Izvod prvog reda parametarski definirane funkcije. Derivat parametarski definirane funkcije

Logaritamska diferencijacija

Derivati ​​elementarnih funkcija

Osnovna pravila diferencijacije

Funkcijski diferencijal

Glavni linearni dio prirasta funkcije A D x u određivanju diferencijabilnosti funkcije

D f=f(x)- f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

naziva se diferencijalom funkcije f(x) u tački x 0 i označeno je

df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.

Diferencijal zavisi od tačke x 0 i od prirasta D x. Na D x istovremeno na to gledaju kao na nezavisnu varijablu, dakle u svakoj tački diferencijal je linearna funkcija od prirasta D x.

Ako posmatramo kao funkciju f(x)=x, onda dobijamo dx= D x,dy=Adx. Ovo je u skladu sa Leibnizovom notacijom

Geometrijska interpretacija diferencijala kao prirasta ordinate tangente.

Rice. 4.3

1) f= konst , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Posljedica. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 i onda izvod postoji f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Radi kratkoće označićemo u=u(x), u 0 =u(x 0), onda

Prelazak do granice kod D x® 0 dobijamo traženu jednakost.

5) Derivat složena funkcija.

Teorema. Ako postoje f¢(x 0), g¢(x 0)i x 0 =g(t 0), zatim u nekom naselju t 0 definirana je kompleksna funkcija f(g(t)), diferencibilan je u tački t 0 I

Dokaz.

f(x)- f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).

Podijelimo obje strane ove jednakosti sa ( t - t 0) i idemo do granice na t®t 0 .

6) Izračunavanje derivacije inverzne funkcije.

Teorema. Neka je f kontinuirano i striktno monotono[a,b]. Neka u tački x 0 Î( a,b)postoji f¢(x 0)¹ 0 , tada inverzna funkcija x=f -1 (y)ima u tački y 0 derivacija jednaka

Dokaz. Mi računamo f striktno monotono raste, dakle f -1 (y) je kontinuiran, monotono raste za [ f(a),f(b)]. Hajde da stavimo y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,

y - y 0 =D y. Zbog kontinuiteta inverzne funkcije D y®0 Þ D x®0, imamo

Prelaskom do granice dobijamo traženu jednakost.

7) Derivat ravnomjerna funkcija je neparan, izvod neparne funkcije je paran.

Zaista, ako x® - x 0 , to - x® x 0 , Zato

Za parnu funkciju za neparnu funkciju

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(a x)¢ = a x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x,

Posljedica. (izvod parne funkcije je neparan)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (grijeh x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- grijeh x,(cos x)¢= (grijeh( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/grijeh 2 x.

16)sh x, ch x.

f(x),, iz čega proizlazi da f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Ista formula se može dobiti drugačije f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Primjer. Izračunajte derivaciju funkcije f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Geometrijski položaj tačaka na ravni

zvaćemo ga graf funkcije, dato parametarski. Oni također govore o parametarskoj specifikaciji funkcije.

Napomena 1. Ako x, y kontinuirano za [a,b] I x(t) strogo monotono na segmentu (na primjer, striktno monotono raste), zatim na [ a,b], a=x(a) , b=x(b) definirana funkcija f(x)=y(t(x)), gdje je t(x) – inverzna funkcija prema x(t). Graf ove funkcije poklapa se sa grafikom funkcije

Ako je domen definicije parametarski datu funkciju može se podijeliti na konačan broj segmenata ,k= 1,2,...,n, na svakom od kojih postoji funkcija x(t) je striktno monotona, tada se parametarski definirana funkcija razlaže na konačan broj običnih funkcija fk(x)=y(t -1 (x)) sa domenama [ x(a k), x(b k)] za povećanje sekcija x(t) i sa domenama [ x(b k), x(a k)] za područja opadajuće funkcije x(t). Funkcije dobijene na ovaj način nazivaju se jednovrijednim granama parametarski definirane funkcije.

Slika prikazuje graf parametarski definirane funkcije

Sa odabranom parametrizacijom, područje definicije podijeljena je na pet dijelova stroge monotonosti funkcije sin(2 t), tačno: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , i, shodno tome, graf će se podijeliti na pet nedvosmislenih grana koje odgovaraju ovim dijelovima.

Rice. 4.4

Rice. 4.5

Možete odabrati drugačiju parametrizaciju iste geometrijske lokacije tačaka

U ovom slučaju će postojati samo četiri takve grane. Oni će odgovarati područjima stroge monotonije tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funkcije sin(2 t).

Rice. 4.6

Četiri sekcije monotonosti funkcije sin(2 t) na dugom segmentu.

