelaz iz prve u drugu fazu apstrakcije, tj. od fizičkog modela do matematičkog često oslobađa model od specifičnih karakteristika svojstvenih datom fenomenu ili objektu koji se proučava. Mnogi matematički modeli, izgubivši fizičku ili tehničku ljusku, dobijaju univerzalnost, tj. sposobnost kvantitativnog opisivanja procesa koji se razlikuju po svojoj fizičkoj prirodi ili prema tehničkoj namjeni objekata. Ovo očituje jedno od najvažnijih svojstava matematičke formalizacije predmeta istraživanja, zbog čega pri postavljanju i rješavanju primijenjenih problema u većini slučajeva nije potrebno kreirati novi matematički aparat, ali možete koristiti postojeći , uz poboljšanje i tumačenje neophodnih za određenu situaciju. Dakle, jedan matematički model se može koristiti za rješavanje velikog broja konkretnih, specifičnih problema, iu tom smislu izražava jednu od glavnih praktičnih svrha teorije.

Naravno, konstrukcija fizičkog modela je često neraskidivo povezana sa izgradnjom matematičkog modela, a oba ova procesa predstavljaju dvije strane jednog procesa apstrakcije.

Okruženi smo kompleksom tehnički objekti (tehnički sistemi) koje je stvorio čovjek. U procesu projektovanja novog ili nadogradnje postojećeg tehničkog sistema rešavaju se zadaci proračuna parametara i proučavanja procesa u ovom sistemu. Prilikom izvođenja multivarijantnih proračuna, stvarni sistem se zamjenjuje modelom. U širem smislu, model se definira kao odraz najbitnijih svojstava objekta.

Definicija 4.2 . Matematički model tehničkog objekta je skup matematičkih objekata i relacija između njih koji na odgovarajući način odražavaju svojstva predmeta proučavanja koja su od interesa za istraživača (inženjera).

Model se može predstaviti na različite načine.

Model View Forms

· invarijantno - snimanje relacija modela koristeći tradicionalni matematički jezik, bez obzira na način rješavanja jednačina modela;

· analitički - zapis modela u obliku rezultata analitičkog rješenja početnih jednačina modela;

· algoritamski - zapisivanje odnosa modela i odabrane numeričke metode rješenja u obliku algoritma;

· shematski (grafički) - prikaz modela u nekom grafičkom jeziku (na primjer, jezik grafova, ekvivalentnih kola, dijagrama, itd.);

· fizički;

· analogni;

Matematičko modeliranje je najuniverzalniji opis procesa.

Koncept matematičkog modeliranja ponekad uključuje i proces rješavanja problema na računaru (što, u principu, nije sasvim tačno, budući da rješavanje problema na računaru uključuje, između ostalog, kreiranje algoritamskog i softverskog modela koji implementira proračun u skladu sa matematičkim modelom).

Definicija 4.3.MM je slika objekta koji se proučava, stvorena u umu subjekta-istraživača uz pomoć određenih formalnih (matematičkih) sistema u cilju proučavanja (vrednovanja) određenih svojstava ovog objekta.

Neka prigovori Q ima neka svojstva koja nas zanimaju C 0 .

Da bi se dobio matematički model koji opisuje ovo svojstvo, potrebno je:

1. Odredite indikator ovog svojstva(one. odrediti mjeru svojstva u nekom sistemu mjerenja).

2. Postavite listu svojstava C 1 , ..., ~ m, s kojim je nekretninaOD 0 povezani nekim odnosima (to mogu biti interna svojstva objekta i svojstva spoljašnje okruženje utiče na objekat).

3. Opišite svojstva vanjskog okruženja u odabranom sistemu formata kao vanjski faktori h 1 , ..., x n , utičući na željeni indikatorY,interna svojstva objekta kao z parametri 1 , ..., z r , i neobračunata svojstva su dodijeljena grupi neobračunatih faktora .

4. Saznajte, ako je moguće, odnos izmeđuYi uzeti u obzir sve faktore i parametre i izraditi matematički opis(model).

Pravi objekt karakterizira sljedeći funkcionalni odnos između indikatora njegovih svojstava:

Međutim, model prikazuje samo one faktore i parametre originalnog objekta koji su bitni za rješavanje problema koji se proučava. Osim toga, mjerenja značajnih faktora i parametara gotovo uvijek sadrže greške uzrokovane nepreciznošću mjernih instrumenata i nepoznavanjem nekih faktora. Zbog toga je MM samo približan opis svojstava objekta koji se proučava.

Matematički model se također može definirati kao apstrakcija studirao stvarno entiteta.

Modeli se obično razlikuju od originala po prirodi svojih unutrašnjih parametara. Sličnost je u adekvatnosti reakcije Y model i original za promjenu vanjskih faktora. Prema tome, u opštem slučaju, matematički model je funkcija

gdje su interni parametri modela, adekvatni parametrima originala.