Rice. 4.7

Prikaz oba grafa na jednoj slici omogućava vam da približno opišete graf parametarski određene funkcije, koristeći područja monotonosti obje funkcije.

Kao primjer, razmotrite prvu granu koja odgovara segmentu tÎ . Na krajevima ovog odjeljka funkcija x= sin(2 t) uzima vrijednosti -1 i 1 , tako da će ova grana biti definirana na [-1,1] . Nakon toga, morate pogledati područja monotonije druge funkcije y= cos( t), ona ima na dva dela monotonije . Ovo nam omogućava da kažemo da prva grana ima dva dijela monotonosti. Nakon što pronađete krajnje tačke grafa, možete ih povezati pravim linijama kako biste ukazali na prirodu monotonije grafa. Učinivši to sa svakom granom, dobijamo područja monotonosti nedvosmislenih grana grafa (na slici su istaknute crvenom bojom)

Rice. 4.8

Prva jednoznačna grana f 1 (x)=y(t(x)) , koji odgovara sajtu biće određen za x O[-1,1] . Prva jednoznačna grana tÎ , x O[-1,1].

Sve ostale tri grane će također imati domenu definicije [-1,1] .

Rice. 4.9

Druga grana tÎ x O[-1,1].

Rice. 4.10

Treća grana tÎ x O[-1,1]

Rice. 4.11

Četvrta grana tÎ x O[-1,1]

Rice. 4.12

Komentar 2. Ista funkcija može imati različite parametarske postavke. Razlike se mogu ticati i samih funkcija x(t), y(t) , i domen definicije ove funkcije.

Primjer različitih parametarskih dodjela za istu funkciju

I t O[-1, 1] .

Napomena 3. Ako su x,y kontinuirani , x(t)- strogo monotono na segmentu a postoje i derivati y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, onda postoji f¢(x 0)= .

Zaista, .

Posljednja izjava se također primjenjuje na grane sa jednom vrijednošću parametarski definirane funkcije.

4.2 Derivati ​​i diferencijali višeg reda

Viši derivati ​​i diferencijali. Diferencijacija funkcija specificiranih parametarski. Leibnizova formula.

Funkcija se može specificirati na nekoliko načina. Zavisi od pravila koje se koristi za njegovo specificiranje. Eksplicitni oblik specificiranja funkcije je y = f (x). Postoje slučajevi kada je njegov opis nemoguć ili nezgodan. Ako postoji mnogo parova (x; y) koje je potrebno izračunati za parametar t u intervalu (a; b). Za rješavanje sistema x = 3 cos t y = 3 sin t sa 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definicija parametarske funkcije

Odavde imamo da su x = φ (t), y = ψ (t) definirani za vrijednost t ∈ (a; b) i imaju inverznu funkciju t = Θ (x) za x = φ (t), tada govorimo o specificiranju parametarske jednadžbe funkcije oblika y = ψ (Θ (x)) .

Postoje slučajevi kada je za proučavanje funkcije potrebno tražiti izvod po x. Razmotrimo formulu za izvod parametarski definirane funkcije oblika y x " = ψ " (t) φ " (t), razgovarajmo o izvodu 2. i n-tog reda.

Derivacija formule za izvod parametarski definirane funkcije

Imamo da je x = φ (t), y = ψ (t), definisano i diferencibilno za t ∈ a; b, gdje je x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t), tada postoji inverzna funkcija oblika t = Θ (x).

Za početak, trebali biste se pomaknuti iz parametarsko podešavanje na eksplicitno. Da biste to učinili, morate dobiti složenu funkciju oblika y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), gdje postoji argument x.

Na osnovu pravila za pronalaženje izvoda kompleksne funkcije dobijamo da je y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Ovo pokazuje da su t = Θ (x) i x = φ (t) inverzne funkcije iz formule inverzne funkcije Θ " (x) = 1 φ " (t), zatim y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Pređimo na rješavanje nekoliko primjera pomoću tablice derivacija prema pravilu diferencijacije.

Primjer 1

Pronađite izvod za funkciju x = t 2 + 1 y = t.

Rješenje

Po uslovu imamo da je φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, odavde dobijamo da je φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Morate koristiti izvedenu formulu i napisati odgovor u obliku:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

odgovor: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kada radite s izvodom funkcije h, parametar t specificira izraz argumenta x kroz isti parametar t, kako se ne bi izgubila veza između vrijednosti izvoda i parametarski određene funkcije s argumentom za kojima ove vrijednosti odgovaraju.

Da biste odredili izvod drugog reda parametarski zadane funkcije, trebate upotrijebiti formulu za izvod prvog reda na rezultirajućoj funkciji, tada ćemo dobiti da

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Primjer 2

Naći izvode 2. i 2. reda date funkcije x = cos (2 t) y = t 2 .

Rješenje

Po uslovu dobijamo da je φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Zatim nakon transformacije

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Iz toga slijedi da je y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dobijamo da je oblik derivacije 1. reda x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Da biste to riješili, trebate primijeniti formulu derivata drugog reda. Dobijamo izraz forme

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Zatim specificiranje derivata 2. reda pomoću parametarske funkcije

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Slično rješenje se može riješiti i drugom metodom. Onda

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Odavde to dobijamo

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

odgovor: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Izvodi višeg reda s parametarski definiranim funkcijama nalaze se na sličan način.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka funkcija bude specificirana na parametarski način:
(1)
gdje je neka varijabla koja se zove parametar. I neka funkcije imaju derivate na određenoj vrijednosti varijable.
(2)

Ovdje i su derivati ​​funkcija i u odnosu na varijablu (parametar).
;
.

Često se pišu na sljedeći način:

Tada se sistem (2) može zapisati na sljedeći način:

Dokaz
.
Po uslovu, funkcija ima inverznu funkciju. Označimo to kao
.
Tada se originalna funkcija može predstaviti kao složena funkcija:
.

Nađimo njegovu derivaciju koristeći pravila za razlikovanje kompleksnih i inverznih funkcija:

Pravilo je dokazano.

Dokaz na drugi način
.
Nađimo izvod na drugi način, na osnovu definicije derivacije funkcije u tački:
.
Hajde da uvedemo notaciju:
.

Tada prethodna formula poprima oblik:
Iskoristimo činjenicu da funkcija ima inverznu funkciju u susjedstvu tačke.
; ;
; .
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
.
Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa:
.

Nađimo njegovu derivaciju koristeći pravila za razlikovanje kompleksnih i inverznih funkcija:

U , . Onda

Derivati ​​višeg reda
(1)

Za pronalaženje derivata višeg reda potrebno je nekoliko puta izvršiti diferencijaciju. Recimo da trebamo pronaći izvod drugog reda funkcije definirane parametarski, sljedećeg oblika:
(2)

Koristeći formulu (2) nalazimo prvi izvod, koji je također određen parametarski:
.
Označimo prvi izvod promjenljivom:
(3)
Zatim, da biste pronašli drugi izvod funkcije u odnosu na varijablu, morate pronaći prvi izvod funkcije u odnosu na varijablu.

Ovisnost varijable od varijable je također specificirana na parametarski način:
.
Upoređujući (3) sa formulama (1) i (2), nalazimo:
.

Sada izrazimo rezultat kroz funkcije i .

Da bismo to učinili, zamijenimo i primijenimo formulu derivativnog razlomka:
.

Onda

Odavde dobijamo drugi izvod funkcije u odnosu na promenljivu:
;
.

Takođe je dat u parametarskom obliku. Imajte na umu da se prvi red može napisati i na sljedeći način:

Nastavljajući proces, možete dobiti derivate funkcija iz varijable trećeg i višeg reda.

Imajte na umu da ne moramo uvoditi zapis za izvod.

Možete to napisati ovako:
Primjer 1
;
.
Pronađite izvod funkcije definirane parametarski:

.
Rješenje

.
Rješenje

Nalazimo derivate u odnosu na .
.

Iz tabele derivata nalazimo:

Primjenjujemo:

Evo.

Imajte na umu da ne moramo uvoditi zapis za izvod.

Traženi derivat:
.

Odgovori

.

Primjer 2

.

Pronađite derivaciju funkcije izraženu kroz parametar:
.

Iz tabele derivata nalazimo:

Proširimo zagrade koristeći formule za funkcije snage i korijene:

Pronalaženje derivata:

Imajte na umu da ne moramo uvoditi zapis za izvod.

Pronalaženje derivata.

Hajde da uvedemo oznaku.

Tada je funkcija derivirana u odnosu na .

Određuje se parametarski:
.
Da bismo pronašli drugi izvod u odnosu na , Moramo pronaći prvi izvod u odnosu na .
.
Hajde da razlikujemo po .
.

Pronašli smo izvod od u primjeru 1:

Izvod drugog reda u odnosu na jednak je derivatu prvog reda s obzirom na:

Dakle, pronašli smo izvod drugog reda u odnosu na parametarski oblik:
.
Sada nalazimo izvod trećeg reda. Hajde da uvedemo oznaku.
.

Zatim moramo pronaći izvod funkcije prvog reda, koji je specificiran na parametarski način:
.

Pronađite derivaciju u odnosu na .