U zavisnosti od primenjenih metoda matematičkog opisa proučavanih objekata (pojava, procesa), MM mogu biti analitička, logička, grafička, automatska itd.

Glavno pitanje matematičkog modeliranja je pitanje koliko precizno sastavljeni MM odražava odnos između faktora koji se uzimaju u obzir, parametara i indikatora Y procijenjeno svojstvo stvarnog objekta, tj. kako tačno jednačina (4.2) odgovara jednačini (4.1). Ponekad se jednadžba (4.2) može dobiti odmah u eksplicitnom obliku, na primjer, u obliku sistema diferencijalnih jednačina, ili u obliku drugih eksplicitnih matematičkih relacija.

U složenijim slučajevima oblik jednačine (4.2) je nepoznat, a zadatak istraživača je, prije svega, da pronađe ovu jednačinu. Istovremeno, među varijabilnim parametrima, smatraju se svi vanjski faktori i parametri objekta koji se proučava, a među željene parametre ubrajaju se unutrašnji parametri modela, faktori povezivanja, sa indikatorom. Y"najvjerovatniji odnos. Rešenjem ovog problema se bavi teorija eksperimenta. Suština ove teorije je da se na osnovu selektivnog merenja vrednosti parametara, i indikatora Y", pronaći parametre za koje funkcija (4.2) najpreciznije odražava stvarnu pravilnost (4.1).

Koncept modela i simulacije.

Model u širem smislu- to je svaka slika, analog mentalne ili ustaljene slike, opis, dijagram, crtež, mapa, itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam predmet, proces ili pojava naziva se original ovog modela.

Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sistema objekata izgradnjom i proučavanjem njihovih modela. Ovo je upotreba modela za određivanje ili preciziranje karakteristika i racionalizaciju načina izgradnje novoizgrađenih objekata.

Bilo koja metoda naučnog istraživanja zasniva se na ideji modeliranja, dok teorijske metode koriste različite vrste simboličkih, apstraktnih modela, dok eksperimentalne metode koriste predmetne modele.

U proučavanju složenog realnog fenomena zamjenjuje se nekom pojednostavljenom kopijom ili shemom, ponekad takva kopija služi samo da se prisjeti i na sljedećem sastanku sazna željeni fenomen. Ponekad konstruirana shema odražava neke bitne karakteristike, omogućava vam razumijevanje mehanizma pojave, omogućava predviđanje njegove promjene. Različiti modeli mogu odgovarati istom fenomenu.

Zadatak istraživača je da predvidi prirodu pojave i tok procesa.

Ponekad se dešava da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Znanje o ovakvim procesima stiče se uz pomoć modela.

Važna stvar je da sama priroda nauke uključuje proučavanje ne jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. To implicira potrebu da se formulišu neke opšte kategoričke izjave, koje se nazivaju zakoni. Naravno, kod takve formulacije mnogi detalji se zanemaruju. Kako bi jasnije identificirali obrazac, oni namjerno idu na ugružavanje, idealizaciju, shematičnost, odnosno proučavaju ne samu pojavu, već više ili manje točnu kopiju ili model. Svi zakoni su zakoni o modelima i stoga nije iznenađujuće što se s vremenom neke naučne teorije pokažu kao neupotrebljive. To ne dovodi do kolapsa nauke, jer je jedan model zamijenjen drugim. modernije.

Posebnu ulogu u nauci imaju matematički modeli, građevinski materijal i alati ovih modela – matematički koncepti. Oni su se akumulirali i poboljšali hiljadama godina. Moderna matematika pruža izuzetno moćna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, je matematički model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela predmeta ili fenomena koji se proučava, izdvajaju se one njegove karakteristike, karakteristike i detalji koji, s jedne strane, sadrže manje ili više potpune informacije o objektu, a s druge strane omogućavaju matematička formalizacija. Matematička formalizacija znači da se karakteristike i detalji objekta mogu uskladiti sa odgovarajućim adekvatnim matematički koncepti: brojevi, funkcije, matrice i tako dalje. Tada se pronađene i pretpostavljene veze i odnosi u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu zapisati pomoću matematičkih odnosa: jednakosti, nejednakosti, jednačina. Rezultat je matematički opis procesa ili fenomena koji se proučava, odnosno njegov matematički model.

Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s nekim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.

Izgradnja matematičkog modela je centralna faza u proučavanju ili dizajnu bilo kojeg sistema. Cijela kasnija analiza objekta ovisi o kvaliteti modela. Izgradnja modela nije formalna procedura. To jako ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu, uvijek se oslanja na određeni eksperimentalni materijal. Model treba da bude dovoljno precizan, adekvatan i prikladan za upotrebu.

Matematičko modeliranje.

Klasifikacija matematičkih modela.

Matematički modeli mogu bitiodlučan i stohastički .

Deterministički model i - to su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan-na-jedan između varijabli koje opisuju objekt ili pojavu.

Ovaj pristup se zasniva na poznavanju mehanizma funkcionisanja objekata. Objekt koji se modelira često je složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo naporno i dugotrajno. U ovom slučaju se postupa na sljedeći način: eksperimenti se izvode na originalu, rezultati se obrađuju i, ne upuštajući se u mehanizam i teoriju modeliranog objekta, koristeći metode matematičke statistike i teorije vjerojatnosti, uspostavljaju odnose između varijable koje opisuju objekt. U ovom slučaju uzmitestohastički model . AT stohastički model, odnos između varijabli je slučajan, ponekad se dešava fundamentalno. Utjecaj ogromnog broja faktora, njihova kombinacija dovodi do slučajnog skupa varijabli koje opisuju objekt ili pojavu. Po prirodi modusa, model jestatistički i dinamičan.

Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli simuliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjene parametara tokom vremena.

AT dinamičanmodeliopisuje odnos između glavnih varijabli simuliranog objekta u prijelazu iz jednog načina rada u drugi.

Modeli su diskretno i kontinuirano, kao i mješovito tip. AT kontinuirano varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnovarijable uzimaju izolovane vrijednosti.

Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model su linearno zavisne od varijabli inije linearnoinače.

Matematičko modeliranje.

Zahtjevi , predstavljeno modelima.

1. Svestranost- karakteriše kompletnost prikaza modelom proučavanih svojstava realnog objekta.

1. Adekvatnost - sposobnost odražavanja željenih svojstava objekta s greškom koja nije veća od navedene.
2. Preciznost - procjenjuje se stepenom podudarnosti vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti ovih karakteristika dobivenih korištenjem modela.
3. Ekonomija - određuje se troškovima računarskih memorijskih resursa i vremena za njegovu implementaciju i rad.

Matematičko modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava o problemu.

Utvrđivanje svrhe analize i načina za njeno postizanje i razvijanje zajedničkog pristupa problemu koji se proučava. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad nije manje teško ispravno postaviti zadatak nego ga riješiti. Inscenacija nije formalan proces, opšta pravila br.

2. Proučavanje teorijskih osnova i prikupljanje informacija o objektu originala.

U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako nije prisutan, uspostavljaju se uzročne veze između varijabli koje opisuju objekt. Određeni su ulazni i izlazni podaci, napravljene su pojednostavljujuće pretpostavke.

3. Formalizacija.

Sastoji se od odabira sistema simbola i njihovog korištenja za zapisivanje odnosa između komponenti objekta u obliku matematičkih izraza. Uspostavljena je klasa zadataka kojoj se može pripisati rezultirajući matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara u ovoj fazi možda još nisu specificirane.

4. Izbor metode rješenja.

U ovoj fazi se postavljaju konačni parametri modela, uzimajući u obzir uslove za rad objekta. Za dobijeni matematički problem bira se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije, kao i preferencije programera.

5. Implementacija modela.

Nakon razvoja algoritma, piše se program koji se debagira, testira i dobiva rješenje za željeni problem.

6. Analiza primljenih informacija.

Usporedi se primljeno i očekivano rješenje, kontroliše se greška modeliranja.

7. Provjera adekvatnosti stvarnog objekta.

Upoređuju se rezultati dobijeni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi rezultati se upoređuju sa izračunatim.

Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. vrši se povratak u jednu od ranih faza, što bi moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova i sve naredne faze se rafiniraju, a takvo usavršavanje modela se dešava dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda spoznaje okolnog svijeta, koja omogućava njegovu kontrolu.

Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti eksperiment punog opsega u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo ako...” Nemoguće je provjeriti ispravnost ove ili one kosmološke teorije. U principu, moguće je, ali teško razumno, postaviti eksperiment o širenju neke bolesti, kao što je kuga, ili izvršiti nuklearna eksplozija proučiti njegove implikacije. Međutim, sve se to može uraditi na računaru, nakon što su prethodno izgrađeni matematički modeli proučavanih pojava.

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izgradnja modela. U ovoj fazi se precizira neki "nematematički" objekat - prirodni fenomen, konstrukcija, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i odnos između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj fazi velika pažnja se poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela.Posljedice izvedene iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.

4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj fazi se utvrđuje da li se rezultati eksperimenta slažu sa teorijskim posljedicama iz modela sa određenom preciznošću.

5) Modifikacija modela.U ovoj fazi model ili postaje složeniji kako bi bio adekvatniji stvarnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. Istovremeno, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta, koji se sastoji od zasebnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ovi odnosi ne mogu kvantificirati. Za izgradnju takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat, koji je skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).

Prema prirodi početnih podataka i rezultata predviđanja, modeli se mogu podijeliti na determinističke i vjerovatno-statističke. Modeli prvog tipa daju definitivna, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa zasnivaju se na statističkim informacijama, a predviđanja dobijena uz pomoć njih su vjerovatnoće prirode.

MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIJSKI MODELI

Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna kompjuterizacija, mogu se čuti izjave stručnjaka raznih struka: „Uvedemo kompjuter u našoj zemlji, tada će svi zadaci biti odmah riješeni“. Ovo gledište je potpuno pogrešno, sami kompjuteri ne mogu ništa bez matematičkih modela određenih procesa, a o univerzalnoj kompjuterizaciji se može samo sanjati.

U prilog navedenom pokušat ćemo opravdati potrebu za modeliranjem, uključujući i matematičko modeliranje, otkriti njegove prednosti u poznavanju i transformaciji vanjskog svijeta od strane čovjeka, identificirati postojeće nedostatke i preći ... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću kompjutera. Ali sve je u redu.

Prije svega, odgovorimo na pitanje: šta je model?

Model je materijalni ili mentalno predstavljeni predmet koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, zadržavajući neka tipična svojstva koja su bitna za ovo proučavanje.

Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje nego pravi objekat. Na primjer, eksperimenti sa ekonomijom zemlje u obrazovne svrhe, model je ovdje neophodan.

Sumirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje: čemu služe modeli? To

• razumiju kako objekt funkcionira (njegovu strukturu, svojstva, zakonitosti razvoja, interakciju sa vanjskim svijetom).
• naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
• predvideti posledice uticaja na objekat.

Šta je pozitivno u bilo kojem modelu? Omogućava vam da steknete nova saznanja o objektu, ali, nažalost, nije potpuna u jednom ili drugom stepenu.

Modelformulisan na jeziku matematike korišćenjem matematičkih metoda naziva se matematički model.

Polazna tačka za njegovu izgradnju obično je neki zadatak, na primjer, ekonomski. Široko rasprostranjena, kako deskriptivna tako i matematička optimizacija, koja karakteriše razne ekonomskim procesima i događaji kao što su:

• alokacija resursa
• racionalno sečenje
• transport
• konsolidacija preduzeća
• planiranje mreže.

Kako se gradi matematički model?

• Prvo se formuliše svrha i predmet studije.
• Drugo, najviše važne karakteristike prikladno za ovu svrhu.
• Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
• Nadalje, odnos je formaliziran.
• A proračun se vrši prema matematičkom modelu i analizi dobijenog rješenja.

Koristeći ovaj algoritam, možete riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući i višekriterijumski, tj. onaj u kojem se ne teži jednom, već nekoliko ciljeva, uključujući i kontradiktorne.

Uzmimo primjer. Teorija čekanja - problem čekanja. Morate uravnotežiti dva faktora - troškove održavanja servisnih uređaja i troškove zadržavanja u redu. Nakon što je izgrađen formalni opis modela, proračuni se vrše analitičkim i računskim metodama. Ako je model dobar, onda su odgovori pronađeni uz njegovu pomoć adekvatni sistemu modeliranja; ako je loš, onda se mora poboljšati i zamijeniti. Kriterijum adekvatnosti je praksa.

Optimizacijski modeli, uključujući i višekriterijumske, imaju zajedničku osobinu - poznato je da je cilj (ili više ciljeva) za postizanje koji se često mora nositi sa složenim sistemima, gdje se ne radi toliko o rješavanju problema optimizacije, već o istraživanju i predviđanju stanja. ovisno o odabranim strategijama kontrole. I tu smo suočeni sa poteškoćama u realizaciji prethodnog plana. One su sljedeće:

• složen sistem sadrži mnogo veza između elemenata
• na stvarni sistem utiču slučajni faktori, nemoguće ih je analitički uzeti u obzir
• mogućnost poređenja originala sa modelom postoji samo na početku i nakon primene matematičkog aparata, jer srednji rezultati možda nemaju analoge u stvarnom sistemu.

U vezi sa navedenim poteškoćama koje se javljaju prilikom proučavanja složenih sistema, praksa je zahtijevala fleksibilniji metod, a pojavila se - simulacijsko modeliranje "Simujacijsko modeliranje".

Obično se pod simulacijskim modelom podrazumijeva skup kompjuterskih programa koji opisuje funkcionisanje pojedinih blokova sistema i pravila interakcije između njih. Upotreba slučajne varijablečini neophodnim izvođenje ponovljenih eksperimenata sa simulacionim sistemom (na računaru) i naknadnu statističku analizu dobijenih rezultata. Vrlo čest primjer upotrebe simulacijskih modela je rješenje problema čekanja MONTE CARLO metodom.

Dakle, rad sa simulacionim sistemom je eksperiment koji se izvodi na računaru. Koje su prednosti?

– Veća blizina realnom sistemu od matematičkih modela;

– Princip bloka omogućava verifikaciju svakog bloka prije nego što se uključi u cjelokupni sistem;

– Upotreba zavisnosti složenije prirode, koja nije opisana jednostavnim matematičkim odnosima.

Navedene prednosti određuju nedostatke

– izgradnja simulacionog modela je duža, teža i skuplja;

– za rad sa simulacionim sistemom morate imati računar koji odgovara času;

– interakcija između korisnika i simulacionog modela (interfejsa) ne treba da bude previše komplikovana, pogodna i dobro poznata;

- konstrukcija simulacionog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa nego matematičko modeliranje.

Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti metode optimizacije? Ne, ali ih zgodno nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira neki algoritam, za optimizaciju kontrole kojim se prvo rješava problem optimizacije.

Dakle, ni kompjuter, ni matematički model, ni algoritam za zasebno proučavanje ne mogu riješiti prilično komplikovan problem. Ali zajedno predstavljaju moć koja vam omogućava da znate svijet, upravljati njime u interesu čovjeka.

1.2 Klasifikacija modela

Matematički model tehničkog objekta je skup matematičkih objekata i relacija između njih koji na odgovarajući način odražavaju svojstva predmeta proučavanja koja su od interesa za istraživača (inženjera).

Model se može predstaviti na različite načine.

Forme reprezentacije modela:

invarijantno - snimanje odnosa modela koristeći tradicionalni matematički jezik, bez obzira na metodu rješavanja jednačina modela;

analitičko - snimanje modela u obliku rezultata analitičkog rješenja početnih jednačina modela;

algoritamski - zapisivanje odnosa modela i odabrane numeričke metode rješenja u obliku algoritma.

shematski (grafički) - prikaz modela u nekom grafičkom jeziku (na primjer, jezik grafova, ekvivalentnih kola, dijagrama, itd.);

fizički

analogni

Najuniverzalniji je matematički opis procesa – matematičko modeliranje.

Koncept matematičkog modeliranja uključuje i proces rješavanja problema na računaru.

Generalizirani matematički model

Matematički model opisuje odnos između početnih podataka i željenih vrijednosti.

Elementi generalizovanog matematičkog modela su (slika 1): skup ulaznih podataka (varijable) X,Y;

X - skup varijabli; Y - nezavisne varijable (konstanta);

matematički operator L koji definira operacije nad ovim podacima; koji se shvata kao kompletan sistem matematičkih operacija koje opisuju numeričke ili logičke odnose između skupova ulaznih i izlaznih podataka (varijable);

skup izlaznih podataka (varijable) G(X,Y); je skup funkcija kriterija, uključujući (ako je potrebno) funkciju cilja.

Matematički model je matematički analog projektovanog objekta. Stepen adekvatnosti njegovog objekta određen je formulacijom i ispravnošću rješenja projektnog problema.

Skup varijabilnih parametara (varijable) X formira prostor varijabilnih parametara Rx (prostor za pretraživanje), koji je metrički sa dimenzijom n jednakom broju varijabilnih parametara.

Skup nezavisnih varijabli Y formira metrički prostor ulaznih podataka Ry. U slučaju kada je svaka komponenta prostora Ry data rasponom mogućih vrijednosti, skup nezavisnih varijabli se preslikava u neki ograničeni podprostor prostora Ry.

Skup nezavisnih varijabli Y određuje okruženje za rad objekta, tj. spoljašnje uslove u kojima će projektovani objekat raditi

To može biti:

• - tehničke specifikacije objekat koji nije podložan promenama tokom procesa projektovanja;
• - fizičke perturbacije okoline sa kojom je projektantski objekat u interakciji;
• - taktički parametri koje projektni objekat treba da postigne.

Izlazni podaci razmatranog generalizovanog modela čine metrički prostor kriterijumskih indikatora RG.

Šema upotrebe matematičkog modela u sistemu kompjuterski potpomognutog projektovanja prikazana je na Sl.2.

Zahtjevi za matematički model

Glavni zahtjevi za matematičke modele su zahtjevi adekvatnosti, univerzalnosti i ekonomičnosti.

Adekvatnost. Model se smatra adekvatnim ako odražava data svojstva sa prihvatljivom tačnošću. Preciznost se definira kao stupanj slaganja između vrijednosti izlaznih parametara modela i objekta.

Preciznost modela je različita u različitim uslovima funkcionisanja objekta. Ove uslove karakterišu eksterni parametri. U prostoru eksternih parametara izaberite oblast adekvatnosti modela, gde je greška manja od navedene maksimalno dozvoljene greške. Određivanje područja adekvatnosti modela je složena procedura koja zahtijeva velike računske troškove, koji brzo rastu sa povećanjem dimenzije prostora vanjskih parametara. Ovaj zadatak može značajno premašiti zadatak parametarske optimizacije samog modela po obimu, pa se možda neće riješiti za novoprojektovane objekte.

Univerzalnost - određuje se uglavnom brojem i sastavom eksternih i izlaznih parametara uzetih u obzir u modelu.

Ekonomičnost modela karakteriše trošak računarskih resursa za njegovu implementaciju - cena računarskog vremena i memorije.

Nedosljednost zahtjeva prema modelu široko područje Adekvatnost, visok stepen univerzalnosti i visoka ekonomičnost uslovljava upotrebu većeg broja modela za objekte istog tipa.