Da bismo to učinili, prepisujemo ga u ekvivalentnom obliku:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Iz tabele derivata nalazimo:

Od

Izvod trećeg reda u odnosu na jednak je izvodu prvog reda s obzirom na:

Komentar Ne morate unositi varijable i , koje su izvedene od i , respektivno. Onda to možete napisati ovako: U parametarskom predstavljanju, izvod drugog reda ima sljedeći oblik: Izvod trećeg reda. Da ne naglašavamo, sve u ovom odlomku je takođe prilično jednostavno. Možete zapisati

opšta formula parametarski definisana funkcija, ali, da bi bilo jasno, odmah ću zapisati konkretan primjer. U parametarskom obliku, funkcija je data sa dvije jednačine: . Često se jednadžbe ne pišu pod vitičastim zagradama, već uzastopno: , ..

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Razmotrite, na primjer, vrijednost i zamijenite je u obje jednačine: . Ili ljudskim riječima: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Možete označiti tačku na koordinatnoj ravni, a ta tačka će odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra “te”. Što se tiče "regularne" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije, također se poštuju sva prava: možete graditi graf, pronaći derivate itd. Usput, ako trebate nacrtati graf parametarski određene funkcije, preuzmite moj geometrijski program na stranici Matematičke formule

i tablice

U najjednostavnijim slučajevima, funkciju je moguće eksplicitno predstaviti. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe:

Sva pravila diferencijacije i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo , dakle, nema novina u procesu pronalaženja derivata. Samo mentalno zamijenite sva "X" u tabeli sa slovom "Te".

Nalazimo derivaciju "x u odnosu na varijablu te":

Sada ostaje samo da nađene derivate zamijenimo u našu formulu:

Spreman. Izvod, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se tiče notacije, umjesto da je upišemo u formulu, moglo bi se jednostavno napisati bez indeksa, jer je ovo „regularni“ derivat „u odnosu na X“. Ali u literaturi uvijek postoji opcija, tako da neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

u ovom slučaju:

ovako:

Posebna karakteristika nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika šansa da će se prilikom zamjene u formulu mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera sa nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

U članku Protozoa tipične zadatke sa derivatom pogledali smo primjere u kojima smo trebali pronaći drugi izvod funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugi izvod, a on se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očigledno da da biste pronašli drugi izvod, prvo morate pronaći prvi izvod.

Primjer 8

Naći prvi i drugi izvod funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvi derivat.
Koristimo formulu

u ovom slučaju:

Zamjenjuje pronađene derivate u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu:

Primijetio sam da je u problemu pronalaženja derivacije parametarske funkcije vrlo često u svrhu pojednostavljenja potrebno koristiti trigonometrijske formule . Zapamtite ih ili ih držite pri ruci i ne propustite priliku da pojednostavite svaki srednji rezultat i odgovore. Za šta? Sada moramo uzeti derivaciju od , i to je očito bolje od pronalaženja derivacije od .

Nađimo drugi izvod.
Koristimo formulu: .

Pogledajmo našu formulu. Imenilac je već pronađen u prethodnom koraku. Ostaje pronaći brojilac - izvod prvog izvoda u odnosu na varijablu "te":

Ostaje koristiti formulu:

Da biste pojačali gradivo, nudim vam još nekoliko primjera koje možete sami riješiti.

Primjer 9

Primjer 10

Pronađite i za funkciju specificiranu parametarski

Želim vam uspeh!

Nadam se da je ova lekcija bila korisna i da sada možete lako pronaći derivate funkcija specificiranih implicitno i iz parametarskih funkcija

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje:






ovako:

Do sada smo razmatrali jednadžbe pravih na ravni koje direktno povezuju trenutne koordinate tačaka ovih pravih. Međutim, često se koristi druga metoda definiranja linije, u kojoj se trenutne koordinate smatraju funkcijama treće varijable.

Neka su date dvije funkcije varijable

uzeti u obzir za iste vrijednosti t. Tada bilo koja od ovih vrijednosti t odgovara određenoj vrijednosti i određenoj vrijednosti y, a time i određenoj tački. Kada varijabla t prolazi kroz sve vrijednosti iz domene definicije funkcija (73), tačka koja opisuje određenu liniju C u ravnini, jednadžbe (73) se nazivaju parametarskim jednadžbama ove linije, a varijabla se zove parametar.

Pretpostavimo da funkcija ima inverznu funkciju. Zamjenom ove funkcije u drugu od jednadžbi (73) dobijamo jednačinu

izražavajući y kao funkciju

Složimo se da je ova funkcija data parametarski jednadžbama (73). Prijelaz sa ovih jednadžbi na jednačinu (74) naziva se eliminacija parametara. Kada se razmatraju parametarski definirane funkcije, isključivanje parametra ne samo da nije potrebno, već i nije uvijek praktično moguće.