Metode pronalaženja modela

Dobijanje modela u opštem slučaju je neformalizovan postupak. Glavne odluke u pogledu izbora vrste matematičkih odnosa, prirode varijabli i parametara koji se koriste, donosi projektant. Istovremeno, operacije kao što su izračunavanje numeričkih vrijednosti parametara modela, određivanje površina adekvatnosti i druge se algoritmiziraju i rješavaju na računalu. Stoga modeliranje elemenata projektovanog sistema obično izvode stručnjaci u određenim tehničkim oblastima koristeći tradicionalne eksperimentalne studije.

Metode za dobivanje funkcionalnih modela elemenata dijele se na teorijske i eksperimentalne.

Teorijske metode se zasnivaju na proučavanju fizičkih pravilnosti procesa koji se dešavaju u objektu, određivanju matematičkog opisa koji odgovara tim pravilnostima, potkrepljivanju i prihvatanju pojednostavljujućih pretpostavki, izvođenju potrebnih proračuna i dovođenju rezultata u prihvaćeni oblik predstavljanja modela.

Eksperimentalne metode se zasnivaju na korištenju vanjskih manifestacija svojstava objekta, fiksiranih tokom rada objekata istog tipa ili tokom ciljanih eksperimenata.

Uprkos heurističkoj prirodi mnogih operacija, modeliranje ima niz odredbi i tehnika zajedničkih za dobijanje modela različitih objekata. Dosta opšti karakter imati

tehnika makro modeliranja,

matematičke metode za planiranje eksperimenata,

algoritmi za formalizirane operacije za izračunavanje numeričkih vrijednosti parametara i određivanje područja adekvatnosti.

Korištenje matematičkih modela

Računarska snaga savremenih računara, u kombinaciji sa obezbeđivanjem svih resursa sistema korisniku, mogućnošću interaktivnog režima prilikom rešavanja problema i analize rezultata, omogućavaju minimiziranje vremena za rešavanje problema.

Prilikom sastavljanja matematičkog modela, istraživač je dužan:

proučavaju svojstva objekta koji se proučava;

sposobnost odvajanja glavnih svojstava objekta od sekundarnih;

procijeniti napravljene pretpostavke.

Model opisuje odnos između ulaznih podataka i željenih vrijednosti. Slijed radnji koje se moraju izvršiti kako bi se pomaknuli od početnih podataka do željenih vrijednosti naziva se algoritam.

Algoritam za rješavanje problema na računaru povezan je sa izborom numeričke metode. U zavisnosti od oblika predstavljanja matematičkog modela (algebarski ili diferencijalni oblik), koriste se različite numeričke metode.

Suština ekonomsko-matematičkog modeliranja leži u opisu društveno-ekonomskih sistema i procesa u formi ekonomsko-matematičkih modela.

Razmotrimo pitanja klasifikacije ekonomskih i matematičkih metoda. Ove metode, kao što je gore navedeno, predstavljaju kompleks ekonomskih i matematičkih disciplina koje su spoj ekonomije, matematike i kibernetike.

Stoga se klasifikacija ekonomskih i matematičkih metoda svodi na klasifikaciju naučnih disciplina koje su uključene u njihov sastav. Iako opšteprihvaćena klasifikacija ovih disciplina još nije razvijena, uz određeni stepen aproksimacije, u sastavu ekonomskih i matematičkih metoda mogu se izdvojiti sledeći delovi:

• * ekonomska kibernetika: sistemska analiza ekonomije, teorija ekonomskih informacija i teorija sistema upravljanja;
• * matematička statistika: ekonomske primjene ove discipline - metoda uzorkovanja, analiza varijanse, analiza korelacije, regresiona analiza, multivarijantna statistička analiza, faktorska analiza, teorija indeksa, itd.;
• * Matematička ekonomija i ekonometrija koja proučava ista pitanja sa kvantitativne tačke gledišta: teorija ekonomskog rasta, teorija proizvodnih funkcija, međusektorski bilansi, nacionalni računi, analiza potražnje i potrošnje, regionalna i prostorna analiza, globalno modeliranje itd. .;
• * metode za donošenje optimalnih odluka, uključujući proučavanje poslovanja u privredi. Ovo je najobimniji odjeljak, koji uključuje sljedeće discipline i metode: optimalno (matematičko) programiranje, uključujući metode grananja i veza, metode planiranja mreže i kontrole, programski ciljano planiranje i metode kontrole, teoriju i metode upravljanja zalihama, teoriju čekanja, teorija igara, teorija i metode odlučivanja, teorija rasporeda. Optimalno (matematičko) programiranje uključuje, zauzvrat, linearno programiranje, nelinearno programiranje, dinamičko programiranje, diskretno (cijelobrojno) programiranje, frakciono linearno programiranje, parametarsko programiranje, odvojivo programiranje, stohastičko programiranje, geometrijsko programiranje;
• * Metode i discipline koje su specifične i za centralno planiranu ekonomiju i za tržišnu (konkurentnu) ekonomiju. Prvi obuhvataju teoriju optimalnog funkcionisanja privrede, optimalno planiranje, teoriju optimalnog određivanja cena, modele logistike, itd. Potonji uključuju metode koje omogućavaju razvoj modela slobodne konkurencije, modela kapitalističkog ciklusa, modela monopola, modela indikativnog planiranja, modela teorije firme itd.

Mnoge metode razvijene za centralno planiranu ekonomiju mogu takođe biti korisne u ekonomskom i matematičkom modeliranju u tržišnoj ekonomiji;

* metode eksperimentalnog proučavanja ekonomskih pojava. To uključuje, po pravilu, matematičke metode analize i planiranja ekonomskih eksperimenata, metode mašinske simulacije (simulacije), poslovne igre. Ovo takođe uključuje metode stručnih procena razvijenih za procenu pojava koje se ne mogu direktno meriti.

Pređimo sada na pitanja klasifikacije ekonomskih i matematičkih modela, odnosno matematičkih modela društveno-ekonomskih sistema i procesa.

Jedinstveni sistem klasifikacije za takve modele trenutno ne postoji, međutim, obično se izdvaja više od deset glavnih karakteristika njihove klasifikacije, odnosno klasifikacijskih naslova. Hajde da pogledamo neke od ovih sekcija.

Prema opštoj nameni, ekonomsko-matematički modeli se dele na teorijske i analitičke, koji se koriste u proučavanju opštih svojstava i obrazaca ekonomskih procesa, i primenjeni, koji se koriste u rešavanju specifičnih ekonomskih problema analize, predviđanja i upravljanja. U ovom tutorijalu razmatraju se različite vrste primijenjenih ekonomskih i matematičkih modela.

Prema stepenu agregacije objekata modeliranja, modeli se dijele na makroekonomske i mikroekonomske. Iako ne postoji jasna razlika među njima, prvi od njih obuhvataju modele koji odražavaju funkcionisanje privrede u celini, dok se mikroekonomski modeli po pravilu vezuju za delove privrede kao što su preduzeća i firme.

Prema specifičnoj namjeni, odnosno prema namjeni kreiranja i primjene, razlikuju se balansni modeli koji izražavaju zahtjev da raspoloživost resursa odgovara njihovoj upotrebi; modeli trenda, u kojima se razvoj modeliranog ekonomskog sistema ogleda kroz trend (dugoročni trend) njegovih glavnih indikatora; modeli optimizacije dizajnirani da odaberu najbolju opciju iz određenog broja opcija proizvodnje, distribucije ili potrošnje; simulacioni modeli namenjeni za upotrebu u procesu mašinske simulacije sistema ili procesa koji se proučavaju itd.

Prema vrsti informacija koje se koriste u modelu, ekonomsko-matematički modeli se dijele na analitičke, izgrađene na apriornim informacijama, i identifikacijske, izgrađene na aposteriornim informacijama.

Uzimajući u obzir faktor vremena, modeli se dijele na statičke, u kojima su sve zavisnosti vezane za jednu tačku u vremenu, i dinamičke, koji opisuju ekonomske sisteme u razvoju.

Uzimajući u obzir faktor nesigurnosti, modeli se dijele na determinističke, ako su izlazni rezultati u njima jednoznačno određeni kontrolnim djelovanjem, i na stohastičke (vjerovatne), ako je na ulazu modela specificiran određeni skup vrijednosti. , njegov izlaz može proizvesti različite rezultate ovisno o djelovanju slučajnog faktora.

Ekonomsko-matematički modeli se takođe mogu klasifikovati prema karakteristikama matematičkih objekata uključenih u model, drugim rečima, prema vrsti matematičkog aparata koji se koristi u modelu. Na osnovu toga, matrični modeli, modeli linearnog i nelinearnog programiranja, korelaciono-regresijski modeli,

Osnovni koncepti matematičkog modeliranja modela teorije čekanja, modela planiranja i upravljanja mreže, modela teorije igara itd.

Konačno, prema vrsti pristupa proučavanim socio-ekonomskim sistemima razlikuju se deskriptivni i normativni modeli. Deskriptivnim (deskriptivnim) pristupom dobijaju se modeli koji su dizajnirani da opišu i objasne stvarno posmatrane pojave ili da predvide te pojave; Kao primjer deskriptivnih modela možemo navesti prethodno imenovane balansne i trendovske modele. U normativnom pristupu ne zanima kako je ekonomski sistem organizovan i kako se razvija, već kako treba da bude uređen i kako treba da funkcioniše u smislu određenih kriterijuma. Konkretno, svi modeli optimizacije su normativnog tipa; kao drugi primjer mogu poslužiti normativni modeli životnog standarda.

Razmotrimo kao primjer ekonomsko-matematički model input-output bilansa (EMM IOB). Uzimajući u obzir gore navedene klasifikacijske naslove, ovo je primijenjeni, makroekonomski, analitički, deskriptivni, deterministički, balansni, matrični model; Postoje i statičke i dinamičke metode.