U mnogim slučajevima je mnogo zgodnije pitati različita značenja parametar, a zatim izračunajte odgovarajuće vrijednosti argumenta i funkcije y koristeći formule (73).

Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Neka je proizvoljna tačka na kružnici sa centrom u početku i poluprečnikom R. Kartezijanske koordinate x i y ove tačke su izraženi kroz njen polarni radijus i polarni ugao, koje ovde označavamo sa t, na sledeći način (vidi Poglavlje I, § 3, stav 3):

Jednačine (75) se nazivaju parametarske jednačine kruga. Parametar u njima je polarni ugao, koji varira od 0 do .

Ako se jednačine (75) kvadriraju član po član i dodaju, onda se na osnovu identičnosti parametar eliminiše i dobija se jednačina kružnice u kartezijanskom koordinatnom sistemu, koja definiše dve elementarne funkcije:

Svaka od ovih funkcija je parametarski specificirana jednadžbama (75), ali su rasponi parametara za ove funkcije različiti. Za prvog od njih; Graf ove funkcije je gornji polukrug. Za drugu funkciju, njen graf je donji polukrug.

Primjer 2. Razmotrimo istovremeno elipsu

i krug sa centrom u početku i poluprečnikom a (Sl. 138).

Svakoj tački M elipse pridružujemo tačku N kružnice, koja ima istu apscisu kao tačka M i nalazi se s njom na istoj strani ose Ox. Položaj tačke N, a samim tim i tačke M, u potpunosti je određen polarnim uglom tačke t. U ovom slučaju za njihovu zajedničku apscisu dobijamo sledeći izraz: x = a. Ordinatu u tački M nalazimo iz jednačine elipse:

Znak je odabran jer ordinata tačke M i ordinata tačke N moraju imati iste predznake.

Tako se za elipsu dobijaju sledeće parametarske jednačine:

Ovdje parametar t varira od 0 do .

Primer 3. Razmotrimo kružnicu sa centrom u tački a) i poluprečnikom a, koja očigledno dodiruje x-osu u početku (Sl. 139). Pretpostavimo da se ovaj krug kotrlja bez klizanja duž x-ose. Tada tačka M kružnice, koja se u početnom trenutku poklapala sa ishodištem koordinata, opisuje liniju koja se zove cikloida.

Izvedemo parametarske jednadžbe cikloide, uzimajući kao parametar t ugao MSV rotacije kruga pri njegovom pomicanju fiksna tačka iz pozicije O u poziciju M. Tada za koordinate i y tačke M dobijamo sljedeće izraze:

Zbog činjenice da se krug kotrlja duž ose bez klizanja, dužina segmenta OB jednaka je dužini luka BM. Pošto je dužina luka BM jednaka proizvodu poluprečnika a i centralnog ugla t, onda je . Zato . Ali stoga,

Ove jednačine su parametarske jednačine cikloide. Kada se parametar t promijeni iz 0 u krug, napravit će jedan puni okret. Tačka M će opisati jedan luk cikloide.

Isključivanje parametra t ovdje dovodi do glomaznih izraza i praktično je nepraktično.

Parametarska definicija linija se posebno često koristi u mehanici, a ulogu parametra igra vrijeme.

Primjer 4. Odredimo putanju projektila ispaljenog iz pištolja sa početna brzina pod uglom a prema horizontali. Otpor zraka i dimenzije projektila s obzirom na to materijalna tačka, zanemarujemo.

Odaberimo koordinatni sistem. Uzmimo tačku polaska projektila iz njuške kao ishodište koordinata. Usmjerimo osovinu Ox horizontalno, a Oy os vertikalno, stavljajući ih u istu ravan sa cijevi pištolja. Da nije bilo sile gravitacije, projektil bi se kretao pravolinijski stvarajući ugao a sa osom Ox i prema vremenu t bi prešao put. Koordinate projektila u trenutku t bile bi jednake: . Zbog gravitacije, projektil se do tog trenutka mora vertikalno spustiti za određenu količinu. Dakle, u stvarnosti, u trenutku t, koordinate projektila su određene formulama:

Ove jednačine sadrže konstantne veličine. Kada se t promijeni, promijenit će se i koordinate u tački putanje projektila. Jednačine su parametarske jednačine putanje projektila, u kojima je parametar vrijeme

Izražavanje iz prve jednačine i zamjena u

druga jednačina, dobijamo jednačinu putanje projektila u obliku Ovo je jednačina parabole.