Linearno programiranje je posebna grana optimalnog programiranja. Zauzvrat, optimalno (matematičko) programiranje je grana primijenjene matematike koja proučava probleme uvjetne optimizacije. U ekonomiji se takvi problemi javljaju u praktičnoj implementaciji principa optimalnosti u planiranju i upravljanju.

Neophodan uslov za korišćenje optimalnog pristupa planiranju i upravljanju (princip optimalnosti) je fleksibilnost, alternativnost proizvodnih i ekonomskih situacija u kojima se moraju donositi odluke o planiranju i upravljanju. Upravo te situacije, po pravilu, čine svakodnevnu praksu privrednog subjekta (izbor proizvodni program, pričvršćivanje na dobavljače, usmjeravanje, rezanje materijala, priprema smjese itd.).

Suština principa optimalnosti je želja da se izabere takva odluka planiranja i upravljanja X = (xi, X2 xn), gdje je Xu, (y = 1. x) - njegove komponente, koje bi najbolje uzele u obzir interne mogućnosti i spoljni uslovi proizvodne delatnosti privrednog subjekta.

Riječi "na najbolji način" ovdje označavaju izbor nekog kriterija optimalnosti, tj. neki ekonomski pokazatelj koji vam omogućava da uporedite efektivnost određenih planskih i upravljačkih odluka. Tradicionalni kriterijumi optimalnosti: „maksimalni profit“, „minimalni troškovi“, „maksimalna profitabilnost“ itd. Reči „uzelo bi u obzir unutrašnje mogućnosti i eksterne uslove proizvodne delatnosti“ znače da se na izbor proizvoda nameće niz uslova. odluka o planiranju i upravljanju (ponašanje), t.e. izbor X se vrši iz određenog područja mogućih (dopustivih) rješenja D; ovo područje se naziva i područje definicije problema. opšti problem optimalnog (matematičkog) programiranja, inače, matematički model problema optimalnog programiranja, čija se konstrukcija (razvoj) zasniva na principima optimalnosti i konzistentnosti.

Vektor X (skup kontrolnih varijabli Xj, j = 1, n) se naziva izvodljivim rješenjem, ili optimalnim planom problema programiranja, ako zadovoljava sistem ograničenja. A plan X (dopustivo rješenje) koji daje maksimum ili minimum ciljne funkcije f(xi, *2, ..., xn) naziva se optimalnim planom (optimalno ponašanje, ili jednostavno rješenje) optimalnog problema programiranja.

Dakle, izbor optimalnog menadžerskog ponašanja u konkretnoj proizvodnoj situaciji povezan je sa provođenjem ekonomsko-matematičkog modeliranja sa stanovišta konzistentnosti i optimalnosti i rješavanja problema optimalnog programiranja. Problemi optimalnog programiranja u većini opšti pogled klasifikovane prema sledećim kriterijumima.

• 1. Po prirodi odnosa između varijabli -
• a) linearni
• b) nelinearni.

U slučaju a) sve funkcionalne veze u sistemu ograničenja i ciljnoj funkciji su linearne funkcije; prisustvo nelinearnosti u barem jednom od navedenih elemenata dovodi do slučaja b).

• 2. Po prirodi promjene varijabli --
• a) kontinuirano
• b) diskretno.

U slučaju a) vrijednosti svake od kontrolnih varijabli mogu u potpunosti ispuniti određeno područje realnih brojeva; u slučaju b) sve ili barem jedna varijabla može imati samo cjelobrojne vrijednosti.

• 3. Uzimajući u obzir faktor vremena -
• a) statična
• b) dinamičan.

U zadacima a) modeliranje i donošenje odluka se izvode pod pretpostavkom da su elementi modela nezavisni od vremena tokom vremenskog perioda za koji se donosi odluka o planiranju i upravljanju. U slučaju b), takva pretpostavka se ne može prihvatiti s dovoljnim razlogom i faktor vremena se mora uzeti u obzir.

• 4. Prema dostupnosti informacija o varijablama --
• a) zadaci pod uslovima potpune sigurnosti (deterministički),
• b) zadaci u uslovima nepotpunih informacija,
• c) zadaci u uslovima neizvesnosti.

U zadacima b) pojedinačni elementi su probabilističke veličine, ali su njihovi zakoni distribucije poznati ili se mogu uspostaviti dodatne statističke studije. U slučaju c), može se napraviti pretpostavka o mogućim ishodima slučajnih elemenata, ali nije moguće izvesti zaključak o vjerovatnoći ishoda.

• 5. Prema broju kriterijuma za vrednovanje alternativa -
• a) jednostavni zadaci po jednom kriterijumu,
• b) složeni, višekriterijumski zadaci.

U zadacima a) ekonomski je prihvatljivo koristiti jedan kriterij optimalnosti ili je to moguće posebnim procedurama (na primjer, „ponderiranje prioriteta“)